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“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian.

CAPÍTULO V

CONDENSADORES Y DIELECRICOS

5.1. Definición de capacidad o capacitancia

Si dos conductores aislados se conectan a una fem como se muestra en la Fig., se produce una

diferencia de potencial entre ellos; para producir esta diferencia de potencial se requiere llevar

carga de un conductor al otro y por consiguiente realizar un trabajo, el cual es hecho por la

fem. Todo el sistema tiene una carga neta cero ya que los conductores tienen igual carga pero

signo contrario. La carga que tienen los conductores depende de la fem que los conecta y de

otros factores tales como la distancia entre ellos, su tamaño y su forma geométrica. Es decir,

que si todos estos factores permanecen constantes excepto la fem, entonces la carga es

directamente proporcional a la diferencia de potencial producida por la fem entre los

conductores, esto es:

VCq = (5.1)

donde q es la magnitud de la carga en cada uno de los conductores, V es el potencial entre ellos

y C es la constante de proporcionalidad que se define como la capacitancia; este hecho lo

podemos comprobar experimentalmente. El arreglo de los conductores que se muestra en la

siguiente figura se conoce como condensador.

La Ec. (5.1) define la capacidad o capacitancia de un condensador. Por otro lado, cuando se

habla de carga en un condensador, se hace referencia a la carga en la placa positiva y no a la

carga neta del condensador que es cero.

90

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. Los condensadores se representan esquemáticamente por el símbolo -----| |-----; la unidad de

la capacitancia es el farad en honor de Michael Faraday; entonces, un condensador tiene una

capacitancia de 1[Farad] =1[F] cuando la carga es de 1[C] y su diferencia de potencial es de

1[V], de modo que:

1 [F] = 1 [C/V]

debido a que las dimensiones geométricas de un condensador para que su capacitancia sea de

un farad, son demasiado grandes, es conveniente usar submúltiplos del farad, tales como:

1 [microfarad] = ][10][1 6 FF −=μ

1 [PicoFarad] = ][10][1][1 12 FFPF −== μμ

ya que la carga de un condensador dado, está en función únicamente del voltaje que se le

aplica, tiene que haber un límite máximo en el voltaje, ya que de no ser así, se generaría tanta

carga en los conductores que se produce un chispazo entre ellos, que comúnmente se conoce

por cortocircuito. Los condensadores nos pueden generar campos eléctricos uniformes, que se

utilizan para acelerar o desviar partículas cargadas, también dado que se pueden obtener

campos eléctricos al cargar un condensador, entonces este último nos puede servir para

almacenar energía eléctrica.

5.2. Condensador de placas paralelas

Uno de los condensadores que dado lo simple de su geometría, es muy fácil analizar, es el

condensador de placas paralelas que se muestra en la Fig.. Este consiste en un par de placas

paralelas de área “A” y separadas una distancia “d”; para despreciar las deformaciones de las

líneas de campo eléctrico en los bordes de las placas consideramos que “d” es muy pequeña

comparada con las dimensiones de “A”, obteniendo un campo uniforme entre las placas. Al

aplicar una diferencia de potencial a las placas, aparecerá una carga + q en un placa y una

carga - q en la otra. Como existe una atracción entre las cargas, éstas aparecen en la cara

interior de las placas obteniéndose entonces, un campo uniforme entre ellas.

91


Para calcular la capacidad del condensador de placas paralelas se aplica la Ley de Gauss, para

obtener el campo eléctrico entre las placas se utiliza una superficie gaussiana de forma

cilíndrica, una de las tapas del cilindro quedaría dentro de la placa y la otra entre las placas

como se muestra en la figura anterior, donde vemos que el flujo eléctrico en la tapa superior

del cilindro como en su superficie lateral es cero, en la primera porque dentro de la placa

conductora no existe campo y en la superficie lateral porque el sdr hace un ángulo de 90° con

el campo eléctrico entre las placas; en la tapa inferior del cilindro que está entre las placas el

flujo no es cero, ya que el campo es paralelo a la dirección del vector área, esto es:

∫∫ =⋅=Φ AEsdEErr

y:

0/εqsdE =⋅∫∫rr

entonces:

AEq 0ε= (5.2)

como la capacitancia está definida en términos de carga y potencial, debemos expresar el

campo eléctrico en función del potencial. Esto se puede hacer considerando que el trabajo

necesario para llevar una carga prueba de la placa negativa a la placa positiva es:

VqW 0=

o a partir del producto de la fuerza que hay que ejercer sobre la del carga prueba, por la

distancia d, es decir:

Eq0

dEqW )( 0=

92

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. igualando ambas expresiones y despejando V se tiene:

dEV = (5.3)

Sustituyendo las ecuaciones (5.2) y (5.3) en la Ec. (5.1) se obtiene que:

dA

dEAE

VqC 00 εε

=== (5.4)

donde C es la capacidad del condensador de placas paralelas; y se puede observar que la

capacidad depende únicamente de la geometría del condensador, esto es, si se mantiene

constante el potencial entre las placas y se aumenta el área A, se incrementa la carga y por

consiguiente la capacidad. Si mantenemos constante la carga y se incrementa la distancia d

entre las placas, la diferencia de potencial aumenta y por consiguiente disminuye la capacidad.

5.3. Dieléctricos en condensadores

En la práctica la mayoría de los condensadores tienen material dieléctrico con el fin de que su

capacidad de almacenamiento de carga aumente y por consiguiente la capacitancia del

condensador.

Uno de los experimentos realizados por Faraday con condensadores consiste este aplica la

misma diferencia de potencial a dos condensadores de placas paralelas de iguales dimensiones,

geométricos uno al vacío y otro con un dieléctrico (plástico, porcelana, papel, etc.) que llene

completamente la región entre las placas, y encontró que el condensador con dieléctrico

almacena más carga que el condensador al vacío; si se realiza un experimento similar, pero en

vez de aplicar el mismo potencial, proporcionando cargas iguales a cada condensador por

separado y se les conecta a voltímetros de alta precisión tal como como se muestra en la Fig.,

se puede ver que el voltímetro conectado al condensado al vacío marca un voltaje mayor V0

93

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. que el voltaje Vd del condensador con dieléctrico. A partir de la ecuación (5.1) si se considera

que las cargas son iguales, se tiene la siguiente relación:

dVV

CC 0

0

=

Esta relación se define como la constante dieléctrica k, entonces:

0CCk ≡ (5.5)

Esto permite concluir que la capacidad de un condensador de placas paralelas con un

dieléctrico que lo llene completamente es:

dAkCkC 0

0ε

== (5.6)

la constante dieléctrica en el vacío es igual a la unidad.

5.4. Conexión de condensador en serie y en paralelo

En el capítulo anterior se consideró cómo simplificar arreglos de resistencias mediante

combinaciones equivalentes en serie y en paralelo. En esta sección se estudiará cómo

simplificar arreglos de condensadores mediante combinaciones en serie y paralelo para obtener

capacidades equivalentes.

94

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. En la siguiente Fig. se tienen tres condensadores con capacitancias y , en paralelo,

conectados a una fuente fem con voltaje V

21,CC 3C

0.

En la figura anterior, se observa que la diferencia de potencial es la misma para cada uno de

los condensadores y utilizando la ecuación (5.1) se tiene que la carga en cada uno de los

condensadores es:

011 VCq = 022 VCq = 033 VCq =

Un condensador equivalente es aquel que al mismo voltaje almacena igual cantidad de

carga que la del arreglo al cual sustituye; la carga total o equivalente para una combinación de

condensadores en paralelo es la suma de la carga de cada uno, esto es:

eC

321 qqqqe ++=

Según la Ec. (5.1):

0VCq ee =

Sustituyendo el valor de la carga equivalente se tiene:

0321 VCqqq e=++

de la Ec. (5.1) vemos que:

0030201 VCVCVCVC e=++

Para un arreglo de N condensadores en paralelo siguiendo el mismo procedimiento se obtiene:

∑=

=n

iie CC

1 (5.7)

95

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. Para un arreglo de condensadores en serie conectadas a una fuente fem con voltaje V0, como se

muestra en la Fig. podemos calcular la capacitancia equivalente utilizando la segunda Ley de

