capítol 4 propietats electrostàtiques de conductors i...
TRANSCRIPT
4-1
Capítol 4
Propietats electrostàtiques de conductors i dielèctrics
4.1 Introducció
4.2 Conductor en equilibri electrostàtic
4.3 Fenòmens d’influència electrostàtica.
Pantalles electrostàtiques
4.4 El condensador. Capacitat
4.5 Energia emmagatzemada per un
condensador. Densitat d’energia del
camp elèctric
4.6 Associació de condensadors
4.7 Dielèctrics. Polarització
4.8 Capacitat d’un condensador pla amb diverses capes de dielèctric
4.9 Qüestions i problemes
Objectius• Conéixer les característiques dels conductors carregats en
equilibri: camp elèctric en l’interior i en la superfície, potenciali distribució de càrregues.
• Conéixer les característiques dels fenòmens d’influència totalentre conductors.
• Definir la capacitat d’un condensador i saber calcular lacapacitat equivalent d’associacions de condensadors en sèriei en paral·lel.
• Entendre els fenòmens de càrrega d’un condensador i sabercalcular l’energia emmagatzemada en un condensador.
• Saber discutir els efectes d’un dielèctric sobre la capacitat, lacàrrega, l’energia, la diferència de potencial i el camp elèctricd’un condensador.
El tema anterior s’ha dedicat a l’estudi del camp elèctric en el buit.Aquest tema, pertanyent també a l’electrostàtica, es dedica a l’estudi del campelèctric en presència de materials conductors i aïllants, als quals a partir d’aradenominarem dielèctrics (del prefix grec “diá-”, que significa ‘a través’, ‘entre’, i“electricitat”). S’hi descriuen els fenòmens d’influència electrostàtica en elsmaterials conductors i els de polarització en els dielèctrics, ambdós
4-2
conseqüència dels camps elèctrics. Com a aplicacions d’aquests fenòmenss’estudien les pantalles electrostàtiques i els condensadors. Les pantalless’utilitzen per aïllar el camp elèctric en una regió de l’espai, com per exemple,per evitar sorolls paràsits en un laboratori de mesurament de precisió, perprotegir el senyal que es transmet pels cables d’oscil·loscopis o els d’untelevisor, etc. Els condensadors es poden trobar com a components en lamajoria de les plaques de circuits dels ordinadors i la resta d’instrumentselectrònics i actuen emmagatzemant energia electrostàtica, com a filtres desenyals elèctrics, etc.
4.1 IntroduccióSegons la capacitat que presenten per a conduir l’electricitat, permetent
el desplaçament de les càrregues elèctriques, els materials es classifiquen en:◊ Dielèctrics (cautxú, vidre...)◊ Conductors (metalls, solucions aquoses d’àcids i bases...)◊ Semiconductors (Ge, Si...)
El diferent comportament elèctric es deu principalment a l’estructuraatòmica i molecular de la matèria. Plantegem-ne dos exemples: el coure (Cu)com a conductor típic, i el germani (Ge) com a mal conductor.La configuració electrònica del coure (conductor) és:
29Cu: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d104s1
Pel fet que cada àtom de coure té completament ocupades les tresprimeres capes electròniques, i un únic electró en l’última, quan els àtomsestan units per formar el cristall, aquest adquireix major estabilitat electrònica siels àtoms es queden amb l’última capa completa (la tercera en aquest cas) ideixen lliure l’electró de la capa següent. Aquests electrons lliures es podenmoure fàcilment a través del cristall de coure quan sobre aquests actua la forçad’un camp elèctric, d’ací que el coure siga un bon conductor de l’electricitat.La configuració electrònica del germani (semiconductor) és:
32Ge: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d104s2 4p2
Té les tres primeres capes ocupades com el coure, i en la quarta, quatreelectrons. En aquest cas, en formar el cristall, aquest adquireix major estabilitatelectrònica si té vuit electrons en l’última capa, per la qual cosa cada àtomcomparteix els quatre electrons de l’última capa amb els quatre veïns, i formaenllaços covalents. Aquests electrons estan més lligats als seus nuclis inecessiten una aportació d’energia per a alliberar-se i conduir el correntelèctric.
4.2 Conductor en equilibri electrostàticA partir d’ara, en aquest tema, en parlar de conductors ens referirem
únicament a conductors metàl·lics sòlids.
4-3
Model de metall: Els ions positius(nuclis + electrons lligats) estandistribuïts periòdicament i formen laxarxa cristal·lina, i els electrons del’última capa dels àtoms (el 4s1 del’exemple del Cu) es mouen lliurementrespecte dels ions, però sense eixir delmetall i formen un núvol o gaselectrònic, per la qual cosa esdenominen electrons lliures. Aquestamobilitat dels electrons lliures és el quecaracteritza els metalls com a bonsconductors.
Conductor en equilibri electrostàtic:Quan en un conductor, ja siga neutre ocarregat, no hi ha moviment net decàrregues elèctriques es diu que està en equilibri electrostàtic. En aquest cas,es compleix:
a) Camp elèctric: Si no hi ha moviment d’electrons lliures la suma de forcessobre aquests ha de ser nul·la. Com les forces electrostàtiques sobre elselectrons són molt més intenses que lesgravitatòries, l’equilibri en un conductor implicaque el camp elèctric en qualsevol punt delconductor ha de ser nul 0=E
r.
b) Localització de la càrrega: Si el campelèctric és nul en l’interior, aplicant el teoremade Gauss a qualsevol superfície tancada dinsdel conductor el flux serà nul, i per tant lacàrrega tancada també serà nul·la, amb laqual cosa la densitat volumètrica de càrregaen l’interior del conductor serà zero (ρ = 0). Siel conductor està carregat, la càrreganecessàriament ha de distribuir-se sobre lasuperfície exterior.
En el cas d’un conductor carregat i buitcom el de la Figura 4.3, la càrrega resideixtota ella en la superfície exterior, i és nul·la lacàrrega en la superfície interna del buit.Aquest fet es pot demostrar fàcilment ambajuda del teorema de Gauss: si hi hagueracàrrega en la superfície interna, la superfíciegaussiana Sg, es veuria travessada per unflux, la qual cosa portaria a admetre que elcamp elèctric no és nul en l’interior delconductor. Així, un conductor massís o buitamb la mateixa superfície exterior es comportade la mateixa manera des d’un punt de vistaelectrostàtic.
++ + +
+ + + ++ + + +
+ + + +
+
++
+ ++
+ ++
+
- - - -
- - - -
- - - -
- - - -- - - -
- - - -
-
--
-
--
-
-+ + + + +
+ + + +
+ + + + +
++
+-
-
Electrons lliuresIons +
+
Figura 4.1. Model de metall.
