capitulo iii. método simplex.parte1_2015.pdf

7/25/2019 Capitulo III. Mtodo Simplex.Parte1_2015.pdf

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UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELO

FACULTAD DE INGENIERIA

Ing. Karim Cruzado

Docente del curso

MTODO SIMPLEX

Introduccin.El mtodo del simplex fue creado en 1947 por el matemtico George Dantzig.

Este mtodo es utilizado, para resolver problemas de programacin lineal en los que intervienen

tres o ms variables. La base del mtodo simplex lo constituyen el lgebra matricial y el proceso de

eliminacin de Gauss-Jordn.

En qu consiste el mtodo?Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice cualquiera, el mtodo consiste en buscar

sucesivamente otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace siempre a travs de los

lados del polgono (o de las aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor). Cmo el

nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se podr encontrar la solucin.

El mtodo Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la funcin objetivo, f, no toma su valor

mximo en el vrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta su

valor.

Deber tenerse en cuenta que este mtodo slo trabaja para restricciones que tengan un tipo de

desigualdad "" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habr que estandarizar las

mismas para el algoritmo. En caso de que despus de ste proceso, aparezcan (o no varen)restricciones del tipo "" o "=" habr que emplear otros mtodos, cmo la tcnica de las M.

Ahora veamos con ejemplos la aplicacin del mtodo simplex.

SOLUCIN PTIMA

EMPEZANDO DESDE UN VERTICE


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Ing. Karim Cruzado

Docente del curso

Resolucin de ejercicios:

Resolver con el mtodo simplex el siguiente problema de programacin lineal:

Maximizar z=50X1 + 80X2

S.a.

X1+2X2


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Ing. Karim Cruzado

Docente del curso

Paso 4.Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de

la base.

A. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, seleccionamos a la

variable de coeficiente mas negativo en este caso seria -80.

Z X1 X2 S1 S2 R (Resultado o solucin)

1 -50 -80 0 0 0

S1 0 1 2 1 0 120

S2 0 1 1 0 1 90

La columna de la variable que entra en la base se llama Columna Pivote. En el

ejercicio lo marcado con marrn, est ser la columna pivote de nuestro ejercicio.

Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la misma

condicin, entonces se elige cualquiera de ellos.

Si no existiese ningn coeficiente negativo, entonces indica que ya se ha

logrado alcanzar la solucin.

B.

Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada

trmino de la ltima columna por el trmino correspondiente de la columna pivote,

siempre que estos no sean negativos o ceros

Z X1 X2 S1 S2 R

1 -50 -80 0 0 0

S1 0 1 2 1 0 120 => 120/2=60

S2 0 1 1 0 1 90 => 90/1=90

El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente

positivo, en este caso 60, indica la fila o rengln de la variable de holgura que sale de la

base Como podemos observar el valor mas pequeo resultante de la divisin es 60,

entonces seleccionamos como rengln pivoteel rengln donde se ubica 60.


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Docente del curso

Z X1 X2 S1 S2 R

1 -50 -80 0 0 0

S1 0 1 2 1 0 120 => 120/2=60 Rengln Pivote

S2 0 1 1 0 1 90 => 90/1=90

Columna Pivote Nmero Pivote

La interseccin entre la columna pivote y el rengln pivote dar como resultado el

Nmero pivote2.

Paso5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila S1

por el pivote operacional, 2, de tal modo que luego nuestro pivote se convertir en 1

Z X1 X2 S1 S2 R

1 -50 -80 0 0 0

0 1 2 1 0 120 => 120/2=60 R2 (Multiplicar por Rengln 2)