Kirchhoff (teorema de la trayectoria) la suma de la caída de voltaje en cada uno de los

condensadores es igual al voltaje de la fem, esto es:

3210 VVVV ++= (5.8)

De la Ec. (5.1) se tiene que:

1

11 C

qV = 2

22 C

qV = 3

33 C

qV =

recurriendo al principio de la conservación de la carga se observa que en el circuito de la Fig.

la carga de la placa negativa de C1, es de la misma magnitud que la carga de la placa positiva

de C3, y por inducción eléctrica se concluye que la carga en cada condensador es la misma; así

como la carga del condensador equivalente, esto es:

Condensadores en serie.

y combinando las Ecs. (5.1) y (5.8) se tiene que:

3

3

2

2

1

1

Cq

Cq

Cq

Cq

e

e ++=

y como todas las cargas son iguales, entonces:

321

1111CCCCe

++=

96


Para un arreglo de N condensadores en serie siguiendo el mismo método se obtiene:

∑=

=n

i ie CC 1

11 (5.9)

La capacitancia equivalente de un arreglo en serie será menor que cualquiera de las

capacitancias que forman el arreglo, así como en un arreglo de capacitancias en paralelo la

capacitancia equivalente, siempre será mayor que cualquiera de las capacitancias del arreglo.

5.5. Energía almacenada por un condensador

En la sección 5.1 al conectar los conductores a la fuente fem, ésta realiza un trabajo al llevar

carga de un conductor a otro; sí se desea llevar un diferencial de carga dq de un conductor a

otro, entonces la fuente tiene que realizar un diferencial de trabajo , es decir: dW

dqVdW =

de la Ec. (5.1) se tiene:

dqCqdW =

la cantidad de trabajo que tiene que realizar la fuente para llevar una carga total q y la carga

inicial de los conductores es cero, entonces:

Cqdq

CqdWW

q

2

2

0

=== ∫ ∫ (5.10)

esta ecuación también se puede escribir en función de la diferencia de potencial entre los

conductores a partir de la Ec. 5.1, esto es: 2

21 VCW = (5.11)

97

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. al realizar la fuente el trabajo de llevar carga de un conductor a otro se establece un campo

eléctrico entre éstos y por consiguiente se almacena energía potencial eléctrica que es

equivalente al trabajo realizado por la fuente.

221

2

21 VC

CqUW EE ==≡ (5.12)

Lo más razonable es que esta energía esté almacenada en el campo eléctrico y por consiguiente

es necesario introducir el concepto de densidad de energía del campo eléctrico y para obtenerla

en forma sencilla se considera un condensador de placas paralelas despreciando las

distorsiones del campo-en los bordes de las placas, es decir, que el campo eléctrico es

uniforme y constante entre las placas. La densidad de energía se define como la energía

potencial eléctrica entre el volumen, esto es:

dAVC

dAWu E

E

221

==

donde ( ) es el volumen entre las placas del condensador y sustituyendo la capacitancia del

condensador de placas paralelas:

dA

dAC 0ε=

en la expresión anterior se tiene: 2

021 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dVuE ε

donde V/d es la intensidad del campo eléctrico de la Ec. (3.2), de tal forma que la densidad de

energía eléctrica se expresa como: Eu2

021 EuE ε= (5.13)

aunque esta expresión se derivó para un condensador de placas paralelas, es una ecuación

general que se aplica en cualquier caso; es decir que en cualquier región del espacio en el

98

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. vacío, hay una cantidad de energía almacenada por unidad de volumen cuando existe un

campo eléctrico E en esa región.

Para regiones con dieléctricos la densidad de energía eléctrica se expresa por:

2

021 EKuE ε= (5.14)

A partir de la Ec. (5.6).

Comentario:

En general la densidad de energía eléctrica se define como

υddWu E

E =

De donde se desprende que la energía eléctrica (energía eléctrica por unida de

volumen

Eu EW

υ ) queda determinada a través de la siguiente ecuación

∫∫∫= υduW EE

Si ocurre que es constante, entonces se obtiene Eu υEE uW =

5.6. Circuitos RC

Hasta ahora hemos estudiado circuitos con corrientes estables, es decir, corrientes que no

cambian con el tiempo, en esta sección vamos a estudiar circuitos simples que tengan

resistencias y condensadores para obtener corrientes variables en el tiempo. En la Fig. un

condensador y una resistencia están conectados en serie a una fuente fem ε . Si inicialmente el

interruptor está abierto la carga en el condensador es cero, es decir, que no existe ningún

voltaje en el condensador.