V = cte
ρ = 0
Eint = 0r
σ
Figura 4.2. Distribució de càrrega en unconductor en equilibri electrostàtic. El flux a
través de qualsevol superfície de Gauss(traç puntejat) interior és nul.
rE = 0
Sg
Figura 4.3. Conductor carregat amb unbuit.
4-4
c) Potencial electrostàtic: Com el camp electrostàtic és conservatiu, si és nul(E = 0) en el conductor, el potencial serà constant en tot el volum del conductor.D’aquesta manera el volum i la superfície del conductor són equipotencials.Com a conseqüència, en punts exteriors i pròxims al conductor, el campelèctric, la direcció del qual és la del gradient del potencial, serà normal a lasuperfície.d) Camp elèctric en un punt exterior moltpròxim al conductor. Teorema de Coulomb:Per a calcular el camp elèctric en qualsevol puntexterior de la superfície d’un conductor carregaten equilibri electrostàtic i molt pròxim a aquestaes pot aplicar el teorema de Gauss. Amb aquest fiescollim una superfície gaussiana amb la formad’un cilindre petit amb les bases paral·leles a lasuperfície (vegeu la Figura 4.4). Una de les basesestà fora del conductor i l’altra està a l’interior. Nohi ha flux a través de la superfície a l’interior delcilindre ja que el camp és nul a l’interior delconductor. A més a més, tal com hem vistanteriorment, el camp elèctric és normal a lasuperfície, per la qual cosa el flux a través de lasuperfície lateral de la superfície gaussiana és zero (E
r és tangent a aquesta
superfície). Per tant, el flux net a través de la superfície gaussiana és
SEdSEdSESdE nS
nS
nS
∫∫∫ ====Φrr
·
on En és el mòdul del camp elèctric a la superfície S de la base superior delcilindre, que es pot considerar constant si el cilindre és suficientment petit.Aplicant ara la llei de Gauss, obtenim
00
int
εσ
=ε
=ΦSq
Igualant ambdues equacions, s’obté finalment que el camp en la superfície delconductor és normal a la superfície i de mòdul:
0εσ
=nE Equació 4.1
Si el conductor és pla i indefinit,amb densitat superficial decàrrega uniforme σ, aplicar elteorema de Gauss ens portariaal fet que el camp seria normalal conductor i el seu mòduluniforme per a qualsevoldistància al
conductor:0ε
σ=→∀ nEd
σ En
SS
Figura 4.4. Superfície gaussiana peral càlcul del camp elèctric en la
superfície d’un conductor.
En
Ei = 0
σd
dS
dS
Figura 4.5. Superfície gaussiana per al càlcul del campelèctric a la superfície d’un conductor pla indefinit.
4-5
Exemple 4.1
Una esfera conductora, de radi R1 i càrrega Q, s’uneix mitjançant un filconductor, de capacitat negligible, a una altra esfera de radi R2 (R2<R1),inicialment descarregada. Suposant que les esferes estan suficientmentallunyades entre elles perquè els fenòmens d’influència siguen negligibles,calculeu:a) Càrregues Q1 i Q2 de cada esfera; b) Potencial; c) Densitat superficial decàrrega en cada esfera; d) Què passa si R2>>R1?
R1
Q
R1
Q1
Q2 R2
Solucióa) En unir les dues esferes conductores mitjançant un fil conductor lacàrrega total Q es distribueix entre ambdues de tal manera que les duesesferes siguen equipotencials, per la qual cosa podem escriure les duesequacions:
21
22
21
11
20
2
10
1
21
,44
RRQRQ
RRQRQ
RQ
RQV
QQQ
+=
+=⇒
πε=
πε=
+=
ja que la càrrega total es conserva i el potencial de cada esfera es deu a laseua distribució superficial esfèrica de càrrega, ja calculat en el temaanterior.b) El potencial electrostàtic d’ambdós conductors serà el mateix, per la qualcosa es pot calcular en qualsevol d’aquests
)(444 21020
2
10
121 RR
QR
QR
QVVV+πε
=πε
=πε
===
c) La densitat superficial de càrrega és:
)(4,
)(4)(4 2122
22
2112121
1
1
11 RRR
QSQ
RRRQ
RRRQR
SQ
+π==σ
+π=
+π==σ
d) Si R2 >> R1, el conductor de radi R2 tindrà la totalitat de la càrrega, mentreque el de radi R1 quedarà descarregat, com pot observar-se a partir delresultat de l’apartat a d’aquest exemple:
QRR
QRlimQlim
RRQRlimQlim
RR
RR
=
+
=
=
+
=
∞→∞→
∞→∞→
21
22
21
11
22
220
D’altra banda, el potencial d’ambdós conductors s’anul·la:
0)(4 210
22=
+πε
= ∞→∞→ RRQlimVlim RR
La terra es pot considerar un conductor esfèric de radi molt gran i, per tant,de potencial zero. Per aquesta raó, quan es connecta un conductor
4-6
qualsevol a terra es diu que es connecta a potencial zero i la càrrega se’nva a terra pel fet que sempre és molt més gran que qualsevol altreconductor.
4.3 Fenòmens d’influència electrostàtica. Pantalles electrostàtiquesSuposem que hi ha una càrrega elèctrica Q situada a la rodalia d’un
conductor, el camp elèctric produït per aquesta càrrega provoca un movimentde càrregues en el conductor per efectede les forces de Coulomb, produint unaredistribució de les càrregues d’aquest(els electrons es desplacen formantdensitat superficial de càrrega negativaen una zona i deixant-ne una altra ambdensitat superficial de càrrega positiva).Aquest moviment de càrregues cessaen el moment que es restitueixen lescondicions d’equilibri, quan el camp al’interior del conductor és zero (lescondicions d’equilibri electrostàtics’assoleixen en un temps molt petit, devora 10-17 s). D’aquesta manera, diemque s’ha produït un fenomend’influència electrostàtica sobre elconductor com a conseqüència delcamp elèctric exterior.
Aquest fenomen d’influència electrostàtica es pot aplicar per a carregarconductors per influència procedint de la forma següent: es col·loquen dosconductors neutres en contacte, en el camp elèctric creat per una càrregaelèctrica propera, com es mostra en la Figura 4.2. En actuar el camp elèctriccreat per la càrrega sobre aquests, es distribueixen les càrregues fins que elcamp elèctric a l’interior dels conductors siga zero (a). Mantenint la càrregaelèctrica propera, se separen els dos conductors (b) i es queden l’un carregatpositivament i l’altre negativament (c).
++++
++++++
+++++++
+++ ---
------- +
+++++
++++
+++++++
+++ ---
-------
+++
+
+ ++
++
+
---
--
-
----
a) b) c)
Figura 4.2. Càrrega de conductors per influència electrostàtica. Un objecte carregat produeix que elsconductors en contacte adquirisquen càrregues oposades. Si separem els conductors en presència de
l’objecte, aquests retindran la càrrega encara que posteriorment retirem aquest.
