capÍtulo introducciÓn a los nÚmeros reales · una proposición es un enunciado al cual se le...

NÚMEROS REALES

CAPÍTULO II Esther Morales

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INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES

Este capítulo comienza con una breve introducción de algunos aspectos ligados al razonamiento lógico, el cual ofrece obvios beneficios tales como: la importancia de desarrollar mayor capacidad para expresar ideas con claridad y concisión; aumento en la habilidad para definir los propios términos; enriquecimiento de la capacidad para formular razonamientos con rigor y examinarlos críticamente. Pero su mayor provecho, a mi juicio reside en el conocimiento de que la razón puede ser aplicada a todo aspecto de los asuntos humanos. También se expone un repaso de los números reales y sus propiedades, tema indispensable para los estudios posteriores del álgebra y el cálculo.

2.1. Razonamientos matemáticos.

En el capítulo I mencionamos los procesos de análisis, comparación e inferencia como herramientas intelectuales necesarias para transformar una información y que establecen indicadores evidentes para poder determinar que una persona razona adecuadamente.

El individuo está frente a un proceso de inferencia cuando dispone de una cadena de proposiciones tales que una de ellas es consecuencia de las que le anteceden.

Así por ejemplo la proposición:

• P: Los únicos colores de la bandera venezolana son azul, amarillo y rojo

Producen la consecuencia

• C: La bandera venezolana es tricolor

Una proposición es un enunciado al cual se le puede asignar un valor de verdad o falsedad, y un conjunto de proposiciones que satisfacen las condiciones de que una de ellas se deriva de las anteriores se le llama razonamiento.

Un razonamiento es deductivo si cada proposición es consecuencia obligada de las anteriores.

Así por ejemplo:

• P: El cuadrado de cualquier número real es no negativo

Permite deducir que:

CAPÍTULO II

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• C: 2)2(224 −== es no negativo.

Un razonamiento es inductivo si no hay forma de afirmar que una proposición sigue obligadamente de las anteriores.

Un ejemplo de razonamiento inductivo es:

• Pedro, Juan y José tomaron aspirina y se le quitó el dolor de cabeza, luego si Manuel toma aspirina se le quita el dolor de cabeza.

Observe que no hay manera de asegurar que la conclusión “si Manuel toma aspirina se le quita el dolor de cabeza” sea consecuencia obligada de la proposición que antecede “Pedro, Juan y José tomaron aspirina y se le quitó el dolor de cabeza”.

Cuando un razonamiento contiene errores se le designa con el término falacia.

Un ejemplo de razonamiento Falaz:

• Por ser Luis, un político es mentiroso.

La falacia en este caso consiste en pretender que el cargo que ocupa una persona lo hace mentiroso.

La analogía constituye otro tipo de razonamiento donde se comparan dos entidades, afirmando que por ser similares en algunos aspectos también son semejantes en los aspectos derivados

Objetos semejantes concuerdan en algunos de sus elementos (análisis de elementos), en tanto que objetos análogos concuerdan en ciertas relaciones entre sus respectivos elementos (análisis de relaciones).

Así por ejemplo:

• Un rectángulo y un paralelepípedo rectangular son análogos. ¿Por qué? • Un triángulo y un tetraedro son análogos. • Usando alguna analogía se puede completar la siguiente oración “Profesor es a

estudiante como médico es a…..”

La analogía ocupa casi todo nuestro modo de pensar y es, quizás, la herramienta más poderosa que usamos los seres humanos en las actividades más variadas (Ciencias, Artes, técnicas) para formular, reformular y resolver problemas (Itriago y Cruz, 2000).

Axiomas y teoremas.

Una proposición que sin demostrar se acepta como cierta se llama axioma y junto con los conceptos primitivos (términos no definidos) constituirán el punto de arranque y base de una

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teoría matemática.

Se dice que esta teoría se puede desarrollar por el método axiomático cuando las definiciones que van siendo dadas y los teoremas que se demuestran se apoyan en conceptos primitivos y en los axiomas o bien en definiciones y proposiciones que se pueden derivar de aquellos.

Un teorema es una proposición compuesta por otras dos. Una de ellas llamada premisa o hipótesis implica la otra que se llama conclusión o tesis.

La cadena de razonamientos lógicos que permiten deducir la tesis a partir de la hipótesis constituye lo que se llama demostración del teorema.

Llamemos H a la hipótesis y T a la tesis, supongamos que la siguiente proposición

H ⇒ T es cierta

La proposición reciproca de H ⇒ T es T ⇒ H, la cual puede ser cierta o falsa

Ejemplo 1: Si x es un número entero, entonces x es un número racional

H: x es un número entero

T: x es un número racional

La proposición H ⇒ T es cierta, mientras que, la proposición recíproca T ⇒ H es falsa, ya que siendo x un número racional no necesariamente es un entero.

Cuando son ciertas las proposiciones H ⇒ T y T ⇒ H, se usa la doble implicación: H ⇔ T, la cual se lee H si y sólo si T.

Ejemplo 2: Todo polígono convexo tiene cuatro ángulos si y sólo si tiene cuatro lados.

Las proposiciones siguientes:

• Si un polígono convexo tiene cuatro ángulos, entonces tiene cuatro lados. • Si un polígono convexo tiene cuatro lados, entonces tiene cuatro ángulos.

Son ciertas, luego la proposición planteada en el ejemplo 2 también es cierta.

La proposición contraria de H ⇒ T es no H ⇒ no T ó -H ⇒ - T, la cual puede ser cierta o falsa.

La proposición contraria del ejemplo 1, sería: si x no es un número entero, entonces x no es

un número racional, la cual es falsa. racionalunessipero,Z31∉ .

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La proposición contra-reciproca de H ⇒ T es -T ⇒ - H, la cual siempre es cierta. Esto quiere decir: (H ⇒ T) ⇔ (-T ⇒ - H).

La proposición contra-reciproca del ejemplo 1, sería: Si x no es un número racional, entonces x no es un número entero.

Un esquema para recordar las relaciones consideradas es el siguiente:

Directo Recíproco

Contra- recíprocos

Contrario Contra-Recíproco

Veamos otro ejemplo.

• Teorema. Las diagonales de un rombo son perpendiculares

Hipótesis: El cuadrilátero ABCD es un rombo

Tesis: Las diagonales BDyAC son perpendiculares

El teorema recíproco es: “Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, es un rombo”.

Hipótesis: Las diagonales del cuadrilátero ABCD son perpendiculares

Tesis: El cuadrilátero ABCD es un rombo

H ⇒ T T ⇒ H

no H ⇒ no T no T ⇒ no H

Recíprocos

Recíprocos

Contrarios Contrarios

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La implicación es falsa. La simple observación de la figura ya lo sugiere, pues se puede construir un cuadrilátero que satisface la hipótesis pero no la tesis.

El teorema contrario es también falso. Si fuera cierto, su contra-reciproco, o sea el reciproco del directo, también lo sería y acabamos de decir que no es así. O sea, es falsa la siguiente Proposición: “Si un cuadrilátero no es un rombo, sus diagonales no son perpendiculares”

Hipótesis: El cuadrilátero ABCD no es un rombo

Tesis: Las diagonales BDyAC no son perpendiculares.

El teorema contra-recíproco: “si las diagonales de un cuadrilátero no son perpendiculares, no es un rombo” es cierto

Hipótesis: Las diagonales del cuadrilátero ABCD no son perpendiculares.

Tesis: El cuadrilátero ABCD no es un rombo

Métodos de demostración:

Supóngase que se pide demostrar la propiedad: “Si ba < y cb < , entonces ca < ”. Comúnmente los alumnos recurren a ejemplos numéricos, como:

Si 3 < 5 y 5 < 8, entonces 3 < 8 , esto no haría más que comprobar que la proposición es cierta, cuando 8cy5b,3a === , pero no se podría asegurar más para otros valores numéricos de las letras: c,b,a

Se puede comprobar para muchos casos pero no para todos los posibles, siempre quedaría la duda de que uno de los casos no considerados negara la propiedad. Haciendo uso de definiciones y otras proposiciones aceptadas como ciertas se puede elaborar una demostración.

ba < y cb < , → a-b ∈ − y b-c ∈ − → (a-b) + (b-c) ∈ − → (a-c) ∈ − → a < c Como se quería demostrar

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A continuación mostramos diferentes métodos para demostrar un teorema.

1. Método directo

Para la demostración de un teorema por el método directo se parte de la certeza supuesta de la hipótesis y se debe llegar a probar la verdad de la tesis a través de razonamientos lógicos.

Ejemplo:

Demostrar que si los enteros a y b son divisibles por el entero m, la suma a + b también es divisible por m.

Hipótesis:

Los enteros a y b son divisibles por el entero m

Su expresión equivalente sería: a/m ∧ b/m

Donde b/m significa que m divide a b, o m es un divisor de b.

Tesis:

(a + b)/m

Demostración:

• Por hipótesis y definición de divisor (se supone conocida) se tiene:

ZbbmbZaama

∈=∈=

';'.';'.

• Como el resultado de la suma de dos enteros es único se tiene:

'mb'a.mba +=+

• Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma se tiene:

Z)'b'a(;)'b'a(mba ∈++=+

• Por la definición de divisor, como Zba ∈+ '' se tiene:

(a + b)/m lo que quería demostrar

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2. Método indirecto:

En lugar de demostrar el teorema en cuestión, se intenta demostrar el contra-recíproco. Si este es cierto, también lo es el directo. A este método se le llama “Reducción al absurdo”.

Veamos por qué:

El teorema que se quiere demostrar tiene la forma de H → T, luego su contra-recíproco es -T → - H.

O sea que el procedimiento comienza negando la tesis mediante la frase “supongamos que no se cumple T”

A partir de esta suposición se estudian sus implicaciones lógicas y si éstas conducen a la negación de la hipótesis, el teorema contra-recíproco queda demostrado. Esta conclusión permite que se diga:

“El haber supuesto que no se cumple T conduce a la conclusión de que no se cumpla H, lo cual es un absurdo, porque se supone que H es cierta”

Ejemplo 1: Demostrar el siguiente teorema: “Dado n Z∈ , si n 2 es impar, entonces n es impar”.

Demostración

Supongamos que n es par, entonces existe x x2nquetalZ =∈

Así pares2nluego,Zkconk2)2x2(22x42)x2(2n ∈==== .

Lo cual es un absurdo, porque n 2 es impar. Esto demuestra la proposición dada.

Ejemplo 2: No es posible la división entre cero.

Note que en este teorema la hipótesis no se da de manera directa (explicita), ella esta conformada por todas las propiedades, teorías y teoremas estudiados en los números reales. El enunciado completo conforma la tesis.

Para demostrar esta afirmación, supongamos que si es posible la división entre cero. Por ejemplo, supongamos que 2 x0 =÷ , siendo x un número real. Entonces por definición de división, 0.x = 2. Pero 0.x = 0, y esto nos conduce a la proposición falsa de que 2 = 0. Este argumento se puede repetir cuando se sustituye 2 por cualquier número distinto de cero.

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Refutación de una proposición

En algunas ocasiones se pregunta, si una proposición es verdadera o falsa.

Un ejemplo que demuestra que una proposición es falsa se llama un contra-ejemplo de esa proposición.

Ejemplo 1: Todos los animales son mamíferos

Dicha proposición es falsa, ya que señalamos el contra-ejemplo; el Loro no es mamífero.

Ejemplo 2: El producto de dos números irracionales es un irracional.

Dicha proposición es falsa, ya que Q22.2 ∈=

En los dos casos hemos encontrado un contra-ejemplo, luego podemos refutar las proposiciones y afirmar que son falsas.

2.2. El cuerpo de los números reales

El conjunto de los números reales comprenden los conjuntos de los números racionales (Q) e irracionales (I). Dentro de los racionales se encuentran los números enteros (Z), los cuales a su vez se clasifican en enteros negativos ( −Z ) y positivos ( +Z ), y el cero. Podemos verlo en la figura 1.

Un número real es racional, si se puede representar como un cociente ba , donde a y b son

enteros y b 0≠ . Note que si b = 1, entonces aba= Z∈ , luego todo número entero es un

racional. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal, existen dos maneras:

• Decimales limitados o finitos, como 25,041=

• Decimales ilimitados periódicos, como 3,0...3333,031 )

==

Los números decimales ilimitados no periódicos se llaman números irracionales.

Ejemplos: ....141,3

.......71,2e......4142135,12

=π==

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2.2.1. Recta Numérica

Para representar el conjunto de los números reales usamos un sistema de coordenadas que se llama recta real o numérica. Cada punto de la recta numérica corresponde a un número real y cada número real corresponde a uno y sólo uno de los puntos de la recta numérica. El número real que corresponde a un punto particular de la recta numérica se llama la coordenada de ese punto. Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero. Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la

Se clasifican

Enteros negativos (Z − )

Racionales (Q)

Pueden ser

Irracionales (I)

Racionales no enteros Racionales enteros (Z)

Enteros no negativos N

Enteros positivos (Z+ )

Reales ( )

φ=∩ IQ

Enteros no positivos Z { }0∪−

Se clasifican en

Forman Forman

CERO{ }0

Fig.1

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izquierda del origen están los números reales negativos −y a la derecha los positivos + .

En general el conjunto de los números reales , se clasifican en el conjunto de los números reales positivos + , el de los reales negativos − y el cero. Así:

= − { }∪∪ 0 +

2.2.2. Axiomas de cuerpo

En se definen las operaciones adición y multiplicación denotada por + y . respectivamente, las cuales satisfacen los siguientes axiomas:

A1: Son leyes de composición interna.

