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Trigonometria

Capítulo IConceptos Básicos

1.1 Definición .

Inicialmente, la trigonometría fué el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo y se utilizó desde hace más de dos mil años para resolver problemas de navegación, topografía y astronomía entre otros.

Actualmente, la trigonometría ha adquirido una nueva perspectiva con el desarrollo del cálculo diferencial. Las antiguas relaciones trigonométricas se interpretan ahora como funciones matemáticas . Con ésta nueva interpretación, el campo de aplicaciones físicas de la trigonometría se ha extendido a una gran variedad de fenómenos tales como las rotaciones, las vibraciones, las ondas sonoras, las ondas luminosas , las órbitas planetarias, los péndulos, etc.

1.2 Ángulos

Ángulo : Es la abertura entre dos líneas rectas llamadas lado inicial y lado terminal que se originan en un punto común llamado vértice .El lado inicial es fijo e inmóvil, mientras que el lado terminal gira alrededor del vértice hasta formar un ángulo determinado.

lado inicial

lado terminal

vértice

Ángulo positivo Ángulo negativo

lado inicial

lado terminal

vértice

Ángulo positivoÁngulo negativo :

El giro del lado terminal se indica mediante un arco circular con una punta de flecha que señala el sentido de la rotación.Si la rotación tiene la misma dirección que las manecillas de un reloj, se dice que el ángulo es negativo y si el lado terminal gira en sentido contrario a las manecillas de un reloj, el ángulo es positivo .

En consecuencia, para todo ángulo positivo existe un correspondiente ángulo negativo que tiene los mismos lados.

Pedro Ferreira Herrejon 1

Trigonometria

Posición normal : Para medir un ángulo es conveniente situarlo en un sistema rectangular de coordenadas planas, el cual consiste en un par de ejes numéricos, ( los ejes X y Y ) perpendiculares entre si. Éstos ejes se cortan en un cero común (origen) y tienen una parte positiva y otra negativa. El plano queda así dividido en cuatro partes o cuadrantes, denominados I , II , III, IV y que se numeran en sentido positivo.

Y

X

III

III IV

Se dice entonces que un ángulo está en posición normal cuando se dibuja sobre el plano XY con su lado inicial siempre sobre el eje X positivo y el vértice en el origen

El lado terminal de un ángulo quedará en uno de los cuatro cuadrantes del plano.

Grados : Un grado es una de las 360 partes iguales en que se divide la circunferencia de un círculo. Los grados se denotan por el símbolo : º . La medida de un ángulo en grados es el número de esas partes iguales que el lado terminal del ángulo intercepta en tal circunferencia .

0°

90°

180°180°

270°

360°

De ésta manera, si el ángulo está en el cuadrante . . .

I , tiene un valor comprendido entre 0º y 90º y se llama ángulo agudo . II , tiene un valor comprendido entre 90º y 180º y se llama ángulo obtuso . III , tiene un valor entre 180º y 270º IV , tiene un valor entre 270º y 360º

En particular, un ángulo que mida exactamente 90º se llama ángulo recto y uno que mida 180º se llama ángulo llano . Para medir un ángulo con mayor precisión, un grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (denotados por el símbolo : ´ ) y un minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos (denotados por el símbolo : ´´ ) . Así por ejemplo el ángulo 37° 45' 14'' se lee : "treinta y siete grados, cuarenta y cinco minutos 14 segundos "

Esta arbitraria división de la circunferencia en grados minutos y segundos es una herencia histórica relacionada con el sistema numérico sexagesimal (de base 60 ) de la antigua cultura Babilónica.


Trigonometria

Ejemplo 1. Expresar el ángulo = 36º 24´ 39´´ en forma decimal .

Solución : Dado que un minuto es la sesentava parte de un grado y un segundo es la sesentava parte de un minuto, es decir la 60 x 60 = 3600-ava parte de un grado, se tiene :

36º24´36´´ 3624

60

39

3600

0

= = 36 0.4 0.10833( )0

= 36.410833( )0

Ejemplo 2 . Dado el ángulo = 53.29605º en forma decimal, expresarlo en notación sexagesimal.

Solución : Primero separemos de los grados la parte entera y la parte decimal :

53.29605 º = 53 º + (0.29605)(1º)

Ahora, puesto que un grado tiene 60 minutos resulta. . .

53.29605 º = 53 º + (0.29605)(60´) = 53 º + 17.763 ´

Separando la parte decimal de los minutos y multiplicándola por su equivalente ensegundos, resulta . . .

53.29605 º = 53 º + 17 ´ + (0.763 )(1´)

= 53 º + 17 ´ + (0.763 )(60´´)

= 53 º + 17 ´ + 45.78´´

que simplemente se escribe como 53º 17´ 45.78´´

Ejercicios de práctica :

1. Exprese el ángulo 23° 32 ´ 15 ´´ dado en forma sexagesimal a la forma decimal

Respuesta : 23.5375( )°

2. Transforme el ángulo 137.2365° a la forma sexagesimal .Respuesta : 137° 14' 11.4''


Trigonometria

Ángulos coterminales : Son dos ángulos distintos que en posición normal tienen el mismo lado terminal

Nótese que cualquier ángulo dado tiene una infinidad de ángulos coterminales, tantos como vueltas completas gire el lado terminal en sentido positivo o negativo.

Los ángulos y son coterminales .

Ejemplo 3. El ángulo positivo coterminal comprendido entre 0º y 360º para . . .

a) =115º es: = 360° 115° = 245º

b) = 550º es : = 2 360 °( ) 550° = 170º

c) = 810º es : = 810° 2 360 °( ) = 810° 720° = 90º

Medición de un ángulo en radianes :

Dado que la división de la circunferencia en 360 partes iguales es arbitraria, no es posible considerar la medida de un ángulo en grados como una cantidad apropiada para el cálculo, es decir los grados no son números apropiados para hacer operaciones con ángulos . Es por eso que es necesario definir una medida para los ángulos que no dependa de una división arbitraria de la circunferencia o del tamaño de ésta.

Si dibujamos un ángulo en posición normal con su vértice en el centro de un

círculo de radio r entonces los lados del ángulo interceptan un arco s de la circunferencia.

Por lo tanto, la razón de ángulos :

360° es igual a la razón de arcos :

s

2 r

correspondientes, donde 2 r es la longitud del arco total de la circunferencia.

( Recordemos que 3.1415926....= representa el número de veces que cabe el

diámetro 2 r de un círculo alrededor de su circunferencia y por eso, la longitud

de la circunferencia o perímetro de un círculo de radio r es 2 r )


Trigonometria

r

s

es decir . . .

360°

s

2 r=

de donde resulta :

360°

2 r

s= ( 1 )

Se define entonces la unidad radián (abreviado rad ), como el ángulo que subtiende un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia.

Por lo tanto, una vuelta completa equivale un ángulo de 2radianes. esto es . . .

360° 2 = o bien : 360°

2 1= ( 2 )

y la proporción indicada por la ecuación ( 1 ) queda entonces como :

s

r= ( 3 )

Con esta relacion ahora es posible obtener la medida en radianes de un ángulo cualquiera.De modo que un ángulo expresado en radianes es la razón de un arco s y el radio r de un círculo y como ambas cantidades son logitudes, resulta que los radianes no tienen unidades, es decir son números adimensionales que simplemente representan la abertura de un ángulo.

Nótese de la ec. ( 2 ) que . . . 360° 360 1 °= y por lo tanto, la equivalencia entre grados y radianes es . . .

360( ) 1º 2 = 1°2 360

rad=

y ( 4 )

2 1 rad( ) 360º= 1 rad360

2

°=

donde se ha usado la abreviación rad solo de manera simbólica, pues los radianes no tienen unidades.


Trigonometria

De esta equivalencia se sigue que para transformar un ángulo dado en grados a radianes,

solo hay que multiplicarlo por el factor 2 360

y para convertir a grados un ángulo dado en

radianes, solo hay que multiplicarlo por el factor 360

2 .

Por ejemplo:

180° = 180 1 ° = 1802 360

= 2 180

360

= rad

120° = 120 1 ° = 1202 360

= 2 120

360

=

2

3 rad

45° = 45 1 ° = 452 360

= 2 45

360

=

1

4 rad

27.184° = 27.184 1 ° = 27.1842 360

= 2 27.184

360

= 0.151 rad

o bien . . .

3

= 3

1 rad = 3

360°

2

= 360°

6

= 60°

5

4 =

5 4

1 rad = 5 4

360°

2

= 5 360 °

8

= 225°

7

12 =

7 12

1 rad = 7 12

360°

2

= 7 360 °

24

= 105°

7

23 =

7 23

1 rad = 7 23

360°

2

= 7 360 °

46

= 109.5652°

( Nótese que en éstos cálculos los grados se expresan en forma decimal ) .

Incidentalmente, ahora podemos deducir una fórmula para el área de un sector circular que tiene un ángulo central .

Se sabe que el área de un círculo de radio r es r2 , así que la razón de ángulos :

2


Trigonometria

Expresemos el ángulo en múltiplos de vueltas completas ( múltiplos de 2 radianes ) .

17

6 2

5

6

= 2 5

6

=

Solución :

Ejemplo 4. Hallar el ángulo positivo comprendido entre 0 y 2 radianes , coterminal a 17

6

3 2

5 3

4 3

5 4

7 4

7 6

11 6

0 2 =

5 6

6

4

3 4

3

2 3

2

180o

45o

30o

60o

90o

135o

120o

150o

210o

225o

240o

270o 300

o

330o

315o

0o

= 360o

Las equivalencias entre grados y radianes para algunos ángulos típicos (de uso frecuente) se ilustran en la siguiente figura

es igual a la razón de las áreas correspondientes : A

r2

, es decir . . .

2 A

r2

=

de donde se obtiene que el ártea del sector circular es :

A1

2 r

2= ( 5 )

donde se mide en radianes .

r

A


Trigonometria

Así que el ángulo positivo coterminal buscado es 5

6 es decir :

5

6 5

6180º( )= 150º=

Ejemplo 5. Convertir los siguientes ángulos dados en grados a radianes : i) 5º ii) 210º iii) 14.25º

Solución : Usando las fórmulas de transformación ( 4 ) se tiene :

i) 5º 52 360

=36

= rad

ii) 210 ° 150°= 1502 360

=5

6= rad

iii) 14.25° 14.252 360

=19

240= 0.24871= rad

Ejemplo 6. Convertir los siguientes ángulos dados en radianes a grados :

i) 8

ii) 5 12

iii) 1.7 iv) 1

Solución : Usando las fórmulas de transformación ( 4 ) se tiene :

i) 8

8

360°

2

=360

16

°=45

2

°= 22.5º=

ii) 5 12

5 12

360°

2

=5

24360 °= 75º=

iii) 1.7 1.7( )360°

2

= 97.403( )°=

iii) 1 1360°

2

= 57.29578°= = 57° 17´ 44.8´´


Trigonometria

Ejemplo 7. Hallar la longitud de arco que subtiende el ángulo dado sobre un círculo de radio 4 m

i) 6

ii) 3

2 iii) 60° iv) 240°

Solución : de la fórmula ( 3 ) s

r= se tiene que : s r = por lo cual . . .

i) s r6= 4 m

6= = 2.094 m ii) s r

3 2

= 4 m3 2

= = 18.85 m

iii) s r 60º( )= 4 m3= = 4.189 m iv) s r 240º( )= 4 m

2 3

= = 8.378 m

( Nótese que en los dos últimos casos los grados no son números apropiados para el cálculo y deben ser convertidos a radianes ) .

Ejemplo 8. Convertir el ángulo dado en radianes a la forma sexagesimal : gradoº min´ seg´´

i) 0.86492= ii) 2.346912=

Solución : De las fórmulas de transformación ( 4 ) , primero convertimos a la forma decimal en grados :

i) 0.86492360º

2

= 49.55627°= ii) 2.3469360º

2

= 134.4675°=

y ahora transformamos los grados a la forma sexagesimal :

i) 49º 0.55627( ) 1º= ii) 134º 0.4675( ) 1º=

= 49º 0.55627( ) 60´( ) = 134º 0.55627( ) 60´( )= 49º 33.376´ = 134º 28.05´

= 49º 33´ 0.376( ) 1´( ) = 134º 28´ 0.05( ) 1´( )= 49º 33´ 0.376( ) 60´´( ) = 134º 28´ 0.05( ) 60´´( )

= 49º 33´ 22.56´´ = 134º 28´ 3´´= 49° 33' 22.56'' = 134° 28' 3''


Trigonometria

Ejemplo 9. Determine el área A de un sector circular si su ángulo central es de 120° y su

longitud de arco es de 24 metros .

Solución : La longitud de un arco circular s está dada por s r = , de donde se obtiene rs

=

.

Convirtiendo el ángulo dado a radianes : 120º=2

3= , y aplicando ( 5 ) resulta :

A1

2r

2 = = 1

2

s

2

1

2

24 m2

3

2

2

3

= = 432 m2

Ejemplo 10. Sumar los ángulos dados y expresar la suma en forma sexagesimal : grº min´ seg´´

(49° 37' 28'') + (87° 12' 05'') ( 18° 58' 53 '' )

Primera Solución :

Sumar algebráicamente por separado los grados minutos y segundos y luego hacer las conversiones necesarias de grados a minutos o minutos a segundos con el fin de no tener cantidades negativas.

(49° 37' 28'') + (87° 12' 05'') (18° 58' 53 '') =

= ( 49 + 87 18)° + (37 + 12 58)' + ( 28 + 05 53)''

= ( 118 )° + ( 9)' + (20)''

Dado que se han obtenido cantidades negativas, se transforma uno de los grados a minutos . . .

= ( 117 )° + (60 9)' + (20)'' = 117° + 51' 20´´

y uno de los minutos a segundos . . .

= 117° + 50' + (60 20)´´

de donde se obtiene la respuesta : 117° 50' 40 ''


Trigonometria

Segunda Solución :

Convertir los ángulos dados a la forma decimal y sumarlos algebráicamente :

(49° 37' 28'') + (87° 12' 05'') (18° 58' 53 '') =

= 4937

60

28

3600

° 8712

60

05

3600

° 1858

60

53

3600

°

= 49.62444° 87.20139° 18.98139° = 117.84444°

ángulo que convertido de nuevo a la forma sexagesimal es . . .

