capítulo iii. análisis numérico de la placa de fijación
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
“ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE LA PLACA DE FIJACIÓN
ENTRE LA CARROCERÍA Y LA SUSPENSIÓN PARA EL
CASO TODO TERRENO"
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA
MECÁNICA CON OPCIÓN EN DISEÑO MECÁNICO
PRESENTA:
Ing. César Eduardo Félix Heredia.
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. José Ángel Ortega Herrera.
México, D.F. Diciembre del 2014.
Dedicatoria
Este trabajo lo dedico a mis padres por su incondicional apoyo en todo
momento para que esto lograra concretarse. Pase por numerosos
tropiezos y adversidades; sin embargo, ustedes siempre estuvieron allí.
En verdad, no existen palabras que puedan expresar lo mucho que les
agradezco por su tiempo, paciencia, dedicación, consejos y apoyos de
todo tipo. Asimismo, agradezco a mis hermanos y familiares cercanos
por apoyarme siempre a pesar del tiempo.
Agradecimientos
Al Dr. José Ángel Ortega Herrera por aceptarme en las difíciles condiciones en que
me encontraba. Le agradezco mucho por su paciencia; por su apoyo moral; por
todo el tiempo que me dedicó para explicarme una y otra vez hasta dejar bien
comprendido cada punto importante de este trabajo de Tesis; por su comprensión
ante cada uno de mis tropiezos; y finalmente, por todos sus consejos y enseñanzas
sobre cualquier aspecto de la vida.
Al Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón por haberme apoyado durante todo el
tiempo ordinario en que cursé la Maestría. Sin su ayuda y defensa no me hubiera
sido posible el poderme mantener dentro del Posgrado. Asimismo, le agradezco
por compartirme algunas experiencias personales, por sus consejos y por sus
enseñanzas sobre la Ingeniería en México.
Por su asesoría, consejos y apoyo, desde que cursé la materia de Matemáticas en
mi primer curso propedéutico, le agradezco al Dr. Marco Antonio Gutiérrez
Villegas.
En especial, agradezco al Ing. Fabián Leonov Santoyo López por su apoyo moral,
enseñanzas de todo tipo, consejos, amistad y valiosísima ayuda. Gracias a ti, mi
trabajo de Tesis pudo tomar un rumbo adecuado en momentos que me encontraba
con puras ideas aisladas, puras buenas intenciones, pero nada en concreto por
hacer.
Asimismo, agradezco a: Dr. Helvio Mollinedo, Dr. Ricardo Tapia Herrera, M. en C.
Yonatan Ali Rodríguez Arias, M. en C. Adrian Mendoza, y, M. en C. Gustavo
Armando Bautista Omaña, por su amistad, asesoría, soporte y enseñanzas, las
cuales, fueron fundamentales para poder concluir este trabajo.
Le agradezco a mi esposa: M. en C. Arely Ivonne López Soto, por su apoyo y
comprensión durante todo el tiempo en que realicé este trabajo.
A todos los compañeros que tuve el placer de conocer, convivir y aprender, desde
que cursé el primer curso propedéutico para ingresar al Posgrado en la SEPI
ESIME Zacatenco en Agosto del 2006. Muchas gracias a todos por escucharme y
por sus buenos deseos en todo momento.
De igual manera, les agradezco a: Ing. Rafael Berver Ríos, M. en C. Lucia Mónica
Gutiérrez Castro, M. en C. Edgar Ruiz Muñoz, M. en C. Jesús Andrés Romero García,
Ing. Sarai Becerril Jiménez, Ing. José Luis Beltrán Fonseca, Dr. Salvador Álvarez
Ballesteros, M. en C. Iván Altamirano Olguín, M. en C. Manuel López Godinez, Ing.
Antonio Serrano Aponte, M. en C. Sergio Viveros Breton, Ing. José Alberto Coatzin
Flores, Ing. Alberto Galicia Noriega, por su amistad y apoyo moral en todo
momento.
Finalmente, le agradezco a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Unidad Zacatenco, que forma
parte del Instituto Politécnico Nacional, por darme la oportunidad de poder cursar
un Posgrado de alto nivel para obtener el grado de Maestro en Ciencias.
ÍNDICE GENERAL
RESUMEN ............................................................................................................................................ 16
ABSTRACT ............................................................................................................................................ 17
OBJETIVO ............................................................................................................................................. 18
JUSTIFICACIÓN ..................................................................................................................................... 19
CAPÍTULO I. DESARROLLO HISTÓRICO DE LAS SUSPENSIONES ............................................................. 20
1.1 SISTEMA DE SUSPENSIÓN. ......................................................................................................................... 2
1.1.1 Definición de suspensión. .......................................................................................................... 2
1.1.2 Tipos de suspensión................................................................................................................... 2
1.1.2.1 Suspensión Dependiente. ................................................................................................................... 3
1.1.2.2 Suspensión Semi-dependiente. .......................................................................................................... 5
1.1.2.3 Suspensión Independiente. ................................................................................................................ 7
Suspensión Independiente de eje oscilante. ........................................................................................... 8
Suspensión Independiente de brazos tirados o arrastrados. .................................................................. 9
Suspensión Independiente MacPherson. .............................................................................................. 11
Suspensión Independiente de doble brazo transversal. ....................................................................... 13
Suspensión Independiente de paralelogramo deformable. Suspensión multibrazo. .......................... 14
1.1.3 Elementos que conforman la suspensión ............................................................................... 19
1.1.3.1 Resortes. ........................................................................................................................................... 19
Resortes de hoja. .................................................................................................................................... 20
Resortes Helicoidales. ............................................................................................................................ 22
Resortes Neumáticos. ............................................................................................................................ 23
Barra de Torsión. .................................................................................................................................... 25
1.1.3.2 Amortiguadores................................................................................................................................ 25
Amortiguador de fricción Hartford. ....................................................................................................... 26
Amortiguador Gabriel. ........................................................................................................................... 27
Amortiguador Hidráulico. ...................................................................................................................... 27
1.1.3.3 Barra de estabilidad ......................................................................................................................... 28
1.1.3.4 Estabilizadores. ................................................................................................................................. 29
1.1.3.5 Elementos de soporte. ..................................................................................................................... 29
1.1.3.6 Neumáticos. ..................................................................................................................................... 29
1.1.3.7 Casquillos de caucho ........................................................................................................................ 30
1.1.3.8 Bujes de goma .................................................................................................................................. 30
CAPÍTULO II. ANÁLISIS MODAL DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE LA PLACA DE FIJACIÓN. ............... 32
2.1 VIBRACIÓN. ......................................................................................................................................... 33
2.1.1 Vibraciones mecánicas. ........................................................................................................... 33
2.1.1.1 Elementos que componen a un sistema vibratorio. ......................................................................... 33
Masa. ...................................................................................................................................................... 34
Resorte. .................................................................................................................................................. 34
Amortiguador. ........................................................................................................................................ 35
Excitación. ............................................................................................................................................... 35
2.1.1.2 Tipos de Vibraciones Mecánicas. ...................................................................................................... 36
Vibración Libre de un grado de libertad. ............................................................................................... 36
Vibración Forzada. .................................................................................................................................. 38
Tipos de excitación forzada. ............................................................................................................ 45
Armónica. ..................................................................................................................................... 45
Periódica. ..................................................................................................................................... 47
Amortiguamiento en sistemas reales. ........................................................................................ 48
Vibración auto-excitada. ........................................................................................................................ 52
2.1.1.3 Tipos de movimiento. ....................................................................................................................... 53
Movimiento Armónico. .......................................................................................................................... 53
Movimiento Periódico. ........................................................................................................................... 58
Movimiento Aleatorio. ........................................................................................................................... 58
2.2 ANÁLISIS DE ¼ PARTE DE LA SUSPENSIÓN MACPHERSON ANTE LA RESPUESTA DEL TERRENO.................................. 59
2.2.1 Tipos de funciones. .................................................................................................................. 63
2.2.1.1 Escalón. ............................................................................................................................................ 63
2.2.1.2 Rampa. ............................................................................................................................................. 66
2.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE COMPUTADORAS ANALÓGICAS. ........................................ 68
2.3.1 Amplificadores operacionales. ................................................................................................ 69
2.3.2 Inversiones de signo. ............................................................................................................... 69
2.3.3 Sumadores. .............................................................................................................................. 71
2.3.4 Integradores. ........................................................................................................................... 73
2.3.5 Multiplicación por una fracción. ............................................................................................. 77
2.3.6 Soluciones de ecuaciones diferenciales. ................................................................................. 78
Procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales. ............................................................................... 78
Generación de una función exponencial. ..................................................................................................... 79
Generación de una función senoidal. ........................................................................................................... 80
Factor de escala de tiempo. ......................................................................................................................... 81
Factores de escala magnitud. ....................................................................................................................... 83
Procedimiento para determinar factores de escala magnitud. .................................................................... 84
2.4 PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR DIAGRAMA DE BLOQUE EN MATLAB SIMULINK PARA OBTENER LA RESPUESTA. .... 85
2.5 ANÁLISIS EN MATLAB® SIMULINK® DE LA SUSPENSIÓN PASIVA TÍPICA PARA UN AUTÓMOVIL. ............................... 87
2.5.1 Diagrama de bloques en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva típica para un
autómovil. ........................................................................................................................................ 87
2.5.2 Respuesta en Matlab® Simulink® de Suspensión Pasiva típica para un autómovil
considerando una función de excitación de tipo: ESCALÓN. ........................................................... 88
CAPÍTULO III. ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PLACA DE FIJACIÓN MEDIANTE M.E.F. ................................ 89
3.1 EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO (MEF) ............................................................................................... 90
3.1.1 Definición. ................................................................................................................................ 90
3.1.2 Problemas de ingeniería. ........................................................................................................ 91
3.1.3 Métodos numéricos. ................................................................................................................ 91
3.1.4 Antecedentes históricos. ......................................................................................................... 92
3.1.5 Pasos básicos en el método del elemento finito. ................................................................... 98
Fase de preprocesamiento ........................................................................................................................... 98
Fase de solución ........................................................................................................................................... 98
Fase de postprocesamiento .......................................................................................................................... 98
3.1.6 Proceso de trabajo del método del elemento finito. .............................................................. 98
3.1.7 Datos básicos de entrada. ..................................................................................................... 101
3.1.8 Definición de la geometría. ................................................................................................... 102
3.1.9 Propiedades del material. ..................................................................................................... 102
3.1.10 Constantes de desplazamiento. .......................................................................................... 103
3.1.11 Fuerzas aplicadas. ............................................................................................................... 103
3.1.12 Tipos de elementos.............................................................................................................. 104
Elementos Beam. ....................................................................................................................................... 107
Elementos Plate. ........................................................................................................................................ 108
3.1.13 Modelo de elemento finito ................................................................................................. 108
3.1.14 Depuración de modelos de elemento finito. ...................................................................... 109
3.1.15 Verificación de resultados. .................................................................................................. 111
3.1.16 Ventajas y limitaciones del método del elemento finito. ................................................. 112
3.2 ANÁLISIS DE FRECUENCIAS EN VIBRACIÓN LIBRE. .................................................................................... 113
3.2.1 Resultados. ....................................................................................................................... 116
3.3 ANÁLISIS DINÁMICO TRANSITORIO MODAL DE LA PLACA DE FIJACIÓN. ....................................................... 120
3.3.1 Resultados. ............................................................................................................................ 122
3.3.2 Gráfica de respuesta: Historia – Tiempo. ............................................................................. 126
CAPITULO IV. DISCUSIÓN DE RESULTADOS. ....................................................................................... 127
4.1. RESULTADOS. .......................................................................................................................... 128
CONCLUSIONES. ................................................................................................................................. 130
TRABAJOS FUTUROS. ......................................................................................................................... 132
APÉNDICES ......................................................................................................................................... 133
APÉNDICE A. Prueba experimental a Placa de Fijación empleando Sistema de adquisición de datos.
........................................................................................................................................................ 133
APÉNDICE B. Análisis de Fatiga de Placa de Fijación en Ansys. ...................................................... 139
APÉNDICE C. Modelado de la Placa de Fijación. ............................................................................. 152
REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 153
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 1. 1 SUSPENSIÓN DEPENDIENTE. ............................................................................................................... 4
FIGURA 1. 2 SUSPENSIÓN DEPENDIENTE TRASERA. ................................................................................................... 5
FIGURA 1. 3 SUSPENSIÓN SEMI-DEPENDIENTE DE DION. ........................................................................................... 6
FIGURA 1. 4 SUSPENSIÓN SEMI-DEPENDIENTE DE RUEDAS TIRADAS. ............................................................................ 6
FIGURA 1. 5 SUSPENSIÓN SEMI-DEPENDIENTE DELTA-LINK. ....................................................................................... 7
FIGURA 1. 6 SUSPENSIÓN DE EJE OSCILANTE DE DOBLE ARTICULACIÓN. ........................................................................ 8
FIGURA 1. 7 SUSPENSIÓN DE EJE OSCILANTE DE UNA ARTICULACIÓN. ........................................................................... 9
FIGURA 1. 8 SUSPENSIÓN DE BRAZOS TIRADOS O ARRASTRADA (LADO IZQUIERDO) Y SUSPENSIÓN DE BRAZOS TIRADOS
OBLICUOS O SEMI-ARRASTRADA (LADO DERECHO). ........................................................................................ 10
FIGURA 1. 9 SUSPENSIÓN INDEPENDIENTE DE BRAZOS TIRADOS. ............................................................................... 10
FIGURA 1. 10 SUSPENSIÓN DE BRAZOS TIRADOS CON BARRAS DE TORSIÓN. ................................................................. 11
FIGURA 1. 11 SUSPENSIÓN MACPHERSON [5]. ..................................................................................................... 12
FIGURA 1. 12 ESQUEMA CON DETALLE DE SUSPENSIÓN MACPHERSON. ..................................................................... 12
FIGURA 1. 13 CONFIGURACIONES DE LA SUSPENSIÓN DE DOBLE BRAZO TRANSVERSAL [5]. ............................................. 14
FIGURA 1. 14 SUSPENSIÓN CONVENCIONAL DE PARALELOGRAMO DEFORMABLE. ......................................................... 15
FIGURA 1. 15 SUSPENSIÓN MULTIBRAZO DELANTERA Y TRASERA. ............................................................................. 16
FIGURA 1. 16 SUSPENSIÓN MULTIBRAZO DE 5 BRAZOS. ......................................................................................... 17
FIGURA 1. 17 SUSPENSIÓN MULTIBRAZO CON BRAZOS LONGITUDINALES. .................................................................. 18
FIGURA 1. 18 RESORTES DE HOJA [7]. ................................................................................................................. 20
FIGURA 1. 19 RESORTE DE UNA HOJA [8]. ............................................................................................................ 21
FIGURA 1. 20 CONJUNTO DEL SOSTÉN DE COLUMPIO.............................................................................................. 22
FIGURA 1. 21 RESORTE HELICOIDAL [10]. ............................................................................................................ 23
FIGURA 1. 22 RESORTE NEUMÁTICO ANTIGUO. ..................................................................................................... 24
FIGURA 1. 23 RESORTES NEUMÁTICOS MODERNOS [14]. ........................................................................................ 25
FIGURA 1. 24 BARRA DE TORSIÓN [15]. .............................................................................................................. 25
FIGURA 1. 25 AMORTIGUADOR DE FRICCIÓN HARTFORD. ........................................................................................ 26
FIGURA 1. 26 AMORTIGUADOR GABRIEL. ............................................................................................................ 27
FIGURA 1. 27 COMPONENTES DE UN AMORTIGUADOR DE IMPACTOS HIDRÁULICO. ....................................................... 28
FIGURA 1. 28 BARRA DE ESTABILIDAD [18]. ......................................................................................................... 28
FIGURA 1. 29 NEUMÁTICO [19]. ....................................................................................................................... 29
FIGURA 1. 30 DISTINTOS MODELOS DE CASQUILLOS DE CAUCHO [21]. ....................................................................... 30
FIGURA 1. 31 VARIOS TIPOS DE BUJES DE GOMA [23]. ........................................................................................... 31
FIGURA 2. 1 ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS. ............................................................................................. 34
FIGURA 2. 2 SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD SIN AMORTIGUAMIENTO. ................................................................ 36
FIGURA 2. 3 SISTEMA MASA-RESORTE ANTE UNA FUERZA PERTURBADORA PERIÓDICA SOBRE W . ................................... 39
FIGURA 2. 4 ................................................................................................................................................... 40
FIGURA 2. 5 ................................................................................................................................................... 42
FIGURA 2. 6 ................................................................................................................................................... 44
FIGURA 2. 7 ................................................................................................................................................... 44
FIGURA 2. 8 AMPLITUD DE LA RESPUESTA DEL ESTADO-ESTACIONARIO CONTRA LA RELACIÓN DE FRECUENCIAS. .................. 46
FIGURA 2. 9 FUNCIÓN FORZADA PERIÓDICA. ......................................................................................................... 47
FIGURA 2. 10 SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL. ......................................... 50
FIGURA 2. 11 LA MAGNITUD DE LA VIBRACIÓN AUTO-EXCITADA PUEDE AUMENTAR CON EL TIEMPO HASTA QUE ES LIMITADO DE
ALGUNA MANERA (POR LO GENERAL POR UN EFECTO NO LINEAL). LA FRECUENCIA DE OSCILACIÓN ESTÁ CERCA DE LA
FRECUENCIA NATURAL DEL SISTEMA. .......................................................................................................... 53
FIGURA 2. 12 REGISTRO DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO. ...................................................................................... 54
FIGURA 2. 13 MOVIMIENTO ARMÓNICO COMO PROYECCIÓN DE UN PUNTO QUE SE MUEVE EN UNA CIRCUNFERENCIA. ........ 54
FIGURA 2. 14 EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN PRECEDEN AL DESPLAZAMIENTO EN 2
Y .
.......................................................................................................................................................... 55
FIGURA 2. 15 ................................................................................................................................................. 57
FIGURA 2. 16 ................................................................................................................................................. 57
FIGURA 2. 17 MOVIMIENTO PERIÓDICO. ............................................................................................................. 58
FIGURA 2. 18 MOVIMIENTO ALEATORIO. ............................................................................................................. 59
FIGURA 2. 19 MODELO DE ¼ PARTE DEL AUTOMÓVIL. ............................................................................................ 60
FIGURA 2. 20 (A) SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD; (B) FUERZA ESCALÓN; (C) RESPUESTA DINÁMICA. ......................... 63
FIGURA 2. 21 (A) SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD; (B) FUERZA RAMPA; (C) RESPUESTAS: DINÁMICA Y ESTÁTICA. ......... 67
FIGURA 2. 22 DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN AMPLIFICADOR OPERACIONAL. ........................................................... 69
FIGURA 2. 23 (A) DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN INVERSOR DE SIGNO; (B) SÍMBOLO DEL INVERSOR DE SIGNO CUANDO
0 / 1iR R ; (C) SÍMBOLO DEL INVERSOR DE SIGNO. .................................................................................. 70
FIGURA 2. 24 (A) DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN SUMADOR; (B) SÍMBOLO DEL SUMADOR. ........................................ 72
FIGURA 2. 25 (A) DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN INTEGRADOR; (B) SÍMBOLO DEL INTEGRADOR. .................................. 74
FIGURA 2. 26 (A) DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN INTEGRADOR CON DOS ENTRADAS; (B) DIAGRAMA SIMPLIFICADO. ........ 76
FIGURA 2. 27 (A) POTENCIÓMETRO; (B) SÍMBOLO DEL POTENCIÓMETRO. ................................................................... 77
FIGURA 2. 28 DIAGRAMA DE COMPUTADORA ANALÓGICA. ...................................................................................... 79
FIGURA 2. 29 DIAGRAMA DE COMPUTADORA ANALÓGICA. ...................................................................................... 80
FIGURA 2. 30 DIAGRAMA DE COMPUTADORA ANALÓGICA. ...................................................................................... 81
FIGURA 3. 1 TRES TIPOS DE ELEMENTOS PARA DISCRETIZAR UNA REGIÓN DADA. ......................................................... 105
FIGURA 3. 2 EJEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONALES. ....................................................................... 106
FIGURA 3. 3 EJEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONALES. ......................................................................... 106
FIGURA 3. 4 EJEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS TRIDIMENSIONALES, A) DE 1ER ORDEN, B) Y C) DE 2º ORDEN. ................ 107
FIGURA 3. 5 PUNTOS DE SUJECIÓN EN PLACA DE FIJACIÓN. .................................................................................... 115
FIGURA 3. 6 MALLA DE SÓLIDO. ....................................................................................................................... 116
FIGURA 3. 7 MODO 1. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS - VIBRACIÓN LIBRE. ..................................................................... 117
FIGURA 3. 8 MODO 2. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS - VIBRACIÓN LIBRE. ..................................................................... 118
FIGURA 3. 9 MODO 3. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS - VIBRACIÓN LIBRE. ..................................................................... 118
FIGURA 3. 10 MODO 4. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS - VIBRACIÓN LIBRE. ................................................................... 119
FIGURA 3. 11 MODO 5. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS - VIBRACIÓN LIBRE. ................................................................... 119
FIGURA 3. 12 PLACA DE FIJACIÓN CON CARGA/MASA REMOTA .............................................................................. 121
FIGURA 3. 13 MODO 1. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS CON CARGA. ............................................................................ 123
FIGURA 3. 14 MODO 2. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS CON CARGA. ............................................................................ 124
FIGURA 3. 15 MODO 3. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS CON CARGA. ............................................................................ 124
FIGURA 3. 16 MODO 4. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS CON CARGA. ............................................................................ 125
FIGURA 3. 17 MODO 5. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS CON CARGA. ............................................................................ 125
FIGURA 3. 18 RESPUESTA DE LA PLACA DE FIJACIÓN ANTE SU EXCITACIÓN (IMPULSO). ................................................ 126
FIGURA 4.1 RESPUESTA DE SUSPENSIÓN PASIVA TÍPICA ANTE FUNCIÓN ESCALÓN OBTENIDA EN MATLAB® SIMULINK®. .... 128
FIGURA 4.2 RESPUESTA DE PLACA DE FIJACIÓN ANTE SU EXCITACIÓN (IMPULSO) OBTENIDA EN SOLIDWORKS SIMULATION. 128
FIGURA 4.3 GRÁFICA DE FRECUENCIAS OBTENIDAS EN PRUEBA EXPERIMENTAL. ......................................................... 129
FIGURA A. 1 GRÁFICA DE ACELERACIÓN VS TIEMPO, CONSIDERANDO LOS EJES X, Y Y Z. .............................................. 135
FIGURA A. 2 GRÁFICA DE ACELERACIÓN VS TIEMPO DE LA ZONA CRÍTICA DEL EJE Z. .................................................... 135
FIGURA A. 3 GRÁFICA DE ACELERACIÓN VS TIEMPO PARA LOS EJES X Y Y. GRÁFICA DE AMPLITUD VS FRECUENCIA PARA EL EJE
Z. ..................................................................................................................................................... 137
FIGURA A. 4 GRÁFICA DE AMPLITUD VS FRECUENCIA DE LA ZONA CRÍTICA DEL EJE Z. .................................................. 138
FIGURA B. 1 NUEVO PROYECTO EN ANSYS WORKBENCH 11 .................................................................................. 140
FIGURA B. 2 VENTANA DE INICIO PARA SELECCIONAR NUEVA GEOMETRÍA ................................................................ 140
FIGURA B. 3 SELECCIÓN DE LAS UNIDADES. ......................................................................................................... 141
FIGURA B. 4 IMPORTACIÓN DE GEOMETRÍA EXTERNA. ........................................................................................... 141
FIGURA B. 5 SELECCIÓN DE UNA NUEVA SIMULACIÓN. .......................................................................................... 142
FIGURA B. 6 RECONOCIMIENTO DE GEOMETRÍA. ................................................................................................. 142
FIGURA B. 7 EDICIÓN DE MATERIAL. ................................................................................................................. 143
FIGURA B. 8 PROPIEDADES DE ACERO ASTM-A36 .............................................................................................. 143
FIGURA B. 9 PROCEDIMIENTO PARA MODIFICAR EL NOMBRE DEL MATERIAL.............................................................. 144
FIGURA B. 10 FIJACIÓN DE LOS SOPORTES. ......................................................................................................... 144
FIGURA B. 11 SUJECIONES O CONDICIONES DE FRONTERA ..................................................................................... 145
FIGURA B. 12 PROCEDIMIENTO PARA SELECCIONAR LAS FUERZAS. ........................................................................... 145
FIGURA B. 13 CARGA APLICADA DE 300 KG. ...................................................................................................... 146
FIGURA B. 14 SELECCIÓN DEL ESFUERZO MEDIANTE TEORÍA DE VON-MISES. ............................................................. 146
FIGURA B. 15 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS DE VON MISES .................................................................................. 147
FIGURA B. 16 PROCEDIMIENTO PARA SELECCIONAR LA DEFORMACIÓN TOTAL. .......................................................... 147
FIGURA B. 17 RESULTADOS DE DEFORMACIÓN TOTAL. ......................................................................................... 148
FIGURA B. 18 PROCEDIMIENTO PARA SELECCIONAR LA HERRAMIENTA DE FATIGA (FATIGUE TOOL). .............................. 148
FIGURA B. 19 CONFIGURACIÓN DE HERRAMIENTA DE FATIGA (FATIGUE TOOL) – SELECCIÓN DE TEORÍA DEL ESFUERZO
PRINCIPAL. ......................................................................................................................................... 149
FIGURA B. 20 RESULTADOS DE VIDA ÚTIL .......................................................................................................... 149
FIGURA B. 21 RESULTADOS DE FACTOR DE SEGURIDAD. ....................................................................................... 150
FIGURA B. 22 RESULTADOS DE DAÑO. .............................................................................................................. 150
FIGURA B. 23 RESULTADOS DEL ESFUERZO ALTERNANTE EQUIVALENTE. .................................................................. 151
RESUMEN
El presente trabajo consiste en obtener y entender el comportamiento de la Placa
de Fijación ante condiciones todo terreno. Para lograr esto, se realiza un Análisis
en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva típica para un autómovil, un
Análisis de Frecuencias en Vibración Libre, un Análisis Dinámico Transitorio
Modal, una Prueba Experimental y un Análisis de Fatiga.