+Q
rE
Conductor neutre
Figura 4.1. El camp elèctric extern produeix en elconductor una separació de càrregues que el
polaritza. El fenomen desapareix en allunyar-se lacàrrega externa.
4-7
De manera general, es diu quedos conductors presenten influènciaelectrostàtica quan el camp elèctric creatper un d’aquests influeix elèctricamentl’altre. Donats dos conductors com elsque es mostren en la Figura 4.3, si desd’un element de superfície del conductor1, dS1, tracem un tub de corrent,superfície formada per les línies de campelèctric que ixen de l’element dS1 iarriben al conductor 2, a un element desuperfície dS2, llavors es diu que dS1 i dS2 són elements corresponents.
Si s’aplica el teorema de Gauss a una superfície tancada formada pel tubde corrent, de manera que les bases del tub estan situades a l’interior dels dosconductors, on el camp elèctric és nul, i atés que a la superfície lateral del tubel camp és tangent, el flux del camp elèctric a través d’aquesta superfície deGauss serà nul:
0.
=⋅+⋅=⋅=Φ ∫∫∫BaseslateralSup
SdESdESdErrrrrr
Aplicant el teorema de Gauss, aquest flux serà igual a la càrregatancada a l’interior de la superfície de Gauss, dividit per ε0:
0
0εdinsQSdE ==⋅=Φ ∫
rr
D’aquesta manera, es conclou que la càrrega total tancada a l’interior dela superfície de Gauss és zero. Si denominem dq1 i dq2 les càrregues existentsen dS1 i dS2, respectivament, es té que:
210
210 dqdqdqdq−=⇒
ε+
==Φ
La qual cosa constitueix el teorema dels elements corresponents que diu:“Els elements corresponents tenen càrregues iguals i oposades”.
No tots els dS d’un conductor tenen sempre element corresponent enl’altre, en aquest cas parlem d’influència parcial. Hi haurà influènciaelectrostàtica total quan tota la superfície d’un conductor tinga el seucorresponent en l’altre o, d’una manera gràfica, quan totes les línies de campque emergeixen d’un conductor acaben en l’altre conductor.
Els dos exemples més comuns d’influència total són el cas d’unconductor que envolta per complet l’altre, i dos conductors plans enfrontatsentre ells, i separats per una distància petita comparada amb la seua superfície(vegeu la Figura 4.4).
++
+
+ +
++
++
-- -
-
--
-
-
--
-
-
-dS1 dS2
Figura 4.3. Elements corresponents en dosconductors que s’exerceixen influència
electrostàtica.
4-8
Dos conductors ques’exerceixen influènciaelectrostàtica total, en el casd’estar carregats,necessàriament han de tenir lamateixa càrrega en mòdul, peròde diferent signe. Això tél’aplicació més directa en elscondensadors.
Pantalles elèctriques: gàbia deFaraday
Les pantalles elèctriquessón dispositius capaços d’evitar els fenòmens d’influència electrostàtica.L’exemple més senzill consisteix en el que es denomina gàbia de Faraday: unconductor buit connectat a terra (un conductor amb una cavitat interna).Aquests sistema aïlla des del punt de vista electrostàtic l’exterior del conductorde la cavitat interior: (Figura 4.1):
σ
+Q
V = 0
rE = 0
rE
σ+Q
V = 0
σext= 0
rE = 0
rE = 0V = 0
Figura 4.1. Pantalles electrostàtiques. A l’esquerra, pantalla cap a dins, les càrregues externes alconductor buit no tenen influència sobre l’interior del conductor buit connectat a terra. A la dreta, pantallacap a fora, les càrregues internes al conductor buit no tenen influència sobre l’exterior del conductor buitconnectat a terra.
◊ El camp elèctric i el potencial electrostàtic a l’interior de la cavitat produït perles càrregues situades a l’exterior del conductor són nuls. A la superfícieexterior de la pantalla apareixeran per influència densitats superficials decàrrega, que provindran de terra. Ja que en el buit no hi ha càrregues, a lasuperfície interna del conductor no apareixeran densitats superficials decàrrega per fenòmens d’influència. El camp elèctric i el potencial, mantenintla seua continuïtat, tindran el mateix valor que en el conductor.
◊ El camp elèctric i el potencial electrostàtic a l’exterior del conductor produïtper les càrregues situades a la cavitat del conductor són nuls. A lasuperfície interna del buit del conductor apareixerà, per influència, la
Q-Q
Q
+Q-Q
Figura 4.4. Exemples d’influència total. A l’esquerra esrepresenta un conductor que envolta completament l’altre, i
a la dreta dos conductors plans enfrontats.
4-9
mateixa càrrega situada a l’interior però de signe contrari, que provindrà deterra. Com a conseqüència, a l’exterior tota superfície de Gauss que envoltela pantalla donarà flux nul, i el camp i potencial hauran de ser nuls.
Com exemple de pantalla elèctrica podem citar el cable coaxial. Un cablecoaxial està constituït per un conductor, envoltat d’un material dielèctric, i al seutorn, tot això envoltat d’un altre conductor (vegeu la Figura 4.2). D’aquestamanera, el senyal que viatja pel conductor interior queda protegit per l’efectepantalla produït pel conductor extern.
Conductor
Dielèctric
V = 0
Figura 4.2. Esquema i fotografia d’un cable coaxial.
4.4 El condensador. CapacitatUn condensador és un sistema de dos conductors,
aïllats l’un de l’altre, que s’exerceixen influènciaelectrostàtica total i que, per tant, posseeixen càrreguesiguals i oposades. Els dos conductors es denominenarmadures. Els condensadors s’utilitzen per aemmagatzemar càrrega i energia elèctrica i tenennombroses aplicacions en circuits elèctrics.
Si les armadures d’un condensador es connecten auna diferència de potencial V1 – V2 es produeix undesplaçament de càrregues d’un conductor a un altre finsque la diferència de potencial en les armadures siga igual a la diferència depotencial aplicada. Per tant, la quantitat de càrrega Q en el condensador depénde la diferència de potencial V que s’aplique, de la geometria del condensador idel material aïllant existent entre les armadures.
La capacitat del condensador es defineix com la relació entre el valorabsolut de la càrrega Q de cadascuna de les armadures i la diferència depotencial existent entre aquestes. El valor de la capacitat és independent de lacàrrega Q i de la diferència de potencial, sols depén de la geometria delcondensador i del material aïllant existent entre les armadures.
-QV2
QV1
Figura 4.3. Condensador.
4-10
1221 VQ
V-VQC == Equació 4.1
La capacitat, en el SI es mesura en farads (F). En la pràctica un farad ésuna capacitat massa gran i se solen utilitzar submúltiples com ara microfarad(µF), nanofarad (nF) i picofarad (pF).
