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Capıtulo 1
Uso de Mathematica
Lo primero que haremos sera recordar algunos conceptos de matematicas yfamiliarizarnos con el programa que usaremos en la primer parte del libro, en estecaso Mathematica. En particular nos enfocaremos al calculo diferencial de unavariable.[3] Es importante recordar que todos los comandos con Mathematica seescribiran con el tipo de letra courier.
1.1. Maximos, mınimos y series de Taylor en funcio-nes de una variable
Recordemos que los maximos y mınimos en una funcion se encuentran cuandose satisface la relacion
df(x)
dx= 0. (1.1.1)
Para un maximo, ademas de esta condicion se debe de cumplir con que
d2f(x)
dx2
< 0, (1.1.2)
y para un mınimo que
d2f(x)
dx2
> 0. (1.1.3)
Se obtiene un punto de inflexion cuando
d2f(x)
dx2
= 0. (1.1.4)
7
8
Ejercicio 1Encuentre los maximos y mınimos de la funcion
y = x3 � 7x2
+ 15x� 9. (1.1.5)
Solucion del ejercicio 1Para definir a la funcion usamosf[x ]=xˆ3 - 7 xˆ2 +15 x - 9;
Si se desea ver la grafica de esta funcion se debe de ejecutarPlot[f[x], {x, -1, 5}]
con este comando se genera la grafica
en el dominio x 2 [�1, 5], la cual muestra claramente un maximo y un mınimo.Para obtener los puntos crıticos que muestra esta funcion es necesario obtener laprimera y segunda derivada con respecto a xprimera=D[f[x],x]Out[3]=15 - 14 x + 3 x2
segunda=D[f[x],{x,2}]Out[4]=-14 + 6 x
Finalmente debemos de buscar las x’s para las cuales la primer derivada esigual a cerocriticos=NSolve[primera == 0,x]Out[5]={{x ->5
3
}, {x ->3}}Ya que estamos interesados en evaluar a la segunda derivada en los puntos crıticosencontrados, es recomendable asignar a una variable lo que se obtuvo en criticosusando el operador de reemplazo
Jorge Garza. Curso practico de .. 9
x1=x/.criticos[[1]]Out[6]=5
3
x2=x/.criticos[[2]]Out[7]=3
Observando la grafica de nuestra funcion es claro que en estos puntos se en-cuentra el maximo y el mınimo. Para asegurarnos de eso evaluaremos la segundaderivada en esos puntos.segunda/.x!x1Out[8]=�4
segunda/.x!x2Out[9]=�4
Una parte interesante de la busqueda de maximos y mınimos son las aplica-ciones, las cuales pueden ser muy complejas. Naturalmente, estas aplicacionespueden ser aligeradas con el uso de Mathematica.
Ejercicio 2Encuentre los maximos y mınimos de la funcion
y = x4 � 3x3
+ 2x2
+ 1. (1.1.6)
1.2. Series de TaylorEn muchas ocasiones es necesario tener una representacion polinomial de una
funcion para saber su comportamiento alrededor de un punto. Para este fin la ex-pansion en series de Taylor, de la funcion f(x) alrededor del punto x
0
, es util, yaque se obtiene de
f(x) =1X
n=0
1
n!
d(n)f(x)
dxn
!
x=x0
(x� x0
)
n. (1.2.1)
Por ejemplo, si x ⇠=
x0
entonces una muy buena representacion de f(x) podrıaser una lınea recta
f(x) ⇠=
f(x0
) +
df(x)
dx|x=x0(x� x
0
), (1.2.2)
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la cual se le conoce como aproximacion a primer orden. La aproximacion a se-gundo orden tiene la forma
f(x) ⇠=
f(x0
) +
df(x)
dx|x=x0(x� x
0
) +
1
2
d2f(x)
dx2
|x=x0(x� x0
)
2. (1.2.3)
De esta manera podemos representar a cualquier funcion, que tenga definida susderivadas, en un polinomio del orden que nosotros creamos que es conveniente.
Ejercicio 3Encuentre la serie de Taylor, alrededor de x
0
= 0, de la funcion sen(x)
Solucion del ejercicio 3Definimos a la funcionf[x ] = Sin[x];y a su derivada de orden i, evaluada en x = x
0
, comoderf[x0 , i ] = D[f[x], {x, i}] /. x ->x0;Podemos obtener la tercer derivada y evaluarla en x
0
= 0
derf[0, 3]Out[3]=�1
Para la sexta derivada evaluada en x = ⇡/4 se tiene que ejecutarderf[Pi/4, 6]Out[4]=� 1p
2
La expresion general para la expansion hasta el orden n alrededor de x = x0
1 seobtiene detaylor[x , x0 , n ] := Sum[derf[x0, i]*(x - x0)ˆi/Factorial[i],{i, 0, n}];Ası, si deseamos la expansionn hasta el orden 0, 1, 2 y 7, se obtendran a partir detaylor[x, 0, 0]Out[6]=0taylor[x, 0, 1]Out[7]=xtaylor[x, 0, 2]Out[8]=xtaylor[x, 0, 7]Out[9]=x� x3
6
+
x5
120
� x7
5040
1Mathematica permite obtener un expansion en series de Taylor con el comando Series[].Aquı lo hacemos paso a paso como un recurso pedagogico.