99


Al pasar el interruptor al punto a, fluye una carga en el sentido de las manecillas del reloj, de

tal forma que el condensador se empieza a cargar produciéndose una diferencia de potencial en

el condensador que tiende a ser de igual magnitud al de la fuente a medida que el tiempo

transcurre y el flujo de carga tiende a cero. Usando el teorema de la trayectoria podemos

obtener una expresión de cómo varía la diferencia de potencial del condensador en función del

tiempo, siguiendo una trayectoria en la dirección de las manecillas del reloj tenemos que:

0=−− cVIRε (5.15 a)

donde el voltaje lo podemos expresar en función de la carga y la corriente de acuerdo a las

ecuaciones (4.2) y (5.1) entonces, la Ec. (5.15 a), la podemos expresar como:

0=−+ εcq

dtdqR (5.15 b)

que es una ecuación diferencial de primer orden, la cual podemos resolver tomando como

condiciones del circuito RC que para t = 0, q = 0 y para un tiempo t en el que el interruptor está

en la posición "a", el condensador adquiere una carga q. Resolviendo la Ec. (5.15) b:

dtRC

qCdq −=ε

de donde:

dtRCqC

dq 1=

−ε

integrando:

100


∫∫ =−

dtRCqC

dqa 1

0 ε

se obtiene que:

]t

a tRC

qCLn0

01)( ⎥⎦

⎤−=−ε

evaluando y despejando q se obtiene la expresión que nos da la carga almacenada en el

condensador en un tiempo t, esto es:

)1( RCtecq −−= ε (5.16)

al analizar la ecuación (5.16) se ve que para un tiempo t = 0, o sea antes de conectar el

interruptor en el punto de la figura anterior, la carga en el condensador es cero, si el

interruptor permanece indefinidamente conectado, entonces

a

∞→t y la carga almacenada

tiende a Cε ; en la Fig. siguiente (a), se puede ver la variación de la carga con respecto al

tiempo que es la representación gráfica de la Ec. anterior. Si deseamos obtener la razón de

flujo de carga por unidad de tiempo o corriente que circula en el circuito, si se deriva (5.16)

con respecto al tiempo se obtiene:

RCteRdt

dqI −==ε (5.17)

101

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. Se observa en Ec. (5.17) que la máxima corriente se obtiene en el preciso momento en el cual

el circuito RC se conecta a la fuente fem o sea para t = 0, RI / ε= .

Si el interruptor permanece por un largo tiempo en esa posición, es decir, que entonces,

que lo podemos ver al graficar la ecuación (5.17), Fig. b.

∞→t

0→I

El producto RC que se encuentra en el exponente de las ecuaciones (5.16) y (5.17) tiene

unidades de tiempo ya que el exponente no debe tener unidades, este producto RC se conoce

como constante de tiempo capacitiva (comúnmente se representa por cτ ), y nos determina la

razón con la cual el condensador se carga.

Si el interruptor ha permanecido por un largo periodo de tiempo ( ct τ>> ) conectado en el

punto a y se cambia al punto b. entonces, tendríamos que en el circuito RC el condensador

actúa como fuente corriente circula en la dirección opuesta a las manecillas de] reloj; cando el

teorema de la trayectoria, tenemos que:

0=+ IRCq

con la Ec. 4.2 tenemos:

RCq

dtdq

−=

Integrando la Ec. 5.18 b y considerando que para t = 0 el condensador almacena una carga Cε

y para un tiempo t la carga es q obtenemos que:

RCteCq −= ε

donde podemos ver que si el interruptor permanece indefinidamente conectado la carga en el

condensador tiende a cero, así como también se comprueba que para un tiempo cero la carga

102

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. inicial en el condensador es Cε (Fig. a). Si se desea saber el voltaje de la fuente se divide la

carga entre la capacitancia.