Les dimensions de la capacitat són: [C] = M-1L-2T4I2
La representació gràfica en els circuits és:C
Condensador plaUn condensador pla té les armadures formades
per dues plaques planes paral·leles de superfície S iseparades una distància d molt menor que lesdimensions de les plaques. Considerarem que l’espaientre les armadures està en buit.
Quan està carregat, els dos conductors estan enequilibri, amb la càrrega distribuïda uniformement per lasuperfície. La densitat superficial de càrrega serà:
SQ
=σ
Atesa la geometria del condensador, en l’espaicomprés entre les armadures podem suposar que ens trobem pròxims a lasuperfície d’un conductor pla indefinit, i el camp serà normal a les armadures iuniforme, de valor:
00 ε=
εσ
=SQE
Per a trobar la seua capacitat s’utilitza la definició de capacitat, en la qual elcàlcul de la diferència de potencial entre les armadures es fa com la circulaciódel camp elèctric entre aquestes al llarg d’una línia recta normal a aquelles.D’aquesta manera el camp elèctric i els desplaçaments són paral·lels:
dS
dSQ
QEdQ
rdE
QVV
QC dBA
0
00
ε=
ε
==
⋅
=−
=
∫rr
dSC 0ε
= Equació 4.1
La capacitat depén exclusivament de paràmetres geomètrics. Majorsuperfície de les armadures, i distàncies més curtes augmenten la capacitat,però tenen un límit pràctic (el volum que puguen ocupar dins dels circuits,sobretot en microelectrònica, ha de ser tan petit com siga possible) i físics
(distàncies petites poden ocasionar que el camp augmente, d
VE AB= , i arribe a
d
VA
+Q-Q
VB
SS
Figura 4.1. Condensador pla.
4-11
ionitzar l’aire o el material aïllant situat entre les armadures i curtcircuite elcondensador).
Condensador cilíndricUn condensador cilíndric està format per dues superfícies conductores,
cilíndriques, coaxials de radis R1 i R2 i longitud L, generalment molt major queels radis (L >> R2). Un exemple de condensador cilíndric són els cablescoaxials utilitzats per a connectar l’antena de TV, en els oscil·loscopis, etc.
Les armadures tindran la mateixa quantitat de càrrega i aquesta esdistribuirà uniformement per les superfícies amb densitats superficial decàrrega σ1 positiva i σ2 negativa:
LRQ
SQ
111 2π
==σ i LR
QSQ
222 2π
−=
−=σ
La capacitat serà:
21 VVQC−
= ∫∫ =⋅=−2
1
2
1
21
R
R
R
R
EdrrdEVVrr
Per a trobar el camp elèctric a l’espai entre els dos cilindres s’utilitza elteorema de Gauss i s’aplica a una superfície tancada formada per un cilindrede radi R1<r<R2 i alçària h<L com es mostra en la Figura 4.1. Per la simetriaaxial del problema, la superfície lateral serà equipotencial, el camp elèctricnormal a aquesta i uniforme, i per tant el flux serà:
rR1
R2
L h-Q
Q
00
00
11
0
11
0
22
22
2
εππε
εε
ππ
εσ
ε
π
rLQ
rhLQhE
LQh
hRLR
QSQ
rhEESEdSSdE
dins
SS lateralgaussiana
==
====Φ
===⋅=Φ ∫∫rr
llavors,
Figura 4.1. Condensador cilíndric.
1
2
00021 ln
2ln
222
1
2
1
2
1RR
LQr
LQdr
rLQEdrVV R
R
R
R
R
R επ=
επ=
επ==− ∫∫
i la capacitat
4-12
1
2
0
1
2
0
21 ln
2
ln2 R
RL
RR
LQ
QVV
QCεπ
=
επ
=−
=
1
2
0
ln
2
RRLC επ
=Equació 4.1
Com es pot observar, es manté el que s’ha comentat anteriorment per alcondensador pla: la capacitat sols depén de la geometria del condensador i deε0. Igual que en el pla, la capacitat augmentarà en disminuir la distància entre
les armadures ( 11
2 →RR ) i en augmentar la superfície (augmentar L).
4.5 Energia emmagatzemada per un condensador. Densitat d’energia delcamp elèctric
Per a carregar un condensador s’aplica una diferència de potencial V ales armadures del condensador, la qual cosa provoca un pas d’electrons del’armadura carregada positivament a la carregada negativament. Segonsaugmenta la càrrega q delcondensador, la diferència depotencial v entre les armaduresdel condensador augmenta
Cqv =
Si volem continuarcarregant el condensador,l’energia necessària per a portaruna càrrega elemental dq d’unaplaca a l’altra quan hi ha unadiferència de potencial v és:
dqCq vdqdU ==
L’energia necessària per a carregar amb càrrega Q i diferència de potencial V elcondensador és:
222
22
00
CVQVC
QdqCqvdqU =
==== ∫∫
CQQVCVU222
22=== Equació 4.1
Aquest resultat pot interpretar-se geomètricament amb ajuda de laFigura 4.1. La recta representa l’augment de la diferència de potencial entre lesarmadures del condensador conforme es càrrega aquest, des de q = 0 fins a q= Q, segons v = q/C; i l’àrea de sota de la recta representa l’energia adquiridaen el procés incremental de càrrega. Aquesta àrea pot demostrar-se fàcilmentque coincideix amb el valor obtingut en l’Equació 4.1.
+ + + + + + + +
q
v
dq
Q
- - - - - - - - -
dU = vdq
dq
v
dq
Figura 4.1. En augmentar la càrrega del condensador en dq, laseua energia augmenta en dU. Aquest augment d’energia
equival a l’àrea del trapezi elemental. L’energia del condensadorcarregat és l’àrea del triangle.
4-13
Aquesta energia queda emmagatzemada al condensador en forma de campelèctric.
Densitat d’energia electrostàticaLa densitat d’energia es defineix com a energia per unitat de volum. Per a
un condensador pla el volum de l’espai comprés entre les armadures és:Volum = S⋅d
El camp és uniforme en aquest volum, per la qual cosa podrem extraure unaexpressió de la densitat d’energia en qualsevol punt interior al condensador:
20
0
2
0
222
21
21
21
)·(21
volumenergia E
SddS
SdSC
Qdvdu ε
εσ
εσω ======
Tot i que s’ha demostrat per a un cas particular, aquesta expressió de ladensitat d’energia electrostàtica és vàlida per a qualsevol punt de l’espai on hihaja camp elèctric E.
E2ε=ω 021
Equació 4.1
Si volem conéixer l’energia en forma de camp elèctric en unadeterminada regió de l’espai Ψ, utilitzarem el càlcul integral, dividint l’espai envolums elementals en els quals determinarem el camp elèctric i la densitatd’energia. Una vegada calculada l’energia elemental d’aquest volum,integrarem estenent el càlcul a la totalitat de l’espai:
∫∫ ΨΨε=ω= dvEdvU 2
021
Equació 4.2
Exemple 4.1
Calculeu l’energia emmagatzemada al condensador cilíndric de la Figura4.1, carregat amb càrrega Q.