Jorge Garza. Curso practico de .. 11
A continuacion asignaremos la expansion en series de Taylor que hemos obtenidohasta el orden 11 a una funcion con nombre mia[x]mia[x ] = taylor[x, 0, 11]Es claro que para esta funcion solamente contribuyen las potencias impares de x.Obtengamos la diferencia de nuestra funcion mia[x] con la verdadera funcionsen(x) en el intervalo de 0 y ⇡Plot[Abs[Sin[x] - mia[x]], {x, 0, Pi}, PlotRange ->{0, .01}]
Evidentemente la expansion en series de orden 11 es muy buena aproximacion enel intervalo 0 y ⇡ ya que en nuestra grafica el valor maximo en el eje y es de 0.01.Veamos si esto se cumple para un intervalo de 0 a 2⇡Plot[Abs[Sin[x] - mia[x]], {x, 0, 2 Pi}, PlotRange ->{0,1}]
Es claro que la representacion de la funcion seno en un polinomio de grado 11ya no es buena para valores de x mayores a ⇡.
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Ejercicio 4Busque el comportamiento alrededor de x
0
= 0, usando series de Taylor, dela funciones
sen(x)x
tan(x)�xcos(x)�1
1.3. Derivadas implıcitasEn muchas ocasiones es conveniente encontrar la derivada de una funcion,
que depende en x, sin tener una expresion explıcita de esa funcion en terminosde x. En estos casos hay que recurrir a la derivacion implıcita. Supongamos quetenemos la ecuacion
x2y + y4 � 6x = 8y2 + 6, (1.3.1)
y nos piden obtener a dydx
. Es claro que no podemos despejar a la variable y paratenerla en terminos de x exclusivamente. Por lo tanto, vamos a derivar amboslados de la ecuacion para tener
2xy + x2
dy
dx+ 4y3
dy
dx� 6 = 16y
dy
dx, (1.3.2)
como nos piden a dydx
, agrupamos a los terminos que contienen esta cantidad yfactorizamos
dy
dx(x2
+ 4y3 � 16y) = �2xy + 6. (1.3.3)
Finalmente despejamos a dydx
dy
dx=
(�2xy + 6)
(x2
+ 4y3 � 16y). (1.3.4)
Ejercicio 5Encontrar dy/dx de x2y + y4 � 6x = 8y2 + 6
Jorge Garza. Curso practico de .. 13
Solucion del ejercicio 5Lo que debemos de hacer es derivar ambos lados de la ecuacion y luego resolverpara la y0(x). En Mathematica se hace de la siguiente manera
Solve[D[xˆ2 y[x]+y[x]ˆ4-6x,x]==D[8y[x]ˆ2+6,x],y’[x]]
Out[12]=nn
y0(x) ! � 2(xy(x)�3)
x2+4y(x)3�16y(x)
oo
En este caso hemos usado el comando Solve estando y’ como la variable aencontrar.
Ejercicio 6
Obtener dydx
, y evaluarla en el punto P indicado, para cada uno de los si-guientes incisos:
•2xy
⇡+ sen(y) = 2, P (1, ⇡/2).
•2y3 + 4xy + x2
= 7, P (1, 1).
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Capıtulo 2
Mecanica clasica aplicada aloscilador armonico
Antes de la llegada de la mecanica cuantica era claro que para describir ladinamica de cualquier sistema era necesario resolver las ecuaciones de Newton
~F = m~a = md2~r
dt2. (2.0.1)
Recordemos que resolver una ecuacion de este tipo significa que dada una fuer-za (~F ) se debe de encontrar la ~r (posicion) que satisfaga la ecuacion 2.0.1. Acontinuacion trataremos un sistema utilizado en muchas aplicaciones y que en-contraremos tambien en la mecanica cuantica.