El Análisis en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva típica para un
autómovil sirve para obtener su respuesta ante una función de excitación de tipo
Escalón.
El Análisis de Frecuencias en Vibración Libre y el Análisis Dinámico Transitorio
Modal, realizados en Solidworks, se emplean para obtener el comportamiento
vibratorio de la Placa de Fijación.
La Prueba Experimental consiste en usar un Sistema de Adquisición de Datos sobre
la Placa de Fijación que se encuentra en la parte superior de una Suspensión de
tipo MacPherson en un automóvil típico, con la idea de encontrar y entender el
comportamiento real de dicho componente automotriz ante condiciones todo
terreno.
Finalmente, el Análisis de Fatiga es necesario para saber a cuantos ciclos fallará la
Placa de Fijación.
ABSTRACT
The present work is to obtain and understand the behavior of the Strut Mount to
road conditions. To accomplish this, an Analysis in Matlab ® Simulink ® of Passive
Suspension for a Typical Car, a Frequency Analysis of Free Vibration, a Modal
Transient Dynamic Analysis, Experimental Test and Fatigue Analysis is performed.
The Analysis in Matlab® Simulink® of Passive Suspension for a Typical Car used
to get their response to a Step Excitation Function.
Frequency Analysis of Free Vibration and Transient Dynamic Modal Analysis,
performed in Solidworks, are used to obtain the vibration behavior of the Strut
Mount.
The Experimental Test is to use a Data Acquisition System on Strut Mount found in
the top of a MacPherson Suspension in a common car, with the idea of finding and
understanding the actual behavior of the automotive component to all terrain
conditions.
Finally, the Fatigue Analysis is necessary to know at how many cycles Strut Mount
will fail.
OBJETIVO
Analizar y simular la Placa de Fijación de una suspensión de tipo MacPherson para
obtener la respuesta transitoria considerando su excitación ante las
irregularidades del camino.
JUSTIFICACIÓN
El análisis de los sistemas de suspensión siempre ha contemplado a elementos
principales, como son la masa y la rigidez. Elementos que se consideran para
realizar el estudio de dicho sistema, en algunas otras ocasiones se realiza un
análisis más completo al incluir el elemento del amortiguador. De los elementos
antes mencionados, la masa del automóvil es considerada como un valor numérico
al momento de analizarlo sin tomar en cuenta la forma que ésta tenga,
principalmente en el punto en que se une el sistema de suspensión y la carrocería
(sistema acoplado). Así pues, tenemos que al observar algunas de las formas
empleadas para dicho punto de unión por la industria automotriz se aprecia que
cada uno tiene su propia geometría definida. Además como en la actualidad no se
encuentra un análisis relativo a este punto importante de unión nos vemos en la
motivación de realizar este trabajo para tal fin. Es decir, el problema es determinar
el comportamiento dinámico de la placa de fijación; ya que, con el entendimiento
de dicho comportamiento se puede saber cómo mejorar este importante
componente automotriz y, además, con ello disminuir los desplazamientos
experimentados por los ocupantes del vehículo en condiciones de todo terreno.
Capítulo I. Desarrollo Histórico de
las Suspensiones
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
2
1.1 Sistema de suspensión.
Para un vehículo, el sistema de suspensión tiene la función de aislar los golpes
severos y vibraciones inducidos por la superficie del terreno hacia los pasajeros o
a la carga que esté transportando. Este aislamiento de golpes y vibraciones
inducido por la forma del camino ayuda a extender la vida media del vehículo.
Otra función importante de la suspensión es que permite a la rueda mantener el
contacto con la superficie del camino, asegurando así la estabilidad y control del
vehículo.
1.1.1 Definición de suspensión.
Sistema de un automóvil que contiene una serie de elementos mecánicos que unen
a las ruedas con la carrocería del auto. Su función fundamental es darle confort de
marcha y estabilidad al vehículo [1]. Además de lo anterior, se sabe que este
sistema se compone del ensamble de resortes, amortiguadores, barras de torsión,
juntas, brazos, etc., con el objeto de amortiguar todas aquellas irregularidades que
se presentan en el camino [2].
Así pues, tenemos que en el automóvil existen masas suspendidas y no
suspendidas. Las masas suspendidas se definen como el conjunto de órganos del
vehículo que forman la caja como el bastidor, el chasis, la carrocería, los pasajeros
y la carga. En cambio, las masas no suspendidas se definen como el conjunto de
órganos que están en contacto directo con el terreno y deben seguir el perfil del
mismo en todas las circunstancias, ejemplo de este tipo de masas son las ruedas,
los ejes, los semiejes y los dispositivos de frenado [3].
1.1.2 Tipos de suspensión.
Existe una línea de suspensiones genéricas que se utilizan comúnmente; en esta
sección se describen algunas de ellas y se mencionan algunas de sus características
importantes.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
3
Los factores que afectan principalmente a la elección del tipo de suspensión en la
parte delantera o trasera de un vehículo son la ubicación del motor y si las ruedas
son conducidas/no conducidas y/o dirigidas/no dirigidas. En general, las
suspensiones pueden ser ampliamente clasificadas como dependientes o
independientes [4].
1.1.2.1 Suspensión Dependiente.
La suspensión dependiente, también conocida como: suspensión de eje rígido, es
aquella que tiene unidas las ruedas mediante un eje rígido de forma que la
suspensión es conjunta. Presenta el siguiente inconveniente: al estar unidas ambas
ruedas, las vibraciones producidas por la acción de las irregularidades del
pavimento, se transmiten de un lado al otro del eje [1]. Dicho de otra forma, el
movimiento de una rueda de un lado del vehículo depende del movimiento de la
otra en el otro lado; por ejemplo, cuando una rueda de un lado del vehículo golpea
un bache, el efecto de ello se transmite directamente a la otra en el otro lado. Esto
tiene un efecto perjudicial sobre la marcha y la dirección del vehículo [4].
Algo importante a tomar en cuenta en este tipo de suspensión es que el peso de las
masas no suspendidas aumenta notablemente debido al peso del eje rígido y al
peso del grupo cónico diferencial en los vehículos de tracción trasera.
Como principal ventaja, los ejes rígidos destacan por su sencillez de diseño y no
producen variaciones significativas en los parámetros de la rueda como caída,
avance, etc. El principal uso de esta disposición de suspensión se realiza sobre todo
en vehículos industriales, autobuses y camiones. En la actualidad también se usan
en algunos turismos en los ejes traseros ya sean propulsores o no.
En la figura 1.1, se muestra un modelo de suspensión dependiente en la que el eje
rígido está actuando de eje propulsor. En estos casos el eje está constituido por una
caja que contiene el mecanismo diferencial (1) y por los tubos (2) que contienen
los palieres.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
4
El eje rígido en este caso se apoya contra el bastidor mediante dos ballestas (3)
que hacen de elemento elástico transmitiendo las oscilaciones. Complementan el
conjunto los amortiguadores telescópicos (4).
En la figura 1.2, se muestra un moderno modelo de suspensión dependiente
trasera para un turismo con tracción delantera. Los principales componentes son
el eje rígido (1) que va unido a los cubos de las ruedas (2) mediante una mangueta
(3) atornillada al eje y un juego de rodamientos que permiten el giro de la rueda.
Sobre el eje rígido se apoyan los dos conjuntos muelle-amortiguador telescópico
(4) que por su extremo superior se anclan al chasis transmitiendo y amortiguando
las oscilaciones. Esta suspensión no presenta rigidez longitudinal de forma que el
eje rígido (1) lleva incorporadas cuatro barras longitudinales (5) formando un
paralelogramo de Watt que mantiene al eje en su posición longitudinal. Además,
para estabilizar el eje y generar un único centro de balanceo de la suspensión, se
añade una barra transversal (6) que está unida al eje en A y a la carrocería en B; a
esta barra se le conoce con el nombre de “barra Panhard”; tanto las barras
longitudinales como la barra Panhard dispone de articulaciones elásticas (como la
C) con el eje y con la carrocería para permitir realizar a la suspensión su función de
amortiguación vertical.
Figura 1. 1 Suspensión dependiente.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
5
1.1.2.2 Suspensión Semi-dependiente.
Similares a las anteriores pero con menor peso no suspendido. La diferencia
principal con las anteriores estriba en que las ruedas están unidas entre sí como en
el eje rígido pero trasmitiendo de una forma parcial las oscilaciones que reciben de
las irregularidades del pavimento.
En la figura 1.3, se muestra una suspensión de este tipo. Concretamente una
suspensión con eje De Dion. En ella las ruedas van unidas mediante soportes
articulados (1) al diferencial (2), que en la suspensión con eje De Dion es parte de
la masa suspendida, es decir, va anclado al bastidor del automóvil. A su vez, ambas
ruedas están unidas entre sí mediante una traviesa o tubo De Dion (3) que las
ancla de forma rígida permitiendo a la suspensión deslizamientos longitudinales.
Este sistema tiene la ventaja, frente al de eje rígido, de que se disminuye la masa no
suspendida debido al poco peso de la traviesa del eje De Dion y al anclaje del
grupo diferencial del bastidor y mantiene los parámetros de la rueda
prácticamente constantes como los ejes rígidos gracias al anclaje rígido de la
traviesa. La suspensión posee además elementos elásticos de tipo muelle helicoidal
(4) y suele ir acompañada de brazos longitudinales que limitan los
desplazamientos longitudinales.
Figura 1. 2 Suspensión dependiente trasera.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
6
Existen otros sistemas de suspensión semi-dependiente pero que poseen un
aspecto anterior de eje rígido (suspensión dependiente). En la figura 1.4, se
muestra una suspensión de ruedas tiradas mediante dos brazos longitudinales (1)
con un eje deformable (2).
En el interior del eje deformable (2) se encuentra situada la barra estabilizadora
(3). El sistema cuenta además con un conjunto de muelle-amortiguador
telescópico (4) y barra trasversal Panhard (5). Las articulaciones de la suspensión
con el bastidor se realizan mediante cojinetes elásticos (6).
Figura 1. 4 Suspensión semi-dependiente de ruedas tiradas.
Figura 1. 3 Suspensión semi-dependiente De Dion.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
7
Como evolución de los sistemas de suspensión de eje rígido actualmente se han
desarrollado modernas suspensiones semi-dependientes que también parten del
concepto de ejes trasversales pero anclados de una forma elástica y no totalmente
rígida. A modo de ejemplo, en la figura 1.5, se muestra un modelo de tren trasero,
de tipo semi-dependiente, conocido con el nombre de Deltalink.
Este modelo es de ruedas tiradas mediante dos brazos longitudinales curvados (1)
pero unidos mediante un eje trasero “Deltalink” (2). El eje está formado por dos
ejes trasversales A y B ligados entre sí de forma elástica. Esta ligadura se forma a
partir de una larga prolongación de los brazos transversales articulados, mediante
casquillos de goma (3), de forma que lo hacen semi-solidarios. El guiado de los
brazos se realiza mediante unas bieletas transversales (4) y además dispone de
muelles helicoidales (5) y amortiguadores de gas (6).
Los anclajes al bastidor se realizan mediante dos pequeñas bieletas (7) apoyadas
en el extremo de los brazos longitudinales curvados (1).
1.1.2.3 Suspensión Independiente.
La tendencia actual es la suspensión independiente a las cuatro ruedas pues es la
más óptima desde el punto de vista de confort y estabilidad al reducir de forma
Figura 1. 5 Suspensión Semi-dependiente Delta-link.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
8
independiente las oscilaciones generadas por el pavimento sin trasmitirlas de una
rueda a otra del mismo eje. La principal ventaja añadida es que posee menor peso
no suspendido que otros tipos de suspensión por lo que las acciones trasmitidas al
chasis son de menor magnitud. En contra, se sabe que para cargas elevadas esta
suspensión puede presentar problemas.
El número de modelos de suspensión independiente es muy amplio y además
posee numerosas variables. Los principales tipos de suspensión de tipo
independiente son:
Suspensión Independiente de eje oscilante.
La peculiaridad de este sistema que se muestra en la figura 1.6 es que el elemento
de rodadura (1) y el semieje (2) son solidarios (salvo el giro de la rueda), de
forma que el conjunto oscila alrededor de una articulación (3) próxima al plano
medio longitudinal del vehículo. Este tipo de suspensión no se puede usar como
eje directriz puesto que en el momento oscilatorio de los semiejes se altera
notablemente la caída de las ruedas en las curvas. Completan el sistema de
suspensión muelle-amortiguador telescópico (4).
Una variante de este sistema es el realizado mediante un eje oscilante pero de una
sola articulación mostrada en la figura 1.7. La ventaja que presenta es que el pivote
de giro (1) está a menor altura que el eje oscilante de dos articulaciones. El
mecanismo diferencial (2) oscila con uno de los palieres (3) mientras que el otro
Figura 1. 6 Suspensión de eje oscilante de doble articulación.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
9
(4) se mueve a través de una articulación (A) que permite a su vez un
desplazamiento de tipo axial en el árbol de trasmisión. El sistema también cuenta
con dos conjuntos muelle- amortiguador telescópicos (5).
Suspensión Independiente de brazos tirados o arrastrados.
Este tipo de suspensión independiente se caracteriza por tener dos elementos de
soporte o brazos en disposición longitudinal que van unidos por un extremo al
bastidor y por el otro a la mangueta de la rueda.
Este sistema de suspensión ha dado un gran número de variantes cuyas
diferencias estriban fundamentalmente en cuál es el eje de giro del brazo tirado en
el anclaje al bastidor y cuál es el elemento elástico que utiliza.
En la figura 1.8 se muestra como en los brazos tirados pueden pivotar de distintas
formas: en el lado izquierdo los brazos longitudinales (A) pivotan sobre un eje de
giro perpendicular al plano longitudinal del vehículo; mientras que, en el lado
derecho, pivotan los brazos (A) sobre ejes que tienen componentes longitudinales,
es decir sobre ejes oblicuos al plano longitudinal del vehículo. A esta última
variante también se le conoce como brazos semi-arrastrados y tiene la ventaja de
que no precisa estabilizadores longitudinales debido a la componente longitudinal
que tiene el propio brazo o soporte.
Figura 1. 7 Suspensión de eje oscilante de una articulación.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
10
En este tipo de elementos elásticos que se utilizan en las suspensiones de brazos
tirados, los principales son barras de torsión trasversales y muelles elásticos.
En la figura 1.9 se muestra un ejemplo de suspensión independiente de brazos
tirados (1) con muelles helicoidales y amortiguadores hidráulicos telescópicos (2).
La mangueta (3) va atornillada al brazo longitudinal (1) que pivota en el casquillo
(silentblock, en inglés) (4). Además cuenta con un brazo superior (5) y otro
inferior (6) que une el brazo tirado con el bastidor mediante casquillos. En el otro
extremo del brazo longitudinal hay un pequeño brazo de compensación (7) que
también va unido al bastidor mediante un casquillo.
Figura 1. 8 Suspensión de brazos tirados o arrastrada (lado izquierdo) y suspensión de
brazos tirados oblicuos o semi-arrastrada (lado derecho).
Figura 1. 9 Suspensión Independiente de brazos tirados.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
11
En la figura 1.10 se muestra un modelo de suspensión independiente con brazos
tirados con barras de torsión como elementos elásticos y amortiguadores. En este
caso el brazo longitudinal (1) va unido al cubo de rueda (2) por un extremo y a un
tubo que contiene una barra de torsión (3) por el otro. La barra de torsión a su vez
va anclada al bastidor mediante un soporte (4) [1].
Suspensión Independiente MacPherson.
El sistema de suspensión independiente MacPherson (ver figura 1.11) es uno de
los más utilizados en el tren delantero aunque se puede montar igualmente en el
trasero. Este sistema ha tenido mucho éxito, sobre todo en vehículos más
modestos, por su sencillez de fabricación y mantenimiento, el coste de producción
y el poco espacio que ocupa.
Figura 1. 10 Suspensión de brazos tirados con barras de torsión.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
12
La figura 1.12 muestra un modelo detallado de la suspensión MacPherson con
brazo inferior y barra estabilizadora.
Figura 1. 11 Suspensión MacPherson [5].
Figura 1. 12 Esquema con detalle de Suspensión MacPherson.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
13
De acuerdo a la figura 1.12, los elementos básicos que componen a este tipo de
suspensión son los siguientes:
1 - Brazos de suspensión inferiores.
2 y 3 – Extremos (también conocidos como rótulas) que unen al bastidor.
4 – Mangueta.
5 – Tubo base para el amortiguador.
6 – Amortiguador, que en este caso es telescópico.
7 – Muelle o Resorte helicoidal [6].
Tomando en cuenta a la figura 1.12, se observa que la suspensión MacPherson se
caracteriza porque forma un mecanismo de tipo triangulo articulado formado por
el brazo inferior, el conjunto muelle-amortiguador y el propio chasis. El lado del
triángulo que corresponde al muelle-amortiguador es de compresión libre por lo
que sólo tiene un único grado de libertad: la tracción o compresión de los
elementos elásticos y amortiguador. Al trasmitirse a través del muelle-
amortiguador todos los esfuerzos al chasis es necesario un dimensionado más
rígido en la carrocería en la zona de apoyo de la placa fijación.
Suspensión Independiente de doble brazo transversal.
La suspensión de doble brazo transversal, también conocida como suspensión de
doble brazo tipo “A”, se caracteriza por tener un diseño que produce un clásico
mecanismo de cuatro barras cuando se ve desde la parte delantera del vehículo.
Tiene la mangueta situada en el centro del enlace acoplador y es, por tanto, capaz
de proporcionar movimiento en línea recta a la mangueta. Sin embargo, debido a
las limitaciones de espacio, es normal que el brazo oscilante transversal superior
sea más corto que el de la parte inferior. Los brazos dobles oscilantes
proporcionan la fuerza positiva para reaccionar a cargas transversales y
longitudinales [4]. En la figura 1.13 se puede ver dos configuraciones diferentes de
este tipo de suspensión.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
14
Suspensión Independiente de paralelogramo deformable. Suspensión multibrazo.
Junto a la suspensión de Macpherson descrita en el apartado anterior, la
suspensión de paralelogramo deformable es la más utilizada en un gran número de
automóviles tanto para el tren delantero como para el trasero.
En la figura 1.14 se muestra una suspensión convencional de paralelogramo
deformable. El paralelogramo está formado por un brazo superior (1) y otro
inferior (2) que están unidos al chasis por los ejes (A) y (B), cerrando el
paralelogramo a un lado el propio chasis y, al otro, la propia mangueta (3) de la
rueda. La mangueta está articulada con los brazos mediante rótulas esféricas (C)
que permiten la orientación de la rueda. Los elementos elásticos y amortiguador
coaxiales (4) son de tipo soporte helicoidal e hidráulico telescópico; estos últimos,
están unidos por su parte inferior al brazo inferior y por su parte superior al
bastidor. Completan el sistema unos topes (D) que evitan que el brazo inferior
suba lo suficiente como para sobrepasar el límite elástico del resorte y un
estabilizador lateral (5) que va anclado al brazo inferior (2).
Figura 1. 13 Configuraciones de la suspensión de doble brazo transversal [5].
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
15
A la suspensión de paralelogramo deformable también se le conoce con distintos
nombres como: trapecio articulado; de triángulos superpuestos, cuando los brazos
de suspensión suelen ser triángulos; y, de brazos superpuestos, cuando se dispone
de un brazo trasversal y una bieleta anclada a este, formando ambos una
triangulación.
La evolución de estos sistemas de suspensión de paralelogramo deformable ha
llegado hasta las actuales suspensiones llamadas multibrazo (multilink, en inglés).
La diferencia fundamental que aportan estas nuevas suspensiones es que los
elementos guía de la suspensión multibrazo pueden tener anclajes elásticos
mediante manguitos de goma.
Gracias a esta variable, las multibrazo permiten modificar tanto los parámetros
fundamentales de la rueda, como la caída a la convergencia, de la forma más
apropiada de cara a la estabilidad en las distintas situaciones de uso del automóvil.
Las suspensiones multibrazo se pueden clasificar en dos grupos fundamentales:
Suspensiones multibrazo con elementos de guía trasversales u oblicuos con
funcionamiento similar a las de suspensiones de paralelogramo deformable.
Figura 1. 14 Suspensión convencional de paralelogramo deformable.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
16
Suspensiones multibrazo que además disponen de brazos de guía longitudinal con
un funcionamiento que recuerda a los sistemas de suspensión de ruedas tiradas
por brazos longitudinales.
La figura 1.15 muestra una suspensión de tipo multibrazo; en la parte izquierda de
dicha figura, se exhibe un sistema multibrazo delantero, mientras que, en la parte
derecha se expone un sistema multibrazo trasero del tipo paralelogramo
deformable con tres brazos. La suspensión delantera consta de un brazo superior
(1) que va unido a una mangueta (2) larga y curva mediante el buje de
articulación (A) y un brazo inferior trasversal (3) que va unido a la mangueta por
una rotula doble (B) y al bastidor por un casquillo (silentblock, en inglés) (C) que
aísla de las vibraciones. Cierra el paralelogramo deformable el propio bastidor
como en cualquier suspensión de este tipo.
Esta suspensión dispone además de un tercer brazo (4) que hace de tirante
longitudinal y que está unido al bastidor y mangueta de la misma forma que el
brazo inferior trasversal.
La suspensión trasera consta de un brazo superior (1) con forma de triángulo
como la delantera, pero dispone de dos brazos trasversales, superior (2) e inferior
(3) y un tirante longitudinal inferior (4). Las articulaciones son similares al
modelo de suspensión lateral.
Figura 1. 15 Suspensión Multibrazo delantera y trasera.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
17
Ambos sistemas poseen como elementos elásticos: resortes helicoidales y
amortiguadores telescópicos (5); también, barra estabilizadora.
En la figura 1.16 se muestra un sistema de suspensión de tren trasero multibrazo
de tipo paralelogramo deformable pero con cinco brazos horizontales y oblicuos.
