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 8-7-2015 Capítulo 5 Resolución de subsistemas múltiples JUAN CARLOS ALULEMA ESTEBAN ESPINOSA MAURICIO NAVARRETE SEXTO ELECTRÓNICA E INSTRUMENTA CIÓN MARZO AGOSTO 2015

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Sistrmas de control

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  • 8-7-2015

    Captulo 5 Resolucin de subsistemas mltiples

    JUAN CARLOS ALULEMA ESTEBAN ESPINOSA

    MAURICIO NAVARRETE

    SEXTO ELECTRNICA E INSTRUMENTACIN

    MARZO AGOSTO 2015

  • CAPITULO 5 CONTENIDOS

    1. TEMA ..................................................................................................................................... 2

    2. OBJETIVOS ........................................................................................................................... 2

    General ............................................................................................................................... 2

    Especficos .......................................................................................................................... 2

    3. Resumen................................................................................................................................ 2

    4. Abstract ................................................................................................................................. 2

    5. Marco terico ........................................................................................................................ 3

    LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES (LGR) ................................ Error! Marcador no definido.

    6. Desarrollo .............................................................................................................................. 4

    PREGUNTAS DE REPASO ........................................................ Error! Marcador no definido.

    PROBLEMAS ............................................................................ Error! Marcador no definido.

    7. Conclusiones: ...................................................................................................................... 14

    8. Recomendaciones: .............................................................................................................. 15

    9. Bibliografa. ......................................................................................................................1415

  • TEMA

    Resolucin de los problemas del captulo 5 para obtener aprender la estructura y forma de resolucin

    de Reduccin de subsistemas mltiples.

    OBJETIVOS

    GENERAL

    Resolver los problemas del Captulo 5 para aprender la estructura y forma de resolucin de los mismos.

    ESPECFICOS

    Determinar los parmetros necesarios para resolver estos tipos de ejercicios.

    Reconocer la estructura y elementos bsicos que componen estos ejercicios.

    Desarrollar los problemas propuestos en base a los conocimientos previamente adquiridos.

    RESUMEN

    Uno de los pasos ms importantes para un Ingeniero en la parte de Control es poder modelar de la

    mejor forma sistemas fsicos, ya sean sistemas elctrico, mecnicos, trmicos o fludicos valindose de

    las leyes fsicas que describen el comportamiento del sistema en estudio. A la vez es importante

    mencionar que es posible aumentar la precisin de un modelo matemtico si se aumenta su

    complejidad. No obstante si no se necesita una precisin extrema o los cambios en la misma no son

    significativos a medida que se toman ms variables en cuenta en el modelo, entonces es mejor contar

    con un modelo razonablemente simplificado.

    ABSTRACT

    One of the most important steps for the Engineer of Control is able to model physical systems in the

    best way, whether electrical, mechanical, thermal or fluidic systems using physical laws describing the

    behavior of the system under study. While it is important to mention that it is possible to increase the

    precision of a mathematical model if its complexity increases. However if extreme accuracy or changes

    therein are not needed are not significant as more variables are taken into account in the model, then it

    is better to have a reasonably simplified model.

  • MARCO TERICO

    La respuesta de salida de un sistema es la suma de dos respuestas: la respuesta forzada y la respuesta

    libre. Aun cuando numerosas tcnicas, por ejemplo la solucin de una ecuacin diferencial o tomar la

    transformada inversa de Laplace, hacen posible evaluar esta respuesta de salida, estas tcnicas son

    laboriosas y lentas.

    La productividad es auxiliada por tcnicas de anlisis y diseo que producen resultados en un mnimo

    de tiempo. Si la tcnica es tan rpida que sentimos que deducimos el resultado deseado por inspeccin,

    a veces usamos el atributo de cualitativo para describir el mtodo. El uso de potos y ceros y sus

    relaciones con la respuesta de tiempo de un sistema es una de estas tcnicas.

    El aprendizaje de esta relacin nos da un "manejo" cualitativo de los problemas. El concepto de "polos

    y ceros, fundamental para el anlisis y diseo de sistemas de control, simplifica la evaluacin de la

    respuesta de un sistema. El lector debe dominar los conceptos de polos y ceros y su aplicacin a

    problemas en todo este libro. Empecemos con dos definiciones.