2.1. Ecuaciones de movimiento del oscilador armoni-co
El oscilador armonico es un sistema muy util en la mecanica cuantica y con-sidero que es pertinente hacer una revision de este tema desde el punto de vistade la mecanica clasica.[4] Para este fin tomemos una partıcula, de masa m, quese encuentra sujeta a la fuerza de un resorte. A partir de su estado de equilibriodesplacemos a la partıcula en una cantidad x y supongamos que el desplazamientoes lo suficientemente pequeno para que la fuerza que impone el resorte pueda serescrita como
Fresorte = �kx, (2.1.1)
15
16
en donde k depende de la naturaleza del resorte. Por supuesto que a mayor k,mayor sera la fuerza a la que este sometida la partıcula.
La ecuacion de Newton que debemos resolver es
�kx(t) = md2x(t)
dt2, (2.1.2)
o tambien
md2x(t)
dt2+ kx(t) = 0, (2.1.3)
d2x(t)
dt2+
k
mx(t) = 0. (2.1.4)
Otra forma de escribir esta ecuacion es
d2x(t)
dt2+ !2
0
x(t) = 0, (2.1.5)
con !2
0
=
km
.
Ejercicio 7Resuelva las ecuaciones de movimiento del oscilador armonico, dentro del
contexto de la mecanica clasica.
Solucion del ejercicio 7En Mathematica podemos resolver una ecuacion diferencial con el comando
DSolve. Al usar las condiciones iniciales x(t) = x0
, v(0) = v0
, con Mathemati-ca la solucion de la ecuacion 2.1.5 se obtiene a partir de
solucion = DSolve[x’’[t]+w0ˆ2*x[t] == 0,x[0] == x0,x’[0] == v0, x[t], t]
y a partir de aquı simplifiquemos el resultado
Simplify[solucion]
Out[2]=nn
x(t) ! v0 sin(tw0)w0 + x0 cos(tw0)
oo
A partir de este resultado definamos la funcion x[t]
Jorge Garza. Curso practico de .. 17
x[t , w0 , x0 , v0 ] = x0 Cos[t w0] + (v0 Sin[t w0])/w0
La velocidad que experimenta la partıcula se puede encontrar a partir de estaecuacion ya que v(t) = dx(t)
dty por lo tanto se tendra
D[x[t, w0, x0, v0], t]Out[4]=v0 cos(tw0)� w0x0 sin(tw0)
De este resultado definamos a la funcion velocidad como
v[t , w0 , x0 , v0 ] = v0 Cos[t w0] - w0 x0 Sin[t w0]
En este momento estamos en posicion de hacer un analisis del comportamientode la posicion y la velocidad con respecto al tiempo haciendo las graficas de x(t)vs. t y v(t) vs. t. Para esto debemos de asignar valores a x
0
, v0
, m y k. Vamos asuponer que x
0
= 0,1 m, v0
= 0 m/s y k/m = 1 s�2. Con estos datos se puedengenerar las graficas de x vs t y v vs t a partir dek = 1.;m = 1.;Plot[x[t, Sqrt[k/m],0.1,0], {t, 0, 3 Pi}, AxesLabel ->{"t","x"}]
Plot[v[t, Sqrt[k/m], 0.1, 0], t, 0, 3 Pi, AxesLabel ->"t","v"]
18
Es importante resaltar algunos puntos importantes de estas graficas, por ejemplocuando x = 0 es precisamente cuando el valor absoluto de la velocidad es maxi-mo. Evidentemente el comportamiento de estas funciones dependera de los dife-rentes valores que tenga !
0
. A continuacion se usara la instruccion Manipulatepara poder obtener el comportamiento de la posicion y la velocidad para diferentesvaores de !
0
Manipulate[Plot[x[t, w0, x0, v0], {t, 0, 6 Pi},AxesLabel->"t", "x",PlotRange->{-1, 1}], {w0, 0.1, 2}, {x0, 0, 1}, {v0, 0, 1}]
Manipulate[Plot[v[t, w0, x0, v0], {t, 0, 6 Pi},AxesLabel->{"t", "v"},PlotRange->{-1, 1}], {w0, 0.1, 2}, {x0, 0, 1}, {v0, 0, 1}]
Para el oscilador armonico es importante hacer una grafica de v vs x. Unagrafica de este tipo describe lo que se conoce como el espacio fase. Para realizarun analisis de este tipo es necesario trabajar con graficas parametricas.
ParametricPlot[{x[t, Sqrt[k/m], 0.1, 0.],v[t, Sqrt[k/m],0.1, 0.]}, {t, 0, 2 Pi},AspectRatio ->1, AxesLabel ->{"x", "v"}]
Jorge Garza. Curso practico de .. 19
En esta grafica del espacio fase permite observar claramente lo comentado con lasgraficas anteriores, donde los valores x = 0 el valor absoluto de la velocidad esmaxima. O los valores donde la velocidad es cero, el valor absoluto de la posiciones maximo.