La corriente en el circuito se puede obtener al derivar la Ec. 5.19 con respecto al tiempo esto

es:

RCteRdt

dqI −−==ε

de esta ecuación observamos que la máxima corriente la tenemos para t = 0 y es R/ε− ; para t

>> RC la corriente tiende a cero como lo podemos apreciar en la gráfica de la Fig. b.

Problemas resueltos

Problema 5.1

Calcule el radio de un cascarón esférico para que tenga la capacidad de 1 Farad.

Solución:

de la ecuación (5.1) se tiene:

103


VqC /=

dado que

∫∞

⋅−=r

rdEV rr

como el campo es 204

1rqE

πε= , sustituyendo e integrando, se encuentra

:

rqV

04 επ=

Luego: rVqC 04 επ== =1[F]

y despejando:

9

0

1094

1×==

επr [m].

El resultado anterior muestra que el farad es una unidad extremadamente grande y por

consiguiente en la práctica es necesario usar submúltiplos.

Problema 5.2

Determine la capacidad de un condensador de caras o placas paralelas.

Solución:

Según la definición de capacidad VqC =

En esta caso y EdV = AqE00 εε

σ== , entonces

104


AdqEdV

0ε==

Reemplazando del valor del potencial en la ecuación de la capacidad, se encuentra

dA

Adq

qVqC 0

0

ε

ε

===

Luego

dA

C 0ε=

Problema 5.3

Determine la capacidad de un condensador esférico.

Solución:

Un condensador esférico está formado por dos cascarones esféricos metálicos concéntricos de

radios: el interior y cargado con a q+ , y radio el exterior cargado con . b q−

Utilizando la expresión

VqC =

la diferencia de potencial entre los cascarones a partir de

∫−=a

bba EdrV

Dado que es campo entre los cascarones esféricos es 204

1rqE

πε= , se tiene

105


∫−=a

bba r

drqV 204πε

Integrando, se encuentra:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

baqVba

114 0επ

Sustituyendo en la ecuación para la capacidad, se obtiene

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==

baq

qVqCba 11

4 0επ

luego

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

ababC 04 επ

Problema 5.4

Un condensador cilíndrico consiste en dos cascarones cilíndricos coaxiales de radios a y b

respectivamente y longitud l (Fig.), calcular su capacitancia despreciando las irregularidades

en los extremos.

106

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. Solución:

De (5.1): VqC /=

de (3.3) para el potencial tenemos que:

∫ ⋅−=b

a

ldEVrr

donde E entre los cascarones se puede obtener mediante la Ley de Gauss; esto es:

0εqsdE =⋅∫∫

rr

entonces:

0/)2( επ qlrE =

y

lrqE

02 επ=

Sustituyendo en la Ec. (3.3) para obtener el potencial:

lrdrqrdEldEV

b

a

b

a

b

a ∫ ∫∫ =⋅+=⋅−=02 επ

rrrr

integrando y evaluando:

]abLn

lqrLn

lqV b

a00 22 επεπ

==

Sustituyendo en la Ec. (5.1) para obtener la capacitancia:

abLnl

VqC 02 επ==

107

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. Problema 5.5

Calcular la capacitancia equivalente del arreglo de condensadores de la Fig. a, donde

y FC μ11 = , FC μ42 = , FC μ13 = , FC μ34 = , FC μ15 = y FC μ2/36 = .

Solución:

De la parte a) de la figura vemos que los condensadores encerrados en el lazo están en

paralelo, entonces de la Ec. (5.7), la capacitancia equivalente de estos es:

FFFCCCe μμμ 413541 =+=+=

A su vez ésta está en serie con la capacitancia de Fμ4 como se muestra en la parte b);

entonces aplicamos la Ec. (5.9) y obtenemos que:

108


.22

14

24

14

11112

212

FCFFFFCCC e

ee

μμμμμ

=⇒==+=+=

En la parte c) vemos que Ce2, está en paralelo con C3, encerramos ambos en el lazo, entonces:

FCCC ee μ3323 =+=

Por último, en la parte d) vemos que los tres condensadores están en serie, entonces:

FFCCCC ee μμ 12

361111

613

==++=

de dónde:

].[21 FCe μ=

Problema 5.6

En un condensador de placas paralelas se colocan 3 materiales dieléctricos distintos como

se muestra en la Fig. a. Calcule la capacitancia de este condensador.