Solució
Amb aquest fi s’aplica l’Equació 4.2:El camp elèctric segons s’ha vist en l’estudi del condensador cilíndric és:
02 επ=
rLQE ; per tant, l’energia serà:
1
2
0
2
0
2
20
222
2
0 ln44
242
1 2
1
2
1RR
LQ
rdr
LQrLdr
LrQU
R
R
R
R επ=
επ=π
επε= ∫∫
4.6 Associació de condensadorsEs defineix la capacitat equivalent d’una associació de condensadors com
la capacitat d’un únic condensador tal que en aplicar-li la mateixa diferència de
4-14
potencial que a l’associació, emmagatzeme la mateixa quantitat de càrrega.S’estudiaran a continuació els dos tipus d’associació de condensadors mésfreqüents: en sèrie i en paral·lel. Es poden associar diversos condensadors pera aconseguir una capacitat equivalent major o menor que la de cadacondensador per separat: així veurem que si es connecten en paral·lel,s’aconsegueix una capacitat major, mentre que si es connecten en sèrie,s’aconsegueix una capacitat menor.
Associació en sèrieL’associació de condensadors en sèrie es realitza connectant una
armadura d’un d’aquests amb una altra del següent, com es mostra en laFigura 4.1. Se suposa que els condensadors estan inicialment descarregats ique per a carregar-los s’aplica una diferència de potencial V entre lesarmadures lliures del primer i de l’últim condensador. La del primercondensador tindrà càrrega +Q i la de l’últim -Q. D’aquesta manera la càrregadel conjunt de condensadors serà la que s’ha desplaçat entre aquestes duesarmadures, Q. Però per influència total entre les armadures dels condensadorsapareixeran càrregues de signe contrari a les armadures a les quals no es téaccés, la qual cosa, juntament amb la neutralitat elèctrica que han de mantenirles armadures internes connectades en sèrie, fa que tots els condensadorspresenten la mateixa càrrega Q, igual a la total del conjunt de condensadors.
C1
+Q2
-Q +Q +Q-Q -Q
C2 Cn
3 n n+1
+Q -Q
Ceq
1
Figura 4.1. Associació de n condensadors en sèrie i l’equivalent.
La diferència de potencial V entre els borns de l’associació es pot expressarcom la suma de les diferències de potencial en cadascun dels condensadors ensèrie:
)11
11 +=
+ −=− ∑ i
n
iin V(VVV
per a cada condensador es verifica que:
iii C
QVV =− +1 per a i = 1,2,....,n
i per tant, ∑=
+ =−=n
i in C
QVVV1
11 . En el condensador equivalent a l’associació, en
aplicar-li la mateixa diferència de potencial es verifica que eqC
QV = , i comparant
ambdues expressions, es té que:
∑=
=n
i ieq CC 1
11Equació 4.1
La capacitat equivalent d’un conjunt de condensadors associats en sèrieés l’invers de la suma dels inversos de les capacitats dels condensadorsassociats. Així, quan s’associen n condensadors en sèrie, la capacitat
4-15
equivalent és menor que la capacitat de cadascun dels condensadorsassociats.
Associació en paral·lelUn conjunt de condensadors es diu que estan associats en paral·lel
quan es connecten tots aquests a la mateixa diferència de potencial, com esmostra en la Figura 4.1. En aplicar una diferència de potencial VA-VB, el procés
de càrrega es pot realitzar entre lesarmadures de tots els condensadors.D’aquesta manera, la càrrega total del’associació és la suma de les càrregues:
∑=
=n
iit QQ
1
Per a cada condensador es verifica queQi = (VA - VB)·Ci, llavors:
∑=
−=n
iiBAt CVVQ
1)(
En el condensador equivalent, enaplicar la mateixa diferència de potencialVA-VB, s’ha de carregar amb la mateixa
càrrega: Qt = (VA-VB) CeqComparant ambdues expressions es té que:
∑=
=n
iieq CC
1Equació 4.1
La capacitat equivalent d’un conjunt de condensadors associats enparal·lel és igual a la suma de les capacitats. Així, la capacitat equivalent ésmajor que cadascuna de les capacitats dels condensadors que formenl’associació.
4.7 Dielèctrics. PolaritzacióEls materials dielèctrics són mals conductors del corrent elèctric.
Comparats amb els conductors, els dielèctrics es caracteritzen perquè al’interior no hi ha càrregues lliures, sinó que tots els electrons estan lligats alsseus àtoms o molècules. Una de les seues característiques fonamentals és queel camp elèctric al seu interior és inferior al que tindríem al buit. Això comportaque, per exemple, la capacitat d’un condensador embotit de dielèctric és majorque la d’un condensador buit. Aquest fenomen no es justifica suficientment ambun model en el qual els electrons estiguen lligats, i sense càrregues lliures, sinóque s’ha de plantejar un model en el qual els electrons, sense deixar d’estarlligats als àtoms, tinguen possibilitat de realitzar petits desplaçaments perefecte de forces de Coulomb. La conseqüència d’aquests desplaçaments sónels denominats fenòmens de polarització dels dielèctrics, per als quals hi hados models:
C1
+Q1
A
-Q1
C2
+Q2 -Q2
Cn
+Qn -Qn
BCeq
+Q -Q
A B≡
Figura 4.1. Associació de condensadors enparal·lel i condensador equivalent.
4-16
a) Dielèctrics en els quals en els àtoms o molècules coincidisquen elscentres de les distribucions de les càrregues positives i negatives. Enaquest cas, en aplicar un camp elèctric les càrregues positives esdesplacen en el sentit del camp i les negatives en el contrari, i formenaixí un dipol amb un moment dipolar p
r. Aquest tipus de polarització es
denomina polarització electrònica o induïda i és un fenomen molt ràpid.
-rE = 0
rp = 0
+ -rE
rp+
Figura 4.1. Polarització electrònica.
b) Dielèctrics amb àtoms o molècules en els quals els centres de lesdistribucions de les càrregues positives i negatives no coincidisquen,que formen ja aquests mateixos petits dipols orientats a l’atzar. Enaquest cas en aplicar un camp elèctric els dipols s’orienten i es diu quela polarització és per orientació. Aquest fenomen pot ser més o menysràpid depenent de la facilitat que presente el material a aquestmoviment, i depén fortament de la temperatura.
0=dv
pdrOrientació a l’atzar
r E = 0
Orientaciór
E ≠ 00≠
dvpdr
E
Eind
Figura 4.2. Polarització per orientació.
Ambdues polaritzacions, per deformació i per orientació, poden donar-sesimultàniament en molts materials, i comporten una justificació microscòpicadel que passa en els materials dielèctrics quan s’aplica un camp elèctric.