2.2. Analisis de la energıa en el oscilador armonicoPartiendo de la ecuacion 2.1.2, multipliquemosla por x0
(t) e integremos sobreel tiempo
m
Z
dtdx
dt
d2x
dt2+ k
Z
dtdx
dtx = 0. (2.2.1)
Estas integrales se pueden evaluar usando la tecnica de integracion por par-tes. La manera en que usaremos esta tecnica sera ligeramente diferente a comose usa comunmente. Trabajemos con el segundo termino de la ecuacion 2.2.1, yreconozcamos la siguiente igualdad
1
2
d
dt(x2
) = xdx
dt, (2.2.2)
1
2
dtd
dt(x2
) = dtxdx
dt, (2.2.3)
o tambiendtx
dx
dt=
1
2
d(x2
). (2.2.4)
20
Al multiplicar esta ecuacion por k e integrando sobre el tiempo obtenemos que
k
Z
dtxdx
dt=
1
2
k
Z
d(x2
) =
1
2
kx2, (2.2.5)
a este resultado hay que sumarle una constante de integracion.Vamos a proceder de la misma manera con el primer termino de la ecuacion
2.2.1d
dt(
dx
dt
dx
dt) =
d2x
dt2dx
dt+
dx
dt
d2x
dt2= 2
dx
dt
d2x
dt2, (2.2.6)
con esto se obtiene quedx
dt
d2x
dt2=
1
2
d
dt(
dx
dt
dx
dt), (2.2.7)
multiplicando por dt e integrando se tieneZ
dtdx
dt
d2x
dt2=
1
2
Z
dtd
dt(
dx
dt
dx
dt) =
1
2
dx
dt
dx
dt. (2.2.8)
Con este resultado obtenemos que
m
Z
dtdx
dt
d2x
dt2=
m
2
(
dx
dt)
2. (2.2.9)
Entonces, nuestro resultado final queda como
m
2
(
dx
dt)
2
+
1
2
kx2
= E, (2.2.10)
donde la constante E nos representa las dos constantes de integracion. Uno de losdos terminos lo podemos reconocer rapidamente con la energıa cinetica
Ecin =
m
2
(
dx
dt)
2, (2.2.11)
y el segundo termino nos representara a la energıa potencial
Epot =1
2
kx2. (2.2.12)
Este es un resultado muy importante que usaremos en al analisis del osciladorarmonico desde el punto de vista de la mecanica cuantica.
Por supuesto que con esta informacion podemos obtener las graficas pertinen-tes para hacer un analisis de las componentes de la energıa como funciones deltiempo.
Jorge Garza. Curso practico de .. 21
Ejercicio 8Haga un analisis grafico de las componentes de energıa del oscilador armoni-
co, dentro del contexto de la mecanica clasica.
Solucion del ejercicio 8Todo el procedimiento de integracion que acabamos de hacer puede ser reali-
zado con Mathematica en una sola instruccionClear[k, m];energia = Integrate[x’[t]*(m*x’’[t] + k*x[t]), t]Out[17]=1
2
kx(t)2 + 1
2
mx0(t)2
de este resultado definimos
cinetica[t ,w0 ,x0 ,v0 ] = (1/2)* m*v[t, w0, x0, v0]ˆ2potencial[t ,w0 ,x0 ,v0 ] = (1/2)*k*x[t, w0, x0, v0]ˆ2
A partir de estas definiciones se pueden hacer las graficas de Ecin vs t y Epot
vs t.m = 1.; k = 1.;Plot[cinetica[t, Sqrt[k/m], 0.1, 0], {t, 0, 2*Pi}]
Plot[potencial[t, Sqrt[k/m], 0.1, 0], {t, 0, 2*Pi}]
22
Es evidente de estas graficas, que en este caso la energıa cinetica es maxima omınima en los puntos donde la energıa potencial es mınima o es maxima. Esteanalisis se puede simplificar si se hace un grafico de Ecin vs v
ParametricPlot[cinetica[t, Sqrt[k/m], 0.1, 0], potencial[t,Sqrt[k/m], 0.1, 0], t, 0, 2*Pi, AxesLabel ->{E Cinetica,E Potencial}]
Ejercicio 9Haga una grafica de la fuerza que actua sobre la partıcula oscilante con res-
pecto al tiempo y otra de la fuerza con respecto a la posicion.
Ejercicio 10Haciendo uso de Mathematica, resuelva las ecuaciones de Newton para una
partıcula que se mueve en una dimension y esta sometida a una fuerza contante.
