capítulo introductorio de ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias

Cristian j. P. Castillo U.

ÍNDICE GENERAL

PRESENTACIÓN 1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4

1.1 Definición de ecuación diferencial 5

1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales 5

1.2.1 Clasificación según su tipo 6

1.2.2 Clasificación según su orden 6

1.2.3 Clasificación según su linealidad o no 7

1.3 Solución de una ecuación diferencial 8

1.4 Problema de valor inicial 11

1.5 Modelos matemáticos 13

ÍNDICE GENERAL

Cristian Castillo

CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 15

2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables 16

2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas 21

2.2.1 Funciones homogéneas 21

2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23

2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 28

2.4 Factores integrantes 35

2.5 Ecuación diferencial lineal 42

2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli 48

CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 53

3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior 54

3.1.1 Principio de superposición 54

3.1.2 Dependencia e independencia lineal 54

3.1.3 Wronskiano 55

3.1.4 Ecuación diferencial homogénea 56

3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea 57

3.2 Reducción de orden 58

3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes 63

3.3.1 Ecuaciones de segundo orden 64

3.3.2 Ecuaciones de orden superior 69

3.4 Método de coeficientes indeterminados 75

3.4.1 Enfoque de superposición 76

3.4.2 Enfoque anulador 89

ÍNDICE GENERAL

Cristian Castillo

3.4.2.1 Operadores diferenciales 89

3.4.2.2 Coeficientes indeterminados 93

3.5 Método de variación de parámetros 100

3.5.1 Ecuaciones de segundo orden 101

3.5.2 Ecuaciones de orden superior 108

3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler 112

3.6.1 Ecuaciones homogéneas 113

3.6.2 Ecuaciones no homogéneas 120

CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES 124

4.1 Trayectorias ortogonales 125

4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial 128

4.3 Ley de Newton del enfriamiento 134

4.4 Mezclas 137

4.5 Circuitos eléctricos en serie 140

4.5.1 Circuitos RL 140

4.5.2 Circuitos RC 143

4.6 Absorción de drogas en órganos o células 146

4.7 Crecimiento logístico 151

APÉNDICE I. Números complejos 155

APÉNDICE II. Tabla de derivadas 161

APÉNDICE III. Tabla de integrales 163

BIBLIOGRAFÍA 175

PRESENTACIÓN

En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan

modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de

ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general,

pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una

función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación

diferencial.

La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los

matemáticos Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli resolvieron las primeras

PRESENTACIÓN

Cristian Castillo 2

ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y

Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y

Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial,

así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial.

Estos primeros descubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones

nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la

resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en

problemas de modelado.

Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han

convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de

estudio de cualquier carrera de ingeniería a nivel mundial. Es por ello que la

asignatura Matemática IV (0082824 – 0322144) que cursan las carreras de ingeniería

y afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecuaciones

diferenciales, las técnicas como resolverlas y modelos matemáticos que las incluyen.

Este módulo de Matemática IV (0082824 – 0322144) que se presenta, se

ajusta en su totalidad a las unidades 1 y 2 de su programa vigente, tanto en el orden

en que son presentados los objetivos como en la profundidad con que son tratados. En

él, se ha querido exponer todos los temas de este material en una forma muy clara y

sencilla, de manera que el lector pueda comprenderlos en forma inmediata. Además

no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lugar de

ello se ha preferido crear un material haciendo hincapié en la parte práctica, para lo

PRESENTACIÓN

Cristian Castillo 3

cual se han incluido una gran cantidad de ejercicios resueltos y además se han

propuesto una serie de ejercicios con respuestas al finalizar cada tema.

Por lo tanto este módulo se ha estructurado 4 capítulos, en los cuales se

estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias incluyendo teoremas y técnicas para

la resolución de las mismas.

El capítulo 1, es una introducción al mundo de las ecuaciones diferenciales,

donde se darán definiciones, conceptos y teoremas sobre estas ecuaciones, además de

incluir los problemas de valor inicial e introducir la definición de los modelos

matemáticos y como formularlos.

En el capítulo 2, se desarrollan una serie de técnicas y procedimientos para

resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

En el capítulo 3, se presentan primero unas definiciones necesarias para el

estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior, para luego desarrollar técnicas

que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ya

sean homogéneas o no y por último se presenta las ecuaciones diferenciales de

Cauchy-Euler y cómo resolverlas.