0 1 1 0 1 90 => 90

Luego tenemos

1 -50 -80 0 0 0

0 1 0 60

0 1 1 0 1 90

El siguiente paso consiste en hacer cero el resto de valores de la columna pivote, es

decir -80 y 1(del rengln 3), para ello debemos multiplicar el nmero pivote que ahora

es 1 y est en el rengln 2 por 80 y sumarlo al rengln 1

(80R2 + R1) 1 -50 -80 0 0 0


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0 1 0 60

-R2 + R3 0 1 1 0 1 90

Ejm:80*0+1=1

(80*1/2+)-50=-10

1 -10 0 40 0 4800

0 1 0 60 60/(1/2) =120

0 0 -1/2 1 30 30/(1/2) =60

Como en los elementos de la funcin objetivo an tenemos un valor negativo, entonces

debemos repetir todo el procedimiento anterior, considerando ahora que la nueva

columna pivote es aquella donde se encuentra el valor negativo con mayor valor absolutoen este caso -10.

Repitiendo el procedimiento.

Dividimos entonces 60/(1/2), es decir dividimos una vez mas los resultados o soluciones

de las inecuaciones entre los valores respectivos de la columna pivote.

Comparo valores de resultado y veo que 60 es el menor valor del resultado del renglon,

entonces selecciono esta como el renglon pivote y mi nuevo nmero pivote ser 1/2

Nuevamente debo hacer 1 el nmero pivote

1 -10 0 40 0 4800

0 1 0 60

2R3 0 0 -1/2 1 30

1 -10 0 40 0 4800

0 1 0 60

0 1 0 -1 2 60

Ahora debo hacer cero a -10 y a 1 para ello realizo lo siguiente


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10R3 +R1 1 -10 0 40 0 4800

0 1 0 60

-1/2R3 + R2 0 1 0 -1 2 60

Ejemplo:

10(0)+1=1

10(1)=-10=0

1 0 0 30 20 5400

0 0 1 1 -1 300 1 0 -1 2 60

Z X1 X2 S1 S2 R

Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son positivos, hemos llegado a

la solucin ptima.

X1=60

Z=5400

X2=30


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MTODO SIMPLEX TCNICA M.

MINIMIZACIN

Ejemplo de Minimizacin:

Minimizar Z=4X1 +X2

Sujeto a:

3X1+X2=3

4X1+3X26

X1+2X24

X1, X2 0

Paso 01. Convertir la desigualdad de cada una de las ecuaciones en igualdad.

3X1+X2=3

4X1+3X2=6

X1+2X2=4

Paso 02. Introducir variables de holgura denotadas con la letra S y las variables artificiales

por R, y se trabaja de acuerdo a lo siguiente.

Si la desigualdad es entonces se suma una variable artificial y se resta una

variable de holgura, en el lado izquierdo de la restriccin.

Si la desigualdad es , se suma una variable de holgura en el lado izquierdo de la

restriccin.

Si tenemos una igualdad, =, se suma una variable artificial en el lado izquierdo de

la restriccin.

Quedando las restricciones de la siguiente forma:

3X1 + X2+ R1 =3

4X1 + 3X2+ R2S1=6

X1 + 2X2 + S2 =4


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Paso 03. Asignar una penalizacin denotada con la letra M como coeficiente de cada

variable artificial en la funcin objetivo, si se trata de maximizar la penalizacin es

negativa y si se trata de minimizar la penalizacin es positiva, est ultima aplica a nuestro

ejercicio quedando entonces.

Z=4X1+X2+MR1+MR2

Paso 4. Ahora determinaremos las variables bsicas y no bsicas, utilizaremos las variables

artificiales como solucin bsica factible e inicial para las restricciones e =, para nuestro

caso las variables bsicas son:

Variables Bsicas Variables No Bsicas

R1=3 X1=0

R2=6 X2=0

S2=4 S1=0

Paso 5.expresar la funcin objetivo en trminos de variables bsicas, como sabemos

nuestra funcin objetivo es

Z=4X1 + X2+ MR1+ MR2

Se tiene:

3X1 + X2 + R1 =3 4X1 + 3X2 + R2S1 =6

R1=33X1X2 R2=64X13X2 + S1

Paso 05. Sustituyendo las variables bsicas en la funcin objetivo tenemos:

Z=4X1 + X2 + M (3-3X1-X2)+ M (6-4X1-3X2+S1)

Luego se obtiene

Z-(4-7M)X1-(1-4M)X2-MS1=9M


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Paso 06. Planteamos la tabla bsica inicial, en ella colocamos los coeficientes de las

variables correspondientes a la funcin objetivo y a cada una de las restricciones

Z X1 X2 R1 R2 S1 S2 Sol

Z 1 -4+7M -1+4M 0 0 -M 0 9MR1 0 3 1 1 0 0 0 3

R2 0 4 3 0 1 -1 0 6S2 0 1 2 0 0 0 1 4

Paso 07. Se selecciona la variable de entrada correspondiente a la condicin optima, si se

trata de un problema de maximizacin se selecciona la columna con la variable no bsica

mas negativa en caso contrario si se trata de un problema de minimizacin se selecciona

la variable mas positiva.

Paso 8. Se selecciona la variable de salida correspondiente a la condicin de factibilidad,

primero dividimos cada coeficiente de la columna solucin entre los coeficientes de la

columna que corresponde a la variable de entrada en este caso X1, el valor mas pequeo

resulta ser la variable de salida R1 para nuestro caso.

Paso 9. Se calcula la ecuacin pivote esta es igual al rengln o fila pivote entre el elemento

pivote, as lograremos que el nmero pivote se convertir en 1.


Z 1 -4+7M -1+4M 0 0 -M 0 9MR1 0 3 1 1 0 0 0 3 3/3=1R2 0 4 3 0 1 -1 0 6 6/4=1.5S2 0 1 2 0 0 0 1 4 4/1=4

Z X1 X2 R1 R2 S1 S2 SolZ 1 -4+7M -1+4M 0 0 -M 0 9M

R1/3 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1

R2 0 4 3 0 1 -1 0 6S2 0 1 2 0 0 0 1 4


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Paso 10.Obtener los nuevos valores para la fila o rengln Z, R2 Y S2, de la columna X1,

para ellos formularemos una operacin aritmtica en base al nmero pivote tal que dichos

valores se conviertan en cero.

Los nuevos coeficientes de la tabla serian:

El nuevo pivote ser 5/3.

Hallamos los nuevos valores de Z=Z-((1+5M)/3) R2

Operacin a

formular


Z=-(-4+7M)R1 +Z Z 1 -4+7M -1+4M 0 0 -M 0 9MR1 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1

R2=R2-4R1 R2 0 4 3 0 1 -1 0 6S2=S2-R1 S2 0 1 2 0 0 0 1 4

Z X1 X2 R1 R2 S1 S2 SolZ 1 0 (1+5M)/3 (4-7M)/3 0 -M 0 4+2M

R1 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1

R2 0 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2S2 0 0 5/3 -1/3 0 0 1 3


R1 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1/1/3=3R2 0 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2/5/3=6/5

S2 0 0 5/3 -1/3 0 0 1 3/5/3=9/5


R1 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1R2 0 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2

S2 0 0 5/3 -1/3 0 0 1 3


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Dividimos el rengln del nmero pivote por 5/3 para lograr hacer 1 el nmero pivote.

Ahora para Z=Z-[(1+5M)/3]R2

R1=R1(1/3)*R2

S2=S2-(5/3)*R2

La fila de Z= 1 , 0, 0, (16-15M)/15, (-1+5M)/5, 1/5,0 Y 18/5.

R1=0, 1, 0, 3/5, -5/9, 5/9, 0 y 3/5.

S2=0,0,0,1,-25/9,-25/9 y 1.