Un brazo inferior (1) va unido a la cuna (2) de la suspensión mediante un bulón
(A) y unido por su extremo a la mangueta de la rueda (3) mediante un casquillo
(B). Este brazo inferior (1) hace de leva para el resorte helicoidal (4) que está
apoyado por un extremo a él y que por su extremo superior con una copela (bump
stop, en inglés) (C) a la propia cuna. El amortiguador de gas telescópico (5) va
unido al brazo inferior y al bastidor de forma independiente al resorte.
La mangueta de la rueda (3) está guiada por otros cuatro brazos que son el tirante
inferior (6), el tirante de paralelismo de la rueda (7), el tirante que controla la
caída de la rueda (8) y el tirante superior (9), que junto al brazo inferior (1) hacen
labores de suspensión. Por la parte inferior de la mangueta, junto al brazo inferior,
completa le suspensión de bieleta (10) que controla la barra estabilizadora (11).
Figura 1. 16 Suspensión Multibrazo de 5 Brazos.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
18
En la figura 1.17 se muestra un sistema multibrazo para un eje trasero que se
asemeje más al segundo tipo de multibrazo que recuerda el funcionamiento de
ruedas tiradas por brazos longitudinales.
Esta suspensión tiene un esquema que se compone fundamentalmente de ruedas
tiradas por un brazo oscilante oblicuo (1) en forma de Z, y de dos brazos
transversales (2) y (3) formando el conjunto de paralelogramo deformable. Los
brazos trasversales están unidos al brazo oscilante y a la cuna (4) de la suspensión
mediante casquillos (A) lo cual consigue una convergencia constante sobre toda la
carrera de la rueda y una escasa variación de la caída. El brazo oscilante (1)
contiene a su vez el portacubo de la rueda (5).
Es importante mencionar que este sistema elimina parte del hundimiento que se
produce en arranques y frenadas.
Figura 1. 17 Suspensión Multibrazo con brazos longitudinales.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
19
El elemento elástico lo compone el resorte helicoidal (6) que se combina de forma
separada con el amortiguador de gas telescópico (7). El resorte va unido mediante
dos copelas (B) al brazo transversal superior (2) y al bastidor. El amortiguador va
anclado al brazo oscilante (1) y al bastidor por su extremo superior con un tope
elástico (C). Completan el sistema una bieleta (8), que va unida al brazo superior
mediante una horquilla y un casquillo (A), que guía la barra estabilizadora (9).
El sistema de suspensión multibrazo además de ser puramente mecánico no está
excento de la posibilidad de implantar ayudas hidráulicas o electrónicas. Algunos
sistemas multibrazo se combinan con sistemas de amortiguación de
endurecimiento progresivo y sistemas hidráulicos auto-niveladores que, además
de mantener la altura constante, ejercen como elemento estabilizador. [1]
1.1.3 Elementos que conforman la suspensión
Los elementos requeridos en los sistemas de suspensión son: resortes,
amortiguadores, barras estabilizadoras, estabilizadores, elementos de soporte,
neumáticos, casquillos de caucho (bump-stop o bump rubber, en inglés) y bujes de
goma (rubber bushes, en inglés). A continuación, se describen los elementos que
conforman a la suspensión de un automóvil. [4]
1.1.3.1 Resortes.
Los resortes, también denominados muelles, son elementos de la suspensión que
tienen como función absorber los golpes cuando las llantas caen en suelos
irregulares o baches y soportan las vibraciones del eje. Los principales tipos de
resortes son: laminares o de hojas; helicoidales; torsionales, metálicos o
elastómeros; neumáticos (de aire); hidráulicos y oleoneumáticos [1]. A
continuación, se da una descripción de cada uno de ellos.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
20
Resortes de hoja.
Este tipo de resorte es un conjunto de láminas planas de acero, de longitud
graduada llamadas hojas, como lo indica su nombre (ver figura 1.18). La hoja más
larga es llamada hoja maestra y tiene un ojo en cada extremo, con un cojinete de
bronce o de hule para reducir la fricción y el desgaste. Las hojas resultantes son
numeradas 2, 3, 4, etc. Un perno llamado pitón de muelle pasa a través del centro
de las hojas manteniéndolas unidas e impidiendo que tengan movimiento
longitudinal. Los broches de rebote son colocados cerca de los extremos de algunas
hojas para impedir que se separen.
El resorte de una hoja (ver figura 1.19) reemplaza en algunos automóviles al
resorte de varias hojas. La hoja tiene la misma forma que en el resorte múltiple:
delgada en los extremos y gruesa en el centro. Su acción es la misma que la del
resorte de varias hojas.
El conjunto actúa como un brazo flexible y, generalmente, en los extremos está
sujeto a la estructura y en el centro al eje. Para dar flexibilidad y fuerza y para
reducir el aplanamiento, las hojas del resorte están fabricadas de una aleación de
acero, tratada al calor, llamada acero templado.
Figura 1. 18 Resortes de hoja [7].
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
21
Cuando la estructura recibe una carga, los dos tipos de resorte se aplanan haciendo
que la distancia entre los ejes aumente. Si los ejes estuvieran rígidamente
asegurados a la estructura, la distancia entre ellos no podría variar y, en
consecuencia, no habría muelleo. Para permitir que los resortes se alarguen y se
acorten, uno de los extremos se engancha a la estructura por medio de un par de
eslabones oscilantes conocidos con el nombre de columpio de resorte (ver figura
1.20); mientras que, el otro extremo está unido, por medio de un perno, a una
ménsula de la armadura llamada percha de resorte. Los columpios deben oscilar
libremente; el perno del muelle no está sujeto firmemente, porque si lo estuviera,
no habría muelleo y el muelle (resorte) se rompería. Existen dos tipos de percha de
muelle (resorte), el primero está situado en la parte superior de la estructura y el
segundo en la inferior. Usualmente los resortes delanteros están sostenidos por el
primer tipo y los traseros por el segundo. Los pernos en forma de U sostienen las
hojas del resorte contra el eje. Las tuercas que sostienen estas tuercas en U deben
estar firmemente apretadas, para impedir la rotura de las hojas del muelle cerca o
en el perno central. El eje está aplanado en el lugar donde descansa el resorte. Esta
parte se conoce como asiento del resorte. El objeto de los resortes es el siguiente:
sostener el peso del vehículo, la tensión hacia adelante y hacia atrás, el empuje
lateral y el esfuerzo de torsión del eje trasero [9].
Figura 1. 19 Resorte de una hoja [8].
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
22
Resortes Helicoidales.
En esencia, un resorte helicoidal (ver figura 1.21) montado entre la rueda y la
carrocería de un vehículo permite que la rueda se mueva hacia arriba y hacia abajo
con las ondulaciones del camino sin causar movimientos similares al conductor y a
los pasajeros en un vehículo. Para el buen aislamiento del cuerpo (y, por tanto, una
buena marcha), los resortes deben de ser tan suaves como sea posible consistente
con la proporción de carga uniforme de la llanta para asegurar un funcionamiento
de dirección satisfactorio. El salto relativamente blando necesario para los
requisitos del camino es normalmente insuficiente para resistir la inclinación de la
carrocería en las curvas, por lo que, es habitual para un sistema de suspensión
incluir también un rodamiento reforzado adicional en forma de barras
estabilizadoras. Además, hay la posibilidad de que se detenga el choque de la
suspensión en los límites de su recorrido, como resultado de las entradas
anormales del terreno (por ejemplo, como resultado de un bache notable). Esto, es
necesario para garantizar que el mínimo de la carga de choque se transmita a la
masa suspendida. Asimismo, se requiere el uso de resortes adicionales en forma de
tope de retención para desacelerar la suspensión a sus límites de recorrido. Por
último, hay también un requisito para prevenir la transmisión de vibraciones de
alta frecuencia (mayor a 20 Hertz) de la superficie del camino, a través de la
Figura 1. 20 Conjunto del sostén de columpio.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
23
suspensión a puntos de conexión en el chasis. Esto se logra mediante el uso de
topes de retención de goma entre los miembros de la suspensión [4].
Los resortes helicoidales se fabrican a partir de varillas que son en espiral en
forma de una hélice. Los parámetros de diseño de un resorte helicoidal son el
diámetro de la varilla, diámetro del resorte y el número de espiras por unidad de
longitud. Normalmente, los resortes fallan debido a la fatiga de alto ciclo en el que
la tensión aplicada se mantiene por debajo del nivel de resistencia a la
deformación y el ciclo de carga es de más de 105 ciclos/ s. En resortes hechos de
aceros, la composición química del acero y el tratamiento térmico dado a los
mismos son tales que la capacidad de amortiguación inherente del acero es alta. Es
raro que un resorte falle en el servicio debido a un diseño defectuoso [11].
Resortes Neumáticos.
Los resortes neumáticos, también conocidos como resortes de aire, combinan la
acción de un resorte con la de un amortiguador de impactos de una sola unidad
[12]; éstos, se emplean en diversos vehículos, tales como: autobuses, tracto-
camiones, camionetas, autos turismo y vehículos utilitarios deportivos (SUV, por
sus siglas en inglés) [13].
Figura 1. 21 Resorte helicoidal [10].
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
24
El primer resorte de este tipo fue desarrollado por la Cowey Motor Works de Gran
Bretaña, en 1909. Era un cilindro que se podía llenar de aire con una bomba de
bicicleta, a través de una válvula que se colocaba en la parte superior de dicho
cilindro. La mitad inferior de éste contenía un diafragma hecho de caucho y cuerda,
el cual, por estar rodeado de aire, actuaba como un neumático. Su problema
principal era que a menudo perdía el aire. Un ejemplo de este tipo de resortes
neumáticos antiguos se muestra en la figura 1.22 [12].
El único factor de sistemas neumáticos es que el sistema de control puede modular
la presión del muelle para proporcionar una deflexión estática constante, en otras
palabras, el vehículo es auto-nivelante. Tal característica es especialmente útil en
los vehículos para los que el peso bruto varía considerablemente, dependiendo de
la carga que se lleve o de lo que sea remolcado [13]. La figura 1.23 exhibe dos tipos
de resortes neumáticos.
Figura 1. 22 Resorte neumático antiguo.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
25
Barra de Torsión.
La barra de torsión es una barra de acero circular hecha del acero del resorte. Un
extremo de la barra está anclado al bastidor, y la carga es cortante puro debido a la
torsión. La figura 1.24 muestra un ejemplo de una barra de torsión. La barra de
torsión amortigua poco y, por lo tanto, debe ser usada en conjunto con
amortiguadores. Mientras la barra permanece en la región elástica, la resistencia a
la torsión volverá a la barra a su posición normal al descargarlos. La desventaja
principal de las barras de torsión es el espacio en forma axial requerido para la
instalación [13].
1.1.3.2 Amortiguadores
Los amortiguadores son el disipador principal de energía en una suspensión de un
vehículo. Ellos están obligados a amortiguar las vibraciones después de que una
rueda golpee un bache y a proporcionar un buen arreglo entre la baja aceleración
de la masa suspendida (relacionada al trayecto) y el control adecuado de la masa
Figura 1. 23 Resortes neumáticos modernos [14].
Figura 1. 24 Barra de torsión [15].
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
26
no suspendida para proporcionar una buena estabilidad en el camino. También se
conoce que los amortiguadores son dispositivos telescópicos que contienen fluido
hidráulico. Ellos están conectados entre las masas suspendida y no suspendida;
además, producen una fuerza que está relacionada con la velocidad relativa a
través de sus extremos [16].
Los amortiguadores fundamentalmente son de tipo telescópico de uno o dos tubos
y suelen ir montados en el interior de resortes helicoidales [1]. En los siguientes
párrafos se da una explicación de los principales tipos de amortiguadores.
Amortiguador de fricción Hartford.
Hartford equipó un Oldsmobile con el primer amortiguador de impactos para un
automóvil que consistía en un par de palancas abisagradas entre sí, con una
almohadilla de caucho colocada en el punto de pivote. El brazo de una palanca se
fijaba al bastidor, mientras que el brazo de la otra palanca se atornillaba al muelle
de hojas. Había un perno colocado en el punto de abisagramiento, que podía
apretarse o aflojarse para que aumentara o disminuyera la fricción,
proporcionándole así al vehículo una marcha más rígida o más suave.
Figura 1. 25 Amortiguador de fricción Hartford.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
27
Amortiguador Gabriel.
Este tipo de amortiguador estaba compuesto por una caja que contenía una cinta
enrollada en forma de espiral. La espiral se mantenía bajo tensión mediante un
muelle. La caja estaba fija al bastidor y el extremo exterior de la cinta se fijaba al
eje para limitar así los rebotes producidos por las sacudidas.
Amortiguador Hidráulico.
M. Houdaille, de Francia, fue quien diseñó el primer amortiguador de impactos
hidráulicos práctico en el año de 1908 [17].
Los amortiguadores hidráulicos son elementos que están sujetos a cambios
oscilatorios mayores o menores dependiendo del nivel del líquido que contengan,
tomando en cuenta la energía emitida por la masa o la velocidad a la que la carga
se mueva. Es decir, producen inmediatamente una cierta fuerza de amortiguación
al inicio de la carrera, cuyo nivel depende de si la energía se halla principalmente
en la masa o en la velocidad de la carga que se mueve.
Figura 1. 26 Amortiguador Gabriel.
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
28
La figura 1.27 muestra los componentes de un amortiguador hidráulico.
1.1.3.3 Barra de estabilidad
La barra estabilizadora lateral (ver figura 1.28) es un elemento anclado en la
carrocería que une ambas ruedas de un mismo tren y que tiene por misión
oponerse al par de vuelco que produce la acción de la fuerza centrífuga en los
virajes. Esta oposición la realiza mediante una rigidez torsional tal que los
movimientos del vehículo sean admisibles.
Figura 1. 27 Componentes de un amortiguador de impactos hidráulico.
Figura 1. 28 Barra de estabilidad [18].
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
29
1.1.3.4 Estabilizadores.
Los estabilizadores longitudinales restringen los desplazamientos longitudinales
relativos entre las ruedas y la carrocería y van anclados entre ambos mediante
uniones elásticas.
1.1.3.5 Elementos de soporte.
Los elementos de soporte están anclados mediante uniones elásticas a las ruedas y
a la carrocería y tienen como misión soportar los elementos elásticos y al
amortiguador.
1.1.3.6 Neumáticos.
El neumático representa el único punto de contacto entre el vehículo y la carretera.
Por lo tanto, toda la aceleración, el frenado, y fuerzas de dirección debe pasar a
través de esos cuatro pequeños parches (capas) de caucho. Además, el neumático
forma un componente del sistema de suspensión que proporciona rigidez y
amortiguación, impactando por lo tanto las características de marcha y manejo del
vehículo [13].
Los neumáticos (ver figura 1.29) ejercen un efecto de elemento elástico tanto ante
oscilaciones verticales como transversales [1].
Figura 1. 29 Neumático [19].
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
30
1.1.3.7 Casquillos de caucho
La importancia de este componente radica en que protege a la suspensión y el
vehículo (así como de los ocupantes) de un golpe violento, causada por una
obstrucción, como un bache, lo cual provoca que la suspensión se quede sin
desplazarse hacia arriba sin absorber plenamente la energía del golpe. Sin
casquillos de caucho (bump-stops, en inglés), un vehículo que caiga en un bache,
experimentará un choque muy duro cuando la suspensión se ponga en contacto
con la parte inferior del bastidor, que se transfiere a los ocupantes y a cada
conector y soldadura sobre el vehículo. Los vehículos de fábrica a menudo vienen
con cauchos lisos "protuberancias" para absorber la peor de las fuerzas, y aislar el
choque. En cambio, un vehículo de carrera del desierto, que debe rutinariamente
absorber las fuerzas de impacto mucho más altas, puede estar provisto de
casquillos de caucho neumáticos o hidroneumáticos [20]. Ejemplos de casquillos
de caucho se muestran en la figura 1.30.
1.1.3.8 Bujes de goma
Los bujes de goma (rubber bushes, en inglés) es un tipo de aislador de vibraciones
entre dos partes, amortiguando la energía transmitida a través del buje. Están
compuestos de goma o, más a menudo, de caucho sintético o poliuretano. Este tipo
de bujes separan las caras de dos objetos metálicos mientras que permite una
cierta cantidad de movimiento. Este movimiento permite que las partes de la
Figura 1. 30 Distintos modelos de casquillos de caucho [21].
Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.
31
suspensión se muevan libremente, por ejemplo, cuando se desplaza sobre un bache
grande, reduciendo al mínimo la transmisión de ruido y las pequeñas vibraciones
del chasis al vehículo. Este tipo de buje también puede ser descrito como un
montaje flexible o montaje anti-vibración [22]. Ejemplos de bujes de goma se
muestra en la figura 1.31.
Figura 1. 31 Varios tipos de bujes de goma [23].
Capítulo II. Análisis modal de la
respuesta transitoria de la placa de
fijación.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
33
2.1 V ibración.
Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama
vibración u oscilación. La oscilación de un péndulo y el movimiento de una cuerda
rasgueada son ejemplos típicos de vibración. La teoría de la vibración se ocupa del
estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con
ellos [24].
2.1.1 Vibraciones mecánicas.
El tema de las vibraciones mecánicas se ocupa de la respuesta oscilante de los
cuerpos elásticos a las perturbaciones, tales como una fuerza externa o de otro tipo
de perturbación del sistema a partir de su posición de equilibrio. Todos los cuerpos
que poseen masa y tienen rigidez finita son capaces de vibrar. Por tanto, el objetivo
de la ingeniería es el reducir o eliminar las vibraciones. Algunos ejemplos de
vibraciones son:
Vibraciones en automóviles, lo que puede llevar a la molestia de pasajeros.
Vibraciones en diversos tipos de construcciones durante los terremotos.
Vibraciones en puentes debido a fuertes vientos.
Vibraciones en herramientas de corte durante operaciones de maquinado
[25].
2.1.1.1 Elementos que componen a un sistema vibratorio.
Los elementos que constituyen a un sistema vibratorio son: la masa, el resorte, el
amortiguador y la excitación; estos, se muestran en la figura 2.1.
Una manera de explicar el sistema vibratorio mostrado en la figura 2.1 es
considerando lo siguiente: la energía puede ser almacenada en la masa y el resorte,
y disipada en el amortiguador en forma de calor. Dicha energía, entra al sistema al
aplicar una fuerza de excitación y, ésta, es aplicada a la masa m del sistema.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
34
Masa.
La masa m se considera como un cuerpo rígido (ver figura 2.1). Ésta ejecuta las
vibraciones y puede ganar o perder energía cinética de acuerdo al cambio de
velocidad del cuerpo. De la ley de movimiento de Newton, el producto de la masa y
su aceleración es igual a la fuerza aplicada a la masa, y la aceleración ocurre en la
dirección en la cual la fuerza actúa. En este punto, es importante recordar al
trabajo, éste se define como la fuerza por el desplazamiento en la dirección de la
fuerza y, éste mismo, es transformado en la energía cinética de la masa. La energía
cinética incrementa si el trabajo es positivo y disminuye si el trabajo es negativo.
Resorte.
El resorte k posee y se supone que es de masa despreciable (figura 2.1). La fuerza
de rigidez existe si el resorte es deformado, por ejemplo la extensión o compresión
de un resorte helicoidal. Por lo tanto, la fuerza de rigidez existe sólo si hay
desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte. El trabajo realizado en
la deformación de un resorte es transformado en energía potencial, esto es, la
energía de deformación almacenada en el resorte. Un resorte lineal es aquel que
Figura 2. 1 Elementos de sistemas vibratorios.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
35
obedece la ley de Hooke, esto es, la fuerza de rigidez es proporcional a la
deformación del resorte. La constante de proporcionalidad, medida en la fuerza
por unidad de deformación, es llamada rigidez o constante del resorte k .
Amortiguador.
El amortiguador c no tiene ni masa ni elasticidad. La fuerza de amortiguamiento
existe sólo si hay movimiento relativo entre los dos extremos del amortiguador. El
trabajo o la energía de entrada a un amortiguador es convertida en calor. Por lo
tanto, el elemento de amortiguamiento es no conservativo. El amortiguamiento
viscoso, en el cual la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad, es
llamado amortiguamiento lineal. El coeficiente de amortiguamiento viscoso c es
medido en fuerza por unidad de velocidad.
Excitación.
La energía entra al sistema por la aplicación de una excitación. Una fuerza de
excitación puede ser aplicada a la masa y/o un movimiento de excitación aplicado
al resorte y al amortiguador. Una fuerza de excitación ( )F t aplicada a la masa m se
ilustra en la figura 2.1. La excitación varía de acuerdo con una función prescrita del
tiempo. Por lo tanto, la excitación está siempre dada en un determinado tiempo.
Alternativamente, si el sistema es suspendido de un soporte, la excitación puede
ser aplicada al sistema a través de impartir un movimiento prescrito para el
soporte. En la maquinaría, la excitación aumenta a menudo por el desbalance de
componentes en movimiento. Las vibraciones de sistemas dinámicos bajo la
influencia de una excitación son llamadas vibraciones forzadas. Sin embargo, las
vibraciones forzadas, son a menudo definidas como aquellas que se producen y se
mantienen por una excitación periódica [26].
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
36
2.1.1.2 Tipos de Vibraciones Mecánicas.
Las vibraciones mecánicas se pueden clasificar en tres categorías generales. Estas
son: vibración libre, vibración forzada, y las vibraciones auto-excitadas (o
trepidación). En los siguientes párrafos, los tres tipos de vibraciones se describen
con más detalle [25].
Antes de definir al primer tipo de vibración mecánica, se explica en forma breve al
sistema más elemental en la teoría de vibraciones mecánicas.
Sistema de 1 grado de libertad.
El sistema vibratorio más simple posible se muestra en la figura 2.2; que consiste
en una masa m unida por medio de un resorte k a un soporte inmóvil. La masa está
limitada a movimiento de traslación en la dirección del eje X , de manera que se
describe plenamente su cambio de posición a partir de una referencia inicial por el
valor de una cantidad única x . Por esta razón se le llama sistema de un solo grado
de libertad. Si la masa m se desplazó desde su posición de equilibrio y entonces se
dejó vibrar libremente de remotas fuerzas externas, se dice que tiene vibración
libre. La vibración también puede ser forzada, es decir, una fuerza continua actúa
sobre la masa.
Vibración Libre de un grado de libertad.
Tomando en cuenta a la figura 2.2, en la cual, se presenta un sistema en el que se
presenta vibración libre no amortiguada, la ecuación de Newton se escribe para la
Figura 2. 2 Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
37
masa m . La fuerza mx ejercida por la masa sobre el resorte es igual y opuesta a la
fuerza kx aplicada por el resorte sobre la masa:
(2.1)
Donde 0x define la posición de equilibrio de la masa. La solución de la ec. 2.1 es:
(2.2)
Donde el término k
mes la frecuencia natural angular definida por:
rad/s. (2.3)
La oscilación sinusoidal de la masa se repite continuamente, y el intervalo de
tiempo para completar un ciclo es el periodo:
(2.4)
El recíproco del periodo es la frecuencia natural:
(2.5)
Donde W mg es el peso del cuerpo rígido que forma la masa del sistema
mostrado en la figura 2.2.
Condiciones iniciales.
En la ec. 2.2, B es el valor de x en el tiempo 0t , y el valor de A es igual a n
x
en el
tiempo 0t . Por lo tanto, las condiciones de desplazamiento y la velocidad que
existen en el tiempo cero determinan la oscilación subsecuente completamente.
Ángulo de fase.
La ec. 2.2 para el desplazamiento en movimiento oscilatorio puede ser escrita,
introduciendo la relación de frecuencia de la ec. 2.3,
0mx kx
s cosk k
x A en t B tm m
n
k
m
2
n
1 1 1
2 2 2
nn
k kgf
m W
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
38
(2.6)
Donde 2 2 1/2( )C A B y 1tanB
A
. El ángulo es llamado el ángulo de fase.
Deflexión estática.
La deflexión estática de un simple sistema masa-resorte es la deflexión del resorte
k como resultado de la fuerza de gravedad de la masa, st
mg
k . Por ejemplo, el
sistema de la figura 2.2 debe ser orientado con la masa m verticalmente por
encima del resorte k . Sustituyendo esta relación en la ec. 2.5, tenemos que:
(2.7)
Esta relación (ec. 2.7) aplica sólo cuando el sistema considerado es tanto lineal y
elástico. Por ejemplo, los resortes de goma tienden a ser no lineales o a exhibir una
rigidez dinámica que difiere de la rigidez estática; por lo que, la ec. 2.7 no es
aplicable [27].