En el capítulo 4, se presentan una serie de problemas de aplicación que se

pueden resolver mediante modelos matemáticos que incluyan ecuaciones

diferenciales utilizando las técnicas que presentadas en los capítulos anteriores.

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Este capítulo es un preámbulo a todo el mundo de las ecuaciones diferenciales

ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo

de ecuaciones, así como también una breve introducción a como enunciar un modelo

matemático a partir de un problema de la vida real.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Cristian Castillo 5

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una

función desconocida con respecto a una o más variables independientes.

Por ejemplo la ecuación dx

kxdt

es una ecuación diferencial, que por cierto

representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo.

Así mismo, la ecuación 4

4

d yEI w x

dx , es una ecuación diferencial que

modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría.

Por último, la ecuación 2 2 2

2 2 24 , ,

u u ux y z

x y z

, también es una

ecuación diferencial, llamada ecuación de Poisson, la cual satisface, por ejemplo, el

potencial del campo electrostático.

Como se ve, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se

hace necesario realizar una clasificación de ellas. A continuación se presentarán

diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales.

1.2 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su tipo, orden o

linealidad.


Cristian Castillo 6

1.2.1 Clasificación según el tipo

Cuando una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una

función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas

ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por

ejemplo:

cosdy

y y xy x yxdx

En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una función

desconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación

diferencial en derivadas parciales, por ejemplo:

2 2

2 20

z z

x y

Cabe destacar que en este módulo está basado solo en el estudio de ecuaciones

diferenciales ordinarias.

1.2.2 Clasificación según su orden.

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que

tiene la ecuación, por ejemplo:

22

2

dy d yx

dx dx , es de segundo orden


Cristian Castillo 7

0y y , es de tercer orden

4 3

3tan

dy d yx

dx dx

, es de tercer orden

De este último ejemplo, cabe destacar que es importante no confundir el orden

con el grado (potencia del término).

1.2.3 Clasificación según su linealidad o no.

Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:

1

1 2 1 0

n n

n na x y a x y a x y a x y a x y g x

Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones:

a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es

decir, de potencia 1.

b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo

de la variable independiente.

En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la

ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo:

2 1y xy x , es lineal

2 1y y y x , es no lineal, ya que el coeficiente de y depende de y


Cristian Castillo 8

4

4cos 0

d y dyx y

dx dx , es lineal

3

2

30

d y dyx y

dx dx , no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado.

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Toda función que al sustituirla en la ecuación diferencial, cumple con la

igualdad, es considerada como una solución de ella. Por lo tanto, se puede decir que

2xy e es solución de ecuación 2 0y y , ya que, como 2xy e , entonces

22 xy e , por lo tanto al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:

2 22 0 2 2 0 0 0x xy y e e

Por lo tanto podemos definir como solución de una ecuación diferencial a

toda función que satisface a la ecuación, es decir que al sustituirla la reduce a una

identidad.

Existen varias formas de clasificar las soluciones de las ecuaciones

diferenciales, una de ellas es en explícitas e implícitas.

Una solución explícita, es aquella que se puede escribir de la forma y f x

, es decir que la solución este expresada solo en función de la variable independiente

y constantes. Por ejemplo 2xy e es una solución explícita de la ecuación


Cristian Castillo 9

2 0y y . Un tipo solución explícita es la solución trivial o nula y es aquella que

tiene la forma 0y .

Ahora, una solución implícita, es la que tiene la forma ,f x y C , es decir,

toda solución que involucre tanto a la variable dependiente como a la independiente.

Por ejemplo 3 34 1y x , es una solución explícita la ecuación diferencial

3 21 0x dy x ydx .

Otra manera de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales es en

generales, particulares y singulares.

Una solución o relación que satisfaga a una ecuación diferencial y además

involucre en su estructura una o más constantes arbitrarias, se denomina solución

general. Cabe destacar, que una ecuación diferencial de orden n, tendrá una solución

general compuesta por n funciones multiplicadas por n constantes arbitrarias. Por

ejemplo 1 2cos siny x C x C x es solución general de la ecuación diferencial

0y y . Geométricamente, una solución general de la forma ,y C x ,

representa una familia de curva en el plano xy. Estas curvas se llaman curvas

integrales.

En la figura 1.1, se muestran las curvas integrales de la solución general

2y x C .