∀ a, b ∈ : a + b ∈ ∧ a b⋅ ∈

A2: Conmutatividad.

∀ a, b ∈ : a + b = b + a ∧ ba ⋅ = b a⋅

A3: Asociatividad.

∀ a, b ∈ : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ∧ (a . b) . c = a . (b . c)

A4: Existencia del elemento neutro para la adición y del elemento neutro para la multiplicación.

Existen únicos elementos 0 y 1 tales que:

∀ a ∈ : a + 0 = 0 + a =a ∧ 1a ⋅ = a1 ⋅ = a

A5: Existencia del opuesto aditivo. Para todo a ∈ : existe un único número real que denotaremos por - a tal que:

. . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3

− +

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a + (-a) = (-a) + a = 0 A6: Existencia del inverso multiplicativo.

Para todo a ∈ - { }0 , existe un único número real denotado por a-1

tal que:

a a⋅ −1= aa 1 ⋅− = 1.

A7: Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. ∀ a, b y c ∈ : a . (b + c) = a . b + a . c

Los axiomas anteriores se han descrito, principalmente en términos de suma y multiplicación. Ahora procederemos a definir las operaciones básicas de resta y división en términos de la de suma y multiplicación, respectivamente.

Resta

La diferencia, a-b, de dos números reales, a y b, se define como: )b(aba −+=− , donde –b es el opuesto aditivo de b.

Por ejemplo, 2)6(464 −=−+=−

En forma alternativa decimos que: abc,sisóloy,sicba =+=−

Así, .462porque,264 =+−−=−

División

El cociente ba ÷ de dos números reales a y b se define como:

0,1.. 1 ≠===÷ − bba

bababa , donde 1−b es el inverso multiplicativo de b.

Por ejemplo, 224

21.42.424 1 ====÷ −

También podemos decir que: ..,, abcsisóloysicba ==÷

Usando los axiomas y definiciones anteriores surgen otras propiedades de los números reales.

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Teoremas

Para todo cba ,, ∈ se cumple que:

i) a = b ⇔ a + c = b + c ii) a = b → a . c = b . c iii) a.b = a.c cb0a =→≠∧

iv) 00a = v) a)1(a −=− vi) )b.a(b).a()b(a −=−=− vii) a)a( =−− viii) ab)b)(a( =−−

Supongamos que se pide demostrar el teorema (v) a)1(a −=− .

Sea a ∈ , de acuerdo con el axioma A5 existe un único número real denotado por )a(− que es el opuesto aditivo de a , tal que

a + (-a) = 0 (I).

Por otra parte

a)1(a.1a)1(a −+=−+ por A4

a)).1(1( −+= por A7

a.0= por A5

0a)1(a =−+ (II) por teorema vi)

Luego de (I) y (II) a + (-a) = a + (-1)a

Y por la propiedad de cancelación para la suma (teorema i)

a)1(aóaa)1( −=−−=−

Observaciones

1. Si a y b son números reales, existe un único número x, tal que x + b = a, este número x

es a-b.

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2. Si a y b son números reales, con b ≠ 0, existe un único número x tal que bx = a, este

número x es ba .

Cuando b = 0, al tratar de resolver la ecuación 0x = a, nos tropezamos con algunos problemas.

Por ejemplo al tratar de resolver la ecuación 0.x = 5; dado que 0.x = 0; nos encontramos con la proposición falsa 0 = 5. Esto es válido para b = 0 y cualquier a 0≠

Cuando a y b son ceros, la ecuación a.x = b encuentra una dificultad diferente, ya que se puede afirmar que la ecuación 0x = 0, tiene infinitas soluciones, por ejemplo: 0.5 = 0, 0.3 = 0, y 0. 2 = 0. Es decir, todo número real es una solución.

El símbolo 00 no tiene sentido, porque no describe un solo número. En resumen la división

por cero no tiene sentido.

2.3. Ecuaciones lineales con una incógnita y aplicaciones.

Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones, las cuales contienen números o variables. El resultado de una ecuación se conoce como solución o raíz. Si se quiere comprobar que el valor de la raíz es correcto, simplemente se sustituye la variable por el número (valor) de la raíz.

Ejemplos

1. La única raíz de la ecuación x + 8 = 3 es x = -5, ya que (-5) + 8 = 3.

2. La única raíz de la ecuación 2x – 6 =3 – x es x = 3, ya que, como 2(3) - 6 =0 y (3)–3 = 0, entonces 2(3) – 6 = 3 - 3

Una ecuación que está en la forma 0bax =+ , donde a y b son constantes y 0a ≠ , es una

ecuación lineal de la variable x. La solución de una ecuación como esta es ab− . Demuestre

que esta es la única solución.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo

Las ecuaciones x - 2 = 10 y x - 6 = 6 son equivalentes, en efecto, x = 12 es la única solución de cada una de ellas.

Generalmente, para resolver ecuaciones, elaboramos una lista de ecuaciones equivalentes (cada una más sencilla que la precedente), terminando con una ecuación cuya solución

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podemos hallar con facilidad. Dos reglas básicas para obtener ecuaciones equivalentes son las siguientes:

- Podemos sumar o restar la misma expresión en ambos lados de la ecuación. - Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una expresión que representa un número real distinto de cero.

Estas dos reglas, junto con la axiomática de cuerpo y las propiedades básicas de los números reales permiten:

- Eliminar todos los signos de agrupación que aparezcan. - Eliminar todas las expresiones fraccionarias, multiplicando por el m.c.m. (de los

denominadores de cada fracción) ambos lados de la ecuación. - Agrupar las expresiones con la variable en un lado (generalmente el izquierdo) y las

expresiones numéricas en el otro lado. - Despejar la variable, obteniendo así la solución. - Comprobar si la solución satisface la ecuación propuesta, es decir si aparece una

identidad verdadera.

Ejemplos. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

a. 6x - 7 = 2x + 5 b. 2(x - 3) = 6x + 2 c. xx 523

3523 −=

−−

Solución a. 6x - 7 = 2x + 5 6x – 7+7 = 2x + 5 + 7 6x = 2x + 12 6x -2x = 2x -2x + 12 4x = 12

4

124x4=

x = 3 Comprobación: 6(3) - 7 = 11 y 2(3) + 5 = 11 ; luego 6(3) - 7 = 2(3) + 5

b. 2(x - 3) = 6x + 2 2x – 6 = 6x +2 2x – 6 -2 = 6x +2 -2 2x -8 = 6x 2x -2x -8 = 6x -2x -8 = 4x

4x4

48=

−

-2 = x x = -2 Comprobación: 2(-2 - 3) = -10 y 6(-2) + 2 = -10; luego 2(-2 - 3) = 6(-2) + 2

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( )

2619x

19x26 x3028x309x3028x428

x309x428 x30910x418

x303.35x2218

x5236

35x236

x523

35x23 c.

−=

−=+−−=+−−

−=−−=+−−=−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

−=−

−

Compruebe la solución de esta última ecuación.

Aplicaciones de Ecuaciones Lineales

Para resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por las siguientes guías:

• Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que se está buscando.

• Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar. Usualmente se utilizan las variables x y n.

• Utilizar los datos dados para establecer una ecuación que represente al enunciado del problema.

• Resolver la ecuación y cotejar la respuesta.

Ejemplo 1. Dos veces un número menos tres es igual a seis. ¿Cuál es el número?

Solución

a) Sea x el número b) Representación simbólica: 2x – 3 = 6 c) Resolver: 2x -3 +3 = 6 +3 2x = 9

x = 29

d) Comprobar:

2(29 ) – 3 = 9 -3 = 6

e) Respuesta: El número es 29

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Ejemplo 2. Un poste en el medio de una laguna de aguas turbias tiene la quinta parte de su longitud enterrada en la arena, la mitad sumergida en el agua y 6m por encima del agua. ¿Cuánto mide la parte no visible del poste?

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Operaciones básicas en R

EVENTOS

x = Longitud del poste

CONCEPTOS:

Poste

Longitud

Laguna

Arena

Mitad

Quinta parte de

META: ¿Cuánto mide la parte no visible del poste?

TRANSFORMACIONES:

Dado que:

62x

5xx ++=

Resolver:

20x;3

603x3;60x3

60x7x7x7x1060x7x10

60x5x2x10

62x

5xx

===

+−=−+=

++=

++=

La longitud del poste es 20 m

Solución:

La parte no visible del poste esta dada por:

2x

5x+ (I)

Sustituyendo el valor de x en I

14104220

520

=+=+

Conclusión:

La parte no visible mide 14 m

Comprobación:

2020;610420;6220

52020 =++=++= 6

2x

5xx ++=

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2.4. Potencia con exponentes enteros

Si n es un entero positivo y b es cualquier número real, entonces la potencia n-ésima de b se define como

43421factoresn

n bbbbb .......= El número b se llama base y n se llama exponente

A continuación se presenten algunos ejemplos:

-5 25)5.5(2 −=−=

(-5) 25)5).(5(2 =−−=

(-5) 125)5).(5).(5(3 −=−−−=

3 4 = 3. 3. 3. 3 = 81

2.4.1. Propiedades de la potenciación:

PROPIEDAD EJEMPLOS:

1. Multiplicación de potencias

de igual base a m . a n = a nm +

7243242.32 =+=

a 2 . a 3 = a 32+ = a 5 2. Potencia de una potencia

(a m ) n = a n.m 12a

43a =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

4x22x =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

3. Potencia de un producto

( b.a ) n = a n .b n

( b.a ) 2b.2a2=

4. Potencia de un cociente

nb

nan

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3b

3a3

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

5. División de potencias de

igual base

nmn

ma

aa −=

2242

4aa

aa

== −

2424

266

66 −− ==

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Ejemplos. Evaluar y simplificar donde sea posible:

1) 5)3b2a( 2) ( )62

316.22

− 3)

( )4x6

2x323x2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

Solución:

1) 15b10a5.3b5.2a5)3b2a( ==

2) ( )

( ) 256222

22.2

22.2

216.2 8

6

14

6

122

6

342

6

32=====

−

3) ( ) ( ) 444

282

4

2262

4

2236.3.2

.3.232

.3.2.3..2

632 xx

xx

xxx

xxx

====

Observaciones

1. Si b es un número real distinto de cero, entonces:

En efecto, aplicando las propiedades de la potenciación, se tiene que

1bbbb 110 === −

2. Observe que:

00

0000 1

1110 === − ,

Como 00 no tiene sentido, luego 00 tampoco tiene sentido y quedará como una expresión

indefinida.

3. Si n es un entero y b 0≠ , entonces:

b 10=

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Según las reglas vistas:

nn

0

n

nn

n

nn

n

nnnn

b1

bb

bb

bbb

bbb1.bb ======

+−−−−−

4. De acuerdo con la observación anterior podemos decir que:

ab1

ba

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , porque

ab

ba11

ba

==−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Así podemos generalizar que:

na

nbn

ba

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ejemplos. Evaluar y simplificar donde sea posible

a) 422

37

71

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ b)

5

23

32

..

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

baba

Solución

a) 3969

181.49

13.7

137

377

37

71

424

2

4

42

412=====⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−

b) ( )25

25

252525555

5

23

32..

..

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛====⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

−

ab

abbaba

baba

2.5. Radicales y potencias con exponentes racionales

Raíz enésima de a. ( )n a

Sea a un número real y n un entero positivo, 2n ≥

bnb

1n =−

NÚMEROS REALES


21

1. Si a> 0, entonces n a es el número positivo x tal que ax n = 2. 00n = 3. Si a < 0 y n es impar, entonces n a es el número negativo x tal que ax n = 4. Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un número real.

El símbolo n a también se llama radical; n es el índice o grado, y a es el radicando.

Ejemplos

( )

realnúmerounesno4 4

2733porque33 27

030porque03 0

6434porque43 64

−

=−−=−

==

==

Cuando n = 2, 2 b se escribe b y se lee “raíz cuadrada de b”

Ejemplo

42efectoen,24 2 ==

Propiedades de los radicales

Si todos los radicales indicados son números reales, entonces:

PROPIEDAD EJEMPLO:

1. Raíz de un producto

n b.n an ab =

3 a23 a.3 83 a8 ==

2. Raíz de un cociente

n

nn

ba

ba= , b 0≠

3

33

32

32=

3. Raíz de una raíz m.n an m a =

241616 ==

NÚMEROS REALES


22

Ejemplo

Simplificar. Suponga que todas las variables representan números positivos.

1) 3 2x27.3 x8 −− 2) 5 8x128

5 3x4−

Solución

1) x.63 3x.3 2163 3x2163 2x27.3 x8 ===−−

2) x21

5 5x32

5 15 5x32

158x128

3x45 8x128

5 3x4 −=

−=

−=

−=

−

Potencias con exponentes racionales

1. Para un número real b y un entero positivo n, n 2≥ ,

b n/1 = n b ( I ).

Siempre que exista n b

Considerando la definición de radicación, si tenemos 3 b , podemos decir que:

3/1b3 b = , ya que ( ) b1b3).3/1(b33/1b ===⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ , ampliando el concepto de exponencial

y sus propiedades a exponentes fraccionarios. Así 3/1b es la raíz tercia de b.