Des d’un punt de vista macroscòpic, per a estudiar els efectes del campelèctric en els dielèctrics considereu l’experiència següent:
• Si es pren un condensador pla i es connecta a una font de V0, elcondensador es càrrega amb Q i entre les seues plaques hi ha unadiferència de potencial de V0. Si, a continuació, es desconnecta la font detensió i s’ompli l’espai entre plaques amb un material dielèctric o aïllant i estorna a mesurar la diferència de potencial, ens trobem un valor V < V0. Elquocient V0/V és una constant característica per a cada dielèctric que esdenomina constant dielèctrica relativa o permitivitat relativa del material,εr que sempre és major o igual que un.
4-17
B
V
-Q
εr
V0
εr
Q Qεr
-Q Q
ABABA
Figura 4.3. Variació de V en un condensador en introduir un dielèctric en el seuinterior mantenint la càrrega constant.
Si V = V0/εr, llavors E = V/d = V0/(dεr) = E0/εr, és a dir, en introduir eldielèctric al condensador, mantenint la càrrega constant, tant el campelèctric com el potencial disminueixen en el factor εr .
D’altra banda, la capacitat que inicialment era C0 = Q/V0, en omplir elcondensador amb dielèctric ha augmentat, i ara val: C = Q/V = εr C0
• Si el condensador s’ompli de dielèctric mantenint la font de tensióconnectada, i.e., mantenint V constant, llavors el camp elèctric també esmanté constant i, atés que la capacitat del condensador amb dielèctric ésmajor: C = εrC0, la càrrega augmenta. Sense dielèctric era Q0 = C0V, ambdielèctric serà: Q = CV = εrC0V =εrQ0.A l’efecte de càlcul, les lleis que hem estudiat per al camp elèctric en buit
s’apliquen d’igual manera als camps elèctrics en dielèctrics, únicamentsubstituint la permitivitat dielèctrica del buit ε0 per la permitivitat dielèctrica decada material, calculada com el producte de la del buit per la relativa deldielèctric ε = ε0·εr
En la Taula 4.1 es mostren els valors de lapermitivitat relativa εr per a alguns dielèctrics típics.L’aigua té una permitivitat relativa molt gran a causadel caràcter altament polar de la molècula de l’aigua, ia la facilitat de la seua orientació en un camp elèctric,però no s’utilitza com a dielèctric per la facilitat ambquè dissol les sals, i adquireix conductivitat amb petitesquantitats d’impureses.
El resultat del fenomen de polarització en unmaterial dielèctric homogeni a causa de l’aplicaciód’un camp elèctric és l’aparició d’una densitatsuperficial de càrrega σ’, denominada càrregalligada perquè està unida a les molècules deldielèctric, al contrari de les càrregues lliures que síque poden desplaçar-se per dins del cristall. Aquesta càrrega lligada produeixun camp elèctric Eind (vegeu la Figura 4.4) de sentit oposat al camp elèctric
Material εr
oli 2,24aigua a 20 ºC 80aire 1,0006baquelita 4,9mica 5,4neopré 6,9paper 3,7parafina 2,3plexiglàs 3,4porcellana 7vidre pyrex 5,6
Taula 4.1. Permitivitats relativesd’algunes substàncies.
4-18
aplicat, per la qual cosa el camp a l’interior del dielèctric és menor que el campelèctric aplicat.
σ0 −σ0 σ0 −σ’ σ’ −σ0
E0
Eind
Figura 4.4. La polarització del dielèctric produeix l’aparició d’una càrrega lligada enforma de densitat superficial de càrrega lligada σ’ a la superfície del dielèctric.
El camp elèctric en el buit i a la rodalia d’un conductor carregat o a
l’interior d’un condensador pla buit val: 0
00 ε
σ=E , si a l’exterior del conductor
carregat o dins del condensador pla hi haguera material dielèctric, llavors ladensitat superficial de càrrega total seria: σ0 + σ’ i el camp elèctric a la rodalia
d’un conductor carregat o a l’interior d’un condensador pla valdria: 0
0 'ε
σ+σ=E .
Atés que el camp elèctric disminueix en 1/εr
εσ
=εε
σ=
ε= 0
0
00
rr
EE
on ε és la permitivitat del material. Comparant 0
00 'ε
σ+σ=
εσ , s’obté:
ε
−σ−=σr
11' 0 Equació 4.1
Igualtat que relaciona la densitat superficial de càrrega lligada amb lapermitivitat dielèctrica. Observeu que la densitat de càrrega lligada és de signecontrari a la densitat superficial de càrrega lliure.
Exemple 4.1
Entre els punts A i B de l’associació de condensadors de la figura s’aplicauna diferència de potencial V. El condensador 4 tenia una capacitat C buit,però s’ompli de dielèctric de εr = 4 abans d’aplicar la diferència de potencialV. Calculeu la capacitat C’ d’aquest condensador, la càrrega i la diferència depotencial en cada condensador.
4-19
C
C’C
A B4C
(1)
(2) (4)(3)
Solució
C´= 4C
Calculant la capacitat equivalent dels condensadors 1 i 2 en paral·lel d’unabanda, i del 3 i 4 en sèrie de l’altra, el sistema queda:
A
Ceq = C
BLa capacitat equivalent serà: C1,2=2C C3,4=2C
BA
La càrrega total del sistema en aplicar la diferència de potencial V és:
QT = VC = Q3,4 =Q1,2 = Q3 = Q4 ; Q1 = Q2 = Q1,2 /2 =VC/2
La diferència de potencial en els borns de cada condensador serà:
V1 = V2 = Q1/C = VC /2C = V/C ; V3 = Q3 / 4C = V/4 = V4
Representant els valors en una taula es té:
Q V(1) VC/2 V/2(2) VC/2 V/2(3) VC V/4(4) VC V/4
4.8 Capacitat d’un condensador pla amb diverses capes de dielèctricSiga un condensador pla les armadures del qual estan carregades amb
una densitat superficial ±σ, i en el qual s’han introduït dues capes de dielèctric,una de gruix d1 i permitivitat dielèctrica relativa εr1 i una altra de gruix d2 ipermitivitat dielèctrica relativa εr2.
4-20
La capacitat d’aquest condensador vedonada per,
VQC =
La diferència de potencial entre lesarmadures del condensador la podemexpressar com la suma de ladiferència de potencial en el primerdielèctric més la diferència depotencial en el segon dielèctric:
VAB = V1 + V2 = E1d1 + E2d2
El camp elèctric en cadascun delsdielèctrics ve donat per:
011 εε
σ=
rE
022 εε
σ=
rE
i d’aquesta manera, la capacitat serà:
2
2
1
10
02
2
01
12211
rrrr
AB ddS
ddQ
dEdEQ
VQC
ε+
ε
ε=
εεσ
+εεσ
==+
==
En general, per a n capes de dielèctrics:
∑= ε
ε= n
i ri
idSC
1
0Equació 4.1
d1 d2
A
σ
εr1 εr2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
-σ
B
Figura 4.1. Condensador pla amb diverses capes dedielèctric.