Vibración Forzada.
En este tipo de vibración se considera el caso cuando además de la fuerza de
gravedad y de la fuerza en el resorte (figura 2.3), hay una fuerza perturbadora
periódica Psen t que actúa sobre la carga W .
El periodo de esta fuerza es 1
2
y su frecuencia es 1
2f
. De acuerdo a esto,
se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
(2.8)
1
2n
st
gf
cos ( )n n nx A sen t B t C sen t
( )W
x W W kx P sen tg
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
39
O, mediante la siguiente ecuación:
(2.9) Resulta lo siguiente: (2.10) Una solución particular de esta ecuación se obtiene al asumir que x es
proporcional a sen t , es decir, tomando:
(2.11)
Donde A es una constante, la magnitud de los cuales debe ser escogida con el fin de
satisfacer a la ec. 2.10. Sustituyendo a la ec. 2.11 en aquella ecuación se tiene que:
Así, la solución particular requerida es:
Ahora bien, si recordamos que esta ecuación:
(2.12) Es la solución general de esta ecuación para vibración libre:
Entonces, si adicionamos 2 2
q sen tx
p
en la ec. 2.12, resulta que:
(2.13)
Pgq
W
2x p x qsen t
x Asen t
2 2
qA
p
2 2
q sen tx
p
1 2cosx C pt C senpt
2 0x p x
1 2 2 2cos
q sen tx C pt C senpt
p
Figura 2. 3 Sistema masa-resorte ante una fuerza perturbadora periódica sobre W .
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
40
Esta expresión contiene dos constantes de integración y representa la solución
general de la ec. 2.10. Asimismo, se observa que la ec. 2.13 consiste de dos partes,
los primeros dos términos representan a la vibración libre y el tercer término, que
depende de la fuerza perturbadora, representa al sistema de vibración forzada. Se
ve que esta vibración posterior tiene el mismo período 1
2
que la que tiene la
fuerza perturbadora. Su amplitud A , es igual al valor numérico de la expresión:
(2.14)
El factor P
k es la desviación que la fuerza perturbadora máxima P produciría si
actúa estáticamente y el factor 2
2
1
(1 )p
se encarga de la acción dinámica de esta
fuerza. El valor absoluto de este factor se denomina por lo general el factor de
magnificación. Vemos que sólo depende de la relación p
que se obtiene
dividiendo la frecuencia de la fuerza perturbadora por la frecuencia de la vibración
libre del sistema. En la figura 2.4, los valores del factor de magnificación se
representan frente a la relación p
.
22 2
2
1
1
q P
p k
p
Figura 2. 4
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
41
Se ve que para los pequeños valores de la relación p
, es decir, para el caso cuando
la frecuencia de la fuerza perturbadora es pequeña en comparación con la
frecuencia de la vibración libre, el factor de magnificación es aproximadamente la
unidad, y las deflexiones son aproximadamente las mismas como en el caso de una
acción estática de la fuerza P .
Cuando la relación p
se aproxima a la unidad, el factor de magnificación y la
amplitud de vibración forzada rápidamente aumentan y se vuelven infinitas para
p , es decir, para el caso cuando la frecuencia de la fuerza perturbadora
coincide exactamente con la frecuencia de la vibración libre del sistema. Esta es la
condición de resonancia. El valor infinito obtenido para la amplitud de las
vibraciones forzadas indica que si la fuerza pulsante actúa sobre el sistema de
vibración, siempre en un momento adecuado y en una dirección apropiada, la
amplitud de la vibración se incrementa indefinidamente siempre que no exista
amortiguamiento. Es importante aclarar que en los problemas prácticos siempre se
tiene amortiguamiento.
Cuando la frecuencia de la fuerza perturbadora aumenta más allá de la frecuencia
de la vibración libre, el factor de magnificación se vuelve de nuevo finito. Su valor
absoluto disminuye con el aumento de la relación p
y, se aproxima a cero, cuando
esta relación se vuelve muy grande. Esto significa que cuando una fuerza pulsante
de alta frecuencia (p
es grande) actúa sobre el cuerpo vibratorio, produce
vibraciones de amplitud muy pequeña y, en muchos casos, el cuerpo puede ser
considerado como que queda inmóvil en el espacio.
Considerando el signo de la expresión 2
2
1
(1 )p
se ve que para el caso p esta
expresión es positiva y para p esta se vuelve negativa. Esto indica que cuando
la frecuencia de la fuerza perturbadora es menor que la de la vibración natural del
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
42
sistema, las vibraciones forzadas y la fuerza perturbadora están siempre en la
misma fase, es decir, la carga vibratoria (figura 2.3) alcanza su posición más baja
en el mismo momento que la fuerza perturbadora asume su valor máximo en una
dirección hacia abajo. Cuando p la diferencia en fase entre la vibración forzada
y la fuerza perturbadora se vuelve igual a . Esto significa que en el momento en
que la fuerza es máxima en una dirección hacia abajo la carga vibratoria alcanza su
posición superior. Este fenómeno puede ser ilustrado por el siguiente experimento
simple: en el caso de un péndulo simple AB (figura 2.5), las vibraciones forzadas
pueden ser producidas por dar un movimiento oscilante en la dirección horizontal
al punto A . Si este movimiento oscilante tiene una frecuencia más baja que la del
péndulo, las posiciones extremas del péndulo durante tales vibraciones serán
como se muestra en la figura 2.5-a, los movimientos de los puntos A y B estarán en
la misma fase. Si el movimiento oscilatorio del punto A tiene una frecuencia más
alta que la del péndulo, las posiciones extremas del péndulo durante la vibración
serán como se muestra en la figura 2.5-b. La diferencia de fase de los movimientos
de los puntos A y B en este caso es igual a .
De acuerdo a lo anterior, la fuerza perturbadora fue tomada proporcional a sen t .
Las mismas conclusiones se pueden obtener si cos t , en lugar de sen t , sea
tomado en la expresión de la fuerza perturbadora.
Anteriormente, sólo el tercer término de la solución general (ec. 2.13) se ha
considerado. En la aplicación de una fuerza perturbadora, sin embargo, no sólo se
producen vibraciones forzadas sino también vibraciones libres dados por los
Figura 2. 5
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
43
primeros dos términos en la ec. 2.13. Después de un tiempo las últimas vibraciones
serán amortiguadas debido a los diferentes tipos de resistencia, pero al principio
del movimiento ellas pueden ser de importancia práctica. La amplitud de la
vibración libre se puede encontrar a partir de la solución general (ec. 2.13)
teniendo en cuenta las condiciones iniciales. Supongamos que en el instante inicial
( 0)t el desplazamiento y la velocidad del cuerpo vibrante son iguales a cero. Las
constantes arbitrarias de la solución (ec. 2.13) deben ser determinadas de una
manera tal que para ( 0)t
y
Estas condiciones serán satisfechas mediante la adopción de:
Sustituyendo en la ec. 2.13, se obtiene:
(2.15)
Así, el movimiento se compone de dos partes, la vibración libre proporcional a
senpt y la vibración forzada proporcional a sen t .
A continuación, se considera el caso cuando la frecuencia de la fuerza perturbadora
es muy cercana a la frecuencia de las vibraciones libres del sistema, es decir,
está cerca de p . Utilizando la notación:
Donde es una pequeña cantidad, y dejando a un lado un pequeño término con el
factor 2
p
, se representa a la ec. 2.15 de la siguiente forma:
(2.16)
1 2 2 20,
q
pC C
p
2 2
qx sen t senpt
p p
2p
2 2 2 2
2 2
2cos
2 2
2cos cos
2 2
p t p tq qx sen t senpt sen
p p
p tqsen t qsen tt
p
0x 0x
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
44
Desde que es una pequeña cantidad, la función sen t varía lentamente y su
periodo, igual a 2
, es largo. En tal caso, la ec. 2.16 puede ser considerada como la
representación de las vibraciones de un periodo 2
y de una amplitud variable
igual a 2
qsen t
. Este tipo de vibración es llamada pulsación y es mostrada en la
figura 2.6. El periodo de una pulsación, igual a 2
incrementa conforme se
acerca a p , es decir, cuando se acerca a la condición de resonancia. Para limitar la
condición p se puede poner en la ec. 2.16 t , en lugar de sen t y resulta que:
(2.17)
La amplitud de la vibración en la ec. 2.17 se incrementa indefinidamente con el
tiempo como se muestra en la figura 2.7 [28].
cos2
qtx t
Figura 2. 6
Figura 2. 7
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
45
Hasta este momento se ha definido a la vibración forzada de manera general; sin
embargo, para poder comprender de forma más amplia a este tipo de vibración, es
conveniente tomar en cuenta los distintos tipos de excitación; por tal motivo, se da
una explicación de esto en los siguientes párrafos.
Tipos de excitación forzada.
Armónica.
Si se considera el movimiento de un sistema de 1 grado de libertad amortiguado
sujeto a una fuerza que varía armónicamente:
(2.18) Donde es la frecuencia de excitación o la frecuencia forzada. La respuesta en
estado-estacionario ( )ssx t del sistema se asume como sinusoidal con la misma
frecuencia, es decir:
(2.19)
Para encontrar la amplitud y el ángulo de fase, se sustituye la ec. 2.19 en la ec. 2.18:
(2.20)
Donde r es la relación de frecuencia n
r
, y n y son la frecuencia natural no
amortiguada y la relación de amortiguamiento o coeficiente de amortiguamiento
introducido en la siguiente ecuación:
De acuerdo a la figura 2.8 y a la ec. 2.20, la amplitud de la respuesta del estado
estacionario depende de la frecuencia de excitación y del coeficiente de
amortiguamiento. Para un amortiguamiento ligero, se dice que 0.1 , la amplitud
se aproxima a un valor máximo mientras que la excitación está cerca de la
0( ) ( ) ( )mx t cx t kx t F sen t
0( )ssx t X sen t
0
02
2 2 2
1
1 4
FX
kr r
1
2
2tan
1
r
r
2
1,2 1 1n n i
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
46
frecuencia natural no amortiguada n . Por otra parte, cuanto menor sea el
coeficiente de amortiguamiento, mayor será la cresta (ver figura 2.8).
La respuesta del estado-estacionario ( )ssx t es una solución particular. La solución
total de la ec. 2.18 es la suma de una solución particular y la solución de la ecuación
homogénea correspondiente. Para el caso sub-amortiguado 0 1 esto se
vuelve:
(2.21)
Donde A y B son determinados por las condiciones iniciales. El primer término en
la ec. 2.21 es la respuesta transitoria porque se aproxima a cero para valores
grandes de t
La respuesta para sistemas con múltiples grados de libertad sujeta a excitaciones
armónicas puede ser determinada en forma similar. Para este fin, considerar:
(2.22)
0( ) cos ( )nt
d dx t e Asen t B t X sen t
0Mx t Cx t Kx t F sen t
Figura 2. 8 Amplitud de la respuesta del estado-estacionario contra la relación de
frecuencias.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
47
Mediante un análisis complejo, la excitación es la parte imaginaria de la forma
exponencial 0
i tF e , 1i . Por lo tanto, la respuesta del estado estacionario
puede ser escrita como:
(2.23)
Donde el vector complejo 0X por la ec. 2.22 se determina como:
(2.24)
Las amplitudes y los ángulos de fase de los parámetros de desplazamiento pueden
ser evaluados desde las ecs. 2.23 y 2.24. De acuerdo a la figura 2.8, la amplitud
puede ser graficada contra la frecuencia de excitación. La diferencia es que las
curvas de frecuencia de amplitud tienen múltiples picos, porque hay n frecuencias
naturales no amortiguadas de la ecuación característica:
Periódica.
La respuesta a excitaciones periódicas arbitrarias se puede determinar mediante la
ampliación del enfoque dado en la ecuación 2.19. En la figura 2.9, una función
forzada periódica general F t se repite en un periodo de tiempo fijo T (el
período), de tal manera que F t T F t para todos los valores de t . Una
función sinusoidal es una función periódica, pero lo contrario puede no ser cierto.
Una función de fuerza periódica se puede expandir en una serie infinita de
funciones sinusoidales, llamada la serie de Fourier:
(2.25)
0( ) Im i tx t X e
1
2
0 0X M i C K F
2det 0
0
1
cos2
n n
n
aF t a n t b senn t
Figura 2. 9 Función forzada periódica.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
48
Donde 2
T
, y los coeficientes de Fourier na y nb son calculados por las
formulas:
(2.26) (2.27) Siguiendo el principio de superposición, la respuesta a una excitación periódica es
la suma de las contribuciones de todos los componentes armónicos individuales.
Por ejemplo, una solución particular de la ecuación:
a una fuerza periódica se puede escribir como:
(2.28)
Se puede demostrar que
00
2
aX
k , y n nX sen n t es la solución de:
(2.29) Que puede obtenerse por las ecs. 2.19 y 2.20. La respuesta total del sistema es la
suma de la solución particular y la solución homogénea para las condiciones
iniciales.
El análisis armónico dado anteriormente también es aplicable a sistemas con
múltiples grados de libertad. Cabe señalar que, bajo excitaciones periódicas, la
resonancia se produce si una de las frecuencias naturales es idéntica a n para
cualquier número entero n [29].
Amortiguamiento en sistemas reales.
Los sistemas actuales siempre tienen algún tipo de amortiguamiento, pero rara vez
es amortiguamiento viscoso. Entre las formas más comunes de amortiguamiento
son amortiguamiento estructural y amortiguamiento de Coulomb.
Amortiguamiento estructural es una característica del material, cuyo valor puede
0
2cos , 0,1,2...
T
na F t n tdt nT
0
2, 1,2,3...
T
nb F t sen n tdt nT
mx t cx t kx t f t
0
1
p n n
n
x t X X sen n t
cosn nmx t cx t kx t a n t b sen n t
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
49
depender en gran medida de la temperatura y de la frecuencia. El amortiguamiento
de Coulomb surge del movimiento relativo entre las superficies secas en contacto;
este fenómeno es bastante difícil de cuantificar ya que depende de muchos
parámetros.
Un coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente puede ser definido para el
caso de una excitación armónica al usar la siguiente ecuación para energía disipada
por ciclo: (2.30)
Para amortiguamiento estructural se ha observado que la energía disipada por
ciclo tiene la forma: (2.31)
Esta ecuación, se considera sobre una gama limitada de frecuencia y de
temperatura; donde X es la amplitud del desplazamiento y a es una constante de
proporcionalidad. Así pues, el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente
se encuentra de las ecs. 2.30 y 2.31.
(2.32) Por consiguiente:
(2.33) El cálculo de los sistemas con amortiguamiento estructural sometido a una
excitación armónica se consigue más convenientemente con el uso de la notación
compleja. Un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento estructural y
excitado por la fuerza cosF t se muestra en la figura 2.10. Éste, tiene la ecuación:
(2.34) En notación compleja, esto se vuelve:
(2.35)
2E c X
2E aX
2 2
eqaX c X
eq
ac
0 cosa
mx x kx F t
0 j tamz z kz Fe
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
50
Donde Rex z , es la parte real de la cantidad compleja z . Se buscan soluciones
de la forma: (2.36)
Lo cual, cuando se sustituye en 2.35, da:
(2.37) La ecuación 2.37 está convenientemente escrita como:
(2.38) Donde se conoce como el factor estructural de amortiguamiento:
(2.39) Además, se puede definir a la rigidez compleja como:
(2.40) El término en las ecuaciones 2.39 y 2.40 es a menudo referido como el factor de
pérdida. Por tanto, la ecuación 2.38 da:
(2.41) Qué se puede poner en la forma:
(2.42) Con:
(2.43)
j tz Ze
2 ak m Z j Z F
2 1m Z k j Z F
a
k
* 1k k j
2
FZ
k m j k
jZ Z e
2
2 2 2
FZ
k m k
Figura 2. 10 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento estructural.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
51
Y, donde:
(2.44)
Dado que:
(2.45)
Uno tiene:
(2.46) Con:
(2.47)
Las ecuaciones 2.46 y 2.47 son convenientemente escritas en la forma:
(2.48) (2.49) La determinación de es sencilla, porque:
(2.50) Donde f es el ancho de banda de media-potencia. Esto proporciona entonces un
medio de medición de amortiguamiento durante la vibración de estado-
estacionario.
Es importante tener en cuenta que el uso de la notación compleja resulta en una
reducción importante en el álgebra requerida para resolver la ecuación de
movimiento de un oscilador armónico forzado [30].
2
2 2 2
ksen
k m k
2
22 2 2
cosk m
k m k
Re j tx Ze
22 2 2
cosF
x t
k m k
2tan 0
k
k m
2
2
2
cos
1
F
kx t
2tan
1
f
f
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
52
Vibración auto-excitada.
La vibración auto-excitada, o trepidación (temblor), se produce cuando una fuerza
de entrada constante es modulada en vibración cerca de la frecuencia natural del
sistema. Un ejemplo intuitivo es el silbido. Aquí, el soplado de aire constante a
través de sus labios produce sonido (vibraciones) a una frecuencia que depende de
la tensión en los labios (que regula la frecuencia natural). El diafragma no se
mueve a una alta frecuencia del sonido, sino más bien el empuje continuo de aire
se convierte en una vibración de la "estructura". Del mismo modo, la fuerza
constante del arco a través de una cuerda de violín provoca que el sonido esté
cerca de la frecuencia natural de la cuerda.
Este comportamiento diferencia a las vibraciones auto-excitadas de ambas
vibraciones, libres y forzadas. A diferencia de la vibración libre, una fuerza externa
a largo plazo está presente. Contrariamente a la vibración forzada, la excitación en
una vibración auto-excitada es constante y no periódica; además, la vibración se
produce cerca de la frecuencia natural. Un ejemplo de respuesta en el dominio-
tiempo para la vibración auto-excitado se proporciona en la figura 2.11.
El término trepidación (temblor) se basa en la presencia común de vibraciones
auto-excitadas en aplicaciones aero-elásticas. Esto ocurre debido al flujo de aire
(fluido) sobre las alas durante el vuelo. Este flujo constante es modulado en
vibración cerca de la frecuencia natural de las alas. Esta vibración puede ser menor
(una vibración de magnitud pequeña manifiesta como en vuelo "buzz” (zumbido))
o puede ser catastrófico en casos extremos. El fenómeno no se limita a las
estructuras de aeronaves [25].
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
53
2.1.1.3 Tipos de movimiento.
Movimiento Armónico.
Este tipo de movimiento se considera dentro de la teoría básica de vibración libre;
sin embargo, antes de definir a este tipo de movimiento, se recordará que cuando
el movimiento se repite a intervalos de tiempo , se le conoce como periódico;
mientras que su reciproco, es decir, 1/f , es la frecuencia del sistema. Ahora
bien, si se designa el movimiento por ( )x t , todo movimiento periódico debe
satisfacer la relación ( ) ( )x t x t .
El movimiento periódico más simple es el movimiento armónico. Puede ilustrarse
por medio de una masa suspendida de un resorte liviano, como se muestra en la
figura 2.12. Si la masa se desplaza de su posición de reposo y se libera, oscilará
hacia arriba y hacia abajo. Colocando una fuente de luz en la masa, su movimiento
puede ser registrado en una tira de película sensible a la luz que, es movida a
velocidad constante.
Figura 2. 11 La magnitud de la vibración auto-excitada puede aumentar con el tiempo
hasta que es limitado de alguna manera (por lo general por un efecto no lineal). La
frecuencia de oscilación está cerca de la frecuencia natural del sistema.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
54
El movimiento registrado en la tira de película puede representarse por medio de
la ecuación:
(2.51)
En donde A es la amplitud de la oscilación, medida desde la posición en equilibrio
de la masa y es el período. El movimiento se repite cuando t
Generalmente, se representa el movimiento armónico como la proyección sobre
una línea recta, de un punto que se mueve en una circunferencia a velocidad
constante, como se muestra en la figura 2.13. Si es la velocidad angular de la
línea op , el desplazamiento x puede escribirse como:
(2.51)
La velocidad angular , se expresa generalmente en radianes por segundo y se le
conoce también como frecuencia circular. Considerando que el movimiento se
repite cada 2 radianes, se tiene que:
x Asen t
2t
x Asen
Figura 2. 12 Registro de un movimiento armónico.
Figura 2. 13 Movimiento armónico como proyección de un punto que se mueve en
una circunferencia.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
55
En donde y f , son el periodo y la frecuencia del movimiento armónico,
usualmente medidos en segundos y ciclos por segundo.
La velocidad y aceleración del movimiento armónico puede simplemente
determinarse por diferenciación de la ec. 2.51. Así pues, tenemos que:
(2.52) (2.53) De esta forma, la velocidad y la aceleración son también armónicas con la misma
frecuencia de oscilación pero aventajan al desplazamiento en 2
y radianes. La
figura 2.14 muestra la variación en tiempo y la relación de fase entre
desplazamiento, velocidad y aceleración.
Si consideramos que en la ec. 2.53 se encuentra el valor del desplazamiento (ec.
2.51), podemos representar a la ec. 2.53 de esta forma:
(2.54)
22w f
cos2
x A t A sen t
2 2x A sen t A sen t
2x x
Figura 2. 14 En el movimiento armónico la velocidad y la aceleración preceden al
desplazamiento en 2
y .
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
56
De modo que en el movimiento armónico la aceleración es proporcional al
desplazamiento y está dirigida hacia el origen. Como la segunda ley de Newton
establece que la aceleración es proporcional a la fuerza, un movimiento armónico
resulta para sistemas con resortes lineales y fuerzas que varían como kx
Forma exponencial en el movimiento armónico.
Las funciones trigonométricas seno y coseno están relacionadas con la función
exponencial por la ecuación de Euler.
(2.55) Un vector de amplitud A , que rota con velocidad angular constante , puede
representarse como una cantidad compleja z en el diagrama de Argand, como se
muestra en la figura 2.15.
(2.56) La cantidad z se conoce como el sinusoide complejo, con x y y como las
componentes real e imaginaria. La cantidad iwtz Ae también satisface Ia ec. 2.54
para movimiento armónico.
La figura 2.16 muestra a z y a su conjugada * iwtz Ae que está rotando en el
sentido negativo con velocidad angular . Es evidente, a partir del diagrama que
la componente real x está dada por la expresión:
(2.57) En donde Re representa la parte real de z . Vemos que la forma exponencial del
movimiento armónico ofrece a menudo ventajas matemáticas.
Algunas de las reglas de operaciones exponenciales entre 1
1 1
iz Ae
y 2
2 2
iz A e
son
[31]:
Multiplicación:
cosie isen
cos
iwtz Ae
A t iAsen t
x iy
1
* cos2
iwtx z z A t ReAe
1 2( )
1 2 1 2
iz z A A e
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
57
División:
(2.58)
Potencias:
1 2( )1 1
2 2
iz Ae
z A
n n inz A e
1/ 1/ /n n i nz A e
Figura 2. 15
Figura 2. 16
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
58
Movimiento Periódico.
Movimiento periódico es todo movimiento que se repite periódicamente. Esto
incluye el movimiento armónico, por pulsos, etc. El movimiento periódico es
cualquier movimiento que se repite en períodos de tiempo iguales. Por ejemplo, un
acoplamiento del motor desalineado que está suelto podría tener un golpe una vez
por revolución del eje. Aunque este movimiento no es armónico, es periódico. La
señal del tiempo tendrá un pulso cada x segundos, como se indica en la figura 2.17.
Movimiento Aleatorio.
El movimiento aleatorio se produce de un modo irregular y contiene todas las
frecuencias en una banda de frecuencia particular. Este tipo de movimiento no es
repetible. Ejemplos de este tipo de movimiento son: palomitas al momento de ser
elaboradas ya que empiezan a salir disparadas, la lluvia golpeando el techo, y los
bolos cuando son golpeados. Esta clase de movimiento también se conoce como
ruido. Cuando el ruido aleatorio es generado por una máquina, una grabación del
ruido reproducido diez veces más rápido de lo que se registró puede sonar como
un aparato de televisión después de que la estación ha salido del aire. Una señal de
tiempo de ruido aleatorio contendrá todas las frecuencias en un rango
Figura 2. 17 Movimiento periódico.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
59
determinado. Los espectros de frecuencia de dichas señales de tiempo estarán
arriba de la línea de base, como se indica en la figura 2.18. A menudo, este tipo de
movimiento en una máquina es causado por una soltura o libertad severa [32].