2. Partiendo de ( I ), podemos definir n/mb , siendo nm cualquier número racional.

Observe que:

27 3/2 = ( ) 92323 27

23/127 ===⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

También:

NÚMEROS REALES


23

27 3/2 = 93 7293 2273/1227

3/1227 ===⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

Podemos decir entonces que:

( ) ( )23 273 2273/227 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

En general, si nm un número racional, con n 2≥ y b es un número real tal que n b está

definida, entonces

b ( ) n mmnn/m bb ==

Las propiedades de la potenciación con exponentes enteros también se cumplen para el caso de la potenciación con exponentes racionales

Ejemplos. Simplificar en cada caso.

1) ( )23 8− 2) 3/2

6a

3b8⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

Solución

1) ( ) ( ) 46488 33 223 ==−=−

2) 3/26a

3/23b.83/2

6a

3b8

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−− Potencia de un cociente

( )( ) )3/2.(6a

)3/2(3b.3/28−

−= Potencia de un producto y potencia de una potencia

( ) 4a

2b.3 28

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= Raíz de una potencia

NÚMEROS REALES


24

= 4.b 4a2 Potencia negativa; ( ) 43 643 28 ==−

3. Note que

( ) ( )

( ) ( ) 3333

222)2(2/222

3/3333 3

===

−=−=−=−

En cada caso n b esta definida. Pero

( ) 5255 2 ==−

Mientras que ( )25− no representa ningún número real, pues, 5− no es un número real.

Luego

( )252)5( −≠−

Esto nos conduce al siguiente resultado:

Ejemplos

1) x.32x.92x9 ==

Para todos los reales b

1) . Si n es par. Es decir:

, si

Para todos los reales b

1) bbn n = . Si n es par. Es decir:

bbn n = , si 0b ≥

,bbn n −= si 0b <

2) bbn n = . Si n es impar

NÚMEROS REALES


25

2) ( ) 5525 =−=− ó ( ) ( )525 −−=− por ser -5<0

Simplificación de radicales

La simplificación de facilita algunos cálculos tales como la suma o resta de radicales.

Ejemplo. Supongamos que nos solicitan que efectuemos 328 + .

Estos dos radicales no se pueden sumar ya que no son semejantes (igual índice e igual radicando), por lo tanto procedemos a simplificar los dos radicales.

2.22.42.48 === , decimos que 2 2 es la forma simplificada de 8

242.2.22.4.42.4.432 ==== , decimos que 24 es la forma simplificada de 32 .

Así:

328 + = 2 2 + 24 = (2 + 4) 2 = 6 2

Nota: Sólo se suman y se restan radicales semejantes

Ejemplos

1) =+ 3233 353)23( =+

2) 21022.52452.45858287 =====− 3) 5 =− 182 =− 2.925 =− 2325 222)35( =−

Racionalización de denominadores.

Hay fracciones que cambian mediante un proceso que se llama racionalización de denominadores. El cual consiste en eliminar un radical del denominador de una fracción.

Por ejemplo, racionalicemos el denominador de 2

2

NÚMEROS REALES


26

22

2.242.2

2.22.2

22

====

Nota: Si queremos racionalizar el denominador de la expresión n ba , el proceso consiste en

multiplicar el numerador y el denominador por n 1nb −

Ejemplo

2

3 433 32

3 433 22.3 2

3 22.33 2

3===

PROBLEMAS

1. Efectué y simplifique: 37523

6−+

Solución

Para realizar las operaciones indicadas, primero debo observar que los radicales no son semejantes, por lo cual intentaré simplificar cada término:

Primer término; 336

336

36

== = 2 3

Segundo termino; 31035.23.2523.252752 ====

Tercer término; 33 =

Así:

37523

6−+ = 311331032 =−+

2. Dada la siguiente figura: 2m 2m

3m 2m

NÚMEROS REALES


27

a) ¿Qué figuras geométricas elementales están presentes en la figura dada? b) Calcule el área total de la figura. c) Calcule el perímetro de la figura completa.

2.6. Operaciones fundamentales con polinomios.

La expresión 6x3 +3x 2 + 2x –5 se llama polinomio en la variable x. Su grado es 3, porque 3 es la mayor potencia de la variable x. Los términos de este polinomio son 6x3 , 3x 2 , 2x y

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Operaciones básicas en

R

Teorema de Pitágoras

CONCEPTOS:

Perímetro de una

figura plana.

Área de un triangulo

Área de un círculo

Área de un rectángulo

Perímetro de una

circunferencia

Triángulo isósceles,

círculo y rectángulo

META: ¿Qué figuras geométricas elementales están presentes en la figura dada? ¿Cuál es el área total de la figura dada? ¿Cuál es el perímetro de la figura dada?.

TRANSFORMACIONES:

Las figuras geométricas presentes son:

Triángulo equilátero, rectángulo y semi-circunferencia.

El área total de la figura esta dada por:

Área del triángulo (AT) + área del rectángulo (AR) + el área

del semi-círculo (ASc):

AT =2

alturaxbase

La Base es igual a 2 m y la Altura la calculamos por el

teorema de Pitágoras 222 altura12 +=

De aquí Altura = 314 =− m

Luego AT = 2m32

m3m2=

AR = Base x Altura = 2 m . 3 m = 6 2m

ASc = 222

2m

89

2

m49.

2

)m23(

2)radio.( π

=π

=π

=π

Observe que el radio es la mitad del diámetro que vale 3m

Área total de la figura es = 2m)8

963( π++

El perímetro de la figura esta dado geométricamente por la

curva que rodea a la figura, y se calcula analíticamente así:

2m + 2m + 3m + 2m + 2

)23(2π

m = (9 + 2

3π) m

EVENTOS

2 m 2 m

2 m 3 m

NÚMEROS REALES


28

–5. Los coeficientes son 6, 3, 2 y -5.

Observaciones

• Algunos polinomios tienen términos “ausentes”. Por ejemplo 6x3 + 2x –5 no tiene el término x 2 , pero sigue siendo un polinomio de grado 3, donde el coeficiente de x 2 es cero.

• Una constante diferente de cero, como 6, es un polinomio de grado cero, porque se puede escribir 6 = 6x 0 . También al número cero se le llama polinomio constante, pero no se le asigna grado.

• Un polinomio se puede escribir en forma descendente (6x3+3x 2 + 2x –5) o ascendente (–5 + 2x +3x 2 + 6x3 ).

Algunos polinomios se clasifican según su número de términos:

• Monomio: un solo término ( nax )

Por ejemplo: 3 x 2 • Binomio: suma o resta de dos monomios ( mbxnax ± )

Por ejemplo: 3 x 2 + 2x

• Trinomio: suma o resta de tres monomios ( rcxmbxnax ±± )

Por ejemplo: 3 x 2 + 2 x – 5 • Polinomio: suma o resta de cualquier número de monomios

( 0x0a......)2n(x)2n(a)1n(x)1n(anxna ±±−−±−

−± )

Por ejemplo: 3 x3 - 3 x 2 + 2 x – 5 En un polinomio como 3 x 2 + 2 x – 5, la variable x representa un número real. Por consiguiente cuando se sustituye un valor real específico en lugar de x el resultado es un número real. Por ejemplo con x = 2, en ese polinomio se obtiene:

3 (2) 2 + 2(2) – 5 = 12 + 4 – 5 = 11

Por lo tanto, los cálculos con polinomios se basan en las propiedades fundamentales de los números reales.

Suma de polinomios:

La suma o resta de polinomios implica la reducción de términos semejantes (que son los que tienen el mismo exponente en la variable). La reducción se logra reordenando y reagrupando

NÚMEROS REALES


29

primero los términos (propiedad asociativa y conmutativa) para después reducir empleando la propiedad distributiva.

Ejemplo: Sume ( )7x26x22x +−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

Primera forma:

( ) ( ) ( ) 12x102x76x2x22x7x26x22x +=++=+−+−+=+−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

Segunda forma:

1x02x

7x26x22x

++

+−−+

Multiplicación de polinomios.

Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva.

Ejemplo: Efectuar ( )7x2.6x22x +−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

Primera forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

42x262x33x2

42x12x142x42x73x2

7.6)x2(67.x2.)x2.(x27.2x)x2.(2x7x2.6x22x

−++−=

−++−+−=

−+−−++−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=+−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

NÚMEROS REALES


30

Segunda forma:

42x262x33x2

x122x43x2

42x142x7

7x26x22x

−++−

−−−−−−−−−−−−−−−

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−

−+

+−−+

Ejemplo: Simplifique haciendo las operaciones indicadas.

( )5x213x2x3x52x −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

Solución Primero se aplica la propiedad distributiva, se reducen los términos semejantes.

( )

5x23x104x

5x23x54x23x154x3

5x23x54x23x154x35x213x2x3x52x

−+−=

−++−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

División de polinomios

En los siguientes ejemplos ilustramos la división de polinomios

Ejemplo 1. Efectuar las divisiones

a) x2

x42x6 + b) 2x

3x2x3x2+

+−+

Solución (a):

En el ejemplo (a) podemos notar que la división se está realizando entre un monomio, lo cual bastaría con factorizar el numerador y luego aplicar la regla 2.

( ) 2x3x2

2x3x2x2

x42x6+=

+=

+

Otro método alternativo, sería descomponer en dos sumandos y luego simplificamos:

6x22xpor7 −+

6x22xporx2 −+−

Sumar

NÚMEROS REALES


31

2x3x2x4

x2

2x6x2

x42x6+=+=

+ , x 0≠

Otro proceso sería el de división larga, sobre todo para la división entre polinomios como es el caso (b).

Solución (b):

13stoRe

10x53x5

x6x33xx3

x4x2

Cociente5x3x2Divisor2x

3xxx2

2

2

23

223

−→

+−

−−

−−−

+

→+−→+

−−+

Veamos los pasos del proceso:

Se divide 2x3 entre x para obtener 2x2 . Se multiplica 2x2 por el divisor, para obtener a 2x43x2 + y se resta. A continuación se divide 2x3− de nuevo entre x, y así sucesivamente.

Se termina cuando el residuo es de grado menor que el divisor.

El resultado se puede verificar comprobando que la siguiente identidad es cierta. Demuéstrelo el lector.

( ) {siduoRe13

Cociente

5x32x2Divisor

2xDividendo

3x2x3x2 −+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⋅+=−−+

44 344 2132144 344 21

Productos especiales.

Conocidos como productos notables, dado que pueden ser obtenidos directamente mediante un patrón o regla que simplifica el proceso:

Dividendo

NÚMEROS REALES


32

i) ( ) 222 axa2xax ++=+

ii) ( )2ax − = 22 axa2x +−

iii) 22xa)-(xa)+(x a−=⋅ .

iv) ( )3ax + = 3223 axa3ax3x +++

v) ( )3ax − = 3223 axa3ax3x −+−

vi) ( ) ( )bxax +⋅+ = ( ) baxba2x ⋅+++

vii) ( ) ( )22 aaxxax ++⋅− .= 3a3x −

viii) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⋅+ 2aax2xax = 3a3x +

Cada uno de estos productos se prueba, fácilmente, aplicando las operaciones elementales con polinomios. Por ejemplo:

i) ( )2ax + = ( ) ( )axax +⋅+

= ( ) ( )axaaxx +⋅++⋅

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 2aaxxa2x

= 22 axa2x ++

iii) a)-(xa)+(x ⋅ = ( ) ( )axaaxx −+−

22

22

axaaxaxx

−=

−+−=

iv) ( )3ax + = ( ) ( )ax2ax +⋅+

= ( ) ( )axaxa2x 22 +⋅++

= 322223 axaxa2ax2axx +++++

NÚMEROS REALES


33

= 3223 axa3ax3x +++

Ejemplos:

Aplicando las propiedades anteriores se tiene que

a) ( )22x3 + = ( ) ( ) 222x322x3 +⋅⋅+ = 4x124x9 ++

b) 2

3x412 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + = ( )

23x

413x

412222 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅+ = 6x

1613x

222 ++

c) 2

x2x3 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − = 2x3x64x9 +−

d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2422222 x36x9x6x3x6x3x6x3 −=−=+⋅−

e) ( ) ( ) ( ) ( ) 22422222 y4yx9y2yx3y2yx3y2yx3 −=−=−⋅+

f) ( ) ( )[ ] 222 bb)ax(2)ax(baxbax ++++=++=++

xb2ab2xa2bax bab2xb2axa2x

222

222

+++++=

+++++=

g) ( )21x + - ( )23x − = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ 9x62x1x22x

= 9x62x1x22x −+−++ = 8x8 −

h) ( ) ( ) ( )2bababa −−−⋅+ = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − 2bab22a2b2a

= 2bab22a2b2a −+−−

= 2b2ab2 −

En el ejemplo que sigue racionalizaremos denominadores aplicando las propiedades (iii), (vii) y (viii)

Ejemplo. Racionalice el denominador en:

NÚMEROS REALES


34

1) 23

20−

2) 2x

4x+− 3)

3 x1x1

−−

Solución

1) Multiplicamos el numerador y el denominador por el binomio conjugado de ( )23− , es decir por ( )23+ .

( )( )( )

( )( )

( ) ( )7

232029

23202223

23202323

232023

20 +=

−+

=−

+=

+−+

=−

2) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( ) 2x4x

2x4x

2x

2x4x2x2x

2x4x2x

4x22 −=

−−−

=−

−−=

−+−−

=+−

3) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )233

233

2333

233

3xx1

x1

xx1x1

xx1x1

xx1x1

x1x1

++=−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−

=−−

2.7. Factorización de polinomios.

Al multiplicar ( )1xx2 − , obtenemos x22x2 − , pero si nos dan x22x2 − sería más complicado llevarlo a la forma ( )1xx2 − , la cual representa su factorización. En este caso

bastaría considerar el monomio 2x como factor común, pero existen polinomios que necesitan de reglas especiales par ser factorizados, en algunos casos basta recordar la identidad contraria de los productos notables.

