capítulo viii

CAPÍTULO VIII

MÉTODO DE HARDY CROSS


VIII - 2


Calcula: Los momentos flectores en los extremos de los elementos.

CUESTIONES PRELIMINARES:

a. Definir las condiciones de restricción de los apoyos.

- Empotrado (E)

- Articulado (A)

- Volado (V)

Ejemplos:

El apoyo intermedio (2), se considera empotrado por presentar momentos

internos y, además por existir a ambos lados otros apoyos articulados o

empotrados o combinación de ambos.

b. La rigidez relativa de los elementos se obtiene de acuerdo a las

condiciones de restricción de los apoyos, como sigue:

(

)

ING. RONALD SANTANA TAPIA

VIII - 3

c. Para el proceso de distribución de los momentos de empotramiento

perfecto de los elementos del sistema, deberá tenerse presentarse lo

siguiente:

c.1 Empezar por el nudo articulado de existir un momento, distribuir y

transmitir para cerrar definitivamente.

c.2 Continuar con el nudo de mayor momento absoluto, esto con la

finalidad de una rápida convergencia.

c.3 Terminar el proceso con una distribución y con una transmisión. Si la

distribución llega a un apoyo externo empotrado, este valor deberá

transmitirse como paso final.

DEMOSTRACIÓN

1º. Rigidez por flexión:

La rigidez es la propiedad de resistencia que ofrecen los elementos a la

deformación.

La rigidez por Momento flexionante, es igual a la carga aplicada (M) entre la

deformación producida por esta .

A. Sistema: Empotrado – Empotrado

Asumiendo para todo efecto, horario positivo.

Maney:

( )

( )


VIII - 4

Factores de transporte:

El factor de transporte de momentos, se define como la relación existente

entre los momentos

B. Sistema: Empotrado – Articulado

Maney:

( )

( )

Factores de transporte:

Realizando el cociente:


VIII - 5

2º. Coeficientes de Distribución:

Sabemos:

∑ ∑

∑

∑

Por equilibrio en el Nudo “i”:

∑

(6) en (5):

∑

Reemplazando:

∑

∑

∑

∑


VIII - 6

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

Como:

∑

∑

3º. Momentos por desplazamientos: Asumiendo horario positivo.

A. Sistema: Empotrado - Empotrado

Maney:

( )

( )


VIII - 7

B. Sistema: Empotrado - Empotrado

Maney:

( )

(

)

( )


VIII - 8

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

PROBLEMA Nº 01

Resolver la estructura mostrada en la figura y dibujar el DFC y DMF

SOLUCIÓN:

1000 kg/m

1 2

3 4

5

2I

4m

4m

10m

1500 kg/m

1000 kg/m

1 2

3 4

5 E

E

E

E

E

2I

2I

I

1500 kg/m

I


VIII - 9

1º. Rigidices y coeficientes de distribución

Nudo:

∑ ∑

Nudo:

∑ ∑

2º. M.E.P

1000 kg/m

1 22IM12

0M

21

0

3 42I

1500 kg/m

M34

0

M43

0


VIII - 10

3º. Proceso de distribución

1ra Iteración:

Nudo:

Nudo:

1 2

3

5

-8333

-1355

-68

-6

-9762

0

-2232

-3392

-303

-168

-24

-13

-5478

0

8333

-2709

-135

-11

5478

0 0.444 0.556

0.444 0.5560.444

4

-12500

1788

243

12

-14033

0

-4463

-1696

605

-84

48

-7

3

8333

-4463

-605

48

3

0

12500

-3575

485

24

2

-5594-38079436

0

-2232

303

24

-1905


VIII - 11

2da Iteración:

Nudo:

3ra Iteración:

Nudo:

4º. Momentos de Maney

5º. Momentos flectores:


VIII - 12

6º. Isostatización de las barras}

7º. DFC y DMF

1000 kg/m

1 2

10 m5478

4571.65428.4

9762

3 4

1500 kg/m

10 m

7040.37959.7

14033 9436

4m

2768

5478

27685594

1

2

4m

1428

3807

27681905

4

5


VIII - 13

6.524 3.476

-9762-5478

-14.033

-5478

1905

-9436

7084

4971

-3807

5478

5.306 4.693

5594

D.M.F.