= 117° 0.84444 60( )

= 117° 50.6664´ = 117° 50´ 0.6664 60( )

= 117° 50´ 39.984´´

= 117° 50' 39.984 ''

que no es exactamente la respuesta anterior debido a los errores de redondeo decimal.


Trigonometria

EJERCICIOS I.1

1: Dibujar los ángulos dados a continuación en posición normal

i) 30° ii) 120 ° iii) 5

4 iv)

74

v) 11

6

2. Determinar un ángulo entre 0º y 360º que sea coterminal y de signo opuesto al ángulo dado .

i) 36° ii) 740° iii) 230° iv) 420 ° v) 3650°

vi) 9

vii) 2

15 viii)

9 4

ix) 28

5x)

23

3

3. Expresar en radianes múltiplos de los siguientes ángulos dados en grados.

i) 20 ° ii) 240 ° iii) 144° iv) 120° v) 72°

4. Expresar los ángulos dados a continuación en grados sexagesimales :

i) 3 2

ii) 7 12

iii) 11

6iv)

34 15

v) 5

9

5. Convertir los ángulos a radianes (usar 4 cifras decimales )

i) 115° ii) 0.54° iii) 741.6° iv) 1425 ° v) 210°

6. Convertir a grados los siguientes ángulos dados en radianes :

i) 7

ii) 21

5 iii) 2 iv) 0.325 v) 2.617994

7. Convertir a la forma decimal los siguientes ángulos dados en forma sexagesimal :

i) 54° 45 ´ ii) 128 ° 30 ´ iii) 85° 01 ´ 30 ´´ iv) 408 ° 08 ´ 50 ´´ v) 36 ° 45 ´ 30 ´´

8. Convertir a la forma sexagesimal los siguientes ángulos dados en forma decimal :

i) 135.27° ii) 2.5° iii) 0.355 ° iv) 45.12 ° v) 6.45°

9. Suponiendo que la Tierra sea una esfera perfecta de radio 6380 kilómetros , ¿cuál es la diferencia en latitud (expresada en grados° min' seg'' ) entre dos ciudades una de las cuales queda a 500 kilómetros al Norte y 200 kilómetros al Este de la otra ?


Trigonometria

74

v )iv )

11

6

30°

45°

iii ) ii )i )

5

4

45°-120°

30°

30°

1.

Respuestas EJERCICIO I.1

Dos poleas de radios 10 cm y 25 cm se conectan por medio de una banda de transmisión antiderrapante .

a) Si la polea mayor gira 3.55 rad , ¿cuántos grados gira la otra polea ?b) Si la polea menor gira a 3000 r.p.m. , ¿a cuántos kilómetros por hora se mueve la banda ?c) Si un punto de la banda recorre un metro de longitud, ¿cuánto gira cada una de las poleas ?

13.R

1

R2

Convierta cada una de las siguientes velocidades de rotación a revoluciones por minuto ( r.p.m. )

i) 180°

segii)

180°

diaiii)

seg

iv) 90 dia

12.

Hallar la longitud de arco de un sector circular si su ángulo central es 9

y su área vale

72 m2

11.

Si un auto se mueve con una rapidez de 66km

h y el diámetro de sus ruedas es 57.4 cm ,

hallar el número de revoluciones por minuto y el número de radianes por minuto (la velocidad angular) de sus ruedas .

10.


Trigonometria

2. i) 36° 360° 324 °= ii) 740° 3 360 ° 340 °= iii) 230° 360° 130 °=

iv) 420 ° 2 360 ° 300°= v) 3650° 11 360 ° 310 °= vi) 9

2 179

=

vii) 2 15

2 28

15= viii)

9 4

2 2 7

4= ix)

28 5

3 2 2 5

=

3. i) 1

9 ii)

43

iii) 4

5 iv)

2

3 v)

2

5

4. i) 270° ii) 105 ° iii) 330° iv) 408° v) 100°

5. i) 2.0071 ii) 0.9425 iii) 12.9434 iv) 24.8709 v) 3.6652

6. i) 25.7143° ii) 756° iii) 114.5916 iv) 18.6211° v) 150 °

7. i) 54.75° ii) 128.5 ° iii) 85.025 iv) 408.1472° v) 36.7583

8. i) 135° 16 ´ 12 ´´ ii) 2° 30 ´ 00 ´´ iii) 0 ° 21 ´ 18 ´´ iv) 45 ° 7 ´ 12 ´´ v) 6° 27 ´

9. 500 km6380 km

0.07837= rad = 4.49027° = 4° 29 ´ 24.9 ´´

10. 305 r.p.m. , 61

6 rad/min

11. 2 A 2 72 m2

9= = 4 m

12. i) 30 rpm ii) 1

2880rpm iii) 30 rpm iv)

1

32rpm

13. a ) 508.5° b) 113km

h c) 10 rad la menor y 4 rad la mayor


Trigonometria

1.3 Triángulos :

Llamaremos triángulo a una figura geométrica cerrada formada por tres líneas rectas que están sobre el mismo plano . Las rectas se llaman lados del triángulo y los puntos donde se unen los lados se llaman vértices .

Se acostumbra denotar a los tres ángulos formados por los lados de un triángulo con letras del alfabeto Griego y los vértices se denotan con letras latinas mayúsculas.Para un triángulo se tienen entonces las siguientes notaciones convencionales :

Vértices A B C

Lados (como segmentos) AB BC CA

Lados (como longitud) c a b

Ángulos = BAC = CBA = ACB b

ac

C A

B

Observe que en la notación : = XAZ , el orden de las letras corresponde al sentido positivo del ángulo y que éste se asocia con el vértice escrito enmedio de las tres letras.

De acuerdo a sus ángulos, los triángulos se clasifican en tres clases :

X

YZ

A

B

C

90°A

D

E

Triángulo acutángulo . Si todos sus ángulos son agudos, es decir, menores de 90º .

Triángulo rectángulo . Si uno de sus ángulos es recto, es decir mide 90º

Triángulo obtusángulo . Si uno de sus ángulos es obtuso, es decir mayor de 90º

y de acuerdo a la proporción entre sus tres lados , los triángulos se clasifican también en tres clases, ilustradas por las siguientes figuras


Trigonometria

a

a

b

b

ac

aa

a

Triángulos equiláteros .Si sus tres lados son iguales

Triángulos isósceles .Si tienen dos lados iguales

Triángulos escalenos Sus tres lados son desiguales.

Tambien es costumbre denotar a los lados de un triángulo con letras minúsculas del alfabeto Latino escritas por fuera de la figura, mientras que al ángulo opuesto correspondiente a tal lado se le denota con la respectiva letra del alfabeto Griego en el interior de la figura, siempre que sea posible . Asi por ejemplo el lado a es el opuesto al ángulo , el lado b es el opuesto al ángulo etc.

Es evidente por la simetría de las figuras anteriores que un triángulo equilátero también tiene sus tres ángulos iguales, que uno isosceles sólo tiene dos ángulos iguales y que en un triángulo escaleno todos sus ángulos son diferentes.

Demostraremos ahora que sin importar la forma o el tamaño de un triángulo . . .

TEOREMA 1 . La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º .

Demostración :Consideremos un triángulo ABC como el mostrado en la figura de la derecha y tracemos una línea recta que :

pase por uno de sus vértices sea paralela al lado opuesto a ese vértice .

En la figura, la recta A´B´ es paralela al lado AB y pasa por el vértice C .

A

B

C

A'

B'

Los ángulos interiores del triángulo son , , .

Dado que las rectas AB y A´B´ son paralelas, el ángulo = CAB y el ángulo ACA´ son iguales entre si por ser alternos internos respecto a la recta AC


Trigonometria

BAC = ACA ́= Similarmente los ángulos = CBA y BĆB son iguales porque son alternos internos respecto a la recta BC .

ABC = BĆB =

Pero la suma de los ángulos CA´ + CA + BĆB es el ángulo llano de la recta A´B´, esto es . . .

CA´ + CA + BĆB = 180° = + +

Queda así probado que : 180°= =

;

cateto adyacente

cateto opuesto

hipotenusa

A B

C1.4 Triángulos rectángulos .

Por razones históricas, a los lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo se les llama catetos y al lado de mayor longitud se le llama hipotenusa .

Éstos triángulos son muy especiales, porque a partir de ellos se definen las funciones trigonométricas y además cumplen con el teorema de Pitágoras :

Los catetos se distinguen entre si por ser opuestos o adyacentes a uno de los ángulos agudos del triángulo .

ca

b

c 2

a2

b2

El Teorema de Pitágoras .

" En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ".

Pitágoras de Samos

Es decir, el cuadrado del lado de mayor longitud del triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados menores del triángulo, (los que conforman el ángulo recto).

c2

a2

b2= ( 5 )

Esto significa que si sobre cada lado de un triángulo recto se construyen sus cuadrados respectivos, entonces el área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos .

Existen muchas maneras de demostrar éste teorema, una de ellas es considerar dos cuadrados iguales de lado a b( ) cuya área se divide en dos formas diferentes como se muestra en las siguientes figuras:


Trigonometria

a

b

a

a

ab

b

b

c

c

a

a

a

a

b

b

b

b

cc

c c

El primer cuadrado se divide en 6 partes: un cuadrado de lado a , un cuadrado de lado b y 4

triángulos rectos de lados a , b , c . El segundo cuadrado se divide en 5 partes : un cuadrado de

lado c y 4 triángulos rectos de lados a , b , c .Puesto que los cuatro triángulos rectos suman la misma área en las dos figuras, se deduce que el área de los dos cuadrados en la figura de la izquierda, es igual al área del cuadrado de lado c en la figura de la derecha. Dado que el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado la longitud de su lado, se obtiene así :

c2

a2

b2=

Veamos otra prueba geométrica de éste teorema . . .

A' B'

A' B'

c'

a'

b'

c

A

B

C

c

a b

Se desea probar que el área del cuadrado C es la suma de las áreas de los cuadrados A y B construidos sobre los lados del triángulo rectángulo a, b, c

Las áreas de los trapecios A' y B' son iguales a las áreas de los cuadrados A y B puesto que ambos tienen aún la misma base y la misma altura

Transladando los trapecios A' y B' a la parte inferior de la figura. Las longitudes c y c' son iguales, por la igualdad de los triángulos rectángulos a, b, c y a', b' c'


Trigonometria

A B

Finalmente, transformando los trapecios A' y B' nuevamente en los cuadrados A y B , que tienen la misma área, puesto que su base y su altura no cambió, queda probado que el área del cuadrado C es la suma de las áreas de los cuadrados A y B es decir . . .

C A B=o

c2

a2

b2=

En consecuencia, si conocemos la longitud de dos lados de un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras, podemos calcular la longitud del tercer lado, puesto que . . .

c2

a2

b2= implica que c a

2b

2=

c2

b2 a

2= implica que a c

2b

2=

c2

a2 b

2= implica que b c

2a

2=

Ejemplo 11. En los siguientes triángulos rectángulos, determinar la longitud desconocida del lado x

3

4

x

b )13

5 x

c )

13

x 9a )

Solución :

a ) x2

32 42= b) 132 52 x2= c) 132 92 x

2=

x 9 16= x 132 52= x 132 92=

x 25= x 144= x 88=

x 5= x 12= x 9.3808=


Trigonometria

1.5 Funciones Trigonométricas .

Imaginemos un ángulo colocado en posición normal y en el centro de una circunferencia de

radio r. Si desde el punto P que intersecta en la circunferencia el lado terminal del ángulo se

traza una perpendicular al eje X , se forma un triángulo rectángulo cuyos lados denominaremos

Y

XO

P

Ax

yr

de ahora en adelante . . .

x : abscisa (el lado adyacente al ángulo )

y : ordenada (el lado opuesto al ángulo )

r : radio (la hipotenusa del triángulo OPA )

Sin perder generalidad, podemos considerar que el radio

OP

de la circunferencia es la unidad y entonces se

pueden definir para el ángulo las siguientes 6 diferentes razones entre los tres lados del triángulo rectángulo :

Seno : es la razón : ordenada

radio

lado_opuesto

hipotenusa=

y

r= y= AP

= . Se denota como: sen .

Geométricamente es la longitud de la ordenada y , es decir sen AP

=

Coseno : es la razón : abscisa

radio

lado_adyacente

hipotenusa=

x

r= x= OA

= . Se denota por: cos .

Geométricamente

es la longitud de la abscisa x , es decir cos OA

= .

Tangente : es la razón : ordenada

abscisa

lado_opuesto

lado_adyacente=

y

x=

AP

OA= . Se denota por : tan .

Nótese que de los dos resultados anteriores se obtiene : tan y

x=

sen cos =

Además, de los triángulos semejantes OPA y OCB de la figura de la derecha se deduce que son iguales entre si las razones de segmentos :

tan AP OA =

BC( )

OB =

y como OB

1= por ser la circunferencia unitaria, se sigue que :

tan BC

=

BAX

Y

O

CDP


Trigonometria

Asi que geométricamente, la razón tangente del ángulo es en efecto la longitud

de un segmento tangente BC

perpedicular a la abscisa .

Para definir las demás razones trigonométricas, consideremos la siguiente figura . . .

Y

XO

P

Ax

yr

B

CD

E

en la cual, la recta DE

es paralela al eje X y tangente en el punto D a la circunferencia de radio unitario.

Cosecante : es la razón recíproca del seno : radio

ordenada

hipotenusa

lado_opuesto=

r

y=

1

y= .

Se denota como : csc 1

sen = y geométricamente es la distancia OE

en la

figura anterior, puesto que por la semejanza de los triángulos rectángulos OPA y

OED , son iguales entre si las razones :

csc OP AP =

OE( )

OD =

y como OD

1= por ser la circunferencia unitaria, se sigue que : csc OE

=

Secante : es la razón recíproca del coseno : radio

abscisa

hipotenusa

lado_adyacente=

r

x=

1

x= .

