Series de Tiempo

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Ing. Luis Alberto Snchez Alvarado

Ajustes de tendencias

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I. Tendencia: Tambin conocido como el nombre de movimientos seculares o de larga duracin, es la direccin general a la que una serie de tiempo suele dirigirse en un intervalo grande de tiempo; puede ser ascendente o descendente. II. Ajuste de Tendencia: Ajustar la tendencia de una serie de tiempo consiste en estimar un modelo matemtico que explique la evolucin de la misma en funcin de la variable tiempo (t). Entre las tcnicas que se usan para formar estos modelos se tiene las tcnicas de mnimos cuadrados ordinarios. Una forma de poder hallar estos modelos es usando regresiones (como algunos lo conocen como modelos de regresin de series temporales) , teniendo as como variable dependiente al valor de la serie de tiempo (pbi, ventas, caudales, nmero de visitantes, etc.) y como variables independientes al tiempo t. Por lo tanto la ecuacin matemtica del modelo ser:

() = + Donde es el trmino de perturbacin en el tiempo t. III. Modelamiento de la tendencia usando funciones polinmicas: A. Tendencia Lineal: Son series cuya pendiente es montona, ya sea creciente o decreciente, y su ecuacin es:

= 0 + 1 + En este caso 1 representa el cambio esperado en la tendencia de la serie en el periodo t. Por Ejercicio 1: La tasa de poblacin activa se define como la proporcin de la poblacin de 15 aos de edad o ms econmicamente activa, esto involucra a todas las personas que aportan trabajo para la produccin de bienes y servicios durante un periodo especfico. El Banco Mundial tiene la base de datos de estos indicadores por gnero, a continuacin se presente estas estadsticas para Per, pero ambos gnero; a partir de ello: - Evale si estas series podran tener una tendencia lineal y cul sera su ecuacin, hacer un anlisis de la misma. - Es posible que la tasa de poblacin activa de los hombres sea menor al de las mujeres en los prximos 5 aos?.

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B. Tendencia Cuadrtica: Estas tendencias se darn cuando existe un cambio curvilneo durante un largo periodo de tiempo, estos cambios pueden ser de crecimiento a una tasa creciente o decreciente, o de decrecimiento a una tasa creciente o decreciente tal como se puede observar en las grficas siguientes:

Tasa de Actividad Mujeres

Ao Tasa Ao Tasa Ao Tasa

1990 45.90 1997 57.50 2004 58.00

1991 43.80 1998 58.20 2005 57.50

1992 45.30 1999 61.00 2006 58.10

1993 46.80 2000 57.60 2007 64.80

1994 48.30 2001 62.40 2008 65.40

1995 51.10 2002 60.40 2009 67.10

1996 54.30 2003 58.40 2010 67.40

Fuente: Banco Mundial

Tasa de Actividad Hombres

Ao Tasa Ao Tasa Ao Tasa

1990 77.60 1997 82.30 2004 79.30

1991 76.70 1998 83.60 2005 79.10

1992 78.00 1999 83.40 2006 81.50

1993 79.30 2000 82.80 2007 83.90

1994 80.40 2001 83.90 2008 84.90

1995 80.80 2002 81.60 2009 85.10

1996 81.60 2003 79.30 2010 84.70

Fuente: Banco Mundial

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La ecuacin en este caso es:

= 0 + 1 + 22 +

Ejercicio 2: A continuacin se presentan los datos de la tasa de poblacin activa de los Estados Unidos para las mujeres, ajustar la serie de tiempo mostrada como una cuadrtica y dar sus conclusiones.

C. Tendencia polinmica: Las polinomios de tercer orden a ms constituyen las series de tendencia polinomial, estn presentan dos o ms curvaturas en su evolucin, presentando as pendientes creientes y decrecientes (mximos y mnimos). Por ejemplo uno de orden 3 tendr la siguiente ecuacin:

= 0 + 1 + 22 + 3

3 +

Crecimiento Tasa creciente Crecimiento Tasa decreciente

Decrecimiento Tasa creciente Decrecimiento Tasa decreciente

Tasa de Actividad Mujeres

Ao Tasa Ao Tasa Ao Tasa

1990 56.40 1997 58.70 2004 58.20

1991 56.10 1998 58.80 2005 58.30

1992 56.50 1999 58.90 2006 58.40

1993 56.60 2000 59.00 2007 58.30

1994 57.60 2001 58.80 2008 58.40

1995 57.80 2002 58.60 2009 58.10

1996 58.20 2003 58.50 2010 57.50

Fuente: Banco Mundial

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Ejercicio 3: A continuacin se presenta las ventas per cpita anuales en el sector de retail de Estados Unidos, haga un anlisis de los datos y trate de explicar su comportamiento mediante una tendencia polinmica.

D. Tendencia Exponencial y logartmica: Las series exponenciales son series que presentan una pendiente muy acelerada, su ecuacin es del tipo:

= 0+1 +

Las logartmicas presentan pendientes menos aceleradas y su ecuacin es la siguiente:

= 0 + 1ln() + Ejercicio 4: A continuacin se presenta el PBI peruano desde el ao 1994 al 2011, ajuste la tendencia usando, una cuadrtica, y una exponencial y logartmica, vea cual es la mejor, analice los resultados. Analizar si el hacer una transformacin logartmica sera factible para poder tener una tendencia lineal.