5.428 4.572

5428.4

4571.6

2768

5.306 4.693

7959.7

-7040.3

1428

D.F.C.


VIII - 14

PROBLEMA Nº 02

Resolver la estructura mostrada en la figura y dibujar el DFC y DMF

SOLUCIÓN:


Nudo:

(

)

∑ ∑

Nudo:

(

)

∑ ∑

1

2 3

45

4m 6m 3m

4m8000 kg

2m

2m

6000 kg/m

1

2 3

45 E

E E

8000 kg

2m

2m

2I

2I 4I

2I

A

A

6000 kg/m


VIII - 15

2º. M.E.P

3º. Proceso de distribución

2 36m

6000 kg/m

M23

0

M32

0

4m

M25

0

M52

0

8000 kg

2m

2m

5

2


VIII - 16

1ra Distribución y Transmisión:

Nudo:

Nudo: Nó

2da Distribución y Transmisión:

Nudo:

3ra Distribución y Transmisión:

Nudo:

4º. Momentos de Maney

1

2

3

45

-7200

5779

-4723

2437

-421

217

-38

20

-4

2

-3931

-4000

2173

916

82

7

1

-821

0

3248

1370

122

11

1

4752

10800

2890

-9446

1219

-841

107

-75

10

-7

4659

0

-4244

-378

-34

-3

-4659

0.194 0.5160.290 0.690 0.3101

01

-4000

1087

1219

109

10

1

6426


VIII - 17


PROBLEMA Nº 03

Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.


VIII - 18

SOLUCIÓN:

1º. Grado de Hipergeometría: 3º GRADO (


Nudo:

∑ ∑

10 Kips

4

1

32

10’

6’

8’ 10’

10I

5I

5√2I

10 Kips

4

1

32

10I

5I

E

EE

E

5√2I


VIII - 19

Nudo:

√

√

∑

3º. M.E.P:

4º. 1er Cross de cargas:

5º. Momentos del 1er Cross:

6º. De la estática 1er Cross

A nivel -

7º. Momentos por desplazamiento:

( )

Nota:

( )

( )

R

32

0 0

10


VIII - 20

( )

√

√

(

)

(

)

( √ )

√ (

)

8º. 2do Cross de desplazamientos:

9º. Momentos de 2do Cross

4

1

2’

10’

10√2

10’

37º

ø12

53ºø

23

θ3

θ3

ø34

√2Δ

3’

θ2θ2


VIII - 21

10º. De la estática 2do Cross

∑

∑

4

1

3

300

-250

-23

27

92

300

-500

-46

-2

700

-500

-46

-2

4

-248248

183

700

-250

-23

618

8

-1000

367

15

-618

8

-1000

184

-808

0

2

2/3 1/3 ½ ½

0


VIII - 22

∑

A nivel -

11º. Momentos de cross finales

(

)

248

4

32

6

10’

10

86.6V =86.63

27

10

V =86.62

618

618

H2

86.6

1808

8

H3


VIII - 23


I: Mantiene su signo

D: Cambia su signo

PROBLEMA Nº 04


SOLUCIÓN

Reemplazando la fuerza vertical del volado por sus efectos en el nudo

4m

2m 3m

2000 kg 2000 kg

1 32

4

2m


VIII - 24

1º. Grado de Hipergeometría: (


Nudo:

(

)

∑ ∑

3º. M.E.P:


2000 kg 2000 kg

1 2

4A

6000 kg-m

EE

2000 kg

1 2

M21

0M12

0

2m 2m


VIII - 25



∑

∑

0

-1000

1563

563

1000

3125

4125

0

1875

1875

0.625 0.375-6000

1

0

0

1

2

4

2000 kg

3m 1 32

4

6000

2000 kg

2000

4m

563

4125

V =21752

1875

H 2

2175

2000

4

3

2m 2m


VIII - 26

A nivel horizontal -


( )