2.2 Análisis de ¼ parte de la suspensión Macpherson ante la
respuesta del terreno.
Para realizar el análisis de la suspensión Macpherson se considera el modelo de
una cuarta parte del automóvil (figura 2.19), el cual, servirá para analizar la
respuesta dinámica del sistema, es decir, el comportamiento de un automóvil con
este tipo de suspensión en movimiento en condiciones: todo terreno.
Figura 2. 18 Movimiento aleatorio.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
60
Las ecuaciones diferenciales de movimiento para el modelo mostrado en la figura
2.19 son las siguientes:
(2.59)
(2.60)
Donde:
sm = masa suspendida.
um = masa no suspendida.
sc = coeficiente de amortiguamiento viscoso.
sk = rigidez del resorte para masa suspendida.
uk = rigidez de la llanta.
sx = desplazamiento de la masa suspendida.
ux = desplazamiento de la masa no suspendida.
y = desplazamiento absoluto del terreno.
En este caso, la masa suspendida ( sm ) representa ¼ parte del vehículo, mientras
que, la masa no suspendida ( um ) representa una rueda del vehículo.
( ) ( ) 0s s s s u s s um x c x x k x x
( ) ( )u u s u s u s u s s um x c x x k k x k x k y
Figura 2. 19 Modelo de ¼ parte del automóvil.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
61
Cabe aclarar que el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso de la llanta
( uc ), comparado con el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso del
amortiguador ( sc ), es muy pequeño; por lo tanto, se ignora a uc del modelo
simplificado mostrado en la figura 2.19.
Considerando ese mismo modelo, tenemos que la energía cinética ( K ) está dada
por:
(2.61)
Mientras que la energía potencial (V ), se expresa así:
(2.62)
Asimismo, la función de disipación ( D ) se representa de la siguiente forma:
(2.63)
Empleando el método de Lagrange:
(2.64)
(2.65)
Se obtienen las siguientes ecuaciones de movimiento:
(2.66)
(2.67)
2 21 1
2 2s s s sK m x m x
2 21 1( ) ( )
2 2s s u u uV k x x k x y
21( )
2s s uD c x x
0s s s s
d K K D V
dt x x x x
0u u u u
d K K D V
dt x x x x
s s s s u s s um x k x x c x x
u u s s u s s u u um x k x x c x x k x y
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
62
De este modo, las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un
sistema de suspensión pasiva de dos grados de libertad pueden ser escritas de
forma matricial de la siguiente manera:
(2.68)
De acuerdo a [33], [34] y [35], los parámetros óptimos para una suspensión tipo Macpherson son estos:
sm = 300 kg.
um = 40 kg.
sc = 87.96Ns/m.
sk = 27.4 kN/m.
uk = 211 kN/m.
nf = 1 Hz.
Dónde:
nf = frecuencia natural del sistema.
s = frecuencia angular de la masa suspendida.
u = frecuencia angular de la masa no suspendida.
Si se desea, las especificaciones técnicas de la llanta se pueden ver en [36].
0 0
0
s s s s s s s s
uu u s s u s s u u
m x c c x k k x
k ym x c c x k k k x
1ss
s
k
m
10uu
u
k
m
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
63
Así pues, para analizar el comportamiento de una suspensión pasiva de dos grados
de libertad en condiciones: todo terreno, se debe obtener la respuesta de dicho
sistema mediante la ec. 2.68 y los parámetros óptimos para una suspensión tipo
Macpherson. Para lograr esto, se considera el comportamiento de un automóvil al
pasar por un bache o por un tope; así que, en este caso, en particular, se considera
como entrada una función escalón en un primer caso y, una función rampa en el
segundo. Por tal motivo, se explica a continuación, lo concerniente a las funciones
escalón y rampa.
2.2.1 Tipos de funciones.
2.2.1.1 Escalón.
En este caso, se considera a una fuerza escalón que salta repentinamente de cero a
0p y se mantiene constante a ese valor (ver figura 2.20 b). Para este tipo función, se
desea determinar la respuesta de un sistema no amortiguado de un solo grado de
libertad partiendo en reposo a la fuerza escalón:
(2.69)
Ahora bien, se sabe que la ecuación de movimiento para un sistema lineal de un
grado de libertad sujeto a una fuerza externa es:
(2.70)
0( ) ; 0
( ) 0 ; 0
p t p t
p t t
( )mu cu ku p t
Figura 2. 20 (a) Sistema de un grado de libertad; (b) fuerza escalón; (c) respuesta
dinámica.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
64
Así pues, un método bien conocido para la solución de ecuaciones diferenciales
lineales, tales como la ecuación de movimiento de un sistema de un grado de
libertad, se basa en la representación de la fuerza aplicada como una secuencia de
impulsos cortos infinitesimalmente. La respuesta del sistema a una fuerza aplicada,
( )p t , en el tiempo t se obtiene mediante la adición de las respuestas a todos los
impulsos hasta ese momento.
(2.71)
Donde:
En este resultado es implícito que las condiciones iniciales se encuentren "en
reposo". La ecuación 2.71, conocida como integral de Duhamel, es una forma
especial de la integral de convolución.
La integral de Duhamel proporciona un método alternativo a la solución clásica si
la fuerza aplicada ( )p t se define analíticamente mediante una simple función que
permite la evaluación analítica de la integral. Para excitaciones complejas que se
definen sólo por valores numéricos de ( )p t en instantes de tiempo discretos, la
integral de Duhamel se puede evaluar por métodos numéricos.
Al resolver la ecuación 2.70 mediante la integral de Duhamel se obtiene:
(2.72)
Donde: , es la deformación estática debido a la fuerza 0p .
La deformación normalizada o desplazamiento,
0st
u t
u, es graficado contra el
tiempo normalizado, n
t
T, en la figura 2.20c. En dicha figura, se ve que el sistema
0
1( )
t
n
n
u t p sen t dm
n
k
m
0 0
21 cos 1 cosst n st
n
tu t u t u
T
0
0st
pu
k
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
65
oscila en su periodo natural sobre una nueva posición de equilibrio, que se
desplaza a través de 0stu a partir de la posición de equilibrio original de 0u .
El máximo desplazamiento puede ser determinado diferenciando la ec. 2.72 y
ajustando u t a cero, lo que da 0n nsen t . Los valores 0t de t que satisfacen
esta condición son:
(2.73)
Donde j es un número entero impar; incluso, los números enteros corresponden a
los valores mínimos de ( )u t . El valor máximo 0u de ( )u t es dado por la ec. 2.74
evaluado en 0t t ; estos máximos son todos iguales:
(2.74)
En consecuencia, una fuerza aplicada repentinamente produce el doble de la
deformación que habría causado como una fuerza aplicada lentamente.
La respuesta de un sistema con amortiguamiento puede ser determinada al
sustituir la ec. 2.69 en la siguiente ecuación:
(2.75)
Y, evaluando la integral de Duhamel para obtener:
(2.76)
Para el análisis de sistemas amortiguados el método clásico puede ser más sencillo
que la integral de Duhamel. La ecuación diferencial a ser resuelta es:
(2.77)
0 02
n n
jt j ó t T
0 02 stu u
1
( ) n
tt
D
D o
u t p e sen t dm
0 2
1 cos s1
nt
st D Du t u e t en t
0mu cu ku p
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
66
Su solución complementaria está dada por la siguiente ecuación:
(2.78)
Donde las constantes A y B han de ser determinadas a partir de las condiciones
iniciales. Para un sistema partiendo del reposo, 0 0 0u u , y:
Sustituyendo estas constantes en la ec. 2.78, resulta el mismo resultado que la ec.
2.76. Cuando se aplica para sistemas no amortiguados este resultado se reduce a la
ecuación 2.72, ya presentada en la figura 2.20c.
La ec. 2.76 es graficada en la figura 2.20c para dos valores adicionales de la razón
de amortiguamiento. Con amortiguamiento el exceso más allá de la posición de
equilibrio estático es menor, y las oscilaciones sobre esta posición decaen con el
tiempo. La razón de amortiguamiento determina la cantidad de exceso y la razón a
la que las oscilaciones decaen. Con el tiempo, el sistema se instala a la deformación
estática. Esta es la deformación en estado estacionario.
2.2.1.2 Rampa.
En la figura 2.21, la fuerza aplicada p t
se incrementa linealmente con el tiempo.
Naturalmente, esto no se puede incrementar indefinidamente, pero nuestro interés
se limita a la duración de tiempo en la que p t
es todavía lo suficientemente
pequeño que la fuerza de resorte resultante está dentro del límite elástico lineal
del resorte.
Mientras que la ecuación de movimiento puede ser resuelta por cualquiera de
varios métodos, aquí se ilustra el uso de la integral de Duhamel para obtener la
solución. La fuerza aplicada:
(2.79)
cosnt
D Du t e A t Bsen t
0 0
21
p pA B
k k
0 ; 0,
0 ; 0
r
tp t p t
t
p t t
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
67
Es sustituida en la ec. 2.71 para obtener:
(2.80)
La integral es evaluada y simplificada para obtener:
(2.81)
Donde 0
0st
pu
k , la deformación estática debido a la fuerza 0p .
La ec. 2.81 es graficada en la figura 2.21c para 2.5r
n
t
T , donde la deformación
estática en cada instante de tiempo:
(2.82)
También se muestra; stu t varia con el tiempo en la misma manera como p t y
los dos difieren por el factor de escala 1
k. Se ve que el sistema oscila en su periodo
natural sobre la solución estática [37].
0
0
1( )
t
n
n r
pu t sen t d
m t
0 0
2 /
2 /
n n nst st
r n r n r r n
sen t T sen t Tt tu t u u
t t T t sen t T
0
( )st st
r
p t tu t u t
k t
Figura 2. 21 (a) Sistema de un grado de libertad; (b) fuerza rampa; (c) respuestas:
dinámica y estática.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
68
Así pues, considerando que la solución de la ec. 2.68 es compleja debido a que la
entrada comprende a dos tipos de excitación: función escalón y función rampa; se
resolverá dicha ecuación para simular el comportamiento del autómovil ante un
terreno irregular empleando el programa Matlab® con su herramienta Simulink®,
la cual, es un entorno de diagrama de bloques para la simulación multi-dominio y
diseño basado en modelos.
A continuación, se explica de manera general, cómo se logra solucionar una
ecuación diferencial mediante una computadora analógica que, en este caso, es
Simulink®.
2.3 Solución de ecuaciones diferenciales mediante
computadoras analógicas.
Los sistemas dinámicos prácticos pueden describirse mediante ecuaciones
diferenciales de orden superior. La solución de tales ecuaciones generalmente es
un proceso que consume mucho tiempo. La computadora analógica resulta muy
útil para resolver ecuaciones diferenciales ya que ahorra tiempo, particularmente
cuando se necesitan valores diferentes de cada uno de los parámetros.
Otro rasgo característico de la computadora analógica es que puede usarse como
simulador. De hecho, la simulación de los sistemas físicos es una aplicación
importante de este tipo de computadora. Puede usarse para simular una
componente, varias componentes, o aún un sistema entero. Como simulador en
tiempo real, la computadora se alambra para simular una o varias componentes de
un sistema que aún no se ha construido. Al utilizar los traductores adecuados, la
computadora analógica se conecta al resto del sistema real ya que esté construido.
El sistema compuesto puede probarse entonces como una unidad y puede
evaluarse el funcionamiento del sistema, procedimiento que se usa ampliamente
en la industria. En particular, la computadora analógica ha resultado muy útil para
determinar los efectos de las variaciones de parámetros en el funcionamiento de
sistemas.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
69
2.3.1 Amplificadores operacionales.
Los amplificadores operacionales, como se usan en las computadoras analógicas,
son capaces de realizar las funciones matemáticas de integración, suma e inversión
de signo. Un amplificador operacional es un amplificador de corriente directa (cd)
y tiene una ganancia muy alta, aproximadamente de 106 a 108. La corriente
alimentada a la entrada de un amplificador operacional es despreciable por su
pequeñez. El voltaje de salida de un amplificador operacional está limitado
usualmente a ±100 V (en computadoras de pequeña escala está limitado a ±10 V).
La figura 2.22 es un diagrama esquemático de un amplificador operacional. El
voltaje de salida 0e y el voltaje de entrada e están relacionados por:
Donde K = 106 a 108
2.3.2 Inversiones de signo.
La figura 2.23(a) es un diagrama esquemático de un inversor de signo. Un
amplificador operacional está en serie con una resistencia de entrada iR y está en
paralelo con una resistencia de realimentación 0R . Porque la impedancia interna
del amplificador es muy alta, esencialmente la corriente i es despreciable.
0e Ke
Figura 2. 22 Diagrama esquemático de un amplificador operacional.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
70
Por lo tanto, por la ley de corrientes de Kirchhoff:
Donde:
En consecuencia, se tiene:
(2.83) Observando que 0e Ke . La ec. 2.83 puede escribirse como:
Puesto que K es un número muy grande (106 a 108) y 0/iR R es del orden de 0.1 a
10, despreciando los términos que incluyen a K en el lado derecho de esta última
ecuación, se encuentra:
(2.84)
0ii i
00
0
,ii
i
e e e ei i
R R
0
0
i
i
e e e e
R R
0
0 0
1 i ii
R Re e
K KR R
00 i
i
Re e
R
0 / 10iR R
Figura 2. 23 (a) Diagrama esquemático de un inversor de signo; (b) símbolo del
inversor de signo cuando 0 / 1iR R ; (c) símbolo del inversor de signo.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
71
Nótese que la ec. 2.84 pudo obtenerse también simplemente sustituyendo 0e en
la ec. 2.83.
De la ec. 2.84, se ve que el voltaje de salida 0e es igual al de entrada ie multiplicado
por una constante ( 0
i
R
R ), la cual es negativa. Los valores de las resistencias
iR y 0R normalmente son 0.1 M , 0.25 M y 1 M . Así son posibles valores
diferentes de 0
i
R
R. En muchas computadoras analógicas, sin embargo, los valores de
0
i
R
Restán fijos en 1, 4 o 10.
La figura 2.22 (b) y (c) muestra los símbolos comúnmente usados para el inversor
de signo con 0 1i
R
R y 0 10
i
R
R , respectivamente.
2.3.3 Sumadores.
El diagrama esquemático de un sumador que adiciona n entradas se da en la figura
2.24(a). En el sumador, se usan resistores como impedancias de entrada y de
realimentación de un amplificador operacional. Este circuito es el mismo que el
inversor de signo. De hecho, cada sumador se puede usar como el inversor de
signo.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
72
Observando que la corriente i es despreciable por su pequeñez, la ecuación para
este circuito se puede obtener como:
O bien:
Al sustituir 0e en esta última ecuación, tenemos:
(2.85)
1 2 0... ni i i i
01 2
1 2 0
... n
n
e e e ee e e e
R R R R
0 0 00 1 2
1 2
... n
n
R R Re e e e
R R R
Figura 2. 24 (a) Diagrama esquemático de un sumador; (b) símbolo del sumador.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
73
Así, el circuito mostrado en la figura 2.24(a) realiza una adición o suma ponderada
de n entradas. (Nótese que el sumador cambia el signo algebraico). Si, por ejemplo,
0 1R M , 1 0.25R M , 2 1R M y 3 0.1R M , entonces la ec. 2.85 se hace:
El símbolo comúnmente usado para el sumador aparece en la figura 2.24(b).
2.3.4 Integradores.
La figura 2.25(a) es un diagrama esquemático del integrador. En este circuito se
usa un resistor como impedancia de entrada y un capacitor como impedancia de
realimentación.
La ecuación del circuito puede obtenerse de la siguiente forma. Observando que la
corriente i es despreciable por su pequeñez, tenemos:
Donde:
Por lo tanto,
0 1 2 34 10e e e e
0ii i
0
0 0,ii
i
d e ee ei i C
R dt
0
0i
i
d e ee eC
R dt
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
74
Sustituyendo 0e en esta última ecuación da:
O bien:
00
i
i
e deC
R dt
0
0
1i
i
dee
dt RC
Figura 2. 25 (a) Diagrama esquemático de un integrador; (b) símbolo del integrador.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
75
Integrando ambos miembros de esta última ecuación de 0 a t, encontramos:
O bien:
(2.86)
La ec. 2.86 muestra que el circuito de la figura 2.25(a) es un integrador. El
integrador debe estar inicialmente polarizado por un voltaje de corriente directa
con el objeto de dar la condición inicial necesaria 0 0e .
La figura 2.25(b) muestra el símbolo comúnmente usado para el integrador. La
condición inicial 0 (0)e se indica en el círculo. Adviértase que en muchas
computadoras analógicas se usan resistores estándar de 0.1 MΩ, 0.25 MΩ, 1 MΩ y
un capacitor estándar de 1 µF. En tal caso, los valores de 0
1
iR C son iguales
solamente a 1, 4 o 10.
Como en la operación de suma, si se aplican dos señales de entrada al integrador
como se muestra en la figura 2.26, entonces la salida 0 ( )e t está constituida por la
suma de dos integrales y la condición inicial 0 (0)e , o sea:
(2.87)
0 0
0 0
10
t
i
i
e t e e t dtRC
0 0
0 0
10
t
i
i
e t e t dt eRC
0 1 2 0
1 0 2 00 0
1 10
t t
e t e t dt e t dt eR C R C
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
76
La ec. 2.87 puede encontrarse observando que:
Donde:
1 2 0i i i
0
0 0
d e ei C
dt
11
1
e ei
R
22
2
e ei
R
Figura 2. 26 (a) Diagrama esquemático de un integrador con dos entradas; (b)
diagrama simplificado.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
77
2.3.5 Multiplicación por una fracción.
La multiplicación de ie por una constante , donde 0 1 puede efectuarse
mediante el uso de un potenciómetro (ver figura 2.27a). La salida 0e es:
La figura 2.27b ilustra el símbolo comúnmente usado para un potenciómetro.
00 i
i
Re e
R
Figura 2. 27 (a) Potenciómetro; (b) símbolo del potenciómetro.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
78
2.3.6 Soluciones de ecuaciones diferenciales.
Al resolver ecuaciones diferenciales por medio de una computadora analógica,
siempre integramos derivadas más bien que diferenciarlas. La razón de este hecho
es el ruido falso que está siempre presente en el sistema de la computadora
analógica. La diferenciación acentúa el efecto del ruido, en tanto que la integración
lo suaviza y, por lo tanto, las computadoras analógicas usan la integración más que
la diferenciación como un operador básico.
Nótese que con el objeto de resolver ecuaciones diferenciales lineales, invariantes
en el tiempo como:
Se necesitan las componentes enlistadas abajo:
1. El integrador.
2. El sumador.
3. El inversor de signo.
4. El potenciómetro.
5. La fuente de voltaje de cd.
Procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales.
Si se considera la ecuación diferencial:
(2.88)
Lo primero que se debe de hacer para construir un diagrama de computadora
consiste en suponer que se dispone de la derivada de mayor orden. Luego, se debe
resolver la ecuación diferencial para esta misma derivada. En la ecuación
diferencial presente:
( ) ( 1)
1 1... ( )n n
n nx a x a x a x p t
10 16 0, (0) 0, (0) 80x x x x x
10 16x x x
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
79
Tomando en cuenta que la variable x se puede obtener al integrar x y, en el
caso de x , se puede obtener al integrar x ; con esto, se producen las señales
10x y 16x , e igualar el resultado con x . Posteriormente, se fijan las
condiciones iniciales en las salidas de los integradores. En la figura 2.28, muestra
un diagrama de computadora del sistema definido en la ec. 2.88; además, en esa
misma figura se muestran las condiciones iniciales en forma de círculos.
Cabe recordar, que el cambio de signo está asociado con cada amplificador
operacional; de tal manera que, si el número de amplificadores operacionales
(integradores, sumadores e inversores de signo) en una trayectoria cerrada es par,
los voltajes de salida se incrementarán hasta que se saturen. Para eliminar
cualquier posibilidad de operación inestable, el número de amplificadores
operacionales en cualquier trayectoria cerrada debe ser una cantidad impar. En la
figura 2.28, se observa que la trayectoria cerrada interna tiene un amplificador
operacional y la trayectoria cerrada externa tiene tres.
Generación de una función exponencial.
En este punto, se demuestra como producir una función exponencial
0.5( ) 20 tx t e . Así pues, con el objeto de construir el diagrama de computadora
analógica, se obtiene primero la ecuación diferencial correspondiente, la ecuación
diferencial de más bajo orden cuya solución es 0.5( ) 20 tx t e .
Figura 2. 28 Diagrama de computadora analógica.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
80
Al diferenciar ( )x t con respecto a t , tenemos que:
Por tanto, la ecuación diferencial requerida es:
Resolviendo esta ecuación para x da:
Suponiendo que esté disponible x , x puede obtenerse integrando x una
vez. La figura 2.29, muestra un diagrama de computadora analógica para generar
la función exponencial dada.
Generación de una función senoidal.
En este punto, lo que se desea es generar una señal senoidal, tal como 10 3sen t .
Con el objeto de construir el diagrama de computadora analógica, se obtiene la
ecuación diferencial de más bajo orden cuya solución se considera: 10 3sen t .
Entonces:
Por tal motivo, la ecuación diferencial requerida es:
0.510 tx e
0.5 0, (0) 20x x x
0.5x x
( ) 10 3x t sen t
( ) 90 3x t sen t
9 0, (0) 0, (0) 30x x x x
Figura 2. 29 Diagrama de computadora analógica.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
81
Resolviendo esta ecuación diferencial para la derivada de mayor orden, tenemos:
Si se supone que esté disponible x , x puede obtenerse integrando dos veces a x .
En la figura 2.30, se muestra un diagrama de computadora de este tipo de sistema.
Obsérvese que las salidas del primero y el segundo integrador, oscilan entre 30 y -
30 V y, entre 10 y -10 V. La salida del inverso de signo oscila entre 90 y -90 V. Con
el objeto de tener buena exactitud, es deseable oscilar el voltaje de salida de
cualquier amplificador entre 80 y 90 V. Este paso puede efectuarse utilizando los
factores de escala de magnitud apropiada, los cuales, se explican a continuación.
Factor de escala de tiempo.
Al resolver un sistema de ecuación diferencial, el tiempo de solución real puede ser
tan rápido que el registrador sea incapaz de seguir la respuesta con exactitud. En
fenómenos físicos que tienen lugar con semejante rapidez, la velocidad a la cual
son simulados por la computadora debe disminuirse. Por otra parte, en algunos
casos, la solución real puede tomar un tiempo excesivamente largo. Para evitar
tales inconvenientes, se necesita la técnica conocida como técnica de escalamiento
en tiempo.
El escalamiento en tiempo relaciona la variable independiente del sistema físico
con la variable independiente de la computadora analógica. La computadora puede
llevar a cabo la corrida más aprisa o más despacio que en "tiempo real" de ser
conveniente o necesario. Nótese que si se van a usar partes reales del sistema con
la computadora; esto es, si la computadora se usa para simular una o varias
9x x
Figura 2. 30 Diagrama de computadora analógica.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
82
componentes del sistema real y está conectada directamente al hardware del
sistema real, la escala de tiempo debe ser de uno a uno. En otras palabras, la
computadora debe trabajar en tiempo real.
Considerando la siguiente ecuación que relaciona el tiempo real t en segundos
con el tiempo de la computadora (o tiempo de la máquina) en segundos:
Donde es el factor de escala de tiempo. Si se escoge como 0.1, entonces 10
segundos de tiempo real equivalen a 1 segundo de computadora. Esto significa que
si la respuesta real toma 10 segundos de tiempo real para completarse, entonces la
respuesta se completa en 1 segundo en la computadora. Recíprocamente, si se
escoge como 10, entonces 1 segundo de tiempo real es equivalente a 10 segundos
de tiempo de computadora. Por lo tanto, con el objeto de acelerar (retardar) la
respuesta de la computadora, debe escogerse menor que (mayor que) la unidad.