Solución:

Un arreglo lógico equivalente de este condensador es el mostrado en la parte b de la figura; de

la Ec. (5.6) tenemos que

dAk

C 011

ε=

dAk

C 022

ε=

dAk

dAk

C 03033

2)2/(

εε==

como C1 y C2 están en paralelo la combinación de éstos es su suma; entonces:

)( 210

21)2,1( kkdA

CCCe +=+=ε

109


y éste a su vez está en serie con C3, entonces Ce, la capacitancia equivalente, está dada por:

Akd

kkAd

CCC ee 032103)2,1( 2)(111

εε+

+=+=

de donde resulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=321

2130

2)(2

kkkkkk

dA

Ceε

Problema 5.7

Un condensador de caras paralelas tiene una separación d y una sección de área . Un trozo

metálico descargado de espesor se introduce en la parte media entre las placas. Determine la

capacidad del sistema

A

a

110

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - -

Trozo metálico d a

2/)( ad −

2/)( ad −


Solución:

El sistema de la figura anterior es equivalente a dos condensadores conectados en serie, cada

uno con separación de 2/).( ad −

C1

C2

2/)( ad −

2/)( ad −

Dado que los condensadores están en serie, se tiene que la capacidad equivalente es:

21

111CCCE

+=

Utilizando el resultado del problema 5.2. se tiene:

2/)(0

1 adA

C−

=ε

y 2/)(

02 ad

AC

−=

ε 21 CC =⇒

Entonces

⇒=+=111

2111CCCCE

)(2/ 0

1 adA

CCE −≡=

ε

111

“Tópicos de Electricidad y Magnetismo” J.Pozo y R.M. Chorbadjian. Problema 5.8

Considere un condensador de placas paralelas con una separación , que tiene una capacidad d

dAC /00 ε= cuando se encuentra sin dieléctrico. Determine la capacidad cuando se introduce

un material dieléctrico de constante dieléctrica K y espesor entre las placas. 3/d

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - -

K d

3/d

3/2d

Solución:

El sistema de la figura anterior es equivalente a dos condensadores conectados en serie, uno al

vació , con una separación de , y el otro (el inferior) con dieléctrico, y con una

separación de

1C 3/2d 2C

3/d

Dado que los condensadores están en serie, se tiene que la capacidad equivalente es:

21

111CCCE

+=

Utilizando el resultado del problema 5.2. se tiene:

3/20

1 dA

Cε

= y 3/

02 d

AKCε

=

Entonces

112


AKd

Ad

dA

Kd

ACE 0000 332

3/

1

3/2

11εεεε

+=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=A

dK

KCE 0

21311

ε

Luego

00

213

213 C

KK

dA

KKCE ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=ε

Problema 5.9

La diferencia de potencial entre dos cascarones esféricos metálicos concéntricos de radios a

= 1 [m] y b = 2 [m] es de 9000 [V]. Calcule la energía electrostática almacenada en el espacio

que existe entre los cascarones.

Solución:

Sabiendo que la diferencia de potencial entre las esferas (ver problema 5.3) es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

baqV 11

4 0επ

despejando q:

Vababq)(

)(4 0

−=

επ

sustituyendo valores se tiene: 6102 −×=q [C]

de la Ley de Gauss:

113


0εqsdE =⋅∫∫

rr

se obtiene que el campo entre las dos esferas:

204 r

qEεπ

=

de la Ec. (5.13), la densidad de energía es:

40

2

2

32 rquE επ

=

La energía total se obtiene integrando el producto de la densidad de energía por el

diferencial de volumen esférico entre las esferas, esto es:

EW

∫∫∫= υduW EE

donde φθθυ ddsendrrd 2=

En este caso, dado que sólo depende de Eu r , se tiene que:

drrd 24πυ =

luego

drrr

qduWb

aEE ∫∫∫∫ == 24

02

2

432

πεπ

υ

integrando y evaluando

drr

qWb

aE ∫= 20

2

8 επ

sustituyendo valores: 3109 −×=EW [J].

114

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