Nota:

( )

( )

R

2

4

H =2662.52


VIII - 27

(

)

Pitágoras:

(

)

(

)


1

2

4 4’

θ2

0

53º

53º

x

ø12

2’

θ2ø

24


VIII - 28



∑

0

-1500

219

-1281

-1500

438

-1062

800

263

1063

0.625 0.375

1

0

0

1

2

4

1 2

4

4m

12811062

V 2

1063H

2

585.75

4

3

2


VIII - 29

∑

A nivel horizontal -

11º. Momentos de Cross finales

(

)

R’

2

4

H =705.06252


VIII - 30


PROBLEMA Nº 05


SOLUCIÓN

4m 3m 4m

4m

4m

1

3

6

2

4

5

10 ton.

1

3

6

2

4

5

10 ton.

A

E

E

E A


VIII - 31


Nota:


Nudo:

(

)

∑ ∑

Nudo:

(

)

∑ ∑

Nudo:

(

)

∑ ∑

3º. M.E.P:


VIII - 32




A nivel -


( )

( )

( )

Pitágoras:

65

10 ton.R

θ =0

6’

ø

6

1

θ

ø

2

12

θ2

2’

3

4’

ø34

θ2

θ

53º

53º

25

5’x

θ =05

2

ø45

53ºr


VIII - 33

Para pequeñas deformaciones:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

m.c.m. = 800


VIII - 34



1

3

2

15/31 16/31

0

0

1

3200

-877

2323

-1500

-2323

-823

3200

-439

2761

-3200

-2761

439

16/47 15/4716/47

5

0

0

1

-3200

877

-2323

1500

2323

15/31 16/31

4

823

0

0

1

0

0

6


VIII - 35


∑

Análogamente en los tramos inferiores:

A nivel -

124m

2323

V =580.75 2

2323

580.75

4m

3m

2

H 5

580.75

27615

H =1706.5625 5

H’ =1706.5625 5

56 R’


VIII - 36


(

)



VIII - 37

PROBLEMA Nº 06


D.M.F.

6800

-8100

8100

-6800

6m 6m

3600 kg/m

3m

1m

132

4

5

9600 kg


VIII - 38

SOLUCIÓN



Nudo:

(

)

(

)

∑ ∑

Nudo:

3600 kg/mA

A

EE

E

132

4

5

2I 2I

I

I

9600 kg

1

3600 kg/m

2M21

06m

1

3600 kg/m

2M32

06m

M23

0


VIII - 39

∑ ∑

3º. M.E.P:


1

32

4

5

-10800

-3086

-926

133

-538

-3

-14727

0

-694

-40

-736

16200

-694

-40

154641

10800

-6171

-463

265

-27

15

4419

0

-4629

198

-4419

12

0

0

-2315

99

-2216

0

1

0

3/10 2/53/10 4/7 3/7


VIII - 40


VIII - 41



∑

∑

3m

736

H2

2

4

4m

4419

H3

2216

5

3


VIII - 42

A nivel - -


( )

( )

( )

R

1 3

9600 kg

2

1658.75245.333

5

θ2θ2

1’ 1 2’3

2

4

ø24

θ2

ø35

θ3

θ3

3’


VIII - 43

(

)

(

)

m.c.m. = 24000

8º. 2do Cross por desplazamientos:

1

32

4

5

0

-2572

-2171

311

-12418-8

-4546

8000

-1628

-93

6274

0

-1628

-93

-17261

0

-5143

-1086

621

-62

35

-5637

9000

-3857

465

5637

27

0

9000

-1929

233

7319

0

1 3/10 2/53/10 4/7 3/7

5-5 -4

2 2

141

0

0

0


VIII - 44

9º. Momentos DEL 2do Cross


∑

∑

3m

6274H2

2

4

4m

5637H3

73195

3


VIII - 45

A nivel - -


(

)