Se denota como : sec 1

cos = y geométricamente es la distancia OC

en

la figura mostrada arriba, pues por la semejanza de los triángulos rectángulos OPA

y OBC , son iguales entre si las razones :

sec OP OA =

OC( )

OB =

y como OB

1= por ser la circunferencia unitaria, se sigue que : sec OC

=


Trigonometria

Cotangente : es la razón recíproca de la tangente : abscisa

ordenada

lado_adyacente

lado_opuesto=

x

y= .

Se denota como : cot 1

tan =cos sen = y geométricamente es la

distancia DE

en la figura mostrada arriba, pues por la semejanza de los triángulos

rectángulos OPA y OED , son iguales entre si las razones :

cot OA AP =

DE( )

OD =

y como OB

1= por ser la circunferencia unitaria, se sigue que : cot DE

=

En resumen , en la siguiente figura se ilustran cada uno de los segmentos asociados al ángulo

con una razón trigonométrica del triángulo rectángulo OAP :

O XA B

C

D E

P

sen a( ) AP

= ; csc OE

=

cos OA

= ; sec OC

=

tan BC

= ; cot DE

=

No se olvide nunca que . . .

1° Éstas razones se definen solo para triángulos rectángulos y simplementeson el cociente entre dos de las longitudes de los lados de un triángulo .

2° El signo de éstas razones trigonométricas está determinado por los signos de la abscisa x y la ordenada y correspondientes a un ángulo positivo. La

hipotenusa o radio r se calcula de acuerdo al teorema de Pitágoras y se considerasiempre una distancia positiva .

3° Las razones trigonométricas : tan() , cot() , sec() ,csc() , se escriben entérminos de sen() y cos() . Además no están definidas cuando sudenominador es cero ( x = 0 o y = 0 ) y se dice que tienden al infinito positivo( + ) o al infinito negativo ( ) según sea el signo de x o de y . En este sentido se puede afirmar que solo hay dos las razones trigonométricasfundamentales : el seno y el coseno de un ángulo.


Trigonometria

4° Éstas razones cambian de valor solamente si cambia el ángulo al queestán referidas, no dependen del tamaño del triángulo o de la longitud de suslados o de sus unidades de medida .

Ésta última observación nos permite referirnos a las razones trigonométricas como funciones del ángulo , es decir todas ellas son funciones matemáticas que tienen como variable independiente un ángulo. Debido a que todas se definen en base a una circunferencia unitaria, también se les llama funciones circulares .Asi por ejemplo al escribir y sen x( )= , denotamos una función cuya variable independiente es x

y cuyos valores están determinados por la razón seno del ángulo x , cualquiera que éste sea.

Ejemplo 12. El lado terminal de un ángulo dibujado en posición normal , pasa por el punto

de coordenadas 6 8( ) . Hallar los valores de las funciones trigonométricas para ese ángulo.

Solución : De las coordenadas para el punto dado, se deduce que : ordenada_y 8= ,

abscisa_x 6= y por el teorema de Pitágoras, el radio (la hipotenusa del triángulo) es :

X

Y

O

6

8r

r x2

yy= 62 82= = 10

Dado que ambas coordenadas del punto 6 8( ) son positivas, éste ángulo se localiza en el primer cuadrante, así que usando la definición de las razones trigonométricas se obtiene :

sen y

r=

8

10= =

4

5 ; cos x

r=

6

10= =

3

5 ; tan y

x=

8

6= =

4

3

csc 1

sen = = 5

4 ; sec 1

cos = = 5

3 ; cot 1

tan = = 3

4

X

Y

2

13y Ejemplo 13. Usar el triángulo rectángulo mostrado en la figura

de la derecha para calcular las funciones seno, coseno y tangente del ángulo .


Trigonometria

Solución : Este ángulo se localiza en el 2° cuadrante. La ordenada y se calcula por el teorema de Pitágoras y vale :

y 132 122 = = 5

por lo tanto, aplicando la definición de las razones trigonométricas se tiene :

sen y

r= =

5

13 ; cos x

r= =

1213

; tan y

x= =

5

12

1.6 Identidades Pitagóricas .

X

Y

O

x

ry

Del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo que tenga uno de sus ángulos agudos situado en posición normal se tiene que :

r2

x2

y2= (*)

Así que al dividir ambos miembros de ésta igualdad entre r2

se obtiene . . .

r

2

r2

x2

y2

r2

= esto es . . . 1x

r

2y

r

2

=

Pero por definición, los cocientes de la ordenada y la abscisa entre el radio son las funciones seno y coseno del ángulo , es decir :

1 sen 2cos 2

=

Se acostumbra denotar la potencia de una función trigonométrica escribiendo el exponente

directamente encima del nombre de la función, por ejemplo sen 2sen

2 = o también

tan 4tan

4 = . Entonces la identidad pitagórica anterior también se puede escribir como :

sen2 cos

2 1= (6)

Otras identidades semejantes se obtienen de la ecuación (*) al dividirla por x2 o por y

2 :

r

2

x2

x2

y2

x2

= es decir r

x

2x

2

x2

y2

x2

= 1y

x

2

=

y de la definición de las funciones trigonométricas se obtiene :

sec2 1 tan

2 = ( 6a )


Trigonometria

O también . . .

r

2

y2

x2

y2

y2

= es decir r

y

2x

2

y2

y2

y2

=x

y

2

1=

y aplicando la definición de las funciones trigonométricas queda :

csc2 cot

2 1= ( 6b )

Éstas tres identidades Pitagóricas son de gran utilidad no solamente en la trigonometría ; sino en todas las matemáticas , principalmente en el Cálculo Diferencial e Integral .Basta con recordar sólo la identidad ( 6 ), ya que las otras dos se obtienen de ella dividiéndola

por sen2 o por cos

2 y usando la definición de las razones inversas, por ejemplo. . .

sen

2 cos2

sen2

1

sen2

= es decir 1cos sen

2

1

sen

2

=

de donde se obtiene que : cot2 1 csc

2 = .

Ejemplo 14. Si se sabe que sen 1

2= , calcular los valores de todas las demás funciones

trigonométricas para el ángulo .

Solución : Dado que sen 1

2= , de la identidad pitagórica sen

2 cos2 1= se

deduce que . . .

1

2

2

cos2 1= es decir . . . cos

2 11

4=

cos2

4

4

1

4=

cos 3

2=

Una vez conocido el valor de las funciones trigonométricas fundamentales seno y coseno, es posible calcular el valor de todas la demás, como se muestra enseguida . . .


Trigonometria

csc 1

sen =11

2

= 2= ; sec 1

cos =1

3

2

=2

3=

tan sen cos =

1

2

3

2

=1

3= y cot 1

tan =11

3

= 3=

Ejemplo 15. Si se sabe que tan 34

= , calcular los valores de todas las demás funciones

trigonométricas para el ángulo .

Solución : La función tan se define como ordenada

abscisa

y

x= y vale

34

, se deduce entonces

X

Y

3

4

r

que y 3= y x 4= . Por lo tanto, el ángulo se localiza en el 4° cuadrante.De modo que aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo con abscisa 4 y ordenada 3 ,

la hipotenusa o radio r vale :

r 42 3( )2= 5=

Una vez conocidos los valores de los tres lados del triángulo rectángulo, las demás funciones trigonométricas se calculan a partir de su definición . . .

sen y

r=

35

= ; cos x

r=

4

5= ; cot x

y=

4

3=

sec r

x=

5

4= y csc r

y=

5

3= .

( Nótese en ése ejemplo que la solución hubiese sido diferente (en signos) si se

diese como dato que tan 3

4= , pues entonces la abscisa sería negativa y la

ordenada positiva, correspondiendo ésto a un ángulo en el 2° cuadrante.)


Trigonometria

De éstas identidades se obtienen otras equivalencias, por ejemplo . . .

de sen2 cos

2 1= se obtiene : sen 1 cos2= y cos 1 sen

2=

de tan2 1 sec

2= se obtiene : sec tan2 1= y tan sec

2 1=

de cot2 1 csc

2= se obtiene : csc cot2 1= y cot csc

2 1=

las cuales permiten escribir cada una de las funciones trigonométricas en términos de cualquiera de las otras, como se ilustra en la siguiente tabla :

seno coseno tangente cotangente secante cosecante __________________________________________________________________________

sen sen 1 cos2

tan 1 tan

2

1

cot2 1

sec

2 1

sec

1

csc

cos 1 sen2 cos

1

1 tan2

cot

cot2 1

1

sec

csc2 1

csc

tan sen

1 sen2

1 cos

2

cos tan

1

cot sec

2 1 1

csc2 1

cot 1 sen2

sen

cos

1 cos2

1

tan cot

1

sec2 1

csc2 1

sec 1

1 sen2

1

cos tan

2 1 cot

2 1

cot sec

csc

csc2 1

csc 1

sen

1

1 cos2

tan

2 1

tan cot

2 1 sec

sec2 1

csc

____________________________________________________________________________

que son muy fáciles de demostrar. Baste por ejemplo mostrar la equivalencia de la función seno escrita en términos de la función tangente . . .

sen sen cos cos

=sen cos

1

sec

= tan 1

sec2

=tan

1 tan2

=


Trigonometria

1.7 Funciones trigonométricas de ángulos especiales . Relaciones complementarias .

Los cálculos de trigonometría se pueden realizar de manera más eficiente si se memorizan los valores de las funciones trigonométricas para algunos ángulos especiales que ocurren frecuentemente .

X

Y

Ox

ry

0º. Para un ángulo de 0º , la ordenada y vale cero, y la

abscisa x es igual al radio o hipotenusa. Por lo tanto, se tienen los siguientes valores para las funciones trigonométricas :

sen 0°( )0

r= = 0 ; csc 0°( )

1

sen 0°( )= = (no definido)

cos 0°( )r

r= = 1 ; sec 0°( )

1

cos 0°( )= = 1

tan 0°( )0

x= = 0 ; cot 0°( )

1

tan 0°( )= = (no definido)

90º Para un ángulo de 90º , la abscisa (el cateto adyacente ) vale cero x 0= , mientras la ordenada (el lado opuesto) es igual al radio o hipotenusa y r= . Por lo tanto, los valores de las funciones trigonométricas para 90° son :

sen 90°( )r

r= = 1 ; csc 90°( )

1

sen 90°( )= = 1

cos 90°( )0

r= = 0 ; sec 90°( )

1

cos 90°( )= = (no definido)

tan 90°( )r0

= = (no definido) ; cot 90°( )1

tan 90°( )= = 0

Y

x

ry

OX

X

Y

O x = 1

r

y = 1

45°

45°

45º Consideremos ahora un triángulo rectángulo isósceles tal como el mostrado en la figura de la derecha en el cual x y= 1= . Se deduce entonces sus dos ángulos agudos necesariamente son iguales a 45º .( recuerde que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º ) . Además, del teorema de Pitágoras se obtiene el valor de la hipotenusa o radio como . . .


Trigonometria

r x2

y2= 12 12= 2=

En consecuencia, las funciones trigonométricas para un ángulo de 45º valen :

sen 45º( )y

r= =

1

2 ; csc 45º( )

1

sen 45º( )= = 2

cos 45º( )x

r= =

1

2 ; sec 45º( )

1

cos 45º( )= = 2

tan 45º( )y

x=

1

1= = 1 ; cot 45º( )

1

tan 45°( )=

1

1= = 1

60º Consideremos un triángulo equilátero con lados de longitud 2 , tal como el que se muestra en la siguiente figura . Sus tres ángulos interiores son iguales y su suma debe ser 180º , se deduce entonces que cada uno de ellos vale 60º .

60° 60°

30°

y

2 2

1 1X

Y

O

Además, la bisectriz de un ángulo :

divide el lado opuesto a la mitad .divide al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos interiores son : 30º , 60º y 90º .

Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de esos triángulos rectángulos se obtiene que . . .

2( )2

1( )2

y2= , es decir y 4 1= 3=

De ésta manera, las funciones trigonométricas para un ángulo de 60° tienen los siguientes valores :

sen 60°( )y

r= =

3

2 ; csc 60°( )

1

sen 60°( )= =

2

3

cos 60°( )x

r= =

1

2 ; sec 60°( )

1

cos 60°( )= = 2

tan 60°( )y

x=

3

1= = 3 ; cot 60°( )

1

tan 60°( )= =

1

3


Trigonometria

60°

30°

2

X

Y

O

1

30º Si ahora se dibuja el triángulo rectángulo de la figura anterior con el ángulo de 30° en posición normal, se podrán calcular los valores de las funciones trigonométricas para 30° . . .

3

sen 30°( )y

r= =

1

2 ; csc 30°( )

1

sen 30°( )= = 2

cos 30°( )x

r= =

3

2 ; sec 30°( )

1

cos 30°( )= =

2

3

tan 30°( )y

x= =

1

3 ; cot 30°( )

1

tan 30°( )=

11

3

= = 3

Notemos que :

sen 30º( ) cos 60º( )= ; sen 60º( ) cos 30º( )= ; tan 30º( ) cot 60º( )= etc.

Relaciones como éstas no son casuales, sino que valen en general para cualquier ángulo , puesto que:

En un triángulo rectángulo, dos de sus ángulos interiores y son agudos y la suma de

los tres ángulos interiores es 180° , esto es . . . 90° 180°= , de donde se obtiene que :

90°= es decir 90° =

razón por la cual y se llaman ángulos complementarios .Como se muestra en las figuras de la derecha, al colocar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo en la posición normal, resulta que la ordenada b para el

ángulo es la abscisa para el

ángulo complementario y

similarmente, la abscisa a para el

ángulo es la ordenada para el

ángulo .

X

Y

O

b

a

r

X

Y

O

r

b

a


Trigonometria

Por lo tanto . . .

sen b

c= cos = sen cos 90º =

tan b

a= cot = tan cot 90º =

sec c

a= csc = sec csc 90º =

Estas son las llamadas relaciones complementarias .

Su significado es que la función trigonométrica de un ángulo es igual a la "co-función" trigonométrica correspondiente del ángulo complementario. De ahí el nombre que se asigna a las funciones: co-seno , co-tangente y co-secante , pues son precisamente las funciones complementarias del seno , tangente y secante respectivamente .

18º72º

Triángulo áureo .

Sus lados están en una proporción que los antiguos Griegos denominaban "áurea " o "dorada". Este triángulo se obtiene cuando se construye un polígono regular de 10 lados, sobre una circunferencia de radio R .

a

RR36°

O

B C

El ángulo central que subtiende el lado a del polígono es la décima parte de 360º es decir 36°= .