Z=18/5

X1=3/5

X2=6/5

Z X1 X2 R1 R2 S1 S2 SolZ 1 0 (1+5M)/3 (4-7M)/3 0 -M 0 4+2MR1 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1

R2 0 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2

S2 0 0 5/3 -1/3 0 0 1 3


R1 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1

R2 0 0 1 -4/5 5/3 -5/3 0 6/5S2 0 0 5/3 -1/3 0 0 1 3


R1 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1

R2 0 0 1 -4/5 5/3 -5/3 0 6/5S2 0 0 5/3 -1/3 0 0 1 3


Z 1 0 0 (16-5M)/5 (-1-5M)/5

1/5 1/5 18/5

R1 0 1 0 3/5 -5/9 -5/9 5/9 3/5R2 0 0 1 -4/5 5/3 5/3 -5/3 6/5

S2 0 0 0 1 -25/9 -25/9 25/9 1


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Ejercicios.Maximizar Z=5X1 + 4X2

Sujeta a.

6X1+4X224

X1+2X26

-X1 + X2 1

X22

X1, X20

Solucin.

Igualamos y ordenamos las ecuaciones.

Z-5X1 - 4X2 + 0 + 0 +0 + 0=0

0+6X1 + 4X2 + S1 + 0 +0 +0 =240+ X1 + 2X2 + 0 + S2 +0 +0 =6

0 - X1 + X2 + 0 + 0 + S3+0 =1

0 + 0 + X2 + 0 + 0 + 0 +S4=2

Obtenemos la tabla simplex

Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Solucin

1 -5 -4 0 0 0 0 0

0 6 4 1 0 0 0 24

0 1 2 0 1 0 0 6

0 -1 1 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0 1 2

Observando la funcin objetivo el menor valor, es -5 entonces determinamos que

la columna pivote es aquella donde se ubica este valor.

Luego elegimos la fila pivote, dividiendo la columna soluciones de las restricciones

entre los valores respectivos de la columna pivote.

Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Solucin Interseccin

1 -5 -4 0 0 0 0 0

0 6 4 1 0 0 0 24 24/6=4

0 1 2 0 1 0 0 6 6/1=6

0 -1 1 0 0 1 0 1 1/-1=-1(ignorado)

0 0 1 0 0 0 1 2 2/0=infinito(ignorad0)


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Como se ve en la tabla, los valores resultantes de la divisin de los valores de las

soluciones de las restricciones entre los valores de la columna pivote, dan las

intersecciones en direccin de la variable X1, en el caso de los valores de -1 e

infinito, son ignorados ya que no limitan a x1 0. Entonces la fila pivote la tomamos considerando el siguiente nmero menor, el

nmero 4.

El nmero pivote ser el nmero 6.

Ahora realizamos los clculos respectivos.

R1, R2, R3, R4 y R5: Renglones.

El siguiente paso consistir en convertir al nmero pivote en 1, para ello dividimos el

rengln pivote entre 6.

Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Solucin Interseccin

1 -5 -4 0 0 0 0 0

0 6 4 1 0 0 0 24 24/6=4

0 1 2 0 1 0 0 6 6/1=6

0 -1 1 0 0 1 0 1 1/-1=-1(ignorado)

0 0 1 0 0 0 1 2 2/0=infinito(ignorad0)


R1 1 -5 -4 0 0 0 0 0

R2

(Rengln

pivote)

0 6 4 1 0 0 0 24

R3 0 1 2 0 1 0 0 6

R4 0 -1 1 0 0 1 0 1

R5 0 0 1 0 0 0 1 2


R1 1 -5 -4 0 0 0 0 0

R2 (Rengln pivote) 0/6=0 6/6=1 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6

R3 0 1 2 0 1 0 0 6

R4 0 -1 1 0 0 1 0 1

R5 0 0 1 0 0 0 1 2


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Ahora encontraremos los nuevos valores de los renglones R1, R3, R4 Y R5, considerando que

debemos reducir a cero los valores de -5, 1, -1, 0.

Para ellos tomaremos en cuenta la siguiente formula estndar:

Nuevos valores de los renglones=valor del rengln actual- (coeficiente de la columna pivote que

debo reducir a cero)* el valor de la fila pivote que corresponda.