R’ 32392091.333


VIII - 46

PROBLEMA Nº 07


(EI=cte)

SOLUCIÓN

4000 kg

A B C

D

2m 5m 3m

4m

3000 kg

8000

4000 kg

V A E

E

A B C

D

I I

I

3000 kg

8000


VIII - 47

1º. Grado de Hipergeometría:

Sustituyendo la fuerza del volado por sus efectos en el apoyo “B”

3º GRADO (


Nudo:

(

)

∑ ∑

Nudo:

(

)

(

)

∑ ∑

3º. M.E.P:


4000 kg

2mAB

MBA

0=PL=8000


VIII - 48

5º. MOMENTOS DEL 1er CROSS:


∑

∑

A 0

-8000

-8000

8000

8000

0 1

B

0

0

-4000

1714

-2286

0

2286

2286

3/7 4/7

C

0

0

1143

1143

D

4000 kg

A B C2m 5m

2286

Vc


VIII - 49

A nivel - -

7º. momentos por desplazamiento:

V =2057.2C

C2286

H C

4m

1143

D

3m

3000 kg

A B C2m 5m

R

2400.15


VIII - 50

( )

( )

(

)

(

)

m.c.m. = 10000

A B

D

A’

øBC C

θC C’

θC

øCD

B’

53º


VIII - 51


9º. Momentos del 2do Cross

10º. DE LA ESTÁTICA 2DO CROSS

A 0

0

0

0 1

B

0

900

900

1800

-3000

-1800

3/7 4/7

C

0

-3000

600

-2400

D

1200

A B C2m 5m

1800

VC


VIII - 52

∑

∑

A nivel - -


(

)

V =360C

C

1800

H C

4m

2400

D3m

1320

A B C

R’


VIII - 53


D.M.F.

-8000

-5077.92

-5077.92

8675.33


VIII - 54

PROBLEMA Nº 08


(EI=Constante)

1

3

2

4


VIII - 55

SOLUCIÓN


Nudo:

∑ ∑

Nudo:

1

3

2

4

E

E E

E


VIII - 56

∑ ∑

2º. M.E.P:


a. Momentos del 1er Cross:

3

4 M43

0

M34

0

1

32

4

-4000

1716

163

16

2

0

2284

218

21

2

-21032103

0

-190

-18

-2

-210

-381

-37

-4

0

-380

-36

-4

0

1142

109

11

-420 420

-762

-73

-7

0

4948

882

8584000

0

0.571 0.4290.333 0.667


VIII - 57

b. Momentos flectores:

c. De la estática

1

2H2

420

210

6m

2

H2 420 H3

21033

3

44948

2103

H3


VIII - 58

∑

∑

A nivel: -


35288.75

F

105

6000

2

12

4

θ3

ø34

θ =04

1

ø

θ =01

θ2

2

θ2

3

θ3


VIII - 59

( )

( )

(

)

(

)

m.c.m.=2400


a. Momentos de Cross:


VIII - 60


c. De la estática

1

32

4

900

-386

-94

-9

-1

0

-514

-125

-12

-1

410-410

-400

110

-11

1

-278

219

21

2

-400

219

21

2

0

-257

-63

-6

-158 158

438

42

4

0

655

-5-47

-193900

0

0.571 0.4290.333 0.667


VIII - 61

∑

∑

A nivel: -

6º. Momentos flectores finales:

1

2H2

158

278

6m

2

H2 158 H3410

3

3

4

655

410 H3

3m

3

226.2572.667

F2


VIII - 62

(

)

PROBLEMA Nº 09


1

3

6

2

4

5

6m

4m

3m

20000 kg


VIII - 63

SOLUCIÓN



Nudo:

∑ ∑

Nudo:

1

3

6

2

4

5

E

E

E

E

E

E

I

I

I

I

2I

20000 kg


VIII - 64

∑ ∑

3º. M.E.P:




A nivel -


R

3 4

20000 kg


VIII - 65

( )

(

)

( )

(

)

1

3’

6

2

5

ø13

θ3

θ3

ø35

θ3

θ4

θ4

4’θ4

ø24

ø46


VIII - 66


9º. Momentos del 2do Cross

1

3

6

2

4

5

0

-128

-208

19

-7

-324

1600

-7

1385

-208

-900

-5

-1061

-156

4/11 3/114/11

0

1492

-4

-1041600

0

-255

-104

38

-4

1

1600

28

1

-191

-900

38

1

-255

4/11 4/113/11

-324-1062 1384

0

0 0

1492

19

-1281600

1

-900

141

-981

-96-900

-3

-981

-78


VIII - 67


3

5

H

1492

1384

3

3m

1

1062

4m

H’3

981

3

H

1492

1385

4

3m

6

4

2

1061

4m

H’4

981

4


VIII - 68

A nivel - :


(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

R’959

510.5

3 4

958.667

510.75


VIII - 69


-2198.47

10154.88

-9422.05

D.M.F.

-7223.58

6673.96 6673.92

2198.47

-9422

-7223.53

10154.83


VIII - 70

PROBLEMA Nº 10


SOLUCIÓN


Nudo:

(

)

∑ ∑

Nudo:

1

3

2

2000 kg

8000 kg/m

6m 4m

3m

1

3

2

2000 kg

8000 kg/mA E

E

I

8I


VIII - 71

(

)

∑ ∑

Nudo:

∑ ∑

2º. M.E.P:


a. Momentos del 1er Cross:

12

8000 kg/m

6m M21

0

M12

0


VIII - 72


c. De la estática

1

3

0

1

36000

-29988

6012

0

-6012

-6012

2

0.833 0.167

0

-3006

-3006

12

8000 kg/m

6m6012

V2

H2

3006

V2

H26012

2

3

4 3


VIII - 73

∑

∑

A nivel: -


De Maney:

1 2

F H =363422

2000

1

3

2

ø23

θ1

ø12

θ2

θ2

θ =03


VIII - 74

Para momentos por desplazamiento básicamente:

( )

( )

Entonces:

( )

( )

(

)

(

)

m.c.m.=4500


a. Momentos de Cross:

1

3

0

1

-4000

1833

-2167

1800

367

2167

2

0.833 0.167

1800

184

1984


VIII - 75


c. De la estática

∑

∑

126m

2167

V2

H2

1984

V2

H2

2167

2

3

4 3


VIII - 76

A nivel: -

6º. Momentos flectores finales:

(

)

PROBLEMA Nº 11

Calcular:

- Los momentos flectores en los extremos de los elementos.

- Dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores.

1 2

F’ H =1865.2232


VIII - 77

SOLUCIÓN

1º. Grado de Hipergeometría: 3º (


Nudo: B

∑

Nudo: C

∑

A

B

C

D

4m 4m 2m

2m

3m

4 ton.


VIII - 78

3º. M.E.P:


5º. Cálculo de (Estática)

B H

BV

B H

BV

4000

C H

CV

R

C H

CV


VIII - 79

6º. Deformaciones:

7º. Momentos de deslizamiento:

8º. Segundo Cross de Desplazamiento:


VIII - 80

9º. De la estática:

A

B

C

D

590

-129

208

-30

13

-2

5/94/9

1

-930

261

17

1

651 -651

64/10945/109

590

-258

104

-61

6

-4

377

-150

-182

-43

-2

-377

-930

8

-792

130

-150

-22

-264

-91

-1

B H

BV

370

C H

CV

B H

BV

264

377

601

C H

CV

651

792


VIII - 81

10º. Momentos finales:

11º. Diagrama fuerza cortante y momento flector:

D.F.C.


VIII - 82

-620

885885 -1529

-1529

1860

D.M.F.

capítulo viii

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