Por ejemplo, ( )( )2x2x42x +−=−

Por otro lado si sacamos el factor común x de 2x3x24x −− , nos resulta

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=−− x2x23xx2x3x24x , la factorización es correcta, pero no se considera que sea

la forma totalmente factorizada (en factores simples). La forma correcta sería:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=−− 1x22x2x2x3x24x

Las técnicas de factorización se extienden a los polinomios con más de una variable, como en el siguiente caso:

NÚMEROS REALES


35

Ejemplos. Factorizar

a) ( ) ( )1y2x21yx −+− b) 2y2x3xy4 −

Solución

Factoricemos sacando factor común

a) ( ) ( ) ( )( )x211yx1y2x21yx +−=−+−

b) ( )xy42xy2y2x3xy4 −=−

Se ha descrito el método de sacar factor común para factorizar polinomios, ahora describiremos otros procedimientos básicos.

i) Polinomios que sean una diferencia de dos cuadrados,

( ) ( )baba2b2a +⋅−=−

Ejemplos

1) 24 x425x9 − = ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22222

25x3x

425x9x = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

25x3

25x3x 2

2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )4x2x2x4x2x4x4x4x16x 2222222224 ++−=+−=+−=−=−

Nota: Los polinomios de la forma nn ax + , con n par, en general no tienen descomposición en factores racionales.

ii) Polinomios que sean diferencias o sumas de cubos, 33 ax − = ( ) ( )22 aaxxax ++⋅− , 33 ax + = ( ) ( )22 aaxxax +−⋅+

Ejemplos

a. ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

41xx4

21x2

21

21x2x2

21x2

21x2

81x8 2

22

333

NÚMEROS REALES


36

b. ( )( )9x3x3x27x 23 +−+=+

c. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )[ ]2233 yx2yx2yx2yx2yx2yx2yx2yx2 −+−+++−−+=−−+

( ) ( ) ( )[ ]2222 yx2yx4yx2y2 −+−++=

( )( )22

222222

yx8y2 yxy4x4yx4yxy4x4y2

+=

+−+−+++=

iii) Polinomios que son Trinomios cuadrados perfectos.

2bab22a ++ = ( )2ba + 2bab22a +− = ( )2ba −

Para lograr la factorización, se ubican dos términos del trinomio que sean un cuadrado perfecto ( )by a 22 y se verifica si el tercer término restante es el doble del producto de la

base de cada cuadrado perfecto (2ab).

Ejemplos

1. 9x6x 2 +− = 233.x.22x +− = ( )23x −

2. 9x6x 24 ++ = ( ) 2222 33x2x ++ = ( )22 3x +

iv) Hay otra técnica para trinomios que no necesariamente sean cuadrados perfectos, como 6xx 2 −+ , de acuerdo con nuestra experiencia podemos anticipar que la factorización de este

polinomio, si es que tiene raíces reales, tendrá la forma siguiente:

( )( ) ( ) b.axbaxb.aaxbxxbxax 22 +++=+++=++

Necesitamos dos números a y b tal que a.b = -6 y a + b = 1, esto implica resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Así, (-2)3 = -6 y -2+3 = 1, luego a = -2 y b = 3 Por lo tanto: ( )( ) )2x)(3x()2(x3x6xx 2 −+=−++=−+

El resultado se verifica efectuando nuevamente el producto y comparando la identidad.

Veamos otro ejemplo

NÚMEROS REALES


37

Factoricemos 24x102x +−

Solución: Necesitamos dos números a y b cuyo a.b = 24 y como el signo intermedio tiene signo menos la factorización debería tener la forma siguiente:

( )( ) ( ) b.axba2xb.aaxbx2xbxax ++−=+−−=−−

Esto implica que la suma de a + b = 10. Por lo tanto, la solución seria a = 6 y b = 4.

Luego, ( )( )4x6x24x102x +−=+−

v) Las propiedades conmutativas y asociativas de la adición conjuntamente con la propiedad distributiva, permiten factorizar un polinomio por agrupación de términos.

Ejemplos a) axmyaymx −−+ = ( ) ( )aymyaxmx +−+− = ( ) ( )amyamx −⋅−−⋅ = ( ) ( )yxam −⋅−

b) yxyxy 222 ⋅−+− = ( ) ( )yxxyy 222 −−++

= ( ) ( )y1x1yy 2 +⋅−+⋅

= ( ) ( )2xyy1 −⋅+

Otra forma:

yxyxy 222 ⋅−+− = )yx()y.xy( 222 +−+−

)yx()xy(y 22 +−+−=

)1y)(xy( 2 +−=

2.8. Ecuación cuadrática.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de tipo

0cbxax2 =++ , (I)

NÚMEROS REALES


38

donde 0≠a , y, a, b y c son constantes.

Si el polinomio cbxax 2 ++ puede ser factorizado aplicando los métodos dados en la sección anterior, esto permite hallar las soluciones o raíces de la ecuación (I).

Ejemplo

Resolver la ecuación 2x + 2x - 8 0=

Solución

Aplicando los métodos dados en la sección anterior se tiene que

2x + 2x - 8 ( 4)( 2) 0x x= + − =

Por tanto, usando la propiedad básica de los número reales

ab 0 a 0 b 0= ↔ = ∨ =

Se tiene que: x + 4 = 0 v x – 2 = 0

x = -4 v x = 2

Así, la ecuación original (I) tiene dos soluciones: x = -4 y x = 2.

Existen otros trinomios tales como 2x92x12 +− , para los cuales este método se queda corto, por lo tanto se sugiere aplicar el método de completar cuadrados para buscar las raíces o ceros del polinomio (resolución de una ecuación cuadrática) y luego con las raíces construir la factorización del polinomio.

Consideremos la ecuación cuadrática 2x92x12 +− = 0.

El primer paso para su solución es factorizar el coeficiente de x 2 cuando este número sea distinto de 1, sacándolo sólo de los dos términos variables.

2x432x12 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − = 0

Luego restamos -2 en ambos miembros de la identidad

2x432x12 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

NÚMEROS REALES


39

Posteriormente dividimos entre 12 en ambos miembros, para despejar el binomio que se le quiere completar el cuadrado

61x

432x −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ahora agregamos el tercer término al binomio encontrado para convertirlo en trinomio

cuadrado perfecto, este tercer término siempre tiene la forma 2

83⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ . Es decir, el coeficiente de

la variable de grado 1 se divide entre 2 y se eleva al cuadrado y se agrega en ambos miembros de la identidad:

( ) ( )222

83

61

83x

43x +

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

Factorizamos el trinomio encontrado y efectuamos la suma.

19259

649

61

83x

2

=+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros

19259

83x ±=− ; Así:

19259

83x ±=

Esto implica que la ecuación 2x92x12 +− = 0, tiene dos soluciones distintas

x = 19259

83+ y x =

19259

83−

Por consiguiente el polinomio 2x92x12 +− = 12⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

19259

83.

19259

83 xx

Conclusión:

Para completar el cuadrado en expresiones cuadráticas, como bx2x + , se suma el cuadrado de la mitad de b, que es el coeficiente de x, el cual esta

dado por: 4

2b2

2b

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Por consiguiente: 2

2bx

2

2bbx2x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

NÚMEROS REALES


40

Es importante señalar que existe una forma general para resolver cualquier ecuación cuadrática; Esto se puede hacer aplicando la formula de la resolverte,

a2ac42bbx −±−

= (II)

la cual permite obtener la solución (o raíces) de cualquier ecuación cuadrática, de una forma más algorítmica y rápida. Esta formula se deduce aplicando la completación de cuadrado:

Siendo 0a,0cbx2ax ≠=++

0cxab2xa =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; cx

ab2xa −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ;

acx

ab2x −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ;

2

ab

ac2

a2bx

ab2x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++ ;

2

a2b

ac2

a2bx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − ;

2

a2b

ac2

a2bx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − ;

2a4

2bac42

a2bx +−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2a4

ac42ba2

bx −±=− ;

2a4

ac42ba2bx −±

−= ;

)a(2ac42b

a2bx

±−

±−

= ; a2

ac42bbx −±−=

Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula (II).

Es de hacer notar que, utilizar la fórmula (II) es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución.

Tipos de soluciones: Reales e imaginarias

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:

• Dos raíces reales distintas • Una raíz real (o dos raíces iguales)

NÚMEROS REALES


41

• Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:

D = b2 - 4.a.c

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada del discriminante es un número real y se generan dos soluciones reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz del discriminante es cero, y ambas soluciones resultan el mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada del discriminante es imaginaria, produciéndose dos soluciones imaginarias o complejas imaginarias o complejas.

A continuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados.

Ejemplo. Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0

Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5; b = 13 y c = 6.

Se aplica la fórmula:

( )

( )

213 13 4. 5 .6 13 169 120 13 289x10 102. 5

− ± − − − ± + − ±= = =− −−

Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora,

por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es

precisamente, 289. Se tiene entonces que:

13 17x10

− ±=−

Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense x1 y x2 a las dos

soluciones, que serán:

1 2

2x y x 25−= = −

NÚMEROS REALES


42

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una

identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la

ecuación se le denomina verificación.

Probando con x = 2. Resulta: -5.(2)2 + 13.(2) - 6 = -20 + 26 - 6 = 0, tal como se esperaba en el

segundo miembro.

Probando x = -2/5, se tiene

( ) ( )22 25 13 65 5− −− + + =0

Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de - 5x2 + 13x + 6 = 0

Este hecho permite factorizar el polinomio - 5x2 + 13x + 6 de la forma -5 ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

52x2x

Ejemplo.

Resolver: 6x - x2 = 9

Solución

No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada y no hay

un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios

para que la ecuación tenga la forma deseada.

Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: - x2 +6x - 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente:

( )( )

( )

26 6 4. 1 9 6 36 36 6x 32 22. 1

− ± − − − − ± − −= = = =− −−

Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3,

NÚMEROS REALES


43

es decir, x1 = x2 = 3.

Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6.3 - 32 = 18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

Ejemplo.

Resolver: -6x + 13 = - x2

Solución

Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 -6x + 13 = 0. Luego identificamos las letras: a = 1; b = -6 y c = 13.

Aplicando la resolvente se tiene:

( ) ( ) ( )( )

( )

26 6 4. 1 13 6 36 52 6 16x2 22. 1

− − ± − − ± − ±= = =

El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada de un número negativo porque este es un resultado que pertenece a los números complejos. Sin entrar en detalles que escapan del alcance del presente documento, la raíz de -16 es 4i, siendo i la base de los números complejos o imagiarios, es decir: 1i −= . Las raíces quedan entonces:

6 4ix 3 i2±= = − ±−

Separando las dos respuestas, las soluciones serán: x1 = -3 + 2.i y x2 = -3 - 2.i. La comprobación requeriría operaciones con números complejos en forma binómica. Se deja al lector interesado, investigar y comprobar.

Problemas que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

Los siguientes problemas son planteamientos que generan una ecuación de segundo grado. Primero debe plantearse la lógica del problema, llamando x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y finalmente, se resuelve la ecuación.

No existe un procedimiento general para manejar la parte lógica de este tipo de problemas, sólo la experiencia va dando la experticia necesaria para plantearlos.

Problema 1: La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números.

NÚMEROS REALES


44

x es uno de los números

x = primer número

10 - x = segundo número

x2

+ ( )210 x 58− =

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Operaciones básicas

en R

EVENTOS

CONCEPTOS:

Número

Suma de dos

cuadrados

Ecuación cuadrática

Ecuación de la

resolvente

META: ¿Cuál es el valor de x que satisface las condiciones del problema?

TRANSFORMACIONES:

x2

+ ( )210 x 58− = (I) Para resolver la ecuación (I), hay que aplicar algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la resolvente. x2 + 102 - 2.10.x + x 2 = 58 ; x2 + 100 - 20.x + x 2 = 58 Ordenando y agrupando: 2x2 - 20.x+ 42 = 0; (II) Dividiendo entre 2 toda la ecuación (II) x2 - 10x+ 21 = 0 Aplicando la resolvente resulta x1 = 3 y x2 = 7. El problema genera (aparentemente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades. Supóngase que se toma la primera (x = 3). Revisando el planteamiento inicial, se observa que: Primer número: x = 3; Segundo número, 10 - 3 = 7. Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo número, 10 - 7 = 3. En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es: Los números buscados son 3 y 7.

NÚMEROS REALES


45

Problema 2: Halle el área y perímetro del triángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros

CONCEPTOS:


Solución de ecuación

cuadrática

Triángulo rectángulo

Catetos, hipotenusa

Área y perímetro de un

triángulo rectángulo

TRANSFORMACIONES:

Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación: (x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2 Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene: x2 + 2.3.x + 32 + x2 - 2.4.x + 42 = (2x)2 - 2.(2x).5 + 52 , x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 = 4x2 - 20x + 25 Reagrupando: x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0 Finalmente: -2 x2 + 18x = 0 Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9. La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros. El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es A = 12 . 5 / 2 = 30 m2. El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

META: ¿Cuánto mide el área y el perímetro del triángulo dado?

EVENTOS:

X esta dada en metros

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

NÚMEROS REALES


46

Problema 3: La longitud de una pieza rectangular de cartón tiene 2 cm más que la anchura. Se forma una caja abierta cortando en cada esquina un cuadrado de 4 cm de lado y doblando los lados hacia arriba. Si el volumen de la caja es 672 cm 3 , encuentre las dimensiones de la pieza rectangular de cartón.