Una manera de esclarecer lo anterior se logra al considerar la ecuación diferencial:
(2.89)
En este sistema, puesto que la frecuencia natural no amortiguada n es igual a 10
rad/s y el factor de amortiguamiento relativo es igual a 0.5, el tiempo de
asentamiento st es:
La respuesta se establece dentro del 2% del valor final en 0.8 segundos.
Supóngase que deseamos retardar la respuesta de modo que el tiempo de
asentamiento sea de 8 segundos. Podemos hacerlo escogiendo un factor de escala
de tiempo de 10. Convirtamos la variable independiente t en . Puesto que
t , obtenemos:
t
2
210 100 0, (0) 10, (0) 15
d x dxx x x
dt dt
4 4
0.80.5 10
s
n
t s
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
83
Con esto último, la ec. 2.89 se vuelve:
O bien:
Para retardar la solución mediante un factor de 10, sustituimos 10 en esta
última ecuación. La ecuación de la computadora es entonces:
Las condiciones iniciales se transforman en:
Factores de escala magnitud.
La magnitud del voltaje de salida del amplificador depende en gran medida de la
exactitud del circuito. Cuando alambramos el circuito, el voltaje debe hacerse tan
grande como sea posible dentro de los límites de la máquina. Los límites son
usualmente ±100 V. (En ciertas computadoras analógicas de pequeña escala los
límites son ±10 V.)
Después de la selección de un factor de escala de tiempo conveniente, debe darse
atención a la escala de magnitudes. Puesto que la computadora manipula voltajes,
es necesario transformar las ecuaciones del sistema real, las cuales pueden
involucrar, por ejemplo: presión, temperatura, desplazamiento y cantidades
2 22
2 2
dx dx d dx
dt d dt d
d x d x
dt d
22
210 100 0
d x dxx
d d
2
2 2
10 1000
d x dxx
d d
2
20
d x dxx
d d
0 0
1 1(0) 10, 15 1.5
10t
dx dxx
d dt
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
84
similares, en ecuaciones de voltaje análogas. Esto es, en un sistema de presión,
debemos decidir cuántos newtons por metro cuadrado del sistema real deben ser
representados por un volt en la computadora. Los factores de escala de magnitud
relacionan los voltajes de salida de los amplificadores con las correspondientes
cantidades fisicas.
Al escoger factores de escala de magnitud, deben tenerse presentes los siguientes
requisitos. El voltaje de salida de cualquier amplificador no debe exceder los
límites del amplificador (usualmente ±100 V) si se va a evitar la saturación. La
saturación en el voltaje causará errores en la solución. Y con el objeto de eliminar
el efecto del ruido, el voltaje máximo de cualquier amplificador no debe ser muy
pequeño. Para asegurar la exactitud apropiada, es preferible que la máxima
oscilación en el voltaje de salida de cualquier amplificador esté alrededor de ±80
hasta ±90 V. A este respecto, la selección apropiada de los factores de escala de
magnitud es de gran importancia. (Nótese que en la mayor parte de las
computadoras analógicas algunos errores son toscamente constantes. Para tales
errores las salidas grandes resultan en errores de bajo porcentaje). Esta magnitud
del error puede ser adecuada, puesto que las suposiciones de simplificación en el
análisis de ingeniería a menudo involucran aun mayor exactitud.
Procedimiento para determinar factores de escala magnitud.
A causa de que el cambio en escala de tiempo puede alterar las derivadas de
tiempo de las variables dependientes, el factor de escala de tiempo debe decidirse
antes de determinar los factores de escala de magnitud. Si la velocidad de las
soluciones del sistema real está dentro del alcance razonable de la computadora, el
dar escala de tiempo puede no ser necesario. El problema se puede correr en
tiempo real.
El primer paso para determinar los factores de escala de magnitud consiste en
estimar las magnitudes máximas de las variables que puedan ocurrir en el sistema
físico. En la práctica, las escalas de las variables usualmente son desconocidas
antes de obtener la solución. Por lo tanto, se necesita cierta cantidad de tanteos
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
85
para establecer los factores de escala de magnitud apropiados. Tales estimaciones
pueden provenir de un conocimiento del sistema real, de cálculos burdos, de una
conjetura pura o de una combinación de éstos. (En muchos casos, las estimaciones
se hacen despreciando el amortiguamiento en el sistema). Excepto en problemas
comunes y corrientes, puede haber gran necesidad de conjeturas.
Una vez encontradas las estimaciones iniciales de las magnitudes máximas de las
variables, se pueden determinar los factores de escala de magnitud. Los valores así
determinados pueden probarse para ver si son los apropiados mediante la corrida
del problema con los factores de escala de magnitud supuestos y observando si los
voltajes son demasiado grandes o demasiado pequeños. Si los factores de escala de
magnitud no son los apropiados, éstos pueden variarse hasta obtener resultados
satisfactorios [38].
2.4 Procedimiento para construir diagrama de bloque en
Matlab Simulink para obtener la respuesta .
Considerando que ya se tiene una idea general acerca de cómo solucionar una
ecuación diferencial mediante una computadora analógica, se presenta a
continuación en forma matemática la base para construir un diagrama de bloques
en Matlab Simulink para obtener la respuesta de un sistema: masa – resorte –
amortiguador.
Así pues, despejando el término masa por aceleración de las ecuaciones 2.59 y
2.60, se tiene que:
2.90
2.91
Ahora bien, si se despeja el término aceleración, se obtiene:
2.92
( ) ( )s s s s u s s um x k x x c x x
( ) ( ) ( )u u s s u s s u u um x k x x c x x k x y
( ) ( )s ss s u s u
s s
k cx x x x x
m m
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
86
2.93
Si se considera para las ecuaciones 2.92 y 2.93, lo siguiente:
2.94
2.95
2.96
2.97
2.98
Entonces, sustituyendo las ecuaciones 2.94, 2.95, 2.96, 2.97 y 2.98 en las
ecuaciones 2.92 y 2.93, se obtiene:
2.99
2.100
( ) ( ) ( )s s uu s u s u u
u u u
k c kx x x x x x y
m m m
s
s
ka
m
s
s
cb
m
s
u
kc
m
u
u
ke
m
s
u
cd
m
s s u s ux ax ax bx bx
u s u s u ux cx cx dx dx ex ey
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
87
2.5 Análisis en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva
típica para un autómovil.
Antes de construir el diagrama de bloques, es muy importante recordar de [38] lo
siguiente: con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de
control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada
escalón unitario, puesto que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica.
Por tanto, si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente
posible calcular la respuesta para cualquier entrada.
2.5.1 Diagrama de bloques en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva típica
para un autómovil.
Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.
88
2.5.2 Respuesta en Matlab® Simulink® de Suspensión Pasiva típica para un
autómovil considerando una función de excitación de tipo: ESCALÓN.
Capítulo III. Análisis numérico de la
placa de fijación mediante M.E.F.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
90
3.1 El Método del Elemento Finito (MEF)
3.1.1 Definición.
Los diseños de ingeniería exigen en la actualidad que éstos cumplan condiciones
de operación cada vez más severas, de ahí la necesidad de contar con métodos de
cálculo más exactos y que involucren el mayor número de parámetros, por ello, el
método del elemento finito se ha convertido en una herramienta de cálculo muy
importante.
Este método es un procedimiento numérico que puede ser usado para obtener
soluciones en una amplia gama de problemas de ingeniería, implicando análisis
estructural, transferencia de calor, electromagnetismo, transporte de masa y flujo
de fluidos. Con los avances de la tecnología de las computadoras y de los sistemas
CAD (Computer Aidded Design, Diseño Asistido por Computadora) y CAE
(Computer Aidded Engineering, Ingeniería Asistida por Computadora), pueden
modelarse problemas complejos con relativa facilidad. En una computadora
pueden probarse varias configuraciones y simular el comportamiento más
adecuado del fenómeno.
Este método aproxima valores de las variables desconocidas en números discretos
en el medio continuo. De esta forma, el proceso de modelar un cuerpo dividiéndolo
en un sistema equivalente de pequeños cuerpos o unidades (elementos finitos)
interconectados en puntos en común (nodos) y/o estableciendo sus fronteras y/o
interconexiones externas, es denominado discretización.
En el método del elemento finito, en vez de resolver el problema para cada cuerpo
entero en una sola operación, se formulan ecuaciones para cada elemento,
combinándose al final para obtener la solución del cuerpo entero. En problemas
estructurales es común determinar los desplazamientos de cada nodo para
calcular las deformaciones y por último los esfuerzos.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
91
3.1.2 Problemas de ingeniería.
En general, los problemas de ingeniería son modelos matemáticos de fenómenos
físicos. Los modelos matemáticos son ecuaciones diferenciales con un sistema de
correspondientes condiciones iniciales y de frontera. Esta determinación de
ecuaciones representa el balance de masa, fuerza o energía. Cuando es posible, la
solución exacta de estas ecuaciones proporciona la representación detallada del
comportamiento de un sistema bajo ciertas condiciones dadas.
Las soluciones analíticas están compuestas de dos partes, una parte homogénea y
otra parte particular. A su vez, cualquier problema de ingeniería dado tiene dos
sistemas de parámetros que afectan el comportamiento del sistema. Primero, están
los parámetros que proporcionan información respecto al comportamiento natural
del mismo. Estos parámetros incluyen propiedades tales como módulo de
elasticidad, conductividad térmica y viscosidad. Por otro lado, se tienen
parámetros que producen alteraciones del sistema, ejemplo de esto son los valores
que incluyen fuerzas externas, momentos, diferencial de temperatura a través de la
media, diferenciales de presión y flujo de fluidos.
Es importante entender el papel que juegan estos parámetros en el modelo del
elemento finito en términos de sus respectivas funciones en matrices de rigidez o
conductividad y matrices de carga o fuerza.
Una vez comprendidos estos conceptos, será posible utilizar con mayor efectividad
las características con que cuenta el MEF.
3.1.3 Métodos numéricos.
Existen algunos problemas prácticos de ingeniería para los cuales no es posible
obtener soluciones exactas. Esta incapacidad de obtener una solución exacta puede
ser atribuida a la compleja naturaleza de las ecuaciones diferenciales o las
dificultades que surgen de tratar con las condiciones iniciales y de frontera. Para
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
92
tratar con tales problemas se recurre a aproximaciones numéricas. En contraste
con las soluciones analíticas que muestran el comportamiento exacto de un
sistema en cualquier punto del mismo, las soluciones numéricas aproximan
resultados precisos sólo en un punto llamado nodo.
El primer paso de cualquier sistema numérico es la discretización. Este proceso
consiste en dividir el dominio de estudio en un número finito de subregiones y
nodos. Hay dos clases comunes de métodos numéricos:
Método de las diferencias finitas.
Método del elemento finito (MEF).
El método del elemento finito usa formulaciones integrales más que ecuaciones
diferenciales para crear un sistema de ecuaciones algebraicas. Además, una
función de aproximación continua es adoptada para representar la solución de un
elemento.
La solución total es después generada por la conexión o ensamble de las soluciones
individuales.
Durante el desarrollo del MEF hasta alcanzar el funcionamiento que tiene en la
actualidad, se han hecho diversas versiones del mismo con igual cantidad de
nombres y aplicaciones. Cada uno de ellos implicó un avance en la forma de
resolución de problemas ingenieriles. Los siguientes párrafos tratan un poco de
esto.
3.1.4 Antecedentes históricos.
En 1956, M. J. Clough presentó por primera vez este método bajo la formulación de
la matriz de rigidez, basado en los desplazamientos del sistema para un elemento
triangular. El término "Elemento Finito" fue introducido por Clough en 1960 en su
trabajo "The Finite Element Method in Plane Stress Analysis".
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
93
El primer código importante de uso general fue NASTRAN desarrollado para la
NASA por la corporación MacNeal-Schwendler y la corporación de las ciencias de la
computación a mediados de 1960. Teniendo sus orígenes para la industria
aeroespacial, el método fue aplicado para otras áreas de análisis estructural en
ingeniería mecánica y civil.
El código ANSYS tuvo sus orígenes en la industria nuclear y fue introducido en
1970 por Swanson, análisis de sistemas. ANSYS es una programa de computadora
de propósito general del elemento finito que contiene arriba de 100 000 líneas de
código, es capaz de realizar análisis estáticos, dinámicos, transferencia de calor,
flujo de fluidos y electromagnetismo. ANSYS es una poderosa e imprescindible
herramienta de ingeniería que puede ser usada para resolver una amplia variedad
de problemas [39].
Abaqus FEA (antes ABAQUS) es un paquete de software para el análisis de
elementos finitos y de ingeniería asistida por ordenador, lanzado originalmente en
1978. El nombre y el logotipo de este software se basan en la herramienta de
cálculo ábaco. La suite de productos Abaqus consta de cuatro productos de
software principales:
Abaqus / CAE, o "Entorno Abaqus Completo" (una expresión en la que sus siglas
tienen una obvia raíz en Ingeniería Asistida por Computadora, que en inglés es:
Computer Aided Engineering). Se trata de una aplicación de software que se utiliza
tanto para el modelado como para el análisis de componentes mecánicos y
ensambles (pre-procesamiento), así como, para visualizar el resultado del análisis
de elementos finitos. El subconjunto Abaqus/CAE incluyendo sólo el módulo de
post-procesamiento puede ser iniciado de forma independiente en el producto
Abaqus/Viewer.
Abaqus / CFD, un programa de Dinámica de Fluidos Computacional (CFD, por sus
siglas en inglés) que proporciona capacidades avanzadas con un amplio soporte
para pre-procesamiento y post-procesamiento previsto en Abaqus/CAE.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
94
Abaqus/Standard, un analizador de Elementos-Finitos de propósito general que
emplea esquema de integración implícita (tradicional).
Abaqus/Explicit, un analizador de Elementos-Finitos de propósito especial que
utiliza esquema de integración explícita para resolver muy bien sistemas no
lineales con muchos contactos complejos bajo cargas transitorias.
Los productos Abaqus usan el lenguaje de escritura: Python, de código abierto,
para scripting y personalización. Abaqus/CAE utiliza el kit de herramientas: Fox,
para el desarrollo de Interfaz Gráfica de Usuario (GUI, por sus siglas en inglés)
[40].
LS-DYNA es un programa de computadora que su origen proviene del programa de
Análisis de Elemento Finito en tres dimensiones: DYNA3D, desarrollado por el Dr.
John O. Hallquist en el Laboratorio Nacional Lawrence Livermore (LLNL, por sus
siglas en inglés) en 1976. DYNA3D fue creado con el fin de simular el impacto de la
Opción de Fusión Completa (FUFO, por sus siglas en inglés) o una bomba nuclear
para la versión de baja altitud (velocidad de impacto de aproximadamente 40
m/s). En ese momento, no se dispone de algún programa en 3D para la simulación
de impacto y los programas en dos dimensiones eran inadecuados. Mientras la
bomba FUFO fue cancelada, el desarrollo de DYNA3D continuó. DYNA3D utiliza el
tiempo de integración explícita para estudiar los problemas dinámicos no lineales,
con las aplicaciones originales son en su mayoría el análisis de estrés de las
estructuras sometidas a diversos tipos de impactos. El programa fue inicialmente
muy simple en gran parte debido a la falta de recursos computacionales adecuados
en el momento. Una versión en 2D del mismo programa fue desarrollado al mismo
tiempo. En 1978 el código fuente DYNA3D fue publicado en el dominio público sin
restricciones después de la petición de Francia.
En 1979 fue realizada una nueva versión de DYNA3D, la cual, fue programada para
un rendimiento óptimo en las supercomputadoras CRAY-1. Esta nueva versión
contenía un mejorado tratamiento de la interfaz de deslizamiento, que era un
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
95
orden de magnitud más rápido que el tratamiento de contacto anterior. Esta
versión también elimina los elementos sólidos de orden estructural y superior de
la primera versión, aunque incluyendo la integración de elemento racional del
método de diferencia integral desarrollado en 1974.
La versión de 1982 incluyó nueve modelos de materiales adicionales que
permitieron nuevas simulaciones, tales como explosivos-estructura y las
interacciones suelo-estructura. La versión también permite el análisis de la
respuesta estructural debido a los proyectiles penetrantes. Las mejoras en 1982
impulsaron aún más la velocidad de ejecución en un 10 por ciento. Hallquist fue el
único desarrollador de DYNA3D hasta 1984, cuando fue acompañado por el Dr.
David J. Benson. En 1986, se añadieron muchas capacidades. Las características
adicionales incluyen vigas, láminas, cuerpos rígidos, contacto superficial simple,
fricción de interfaz, resortes y amortiguadores discretos, tratamientos opcionales
de Hourglass, integración volumen exacto opcional y compatibilidad con los
sistemas operativos: VAX/VMS, IBM, UNIX, COS. En este punto, DYNA3D se
convirtió en el primer código en tener un algoritmo de contacto de superficie solo
en general.
La simulación de conformado de metales y capacidades de análisis de compuestos
fueron añadidos para DYNA3D en 1987. Esta versión incluye cambios en los
elementos laminares, y relajación dinámica. La versión final de DYNA3D en 1988
incluía a varios más elementos y capacidades.
Para 1988 el Laboratorio Nacional Lawrence Livermore (LLNL, por sus siglas en
inglés) había enviado aproximadamente 600 cintas que contenían el software de
simulación. Hallquist había consultado a cerca de 60 empresas y organizaciones en
el uso de DYNA3D. Como resultado, a finales de 1988 se funda la Corporación de
Tecnología de Software Livermore (LSTC, por sus siglas en inglés) para continuar
el desarrollo de DYNA3D de una manera mucho más específica, lo que resulta en
LS-DYNA3D (posteriormente reducido a LS-DYNA). Así pues, las realizaciones y el
apoyo a DYNA3D fue detenido. Desde entonces, LSTC ha ampliado en gran medida
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
96
las capacidades de LS-DYNA en un intento de crear una herramienta universal para
la mayoría de las necesidades de simulación [41].
Altair Engineering es un producto de diseño y desarrollo, programa de ingeniería y
una empresa de programa de computación en la nube (Cloud Computing). Altair
fue fundada por James R. Scapa, George Cristo, y Mark Kistner en 1985. Durante su
historia, ha tenido varios lugares cerca de Detroit, Michigan, E.U.A. Actualmente
tiene su sede en Troy, Michigan, con oficinas regionales en toda América, Europa y
Asia. Altair Engineering es el creador de HyperWorks, una suite de productos de
Ingeniería Asistida por Computadora (CAE, por sus siglas en inglés).
En 1990, HyperMesh fue puesto en libertad.
En 1994, Altair recibe de IndustryWeek’s el premio "Tecnología del Año" por su
producto: OptiStruct.
Durante la crisis económica de 2008, Altair inició un programa para ofrecer
formación gratuita en su producto para desempleados en Michigan.
En septiembre de 2010, Altair compró unos 136,000 pies cuadrados (12,600 m2)
del Anexo Fondo de Troy, para inicialmente albergar a la subsidiaria de Altair:
ilumisys, Inc. Altair también adquirió SimLab en octubre de 2011.
El 2011 se inició con otra adquisición, AcuSim, con su solucionador de Dinámica de
Fluidos Computacional (CFD, por sus siglas en inglés): AcuSolve. En septiembre del
2011, Altair ProductDesign presentó BUSolution, un autobús híbrido hidráulico.
Las principales ofertas de productos de la división de Programa Comercial de
Altair es su línea de programa: HyperWorks, incluyendo:
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
97
OptiStruct – programa de optimización.
RADIOSS – Solucionador de análisis de elemento finito (FEA, por sus siglas
en inglés) tanto para casos lineales como no-lineales.
MotionView – Solucionador-neutral, pre-procesador multicuerpo o
multiparte.
MotionSolve – Solucionador multicuerpo o multiparte.
HyperXtrude – Solucionador de extrusión de metal y polímero.
HyperForm – Solucionador de conformado de metal.
HyperMesh, HyperCrash, Simlab, HyperView, HyperGraph - Pre y Post
procesador de Ingeniería Asistida por Computadora (CAE, por sus siglas en
inglés).
HyperStudy – Diseño de experimentos y optimización de diseño multi-
disciplinario.
HyperMath – Entorno de análisis matemático.
AcuSolve –Solucionador de Dinámica de Fluidos Computacional (CFD, por
sus siglas en inglés) basado en Elemento Finito.
Los datos de Ingeniería Asistida por Computadora (CAE, por sus siglas en inglés) y
soluciones de gestión de procesos:
Administrador de datos de Altair.
Administrador de proceso de Altair.
La división Enterprise Computing desarrolla y gestiona:
PBS Professional software, developed from OpenPBS.
Subsidiarias de Ingeniería Altair:
ilumisys - produce productos de iluminación LED
Compañías propias de Altair:
solidThinking – Programa de diseño industrial.
HiQube – Programa inteligente de negocios.
Altair ProductDesign - Consultoría innovación de productos [42].
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
98
3.1.5 Pasos básicos en el método del elemento finito.
Independientemente del nombre comercial con el que se conozca, los pasos
básicos en el MEF son los siguientes:
Fase de preprocesamiento
1. Creación de dominio de estudio. Esto es subdividir el dominio de estudio
en nodos y elementos.
2. Adoptar una función de forma para representar el comportamiento físico
del elemento. Esto es, una aproximación de función continua es supuesta
para representar la solución de un elemento.
3. Desarrollar ecuaciones para un elemento.
4. Ensamblar los elementos para presentar un problema entero. Construir la
matriz global de rigidez.
5. Aplicar condiciones de frontera y condiciones iniciales de frontera.
Fase de solución
6. Resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales o no lineales
simultáneamente, para obtener resultados nodales como valores de
desplazamiento para diferentes nodos.
Fase de postprocesamiento
7. Obtener otra información importante. Este punto puede estarse interesado
en valores de esfuerzo principales, entre otros.
3.1.6 Proceso de trabajo del método del elemento finito.
En un problema del medio continuo de cualquier dimensión, la variable bajo
consideración (ya sea presión, temperatura, desplazamiento, esfuerzo o alguna
otra variable) tiene una infinidad de valores, ya que es una función de cada uno de
los puntos que forman el cuerpo o dominio de estudio, cosa que ya se ha manejado.
Como consecuencia de esto, el problema tiene un número finito de incógnitas, y las
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
99
funciones de aproximación (también llamadas funciones de interpolación) son
definidas en términos de puntos nodales.
El comportamiento del campo de la variable respecto de los elementos viene dado
por los valores nodales del campo de la variable y las funciones de interpolación
para los elementos, siendo dichos valores, las nuevas incógnitas en el campo de la
variable. Una vez que se resuelvan las incógnitas, las funciones de interpolación
definen la variable a través del ensamble de los elementos.
Naturalmente, la exactitud de la solución depende tanto del tipo de elemento,
como de la calidad de la malla, así como de las funciones de interpolación
empleadas. No se deben elegir funciones arbitrariamente, porque no se cumplirían
las condiciones de compatibilidad requeridas; por lo que normalmente se eligen
funciones de interpolación de modo que la variable o sus derivadas sean continuas
a través de los límites de los elementos adyacentes.
Ya que este método es un procedimiento ordenado, puede resumirse a grandes
rasgos como sigue:
1. Discretización del dominio: el primer paso consiste en dividir el dominio
estudio en elementos. Puede emplearse una amplia variedad de formas de
elementos y, teniendo suficiente cuidado, se pueden emplear diferentes
tipos de elementos en la misma discretización. En realidad cuando se
analiza una estructura que tiene diferentes tipos de componentes, como
son placas y vigas no sólo es deseable sino necesario emplear diferentes
tipos de elementos en el mismo dominio.
2. Selección de las funciones de interpolación: este paso consiste en asignar
los nodos a cada elemento y elegir el tipo de función de interpolación para
representar el cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede
ser una escala, un vector, o un tensor de orden superior. La magnitud de la
variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las incógnitas
existentes en cada nodo.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
100
3. Definición de las propiedades de los elementos: una vez que se han
establecido los elementos y sus funciones de interpolación, se está en la
posibilidad de determinar las ecuaciones matriciales que expresan las
propiedades de cada uno de los elementos. Para realizar esto se puede
emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles del método del
elemento finito: la formulación directa, la formulación variacional, la
formulación de los pesos residuales, o la formulación del balance de
energía.