El triángulo isósceles OBC así obtenido es tal que su ángulo más agudo vale 36º ; y dado que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo debe ser 180º , se deduce que los dos ángulos iguales de su base valen :

180º 36º2

= 72º=

Así que en un triángulo áureo, cualquiera de los ángulos de la base es el doble del ángulo agudo .


Trigonometria

O

B C

A

R

a

a

a

O

B C

A

R

a

a

a

Esto significa que si se traza la bisectriz AC , se divide el lado OB en la "proporción áurea " :

R

a

a

R a=

es decir . . . R R a( ) a2

= de donde se obtiene la ecuación cuadrática . . .

a2

R a R2 0=

cuya solución positiva es . . . a5 12

R=

Si se traza la bisectriz por el vértice O, se formarán dos triángulos rectos iguales con ángulos interiores de 18º , 72º y 90º . Aplicando ahora el teorema de Pitágoras a uno de esos triángulos con radio r R= ,

ordenada ya2

= , se obtiene la longitud de la abscisa (el cateto adyacente al ángulo de

18º) :

18°

x

yR

x R2 a

2

2

= R2 5 1

4

R

2

=

= 5 52 2

R

De éste modo, las funciones trigonométricas para el ángulo de 18º valen :

sen 18°( )y

r=

a

2

R=

5 14

R

R=

5 14

= = 1

5 1 =

5 14

cos 18°( )x

r=

5 52 2

R

R= =

5 52 2

= 10 2 5

4

tan 18°( )y

x=

a

2

x=

5 14

R

5 52 2

R

= = 5 1

2 5 5 =

5 2 55

etc.


Trigonometria

Los valores de las funciones trigonométricas del ángulo complementario 72º , pueden obtenerse por las relaciones complementarias ( 7 ) y son :

sen 72º( ) cos 90º 72º( )= cos 18º( )=5 52 2

=

cos 72º( ) sen 90º 72º( )= sen 18º( )=1

5 1=

5 14

=

tan 72º( ) cot 90º 72º( )= cot 18º( )=5

5 2 5= etc. etc.

Para facilitar su memorización , se resumen enseguida los valores del seno y el coseno de algunos ángulos especiales

0° 18° 30° 45° 60° ___________________________________________________________________

sen 0 5 14

1

2

1

2

3

2

cos 1 10 2 5

4

3

2

1

2

1

2

Más adelante encontraremos que algunas identidades trigonométricas nos permiten calcular los valores de éstas funciones para ángulos que son una combinación (suma o resta) de éstos ángulos especiales .

Recuerde : Si usted memoriza los valores para el seno y el coseno de estos 5 ángulos especiales y usa las relaciones complementarias ( 7 ), será capaz de calcular todas las demás funciones trigonométricas para los ángulos : 0º , 18º , 30º , 45º , 60º , 72º y 90º .

Como se ilustra en forma parcial en la siguiente tabla . . .


Trigonometria

45°4

1

2

1

21 1

60°3

3

2

1

23

1

3

72°2

5 10 2 5

4

5 14

5

5 2 5

5 2 55

90°2

1 0 0

1.8 Funciones trigonométricas para un ángulo arbitrario .

Los valores de las funciones trigonométricas también se pueden calcular, para cualquier ángulo expresado en radianes y representado por un número real . En efecto, en una circunferencia unitaria ( es decir de radio 1 ) y centrada en el origen de uns sistema de coordenadas , cada uno de sus puntos P x y( ) se puede asociar con un número real

cualquiera que representa el ángulo correspondiente que forma el radio de la circunferencia con la parte positiva del eje X .

Basta recordar que un ángulo medido en radianes es proporcional a la longitud del arco s

que subtiende sobre la circunferencia de radio r es decir : s r = y si el radio vale 1 , entonces la longitud del arco es igual a la medida del ángulo .

anguloseno coseno tangente cotangente

grados radianes

0° 0 0 1 0

18°10

5 14

10 2 54

5 2 55

5

5 2 5

30°6

1

2

3

2

1

33


Trigonometria

X

Y

P

a

b

A

B

C

b

a

Además, como se ilustra en la figura de la derecha , si se conocen las coordenadas de un punto P a b( ) que

corresponda a un ángulo en el cuadrante I , entonces también se conocen los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos :

90° , 180° y 270°

en los cuadrantes II , III y IV repectivamente porque las coordenadas de los puntos A , B , C correspondientes se obtienen prolongando la recta OP y la perpendicular a ella que pase por el origen y son :

A a b( ) , B b a( ) y C b a( )

Trazando las rectas verticales por cada uno de éstos puntos, se forman cuatro triángulos rectos en cada uno de los cuadrantes y por ser las rectas PA y BC perpendiculares entre si, se tiene que:

90°= es decir los ángulos y son complementarios . En consecuencia el ángulo en P y en A es

pero en B y en C es .

En resumen :

sen y

r=

b1

= b= ; cos x

r=

a1

= a= ; tan y

x=

b

a=

sen 90º y

r=

a1

= a= ; cos 90º x

r=

b1

= b= ; tan 90º a

b=

sen 108° y

r=

b1

= b= ; cos 180° x

r=

a1

= a= ; tan 180° ba

=

sen 270° y

r=

a1

= a= ; cos 270° x

r=

b1

= b= ; tan 270° ab

=

La consecuencia lógica de los resultados anteriores es que si se calculan los valores de las funciones trigonométricas para cierto ángulo en el cuadrante I únicamente , entonces ya no es necesario calcular sus valores en los demás cuadrantes , pues se deducen del valor que tienen en el primero .


Trigonometria

Aún más, basta con determinar sólo los valores del seno y el coseno en el primer cuadrante y se podrán deducir los valores de todas las demás funciones trigonométricas en los 4 cuadrantes .

Ejemplo 16. Sabiendo que sen 60°( )3

2= , determinar los valores de las demás funciones

trigonométricas para los ángulos correspondientes en los demás cuadrantes

Solución : Dado que el seno de un ángulo es por definición el cociente de la ordenada y entre

el radio r de una circunferencia , si comparamos sen y

r= con sen 60°( )

3

2= ,

se deduce que y 3= y que r 2= .

X

Y

P(1 ,

2

30°60°

A(1 ,

B(

C(

1

Asi que aplicando el teorema de Pitágoras:

22 3( )2

x2=

se calcula la longitud de la abscisa x como :

x 4( ) 3( )= = 1

Se deduce asi, que el ángulo y las coordenadas correspondientes de los puntos que intersectan sobre la circunferencia las rectas perpendiculares PA y BC son

60° P 1 3( ) ; 60° 90°( ) = 150° B 3 1( )

60° 180°( ) = 240° A 1 3( ) ; 60° 270°( ) = 330° C 3 1( )

En consecuencia . . .

sen 60°( )y

r=

3

2= ; cos 60°( )

x

r=

1

2= ; tan 60°( )

y

x=

3

1= etc.

sen 150º( )y

r=

1

2= ; cos 150º( )

x

r=

32

= ; tan 150º( )y

x=

1

3= etc.


Trigonometria

sen 240º( )y

r=

32

= ; cos 240º( )x

r=

12

= ; tan 240º( )y

x= 3= etc.

sen 330º( )y

r=

3

2= ; cos 330º( )

x

r=

3

2= ; tan 330º( )

y

x=

13

= etc.

No es fácil construir una tabla de valores para las funciones trigonométricas de cualquier ángulo , sin embargo, una posible manera de construirla, sería dividir una circunferencia unitaria en cierto número nde partes iguales de manera que cada uno de los x lados del

polígono regular de n lados inscrito en tal circunferencia , subtiende un ángulo central de valor :

X

Y

r

x

xx

x

2 n

=360º( )

n=

El siguiente paso sería encontrar las razones entre las longitudes de los lados de uno de los n triángulos isósceles así formados . ( Asi por ejemplo para un polígono regular de 9 lados , el ángulo central es de: 360°/9 = 40º y del triángulo isósceles correspondiente se obtiene una ecuación algebraica de tercer grado :

x3

3 x 1 0=

cuya solución no es sencilla )

No obstante, probaremos enseguida que :

Si se conocen las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo correspondientes a un ángulo , entonces se pueden conocer los valores de las funciones trigonométricas para los

ángulos 2

, 4

, 8

, . . . y en general de :

2n donde n es un entero positivo.

c

c

O

A

B

C

D

a

b

a

bc

E

Consideremos un triángulo rectángulo de lados conocidos : a , b , c y construyamos

el triángulo isósceles AOE trazando la recta

AE

como se muestra en la figura de la derecha.


Trigonometria

Si se dibuja ahora el triángulo recto inicial en el vértice E , la diagonal OC del

paralelogramo OACE , por la simetría de la construcción, divide al ángulo a la mitad.

De ésta manera, se ha construido un nuevo triángulo rectángulo OCD de lados b , c a( ) e hipotenusa :

c´ b2

c a( )2= b

2a

2 c2 2 a c= 2 c

2 2 a c= 2 c c a( )=

( se ha tomado en cuenta que a2

b2 c

2= para el triángulo rectángulo inicial )

Para éste nuevo triángulo se pueden calcular entonces los valores de las funciones

trigonométricas correspondientes al ángulo 2

.

Repitiendo éste procedimiento de construcción en el triángulo OCD queda:

C'

D'O

C

D

b

b

c + a

c'

c'

El triángulo rectángulo OC´D´ tiene por lados : b , c´ c a( ) y por hipotenusa . . .

c´´ b2

c´ c a( )2= = b

22 c a c( ) c a

2 = 2 c a c

c2

c a( )

Así se podrán calcular los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo 4

Repitiéndo sucesivamente el procedimiento ilustrado, se obtendarán los valores de las

funciones trigonométricas para los ángulos 8

, 16

, . . etc.

Considere por ejemplo, un triángulo : 30º - 60º - 90º cuyos lados como ya se sabe son : a 3= , b 1= , c 2= Aplicando el procedimiento anterior, es posible calcular los valores exactos de las funciones trigonométricas para los ángulos:

30º , 15º , 7.5º , 3.75º , ....etc :

30°

60°c

b

a


Trigonometria

asi por ejemplo, la función seno es . . .

sen 30º( )b

c

=1

2=

sen 15º( )b

c´=

b

2 c a c( )=

1

4 3 2( )=

1

2 2 3=

sen 7.5º( )b

c´´=

b

2 c a cc2

c a( )

=1

2 2 3 2 2 3 =

sen 3.75º( )1

2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 =

sen 1.875°( )1

2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3

=

etc. etc.

Por otra parte, podemos también obtener un valor aproximado para las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera, usando las tablas trigonométricas ya elaboradas o una calculadora electrónica.

Ejemplo 17. Si es un ángulo agudo y se sabe que cos 5

13= , hallar los valores de

las demás funciones trigonométricas para éste ángulo.

Solución : De la identidad Pitagórica sen2 cos

2 1= se deduce de inmediato que . . .

sen2

5

13

2

1= es decir : sen 15

13

2

=12

13=

dado que el ángulo considerado es agudo, el valor de la función seno debe ser positivo.

Una vez conocidas las funciones seno y coseno, es muy fácil calcular el valor de todas las demás funciones trigonométricas . . .


Trigonometria

tan sen cos =

12

13

5

13

=12

5= ; cot 1

tan =5

12=

csc 1

sen =13

12= ; sec 1

cos =13

5=

Ejemplo 18. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo (la ordenada y ) mide12

unidades y se sabe además que cot 1

3= . Hallar los valores de las otras

funciones trigonométricas para el ángulo

Solución : A partir de la definición de la función cotangente :

cotangenteabscisa( )

ordenada( )= =

x

y =

1

3

Una fracción equivalente que tenga denominador 12 es : 1

3

4 34 3

1

3=

4 312

=

por comparación de x

y

4 312

= se deduce entonce que x 4 3= , y 12= .

Por lo tanto la hipotenusa del triángulo se calcula del teorema de Pitágoras y vale :

r x2

y2= = 4 3( )

212( )

2 = 192 = 8 3

Conocidos los tres lados del triángulo rectángulo, calcular las funciones trigonométricas es tan simple como aplicar las definiciones correspondientes :

sen y

r= =

12

8 3 =

3

2; cos x

r=

4 38 3

=1

2=

tan y

x=

12

4 3= 3= etc.


Trigonometria

1.9 Ángulo de referencia .

El ángulo de referencia ´ correspondiente a un ángulo dado, es el ángulo agudo que el

lado terminal del ángulo forma con el eje X ( sin importar la dirección en la que se mida´ )

Si un ángulo dado es mayor que 2 , entonces primero debe calcularse el ángulo

coterminal correspondiente a para poder determinar su ángulo de referencia .

Evidentemente, en el primer cuadrante todo ángulo es su propio ángulo de referencia. Se ilustra enseguida como calcular el ángulo de referencia para ángulos que se localizan en los demás cuadrantes :

Y

X

'

O

cuadrante II

' =

Y

X

'O

cuadrante IV

' = 2

Y

X

' O

cuadrante III

' =

Ejemplo 19. Hallar el ángulo de referencia tanto en grados como en radianes para los siguientesángulos :

a) 300°= b) 2.3= c) 135 °=

Solución : a ) Puesto que 270° 360° , éste ángulo está en el IV cuadrante y por lo tanto su ángulo de referencia es :

Y

X

O

´ 360° = 360° 300°( )= = 60° o también

´ 2 = 2 5

3

= = 3

b ) Éste ángulo está dado en radianes queda en el II cuadrante porque 2

2.3

de modo que su ángulo de referencia es :


Trigonometria

Y

X

'

O

´ 2.3= 0.8416=

en grados es : 0.8416180°

48.22°= = 48º 13' 12'' .

c ) El ángulo coterminal con es: 360° 135° 225°= y queda en el tercer cuadrante .