Capıtulo 3
Antecedentes de la mecanicacuantica
Existen varios esperimentos donde es evidente que la mecanica clasica no pue-de dar una explicacion satisfactoria. En este libro abordaremos dos de estos expe-rimentos y los analizaremos haciendo uso de Mathematica.
3.1. Radiacion del cuerpo negroSe sabe que un cuerpo caliente emite radiacion electromagnetica. Esto es evi-
dente cuando ponemos al fuego un pedazo de metal, como una cuchara o un cu-chillo sobre una parrila prendida de la estufa en nuestra casa. Es claro que partede la radiacion se genera en el visible, dentro del espectro electromagnentico,por que nuestro ojo lo puede percibir. En la figura 3.1 se muestra la densidad deenergıa radiada, ⇢(�, T ), como funcion de la longitud de onda para un cuerpo ne-gro sometido a dos temperaturas. De esta figura, es evidente que la cantidad deenergıa radiada (el area bajo la curva) es mayor en la medida de que la tempera-tura es incrementada. Ademas, el maximo de la densidad de energıa se desplaza alongitudes de onda menores cuando se incrementa la temperatura.
En 1901,[5, 6] Max Planck encontro que la densidad de energıa disipada porun cuerpo caliente tiene la expresion
⇢(�, T ) =8⇡hc
�5 (ehc/�kT � 1)
, (3.1.1)
donde c, k son la velocidad de la luz en el vacıo y la constante de Boltzman,respectivamente. La constante h = 6,6261⇥10
�34 J⇥s, conocida como constante
23
24
Figura 3.1: Densidad de energıa radiada como funcion de la longitud de onda paraun cuerpo negro.
de Planck, surge cuando Planck propone que los osciladores electromagneticosdisipan la energıa en multiplos de h⌫, en terminos matematicos
E = nh⌫, (3.1.2)
donde n es un entero.
Ejercicio 11Haga una analisis de la formula de Plack (ecuacion 3.1.1):
1. Grafique la ecuacion 3.1.1 para diferentes temperaturas.
2. Encuentre el lımite de ⇢(�, T ) cuando �! 0.
3. Encuentre el lımite de ⇢(�, T ) cuando �! 1.
Solucion del ejercicio 11Analicemos la expresion propuesta por Planck para la radiacion del cuerpo
negro definiendo primero la funcion correspondiente
Jorge Garza. Curso practico de .. 25
⇢[� , T ]:=8*Pi*h*c/(�ˆ5 (Exp[h*c/(�*k*T)] - 1))Para generar las graficas a diferentes temperaturas, definamos las constantes
en sistema internacional
c=2.99792458*10ˆ8;h=6.6261*10ˆ(-34);k=1.3807*10ˆ(-23);R=8.3144622;y hagamos dos graficas, para T = 1000 K
Plot[⇢[�, 1000], {�, 0, 10ˆ(-5)}]
y T = 2500 K.
Plot[⇢[�, 2500], {�, 0, 10ˆ(-5)}]
Es evidente de estas dos graficas que el maximo de la curva depende de la tempe-ratura. Sin embargo, si deseamos obtener varias graficas para varias temperaturases mejor ejecutar
26
Manipulate[Plot[⇢[�, T], {�, 0, 10ˆ(-5)}],{T,100,1000}]
Ahora hagamos el analisis de ⇢ para dos casos lımites.
1. � ! 0 (⌫ ! 1). Este caso es muy sencillo de analizar ya que ehc/�kT > 1
y por lo tanto ⇢ ⇡ 8⇡hc�5 e�hc/�kT y consecuentemente en este lımite ⇢ ! 0.
Lo cual puede ser verificado con Mathematica.
Clear[c, h, k, R];Limit[⇢[�, T],� ->0,Assumptions->T>0&&c>0&&h>0&&k>0]Out[]=0
2. �! 1 (⌫ ! 0). Para este caso es mas conveniente expresar a ⇢ en terminosde ⌫ y hacer un desarrollo en series de potencias.
Clear[c, h, k, R];rhoennu = ⇢[�, T] /. � ->c/⌫Out[]= 8⇡h⌫5
c4✓eh⌫
kT �1
◆
Con la expresion resultante se hace el desarrollo en series de potencias deorden 4
Series[rhoennu, {⌫, 0, 4}]Out[]=8⇡k⌫4T
c4+O (⌫5)
La expresion resultante coincide con la expresion que publicaron Rayleigh[7] y Jeans [8], y que provoco entre ellos una gran controversia. Es evidentede esta expresion que en el caso lımite en que ⌫ ! 0 (�! 1) ⇢! 0.
De estos dos casos lımites es claro que la propuesta de Planck describe correcta-mente los dos casos lımites y concuerda con las graficas obtenidas.