La formulación variacional es generalmente la más conveniente, sin
embargo, la selección de esta depende completamente de la naturaleza del
problema.
4. Ensamble de las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones
del sistema, considerando las condiciones de frontera del espécimen: se
requiere combinar las ecuaciones matriciales expresando el
comportamiento del dominio entero o sistema. Las ecuaciones matriciales
para el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un solo
elemento excepto que estas contienen muchos más términos porque
incluyen a todos los nodos.
La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el
hecho de que en un nodo, el valor de la variable es el mismo para cada
elemento que comparte dicho nodo.
NOTA: Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas para ser
solucionadas, deberán modificarse para introducir las condiciones de
frontera del problema. Si no se representan de una forma adecuada las
condiciones de frontera, los resultados obtenidos serán poco confiables.
5. Resolución del sistema de ecuaciones: el proceso de ensamble del paso
anterior estableció una serie de ecuaciones simultáneas, las cuales al
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
101
resolverse se obtienen los valores nodales de la variable. Si el sistema de
ecuaciones es lineal, se pueden emplear técnicas como son la Eliminación
de Gauss-Seidel, o la descomposición de Cholesky; si las ecuaciones son no-
lineales, para su solución puede emplearse el método de Newton-Raphson,
el método de sustituciones sucesivas o algún otro método iterativo capaz
de resolver dicho sistema de ecuaciones.
3.1.7 Datos básicos de entrada.
Para formar el modelo del elemento finito, el ingeniero debe estar muy relacionado
con los siguientes tres puntos:
1. El comportamiento básico de la estructura a ser modelada.
2. Los datos de entrada requeridos por el programa que se usará.
3. Una interpretación de las técnicas de modelado para hacer el modelo más
efectivo.
Cada programa de elemento finito requiere certeza en los datos de entrada, estos
incluyen:
1. Definición de la geometría de la estructura por nodo y datos del elemento.
2. Especificación de las propiedades del material.
3. Especificación de las constantes de desplazamiento.
Una vez corroborados los valores que se han de ingresar al programa, así como los
temas que esto implica, es posible definir la geometría del cuerpo, que es otro de
los puntos relevantes del correcto uso del MEF; si esto no es bien realizado, los
errores serán considerablemente importantes.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
102
3.1.8 Definición de la geometría.
La geometría de la estructura es especificada en términos de nodos y elementos de
entrada; los nodos son definidos en términos de sus coordenadas, y los elementos,
que conforman la estructura, son definidos por los nodos los cuales son ingresados
por su número de nodo y coordenadas.
La disponibilidad de las opciones del sistema de coordenadas depende del
programa individual. Por tanto, es necesario destacar que el método del elemento
finito es no dimensional y todas las dimensiones y valores deben ser revisados por
el usuario, sin embargo, cualquier unidad de medida puede ser usada.
Cuando la geometría ha sido correctamente dimensionada y conformada, resta
saber, como parte de los datos básicos de entrada, los valores de ciertas
propiedades del material, las cuales son importantes por la influencia que tienen
en el comportamiento mecánico del elemento de estudio.
3.1.9 Propiedades del material.
Para análisis de esfuerzo estático, las propiedades del material requeridas son el
módulo de Young y la relación de Poisson, porque sólo la rigidez de la estructura
necesita ser calculada.
Típicamente las unidades para el sistema internacional a utilizar pueden ser:
Longitud (l), metro (m).
Tiempo (t), segundo (s).
Fuerza (F), newton (N).
Masa (m), kilogramo (kg).
Cierto tipo de elementos, como plate y elementos beam requieren datos especiales
como área de momentos de inercia. Por ejemplo:
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
103
Elemento plate:
o Módulo de elasticidad o de Young (E), GigaPascal (GPa).
o Coeficiente de Poisson (ν).
o Densidad (ρ), kg/m3.
o Módulo de elasticidad en cortante (G), GigaPascal (GPa).
o Espesor, milímetro (mm).
Elemento beam:
Módulo de elasticidad o de Young (E), GigaPascal (GPa).
Coeficiente de Poisson (ν).
Densidad (ρ), kg/m3.
Módulo de elasticidad en cortante (G), GigaPascal (GPa).
Área de sección transversal (A), mm2.
Área de momentos de inercia alrededor de dos ejes locales y la orientación de
estos ejes respecto a los ejes globales (A), mm2.
3.1.10 Constantes de desplazamiento.
Los desplazamientos deben ser constantes en uno o más puntos en el modelo, y en
casos donde pueda ser posible, todos los grados de libertad deben ser constantes al
menos en un punto, para prevenir el movimiento de cuerpo rígido del modelo, con
el fin de equilibrar la entrada de fuerzas externas en el mismo.
Donde estas no son fuerzas o momentos externos, es aconsejable tener constantes
al menos en un punto.
3.1.11 Fuerzas aplicadas.
Los valores utilizados como constantes son importantes por el orden que
imprimen a los elementos durante el desarrollo del fenómeno de aplicación de
cargas y el comportamiento que el elemento de estudio tiene respecto a ello. Sin
embargo, la actuación de las fuerzas es fundamental ya que, no solamente se trata
de magnitudes de carga sino de otros factores tales como dirección, sentido,
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
104
puntos de aplicación, tipos de carga, etc. Por tanto, ahondar un poco sobre el
particular permite otra vez, un mejor aprovechamiento de este método de análisis
numérico.
Así pues, las fuerzas aplicadas pueden ser categorizadas en los siguientes tres
grupos:
A. Fuerzas puntuales aplicadas en los nodos.
B. Fuerzas distribuidas, tipo presión.
C. Fuerzas de cuerpo, tipo centrifuga y magnética.
De cualquier forma, como las fuerzas son ingresadas al programa, todas ellas son
convertidas en puntos de carga aplicadas en los nodos.
Fuerzas nodales directas.
Las fuerzas nodales son especificadas de acuerdo al grado de libertad, de esta
manera cada grado de libertad de un nodo puede tener diferente amplitud de
fuerza. La dirección de la fuerzas es especificada por el signo de la amplitud
relativa de la fuerza del sistema global de coordenadas.
Fuerzas no coincidentes con los ejes globales son representadas por el vector suma
de las componentes de fuerza individual.
Así como cada tipo de fuerza genera respuestas diferentes por parte de la pieza
sobre la que actúa, es necesario conocer cómo son los tipos de elementos que
estarán sometidos a dichas fuerzas.
3.1.12 Tipos de elementos
Con la discretización del dominio de estudio se idealiza la región física de interés.
Así, por ejemplo, una estructura puede idealizarse empleando elementos axiales,
mientras que las regiones planas pueden ser discretizadas con elementos en forma
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
105
de polígonos, como es el triángulo, y los sólidos por elementos poliédricos, como es
el caso del tetraedro.
Conforme las investigaciones del campo del método del elemento finito han
requerido de discretizaciones más exactas, ha sido preciso emplear elementos de
forma complicada. Así, los problemas idealizados con elementos unidimensionales,
en los cuales se presenta una flexión excesiva, no pueden manejarse
adecuadamente empleando elementos axiales simples con funciones de
desplazamiento lineales. Por tanto, se deriva el elemento curvo empleando una
expansión cúbica para la función de desplazamiento. Adicionalmente, para
considerar factores tales como la deformación del cuerpo rígido y estados de
deformación permanente, se hace necesaria la inclusión de elementos de
refinamiento.
El analista puede seleccionar alguna de las siguientes tres categorías de elementos
finitos:
A. Elementos de forma simple sin refinamiento.
B. Elementos de forma simple de segundo orden.
C. Elementos de forma complicada con refinamiento.
Los tipos de elementos pueden dividirse en pequeños grupos básicos:
unidimensional, bidimensional, sólido tridimensional, viga y placa. Otros
elementos especiales son elemento resorte, gap y amortiguador.
Figura 3. 1 Tres tipos de elementos para discretizar una región dada.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
106
Los elementos unidimensionales tienen una sección transversal determinada, pero
por lo general se representan esquemáticamente como un segmento de línea. El
área de sección transversal puede variar a lo largo de su longitud.
La figura 3.2a muestra un elemento unidimensional sin refinamiento, el cual tiene
dos nodos, uno en cada extremo. El elemento unidimensional cuadrático de la
figura 3.2b, tiene tres nodos, mientras que el elemento cúbico de la figura 3.2c
tiene cuatro nodos.
Los elementos finitos bidimensionales, que se emplean con mayor frecuencia son el
triángulo y el cuadrilátero. La figura 3.3a muestra elementos lineales de ambos tipos,
mientras que la figura 3.3b muestra un elemento de orden superior, el cual puede tener
ambos tipos de elementos en un mismo dominio siempre que éstos tengan la misma
cantidad de nodos en los lados que comparten elementos adyacentes, como lo ilustra la
figura 3.3c. El espesor de los elementos puede ser constante, o bien puede variar en
función de las coordenadas del elemento.
El elemento bidimensional puede estar en cualquier plano de esfuerzos o plano de
tensiones. Estos elementos pueden ser usados cuando todas las fuerzas y
desplazamientos actúan en el plano. Además, tiene dos grados de libertad por
nodo; formas incluidas son el cuadrilátero y el triángulo. Estos elementos pueden
tener nodos sólo en sus vértices o tenerlos adicionales en puntos medios.
Figura 3. 2 Ejemplos de elementos finitos unidimensionales.
Figura 3. 3 Ejemplos de elementos finitos bidimensionales.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
107
Los elementos tridimensionales más comunes son los tetraedros y paralelepípedos
mostrados en las figuras 3.4a y 3.4b. En ambos casos, los elementos lineales sólo
presentan lados rectos, mientras que los de orden superior pueden tener
superficies curvas.
Otro grupo de elementos tridimensionales que pueden emplearse en problemas
con formas cilíndricas, se muestra la figura 3.4c. Dichos elementos son similares al
elemento triangular bidimensional, excepto que éstos permiten la variación de su
tercera dimensión.
Los sólidos tridimensionales están formulados como una extensión directa de los
elementos bidimensionales. Además, tienen tres grados de libertad por nodo y
traslación en las direcciones x, y, y z. Las formas incluidas son: tetraedro, cuña y
prismas rectangulares.
Como los casos bidimensionales, estos elementos pueden tener nodos sólo en sus
vértices y a lo largo de sus puntos medios.
Elementos Beam.
Los elementos viga tiene un sólo nodo en cada extremo, pero grado de libertad
rotacional en orden de transferir momentos tan bien como fuerzas en los mismos,
es decir, tres desplazamientos más tres rotaciones o inclinaciones. Las fuerzas en
los nodos consisten en tres fuerzas y tres momentos.
Estos elementos suponen variar constante o linealmente las propiedades de
sección transversal. Propiedades como área de sección transversal y momentos de
Figura 3. 4 Ejemplos de elementos finitos tridimensionales, a) De 1er orden, b) y c) De 2º
orden.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
108
inercia deben ser ingresadas para elementos viga porque la geometría de la misma
no puede estar determinada a partir de dos nodos.
Elementos Plate.
Estos elementos junto con los shell también tienen seis grados de libertad por
nodo. La mayoría de los elementos plate tienen sólo un nodo en sus vértices así
que el espesor del plate debe ser especificado como una constante o variación
lineal.
Sabiendo las posibles conformaciones de elementos que brinda este método, la
construcción del elemento de estudio depende solamente de utilizar bien las
consideraciones al respecto planteadas.
3.1.13 Modelo de elemento finito
El objetivo ideal en el desarrollo de la malla de trabajo es que la densidad relativa
del elemento debe seguir la distribución de esfuerzos.
Los elementos “cuadrilátero” deben ser tan cuadrados como sea posible, y los
elementos triangulares deben ser equiláteros siempre que sea posible,
especialmente en áreas críticas.
La distorsión en el grosor de los elementos debe ser evitada en cualquier parte del
modelo, aún en áreas no críticas.
Los elementos triangulares y cuña deben ser usados en la transición de áreas entre
mallados fino y ordinario.
Los elementos contiguos deben compartir nodos comunes y grados de libertad
también comunes.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
109
Tabla 3.1 Guía para la división del modelo en elementos.
Los tipos de elementos deben ser consistentes, es decir, los elementos
tridimensionales y bidimensionales no pueden ser mezclados en el mismo análisis.
Elementos plate y beam si pueden ser mezclados con elementos sólidos
tridimensional cuando la rotación del grado de libertad lo explica.
Los elementos deben ser pequeños y en gran cantidad en las áreas donde se prevé
un alto gradiente de esfuerzos. Estas áreas pueden ser: filetes, agujeros y muescas.
Un mallado extremadamente fino debe ser usado cuando las fuerzas sean aplicadas
cerca de las áreas de alto esfuerzo. Al aplicar estas fuerzas hay que cuidar la
deformación de la distribución de esfuerzos cerca del punto de aplicación.
Como medida precautoria en el momento de utilizar el elemento modelado, es
recomendable revisar dicho modelo, así como también los valores de variable y
tipos de ellas ingresados al programa, para que siempre haya concordancia entre
lo que se ingresa, y lo que se obtiene del mismo.
3.1.14 Depuración de modelos de elemento finito.
Una larga proporción del total del tiempo en generar un modelo de elemento finito
es usado en eliminar fallas del mismo.
Un típico modelo para este método numérico puede ser dividido en cuatro áreas:
geometría, propiedades del material, fuerzas aplicadas y restricciones espaciales.
Geometría: Los problemas de geometría pueden ser clasificados como obvios
(distorsión o deformación del elemento) y no tan obvios (elemento sin conectar o
perdidos, pequeñas inexactitudes en dimensiones).
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
110
Propiedades de la materia: La entrada de datos para las propiedades del material
es bastante pequeña: módulo de Young y coeficiente de Poisson son siempre
requeridos.
Sin embargo, los dos errores más comunes son:
1. Módulo de Young incorrecto por la potencia de 10.
2. Inconsistencia en las unidades son asumidas por la densidad del material.
Ya que el método del elemento finito es no dimensional, el usuario debe
asegurarse de que las unidades usadas son consistentes.
NOTA: Cuando más de un material es usado en el modelo algún elemento puede ser
indicado con diferente color.
Fuerzas aplicadas
Las fuerzas aplicadas deben serlo en los nodos, tomando en cuenta lo siguiente:
1. Una adecuada magnitud.
2. La localización correcta.
3. La dirección adecuada.
Constantes de desplazamiento
Los dos problemas más comunes con las condiciones desplazamientos son:
1. Constantes de nodo pérdidas.
2. Constantes sobrelimitadas.
La siguiente tabla muestra las posibles causas de error y falla en la interpretación
de un problema ingenieril, así como los efectos de ellas sobre los resultados
obtenidos por el programa.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
111
Tabla 3.2 Síntomas y sus posibles causas.
SÍNTOMAS POSIBLES CAUSAS
Deflexión excesiva pero esfuerzos
anticipados.
Módulo de Young demasiado bajo
y/o constantes nodales perdidas.
Deflexión y esfuerzo excesivos. Las fuerzas aplicadas son demasiado
altas, las coordenadas nodales
incorrectas, aplicación de fuerzas en
nodos equivocados.
Discontinuidad interna en el
esfuerzo y la deflexión.
Aplicación de fuerzas en nodos
equivocados, elemento interno
perdido o doble.
Discontinuidad a lo largo del límite. Constante nodal perdida, fuerza
aplicada en nodo equivocado.
Muy alta y muy baja frecuencia
natural respecto de la anticipada.
Deflexión estática aceptable y no
aceptable.
Densidad incorrecta, módulo de
Young incorrecto.
Abertura interna, abriéndose el
modelo bajo cargas, discontinuidad
de esfuerzos.
Unión nodal inapropiada.
Como una reiteración de la importancia que la depuración de los datos de entrada
y demás consideraciones iniciales tiene para la obtención de resultados confiables
y útiles, es expuesto a continuación un tema que busca ampliar los puntos de
cuidado que el analista debe tener al usar MEF.
3.1.15 Verificación de resultados.
Quienes usan el método del elemento finito como herramienta de análisis, deben
entender las limitaciones de los procedimientos del mismo; desafortunadamente,
no siempre es así. Por tanto, se presentan a continuación varias fuentes de error
que pueden contribuir a resultados incorrectos:
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
112
1. Error en la entrada de datos tales como propiedades físicas y dimensiones:
el error puede ser corregido simplemente listando y verificando las
propiedades físicas y coordenadas de nodos o keypoints (puntos
definiendo los vértices del objeto).
2. Seleccionar tipos de elementos inapropiados.
3. Forma de elemento pobre y después tamaño de mallado: esta área es de
gran importancia en cualquier análisis de elemento finito, ya que la
inapropiada forma del elemento y tamaño afectará en la precisión de los
resultados.
4. Aplicando condiciones de carga de frontera equivocadas: este paso es
usualmente el más difícil aspecto del modelado. Esto implica tomar un
problema actual y estimar las cargas y las apropiadas condiciones límite
(boundary) para un modelo. Este paso requiere buen juicio y algo de
experiencia.
3.1.16 Ventajas y limitaciones del método del elemento finito.
Una de las mayores ventajas del método del elemento finito, es la posibilidad de
analizar cuerpos formados por distintos materiales, cuyas propiedades pueden
diferir. Tal es el caso del módulo de elasticidad, la conductividad térmica,
anisotropía, entre otros.
Para el caso de las partes críticas se pueden utilizar pequeños elementos, con lo
cual se tendrán resultados más precisos.
También es relevante mencionar el gran número de cálculos involucrados en la
solución de problemas prácticos, lo que imposibilita su manipulación manual, de
ahí la necesidad de contar con una computadora cuando se usa el MEF. Por otra
parte, las cifras obtenidas deben ser cuidadosamente analizadas y corroboradas
con resultados ya sean analíticos o experimentales [39].
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
113
A continuación, se presenta un análisis de frecuencias hecho en un programa de
simulación, el cual, sirve como base para posteriormente hacer el análisis dinámico
transitorio modal de la placa de fijación.
3.2 Análisis de frecuencias en vibración libre.
Este tipo de análisis se emplea para determinar las diferentes frecuencias
naturales y sus formas modales.
Así pues, para poder realizar un análisis de frecuencias en vibración libre se deben
seguir los siguientes pasos en Solidworks Simulation:
1. Creación de un nuevo Estudio de Frecuencia.
2. Definición de las propiedades del ensayo de Frecuencia.
3. Selección del material.
4. Definición de las sujeciones.
5. Aplicación de cargas.
6. Creación del mallado.
7. Ejecución de la simulación.
8. Visualización de resultados.
De acuerdo a estos pasos a seguir, se crea inicialmente un nuevo Estudio de
Frecuencia al que se denomina como: Análisis de Frecuencias de la Placa de fijación;
posteriormente, los parámetros a considerar en Propiedades del ensayo de
Frecuencia son: el número de frecuencias, el límite superior de frecuencia y el tipo
de Solucionador (Solver, en inglés) que deseamos emplear.
Tabla 3.3 Datos a ingresar en Propiedades del Análisis de Frecuencias.
Número de frecuencias 5
Límite superior de frecuencia 618 Hz.
Solucionador Automático
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
114
Una explicación sencilla acerca del Solucionador se proporciona a continuación:
Automático. Se refiere a que Solidworks Simulation selecciona el Solucionador
(Solver) más adecuado a las condiciones del estudio en función del rendimiento de
cálculo y la efectividad. Ahora bien, el programa de simulación aquí empleado
contiene dos tipos de Solucionadores (Solvers): Direct Sparse y FFEPlus.
Direct Sparse. Emplea técnicas numéricas exactas en la resolución de las
ecuaciones matemáticas del cálculo. Se recomienda su uso cuando el modelo sea
sencillo. En problemas más complejos como resolución de ensayos con muchas
piezas el proceso de cálculo se demora y tardará más tiempo.
FFEPlus. Método de cálculo iterativo y por aproximación. En cada iteración
determina una solución y evalúa el error cometido. Se calculan iteraciones hasta
obtener errores admisibles. Es un Solver rápido en la resolución de problemas con
más de 100.000 grados de libertad. Es más eficaz cuanto mayor sea el problema a
resolver. Se recomienda su uso en estudios no lineales con más de 50.000 grados
de libertad.
Aunado a lo anterior, tenemos que de acuerdo al tercer paso, se selecciona el
material que en este caso es: acero ASTM A36 (ver tabla 3.4).
Tabla 3.4 Propiedades mecánicas del acero ASTM A36.
Densidad específica ( ) 7850 kg/m3
Módulo de elasticidad ( E ) 190 – 210 GPa
Relación de Poisson ( ) 0.27 – 0.30
Esfuerzo de fluencia ( Ys ) 250 MPa
Esfuerzo último ( Us ) 400 – 550 MPa
Después se especifican los puntos de sujeción que en la realidad tiene la pieza de
estudio; para lograr esto, se seleccionan cuatro puntos de sujeción (ver figura 3.5):
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
115
tres aristas que corresponden a los agujeros en los cuales se atornilla la placa y
solo la arista del centro que corresponde al agujero central.
Luego, en Aplicación de cargas no se considera ninguna carga debido a que en este
caso en particular se considera vibración libre.
Posteriormente, en Creación del mallado, se desea mallar a la placa de fijación; por
tanto, para lograr esto, se considera un grosor de malla: regular. La figura 3.6
muestra a la pieza de estudio ya mallada.
Figura 3. 5 Puntos de sujeción en Placa de fijación.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
116
Con la malla ya elaborada, se ejecuta la simulación y se obtienen los resultados, los
cuales, se presentan a continuación.
3.2.1 Resultados.
En la tabla 3.5 se presenta el informe de resultados proporcionados por el
Solucionador (Solver) acerca del análisis de frecuencias efectuado.
Tabla 3.5 Informe de resultados
Número de nodos 20263
Número de elementos 9940
Número de grados de libertad 60381
Tiempo total de solución 00:00:26
Figura 3. 6 Malla de sólido.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
117
En la tabla 3.6 se muestran los valores en Hertz de las 5 frecuencias naturales
calculadas y el periodo correspondiente a cada una de las mismas [43].
Tabla 3.6 Frecuencias Naturales de la placa de fijación
Número de Modo de Frecuencia Frecuencia (Hz)
1 918.78
2 919.09
3 1623
4 1627.1
5 1652.5
A continuación, en las figuras 3.7 a 3.11 se presentan los modos de forma de cada
una de las frecuencias calculadas en el presente análisis, con sus respectivos
valores de frecuencia. Cabe aclarar que la orientación de cada imagen es la misma,
esto para ver el efecto que tienen cada una de las frecuencias naturales [44].
Figura 3. 7 Modo 1. Análisis de frecuencias - Vibración libre.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
118
Figura 3. 8 Modo 2. Análisis de frecuencias - Vibración libre.
Figura 3. 9 Modo 3. Análisis de frecuencias - Vibración libre.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
119
Figura 3. 10 Modo 4. Análisis de frecuencias - Vibración libre.
Figura 3. 11 Modo 5. Análisis de frecuencias - Vibración libre.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
120
3.3 Análisis Dinámico Transitorio Modal de la placa de
fijación.
En esta sección se muestran los resultados del Análisis de Frecuencias Naturales
con carga, el cual, sirve para saber qué frecuencias resonantes presenta la placa de
fijación cuando se le aplica una carga.
Así pues, para poder realizar un Análisis Dinámico Transitorio Modal considerando
a la carga como masa remota, se deben de seguir los siguientes pasos en
Solidworks Simulation:
1. Creación de un nuevo Estudio de Movimiento > Tipo: Dinámica Líneal >
Opciones: Gráfico de historia-tiempo.
2. Definición de las propiedades del Estudio de Movimiento.
3. Selección del material.
4. Definición de las sujeciones.
5. Aplicación de cargas.
6. Definición de amortiguamiento.
7. Personalización de Opciones de resultados.
8. Creación del mallado.
9. Ejecución de la simulación.
10. Visualización de resultados.
Por tal motivo, para empezar se crea un nuevo estudio de movimiento al que se le
denomina: Análisis Dinámico Transitorio Modal de la Placa de fijación. En seguida,
se introducen en propiedades del estudio de movimiento los parámetros
mostrados en la tabla 3.7.