Su ángulo de referencia es :

´ 180°= 225° 180°( )= 45°=

o bien

´ =5

4 = =

4

Y

X

O

El ángulo de referencia sirve para calcular el valor de las funciones trigonométricas para cualquierángulo , refiriéndoles al valor que tengan en el primer cuadrante

Éste procedimiento se realiza como sigue :

1° Determinar el ángulo de referencia ' asociado al ángulo . ( Algunas veces es necesario determinar primero el ángulo

coterminal )

2° Determinar el signo de la función trigonométrica de acuerdoal cuadrante donde se localice el ángulo dado . ( Se toma en cuenta el signo de las coordenadas (x , y ) para cada cuadrante , así como la definición de las funciones trigonométricas ).

3° Calcular el valor de la función trigonométrica para ´ yanteponerle el signo del paso anterior .

Ejemplo 20. Evaluar las funciones a) tan 210 °( ) b) cos4 3


Trigonometria

Solución : a) tan 210 °( )

1° El ángulo coterminal es : 360º 210º = 150º que se localiza en el segundocuadrante y por lo tanto el ángulo de referencia es :

180° 150°= = 30°

2° En el segundo cuadrante, la abscisa es negativa ( x 0 ) y la ordenada

positiva ( y 0 ) , por lo cual la función tangente tan y

x= es negativa

3° El valor de tan 30°( ) , uno de los ángulos especiales que ya hemos visto, es :

tan 30º( )1

3=


tan 210º( ) tan 30º( )= = 1

3

b) cos4 3

1° El ángulo 4 3

está en el tercer cuadrante, así que el ángulo de referencia es:

´ =4 3

=3

=

2° En el tercer cuadrante la abscisa es negativa (x 0 ) y también la ordenada

( y 0 ) por lo cual la función coseno cos x

r= es negativa.

3° Se sabe ya que cos3

cos 60°( )=1

2=


cos4 3

= 1

2

Ejemplo 21. Evaluar las funciones sen , cos , tan si el lado terminal del ángulo pasa por el punto P de coordenadas rectangulares 3 4( ) .


Trigonometria

Solución : Dadas las coordenadas x 3= , y 4= del punto P, se deduce que el lado

terminal del ángulo está en el cuarto cuadrante y por lo tanto el radio o hipotenusa vale . . .

r x2

y2= 3( )

24( )

2= 5=

de la definición de las funciones buscadas se obtiene . . .

sen y

r= =

45

; cos x

r= =

3

5 ; tan y

x= =

43

Ejemplo 22. Hallar sen y sec si se sabe que cos 0 y que tan 1

3= .

Solución : La función tangente es negativa en los cuadrantes II y IV ; pero la función coseno es positiva sólo en los cuadrantes I y IV .

Se deduce entonces de las condiciones cos x

r0=

y tan y

x0=

que el ángulo se encuentra en el IV cuadrante, par el cual x 0 , y 0 .

Además si tan y

x=

1

3= , concluye que x 3= , y 1=

En consecuencia el radio o hipotenusa vale . . .

r x2

y2= 3( )

21( )

2= 10=

por lo que : sen y

r= =

110

; sec 1

cos =r

x= =

10

3


Trigonometria

1.10 Algunas aplicaciones .

En los ejemplos siguientes se ilustrará como aplicar la trigonometría para resolver ciertos tipos problemas con alguna aplicación práctica o que presentan algún interés geométrico .

Ejemplo 23. Cierta regla de seguridad establece que los ángulos máximo y mínimo que unaescalera de bomberos puede formar con un piso horizontal son de 72º y 45°respectivamente. Si la escalera mide 15 metros de largo ¿cuál es el rango de alturas que puede alcanzar al apoyarse contra una pared vertical ?

Solución : Al apoyarse contra la pared, la escalera forma un triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la longitud de la escalera.

Si en la base de la escalera se forma un ángulo con el piso horizontal, se desea calcular la

longitud y de la ordenada o cateto opuesto a tal ángulo.

Éstas longitudes sugieren que usemos la

definición de la función seno : sen y

r=

es decir : sen 72º( )ymax

15 m= ; para la altura

máxima

sen 45°( )ymin

15 m= ; para la altura mínima

72°

y15 m

Por lo tanto las alturas buscadas son :

ymax 15 m( ) sen 72°( )= 15 m( )5 52 2

= = 14.27 m

ymin 15 m( ) sen 45°( )= 15 m( )1

2

= = 10.6 m

Este es el rango de alturas que puede alcanzarse con seguridad con tal escalera.


Trigonometria

Ejemplo 24. Cuando se observa desde el suelo, la base de una chimenea que se localiza enla azotea de un edificio se ve con un ángulo de 45º por encima de la horizontalpero la punta se ve con un ángulo de 60º . Si la distancia horizontal desde el punto de observación en el suelo hasta el edificio es de 49 metros, calcular la longitud de la chimenea .

Solución : Denotemos por :

BC

y= la longitud de la chimenea .

AB

h= la altura del edificio

Entonces aplicando la definición de la función tangente a los triángulos rectos OAB y OAC se obtiene :

tan 45º( )h

49 m= ; tan 60º( )

h y49 m

=

Resolviendo estas dos ecuaciones para y , ( por ejemplo substituyendo h de la primera

ecuación en la segunda ) se deduce que :

tan 60º( )49 m( ) tan 45°( ) y

49 m= y 49 m( ) tan 60º( ) tan 45º( )( )=

esto es : y 49 m 3 1( )= = 35.87 m

Ejemplo 25. Una alberca de 20 metros de largo, tiene su fondo inclinado a 30º respecto ala horizontal . En la parte más baja, la alberca tiene una profundidad de 1 metro.

¿Cuál es su profundidad h de la alberca en la parte más honda ?

20 m

1 m

y

Solución : Es fácil ver que la longitud a lo largo de la alberca es uno de los catetos de un triángulo rectángulo , del cual buscamos la longitud y

del cateto opuesto al ángulo 30°= .Dado que se involucran los dos catetos del triángulo, ésto nos sugiere aplicar la función tangente del ángulo . . .


Trigonometria

tan y

x= es decir . . . tan 30º( )

h 1 m20 m

=

de donde se obtiene que :

h 1 m 20 m( ) tan 30°( )= = 120

3

m = 12.55 m

Ejemplo 26. Desde cierto punto sobre terreno plano horizontal, se observa que la cima de unamontaña a lo lejos tiene un ángulo de elevación de 6° . Luego de caminar

10 km directamente hacia la montaña, el ángulo de elevación hacia la cima es

ahora de 9° . ¿Qué altura tiene la montaña sobre el terreno plano horizontal ?

Solución : Supongamos que O1 y O2

son las dos posiciones del observador que camina sobre el terreno plano horizontal, cuando mira hacia la cumbre C de la montaña y mide los ángulos 1 = 6º y 2 = 9º respectivamente .

x

O1

O2

21

C

A

h

Denotemos por : x : la distancia entre O1 y O2

h : la altura de la montaña

D1 : la distancia desde el punto A hasta O1

D2 : la distancia del punto A hasta O2

entonces x D1 D2= . Del triángulo rectángulo O1 AC se deduce que . . .

tan 1 h

D1

= es decir D1

h

tan 1 = ( * )

Del triángulo rectángulo O2 AC se deduce que . . .

tan 2 h

D2

= es decir h D1 x tan 2 =


Trigonometria

Substituyendo D1 de la ecuación ( * ) resulta : hh

tan 1 x

tan 2 =

y despejando h queda :

h xtan 1 tan 2

tan 2 tan 1

=

Usando los valores dados para x , 1 y 1 resulta :

h 10 kmtan 6°( ) tan 9º( )

tan 9º( ) tan 6°( )

= = 3124.4 m

Ejemplo 27. Un avión que vuela horizontalmente a una altura de 1500 metros sobre el suelo plano, se aproxima hacia Usted . Si el ángulo de elevación al ver hacia el avión encierto instante es 18° y un minuto después éste ángulo es de 72° , calcular lavelocidad del avión respecto al suelo.

Solución : Sean A y B los puntos sobre el suelo que quedan directamente debajo del

avión en los dos instantes considerados, A en t 0 seg= y B un mituto

después, es decir en t 60 seg= , como se ilustra en la figura siguiente.

2

1

x

A B O

P P'

y

Denotemos a x : la distancia recorrida por el avión en un minuto.

y : la altura del avión sobre el suelo.

x1 : la distancia desde el observador en O hasta el punto A

x2 : la distancia desde el observador en O hasta el punto B .

entonces x x1 x2= . Además del triángulo rectángulo OAP se obtiene que . . .


Trigonometria

tan 1 y

x1

= es decir x1

y

tan 1 = ( * )

Y del triángulo rectángulo OBP´ se obtiene que . . .

tan 2 y

x2

=y

x1 x= es decir y x1 x tan 2 =

Substityendo x1 de la ec. ( * ) . . .

yy

tan 1 x

tan 2 =

resolviendo esta ecuación resultante para x : x y1

tan 1 1

tan 2

=

Si se supone que la velocidad v del avión es constante, ésta se calcula dividiendo

la distancia recorrida ( x ) entre el tiempo transcurrido ( 60 seg )

vx

t=

y

t

1

tan 1 1

tan 2

=

= 1500 m60 seg

1

tan 18º( )

1

tan 72º( )

= 68.82

m

seg

o bien transformando a kilómetros por hora . . .

v 68.82

1

1000km

1

3600hora

= = 247.75km

hora


Trigonometria

Dado el valor de la función trigonométrica , hallar el valor del ángulo típico en grados (0 < < 90º ) y radianes (0 < < /2 ) sin usar tablas trigonometricas o calculadora.

a) sen 4

4= b) cos 2

8= c) sec 10

5= d) csc 2 3

3=

e) cot 1= f) tan 2

6= g) cos 3

12= h) sen 5 1

4=

5.

Sabiendo que csc 2= calcular :

a) cot b) sen c) sec 90° d) tan 90°

4.

Calcular todas las demás funciones trigonométricas a partir del dato dado :

a) cos 36º( )1

2

5 35 1

= b) tan 75º( )3 13 1

= c) sec 105º( )2 2

3 1( )=

3.

iii) b = 4 , A = 4 , B = 10

ii) b = 12 , c = 13 , C = 26

i) a = 3 , b = 4 , A = 9

a

b

c A

B

C

En los dos triángulos semejantes siguientes, hallar en cada caso las longitudes no conocidas de los lados indicados , y las 6 funciones trigonométricas de los ángulos complementarios y .

2.

b) sec 13

5= c) sen 4

5= d)

y 3=

r 2=

a)1

Y

X

O

2

Determinar los valores de las funciones trigonométricas en cada caso a partir del dato dado :1.

EJERCICIOS I.2


Trigonometria

6. Una persona de 1.7 metros de estatura está parada a una distancia 4 metros de la base de un poste de alumbrado y proyecta una sombra de 3 metros de longitud sobre el piso horizontal, como se ilustra en la figura de la derecha.¿ A qué altura se encuentra la lámpara sobre el piso ? .

7. La circunferencia de la Tierra. El filósofo griego Eratóstenes (284 - 192 a.C.), estimó la

circunferencia de la Tierra usando la proporción s

C

360

= , donde

s

r

C

s es la longitud de arco de un círculo cuya circunferencia total tiene la longitud C

son los grados del ángulo que subtiende el arco s desde el centro del círculo

y observando que . . .

En la ciudad de Siena (actualmente Asuán), durante el solsticio de verano, los rayos del sol iluminaban el fondo de un pozo vertical profundo.

El mismo dia del año, al mismo tiempo en Alejandría, 4540 estadios ( 1 estadio = 185 m aproximadamente) al norte de Siena, los rayos del sol cruzaban un pozo vertical similar al anterior bajo un ángulo de 7.5° , como se indica en la figura de la derecha.

Realice el cálculo de Eratóstenes para la circunferencia de la Tierra. ( El cálculo actual de la circunferencia terrestre ecuatorial es de 40077.3 km )

pozo en Siena

pozo en Alejandría

P

d

8. Al mirar hacia un punto P en la orilla opuesta de un río

que tiene riveras paralelas, se mide el ángulo de = 60º respecto a la orilla . Luego, al caminar una distancia de 52 metros a lo largo de la orilla, el ángulo que forma la línea visual hacia P respecto a la orilla es ahora de =

45º . ¿Qué longitud l tiene el ancho del río ?


Trigonometria

9. Una persona en la calle debe elevar su vista un ángulo de 30º para poder mirar hacia la cima de cierto rascacielos. La persona camina 205 m en línea recta hacia la base del rascacielos y encuentra que ahora debe elevar su vista a 45º sobre la horizontal para poder ver la cima del edificio. ¿Cuántos metros de altura sobre el nivel de la calle tiene el rascacielos ? .

10. En una noche, Juan que está de pie sobre una calle a 100 metros de un edificio de 30 pisos, observa , levantando su mirada un ángulo de 18º con respecto a la horizontal, que se enciende una luz en el piso número 15 donde vive su amada Catalina. Posteriormente, levantando su vista un ángulo de 30º , ve que se enciende otra luz en el piso número 24 donde vive su querida Margarita. Calcular la distancia entre pisos del edificio.

c

b

A

B

a

P

11. Una mesa de billar está dispuesta como se indica en el diagrama de la derecha donde a = 60 cm , b = 30 cm.

c = 180 cm. Si la bola A (a la que se pega primero) debe chocar con la bola B , ¿hacia qué punto P sobre la banda se debe apuntar el tiro de la bola A? (Cuando una bola choca con la

banda , rebota con el mismo ángulo de incidencia )

12. Si un piloto despega su avión a nivel del mar con un ángulo de elevación de 18º y una velocidad

constante de 100km

h ¿En cuántos minutos alcanzará la altura de 8500 metros sobre el nivel del

mar?A B

P

OC

13. Se desea determinar la distancia AB entre las cimas de dos montañas. Para tal efecto se escoge un objeto de referencia en el punto P (una roca o un árbol, por ejemplo) y un observador en O alineado con A y P . Cuando el observador camina una distancia OC de 124 metros en ángulo recto con AP y paralelamente a AB , determina que el ángulo que forman las líneas visuales CA y CB hacia las cimas de las montañas, respecto a OC son = 88º y

= 10º . respectivamente .Determinar la distancia desde P hasta la cima A y la distancia AB entre las cimas de las montañas.

14. Un hexágono regular de 12 cm de lado está inscrito en un círculo . Determinar el área comprendida entre el círculo y el hexágono .