Ejercicio 12Encuentre la longitud de onda para la cual ⇢(�, T ) adquiere su valor maximo.
Solucion del ejercicio 12
Jorge Garza. Curso practico de .. 27
La energıa total radiada por un cuerpo negro puede ser obtenida al integrar a⇢ sobre todos los valores de la longitud de onda
c = 2.99792458*10ˆ(8);h = 6.6261*10ˆ(-34);k = 1.3807*10ˆ(-23);energia[T ]:=NIntegrate[⇢[�, T], {�, 0, 10ˆ(-2)}]
Con esta definicion se puede observar la dependencia de la energıa con la tem-peratura
Plot[energia[T], {T, 0.1, 1000}]
De aquı es evidente que a mayor temperatura mayor energıa irradiada. Unabuena pregunta que surge de observar la expresion de Planck (ecuacion 3.1.1) esel de saber donde se encuentra el maximo de la curva. Naturalmente, podemosencontrar la longitud de onda donde la densidad de energıa es maxima al recurrira un procedimiento de maximos y mınimos. Primero obtengamos la derivada de ⇢con respecto a �
uno = D[⇢[�, T], �]
Out[]= 8⇡c2h2ech
k�T
k�7T
✓e
ch
k�T �1
◆2 � 40⇡ch
�6
✓e
ch
k�T �1
◆
Esta derivada la vamos a igualar a cero por que estamos interesados en elmaximo, ası que tengamos en cuenta a lo largo de todo el procedimiento que esteresultado es igual a cero. Para simplificar esta expresion sigamos el siguiente pro-cedimiento
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dos = Expand[�ˆ6*uno]
Out[]= 8⇡c2h2ech
k�T
k�T
✓e
ch
k�T �1
◆2 � 40⇡ch
ech
k�T �1
con este paso hemos cancelado �6. Ahora, usemos la variable x = hc/(�kT ) alhacer la sustitucion en la anterior expresion
tres = dos /. � ->h*c/(x*k*T)Out[]=8⇡chexx
(ex�1)
2 � 40⇡chex�1
y cancelemos a 8⇡ch
cuatro = Simplify[tres/(8*Pi*c*h)]Out[]= ex(x�5)+5
(ex�1)
2
Finalmente, cancelemos (�1 + ex)2
cinco = (-1 + ex)2*cuatroOut[]=ex(x� 5) + 5
Por lo tanto, el resultado final es
5 + ex(�5 + x) = 0 (3.1.3)
la cual es una ecuacion trascendental y que no puede ser resuelta por metodosanalıticos, por lo tanto lo resolveremos de manera numerica
resultado=NSolve[cinco==0,x]Out[]={{x ! 0.}, {x ! 4,96511}}
xmax=x/.resultado[[2]]Out[]=4,96511
El resultado es igual a xmax = 4,96511 y a partir de la definicion de x =
hc/(�kT ) obtenemos que
�max =
hc
xmaxkT(3.1.4)
Esta es precisamente la ley de desplazamiento de Wien.[6] Donde se muestraque a mayor temperatura menor longitud de onda, como lo podemos verificar con
Jorge Garza. Curso practico de .. 29
las graficas al inicio de este capıtulo. La grafica de esta funcion se obtiene a partirdec = 2.99792458*10ˆ(8);h = 6.6261*10ˆ(-34);k = 1.3807*10ˆ(-23);Plot[h*c/(xmax*k*T), {T, 0.1, 1000}]
3.2. Capacidad calorıfica de solidosLa capacidad calorıfica molar,Cv,m, se define en terminos de la energıa interna
de un cuerpo, Um, ası
Cv,m =
✓
@Um
@T
◆
v
. (3.2.1)
Einstein, encontro una expresion para Um de un solido monoatomico supo-niendo que todos los atomos vibran con una misma frecuencia y que la energıa decada oscilador es igual a un multiplo de h⌫, de acuerdo a la propuesta de Planck.Haciendo esa suposicion encontro que [9]
Um =
3NAh⌫
eh⌫/kT � 1
. (3.2.2)
Ejercicio 13A partir de la expresion 3.2.2 encuentre una expresion para la capacidad ca-
lorıfica y a partir de esta encuentre su valor cuando T ! 1.