    POLOS DE UNA FUNCIN DE TRANSFERENCIA.

    Los polos de una funcin de transferencia son los valores de la variable de la transformada de Laplace, s,

    que ocasionan que la funcin de transferencia se vuelva infinita.

    Es frecuente que, en sistemas de control, la raz del factor cancelado del nombre del denominador

    reciba el nombre de polo, aun cuando la funcin no sea infinita.

    CEROS DE UNA FUNCIN DE TRANSFERENCIA.

    Los ceros de una funcin de transferencia son los valores de la variable de la trasformada de Laplace, s,

    que ocasiona que la funcin de transferencia se convierta en cero, o cualesquiera de las races del

    numerador son valores de s que hacen que la funcin de transferencia que sean comunes a las races del

    denominador

    DIAGRAMA DE BLOQUES

    Cuando se interconectan los subsistemas mltiples, deben agregare algunos elementos esquemticos

    ms al diagrama de bloques. Estos nuevos elementos son los puntos suma y puntos de unin o

    derivacin. Se muestran todos los componentes de un diagrama de bloques para un sistema lineal

    invariante con el tiempo.

    Existen algunas topologas comunes para interconectar los subsistemas y deducir la representacin

    nica de la funcin de transferencia para cada uno de ellos. Estas topologas comunes formarn la base

    para convertir sistemas ms complicados en un solo bloque

  • El diagrama de bloques es la representacin grfica del funcionamiento interno de un sistema, que se

    hace mediante bloques y sus relaciones, y que, adems, definen la organizacin de todo el proceso

    interno, sus entradas y sus salidas.

    Un diagrama de bloques de procesos de produccin es un diagrama utilizado para indicar la manera en

    la que se elabora cierto producto, especificando la materia prima, la cantidad de procesos y la forma en

    la que se presenta el producto terminado.

    DESARROLLO

    PREGUNTAS DE REPASO

    1. MENCIONE LOS CUATRO COMPONENTES DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES PARA UN

    SISTEMA LINEAL INVARIANTE CON EL TIEMPO.

    Las seales, sistemas, uniones de suma, seleccin de puntos

    2. MENCIONE TRES FORMAS BSICAS PARA INTERCONECTAR SUBSISTEMAS.

    Cascada, en paralelo, la retroalimentacin

    3, PARA CADA UNA DE LAS FORMAS DE LA PREGUNTA 2, EXPRESE

    (RESPECTIVAMENTE) CMO SE ENCUENTRA LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA

    EQUIVALENTE.

    Producto de funciones de transferencia individuales, la suma de las funciones de transferencia individuales, ganancia directa dividido por uno ms el producto de la ganancia directa de la ganancia de realimentacin

    4. ADEMS DE CONOCER LAS FORMAS BSICAS COMO SE VIO EN LAS PREGUNTAS 2 Y

    3, QU OTROS EQUIVALENTES DEBE CONOCER EL ESTUDIANTE PARA REDUCIR UN

    DIAGRAMA DE BLOQUES?

    Formas equivalentes para bloques de movimiento a travs de las uniones de suma y recoge puntos

    5. PARA UN SISTEMA SENCILLO DE CONTROL REALIMENTADO DE SEGUNDO ORDEN,

    DEL TIPO QUE SE ILUSTRA EN LA FIGURA 5.14, DESCRIBA EL EFECTO QUE LAS

    VARIACIONES DE GANANCIA DE TRAYECTORIA DIRECTA. K. TIENEN EN LA RESPUESTA

    TRANSITORIA.

  • Como K se vari de 0 a , el sistema va desde sobreamortiguado a crticamente amortiguado a subamortiguado.

    6. PARA UN SISTEMA DE CONTROL REALIMENTADO SENCILLO DE SEGUNDO ORDEN,

    DEL TIPO QUE SE ILUSTRA EN LA FIGURA 5.14, DESCRIBA LOS CAMBIOS EN EL

    FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO RELATIVO CUANDO LA GANANCIA, K. SE AUMENTA

    SOBRE LA REGIN SUBAMORTIGUADA.

    Desde la parte real se mantiene constante y la parte imaginaria aumenta, la distancia radial desde el origen es cada vez mayor. As, el ngulo est aumentando. Desde = cos el coeficiente de amortiguamiento est disminuyendo.