Trigonometria

a ) c ) b )

A B

3

A B

53

4

A

B

En cada uno de las siguientes figuras, expresar la distancia AB en términos del ángulo :20.

En las figura de la derecha, se representa un triángulo rectángulo sobre cuya hipotenusa se ha construido un semicírculo . Hallar el área limitada por toda ésta figura .

19.

16

30°

Encuentre el radio r del círculo más pequeño que sea tangente al círculo más grande y a los dos lados del ángulo.

18. 30° r2 m

Encuentre el radio r de la circunferencia inscrita en el triángulo isóceles mostrado en la figura de la derecha. ( La circunferencia inscrita es tangente a cada uno de los lados del triángulo y en cada punto de tangencia, el radio es perpendicular a los lados tangentes )

17. 30°

2 m

r

Demostrar que el área de un polígono regular de n lados circunscrito en una circunferencia de

radio R es:

A n R2 tan

n

=

y calcular ésta área para R 1= y n 8= , n 100= , n 1000= y n 10000= . ¿A qué valor

tiende tal área cuando n tiende a ?

16.

Un pentágono regular de 10 cm de lado tiene inscrito un círculo . Determinar el área comprendida entre el círculo y el pentágono .

15.


Trigonometria

Determinar en qué cuadrante queda el ángulo si :

a) sen() < 0 , cos() < 0 b) sen() > 0 , tan() < 0 c) sec() > 0 , cot() < 0

d) sen() < 0 , cos() > 0 e) csc() > 0 , cos() > 0 f) tan() > 0 , sec() < 0

24.

Graficar el ángulo y su ángulo de referencia ´ si :

a) 203°= b) 7 6

= c) 8 9

= d) 72 °=

23.

Determinar si las siguientes expresiones son verdaderas o no y explicar por qué

a) sen 60º( ) csc 60º( ) 1= b) sec 30º( ) csc 60º( )= c) sen 60º( )

sen 30º( )sen 2º( )=

d) tan 18º( )( )2

tan 18º( )2 = e) sen 18º( ) cos 72º( ) 1= f) cot

210º( ) csc

210º( ) 1=

g) tan cot 90º 0= h) sen2

60º( ) 11

4= i) sec

230º( ) 1

1

3=

22.

20

x

75°

418°

30°

x

g )f )e )

x27°45°

4

x

715°

45°

100x

30°5

x

18°10

x

60°

d )c ) b ) a )

Calcular la longitud del lado x en los siguientes triángulos ( use los valores conocidos de las funciones trigonométricas para los ángulos típicos indicados ) :

21.


Trigonometria

25. Evaluar el seno, el coseno y la tangente del ángulo dado sin usar calculadora o tablas trigonométricas .

a) 6

b) 225 ° c) 17

3d) 750° e)

3 5

f) 150°

g) 5

4 h)

9

10

26. Determinar las 6 funciones trigonométricas para el ángulo indicado en las siguientes figuras, dadaslas coordenadas rectangulares de un punto del plano cartesiano :

a)

O X

YP (3, 4)

b)

O X

Y

P (-12, - 5)

c)

OX

Y

P (1, - 1)

d)

O X

YP (- , 1)


Trigonometria

C360°

s= = 360°

7.7°

4540 185 m( ) = 39268 km7.

3.97 m6.

a) 30°6

= b) 45°4

= c) 60°3

= d) 60°3

=

e) 45°4

= f) 30°6

= g) 30°6

= h) 18°10

=

5.

a) cot = 3 b) sen = 1

10 c) sec 90° = 2 d) tan 90° 3=4.

sen 105º( ) = 3 12 2

; cos 105º( ) = 3 1( )

2 2 etc.b)

sen 75º( ) = 3 12 2

; cos 75º( ) = 3 12 2

etc.b)

sen 36º( ) = 10 2 5

2 5 1( ) ; tan 36º( ) =

10 2 55 3

etc.a)3.

sen = 3

5 ; cos x

r= =

1

2 etc.d)

cos = 3

5 ; tan =

4

3 etc.c)

sen = 12

13 ; cos =

5

13 etc.b)

sen = 1

2 ; cos =

32

etc.a)1.

Respuestas EJERCICIO I.2


Trigonometria

8. l dtan tan

tan tan

= = 52 mtan 60°( ) tan 45°( )

tan 60 °( ) tan 45 °( )

= 33 m

9. h = dtan 45°( ) tan 30°( )

tan 45 °( ) tan 30 °( )

= 280 m

10. d 100 m( )tan 30°( ) tan 18°( )

24 15( )

= = 2.8 m

11. A una distancia xa c

a b( )= =

60 cm( ) 180 cm( )60 cm 180 cm

= 45 cm del borde perpendicular a la bola

A

12. tiempodistancia_vertical

rapidez

= i.e. t

h

sen v

= =

8500 msen 18°( )

100000 m60 min

= 16.5 min

A B

P

OC

13. Nótese que los triángulos POC y PAC son semejantes, es decir tienen los mismos ángulos y por lo tanto los cocientes o razones de dos de sus lados correspondientes también son iguales . . .

OP

OC

AP

AB=

de donde se obtiene . . .

ABOC

OPAP=

= OC

OPOA OP( ) = OC

OA

OP1

y dado que tan OA

OC= ; tan OP

OC= entonces

OA

OP

tan tan = y la distancia entre las

cimas de las montañas es entonces . . .

AB OCtan tan 1

=

= 124 m( )tan 88°( )

tan 10°( )1

= 20 km


Trigonometria

Asi mismo, la distancia AP es

AP OA OP( )= = OC tan tan = 124 m 28.46( ) = 3530 m

hR R

L

L

14. Al inscribir un hexágono regular en una circunferencia de radio R , cada uno de los lados L del hexágono forma un

triángulo con ángulo central 360°

6= 60°= entre los

radios R correspondientes de la circunferencia.

Por simetría, la mediatriz del lado L divide a cada triángulo en dos triángulos rectos y por lo tanto, el área de cada uno de los triángulos del hexágono es . . .

A1

2L h=

= 1

22 R sen

2

R cos2

= 1

22 R sen 30 °( )( ) R cos 30 °( )( )

= 1

22 R

1

2

R3

2

=

3

4R

2

De modo que L R= , es decir, los triángulos formados por el hexágono son equiláteros y el área total del hexágono es 6 veces este valor.La diferencia con el área del círculo es :

R2 6

3

4R

2

= 3 32

R2

ó dado que L R= , queda expresada en términos de L como :

3 32

L2 = 0.5435( ) 12 cm( )

2 = 6.52 cm2

que comparda con el área del círculo R2 es :

3 3

2

L

2

L2

= 13 32

= 0.173 = 17.3 %


Trigonometria

R

L

b

15. Cada uno de los lados del pentágono forma un

triángulo con ángulo central : 360°

572°= , que al ser

dividido por la mediatriz del lado correspondiente, forma dos triángulos rectángulos de lados :

R

L = R

cos 36°( ) =

R3 5

8 3 5

= 8 3 53 5

R

y

b R tan 36°( )= = R10 2 53 5

el área de cada uno de los triángulos del pentágono es : A1

22 b( ) R= es decir . . .

A b R= = R10 2 53 5

R = 10 2 53 5

R2

El área total del pentágono es 5 veces este valor y su diferencia con el área del círculo inscrito es :

510 2 53 5

R2 R

2 = 510 2 53 5

R2

= 0.4911 10 cm( )2 = 4.91 cm

2

que comparda con el área del círculo R2 es :

510 2 53 5

R2

R2

= 5

10 2 53 5

1 = 0.1563 = 15.63 %

R

L

b

16. Considere el triángulo que forma uno de los n lados del polígono y que es perpendicular al radio R del circulo inscrito en él . . .

El área de dicho triángulo es A1

22 b( ) R= =

b R

Pero tan2

b

R= , es decir b R tan

2

=


Trigonometria

donde es el pangulo central 360°

n

2 n

= . Substituyendo b y en la expresión del área del

triángulo queda . . . A R tan2

R= = R2

tan

2 n

2

= R2

tann

Hay n triángulos como éste y el área total es : AT n R2

tann

= como se pedia demostrar .

Para R 1= queda . . .

n

8

10

100

1000

10000

....

AT

3.313708

3.249197

3.142627

3.141603

3.141593

....

y a medida que crece el número de lados n del

polígono, el área del mismo se aproxima al número 3.141592654 como era de esperarse.

17. r tan 30°( )=1

3=

18. r 2d 2( )

d 2( )= ; donde d

2

sen 15°( )= =

2

2 32

y queda . . . r 21 sen 15°( )( )

sen 15°( ) 1( )= = 1.1776

19. 128

3 3

20. a ) AB4

cos = b ) AB3

sen 5

cos = c ) AB3

tan =

21. a) 10 cos 60°( ) 101

2

= 5= b) 5

tan 18°( ) =

5

5 1

2 5 5

= 5 10 20

5 1

c) 100 sen 30°( ) 1003

2= = 50 3 d) 7 tan 60°( ) 1( ) = 7 3 1( )


Trigonometria

e) 20

cos 75°( )

20

cos 45° 30°( )= =

20

3 12 2

= 40 23 1

f) 4

sen 30°( )sen 18°( ) =

4

1

2

1

5 1 =

8

5 1

g) 4

tan 18°( )4

sen 45°( ) 4 = 41

5 1

2 5 5

1

1

2 1

= 45 55 1

1

2

1

22. a) cierto porque : sen 60º( )1

csc 60°( )=

b) cierto porque : sec 30º( ) csc 90° 30°( )=

c) falso, dado que : sen 60º( )

sen 30º( )

cos 90° 60°( )

sen 30°( )= = cot 30°( )

d) falso, dado que : tan 18º( )( )2

tan 18º( ) tan 18º( )= pero tan 18º( )2 = tan 324°( )

e) falso, dado que : sen 18º( ) cos 72º( ) sen 18º( ) sen 90° 72°( )= 2 sen 18°( )=

f) cierto porque : cot2

10º( ) 1 csc2

10º( )=

g) cierto porque : cot 90º tan = y por eso tan cot 90º 0=

h) cierto porque : sen 60°( )3

2= y por eso sen

260º( ) 1

3

2

2

1=3

4

4

4=

14

=

i) cierto porque : sec 30°( )1

cos 30°( )=

2

3= y por eso sec

230º( ) 1

2

3

2

1=1

3=


Trigonometria

23. a) 180° 270° , asi que está en el III cuadrante y ´ = = 203° 180°( ) 23°=

b) 3

2 , asi que está en el III cuadrante y ´ = =

7 6

1

6=

c) 2

, asi que está en el II cuadrante y ´ = = 8 9

1

9=

d) 270° 360° , está en el IV cuadrante y ´ 2 = = 360° 288°( ) 72°=

24. Si se considera que r 0 siempre

a) sen y

r0= implica y 0 , cos x

r0= implica x 0 ; cuadrante I

b) sen y

r0= implica y 0 , tan y

x0= implica x 0 ; cuadrante II

c) sec r

x0= implica x 0 , cot x

y0= implica y 0 ; cuadrante IV

d) cuadrante IV e) cuadrante I f) cuadrante III

25. a) 6

=11

6= en el cuadrante IV significa que x 0 , y 0 , y además su ángulo de

referencia es ´ 2 11

6

=6

= 30°= , un ángulo típico, por lo tanto :

sen6

y

r= =

12

; cos6

x

r= =

3

2 ; tan

6

y

x= =

13

b) 225 °= 135°= en el cuadrante II significa que x 0 , y 0 , y además su ángulo de

referencia es ´ 180° 135°( )=4

= 45°= , un ángulo típico, por lo tanto :

sen 225 °( )y

r= =

1

2 ; cos 225 °( )

x

r= =

12

; tan 225 °( )y

x= =

1

1


Trigonometria

c) sen17

3

= 3

2 ; cos

17 3

= 1

2 ; tan

17 3

= 3

d) sen 750°( ) = 1

2 ; cos 750°( ) =

3

2 ; tan 750°( ) =

1

3

e) sen3 5

= 5 52 2

; cos3 5

= 5 14

; tan3 5

= 5 2 5

f) sen 150°( ) = 1

2 ; cos 150°( ) =

32

; tan 150°( ) = 13

g) sen5

4

= 12

; cos5

4

= 12

; tan5

4

= 1

h) sen9

10

= 5 14

; cos9

10

= 2 5 5

4 ; tan

9

10

= 5 2 5

5

26. a) x 3= , y 4= por lo tanto . . . r x2

y2= 32 42= 5=

sen y

r=

4

5= , cos x

r=

3

5= , tan y

x=

4

5= , . . . etc.

b) x 12= , y 5= por lo tanto . . . r x2

y2= 12( )

25( )

2= 13=

sen y

r=

513

= , cos x

r=

1213

= , tan y

x=

512

= , . . . etc.

c) sen 12

= , cos 1

2= , tan 1= , . . . etc.

d) sen 1

2= , cos 3

2= , tan 3= , . . . etc.


Trigonometria

1.11 Gráficas de las funciones trigonométricas .

Todas las funciones trigonométricas se definen a partir de un círculo, por eso se les conoce también como funciones circulares, (a diferencia de las funciones hiperbólicas, que aunque también representan la razón de dos lados de un triángulo rectángulo, éste se define sobre una hipérbola) .

Como ya se dijo antes en el apartado 1.5 las funciones trigonométricas se definen como las razones posibles entre dos de los lados de un triángulo rectángulo determinado por los siguientes tres puntos:

O el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. A un punto sobre el eje X e interior a un círculo unitario (es decir un círculo cuyo radio r vale r 1= ) cuyo centro está en O .

P un punto de coordenadas x y( ) sobre el círculo unitario.

O

r

X

Y

x

y

A

PComo se ilustra en la figura de la derecha, en la cual . . .

r : es la hipotenusa del triángulo o simplemente el radio del círculo (que tomaremos de valor 1 ).

: es el ángulo positivo medido en radianes entre el eje X y el radio r .

x : es la longitud del lado OA del triángulo y se le

llama cateto adyacente al ángulo o

simplemente abscisa del punto P .

y : es la longitud del lado AB del triángulo y se

le llama cateto opuesto al ángulo o

simplemente ordenada del punto P .