CONCEPTOS:


Rectángulo

Volumen de un

paralelepípedo

TRANSFORMACIONES:

Al doblar los lados

hacia arriba

formamos

la caja

Como el volumen de la caja es 672 cm3

, entonces se

debe cumplir que 4 (x-8) (x-10) = 672

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene:

x = 22 y x = -4

Como x representa la medida de la longitud de uno de

los lados del rectángulo, entonces x es un número real

no negativo, por lo que el valor x = -4 lo descartamos

Así las dimensiones de la pieza rectangular son:

Longitud x = 22

Ancho x-2 = 22 -2 = 20

También podemos afirmar que las dimensiones de la

base de la caja son 14 cm de largo y 12 cm de ancho, lo

cual nos ayuda a verificar.

El volumen es 4(14)(12) = 672 y la longitud (14 cm )

META: ¿Cuáles son las dimensiones de la pieza rectangular de cartón, que se construye respetando las condiciones del problema?

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Operaciones básicas

en R

x

x-2 4

x-8

x-8

(x-2)-8

4

EVENTOS

NÚMEROS REALES


47

Problema 4. La figura muestra una caja con sus medidas en centímetros, si el volumen es 60 cm3. ¿Cuál es el valor de x en centímetros?

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Operaciones básicas en

R

EVENTOS

3, 2x-6 y x-6 son las

dimensiones de la caja

x-62x-6

3

CONCEPTOS:


Volumen de un

paralelepípedo

Solución de una

ecuación cuadrática

META: ¿Cuál es el valor de x en centímetros, para que la caja dada tenga 60 cm3

de volumen?

TRANSFORMACIONES:

El volumen de la caja dada esta dado por:

3 (2x-6) (x-6) = 60 (I)

Luego procedemos a desarrollar y simplificar (I)

x2

- 9x + 8 = 0

Observe que la ecuación (I) representa una ecuación

cuadrática, cuya solución es:

x = 8 y x = 1

Verificación:

Sustituimos x = 8 y x = 1 en (I)

3 [2(8)-6] [(8)-6]) = 30.2 = 60

3 [2(1)-6] [(1)-6]) = -12(-5) = 60

Observe que aunque x = 1 satisface la ecuación (I),

no pertenece a la solución del problema, ya que al

sustituir el valor de x en cada una de las dimensiones

de la caja estas deben ser positivas, y el valor de x

Hace al largo (2x-6) y al ancho (x-6) negativos.

Conclusión:

El valor de x es 8cm. Así las dimensiones de la caja

son: 3 cm, 10 cm y 2 cm y su volumen es 60 cm 3

x-6 2x-6

3

NÚMEROS REALES


48

2.9. Expresiones Racionales

Una expresión racional es un cociente que involucra suma, producto, división y radicación de polinomios. Las expresiones racionales (o fracciones algebraicas) son las “extensiones algebraicas” de los números racionales y, por tanto, las reglas fundamentales del manejo de estos números abarcan las expresiones racionales.

Ejemplo:

REGLA EJEMPLO Opuesto aditivo de una fracción.

Regla 1 b

aba

ba

−=

−=−

3

232

32

−=

−=−

Reducción de fracciones.

Regla 2 ba

bcc.a=

52

3532=

⋅⋅

Multiplicación de fracciones.

Regla 3 bd

c.adc

ba

=⋅

214

32

72

=⋅

División de fracciones.

Regla 4 dbda

cd

ba

dc

ba

⋅⋅

=⋅=÷

65

1210

45

32

54

32

==⋅=÷

Suma y resta de fracciones; denominadores

iguales.

Regla 5 b

cabc

ba +

=+

Regla 6 b

cabc

ba −

=−

32

342

34

32

236

342

34

32

−=

−=−

==+

=+

6. Suma y resta de fracciones; denominadores

distintos.

Regla 7 bd

bcaddc

ba +

=+

Regla 8 bd

bcaddc

ba −

=−

151

15109

352533

32

53

1217

1298

433342

43

32

−=

−=

⋅⋅−⋅

=−

=+

=⋅

⋅+⋅=+

A continuación presentaremos varios ejemplos que ilustran estas reglas, con expresiones fraccionarias.

NÚMEROS REALES


49

Ejemplo1. Determinar las operaciones indicadas y simplificar.

a) 42x

2x2

x24

−

+⋅

− b) 2x

32x

7+

+−

c) ( ) 2x3

5x1xx3

4 −−

+ d) ( )

3x3x3

9x62x

21x−+

÷+−

+

Solución

a) ( )( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+−=

−

+⋅

−

42x2

2xx24

42x

2x2

x24 Regla 3

82x2

x42x28x4

−

−−+= Producto de binomios y propiedad distributiva

= 182x2

)82x2(1

82x2

2x28−=

−

−−=

−

− Reducción de términos y Regla 2

Nota: Todo número distinto de cero dividido entre su opuesto es igual a -1

b) ( ) ( )( )( )2x2x

2x32x72x

32x

7+−−++

=+

+−

Regla 7

( )( )2x2x6x314x7

+−−++

= Propiedad distributiva

( )( )2x2x8x10+−

+= Reducción de términos

( )( )( )2x2x

4x52+−

+= Factorización

c) ( )( )( )

( ) 2x31xx3

5x1xx32x122x3

5x1xx3

4

+

−+−=

−−

+ Regla 8

( ) ( )1x3x9

x152x32x153x32x12

1x3x9

5xx52xx32x12

+

+−+−=

+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−−

= Multiplicación de polinomios

NÚMEROS REALES


50

( )1x3x9

x152x243x3

+

++−= Reducción de términos

( ) ( )1x2x3

5x82x

1x3x9

5x82xx3

+

++−=

+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−

= Factorización y Regla 2

Nota: Los pasos aquí señalados no son los únicos posibles, dependen de las habilidades y maestría del que realiza las operaciones.

En este ejemplo se pudo aplicar m.c.m (producto de los factores simples con su mayor exponente y los no comunes también) en vez de la regla 8. Es decir

( )( )( )( )

( )( ) ( )

( )1xx35x8x

1xx35xx5xx4

1xx35xx5xx4

1xx35x1xx4

x35x

1xx34

2

2

2

2

2

2

22

+++−

=

++−+−

+−+−−

=+

−+−=

−−

+

d) ( ) ( )3x33x

9x62x

21x3x3x3

9x62x

21x+−

⋅+−

+=

−+

÷+−

+ Regla 4

( )( )

( ) ( )( ) ( )1x323x

3x21x3x33x

23x

21x

+−

−+=

+−

⋅−

+= Ractorización y Regla 3

( )( ) 33x

1x⋅−

+= Regla 2

2.9.1. Resolución de ecuaciones racionales

Ejemplo. Resolver las siguientes ecuaciones.

a) 1x2

x641x2

3−

=+−

b) 9x62x

x333x

5

+−

−=

−

Solución

(a) En este ejemplo se observa el uso de operaciones combinadas, trabajaremos considerando las reglas vistas en este apartado.

NÚMEROS REALES


51

Se simplificará la expresión dada efectuando las operaciones indicadas y luego despejaremos x.

1x2x64

1x23

−=+

− ;

( )1x2

x61x21x24

1x23

−=

−−

+−

; Regla 7

( )1x2

x61x2

11x243−

=−−+ ; Regla 5

( ) ( ) ( )1x21x2

x61x21x2

1x243−

−=−

−−+ ;

( ) x61x243 =−+ ; Regla 2

x64x83 =−+ ; x61x8 =− ; 1x2 = ; 21x = Propiedad distributiva y Reducción de términos

semejantes

Comprobación:

21x = , hace cero el denominador por lo tanto la ecuación dada no tiene solución real

b) 9x62x

x333x

5

+−

−=

−

( )23x

x333x

5

−

−=

− Factorización

( )0

23x

x333x

5=

−

−−

− Axioma de cuerpo; si A = C, entonces A-B = C-B

( ) ( )( )

023x

x333x5=

−

−−− m.c.m

( ) ( )0

23x

48x6;023x

x3315x5=

−

−=

−

+−− Propiedad distributiva y Reducción de términos

NÚMEROS REALES


52

( )( ) ( ) ;023x23x

23x

48x6⋅−=−

−

− con x 3≠ Axioma de cuerpo; si A = C, entonces A.B = C.B

8x;648x;048x6 ===− Regla 2 y despeje

Comprobación:

( ) ( )11;

2525

55;

98628

83338

5==

+−

−=

−

2.10. Axiomas de Orden y desigualdades.

Axiomas de orden en . En existe el subconjunto + con las siguientes propiedades: i) Si x ∈ , una y sólo una de estas afirmaciones es cierta:

x ∈ + , x = 0 , ( )∈− x − .

ii) El conjunto + es cerrado para la adición es decir: ∀x y, ∈ +: ∈+ yx +.

iii) El conjunto + es cerrado para la multiplicación: ∀x y, ∈ +: x y⋅ ∈ +.

Podemos ver entonces que una propiedad importante de los números reales es que pueden ordenarse. Es decir, para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.

Desigualdades

Sean a y b dos números reales

i) a es menor que b si y solo si ( )ab − ∈ + .

En símbolos: a < b ⇔ ab − ∈ +.

ii) a es menor o igual que b, si y sólo si a < b ó a = b, lo cual denotamos por a ≤ b

NÚMEROS REALES


53

iii) a es mayor que b, si y sólo si ba − ∈ + .

En símbolos: a > b ⇔ a - b ∈ +.

iv) a es mayor o igual que b, si y sólo si a > b ó a = b, lo cual denotamos por a ≥ b

Las siguientes propiedades se usan a menudo al manejar desigualdades

Propiedades de las desigualdades:

1. Dados dos números reales a y b, exactamente una de las siguientes afirmaciones es cierta: a < b, a = b ó b < a.

2. Si a < b y b < c entonces a < c. 3. Si a < b y c es un real cualquiera, entonces a + c < b + c. 4. Si a < b y c < d entonces a + c < b + d. 5. Si a < b y c > 0, entonces a c b c⋅ < ⋅ . 6. Si a < b y c < 0 entonces a c b c⋅ > ⋅ 7. Si x ≠ 0 entonces x2 0> . 8. Si a, b, c y d son positivos, y a < b y c < d, entonces a.c < c.d. 9. Si a y b son números positivos y a < b, entonces a b2 2< . 10. Si a y b son números positivos y a < b, entonces b a− −<1 1. 11. Si a b⋅ > 0 entonces a > 0 y b > 0, o bien a < 0 y b < 0. 12. Si 0ba <⋅ entonces a > 0 y b < 0, o bien a < 0 y b > 0.

13. Si ba > 0 entonces a > 0 y b > 0, o bien a < 0 y b < 0.

14. Si ba < 0 entonces a > 0 y b < 0, o bien a < 0 y b > 0.

Nota: Las propiedades anteriores son válidas si se sustituye el símbolo < por ≤ , con excepción de la 13 y 14 donde b 0≠ . Es decir:

Si ba≥ 0 entonces a ≥ 0 y b > 0, o bien a ≤ 0 y b < 0.

Si ba≤ 0 entonces a ≥ 0 y b < 0, o bien a ≤ 0 y b > 0.

Demostremos algunas de estas propiedades

Propiedad 2. Si a < b y b < c entonces a < c.

ba < y cb < , → b - a ∈ + y c - b ∈ + Por definición

NÚMEROS REALES


54

→ (b – a) + (c – b) ∈ + Axioma de orden ii

→ - a + c = c - a ∈ + Reducción de términos → a < c Por definición

Propiedad 6: ba < y 0c < → a c b c⋅ > ⋅

ba < y 0c < → ab > y )c(− >0 → ( )ab − ∈ + y )c(− ∈ +. Axioma de orden i

→ ( ) ( )cab −⋅− ∈ + Axioma de orden iii

→ ( ) ( )( )cacb −⋅−−⋅ ∈ +. Por propiedad distributiva → cacb ⋅+⋅− ∈ +

→ cbca ⋅−⋅ ∈ +

→ , cacb ⋅<⋅ o bien cbca ⋅>⋅ . Por definición

Propiedad 9. a y b son números positivos y a < b, entonces a b2 2< .

a, b ∈ + y ba < → ba + ∈ + y ab − ∈ +.

→ ( ) ( )abab +⋅− ∈ +

→ 2a2b − ∈ + → 22 ba <

Sugerencia: realice la demostración del resto de las propiedades.

Observaciones

• Un número x se encuentra entre a y b si a < x y x < b. Esto puede escribirse como una

desigualdad continua de la siguiente manera: a < x < b.

• Si a < b y c < d no podemos concluir que a-c < b-d. Por ejemplo, 5 < 8 y 1 < 7, pero

no es cierto que 5-1 < 8-7. Este ejemplo es llamado contraejemplo, pues, con él se

demuestra que la proposición “Si a < b y c < d, entonces a-c < b-d” es falsa.

