capitulo iii derivada ii

(Apuntes en revisin para orientar el aprendizaje) DERIVADA DE UNA FUNCIN DEFINIDA EN FORMA PARAMTRICA

( )( ):

x f tf

y g t = =

De la regla de la cadena dy dy dtdx dt dx

= En donde dt

dx se puede calcular despejando de

, lo que no siempre es fcil y en ocasiones es

imposible. Otra forma de calcular

" "t

( )x f t=dtdx

es usando la derivada

de la funcin inversa, por la cual, 1dtdxdxdt

=

de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a:

( )( )'1'

dyg xdy dy dy dydt

dx dxdx dt dx dx f xdt dt

= = =

Ejemplo. Dada la siguiente funcin, obtener la derivada dy

dx:

22:

1

x tf

y t

t= = +

)i Por medio de la frmula obtenida. )ii Eliminando el parmetro " y derivando el resultado. "t

ING. PABLO GARCA Y COLOM

2 Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramtricas de la cicloide:

( )( )

22 1 cos

x sey

n

= =

calcular la derivada dydx

y evaluarla para 4 = .

Ejemplo. Calcular la derivada dy

dx para funcin siguiente en

el punto donde : 0t =cot 1

:tan 1

x ang tf

y ang t

= = +


3 DERIVADAS DE RDENES SUPERIORES Sea una funcin f definida en un cierto intervalo ( ),a b . Entonces, su derivada es a su vez otra funcin definida en un subconjunto de dicho intervalo, y la operacin puede repetirse, obtenindose la segunda derivada que tambin es una funcin definida en un subconjunto del intervalo

'f

,a b . Para denotar a las derivadas sucesivas de rdenes superiores, se emplean los siguientes smbolos:

( ) ( ) ( )( )

2

2

3

3

; ' ' ; '' ''

''' ''' ;

dy d yy f x y f x y f xdx dx

d yy f xdx

= = = = =

= =

Para ilustrar esto, considrese la funcin ( ) 33xf x = definida

en el intervalo ( )2,2 y sean sus tres derivadas sucesivas: ( ) ( ) ( )2' ; '' 2 ; ''' 2f x x f x x f x= = =

todas ellas definidas en el mismo intervalo. Sus grficas son:


4

x

y

x

x

x

3

3xy =

3

3 2d ydx

=

2dy xdx

=

2

2 2d y xdx

=

Si se obtuviera la cuarta derivada, a partir de ella todas tendran como valor cero, las cuales seguiran siendo una funcin pero su grfica sera sobre el eje de las abscisas. En cambio hay funciones que se dice que son infinitamente derivables

( ) ( ) ( ) ( )1 2 53 3 31 2 10; ' ; '' ; '''3 9 27

f x x f x x f x x f x x = = = = "

83

2 3

2 3; cos ; ; cosdy d y d yy senx x senx xdx dx dx

= = = = " Ejemplo. Obtener las dos primeras derivadas de la siguiente funcin y evaluarlas para 2x = .

2xyx

= +


5 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES IMPLCITAS Ejemplo. Calcular la primera y segunda derivadas de la siguiente funcin:

2 5x xy y+ = DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES REPRESENTADAS EN FORMA PARAMTRICA

Sea la funcin ( )( ):x f t

fy g t = =

Como ya se vio la primera derivada, es decir, dydx

, se obtiene

a partir de:


6dy

dy dtdxdxdt

=

Por otro lado, lo que se pretende es calcular la segunda derivada, esto es,

2

2d y d dy

dx dxdx =

Como dydx

est en trminos del parmetro entonces,

para aplicar la expresin anterior, es necesario aplicar la regla de la cadena. As,

" "t

2

2d y d dy dt

dt dx dxdx =

pero 1dtdxdxdt

=

entonces

2

2

d dyd y dt dx

dxdxdt

=

Para obtener la ensima derivada de orden superior, se tiene que:

1

1

n n

n nd y d d y

dxdx dx

=

Se aplica la regla de la cadena y se llega a: 1

11

1

n

nn n n

n n n

d d ydt dxd y d d y dt d y

dxdt dxdx dx dxdt

= =


7Ejemplo. Obtener las tres primeras derivadas para la funcin representada en forma paramtrica como sigue:

5cos: ; 0

3x

fy sen

2

= = Ejemplo. La ecuacin cartesiana de la Hipocicloide o Astroide est dada por la expresin:

2 23 3x y a

23+ =

y se representa paramtricamente mediante las ecuaciones: 3

3

cos: x a tfy asen t

= =

Determinar el valor de su primera y segunda derivadas cuando

2 2ax y= =

)i A travs de la forma implcita )ii Con la forma paramtrica


8


9DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. DERIVADAS LATERALES La derivada de una funcin est dada por el lmite: f

( )0

' limx

yf xx

= y, geomtricamente, es la pendiente de la recta tangente a la curva que representa grficamente a la funcin, en un punto determinado. Es obvio pensar que la derivada existe si el lmite existe y, como se haba externado antes, el lmite existe si los lmites laterales existen y si adems son iguales. Luego es posible definir las derivadas laterales mediante los correspondientes lmites laterales. Definicin. Sea una funcin . Entonces, su derivada lateral fpor la izquierda est dada por:

( )0

' limx

yf xx

= si el lmite existe. Definicin. Sea una funcin . Entonces, su derivada lateral fpor la derecha est dada por:

( )0

' limx

yf xx+

= si el lmite existe. Teorema. Sea una funcin . Una condicin necesaria para fla existencia de su derivada en un punto es que sus derivadas laterales existan y sean iguales, esto es, ( ) ( ) ( )' '0 0'f x f x f x + = 0 RELACIN ENTRE LA CONTINUIDAD Y LA DERIVABILIDAD Sean las funciones:


10

( )

( )

1

2

2

cos 02

1 0 2

2 00 2

x si xf xsi x

x si xf xx si x

= < = <

x

cosy x=

2 2

1y =

y x

x

2y x=

y x=

2 2

Se estudia la continuidad de ambas en 0x = y se tiene: Continuidad de en 1f 0x = : ( ) ( )1) 0 1 cumplei f = ( )

( ) ( )10

10

lim 1) c

lim 1x

x

f xii

f x

+

== umple

( ) ( ) ( )1 10) 0 lim cumplexiii f f x= 1f es continua en 0x =

Continuidad de en 2f 0x = : ( ) ( )) 0 0 cumpl2i f e= ( )

( ) ( )20

20

lim 0) c

lim 0x

x

f xii

f x

+

== umple

( ) ( ) ( )2 20) 0 lim cumplexiii f f x= 2f es continua en 0x =

Ahora se calculan las derivadas laterales:


11

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

' cos ' 0 0;

' 1 0 ' 0 0

df x x senx fdxfdf x fdx

+ +

= = = = = =

( ) ( )' 0 ' 0f f + = luego la funcin es derivable en 1f 0x = . Por otro lado,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

' 2 ' 0 0;

' 1 ' 0 1

df x x x fdxfdf x x fdx

+ +

= = = = = =

( ) ( )' 0 ' 0f f + por lo que la funcin no es derivable en 2f 0x = . Teorema. Si la funcin ( )y f x= es derivable en 1x x= , entonces tambin es continua para dicho valor de " . "x Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la

funcin ( ) 23f x x= en el punto donde 1 0x = . Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente funcin:

( )22 2

1 cos 02 2 7

7

x si xf x x si x

x si x

0


12


13APLICACIONES GEOMTRICAS DE LA DERIVADA La derivada como la pendiente de la recta tangente Ejemplo. Obtener los ngulos que forman con el eje " las "xtangentes a la curva ( ) , en los puntos: 2 24 4 ;x y y + = 0

( ) ( ) ( )) 2,0 ; ) 3, 3 ; ) 4,2i ii iii Explicar los resultados mediante la grfica de la curva. Ejemplo. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de ecuacin:

2 4y x= en el punto ( )1, 3P , as como el ngulo que forma dicha tangente con el eje de las abscisas. Hacer una grfica del problema planteado.


14 Ejemplo. Determinar qu ngulo forma la curva con 2y x=la recta al cortarse con ella. Hacer un trazo del problema planteado.

1x = Ejemplo. Determinar los puntos en los que las tangentes a la

curva de ecuacin 5 4 3

23 11 35 2 3x x xy = + x son paralelas al

eje . Hacer un trazo aproximado de la grfica de la curva, considerando los puntos obtenidos.

" "x


15 Ejemplo. Determinar los puntos de la curva de ecuacin

51 2

yx

= donde la tangente es paralela a la recta de ecuacin 2 5 5x y 0 = . Hacer un trazo aproximado del problema planteado con los resultados obtenidos.


16

3x

Ejemplo. Obtener punto de la curva donde su 2 2y =tangente es perpendicular a la recta 4 3 2x y 0 + = . ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO ( ) ( )1 1 ; 'T Ty y m x x m f x = =

( )1 1 1dondeN NT

y y m x x mm

= = Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuacin 22 5y x x 6= + en el punto

. Hacer un trazo aproximado de la grfica. (2,4P )


17 Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y

normal a la curva de ecuacin 21 42

y x= en el punto 13,2

P . Representar grficamente el problema planteado.


18NGULO DE INTERSECCIN ENTRE DOS CURVAS

Sean ( ) ( )1y f x y y f x= =

y

1C

2 ( )0 0,P x y

1

2C

1T

2T

x

2

0x

las ecuaciones de Entonces se tiene que:

1 2C y C

( ) ( )1 1 1 0 2 2 2tan ' ; tan 'm f x m f = = = = Es evidente que 2 1 = , luego " " se obtiene con: ( ) ( )2 0 1 0tan ' tan 'ang f x ang f x = Otra forma de calcular este ngulo es mediante: ( ) (

( ) ( ))2 0 1 02 1

2 1 2 0 1 0

' 'tan o bien tan

1 1f x f xm mang ang

m m f x f x = =+ + ' '

Ejemplo. Determinar el ngulo que forman al cortarse las curvas:

22 2 3

2xy y x y= + =


19

6

Ejemplo. Demostrar que la elipse 2 22x y+ = y la parbola

2 4y = x se cortan en un ngulo recto, es decir, que son curvas ortogonales. Graficar aproximadamente.

capitulo iii derivada ii

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