30
Solucion del ejercicio 13
Clear[c, h, k, R];energiainterna[⌫ ,T ]:=3*R*h*⌫/(k*(Exp[h*⌫/(k*T)] - 1))
La capacidad calorıfica se obtiene de
capacidad = D[energiainterna[⌫, T], T]
Out[]= 3h2⌫2Reh⌫
kT
k2T 2
✓eh⌫
kT �1
◆2
Sobre esta expresion usemos la variable x = h⌫/kT
nuevacapacidad = capacidad /. ⌫->x*k*T/hOut[]= 3Rexx2
(ex�1)
2
Esta nueva variable es inversa a la temperatura, ası si T ! 1 entonces ⌫ ! 0.De esta nueva forma de la capacidad calorıfica hagamos un desarrollo en serieshasta el tercer orden
Normal[Series[nuevacapacidad, x, 0, 3]]Out[]=3R� Rx2
4
Y tomando el lımte
Limit[%, x ->0]Out[]=0
Este resultado es el que ya habıan reportado Dulong y Petit,[10] el cual mos-traba que la capacidad calorıfica para cualquier solido monoatomico es igual a3R. Evidentemente, este resultado es un caso lımite de una situacion mas general.Un grafico de Cv,m se obtiene de
Plot[nuevacapacidad/R,{x, 0, 15},PlotRange->{0, 3}]
Jorge Garza. Curso practico de .. 31
Esta grafica indica que cuando x ! 1 entonces la capacidad calorıfica de uncuerpo disminuye e incluso llega a ser cero.
32
Capıtulo 4
Postulados de la mecanica cuantica
La mecanica cuantica esta basada sobre una serie de observaciones que se hanobtenido en sistemas microscopicos. Su validez y utilidad se sustenta en todoslos problemas a los que ha dado respuesta satisfactoria y a las propuestas quehan servido para generar nuevo conocimiento. A continuacion se enlista una seriede observaciones que debe de satisfacer cualquier teorıa que se proponga paradescribir el mundo microscopico.
1. La energıa esta cuantizada.
2. La luz exhibe un comportamiento corpuscular.
3. Las partıculas exhiben un comportamiento ondulatorio.
Basado en le comportamiento ondulatorio de las partıculas Erwin Schroedin-ger fomulo lo que se conoce ahora como la mecanica ondulatoria. Naturalmente,para llegar a la formulacion de esta teorıa existieron muchos esfuerzos para teneruna teorıa sustentada en las matematicas y que ofreciera una interpretacion fısi-ca de esta. Es importante mencionar que la formulacion de Schroedinger es NORELATIVISTA, ası que existen varios fenomenos que no pueden ser descritoscorrectamente por esta formulacion.
Schroedinger propone que toda la dinamica de las partculas se encuentra en lafuncion de onda que satisface la ecuacion
ˆH = i~d dt
(4.0.1)
donde~ =
h
4⇡, (4.0.2)
33
34
siendo h la misma constante del capıtulo anterior (constante de Planck).El operador de Hamilton esta basado en la mecanica clasica de Hamilton,
donde las ecuaciones de movimiento se escriben en terminos de coordenadas ymomentos generalizados. Dentro de la formulacion de Hamilton
H = T + V, (4.0.3)
donde T representa la energıa cinentica y V la energıa potencial. Por ejemplo,una partıcula, en una dimension, sujeta a un resorte que obedece la ley de Hooke(oscilador armonico) tiene asociado el hamiltoniano
H =
1
2
mv2x +1
2
kx2
=
1
2mp2x +
1
2
kx2, (4.0.4)
donde se ha usado la relacion px = mvx.Schroedinger propone las siguientes reglas para usar la ecuacion 4.0.1
1. Cada observable tiene asociado un operador.
2. Para la posicion el operador es identico a la variable fısica, ası
x ! x.
3. El momento lineal esta relacionado con la derivada de la posicion,
px = �i~ @@x
.
Con estas reglas escribamos el operador de Hamilton para el oscilador armoni-co. Usando la ecuacion 4.0.4 se tiene
ˆH =
1
2mp2x +
1
2
kx2, (4.0.5)
usando la regla para escribir a px se tiene
p2x = pxpx =
✓
�i~ @@x
◆✓
�i~ @@x
◆
= �~2 @2
@x2
. (4.0.6)
Ademas usando la regla para escribir las coordendas espaciales se tiene que
ˆH = � ~22m
@2
@x2
+
1
2
kx2. (4.0.7)
Este serıa precisamente el operador de Hamilton, o hamiltoniano, asociado al os-cilador armonico.