• Con frecuencia nos restringiremos a subconjuntos de los números reales o de la recta

real, en cuyo caso conviene usar notaciones del tipo

{ }condiciónciertaverificax:Rx∈ , por ejemplo el conjunto de los números reales

positivos se describe como { }0x:Rx >∈ . Los subconjuntos de que se usan con

NÚMEROS REALES


55

más frecuencia en el cálculo son los llamados intervalos. Por ejemplo, el intervalo

abierto ( ) { }bxa:Rxb,a <<∈= y el cerrado [ ] { }bxa:Rxb,a ≤≤∈=

Los tipos básicos de intervalos quedan reflejados en la siguiente tabla Notación de

intervalos

Notación de conjuntos

Intervalos

acotados ( )

[ ]

[ )

( ]b,a

b,a

b,a

b,a

{ }

{ }

{ }

{ }bxa:Rx

bxa:Rx

bxa:Rx

bxa:Rx

≤<∈

<≤∈

≤≤∈

<<∈

Intervalos

no acotados ( )

( ]

( )

[ )

( )+∞∞−

+∞

+∞

∞−

−∞

,

,b

,b

a,

a,

{ }

{ }

{ }

{ }

R

bx:Rx

bx:Rx

ax:Rx

ax:Rx

≥∈

>∈

≤∈

<∈

Nota: Observe que los círculos rellenos se utilizan para expresar geométricamente la inclusión del valor numérico del extremo del intervalo dado y los círculos no rellenos se utilizan para expresar geométricamente la no inclusión del valor numérico del extremo del intervalo dado. En forma análoga se hace uso directamente de los corchetes (incluye) y los paréntesis (no incluye)

2.10.2. Operaciones con intervalos

Como los intervalos son conjuntos de números reales, las operaciones de unión e intersección

NÚMEROS REALES


56

son a menudo útiles cuando se trabaja con intervalos. La unión de los conjuntos A y B, que se denota por BA ∪ , es el conjunto formado por la combinación de todos los elementos de A y de todos los elementos de B. La intersección de los conjuntos A y B se denota por BA ∩ , que es el conjunto de elementos de A que está también en B. Simbólicamente:

Operación Definición Ejemplo Unión { }BxAx/xBA ∈∨∈=∪ { } { } { }5,3,2,1,05,3,03,2,1 =∪

Intersección { }BxAx/xBA ∈∧∈=∩ { } { } { }35,3,03,2,1 =∩

Ejemplo: Si [ ]2,3A −= , ( )4,1B = y ( )3,∞− , grafique los conjuntos indicados y escríbalos como un solo intervalo, si es posible

1) BAyBA ∩∪ 2) CAyCA ∩∪

Solución 1:

Solución 2:

A

B

A∪B = [ )4,3−

( ]2,1BA =∩

A

C

( ]2,CA ∞−=∪

φ=∩CA

NÚMEROS REALES


57

2.11. Inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales Hemos de resolver con frecuencia desigualdades o inecuaciones con expresiones variables, como 32x2 <− . Diremos que ax = es solución de tal desigualdad si es cierta al sustituir x por a . El conjunto de valores de x que satisfacen la desigualdad se llama conjunto solución de la desigualdad

Inecuaciones lineales.

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son:

> (mayor que), < (menor que), ≥ (mayor o igual que), ≤ (menor o igual que)

Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8.

Sumando la misma cantidad a ambos lados:

3 > x – 8 ; 3 + 8 > x - 8 + 8 ; 11 > x

A menos que digamos lo contrario, siempre supondremos que estamos empleando el conjunto de los números reales. Por consiguiente, en este caso, el conjunto de soluciones consta de todos los números reales menores que 11. En lugar de emplear una descripción verbal, podemos emplear llaves y escribir este conjunto de soluciones en la notación de conjunto por construcción del siguiente modo:

{ }11x/Rx <∈

Esto se lee “el conjunto de las x que pertenecen al conjunto de los números reales tales que, x sea menor que 11”

Nota: Recuerde que al multiplicar por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia (propiedad 6 de las desigualdades).

Ejemplo

5x3

153x3

312x8x53x812x5

>−−

>−−

−−<−−<+

NÚMEROS REALES


58

Ejemplos.

Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

a) 2x57x2 +≥−− b) 3

x254x23 −−>− c) 2

5x732 <

−≤−

Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución. Dos desigualdades son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. El proceso para resolver una desigualdad es parecido al que se hace en las ecuaciones, se realizan las operaciones sobre las desigualdades que produzcan desigualdades equivalentes más simples, y se continúa el proceso hasta llegar a una o más desigualdad cuya solución sea obvia. Las propiedades de las desigualdades dadas en el punto 2.10.1 se pueden usar para producir desigualdades equivalentes.

Solución a.

CONCEPTOS:

Números Reales

Inecuación lineal

Desigualdades

Conjunto solución de una

inecuación

Intervalos

Problema (a) META: ¿Cuáles son los valores que puede tomar x en la inecuación dada?

EVENTOS:

2x57x2 +≥−−

PROPIEDADES:

Axiomas de cuerpo:

operaciones básicas con

números Reales.

Propiedades de las

desigualdades 3 ,5 y 6.

TRANSFORMACIONES:

2x57x2 +≥−− ⇒ ( ) x572x5x577x2 −++≥−+−− ⇒

900x7 +≥+− ⇒ 9x7 ≥− ⇒ 9)x7( −≤−− ⇒ 9x7 −≤

)9.(7x77 11 −≤⋅ −− ⇒79x1 −≤⋅ ⇒

79x −≤

Luego el conjunto solución es:

{ x ∈ / 79

−≤x }= (79, −∞− ]

Solución gráfica

Verificando la respuesta con un ejemplo y un contra ejemplo: Si sustituimos x = -2 en la inecuación dada

cumple83;2)2(57)2(2 −≥−+−≥−−− Si sustituimos x = -1 en la inecuación dada

cumpleno35;2)1(57)1(2 −≥−+−≥−−−

NÚMEROS REALES


59

Nótese que para la comprobación de la solución de la inecuación dada se sustituyó un valor que satisface a la solución obtenida, y se verificó que hacia cierta a la desigualdad original, esto no asegura de inmediato que la solución es correcta, por lo cual se recomienda sustituir además un contra ejemplo, un valor que no pertenece a la solución para chequear que debería hacerla falsa, tal como ocurrió en este caso con x = -1. Este no es un proceso seguro, por lo cual se recomienda sustituir otros valores para estar más confiado de la solución encontrada. Solución b.

41

0

TRANSFORMACIONES CONCEPTOS:

Números Reales

Inecuación lineal

Desigualdades


inecuación

Intervalos

Problema (b) META: ¿Cuáles son los valores que puede tomar x en la inecuación dada?

3x254x23 −

−>− ;

( )3

)x25(343x233

−⋅−⋅>− ;

( )x2512x69 −−>− ; x2512x69 +−>− ;x27x69 +>−

x29x27x29x69 −−+>−−−

41x;

82

8x8;2x8 <

−−

<−−

−>−


{ x ∈ / 41x < }= (

41,∞− )

Solución gráfica:

Verificando la respuesta con un ejemplo y un

contra ejemplo:

Si sustituimos x = 0 en la inecuación dada

3)0(254)0(23 −

−>− ; cumple;373 >

Si sustituimos x = 1 en la inecuación dada

;3

)1(254)1(23 −−>− cumpleno;31>

EVENTOS:

3

x254x23 −−>−

PROPIEDADES:

Axiomas de cuerpo:


números Reales.

Propiedades de las

desigualdades.

NÚMEROS REALES


60

Solución c.

TRANSFORMACIONES CONCEPTOS:

Números Reales

Inecuación lineal

Desigualdades


inecuación

Intervalos

Problema (c) META: ¿Cuáles son los valores que puede tomar x en la inecuación dada?

EVENTOS:

25

7x32 <−

≤−

25

x732 <−

≤− ; )2(5)5

x73(5)2(5 <−

≤− ;

10x7310 <−≤− ; 3103x73310 −<−−≤−− ;

7x713 <−≤− ; 7x7x713 <−∧−≤− ; 7)1()x7)(1()x7)(1()13)(1( −>−−∧−−≥−−

7x7x713 −>∧≥ ; 1x7

13x −>∧≤


{ x ∈ / 7

13x1x ≤∧−> }= ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛−

713,1

Solución gráfica

Verificando la respuesta con ejemplo y contra ejemplo: Si sustituimos x = 0 en la inecuación dada

25

)0(732 <

−≤− ; cumplese2

532 <≤−

Si sustituimos x = -8 en la inecuación dada

25

)8(732 <−

≤− ; cumpleno25532 <−

≤− Si sustituimos x = 2 en la inecuación dada

25

)2(732 <−

≤− ; cumpleno25112 <

−≤−

PROPIEDADES:

Axiomas de cuerpo:


números Reales.

Propiedades de las

desigualdades.

NÚMEROS REALES


61

Problema 1. En un experimento químico, una solución de ácido clorhídrico se va a mantener entre 30º C y 35º C; es decir, 30 35C ≤≤ . ¿Cuál es el rango de temperatura en grados

Fahrenheit si la formula de conversión Celsius/ Fahrenheit es C = ( )32F95

− ?

Inecuaciones cuadráticas.

La forma general de una inecuación cuadrática es:

0cbx2ax >++ , a, b, c ∈ , a ≠ 0.

Si se sustituye el símbolo > por ≥ , <, ≥ la desigualdad también es una inecuación cuadrática.

CONCEPTOS: Ecuación lineal Inecuación Desigualdad Temperatura ºC y ºF

TRANSFORMACIONES

Como 30 35C ≤≤ (I)

Sustituyendo C=? en (I) tenemos:

30 ( ) 3532F95

≤−≤ (II)

Resolviendo (II)

( ) 355932F

95

5930

59

⋅≤−⋅≤⋅

6332F54 ≤−≤ ; 95F86 ≤≤ .

Conclusión:

El rango de la temperatura es de 86º C a 95º

C

META: ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit si la formula de

conversión Celsius/ Fahrenheit es C = ( )32F95

− ?

EVENTOS:

Solución de ácido clorhidrico.

Se mantiene entre 30º C y 35º

C, es decir:

30 35C ≤≤

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Propiedades de:

Desigualdades

NÚMEROS REALES


62

Método analítico para resolver una inecuación cuadrática.

a) Determinar las raíces del polinomio cbx2ax ++ .

b) Si estas raíces son reales y distintas: 1x , 2x , se factoriza el polinomio así:

cbx2ax ++ = a ( ) ( )21 xxxx −⋅−

Para resolver la inecuación se aplican las propiedades (11) y (12) de las desigualdades.

Ejemplo

Resolver la inecuación 02xx2 >−−

Solución

Como )1x)(2x(2x2x +−=−− ; entonces 0)1x)(2x( >+−

Aplicando la propiedad (11) de las desigualdades, tenemos:

)01x02x()01x02x( <+∧<−∨>+∧>−

Es decir

)1x2x(v)1x2x( −<∧<−>∧>

Busquemos las dos soluciones de las intersecciones geométricamente

Solución 1: 1x2x −>∧>

Sol.1. ( )+∞,2

Solución 2: 1x2x −<∧<

Sol.2. ( )1,−∞−

NÚMEROS REALES


63

Luego el conjunto solución es { }1x2x/Rx −<∨>∈ = ( ) ( )+∞∪−∞− ,21,

c) Si las raíces son reales e iguales: x1, se factoriza el polinomio así:

ax bx c2 + + = a ( )21xx −

En este caso:

Si a>0, entonces 0cbxax2 ≥++ para todo x ∈

Si a<0, entonces 0cbxax2 ≤++ para todo x ∈

Considerando este señalamiento se procede a resolver los problemas de este tipo.

Ejemplo

Resolver la inecuación 09x6x2 >++ .

Solución

22 )3x(9x6x +=++ , luego 0)3x( 2 >+

En este caso nótese que 0)3x( 2 >+ para todo x ∈ { }3−− , por lo tanto

El conjunto solución es { } ( ) ( )+∞∪−∞−=−≠∈ ,33,3x/Rx

Otros ejemplos:

• Para 02)3x( ≥+ , la solución seria todo x ∈

• Para 02)3x( <+ , no existe un x ∈ que haga cierta la desigualdad

• Para 02)3x( ≤+ , la solución sería única x = - 3

d) Si el polinomio cbx2ax ++ no tiene raíces reales se cumple que 0ac42b <− , y se

procede a completar cuadrados. Luego la inecuación cbx2ax ++ > 0 se transforma en:

a4

ac42b2

a2bxa −

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

NÚMEROS REALES


64

Ya que 2

a2bac

2

a2bx

ab2xacbx2ax ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=++

Luego a4

2bac42

a2bxacbx2ax −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++

Así 0a4

2bac42

a2bxa >

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; luego

a4ac42b2

a2bxa −

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

• Si a > 0 se tiene 2a4

ac42b2

a2bx −

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + , lo cual se cumple para todo x ∈ , pues

como 0ac42b <− , entonces 02a4

ac42b<

− .

• Si a < 0 resulta 2a4

ac42b2

a2bx −

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + : esto no se cumple para ningún x en .

En conclusión: La solución de la inecuación 0cbxax2 >++ con 0ac4b2 <− es:

i) si 0a > y ii) φ si 0a < .

Análogamente, la solución de la inecuación 0cbxax2 <++ con b ac2 4 0− < es:

i) φ si 0a > . y ii) si a < 0..

Ejemplos

1) El polinomio 9x62x2 ++ no tiene raíces reales; así la solución de la inecuación

09x62x2 ≤++ es φ , ya que siendo a = 2 > 0, siempre 9x6x2 2 ++ >0 para todo x ∈ .

2) ( ) x5322x −>− ⇒ x x2 1 0+ + > : el polinomio 1x2x ++ no tiene raíces reales y como a

= 1>0 entonces 01xx 2 >++ para todo x en . Luego el conjunto solución de

( ) x5322x −>− es .