Ejemplo:

Para R1=R1-(-5)R2

R1 (Z)=1-(-5)(0)=1

R1(X1)= -5-(-5)(1)=0

R1(X2)= -4-(-5)(2/3)=-2/3

R1(S1)= 0-(-5)(1/6)=5/6R1(S2)=0-(-5)(0)=0

R1(S3)=0-

(-5)(0)=0

(igual para

R1(S4))

R1(soluci

n)=0-(-

5)4=20


R1 1 -5 -4 0 0 0 0 0

R2

(Rengln

pivote)

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

R3 0 1 2 0 1 0 0 6

R4 0 -1 1 0 0 1 0 1

R5 0 0 1 0 0 0 1 2


R1 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

R2

(Rengln

pivote)

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

R3 0 1 2 0 1 0 0 6

R4 0 -1 1 0 0 1 0 1

R5 0 0 1 0 0 0 1 2


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Entonces el rengln R1 quedara as:

Luego seguimos con el rengln R3

Repetimos la frmula:

Para R3=R3-(1) R2

Ejemplo:

R3(Z)=0-(1)(0)=0

R3(X1)=1-(1)(1)=0

R3(X2)=2-(1)(2/3)=4/3

R3(S1)=0-(1)(1/6)=-1/6

R3(S2)=1-(1)(0)=1

R3(S3)=0-(1)(0)=0

R3(S4)=0-(1)(0)=-0

R3(solucin)=6-(1)(4)=2


R1 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

R2(Rengln

pivote)

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

R3 0 1 2 0 1 0 0 6

R4 0 -1 1 0 0 1 0 1

R5 0 0 1 0 0 0 1 2


R1 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20R2

(Rengln

pivote)

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

R3 0 1 2 0 1 0 0 6

R4 0 -1 1 0 0 1 0 1

R5 0 0 1 0 0 0 1 2


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De manera similar se trabaja para R4 Y R5, obteniendo los siguientes valores.

Luego repetimos el procedimiento

Seleccionamos entonces la columna, fila y nmero pivote.

Nmero pivote=4/3

Hacemos 1 el nmero pivote dividiendo entre (4/3) obteniendo


R1 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20R2

(Rengln

pivote)

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

R3 0 0 4/3 - 1/6 1 0 0 2

R4 0 -1 1 0 0 1 0 1

R5 0 0 1 0 0 0 1 2


R1 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

R2 (Rengln pivote) 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

R3 0 0 4/3 - 1/6 1 0 0 2

R4 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5

R5 0 0 1 0 0 0 1 2

Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SolucinR1 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

R2 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4/(2/3)=6

R3 0 0 4/3 - 1/6 1 0 0 2/(4/3)=3/2

R4 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5/(5/3)=3

R5 0 0 1 0 0 0 1 2/(1)=2


R1 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

R2 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

R3

(Rengln

Pivote)

0 0 1 - 1/8 3/4 0 0 3/2

R4 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5

R5 0 0 1 0 0 0 1 2


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Luego reducimos a cero los valores restantes de la columna pivote.

R1=R1-(-2/3)(R3)

R1(Z) =1-(-2/3)(0)=1R1(X1)=0-(-2/3)0=0

R1(X2)=-2/3-(-2/3)(1)=0

R1(S1)=5 /6-(-2/3)(-1/8)=3/4

R1(S2)=0(-2/3)(3/4)=1/2

R1(S3)=0-(-2/3)(0)=0 (igual para R1(S4))

R1(solucin)=20-(-2/3)(3/2)=21

Repetir el procedimiento para R2, R4 Y R5.

Entonces como los valores de la funcin son positivos o iguales a cero, decimos que hemos

encontrado la solucin ptima:

Para: X1=3, X2=1.5, Z=21.


R1 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21

R2 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3

R3

(Rengln

Pivote)

0 0 1 - 1/8 3/4 0 0 3/2

R4 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2

R5 0 0 0 1/8 -3/4 0 1 1/2

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