4-21
Punter tàctil
George Gerpheide Investigación y Ciencia, setembre de 1998El dispositiu de punter més corrent en elsnous ordinadors portàtils és el coixinettàctil, un rectangle negre o gris que sesitua sempre davant del teclat. Eldesplaçament d’un dit per damuntd’aquest fa que el cursor realitze unmoviment anàleg sobre la pantalla.Els coixinets tàctils van iniciar el seurecorregut no fa més de quatre anys,però ja han desplaçat els punters de bolaintegrats com a punter estàndard delsordinadors portàtils, i s’ofereixen ara enmés dels dos terços. (La resta,majoritàriament models de IBM i deToshiba, empren el petit punter, similar aun comandament de jocs i que recorda lagoma d’esborrar de llapis, instal·lat en elteclat entre les lletres "G", "H" i "B".) Elmaneig dels coixinets tàctils és molt mésconvenient per a moltes persones, entreelles aquells que pateixen d’artritis. Comes tracta de dispositius completamenthermètics, al seu interior no penetren lapols ni les substàncies estranyes, la qualcosa els fa més adequats per a ambientsdifícils, com ara tallers, plantes fabrils igaratges.El tipus de coixinet tàctil més estés és elde capacitància, que funciona mesurantles variacions quan el dit de l’usuarialtera els minúsculs camps elèctricsexistents a la part superior del coixinet.
Els elèctrodes estan disposats en dues capes, d’orientaciómútuament ortogonal, i separats per una làmina prima de fibra devidre, que actua d’aïllant, o "dielèctric".
Un camp elèctric s’estableix quan s’aplica un impuls de tensió entre un elèctrode superior i un altre d’inferior, laqual cosa té com a resultat que els dos elèctrodes, el material dielèctric interposat i fins i tot l’aire circumdantfuncionen com un condensador. Aquest camp elèctric es modifica davant de la presència d’un dit, distorsió quegenera una disminució de la capacitància entre els elèctrodes i de la càrrega elèctrica.
5 VOLT0 VOLT
IMPULSOSDE TENSIÓ
CONTORNDEL CONTACTE
DEL DIT AMB ELCOIXINET
VALOR DE LA CAPACITÀNCIAMESURADA EN L’ELÈCTRODE
EL DESEQUILIBRI ENTRE LES CAPACITÀNCIES TOTALS (LA DEL GRUP TARONJA ÉS MAJOR QUELA DEL VERD) SIGNIFICA QUE EL DIT COBREIX MÉS ELS ELÈCTRODES VERDS.L’EQUILIBRI ENTRE ELS VALORS D’AMBDÓS GRUPS INDICA UNA POSICIÓ EQUIDISTANT DELDIT RESPECTE DELS ELÈCTRODES.La localització del dit requereix el desplaçament de dos grups d’impulsos de tensió. Si es tractara de comprovar lacapacitància en cadascun dels punts d’encreuament dels elèctrodes, es tardaria massa temps i la reacció del punteral moviment del dit seria lenta. Per això el que es fa és aplicar dos grups d’impulsos, positius (en taronja) inegatius (en verd; diagrames dret i esquerre) als elèctrodes, que mesuren la càrrega resultant de la seua capacitat.La situació del dit amb relació al límit entre les regions d’impulsos positius i negatius es determina mitjançantcàlculs realitzats amb les càrregues totals mesurades. Ambdós grups d’impulsos han de desplaçar-se segons esmou el dit, de manera que la seua frontera es mantinga propera al centre d’aquest. La il·lustració no mostra mésque els impulsos corresponents al conjunt dels elèctrodes paral·lels verticals; el mateix s’ha de fer realment amb eljoc d’elèctrodes transversals. S’aconsegueix així el seguiment bidimensional del moviment del dit fins a velocitatsd’uns 100 centímetres per segon.
4-22
4.9 Qüestions i problemes
Conductors
1. Quina direcció porten les línies del camp elèctric creat per un conductorcarregat, en els punts pròxims a aquest? Per què?
2. Siga un conductor buit connectat a terra amb una càrrega q al seu interior. Al’exterior, pròxim a aquest, es troba una esfera carregada amb càrrega Q. Comafecta la presència de la càrrega q en la distribució de càrregues a la superfíciede l’esfera de radi R? Raoneu la resposta.
Condensadors i dielèctrics
3. Siguen tres condensadors iguals de capacitat C. Indiqueu en cada cas lacapacitat del sistema.
C C C
a )
C
C
Cb )
CC
Cc )
4. Es connecten en sèrie dos condensadors de capacitats 2,4 i 3,1 µF i elconjunt es càrrega amb una bateria de 6,1 V. a) Quina és la capacitatequivalent? b) Quina càrrega té cada condensador? c) Quina diferència depotencial hi ha entre les plaques de cada condensador?
5. Siguen els dos condensadors plans de la figura:a) aïllat i amb càrrega Q;b) connectat a una font de diferència de potencial V.Si separem les plaques d’ambdós condensadors,indiqueu com evoluciona l’energia emmagatzemadaen cadascun (augmenta, disminueix o es mantéconstant).
R
Q
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
q
a) Q C’
C
V
b)
4-23
6. Un condensador de capacitat C1, carregat amb càrrega Q,es connecta amb un altre de capacitat C2, inicialmentdescarregat, tal com s’indica en la figura. Calculeu el valor dela càrrega en cada condensador abans i després de tancarl’interruptor.
Q1 Q2
abansdesprés
7. Una làmina de coure de gruix b s’introdueix dins de les armaduresplanes d’un condensador de superfície S, tal com s’indica en lafigura. Quina és la capacitat del condensador abans i desprésd’introduir la làmina?Sol: abans C0=ε0S/d; després C = ε0S/(d-b)
8. Es disposa de dos condensadors de capacitat C1 i C2,després de connectar-los en paral·lel, s’aplica a l’associacióuna diferència de potencial V. Calculeu la càrrega queadquireix cada condensador (Q1 i Q2), com també la diferènciade potencial entre les plaques de cadascun d’aquests (V1 i V2).
9. En l’associació de condensadors de la figura,indiqueu en quin condensador s’emmagatzema:a) la major càrrega, ib) la menor càrrega,en aplicar entre A i B una d.d.p. V.(C1 = C; C2 = C/3; C3 = C(2/3)).
Conductors
10. Una esfera conductora, de radi R1 i càrrega Q, s’uneix mitjançant un filconductor, de capacitat negligible, a una altra esfera de radi R2 (R2<R1),inicialment descarregada. Suposant que les esferes estan prou allunyadesentre elles perquè els fenòmens d’influència siguen negligibles, calculeu:a) càrregues Q1 i Q2 de cada esfera; b) potencial; c) densitat superficial decàrrega en cada esfera.Què passa si R2>>R1?