NÚMEROS REALES


65

Problema 2. Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación

( ) 07mx1m2x8 =−+−− para que sus soluciones sean reales

Inecuaciones racionales.

Son inecuaciones que se pueden expresar de la forma ( )( ) 0xpxq

> , donde ( )xp y ( )xq son

polinomios no nulos. En el lugar de > puede aparecer ≥ , < ó ≤ .

Estas inecuaciones se resolverán aplicando las propiedades de las desigualdades.

A continuación se ilustra el proceso.

CONCEPTOS: Ecuación cuadrática Discriminante Inecuación Desigualdad Solución de una inecuación cuadrática

TRANSFORMACIONES Dada la ecuación cuadrática: ( ) 07mx1m2x8 =−+−− (I) Identificamos a = 8, b = -(m -1) y c = m -7

Luego, como 0ca42b ≥⋅⋅− para que la ecuación (I) tenga soluciones reales, entonces sustituimos los valores de a, b y c en

0ca42b ≥⋅⋅− Así: ( )( ) ( ) 07m8421m ≥−⋅⋅−−− , lo cual es equivalente a:

;0225m342m ≥+− (II) Factorizando en (II) obtenemos: ( )( ) 025m9m ≥−− (III) Nos queda entonces resolver la inecuación cuadrática (III). Cuya solución es: 25m9m ≥∨≤ . Este resultado representa las condiciones que deben cumplir los coeficientes de la ecuación (I) para que tenga soluciones reales. Dejamos al lector su verificación

META: ¿Cuáles son las condiciones que tiene que verificar los coeficientes de la ecuación dada para que sus soluciones sean reales?

EVENTOS:

( ) 07mx1m2x8 =−+−−

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Propiedades de:

Desigualdades

NÚMEROS REALES


66

Ejemplo: Resolver la inecuación 23x

x≤

+.

Solución:

Es posible que pensemos en eliminar el denominador multiplicando por ( )3x + para tener la desigualdad ( )3x2x +⋅≤ , pero tal desigualdad no es equivalente a la anterior. Ya que si culminamos este proceso tendríamos que 6x −≥ . Esta solución no satisface completamente a la inecuación original y existen otros valores que son solución y no están incluidos.

Comprobemos:

Si x = -3, entonces el denominador x + 3 sería cero, lo cual no es admitido en el conjunto de los números reales.

Por otro lado observe que x = -8, es solución de la inecuación original, veamos:

258;2

388

≤−≤+−

− lo que hace la desigualdad cierta. Dicho valor no está considerado en

la solución 6x −≥ .

El error que se comete es el considerar un factor (x + 3) para el cual se le desconoce su signo, como un valor positivo, ya que la desigualdad no se altera tal como lo justifica la propiedad 5.

Si consideramos dos casos x + 3 > 0 y x + 3 < 0, podemos resolver dicha inecuación aplicando la propiedad 5 y 6 de la axiomática de orden.

Solución:

Caso 1. x + 3 > 0

Si x + 3 > 0, entonces ( ) ( ) ;23x3x

x3x ⋅+≤+

+ Propiedad 5 de las desigualdades

( )3x2x +⋅≤ ; 6x;6x2x −≥+≤

Luego la primera solución estaría dada por:

x + 3 > 0 6x −≥∧ ; x > -3 6x −≥∧

Sol. 1 ( )∞− ,3

NÚMEROS REALES


67

Caso 2. x + 3 < 0

Si x + 3 < 0, entonces ( ) ( ) ;23x3x

x3x ⋅+≥+

+ Propiedad 6 de las desigualdades

6x;6x2x −≤+≥

Así la segunda solución estaría dada por:

x + 3 < 0 6x −≤∧ ; x < -3 6x −≤∧

Sol. 2 ( ]6−∞−

Conclusión: El conjunto solución de la inecuación esta dado por ( ]∪−∞− 6 ( )∞− ,3

Existen otros métodos para resolver dichas inecuaciones racionales, se sugiere previamente

escribir la inecuación original en la forma ( )( ) 0xpxq

≤ , veamos:

03x6x0

3x)3x(2x02

3xx2

3xx

≤+−−

⇒≤++−

⇒≤−+

⇒≤+

,

Esta desigualdad se cumplirá si:

i) ∨>+∧≤−− 03x06x ii) 03x06x <+∧≥−−

Resolviendo mediante un proceso semejante al usado para inecuaciones cuadráticas se obtiene la solución:

( ] ( )+∞−∪−∞−= ,36,S

Ejemplo

Resuelva la inecuación 05x

12≥

+

Solución

Este caso es más particular, observe que ya esta en la forma ( )( ) 0xpxq

≥ , por lo cual no requiere

de una transformación inicial y tampoco requiere del planteamiento de dos casos, ya que q(x)=

NÚMEROS REALES


68

12>0, por lo cual sólo bastaría plantear p(x)>0 para que ( )( ) 0≥xpxq .

Es decir la solución de 05x

12≥

+, estará dada por x + 5>0; esto es x >-5.

En conclusión: el conjunto solución de la inecuación dada es { } ( )∞−=−>∈ ,55x/Rx

2.12 Ecuaciones e inecuaciones que involucran valores absolutos y radicales.

Valor absoluto de un número real

La distancia de un número x en la recta numérica desde cero se llama valor absoluto y se representa con el símbolo x . El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:

• Si el número es negativo, lo convertimos a positivo. • Si el número es cero o positivo, se queda igual.

Ejemplo: 7 = 7 y 7− = 7

En otras palabras, -7 está a la misma distancia a la izquierda de 0 que 7 a la derecha de 0.

Para cada número real x, la interpretación de x es la distancia (sin importar la dirección) a la

que se encuentra x del origen. Nótese que para un número positivo x = x; 55 = . Para un

número negativo, x = -x; esto es, ( )55 −−=− . También como 0 es el origen, es natural

decir 00 = .

Podemos resumir lo anterior en la siguiente definición.

Si x es un número real, su valor absoluto es: ⎩⎨⎧

<−≥

=0xsi,x0xsi ,x

x

Nota: -x es positivo si x es negativo. Esto es, si x = -2, entonces -x = -(-2); -x = 2

Propiedades del valor absoluto

Las siguientes propiedades son consecuencia directa de la definición anterior: En general se supone que x e y son números reales cualesquiera.

NÚMEROS REALES


69

1) 0x ≥ 2) xx −= 3) 0x = ⇔ 0x =

4) xyyx −=− 5) x y= ⇔ ( )yxyx −=∨=

6) 222 xxx ==

7) 2xx = 8) xxx ≤≤−

9) yxyx ⋅=⋅

10) yx

yx= y 0≠

11) ( ) ( )axax0aax −=∨=⇔>∧= 12) axaax ≤≤−⇔≤

ó axaax <<−⇔<

13) ( )axaxax −≤∨≥⇔≥

ó ( )axaxax −<∨>⇔>

14) x y x y+ ≤ + 15) x y x y− ≤ −

A continuación demostraremos algunas de estas propiedades

Propiedad 14. ,Ry,x ∈∀ x y x y+ ≤ +

Demostración:

Se tiene xxx ≤≤− e yyy ≤≤− Por propiedad 8 de valor absoluto

Por lo tanto, por las propiedades de las desigualdades se cumple que:

yxyxyx +≤+≤−−

( ) yxyxyx +≤+≤+−

Luego como 0yx >+ , entonces x y x y+ ≤ + Propiedad 12 de valor absoluto

Propiedad 7. 2xx =

NÚMEROS REALES


70

Demostración:

Se consideran dos casos:

Caso 1: x 0≥

xx = y xx 2 =

Caso 2: x<0

xx −= y ( ) xxx 22 −=−=

De los casos 1 y 2 se concluye que 2xx =

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

Se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo. Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones. a) 45x3 =+ b) 09x2 =−

c) 21x −=− d) 2x1x2 −=+−

Solución: a) Aplicando la propiedad 11 de valor absoluto, se tiene:

45x345x3 −=+∨=+

Resolviendo cada una de estas ecuaciones se obtiene: x = -1/3 ó x = 339

−=−

Verifiquemos aplicando la sustitución en la ecuación dada 445)31(3 ==+

− ó

445)3(3 =−=+− .

Luego el conjunto solución de la ecuación (a) es { -1/3, -3 }.

b) En la ecuación 09x2 =− , aplicamos la propiedad 3 de valor absoluto, luego 09x2 =− ,

cuya solución es { -3, 3 }. Y, es esta la solución de la ecuación dada.

NÚMEROS REALES


71

c) La solución de la ecuación 11x −=− es el conjunto φ . Porque 01x ≥− para cualquier

y nunca tomará un valor negativo. d) Para la solución de 2x1x2 −=+− previamente consideramos que 02x ≥− lo cual

equivale a 2x ≥ . Luego se aplica la propiedad 11 de valor absoluto, obteniéndose:

(i) 2x1x2 −=+− ó (ii) ( )2x1x2 −−=+− .

La solución de la ecuación (i) es: x = 1 y la de (ii) es x = -1. Los números -1 y 1 no satisfacen la condición 2x ≥ entonces, el conjunto { -1, 1} no es la solución de la ecuación (d). Esto es, la ecuación no tiene solución. Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones.

a) 2x37 ≤− b) x215x4 +≤− c) x − >2 4

Solución(a). a) Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto, resulta: 2x372x37 −≥−∧≤−

De allí que: 3x35x ≤∧≥ . Luego la solución de la inecuación (a) es:

S = ]( )∞+⎢⎣⎡∩∞− ,353, = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 3,35

Comprobemos la solución, sustituyendo x = 2 ∈ S, en la inecuación dada originalmente.

21;21;2)2(37 <≤≤− , es cierta la desigualdad

Sustituyamos x = 1 y x = 4, valores que no pertenecen a S, en la inecuación dada originalmente

24;24;2)1(37 <≤≤− Falso

25;25;2)4(37 <≤−≤− Falso

Podemos comprobar que estos valores no satisfacen las desigualdades. Esto nos hace confiar que la solución es correcta.

NÚMEROS REALES


72

b) Aplicando la propiedad 11 de valor absoluto, se tiene:

x215x4 +≤− ⇔ ( ) x215x4x21 +≤−≤+− .

Lo cual equivale a:

i) )x21(5x4 +−≥− ∧ ii) x215x4 +≤−

Al resolver estas dos inecuaciones se obtiene:

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ +∞= ,32Si ∧ ( ]3,Sii ∞−= .

Luego la solución de la inecuación (b) es: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=∩= 3,32SSS iii

Se deja como ejercicio la comprobación de esta solución

Podemos aplicar otro método alternativo de solución como la definición de valor absoluto, lo cual nos deberá dar el mismo resultado:

Veamos:

Dado que: x215x4 +≤−

Aplicando la definición de valor absoluto, nos queda que: 05x4x21)5x4()ii05x4x215x4)i <−∧+≤−−∨≥−∧+≤−

Al resolver estas cuatro inecuaciones resulta:

45x

32x)ii

45x3x)i <∧≥∨≥∧≤

Luego Si = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 3,45 ∨ Sii = ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡

45,

32

Así la solución de la inecuación dada es S = Si ∪ Sii = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 3,32

c) Aplicando la propiedad 13 de valor absoluto, tenemos que:

NÚMEROS REALES


73

42x42x42x −<−∨>−⇔>−

Lo cual equivale a: i) x > 6 ∨ ii) x < -2

Así la solución de la inecuación dada en (c) es:

S = Si ∪ Sii = ( ) ( )+∞∪−∞− ,62,

Para la comprobación, podemos sustituir x = -1 y x = 6, lo cual deberían hacer falsa la desigualdad. Veamos:

.Falso43;43;42)1( >>−>−−

.Falso44;44;42)6( >>>−

Luego si sustituimos x = -3 y x = 7, debería hacer verdadera la desigualdad. Veamos:

.verdadero45;45;42)3( >>−>−−

.verdadero45;45;42)7( >>>−

Ecuaciones que incluyen radicales

Se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo.

Ejemplo: Resolver cada ecuación:

A) 21x −=− B) x2x =+ C) 44xx =++

Solución (A): La ecuación 21x −=− no tiene solución real, ya que no existe ningún valor para x, cuya raíz cuadrada de x -1 sea un valor negativo.

NÚMEROS REALES


74

Solución (B):

CONCEPTOS:

Ecuación

Radical

Solución de una

ecuación

TRANSFORMACIONES

x2xDada =+ (I)

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación (I) 2x2x =+ , donde se cumple que:

0x02x ≥∧≥+ por definición de radicación

Así,

0x2x02xx 2 ≥∧−≥∧=−−

Buscamos las raíces por la vía de la factorización

0)1x)(2x(2xx 2 =+−=−− de aquí x = 2 y x = -1

Observe que x = 2 y x = -1 están en x ≥ -2, pero

x = -1 no está en x ≥ 0, luego x =2 es la única

solución de x2x =+

Verificación:

Sustituimos x = 2 en la ecuación dada originalmente:

24);2(2)2( ==+ . Verdadero

Observe que para x = -1 no se cumple:

=−=+− 1);1(2)1( -1. Falso

META: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación dada?

EVENTOS:

x2x =+

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Propiedades de:

Valor absoluto

Radicales

NÚMEROS REALES


75

Solución (C):

g) Inecuaciones que incluyen radicales.