    7. MENCIONE LOS DOS COMPONENTES DE UNA GRFICA DE FLUJO DE SEALES.

    Nodos (seales), ramas (sistemas)

    8. CMO SE REPRESENTAN LOS PUNTOS SUMA EN UNA GRFICA DE FLUJO DE

    SEALES?

    Las seales que fluyen en un nodo se suman. Las seales que salen de un nodo son la suma de las seales que fluye en un nodo.

    9. SI UNA TRAYECTORIA DIRECTA TOCA A TODAS LAS MALLAS, CUL SERA EL

    VALOR DE ?

    El valor es 1.

    10. MENCIONE CINCO REPRESENTACIONES DE SISTEMAS EN EL ESPACIO DE ESTADOS.

    Forma de fase variable, la forma en cascada, de forma paralela, la forma cannica de Jordan, la forma cannica de observador

  • 11. CULES DOS FORMAS DE LA REPRESENTACIN EN EL ESPACIO DE ESTADOS SE

    ENCUENTRAN USANDO EL MISMO MTODO?

    La forma cannica de Jordan y el resultado forma paralela desde una expansin en fracciones parciales.

    12. QU FORMA DE LA REPRESENTACIN EN EL ESPACIO DE ESTADOS LLEVA A UNA

    MATRIZ DIAGONAL?

    La forma paralela

    13. CUANDO LA MATRIZ DEL SISTEMA ES DIAGONAL, QU CANTIDADES SE

    ENCUENTRAN A LO LARGO DE LA DIAGONAL PRINCIPAL?

    Los polos del sistema, o valores propios

    14. QU TRMINOS SE ENCUENTRAN A LO LARGO DE LA DIAGONAL PARA UN

    SISTEMA REPRESENTADO EN FORMA CANNICA DE JORDAN?

    Los polos del sistema, incluyendo todas las repeticiones de las races repetidas.

    15. CUL ES LA VENTAJA DE TENER UN SISTEMA REPRESENTADO EN UNA FORMA

    QUE TIENE UNA MATRIZ DE SISTEMA DIAGONAL?

    Solucin de las variables de estado se logra a travs de ecuaciones desacopladas. es decir, las ecuaciones se pueden resolver individualmente y no simultneamente.

    16. D DOS RAZONES PARA ESPERAR REPRESENTAR UN SISTEMA MEDIANTE FORMAS

    ALTERNAS.

    Las variables de estado pueden ser identificados con los parmetros fsicos; facilidad de solucin de algunas representaciones

    17. PARA QU CLASE DE SISTEMA SE UTILIZARA LA FORMA CANNICA

    OBSERVABLE?

    Sistemas con ceros

    18. DESCRIBA TRANSFORMACIONES DEL VECTOR DE ESTADO DESDE LA PERSPECTIVA

    DE BASES DIFERENTES.

    Transformaciones Estado-vector son la transformacin del vector de estado de un sistema de base a otra. Es decir, el mismo vector representado en otra base.

    19. CUL ES LA DEFINICIN DE UN VECTOR CARACTERSTICO?

  • Un vector que en virtud de una transformacin de matriz es colineal con el original. En otras palabras, la longitud del vector ha cambiado, pero no su ngulo.

    20. CON BASE EN SU DEFINICIN DE UN VECTOR CARACTERSTICO, QU ES UN

    VALOR CARACTERSTICO?

    Un valor propio es que mltiple del vector original que es el vector transformado.

    21. CUL ES LA IMPORTANCIA DE USAR VECTORES CARACTERSTICOS COMO

    VECTORES BASE PARA LA TRANSFORMACIN DE UN SISTEMA?

    Matriz del sistema resultante es diagonal.

    EJERCICIOS

    5.1.- REDUZCA EL DIAGRAMA DE BLOQUES QUE SE MUESTRA E LA FIGURA P5.1 A UNA

    SOLA FUNCIN DE TRANSFERENCIA, T(S) = C(S)/R(S). UTILICE LOS SIGUIENTES

    MTODOS:

    A) REDUCCIN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES.