Cristian Castillo 10

Figura 1.1

Ahora bien, una solución particular, es la que no está en función de

constantes arbitrarias, y esto se logra particularizando las constantes de la solución

general, a partir de unas condiciones iniciales que presenta el problema. Por ejemplo

la función 2cos 3siny x x x , es una solución particular de 0y y . Más

adelante veremos que una solución particular es la que se obtiene de un problema de

valor inicial.

Por último una solución singular, es aquella que no se obtener a partir de la

solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la función 22y Cx C es

la solución general de la ecuación 2

2y Cy y , sin embargo la función

2 8 0x y también es solución de la ecuación diferencial ya que la satisface, por lo

tanto ésta es una solución singular, ya que es imposible obtenerla a partir de la

solución general.

x

y

-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

-3

-2

-1

0

1

2

3



1.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es toda ecuación diferencial que se encuentra

acompañada por unas condiciones iniciales. Es importante destacar que en un

problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser

igual al orden de la ecuación diferencial, es decir, una ecuación diferencial de tercer

orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, una ecuación diferencial

de orden n, debe estar sujeta a n condiciones iniciales, es decir:

1, , , , , 0n nF x y y y y y sujeta a

1

0 0 0 1 0 1, , ,n

ny x y y x y y x y

Cabe destacar, que la solución de un problema de valor inicial siempre genera

una solución del tipo particular.

Ahora bien, cuando se considera un problema de valor inicial, surgen las

siguientes preguntas:

¿El problema tiene solución?

De existir solución, ¿es ésta la única solución del problema?

La respuesta a estas interrogantes viene dada en el siguiente teorema.

Teorema de existencia y unicidad. Sea R una región rectangular en el plano xy,

definida por ,a x b c y d , que contiene al punto 0 0,x y en su interior.



,o ox y

x

y

c

d

a b

R

I

Si f y df

dy son continuas en R, entonces existe un intervalo abierto I, con centro 0x

contenido en ,a b y una única función y x , que satisface el problema de valor

inicial ,y f x y , sujeta a 0 0y x y ,

Para toda x de I. (ver figura 1.2)

Figura 1.2

A continuación se presentarán unos ejemplos para aclarar el teorema anterior.

Ejemplo1. Demuestre que el problema de valor inicial 3y x y sujeta a 1 2y ,

tiene solución única.

De acuerdo al teorema de existencia y unicidad, primero se comprobará que

cumple con la hipótesis. Como 3,f x y x y , y 23

dfy

dy , ambas son continuas

en todo rectángulo R del plano xy. Ahora la condición inicial 1 2y , implica que



0 1x , y además 0 2y . Es obvio que 1,2 está contenido en alguna región

rectangular R. Entonces, todas las hipótesis del teorema se cumplen, con lo cual se

puede concluir que existe una solución única.

Ejemplo 2. Verifique si la ecuaciónl 21y y sujeta a 1 1y , tiene solución

única.

Al igual que el problema anterior, primero se comprobará que cumple con la

hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces se tiene que

2, 1f x y y , y 21

df y

dy y

, sin embargo en 1,1

df

dy no es continua. Por

lo tanto el punto 1,1 no debe estar incluido en una región rectangular R, donde las

hipótesis que satisfaga el teorema. Con lo cual no se puede concluir del teorema de

existencia y unicidad que exista una solución única. Esto no significa que el problema

no tenga solución o que tenga varias soluciones. Cabe destacar que si un problema

de valor inicial no satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad,

entonces las curvas integrales se interceptan.

1.5 MODELOS MATEMÁTICOS.

Un modelo matemático, es una descripción matemática de un sistema o

fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, que ocurre en la vida real.



Para la formulación de un modelo matemático es necesario:

Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen

cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajustado a

la realidad, sin embargo mucho más complejo para resolver.

Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata

de describir. Las hipótesis del problema implican con frecuencia, la razón o

tasa de cambio de las variables involucradas. El enunciado del modelo

matemático de estas hipótesis, puede estar conformado por una o más

ecuaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.

Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir

hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales,

lo cual no es nada fácil. Al determinar la solución se deberá comprobar que el

modelo sea razonable, lo que implica verificar si su solución es consistente con los

datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del

sistema. Sin embargo, si las predicciones que se basan en la solución son deficientes,

se puede aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas

sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del

proceso de modelado.

En el capítulo 4 se desarrollarán ejemplos de algunos modelos matemáticos

con ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.

capítulo introductorio de ecuaciones diferenciales

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