Jorge Garza. Curso practico de .. 35
4.1. Ecuacion de Schroedinger independiente del tiem-po
El hamiltoniano que hemos encotrado para el oscilador armonico, y muchosmas, tienen la caracterıstica de que no dependen explıcitamente en el tiempo. Paraeste tipo de hamiltonianos la ecuacion de Schroedinger dependiente del tiempo(ecuacion 4.0.1) se puede separar en dos contribuciones. Escribamos a la funcionde onda como el producto de dos funciones, una que dependa solamente en eltiempo (T (t)) y otra que dependa de la posicion ( (~r)), ası
(~r, t) = (~r)T (t). (4.1.1)
Sustiuyendo esta ecuacion en la ecuacion 4.0.1
ˆH [ (~r)T (t)] = i~@ [ (~r)T (t)]@t
. (4.1.2)
En el caso de que ˆH no tenga dependencia temporal se tiene
T (t) ˆH (~r) = i~ (~r)@T (t)@t
. (4.1.3)
Dvidiendo esta ecuacion entre (~r)T (t) se tiene
1
(~r)ˆH (~r) = i~ 1
T (t)
@T (t)
@t. (4.1.4)
La ecuacion resultante es peculiar por que si se deriva, toda la ecuacion, conrespecto a la posicion o con respecto al tiempo se obtendra como resultado el cero.Significa que esta ecuacion es una constante, designemos a esta constante comouna E. Por lo tanto, tendremos ahora dos ecuaciones
i~ 1
T (t)
@T (t)
@t= E, (4.1.5)
1
(~r)ˆH (~r) = E. (4.1.6)
La primer ecuacion depende exclusivamente en t y puede ser escrita como
dT (t)
T (t)= �i
E
~ dt, (4.1.7)
36
integrando se obtiene
lnT (t) = �iE
~ t+ c, (4.1.8)
o aplicando la exponencial
T (t) = e�iE~ t+c= Ae�
iEt
~ . (4.1.9)
La parte espacial de la funcion de onda estara descrita por la ecuacion 4.1.6,que puede ser escrita como
ˆH (~r) = E (~r). (4.1.10)
A esta ecuacion se le conoce como ecuacion de Schroedinger independiente deltiempo y es la que aplicaremos a lo largo del libro. Esta ecuacion representa unaecuacion de valores propios donde las incognitas son y E. Por lo tanto, resolveruna ecuacion de este tipo significa que se debe de encontrar a las funciones propias y los valores propios E.
Naturalmente, la mecanica cuantica no se limita a lo hecho por Schroedinger,tambien debemos mencionar los esfuerzos de Max Born y Werner Heisenberg.Entre las muchas aportaciones que generaron podemos mencionar lo siguiente:
1. Principio de complementariedad: Las partıculas exhiben tanto comporta-miento corpuscular como ondulatorio.
2. El cuadrado de la funcion de onda representa la densidad de probabilidadde encontrar a una partıcula en un punto del espacio.
3. Principio de incertidumbre. Existen variables conjugadas que no pueden sermedidas de manera simultanea con una precision arbitraria. Por ejemplo, laposicion y el momento son variables conjugadas y por lo tanto �x�px �~/2. Donde � representa la precision con que se mide cada propiedad.
4. Toda la mecanica cuantica puede ser escrita a traves de un lenguaje matri-cial.
4.2. Valores esperadosDebido a la naturaleza estadıstica de la mecanica cuantica la manera que se
propone para medir una propiedad es a traves de valores esperados de operadores.
Jorge Garza. Curso practico de .. 37
Si se tiene la propiedad O entonces su operador asociado es ˆO y el valor esperadode esta propiedad se obtiene de
< ˆO >=
Z
d⌧ ⇤(⌧) ˆO (⌧). (4.2.1)
En esta integral, ⌧ representa las coordenadas espaciales de las que depende lafuncion de onda.
Pensemos que estamos tratando el problema de una partıcula que se mueve enuna dimension y estamos interesados en obtener el valor esperado de su posicion.De acuerdo con la definicion anterior
< x >=
Z
dx ⇤(x)x (x) =
Z
dxx ⇤(x) (x) =
Z
dx ⇤(x) (x)x. (4.2.2)
En este resultado se enfatiza el hecho de que la posicion, como operador, es mul-tiplicativa. En los casos de que no se tenga un opedor multiplicativo entoncesprimero se debe de realizar la operacion ˆO y al resultado multiplicarlo por ⇤.Siguiendo con nuestro ejemplo, recordemos que ⇤ representa la densidad deprobabilidad de encontrar a la partıcula en el punto del espacio x. A esta densidadde probabilidad la denotaremos por ⇢. Ası, la ecuacion 4.2.1 queda de la forma
< x >=
Z
dx⇢(x)x. (4.2.3)
Esta ultima expresion tiene una coneccion directa con la mecanica estadıstica (esimportante mencionar que Schroedinger era un experto en los temas de la mecani-ca estadıstica), ya que ⇢ estarıa en un papel de funcion de distribucion y x comola propiedad a medir. Por lo tanto, la definicion de valor esperado concuerda conlo que se sabe sobre las funciones de distribucion en mecanica estadıstica.
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