    B) MATLAB

    a) ( )

    (

    )(

    )

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    = ( )

    b) G1(s)

    G1=tf(1,[1 0 0])

    'G2(s)'

    G2=tf(50,[1 1])

  • 'G3(s)'

    G3=tf(2,[1 0])

    'G4(s)'

    G4=tf([1 0],1)

    'G5(s)'

    G5=2

    'Ge1(s)=G2(s)/(1+G2(s)G3(s))'

    Ge1=G2/(1+G2*G3)

    'Ge2(s)=G4(s)-G5(s)'

    Ge2=G4-G5

    'Ge3(s)=G1(s)Ge1(s)Ge2(s)'

    Ge3=G1*Ge1*Ge2

    T(s)=Ge3(s)/(1+Ge3(s))'

    T=feedback(Ge3,1);

    T=minreal(T)

    5.11.- PARA EL SISTEMA QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA P5.11, ENCUENTRE EL

    SOBREPASO EN PORCENTAJE, TIEMPO DE ASENTAMIENTO Y TIEMPO PICO PARA UNA

    ENTRADA ESCALN SI LA RESPUESTA DEL SISTEMA EST SUBAMORTIGUADA (EST

    AMORTIGUADA? POR QU?)

  • ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    2 =12; ; =0.4

    5.12.- PARA EL SISTEMA QUE SE ILUSTRA EN LA FIGURA, ENCUENTRE LA SALIDA, ( ),

    SI LA ENTRADA, ( ), ES UN ESCALN UNITARIO.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) (

    )

  • 5.13.- PARA EL SISTEMA QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA P5.13, ENCUENTRE LOS

    POLOS DE LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA EN LAZO CERRADO, T(S)=C(S)/R(S).

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    5.14.- PARA EL SISTEMA DE LA FIGURA, ENCUENTRE EL VALOR DE K QUE PRODUZCA

    SOBREPASO DE 20% PARA UNA ENTRADA ESCALN.

    Como ( )

    ( ) y ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    Para un 20%:

  • 5.15.- PARA EL SISTEMA QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA P5.15, ENCUENTRE K Y

    PARA OBTENER UN TIEMPO DE ASENTAMIENTO DE 0.2 SEGUNDOS Y UN SOBREPASO

    DE 30%.

    (

    )

    ( )

    (

    )

    ( )

    ( )

    5.16.- PARA EL SISTEMA DE LA FIGURA, ENCUENTRE LOS VALORES DE PARA

    OBTENER UN TIEMPO PICO DE UN SEGUNDO, Y UN TIEMPO DE ASENTAMIENTO DE 2

    SEGUNDOS, PARA UNA RESPUESTA EN ESCALN EN LAZO CERRADO DEL SISTEMA.

  • ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    :

    ;

    Por lo tanto los polos son: -2+j

    5.17.- ENCUENTRE LO SIGUIENTE PARA EL SISTEMA QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA

    P5.17.

    A) EL BLOQUE INDIVIDUAL EQUIVALENTE QUE REPRESENTE LA FUNCIN DE

    TRANSFERENCIA , T(S)=C(S)/R(S).

    B) EL FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO RELATIVO FRECUENCIA NATURAL NO

    AMORTIGUADA, SOBREPASO EN PORCENTAJE, TIEMPO DE ASENTAMIENTO, TIEMPO

    PICO, TIEMPO DE LEVANTAMIENTO Y FRECUENCIA NATURAL AMORTIGUADA O DE

    OSCILACIN.

  • a) ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    b)

    5.18.- PARA EL SISTEMA QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA ENCUENTRE , ,

    SOBREPASO EN PORCENTAJE, TIEMPO PICO, TIEMPO DE LEVANTAMIENTO Y TIEMPO

    DE ASENTAMIENTO.

  • ( )

    CONCLUSIONES:

    La realimentacin puede incrementar o reducir la sensibilidad de un sistema.

    La realimentacin puede reducir el efecto del ruido.

    En muchas situaciones, la realimentacin puede reducir los efectos del ruido y las perturbaciones en el desempeo del sistema.

    La realimentacin puede mejorar la estabilidad o ser perjudicial para

    la misma.

    RECOMENDACIONES:

    La resolucin de sistemas mltiples puede ayudarnos a resolver varios inconvenientes presentados en sistemas de control por lo cual es necesario saber este tema y aplicarlo.

    BIBLIOGRAFA.

    Nise, N. (2006). Sistemas de Control para Ingnieria . Mexico : Continental .