Ejercicio 5: La FAO (Organizacin de las Naciones Unidas para la Agricultura) tiene la base de datos de las toneladas de pesca de todos los pases, entre ellos las de Per desde el 1950 al 2011, usar los datos del 1950 al 2005 para hacer un ajuste de tendencia y luego hacer proyecciones del 2006 al 2011 y comparar con los verdaderos valores con el fin de comprobar que tan bueno es el ajuste.

Ventas anuales percpita en Retail (Dlares)- Estados Unidos

Ao Ventas Ao Ventas Ao Ventas

2000 10573 2004 11863 2008 12978

2001 10746 2005 12487 2009 11834

2002 10877 2006 12984 2010 12419

2003 11247 2007 13276 2011 13275

Fuente: Census Bureau's Population

Producto Bruto Interno 1994-2011

Valores a Precios Constantes 1994

(Millones de Nuevos Soles)

Ao PBI Ao PBI Ao PBI

1994 98577 2000 121057 2006 160145

1995 107064 2001 121317 2007 174348

1996 109760 2002 127407 2008 191367

1997 117294 2003 132545 2009 192994

1998 116522 2004 139141 2010 209886

1999 117587 2005 148640 2011 224303

Fuente: INEI

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Ejercicio 6: Una pequea micro empresa ha registrado la cantidad de productos vendidos en sus ltimos 24 meses. Se desea saber cmo sern las ventas en los prximos 3 meses y entre que valores estaran. Los valores registrados son:

Ejercicio 7: Tras hacer fuertes campaas de marketing los ltimos meses las ventas de empanadas de una cadena local se han incrementado rpidamente; el administrador desea saber un pronstico de las unidades que se podran vender en los prximos 3 meses (asumiendo que las campaas publicitarias seguirn) de tal forma que pueda atender la demanda que se le presente sin tener ningn problema y sin tener una produccin excesiva y que le provoque prdidas, para ello busca tambin tener un rango de esta ventas.

Ao Toneladas Ao Toneladas Ao Toneladas Ao Toneladas Ao Toneladas Ao Toneladas

1950 73700 1960 3502700 1970 12484200 1980 2708773 1990 6869174 2000 10658577

1951 97300 1961 5216500 1971 10507100 1981 2716951 1991 6898233 2001 7991712

1952 106800 1962 6884300 1972 4678300 1982 3512981 1992 7502785 2002 8771365

1953 117900 1963 6822000 1973 2295700 1983 1569049 1993 9005020 2003 6093924

1954 146300 1964 9037700 1974 4125826 1984 3316913 1994 11999387 2004 9611945

1955 184500 1965 7385400 1975 3415158 1985 4130750 1995 8937755 2005 9393488

1956 268500 1966 8712500 1976 4343363 1986 5614057 1996 9515355 2006 7020925

1957 454500 1967 10057700 1977 2503377 1987 4583668 1997 7869871 2007 7221330

1958 901500 1968 10444400 1978 3443075 1988 6637153 1998 4346073 2008 7408317

1959 2123700 1969 9147500 1979 3652262 1989 6849480 1999 8428601 2009 6920129

2010 4265459

2011 8254283

Mes Unidades Mes Unidades Mes Unidades Mes Unidades

2011-1 1485 2011-7 1539 2012-1 1136 2012-7 1409

2011-2 1560 2011-8 1436 2012-2 1368 2012-8 1383

2011-3 1300 2011-9 1583 2012-3 1610 2012-9 1414

2011-4 1226 2011-10 1350 2012-4 1376 2012-10 1482

2011-5 1628 2011-11 1593 2012-5 1569 2012-11 1294

2011-6 1644 2011-12 1403 2012-6 1290 2012-12 1495

Mes Unidades Mes Unidades Mes Unidades Mes Unidades

2011-1 501 2011-7 611 2012-1 597 2012-7 689

2011-2 515 2011-8 567 2012-2 580 2012-8 721

2011-3 505 2011-9 560 2012-3 610 2012-9 659

2011-4 548 2011-10 558 2012-4 702 2012-10 685

2011-5 542 2011-11 562 2012-5 659 2012-11 742

2011-6 570 2011-12 590 2012-6 694 2012-12 740

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Ejercicio 8: El Ministerio de Salud (MINSA) deseo basar su presupuesto en el 2012 para ver los recursos necesarios para atender las consultas por enfermedades diarreicas en nios menores a 5 aos, para ello desea hacer proyecciones basadas en data del 2001 al 2011, si se sabe que una atencin de este tipo de enfermedades involucra un gasto de 150 soles; Cul sera el presupuesto que usted recomendara para el 2011?, para ello slo debe basarse en un ajuste de la tendencia. Ejercicio 9: Las entradas para asistir al Super Bowl son unas de las entradas a eventos deportivos ms codiciados en el mundo, el ao pasado se publicaron los precios de las entradas desde el ao 1985 al 2012. Realice un anlisis de tendencia usando los datos de 1985 al 2006, luego haga proyecciones para predecir los precios del 2007 al 2012 y compare que tan precisos son estos resultados. Para este procedimiento usar el Excel construyendo diferentes plantillas para un anlisis de las diferentes opciones.

Ao Precio(Dlares) Ao Precio(Dlares) Ao Precio(Dlares) Ao Precio(Dlares)

1985 60 1992 150 1999 325 2006 650

1986 75 1993 175 2000 325 2007 650

1987 75 1994 175 2001 325 2008 800

1988 100 1995 200 2002 400 2009 800

1989 100 1996 275 2003 450 2010 900

1990 125 1997 275 2004 500 2011 900

1991 150 1998 275 2005 550 2012 900