De acuerdo a su definición, las funciones trigonométrica para el ángulo son :

sen y

r= y= csc 1

sen =1

y=

cos x

r= x= y sus recíprocas : sec 1

cos =1

x=

tan y

x= cot 1

tan =x

y=

De modo que sen , el seno de es numéricamente igual a la ordenada y del punto P

mientras que cos , el coseno del ángulo es numéricamente igual a la abscisa xdel punto PPor otra parte, observemos que la cosecante, la cotangente, la tangente y la secante existen sólo cuando x 0 , y 0 , dado que no existe la división por cero.


Trigonometria

Notemos además que :

después de una vuelta completa alrededor del origen O , es decir después de un giro de 2 radianes, el punto P regresará a su posicion inicial. Ésto significa que los valores de las funciones trigonométricas se repiten, es decir, todas las funciones trigonométricas son periódicas.

cuando el punto P se mueve sobre la circunferencia, el lado adyacente x y el lado opuesto

y varían su longitud entre 1 y + 1 (el valor del radio del círculo unitario) , es decir

1 x 1 , 1 y 1 , lo cual significa que el seno y el coseno de un ángulo son

funciones cuyo valor está comprendido entre 1 y +1 . Por otra parte, las demás funciones trigonométricas pueden tener valores muy grandes tanto positivos como negativos ( no son acotadas) si su denominador tiende a cero .

1.11 a) Gráfica de la función seno ( senoide ) .

Como se dijo antes, la ordenada y de un punto P sobre el círculo unitario representa el valor de

la función seno del ángulo , por lo tanto, si transladamos horizontalmente esa ordenada y la

representamos sobre un sistema de coordenadas cuyo eje horizontal mida los valores de , obtendemos la curva senoidal o senoide.

Para obtener tal curva, notemos que a medida que el punto P se deplaza sobre el círculo

unitario una vuelta completa en sentido positivo, la ordenada y :

aumenta de 0 a +1 cuando 0 90° en el primer cuadrante

disminuye de +1 a 0 cuando 90° 180° en el segundo cuadrante

disminuye de 0 a 1 cuando 180° 270° en el tercer cuadrante

aumenta de 1 a 0 cuando 270° 360° en el cuarto cuadrante.

como se ilustra en la siguiente figura :

O X

Y

y

P

0

y

/2 /2

P

y


Trigonometria

Evidentemente el punto P puede girarse en ambos sentidos sobre el círculo unitario, y en consecuencia, la senoide se repite en cada vuelta que gira P alrededor del círculo, es decir en cada intervalo de 360° = 2 radianes hacia la izquierda ó hacia la derecha , como se muestra en la siguiente gráfica . . .

Y

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

Gráfica de la función seno. (senoide)

- 0 2

y podemos observar que la mitad de la gráfica (del origen hacia la derecha), es idéntica a la mitad izquierda pero negativa, esto es : sen sen = para todo valor del ángulo por lo cual se dice que el seno es una función impar .

1.11 b) Gráfica de la función coseno ( cosenoide ) .

Sabemos ya que que la abscisa x de un punto P sobre el nuestro círculo unitario es

numéricamente igual al valor de la función coseno del ángulo Por lo tanto si representamos

en un sistema de coordenadas los valores de x sobre un eje vertical X y sobre un eje horizontal

los valores del ángulo correspondientes a cada valor x , obtendemos la curva cosenoidal o cosenoide.

Para obtener tal curva, notemos que a medida que el punto P se deplaza sobre el círculo

unitario una vuelta completa en sentido positivo, la abscisa x :

disminuye de +1 a 0 cuando 0° 90° en el primer cuadrante

disminuye de 0 a 1 cuando 90° 180° en el segundo cuadrante

aumenta de 1 a 0 cuando 180° 270° en el tercer cuadrante.

aumenta de 0 a +1 cuando 270° 360° en el cuarto cuadrante

como se ilustra en la siguiente figura :(Nótese que los ejes de coordenadas X e Y aparecen girados en +90° )


Trigonometria

O

X

Yx

P

X

P

x

0°

+ 1

1

El punto P puede girar en ambos sentidos sobre el círculo unitario, por lo cual ésta curva se repite en cada vuelta de P alrededor del círculo, es decir en cada intervalo de 360° = 2 hacia la izquierda ó hacia la derecha, como se muestra en la siguiente gráfica . . .

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

Gráfica de la función coseno.(cosenoide)

Y

- 0 2

Observe que las curvas senoide y cosenoide tiene la misma forma, excepto que una está

desplazada respecto a la otra por una distancia horizontal de 90°2

= ( llamada diferencia de

fase )

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5 2

Y

sen x( )

cos x( )


Trigonometria

Este comportamiento no debe sorprendernos, pues recordemos que la gráfica de la función coseno se obtuvo girando 90° los ejes XY y que por simetria, los dos catetos x e y varían

exactamente de la misma forma cuando el punto P se desplaza sobre la circunferencia unitaria .

1.11 c) Gráfica de la función tangente .

Y

XO

P

Ax

y

r

B

CEl valor de la función tangente del ángulo , es el valor

del cociente y

x de los catetos x y para un punto P

sobre el círculo unitario.

Como ya se dijo en el apartado 1.5, la tangente del

ángulo es numéricamente igual a la distancia BC

porque los cocientes y

x y

BC OB

BC 1( )

= BC

= son

iguales.Por lo tanto, representando la distancia BC

sobre un eje vertical y los correspondientes valores

del ángulo sobre un eje horizontal, se obtendrá la gráfica de la función tangente, como se muestra enseguida:

P

B

C

Y

y__x

OO

2__ 2

2__X B

C

Nótese que la función tangente . . .

no está definida (tiende al infinito) si x vale cero. Esto ocurre cuando 2

=3 2

5 2

....

etc es decir para múltiplos impares de 2

= 90°


Trigonometria

vale cero cuando la ordenada y vale cero. Ésto ocurre cuando 0= 2 3 ....

etc. es decir para múltiplos pares de 2

= 90° .

el periodo de repetición para la tangente es y no 2 como ocurre en las funciones seno y coseno .

Dado que el punto P puede girar sobre el círculo unitario hacia la izquierda ó hacia la derecha,

ésta curva se repite en cada vuelta de P alrededor del círculo como se muestra en la siguiente gráfica . . .

4

3

2

1

1

2

3

4

Grafica de la función tangente

Y

- 0 2

1.11 d) Gráfica de la función cotangente .

O

X

D

E

P

Y

x

yA

De modo similar a como se hizo en la gráfica de la función coseno, giremos los ejes XY un ángulo de + 90° . El valor de la función cotangente del ángulo , es el

valor del cociente x

y de los catetos x y para un punto

P sobre el círculo unitario y como ya se dijo en el

apartado 1.5, es numéricamente igual a la distancia DE

porque los cocientes x

y y

DE OD

DE 1( )

= DE

= son

iguales.Graficando la distancia DE

sobre un eje vertical para los correspondientes valores del

ángulo sobre un eje horizontal, se puede obtener la gráfica de la función cotangente, como se muestra en la siguiente figura:


Trigonometria

P

D

E

Y

y__x

OO

2__ 2

2__

X

D

E

1

Nótese que la función cotangente . . .

no está definida ( tiende al infinito) si y vale cero. Esto ocurre cuando 0= 2 ....

etc es decir para múltiplos pares de 2

= 90° .

vale cero cuando la abscisa x vale cero. Cuando es un múltiplo impar de 2

= 90°

2

=3 2

5 2

.... etc

su periodo de repetición es y no 2 al igual que en la función tangente.

4

3

2

1

1

2

3

4

Grafica de la función cotangente

Y

Ésta curva se repetirá en cada vuelta de P alrededor del círculo en sentido positivo o negativo como se muestra en la gráfica de la dercha . . . - 0 2


Trigonometria

1.11 e) Gráficas de las funciones secante y cosecante .

En el apartado 1.5 , la secante y la cosecante de un ángulo se interpretaron también como la longitud de ciertos segmentos en el círculo unitario . Sin embargo, para determinar las gráficas de éstas funciones, se sabe que por definción, son el recíproco de las funciones coseno y seno respectivamente, esto es . . .

sec 1

cos =1

x= ; csc 1

sen =1

y=

por lo tanto, éstas funciones no están definidas cuando cos 0= ó cuando sen 0= (tienden al infinito)tienen el mismo periodo de repetición que el seno o el coseno, es decir 2no toman valores en el rango 1 1( ) , que es el rango de valores de las funciones seno y coseno.

3

2

1

1

2

3

Grafica de la función cosecante

Y

- 0 2

3

2

1

1

2

3

Grafica de la función secante

Y

- 0 2


Trigonometria

Para su comparación, se ilustran juntas enseguida las gráficas de las tres primeras funciones trigonométricas representadas en el plano cartesiano, con el eje horizontal x medido en radianes.

1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85

3

2

1

1

2

3

Y

X

---- y cos x( )=

___ y sen x( )=

___ y tan x( )=

Es importante que mantengamos una imagen mental de éstas 6 curvas básicas porque usándolas podremos hacer las operaciones trigonométricas con mayor eficiencia y rapidez. Por ejemplo, si memorizamos la curva senoide, de antemano sabremos qué valor y qué signo podemos esperar para el seno de un ángulo dado : grande o pequeño, negativo o positivo , cualquiera que éste sea .

1.12 Constantes típicas . ( frecuencia angular, fase, amplitud, desplazamiento )

Es interesante investigar el efecto que tienen de las constantes A , B , y en las gráficas de las ecuaciones para las funciones trigonométricas que toman la forma :

y A sen x B= , y A cos x B= , y A tan x B= etc.

donde x representa un ángulo medido el radianes.

Constante B .Representa un desplazamiento vertical de la gráfica de la función puesto que se suma algebráicamente a los valores de la función y sobre el eje Y . De modo que la gráfica se

desplaza verticalmente B unidades hacia arriba si B 0 o B unidades hacia abajo si

B 0 .

Asi por ejemplo, la gráfica de la función y cos x( ) 2= es simplemenete una cosenoide

pero desplazada en la dirección vertical 2 unidades hacia arriba sobre el eje Y .


Trigonometria

4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85

2

1

1

2

3

4

cos x( ) 2

cos x( )

x

O la gráfica de la función y sen x( ) 3= es exactamente igual a la gráfica de una

senoide pero desplazada verticalmente 3 unidades hacia abajo sobre el eje Y :

4.71 2.92 1.12 0.67 2.47 4.26 6.06 7.85

4

3

2

1

1

2

sin x( ) 3

sin x( )

x

La constante A .Se llama amplitud . Dado que éste factor multiplica al valor de la función trigonométrica, aumenta los valores de la función si A 1 o los disminuye si 0 A 1 .

Por ejemplo la gráfica de y 2 cos x( )= , es la misma gráfica de la función cos x( ) ; pero con

sus valores aumentados o amplificados dos veces o bién, la gráfica de y1

2cos x( )= es

idéntica a la gráfica de y cos x( )= pero con sus valores disminuidos ó reducidos a la mitad , como se ilustra en la siguiente figura:

3

2

1

1

2

3

cos x( )

3 cos x( )

1

2cos x( )

x


Trigonometria

Si la constante A 0 , entonces la gráfica se reflejará respecto al eje X pero

quedará también aumentada si A 1 ó disminuida si 1 A 0 .

Por ejemplo, la gráfica de la función y 2 cos x( )= , es idéntica a la gráfica de

y cos x( )= pero reflejada respecto al eje X y aumentada por un facor de 2 como se muestra enseguida . . .

3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28

3

2

1

1

2

3

cos x( )

2 cos x( )

x

La constante .Se llama fase y tiene que ver con un desplazamiento horizontal (a lo largo del eje X ) de la gráfica de una función, puesto que se suma (ó se resta) de la variable independiente x .

Comparando por ejemplo la función y1 sen x( )= con y2 sen x = es evidente que

y1 completa un ciclo desde x 0= hasta x 2 =

y2 completa un ciclo desde x 0= hasta x 2 = , es decir, desde x =

hasta x 2 = .

Por ejemplo, en la siguiente gráfica se comparan las funciones sen x( ) y sen x3

1.5

0.5

0.5

1.5

sin x( )

sin x3

3

2 3

x

Y

X


Trigonometria

es como si toda la gráfica inicial sen x( ) se hubiese desplazado hacia la derecha

horizontalmente una distancia de 3

unidades sobre el eje X .

O en la siguiente gráfica se comparan las funciones cos x( ) y cos x3

cos x( )

cos x3

3

2 3

x

Y

X

es como si toda la gráfica inicial cos x( ) se hubiese desplazado hacia la izquierda

horizontalmente una distancia de 3

unidades sobre el eje X .

La constante .Se dice que una función f x( ) es periódica de periodo T si su gráfica tiene una foma que se repite indefinidamente a intervalos regulares de longitud T hacia la derecha o hacia la izquierda del origen de coordenadas, es decir si para cualquier valor x , la función vale lo

mismo que para x T :

f x( ) f x T( )=

Un periodo es entonces la menor distancia horizontal en la cual se repite por completo una vez la gráfica de una función . Las funciones seno y coseno se repiten una vez en cada intervalo de longitud 2 por eso

su periodo es T 2 = y se cumple: sen x( ) sen x 2 = o cos x( ) cos x 2 = .

Las funciones tangente y cotangente se repiten una vez en cada intervalo de longitud

por eso su periodo es T = y tan x( ) tan x = o cot x( ) cot x = para todo

valor x .

La constante de una función periódica f x se llama frecuencia angular y representa el número de ciclos completos que realiza tal función en un intervalo de longitud un periodo T de la función f x( ) .


Trigonometria

En otras palabras , la longitud horizontal T para la función periódica inicial f x( ) queda

dividida en partes iguales , cada una de ellas asociada a un ciclo completo de la función

f x En consecuencia, el periodo de la función f x es . . .