Tabla 3.7 Datos a ingresar en propiedades del estudio de movimiento.
Opciones de Frecuencia
Número de frecuencias 5
Límite superior de frecuencia 618 Hz
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
121
Solucionador Automático
Opciones dinámicas
Hora de inicio 0 s
Tiempo final 0.012 s
Incremento de tiempo 6x10-5 s
Ahora bien, tanto la selección del tipo de material como el establecimiento de los
puntos de sujeción de la placa de fijación, siguen el mismo procedimiento que en el
Análisis de frecuencia - Vibración libre.
En el caso de la aplicación de la carga, se considera a la masa de ¼ del automóvil
(300 kg) como una Carga/Masa Remota que actúa sobre la placa de fijación tal
como se muestra en la figura 3.12. En este mismo paso, en la sección de variación
en el tiempo se crea la curva en el apartado: Variación en el tiempo; esto se logra
en base a distintos tiempos propuestos de forma que se logre encontrar la
respuesta de la placa de fijación ante su excitación (Impulso).
Figura 3. 12 Placa de fijación con Carga/Masa remota
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
122
Para el caso del amortiguamiento, se introduce en cociente de amortiguamiento un
valor de 0.02, porque este valor es el que se considera para el material
seleccionado para esta pieza automotriz.
Respecto a las Opciones de resultados, se consideran los parámetros mostrados en
la tabla 3.8.
Tabla 3.8 Parámetros necesarios en Opciones de resultados
Pasos de solución – Conjunto 1
Paso n°
Inicio 1
Fin 200
Incremento 1
Posteriormente, se crea la malla como en el Análisis de frecuencias – Vibración
libre, es decir, se considera un grosor de malla: regular.
Una vez creada la malla, se ejecuta la simulación y se obtienen los resultados, los
cuales, se exponen a continuación.
3.3.1 Resultados.
En la tabla 3.9 se presenta el informe de resultados proporcionados por el
Solucionador (Solver) acerca del Análisis Dinámico Transitorio Modal efectuado.
Tabla 3.9 Informe de resultados
Número de nodos 10801
Número de elementos 5245
Número de grados de libertad 0
Tiempo total de solución 00:00:47
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
123
En la tabla 3.10 se muestran los valores en Hertz de las 5 frecuencias naturales
calculadas y el periodo correspondiente a cada una de las mismas [43].
Tabla 3.10 Frecuencias Naturales de la placa de fijación
Número de Modo de Frecuencia Frecuencia (Hz)
1 957.7
2 958.88
3 1625.2
4 1628.1
5 1655.9
A continuación, en las figuras 3.13 a 3.17 se presentan los modos de forma de cada
una de las frecuencias calculadas en el presente análisis, con sus respectivos
valores de frecuencia. Cabe aclarar que la orientación de cada imagen es la misma,
esto para ver el efecto que tienen cada una de las frecuencias naturales [44].
Figura 3. 13 Modo 1. Análisis de frecuencias con carga.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
124
Figura 3. 14 Modo 2. Análisis de frecuencias con carga.
Figura 3. 15 Modo 3. Análisis de frecuencias con carga.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
125
Figura 3. 16 Modo 4. Análisis de frecuencias con carga.
Figura 3. 17 Modo 5. Análisis de frecuencias con carga.
Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.
126
3.3.2 Gráfica de respuesta: Historia – Tiempo.
Esta gráfica muestra la respuesta que presenta el Análisis Modal Dinámico Transitorio
ante su excitación (Impulso), realizado en Solidworks Simulation; esto, con la idea de
comprender el comportamiento de la placa de fijación ante las irregularidades del camino.
Figura 3. 18 Respuesta de la Placa de fijación ante su excitación (Impulso).
CAPITULO IV. DISCUSIÓN DE
RESULTADOS.
Capítulo IV. Discusión de Resultados.
128
4.1. RESULTADOS.
La respuesta de una Suspensión Pasiva típica fue obtenida en Matlab® Simulink®
considerando como excitación a la función: Escalón (ver figura 4.1), en cambio, en
Solidworks Simulation se obtuvo la respuesta de la Placa de Fijación ante una
excitación de tipo: Impulso (ver figura 4.2).
Figura 4.1 Respuesta de Suspensión Pasiva típica ante Función Escalón obtenida en
Matlab® Simulink®.
Figura 4.2 Respuesta de Placa de Fijación ante su excitación (Impulso) obtenida en
Solidworks Simulation.
Capítulo IV. Discusión de Resultados.
129
Posteriormente, se realizó una Prueba Experimental (ver Apéndice A) en la que se
obtuvo la frecuencia de trabajo (618 Hz) considerando la amplitud más alta (ver
figura 4.3); con dicha frecuencia, se hace un comparativo con los datos de las
frecuencias obtenidas en Solidworks Simulation (ver tabla 4.1).
Tabla 4.1 Comparativo entre frecuencias obtenidas de forma experimental y
frecuencias obtenidas en Solidworks Simulation.
Frecuencia de Trabajo
(Hz)
Frecuencia Natural –
Vibración Libre (Hz)
Frecuencia Natural – con
Carga (Hz)
611 918.78 957.7
613 919.09 958.88
616 1623 1625.2
617 1627.1 1628.1
618 1652.5 1655.9
Figura 4.3 Gráfica de frecuencias obtenidas en Prueba Experimental.
130
CONCLUSIONES.
Se empleó Matlab® Simulink® y Solidworks Simulation con el objeto de
encontrar el comportamiento mecánico dinámico de la Placa de Fijación.
Con Matlab® Simulink® se creó un diagrama de bloques para una
suspensión pasiva típica de un automóvil considerando una excitación de
tipo escalón. Con esto, se encontró la respuesta de una suspensión pasiva
típica de un automóvil.
Con Solidworks se modelo y simuló la placa de fijación con el objeto de
obtener la respuesta de la placa de fijación. Así pues, se modelo en
Solidworks la placa de fijación con dimensiones propuestas.
Posteriormente, se realizó un Análisis de Frecuencias para conocer el
comportamiento de esta pieza en vibración libre, es decir, sin aplicación de
carga. A continuación, se empleó la información obtenida en el Análisis de
Frecuencias para realizar un nuevo estudio de simulación: Análisis Modal
Transitorio Dinámico; con esto, se pudieron obtener resultados
satisfactorios con lo cual se puede ver el comportamiento de la placa
cuando se le aplica una carga. Con esto último, se encuentran las
Frecuencias Resonantes, las cuales, son las que se deben de evitar cuando se
realice el diseño de la placa de fijación para evitar caer en Resonancia.
Considerando que se necesitó conocer la frecuencia de trabajo de la placa
de fijación, se realizó una Prueba Experimental (ver Apéndice A) con la cual
se pudieron obtener frecuencias cuando la placa de fijación de un automóvil
se conduce por un terreno irregular, es decir, un terreno que contiene
numerosos baches. De dichas frecuencias, solo se considera una frecuencia
de acuerdo a la amplitud más alta (ver figura A.4) y ésta es la frecuencia de
trabajo real.
131
Comparando los resultados obtenidos en Solidworks y en la Prueba
Experimental, se comprueba que la frecuencia de trabajo está muy por
debajo de cualquiera de las frecuencias resonantes, con lo cual se concluye
que la Placa de Fijación es una pieza automotriz que es sumamente
resistente y que está diseñada para una larga vida útil.
Para corroborar lo de la vida útil de la Placa de Fijación se realizó un
Análisis de Fatiga (ver Apéndice B) con ayuda del programa: Ansys
Workbench. Después de realizar dicho análisis, se obtiene que este
componente automotriz tiene un número de ciclos alto al ser mayor a 106 y,
por tanto, se considera que esta pieza tiene una duración infinita.
Finalmente, gracias a todo lo realizado en el presente trabajo de tesis, se
conoce la respuesta de la placa de fijación ante un terreno irregular; con lo
cual, ya se puede comprender mejor el comportamiento de esta pieza
automotriz cuando se encuentra en un automóvil en movimiento ante
condiciones no ideales. Asimismo, todo esto servirá como una metodología
para poder mejorar el diseño de esta pieza automotriz y, de alguna forma,
para cualquier pieza de una suspensión pasiva típica.
132
TRABAJOS FUTUROS.
Programar en Matlab® Simulink® el diagrama de bloques para el Sistema
Masa-Resorte-Amortiguador considerando todas aquellas excitaciones que
provengan del terreno para obtener una respuesta más completa del
sistema.
Elaborar modelo de la Suspensión MacPherson y simular en Matlab®
Simulink® la suspensión de un automóvil al pasar por un tope y luego por
un bache, para poder entender su comportamiento, lo cual, sería muy
cercano a lo que sucede en la realidad.
Proponer nuevas geometrías para la Placa de Fijación en un programa de
modelado como Solidworks.
Proponer nuevos materiales para la Placa de Fijación, simular y evaluar en
base a los resultados si el cambio del material puede disminuir el costo y
aumentar la resistencia de la pieza.
Mejorar el diseño de la pieza haciéndolo más rígido al agregar más barrenos
de sujeción; es decir, en vez de que solo sean 3 sujeciones, proponer 6. De
esta forma se reduce la concentración de esfuerzos alrededor de los
barrenos que son puntos críticos porque tienen el menor valor del factor de
seguridad a la fatiga.
Realizar diversas pruebas experimentales con ayuda de un mejor y
moderno sistema de adquisición de datos que el que se empleó en este
trabajo.
133
APÉNDICES
APÉNDICE A. Prueba experimental a Placa de Fijación empleando Sistema de
adquisición de datos.
Se realizó una prueba experimental a la placa de fijación con la idea de conocer su
comportamiento vibratorio ante condiciones todo terreno. Por tal motivo, se llevó
a cabo la prueba en un automóvil compacto en un camino irregular. Los datos de
esta prueba se obtuvieron mediante un Sistema de adquisición de datos
posicionado justo encima de la placa de fijación, la cual, se encuentra en la parte
superior de una Suspensión MacPherson; asimismo, se empleó una computadora
portátil para guardar los datos.
Es importante decir que el Sistema de adquisición de datos contiene un
acelerómetro, el cual, registra lo siguiente:
Aceleraciones en los ejes X, Y y Z, medidas en metros por segundo al
cuadrado (m/s2).
Diferencia de Tiempo, medida en milisegundos (ms).
Este tipo de datos se guardaron en un archivo de texto (.txt).
Posteriormente, se desarrolló un programa en Matlab® para poder ordenar y
graficar los datos del archivo de texto. Ejemplo de ello, se muestra a continuación:
clc clear all
data =-9.81+[1.156 0.292 10.095 20 1.152 0.293 10.097 20 1.151 0.27 10.123 20 1.155 0.264 10.126 20 1.177 0.248 10.119 20 1.178 0.265 10.14 20 1.167 0.265 10.117 20 1.174 0.265 10.125 20
134
1.185 0.264 10.112 20 1.179 0.281 10.125 20 1.179 0.278 10.119 20 1.163 0.286 10.135 20
1.17 0.31 10.125 20 1.162 0.293 10.105 21 1.174 0.271 10.095 19 1.178 0.284 10.098 20 1.185 0.286 10.116 21 1.163 0.267 10.102 20 1.164 0.268 10.126 20 1.173 0.276 10.122 20
.
.
.
.
. 1.291 -0.03 10.044 20 1.309 -0.04 10.047 20 1.294 -0.037 10.043 20 1.306 -0.042 10.058 20 1.317 -0.05 10.059 20 1.305 -0.033 10.051 20 1.311 -0.037 10.054 20 1.306 -0.03 10.05 20 1.309 -0.037 10.055 20 1.288 -0.032 10.068 20 1.327 -0.032 10.013 20 1.284 -0.028 10.053 20 1.31 -0.033 10.041 20 1.304 -0.035 10.04 20 1.312 -0.046 10.068 20 1.299 -0.041 10.044 20 1.31 -0.039 10.043 20];
%%
for i=1:63663 dato1(i,1)=data(i,1); dato2(i,1)=data(i,2); dato3(i,1)=data(i,3); i=i+1; end subplot(3,3,1);plot(dato1) subplot(3,3,2);plot(dato2) subplot(3,3,3);plot(dato3)
Es importante tomar en cuenta del programa en Matlab® apenas mostrado, que la
aceleración debida a la gravedad se suma debido a que se despreció en el Sistema
de adquisición de datos antes de realizar la prueba.
135
Luego, una vez ejecutado el programa se obtuvo la siguiente gráfica en el espacio
del tiempo:
Ahora bien, si consideramos solamente al eje Z de esta gráfica y si desde Matlab®
se visualiza su zona crítica, se presenta la siguiente gráfica:
En la figura A.2 se muestra en el eje X el valor del tiempo; mientras que, en el eje Y
se muestra el valor de la aceleración en m/s2. De dicha figura se obtiene en forma
aproximada lo siguiente:
Aceleración positiva más alta = 8 m/s2
Aceleración negativa más alta = -18 m/s2
Figura A. 1 Gráfica de Aceleración Vs Tiempo, considerando los ejes X, Y y Z.
Figura A. 2 Gráfica de Aceleración Vs Tiempo de la zona crítica del eje Z.
136
Con estos datos, es posible calcular las fuerzas máxima y mínima.
A continuación, se agregó al programa hecho en Matlab® una serie de
instrucciones para que, mediante la ejecución de la transformada rápida de
Fourier, se obtenga una gráfica en el espacio de las frecuencias. Ejemplo de ello, se
muestra a continuación:
clc clear all
data =-9.81+[1.156 0.292 10.095 20 1.152 0.293 10.097 20 1.151 0.27 10.123 20 1.155 0.264 10.126 20 1.177 0.248 10.119 20 1.178 0.265 10.14 20 1.167 0.265 10.117 20 1.174 0.265 10.125 20 1.185 0.264 10.112 20 1.179 0.281 10.125 20 1.179 0.278 10.119 20 1.163 0.286 10.135 20
1.17 0.31 10.125 20 1.162 0.293 10.105 21 1.174 0.271 10.095 19 1.178 0.284 10.098 20 1.185 0.286 10.116 21 1.163 0.267 10.102 20 1.164 0.268 10.126 20 1.173 0.276 10.122 20
.
.
.
.
. 1.291 -0.03 10.044 20 1.309 -0.04 10.047 20 1.294 -0.037 10.043 20 1.306 -0.042 10.058 20 1.317 -0.05 10.059 20 1.305 -0.033 10.051 20 1.311 -0.037 10.054 20 1.306 -0.03 10.05 20 1.309 -0.037 10.055 20 1.288 -0.032 10.068 20 1.327 -0.032 10.013 20 1.284 -0.028 10.053 20 1.31 -0.033 10.041 20 1.304 -0.035 10.04 20
2 2
.300 8 / 2400 / 2400
MÁXF ma kg m s kgm s N
2 2
.300 18 / 5400 / 5400
MÍNF ma kg m s kgm s N
137
1.312 -0.046 10.068 20 1.299 -0.041 10.044 20 1.31 -0.039 10.043 20];
%%
for i=1:63663 dato1(i,1)=data(i,1); dato2(i,1)=data(i,2); dato3(i,1)=data(i,3); i=i+1; end subplot(3,3,1);plot(dato1) subplot(3,3,2);plot(dato2) subplot(3,3,3);plot(dato3)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Fs = 20000; % Sampling frequency T = 1/Fs; % Sample time L = 63663 % Length of signal t = (0:L-1)*T; % Time vector z = dato3; % Sinusoids plus noise plot(Fs*t(1:63663),z(1:63663)) title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise') xlabel('time (milliseconds)')
NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y Y = fft(z,NFFT)/L; f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);
% Plot single-sided amplitude spectrum. plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)') xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('|Y(f)|')
Al ejecutar este último programa, se obtiene la siguiente gráfica:
Figura A. 3 Gráfica de Aceleración Vs Tiempo para los ejes X y Y. Gráfica de Amplitud
Vs Frecuencia para el eje Z.
138
Ahora bien, si consideramos solamente al eje Z de esta gráfica y, si desde Matlab®
se visualiza su zona crítica, se presenta la siguiente gráfica en el espacio de las
frecuencias:
Los valores que se muestran en esta última gráfica revelan que aunque exista alta
frecuencia en su zona más crítica, la Placa de Fijación no falla debido a un
comportamiento vibratorio. Por ello, es necesario hacer un Análisis de Fatiga para
poder conocer la vida útil de este componente automotriz.
Figura A. 4 Gráfica de Amplitud Vs Frecuencia de
la zona crítica del eje Z.
139
APÉNDICE B. Análisis de Fatiga de Placa de Fijación en Ansys.
Antes de comenzar la explicación de este tipo de análisis, se definirá en forma
breve a la fatiga.
La fatiga es el fenómeno en el que una estructura cargada en forma repetida, se
fractura a un nivel de carga inferior de su resistencia última estática. Por ejemplo,
una barra de acero puede resistir con éxito una aplicación de carga estática de
tensión de 100 kN, pero puede fallar después de 1 millón de repeticiones de una
carga de 200 kN.
Los principales factores que contribuyen a fallas por fatiga incluyen:
El número de ciclos de carga experimentada.
Rango de esfuerzo experimentado en cada ciclo de carga.
El esfuerzo medio experimentado en cada ciclo de carga.
La presencia de concentraciones de esfuerzo locales. [47]
A continuación, se explica a detalle lo concerniente al Análisis de Fatiga.
Para poder llevar a cabo esto, es necesario seguir estos pasos en el programa Ansys
Workbench v.11:
Realizar análisis estático estructural.
Solucionar.
Aplicar herramienta de Fatiga.
Antes de iniciar con la explicación de los pasos aquí mencionados, se presentan las
características del equipo de cómputo con que se realizó este análisis:
Procesador Intel Pentium Dual CPU T2330, a una velocidad de 1.60 GHz
140
Memoria RAM de 1 GB
Disco duro de 320 GB
Unidad de DVD RW (grabador de DVD)
Sistema Operativo: Windows 7 Profesional de 32 Bits.
De acuerdo a los pasos mencionados, se comienza a explicar el análisis estático
estructural; por tanto, para llevar a cabo este tipo de análisis se debe hacer esto:
1. Se ejecuta el programa Ansys Workbench v.11 y se selecciona de la ventana
principal la opción: Empty Project (Proyecto vacío).
2. Aparece una nueva ventana en la cual se elige: New geometry (Nueva
geometría).
Figura B. 1 Nuevo proyecto en Ansys Workbench 11
Figura B. 2 Ventana de inicio para seleccionar Nueva Geometría
141
3. Se seleccionan las unidades de trabajo, en este caso, milimeter (milímetros).
4. Se Importa el modelo de Placa de Fijación de la ubicación donde se
encuentre guardado; luego, se da clic en el ícono de confirmación de
geometría: Generate (Generar).
Figura B. 3 Selección de las unidades.
Figura B. 4 Importación de geometría externa.
142
5. Con el modelo ya listo, ir a la pestaña: Project y seleccionar una nueva
simulación: New Simulation (Nueva Simulación).
6. En Geometry (Geometría) dar clic en el signo de mas (+), aparecerá una
opción de superficies, seleccionar: solid (sólido); luego buscar entre las
opciones que aparecen en la parte inferior izquierda: Details of (Detalles
de), la opción: Definition (Definición); una vez allí, dar clic derecho en:
Material, para agregar, importar o editar el material que corresponde al
elemento de estudio. Se opta por la opción: Edit Material (Editar Material),
aparece una nueva ventana: Engineering Data (Datos de Ingeniería), en la
que se podrán editar y agregar datos, tales como: Módulo de Elasticidad,
Densidad, Relación de Poisson, etc.; asimismo, en dicha nueva ventana, se
puede modificar el nombre del material que aparece en forma
predeterminada. Por tanto, el material seleccionado para la Placa de
Fijación es: Acero ASTM A36.
Figura B. 5 Selección de una nueva simulación.
Figura B. 6 Reconocimiento de Geometría.
143
7. Se cierra la ventana: Engineering Data, y se vuelve a la ventana: Simulation
(Simulación); allí, se busca la opción: Environmental (Entorno), se da clic
derecho, se elige la opción: Rename (Renombrar) y se escribe: Static
Structural (Análisis Estático Estructural); posteriormente, se da clic con el
botón derecho a Static Structural, luego se elige la opción: Insert (Insertar)
y, finalmente, se opta por la opción: Fixed Support (Soporte Fijo). Se
seleccionan las caras que serán fijas y se da clic en: Apply (Aplicar cambios).
Figura B. 7 Edición de Material.
Figura B. 8 Propiedades de Acero ASTM-A36
144
Figura B. 10 Fijación de los soportes.
Figura B. 9 Procedimiento para modificar el nombre del Material.
145
8. Se da clic derecho en: Static Structural, se escoge: Insert; finalmente, se elige
Force (Fuerza). Esto servirá para aplicar la fuerza a la Placa de Fijación. Así
pues, se selecciona la cara en la cual se aplicará dicha fuerza y se asigna su
valor; ahora, solo dar clic en: Apply.
Figura B. 12 Procedimiento para seleccionar las fuerzas.
Figura B. 11 Sujeciones o Condiciones de frontera
146
|
9. Se da clic en: Solution (Solución), luego en: Insert, luego en: Stress
(Esfuerzo) y, finalmente, en: Equivalent (Von Mises). Con esto, al darle
solución a la simulación, nos mostrará, entre otras cosas, la distribución de
esfuerzos de Von Mises.
Figura B. 14 Selección del esfuerzo mediante teoría de Von-Mises.
Figura B. 13 Carga Aplicada de 300 kg.
147
10. En el caso de la deformación total, se da clic en: Solution (Solución), luego
en: Insert, luego en: Deformation (Deformación) y, finalmente, en: Total.
Figura B. 16 Procedimiento para seleccionar la Deformación Total.
Figura B. 15 Distribución de Esfuerzos de Von Mises
148
11. Para definir bajo que teoría será considerado este análisis, se toma en
cuenta a la fatiga. Por tal motivo, se da clic en: Solution, luego en: Insert,
luego en: Fatigue (Fatiga) y, finalmente, en: Fatigue Tool (Herramienta de
Fatiga).
Figura B. 18 Procedimiento para seleccionar la Herramienta de Fatiga (Fatigue
Tool).
Figura B. 17 Resultados de Deformación Total.
149
12. Seleccionar: Fatigue Tool, dirigirse a la parte inferior izquierda de la
ventana para editar: Details of “Fatigue Tool”; estando allí, ingresar un valor
adecuado en: Fatigue Strength Factor (Factor de Intensidad de Esfuerzo);
posteriormente, en: Analysis type (Tipo de Análisis), establecer el análisis
más apropiado; finalmente, en: Safety Factor (Factor de Seguridad), buscar
la opción: Design Life (Vida de Diseño) e ingresar el número de ciclos a los
que trabajará dicho elemento. [48]
Figura B. 19 Configuración de herramienta de fatiga (Fatigue Tool) – Selección de
Teoría del Esfuerzo Principal.
Figura B. 20 Resultados de Vida Útil
150
Figura B. 21 Resultados de Factor de Seguridad.
Figura B. 22 Resultados de Daño.
151
Acerca del daño es importante mencionar que se define como la relación entre la
vida de diseño (Design Life) y la vida disponible (Available Life). También se puede
entender como la vida que resta para que la pieza de estudio falle. Así pues, de
acuerdo a la figura B.22, el valor de 1x108 representa la vida disponible (Available
Life).
Figura B. 23 Resultados del Esfuerzo Alternante Equivalente.
152
APÉNDICE C. Modelado de la Placa de Fijación.
La Placa de Fijación fue modelada en Solidworks con dimensiones propuestas. Así
pues, en el plano que aquí abajo se muestra se pueden visualizar con detalle las
dimensiones y vistas principales de dicha pieza automotriz.
153
REFERENCIAS
[1] Calvo Martín, Jesús; Miravete De Marco, Antonio; 1997, Mecánica del Automóvil
Actualizada, Universidad de Zaragoza, 1ª. Edición, España, capítulo 2.
[2] Dictionary of Automotive Terms, John Barach,
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