Ejemplo: Resolver las siguientes inecuaciones

CONCEPTOS:


Radical

Solución de una

ecuación

Ecuación de la

resolvente

TRANSFORMACIONES

Dada 44xx =++

Primero despejamos el radical:

x44x −=+

Luego, elevamos al cuadrado ambos miembros 2)x4(4x −=+ donde se cumple que:

0x404x ≥−∧≥+ , por definición de

radicación.

Desarrollamos la primera ecuación y resolvemos las

inecuaciones:

4x4xxx8164x 2 ≤∧−≥∧+−=+

Resolvemos la ecuación aplicando la resolvente

Dado que 012x9x 2 =+− , entonces

2339

)1(2)12)(1(4)9()9(

x2 ±

=−−±−−

=

Luego

62,12

339xy33,72

339x ≅−

=≅+

=

Pero la única solución es

62,12

339x ≅−

= cuyo valor satisface a las

desigualdades 0x404x ≥−∧≥+ , es decir

2339x −

= [ ]4,4−∈

Verifica tú mismo esta solución

META: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación dada?

EVENTOS:

44xx =++

PROPIEDADES

Axiomas de cuerpos

Propiedades de:

Desigualdades

Valor absoluto

Radicales

Potenciación

NÚMEROS REALES


76

A) 2x2 <− B) 2x −≥ C) 312x −≤+ D) x2x ≥+

Solución (A):

Para la solución de este de inecuaciones se sugiere que la raíz este despejada totalmente para luego proceder a aplicar la propiedad 9 de las desigualdades, que es la permite elevar al cuadrado los miembros siempre y cuando estos sean positivos.

En este caso, elevamos al cuadrado y resulta:

2- x < 4; de donde 2 – x ≥ 0 por def. Radicación

Así, 2- x < 4; esto es x > -2

Luego la solución de la inecuación 2x2 <− estaría dada por:

{ } [ ]2,22x2x/x −=≤∧−>

Solución (B).

Dado que 2x −≥ , donde uno de sus miembros es negativo, no se puede aplicar la propiedad 9 de las desigualdades, por lo tanto la solución dependería de x ≥ 0, ya que la raíz cuadrada de un número siempre da un valor positivo y en este caso siempre será mayor que -2.

Por lo tanto, la solución de 2x −≥ , es { } [ )+∞=≥ ,00x/x

Solución ©.

En este caso, tampoco podemos elevar al cuadrado, pero observe que la raíz cuadrada produce un número positivo 0 cero, por lo tanto no existe ningún x que al sustituir en el radicando de

un valor menor que -3, así se concluye que la inecuación 312x −≤+ no tiene solución.

Solución (D).

Para la inecuación x2x ≥+ se plantearían dos soluciones:

Caso 1. Cuando x≥ 0

Por lo que se puede elevar al cuadrado ambos miembros (propiedad 9 de las desigualdades)

02x2x2x ≥+∧≥+ Por def. Radicación

Luego la solución 1 estaría dada por { }0x02x2x2x/x ≥∧≥+∧≥+

NÚMEROS REALES


77

2x2x ≥+ ; 02x2x ≤−− ; ( )( ) 01x2x ≤+− ; de aquí x [ ]1,2−∈ verifícalo

2x;02x −≥≥+ ; x [ )+∞−∈ ,2

[ )+∞∈≥ ,0x;0x

Representemos las tres soluciones gráficamente

Podemos observar geométricamente que las tres soluciones se interceptan en el intervalo [ ]1,0

Así concluimos que: { }0x02x2x2x/x ≥∧≥+∧≥+ = [ ]1,0 = Sol.1

Caso 2. Cuando x < 0

En este caso, sabemos que no podemos elevar al cuadrado, pero como la raíz cuadrada nos da un resultado positivo, este será siempre mayor que un número negativo, por lo tanto la solución del caso 2, solo depende de dos condiciones:

x < 0 ∧ 02x ≥+ .

Es decir, Sol.2 = { }0x02x/x <∧≥+ = { }0x2x/x <∧−≥ = [ )0,2−

Luego la solución de la inecuación x2x ≥+ , está dada por

Sol.1 ∪ Sol.2 = [ ]1,0 ∪ [ )0,2− = [ ]1,2−

NÚMEROS REALES


78

EJERCICIOS 1.1

1. Resolver y simplificar a su mínima expresión:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

=−

=+

=−

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+−−

=−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−−

−

55202)g

164

8)f

4232)e

154

513

37

65

34

215)d

83

41

34

21)c

421950422)b

8165320)a

33

0

533

32

35

21

2. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:

4z31y2xSi

y3xz

zyx6)c

z5yx2xy)b

yzx4z2xy)a

3

2

22

2

==−=

++

−

+−−

−

+

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) ( ) ( ) 17t22t45 ++=−+ b)3

2x4

1x25 +=

−− c)

33x2

32x3 −+

+=

d) 5x

2525x

x5+

−=+

e) 0t5

t32t

11

9t62t

22t5=−

−−

+−

− f) 32x

6x2

x3=

−+

−

g) 2x23x2 =+ h) 03x102x =−− i) x222x5 =+ j) ( ) 523y2 =−

NÚMEROS REALES


79

4. Racionaliza los denominadores

a) 310

5−

; b) 3 2

5 ; c) yx

yx++ ; d)

bac+

5. Efectúa aplicando los productos notables donde sea posible:

a) 2

22x2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − ; b)

2

3y2x

3

2xy2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛− ; c) ( ) ( )22x22x −−+

d) ( ) ( )3yx23yx2 −−+ ; e) ( ) ( ) ( )33x5x2x −++⋅+ 6. Factoriza las siguientes expresiones:

1xx)d1yxy2x)cxx69)b1a4

a)a 222

++−+−+−+−

e) ( ) ( )5xx5xx2 +⋅++⋅ f) 222 z64yx − g) 81x8 3 −

h) 27x3 + i) 322 ab21ab6ba3 +− j) y24y2y 23 −− 7. Efectúa y simplifica a su mínima expresión:

a)

2aaa

1a2

2a2

1a3

2 −−−

+

−−

+ b) 1

n1

m11

n1

m11

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

c)

22

2

2

mnm1

mnnn

−+

−−

d) 22 yxxy2

yxy3

yxx15

−

−+

−−

+

8. Expresar en forma de intervalo los siguientes subconjuntos de números reales y expresarlos en la recta real.

}{{ }{ }{ }7x21x6/Rx)d

0x2x/Rx)c4xe5x3/Rx)b

6x4/Rx)a

<≤∨−≤<−∈≥∨<∈

≤≤∧<≤∈

<≤∈

NÚMEROS REALES


80

9. Efectuar y representar en la recta real las siguientes operaciones con intervalos:

[ ) [ )( ) ( ]( ] [ )( ] [ ]{ } [ ]( ) [ ]{ } [ ]3,52,03,6)e

2,74,12,)d,5,)c

3,0,5)b5,2,1)a

−∩∩−−−∩−∪−∞−

+∞π∩∞−

∪+∞−−∩+∞−

10. Determinar el conjunto solución de cada desigualdad e ilustrarlo en la recta real

5

3x23

1x)a −≥+

− 61

3x4x

21x23)b +

−>−

−−

( ) x532x)c 2 −>− 09x6x)d 2 >++

09x6x2)e 2 ≤++ ( )( ) ( )561xx

3x41xx1x)f 22 +−≥−+−+

06x22x33x)g >−−+ 0x23x)h >

−−

32

1x1x)i ≤

−+ ( )

( ) 3xx1

3x4x32)j 2 +

−≤+

+

11. Resuelve las ecuaciones siguientes.

73x4)a =+ x232x)b −=−

c) 52x2x=

−+ 1x2x4)d 2 =−

23x)e =− 19x316x)f −+=+ 164x7x25)g =+++

12. Determinar el conjunto solución de cada desigualdad e ilustrarlo en la recta real

74x)a <+ x4x23)b −≤+

21

x3x56)c <

+− 1x2x4)d 2 <−

32x)f ≥+ 13x)g −<− x1x2)h <− x33x5)i −≥+

10x2x9x)j 2 +≤−− 12x2x22)k +≥

NÚMEROS REALES


81

EJERCICIOS 1.2 1. Determina si las siguientes proposiciones son ciertas o falsas. Justifica tu respuesta: a) El producto de dos números irracionales es un irracional b) Todo número entero se puede escribir como un decimal periódico. c) Todo número natural en un número entero d) La suma de un número Irracional con un racional es un irracional e) Dado que a < b, entonces a + 2 < b + 2 f) Dado que a < b, entonces 5b < 5a g) Dado que a < b, entonces 5-a > 5-b

h) Dado que a < b, entonces b1

a1<

i) Dado que a < b, entonces (a – b) (b – a) >0 j) Dado que a < b, entonces 22 ba <

k) Si x < 0, entonces ( ) xx 2 −=−

l) Si x > 0, entonces 2xx < m) Si tanto x como y son negativos, entonces yxyx +=+

n) Si x < 5, entonces 5x < 2. Resolver los siguientes problemas: a) Encuentre un número tal que 10 menos que dos tercios del número sea un cuarto del número. b) Encuentre un número tal que 6 más que la mitad del número sea dos tercios del número. c) Encuentre 4 enteros pares consecutivos de manera que la suma de los 3 primeros sea 2 veces mayor que el doble del cuarto. d) Encuentre 3 enteros pares consecutivos tales que el primero más el doble del segundo sea el doble del tercero. e) Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 54 metros, si su longitud es 3 metros menor que el doble de su ancho. f) Un rectángulo de 24 metros de longitud tiene la misma área que un cuadrado que tiene 12 metros de lado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? g) Encuentre el perímetro de un triángulo si uno de sus lados mide 16 pies, otro dos séptimos del perímetro y el tercero un tercio del perímetro. h)) El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm más que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? i) Un padre es 22 años mayor que su hijo. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del padre supera en más de 6 años a doble de la edad de su hijo. j) Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación

( ) ( ) 010mx2m22mx =−−+− para que sus soluciones sean reales.

NÚMEROS REALES


82

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

EJERCICIOS 1.1.

(1.a) 9

151 (1.b) 31 (1.c) 41 (1.d)

528 (1.e)

4325 − (1.f) 3 26 (1.g) 53

(2.a) 11514 (2.b) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

32492 (2.c)

661−

(3.a) t =9 (3.b) x = 755 (3.c) x =

310 (3.d) La ecuación no admite solución en R

(3.e) t = -4 (3.f) La ecuación no admite solución en R (3.g) x = 2

102 ± (3.h) x

= 725 ± (3.i) La ecuación no admite solución en R (3.j) y = 2

53±

(4.a) ( )7

3105 + (4.b) 2

3 45 (4.c) ( )( )

yxyxyx

−−+

(4.d) ( )2ba

bac

−

−

(5.a) 4x22x2 24 +− (5.b) 9yx

9yx4

9yx4 243342

+− (5.c) 8x (5.d)

32 y2yx24 + (5.e) 17x34x8x 23 −+− .

(6.a) 2

12a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − (6.b) ( )23x − (6.c) ( )[ ]( )[ ]1yx1yx +−−− (6.d)

( )1xx2 ++ , por ser un factor cuadrático irreducible

(6.e) ( )( )5x1xx ++ (6.f) ( )( )z8xyz8xy +− (6.g) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

41xx4

21x2 2

(6.h) ( )( )9x3x3x 2 +−+ (6.i) 3ab ( )2b7b2a +− (6.j) ( )( )4y6yy +−

(7.a) 4a8a

−− (7.b)

mnmnmnmn

+−++ (7.c) ( )

nmnm +− (7.d) 22

22

yxxy20y3x15

−

−−

NÚMEROS REALES


83

Respuesta Intervalo Gráfica (8.a) [ )6,4

(8.b) [ ]4,e

(8.c) R

(8.d) ( ] [ )7,21,6 ∪−−

(9.a)

[ )5,1−

(9.b) ( )+∞− ,5

(9.c)

φ

(9.d) [ ] [ ]2,12,7 −∪−−

(9.e) φ

(10.a) [ )+∞− ,17 (10.b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−

56, (10.c) R (10.d) ( ) ( )+∞−∪−∞− ,33, (10.e) φ

(10.f) ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −

∞−53, (10.g) ( ) ( )+∞∪−− ,22,3 (10.h) ( )3,2 (10.i) [ )5,1−

(10.j) ( ) ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛−∪−∞−

31,33,

(11.a)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

25,1 (11.b)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

35,1 (11.c)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

34,3 (11.d)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

±±261,

221 (11.e){ }7 (11.f){ }9 (11.g){ }3

(12.a) ( )3,11− (12.b) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

31,7 (12.c) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

35,

119

NÚMEROS REALES


84

(12.d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∪⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

261,

221

221,

261

(12.f) [ )+∞,7 (12.g) φ (12.h) R-{ }1 (12.i) ⎟⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡ +−2

9711,2

9711

(12.j) [ )+∞∪⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −− ,90,6

120149 (12.k) [ )+∞,2

EJERCICIOS 1.2. (1.a) F (1.b) V (1.c) V (1.d) V (1.e) V (1.f) F (1.g) F (1.h) F (1.i) F (1.j) F (1.k) V (1.l) F (1.m) V (1.n) F

(2.a) 11

120 (2.b) 36 (2.c) -18, -16, -14 y -12 (2.d) 4, 6 y 8 (2.e) 10 y 17 (2.f) 6

(2.g) 42 (2.h) 7 y 8 (2.i) 2m1m ≥∨≤

capÍtulo introducciÓn a los nÚmeros reales · una proposición es un enunciado al cual se le...

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