T1

T

=

Por ejemplo si 3= , el periodo T 2 = de la función f x( ) cos x( )= queda dividido en

tres partes iguales de longitud T1

2 3

= para la función f 3 x( ) cos 3 x( )= , en cada una de

las cuales esta función realiza un ciclo completo, tal como se muestra en la siguiente gráfica :

cos x( )

cos 3 x( )

2 3

2

x

Y

X

O si 1

3= , el periodo T = de la función f x( ) tan x( )= queda multiplicado por tres

para la función f1

3x

tan1

3x

= , y en cada periodo T1

1

3

= 3 = esta función

realiza un ciclo completo : Y

tan x( )

tanx

3

3 2

3 2

x

X


Trigonometria

En otras palabras :

" La frecuencia angular es inversamente proporcional al período T1 "

pues T1

T

= , donde T es una constante ( 2 o para las funciones trigonométricas)

Nótemos también que y T1 son siempre números positivos .

En resumen: Si 0 1 entonces T1 T y la gráfica de la funcion periódica f x( ) se alarga

horizontalmente a lo largo del eje X generando la función f x .

Si 1 entonces T1 T y la gráfica de la funcion periódica f x( ) se se

comprime horizontalmente a lo largo del eje X generando la función f x

Por ejemplo, si 1

2= la curva f x( ) sen x( )= se alarga horizontalmente y se genera la

curva f1

2x

sen1

2x

= que es la misma curva de la función seno; pero con su período

T1

2 1

2

= 4 = aumentado dos veces, lo que equivale a "alargar" horizontalmente la

senoide por un factor de 2 .

Por el contrario si 3= la gráfica de f x( ) sen x( )= se comprime horizontalmente y se

genera la curva f 3 x( ) sen 3 x( )= que es la curva seno pero con su período T1

2 3

=

disminuido a un tercio, que equivale a "comprimir" horizontalmente la senoide por un factor de 3 .

sin x( )

sinx

2

sin 3 x( )

2 4

x

Y

X


Trigonometria

En resumen, se puede afirmar entonces que, dada una funcion trigonométrica y f x( )= , la función transformada :

y A f x B= = A f x

B

es tal que :tiene una amplitud de A veces la amplitud de f x( )está desplazada verticalmente una distancia B

tiene una frecuencia angular de veces la frecuencia 1 de f x( ) .

tiene ua fase o desplazamiento horizontal

respecto a la posición original de f x( ) .

Ejemplo 28. Graficar las funciones : a) 1

2sen x

4

1 ; b) 2 cos3

2x 3

Solución : a) Al comparar las dos expresiones : 1

2sen x

4

1 A sen x B= ,

se concluye que la gráfica de la función buscada tiene la misma forma que la función sen x( ) pero además con . . .

Amplitud : A1

2= Frecuencia angular : 1= (la misma de seno)

Fase : 4

= (hacia la derecha) Desplazamiento vertical : B 1= (hacia arriba)

y tiene un periodo de T1 2 = como se muestra enseguida :

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5 4

Y

X


Trigonometria

b) Primero reescribir la función como :

2 cos3

2x 3

2 cos3

2x 2( )

=

Comparar ahora las dos expresiones :

2 cos3

2x 2( )

A sen x

B=

para concluir que la gráfica de la función buscada tiene la misma forma que la función cos x( ) pero además con . . .

Amplitud : A 2= Frecuencia angular : 3

2=

Fase :

2= (hacia la izquierda) Desplazamiento vertical : B 0=

y tiene un periodo T1

T

=

2 3

2

=4 3

=

En la siguiente gráfica se representa ésta función con una línea continua y por comparación, también se dibuja la función cos x( ) con una línea discontinua .

3

2

1

1

2

32 2

4

3

Y

X


Trigonometria

Ejemplo 29. Hallar el periodo T1 , la amplitud A , la frecuencia angular y la fase de la

función periódica representada con una línea continua en la siguiente gráfica:

3

2

1

1

2

1

6

19 6

Y

X

Solución : Notemos que ésta gráfica se parece mucho a la de la función sen x( ) . Aunque

también podría ser la de una función cos x( )

Además, los valores máximo y mínimo de la función son : Max 1= y min 3=

por lo cual su amplitud A es :

AMax min

2

=1 3( )

2= 2=

Nótese que la gráfica está centrada en la recta horizontal y 1= , que representa

un desplazamiento vertical de valor B 1= .Observamos además que la función se repite en un intervalo horizontal que va

desde x6

= hasta x19

6=

6

3 = por lo cual la longitud de su periodo T1

es:

T1

19 6

6

= 3 =

En consecuencia , su frecuencia angular vale : T

T1

=2 3

=2

3=

Por otra parte, la gráfica es casi la de una senoide pero desplazada hacia la derecha

la cantidad 6

por lo tanto se deduce que ésta es la fase de la curva:

6

=

En resumen, la gráfica mostrada podría corresponder a la función :

y A sen x B= = 2 sen2

3x

6

1( ) = 2 sen2

3x

9

1


Trigonometria

Ejemplo 30. Hallar el periodo T1 , la amplitud A , la frecuencia angular y la fase

de la función periódica f x( ) representada en la siguiente gráfica, para la cual

se cumple además que f5 36

5= .

7

3

1

5

9

2

5

9

10

9

Solución : Observamos que la gráfica es muy parecida a la de una tangente pero desplazada hacia arriba la distancia:

B 2= (su desplazamiento vertical )y hacia la izquierda la distancia :

5

9

= ( su fase. )

Además la función se repite una vez desde x5

9 = hasta x

10

9= en un

intervalo de longitud T1 (un periodo ) igual a :

T1

10 9

5 9

=15

9=

5

3=

Por otra parte, tomando en cuenta que el periodo de la función tangente tiene una longitud T = , se deduce que la frecuencia angular de la función representada vale :

T

T1

=

5

3

=3

5=


Trigonometria

Si la gráfica es igual a la de una función tangente, se puede proponer entonces que está representada por la ecuación:

f x( ) A tan x

B= A tan3

5x

5

9

2=

= A tan3

5x

1

3

2

Donde A es la amplitud o factor de escala, el cual que podemos calcular usando la última condición dada en el problema :

f5

36

5=

5 A tan3

5

5

36

1

3

2=

5 A tan1

4

2= es decir , A5 2

tan4

= 3=

Por lo tanto, la expresión matemática de la función es :

f x( ) 3 tan3

5x

1

3

2=


Trigonometria

EJERCICIO I.3

1. Hallar el valor de las funciones trigonométricas dado que :

a) sen 3

5= y es un ángulo que está en el cuadrante II

b) cos 4

5= y es un ángulo que está en el cuadrante III .

c) cot 1= y es un ángulo que está en el cuadrante IV

d) el lado terminal de es la línea recta 4 x 3 y 0= y queda en el cuadrante I .

e) sec 3

2= y además tan x( ) 0 .

2. ( Repaso de identidades fundamentales ) .

a) Si cot x( ) 2= , hallar todos los valores posibles de la expresión : sen x( ) cos x( )

tan x( ).

b) ¿Es posible transformar la expresión sec tan en cos

1 sen ?.

3. Encontrar la expresión más simple posible de :

a) sen x( ) cot x( ) cos x( ) b) sen

1 cos

cos sen

c) 1

1 sen 1

1 sen d) tan

2x( ) 1 cos

2x( ) 1

e) sen

2

x

cos2

x

f) 1 cos

2x( )

sen x( )

g) tan2 sec

2 h) sec4 tan

4

i) cos

2y( )

1 sen y( )j)

sec 1 tan

sec csc


Trigonometria

4. Factorizar y simplificar las siguientes expresiones :

a) 2 sen cos sen b) sec2

x( ) 1

c) 4 tan2 4 tan 3 0= d) tan

4 2 tan2 1 .

e) tan2

x( ) tan2

x( ) sen2 x( ) f)

sec2

x( ) 1sec x( ) 1

g) 1 2 cos2 x( ) cos

4x( ) h) csc

3 csc2 csc 1 .

5. La temperatura T promedio en grados Celsius para cierto lugar está dada por :

T t( ) 20 23 cos2 365

t 30( )

=

donde t es el tiempo en dias del año, con t 1= correspondiendo al 1º de Enero. Hallar la temperatura en : a) Enero 1º b) Octubre 18 c) Abril 27

6. Determinar la amplitud, frecuencia angular, el periodo y la fase de las siguientes funciones periódicas y graficarlas :

a) 3

2cos

x2

b) 2 senx3

c) 1

2sen x d)

2

3cos

x10

e) 3 cosx4

3

1 f) 4 cot 2 x4

3

7. Hallar la amplitud A , la frecuencia angular , la fase

el desplazamiento B y la

ecuacion de las siguientes curvas que representan funciones trigonométricas periódicas .

3

2

1

1

2

3 3

5

3

Y

a )

X


Trigonometria

3

2

1

1

2

3 5

1

2

Y

b )

X

Y

3

2

1

1

2

3

c )

X

1.5

1

0.5

0.524

7

24

Y

Xd )

8. Supongamos que la población P de cierto predador y la población p de su presa al tiempo t (medido en meses) están dadas por :

P 1000 800 sen2 24

t

= ; p 1500 1000 cos2 24

t 100

=

Graficar juntas ambas poblaciones y explicar las oscilaciones en su tamaño.

9. La función :

P 100 20 cos5 3

t

=

aproxima la presión seanguínea P ( en milimetros de mercurio ) para una persona en reposo en función del tiempo t ( en segundos ) . Calcular la presión sanguínea en un tiempo de 10 segundos y graficar ésta función.


Trigonometria

10. Supóngase que la demanda D de cierto artículo de consumo varía con el tiempo t (medido en semestres como :

D 100 50 sen2 2

t

=

mientras que la oferta O para ese artículo oscila en ese tiempo t como :

O 200 120 sen2 2

t

=

Determinar los períodos cuando el precio del arículo sea caro, es decir, cuando la demanda supere a la oferta D O .

Respuestas : EJERCICIO I.3

1.

.

a

b

c

d

e

sen 3

5

35

12

4

5

53

cos 4

5

45

1

2

3

5

23

tan 3

4

3

4

1

4

3

5

2

cot 4

3

4

3

1

3

4

2

5

sec 5

4

5

4

2

5

3

3

2

csc 5

3

5

3

2

5

4

3

5

2. a) 2

5

b) Si : sec tan = 1

cos sen cos =

1 sen

cos =

1 sen

cos 1 sen 1 sen

= 1 sen

2

cos 1 sen =

cos2

cos 1 sen =

cos 1 sen

3. a) sen x( ) cot x( ) cos x( ) = sen x( )cos x( )

sen x( )cos x( ) =

sen2 cos

2 sen x( )

= 1

sen = csc


Trigonometria

b) sen

1 cos

cos sen =

sen2 cos 1 cos

1 cos sen =

cos sen2 cos

2

1 cos sen

= cos 1

1 cos sen =

1

sen = csc

c) 1

1 sen 1

1 sen =

1 sen 1 sen

1 sen 1 sen =

2 sen

1 sen2

= 2 sen

cos2

= 2sen cos

1

cos = 2 tan sec

d) tan2

x( ) 1 cos2

x( ) 1 = sec2

x( ) sen2 x( ) =

1

cos2

x( )sen

2 x( ) = tan2 x( )

e) sen

2

x

cos2

x

= tan2

x

= cot x( ) f) 1 cos

2x( )

sen x( ) =

sen2

x( )sen x( )

= sen x( )

g) tan2 sec

2 = 1

h) sec4 tan

4 = sec2 tan

2 sec2 tan

2

= sec2 tan

2 1 = 1 2 tan2

i) cos

2y( )

1 sen y( ) =

cos2

y( )1 sen y( )

1 sen y( )1 sen y( )

= cos

2y( ) 1 sen y( )( )

cos2

y( ) = 1 sen y( )

j) sec 1 tan

sec csc =

1

cos 1sen cos

1

cos 1

sen =

cos sen

cos2

cos sen

cos sen

= sen cos

= tan


Trigonometria

4. a) sen 2 cos 1 b) tan2

c) 2 tan 3 2 tan 1 d) sec4 .

e) sen2

x( ) f) sec x( ) 1

g) sen4

x( ) h) cot2 csc 1 .

0 50 100 150 200 250 300 350 400

20

20

40

605.

T 1( ) 0.2=

T 291( ) 3.3=

T 117( ) 38.8=

6. a)

2

1

1

22 4

amplitud :3

2 ; frec. angular : 1

2=

periodo : 2

= 4 ; fase :

0=

3

2

1

1

2

33

amplitud :2 ; frec. angular : 1

3=

periodo : 2

= 6 ; fase :

3 =

b)

1

0.5

0.5

12

amplitud :1

2 ; frec. angular : =

periodo : 2

= 2 ; fase :

0=c)


Trigonometria

10 5 0 5 10 15 20

1

0.33

0.33

1

20 amplitud :2

3 ; frec. angular :

10

=

periodo : 2

= 20 ; fase :

0=

d)

3

1

1

3

5

74 3

4 4

34

amplitud :3 ; frec. angular : 1

4=

periodo : 2

= 8

fase :

43

= ; despl. 1

e)

10

6

2

2

6

108

8

amplitud :4 ; frec. angular : 2=

periodo : 2

= ; fase :

8

=

desplazamiento: 3

f)

7. a) y 2 sen3

2x

3

= ; A 2= ; 3

2= ; T

4 3

= ;

3

= , B 0=

b) y 3 sen10

3x

5

= ; A 3= ; 10

3= ; T

3 5

= ;

5

= , B 0=

c) y 2 sen 4 x( )= ; A 2= ; 4= ; T2

= ;

0= , B 0=

d) y1

2cos 6 x

24

1= ; A1

2= ; 6= ; T

3

= ;

24

= , B 1=


Trigonometria

8. 9.

0 4 8 12 16 20 24

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2 4 6 8 1080

90

100

110

120

130

presa

predador

p 10( ) 110=

10.

0 1 2 3

160

320

100 80 sin t

200 120 sin t

1

6

5

6

t

oferta O( )

demanda D( )

D O implica que : 100 80 sen2 2

t

200 120 sen2 2

t

de donde se obtiene : 200 sen t 100 es decir : sen t 1

2 y como

sen t 1

2= implica que t

30°6

=

150°5

6=

= , se sigue que t

1

6

5

6

= y entonces

D O se cumple cuando 1

6t

5

6 .

En otras palabras, la demanda es mayor que la oferta desde el primer mes hasta el quinto mes .


capítulo i conceptos básicospferrei/trigo_nom/trigon1.pdfllamadas minutos (denotados por el...

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