Sol: a) )R+R(
Q=b)VR+R
RQ=Q;R+R
RQ=Q0 2121
22
21
11 4 επ
C1 C2
b
d
C1
C2
V
C2C1 BA
C3
4-24
)(4)(4 212
2111
R+RRQ=;
R+RRQ=c)
2πσ
πσ
11. Siga una esfera conductora, amb centre enO i radi R. Aquesta esfera, que es trobaconnectada a terra (potencial nul) està sotmesaa la influència d’una càrrega puntual q, situadaa una distància d de O (d>R). Calculeu lacàrrega que apareix a l’esfera en funció de q, Ri d.
Sol: dRq=Q −
12. Donat el sistema de la figura, calculeu la càrregatotal Q de l’esfera.
Sol: Rdq
q 22
1 −−
13. La figura mostra una esfera metàl·lica buida de radisinterior i exterior R1 i R2, respectivament. Aquesta esfera estroba connectada a terra. Es col·loca una càrrega puntualpositiva, Q, al centre de l’esfera.a) Quina és la distribució de càrregues a les superfíciesinterior i exterior de l’esfera?b) Obteniu les expressions de V(r) per a r≤ R1, R1≤ r≤ R2, r≥R2.Sol:
a) en R1, -Q; en R2, zero; b) r ≤ R1,
−
πε=
10
114 Rr
QV ; (R1 ≤ r R2; r ≥ R2) V = 0
Condensadors i dielèctrics
14. Dos condensadors plans 1 i 2 d’igual capacitat C es connecten en paral·lela una d.d.p. V. Després de desconnectar el conjunt de la font de tensió, esredueix a la meitat la distància entre les armadures del condensador 1. Quinaserà la càrrega de cada condensador?
Sol: CV=QCV;=Q32
34
21
O
R
Q
d
q
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
q2
d
q1
R1
R2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
QR1
R2
4-25
15. Siga un condensador (1) de capacitat C sotmés auna diferència de potencial V1, i uns altres dos d’igualcapacitat i descarregats. Després d’aïllar el primercondensador, s’associa als altres dos tal com esmostra en la figura. Calculeu les càrregues queadquireixen els tres condensadors, Q1, Q2, i Q3.
Sol: CV=Q=QC;V=Q 13211 31
32
16. Dues plaques metàl·liques paral·leles estan separades per una capa d’airede gruix d. Es carrega a una d.d.p. V i s’aïlla. S’introdueix una làmina de vidrede gruix d/2 i permitivitat relativa εr. Quin és el nou valor de la d.d.p. entre lesplaques, i quina haurà de ser la separació entre les plaques perquè la d.d.p.siga la mateixa que al principi?
Sol:
ε
−+′
ε′
rrd=d;+V=V 11
21111
2
17. Una placa de dielèctric de gruix b i permitivitat dielèctrica relativa εr escol·loca entre les armadures d’un condensador de plaques planes i paral·leles,de superfície S i separació d. S’aplica una d.d.p. V quan no hi ha dielèctric. Acontinuació, es desconnecta la font i s’introdueix el dielèctric. Calculeu:a) Capacitat abans d’introduir el dielèctric.b) Càrrega lliure.c) Camp elèctric en el buit.d) Camp elèctric en el dielèctric.e) D.d.p. entre les plaques una vegada introduït el dielèctric.f) Capacitat amb el dielèctric.
Sol: a) dS=C ε00 b)
dSV=Q ε0 c)
dV=E0 d)
εrdV=E e)
−
ε′ bd+b
dV=V
r
f) bdb
SC
r−+
ε
ε= 0
18. La figura mostra una bateria decondensadors idèntics, de capacitat C,connectada a una d.d.p. constant V=V1-V2.a) Calculeu l’energia emmagatzemada enel condensador 2.Posteriorment s’ompli el condensador 2amb un dielèctric de permitivitat relativa εr.b) Calculeu l’energia totalemmagatzemada.c) Per quin factor hauria de multiplicar-se la distància entre les armadures delcondensador 3 perquè no es modifique la capacitat total?
Sol: ε−ε
εrr
rT =c)x;
)+(V)+C(=Wb);CV=Wa
21
221
18)
22
2
Q3Q2
CC
C
Q1
BA
C BA(1)V1
C1
C2
C3
V1 V2
4-26
19. Una esfera conductora de radi R, en el buit, té una càrrega q. Calculeu:a) l’energia total emmagatzemada en l’espai circumdant.b) Quin és el radi R0 d’una superfície esfèrica tal que dins d’aquesta quede lameitat de l’energia emmagatzemada?
Sol: a) R
q=W0επ8
2
b) R0 = 2R
20. Un conductor cilíndric de longitud L i radi R1 escarrega amb una càrrega total Q. A continuaciós’envolta amb un altre conductor cilíndric coaxial deradis interior i exterior R2 i R3, elèctricament neutre ide la mateixa longitud. L’espai entre ambdósconductors està ocupat per un material dielèctric depermitivitat relativa εr. Calculeu l’energiaemmagatzemada a l’espai comprés entre ambdósconductors i ocupat pel dielèctric.
Sol: L
RRQ
=Wrεεπ
0
1
22
4
ln
GLOSSARI
Teorema de Coulomb: El camp elèctric en la rodalia d’unconductor carregat en equilibri és perpendicular a la superfícied’aquest i de mòdul:
0εσ
=nE
Pantalles electrostàtiques: Dispositius que divideixen l’espai endues regions electrostàticament independents.
Condensador: Sistema de dos conductors, aïllats l’un de l’altre,que s’exerceixen influència electrostàtica total emmagatzemantcàrrega elèctrica.
Capacitat d’un condensador és la relació entre el valor absolutde la càrrega Q de cadascuna de les armadures i la diferènciade potencial existent entre aquestes.
Densitat d’energia electrostàtica: Energia per unitat de volumexistent en una regió amb un camp elèctric. Depén del quadratdel mòdul del camp elèctric.
R3R1
R2
εr
4-27
E = 202
1εω
Capacitat equivalent d’una associació de condensadors és lacapacitat que tindria un únic condensador de manera que enaplicar-li la mateixa diferència de potencial que a l’associació,emmagatzeme la mateixa quantitat de càrrega.
Polarització: Aparició o orientació de dipols elèctrics en lamatèria com a conseqüència d’un camp elèctric extern.
Constant dielèctrica: Factor en què disminueix el camp elèctrica l’interior d’un dielèctric com a conseqüència de la polarització.
Càrrega lligada: Càrrega que s’indueix a la superfície d’undielèctric com a conseqüència de la polarització d’aquest.