capítulo ii
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CAPÍTULO II
TRABAJO DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
II - 2
MÉTODOS ENERGÉTICOS
TRABAJO DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA
ó
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
Se considera que los cuerpos sólidos en la mecánica de materiales están
formados por materia que consiste de partículas denominadas puntos materiales
y cuyo conjunto constituye la configuración del cuerpo – elemento. Se dice que
el cuerpo – elemento experimenta una deformación cuando cambia su
configuración, o sea cuando se desplazan sus puntos materiales (sufren un
reacomodo).
Si se supone un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, este se
deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra al sistema de fuerzas
externas. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se transforma y acumula
en el cuerpo como energía interna, esta energía (o trabajo interno) es el utilizado
por el cuerpo para recuperar su forma cuando cesa la acción del sistema de
fuerzas externas. Si el cuerpo recupera exactamente su forma inicial se dice que
es un cuerpo perfectamente elástico, e indica que el trabajo de las fuerzas
externas durante la deformación del cuerpo se transformará totalmente en
energía de deformación. (Se desprecia la pérdida de energía por cambio de
temperatura del cuerpo, por ser cantidad pequeña).
Considerándose una barra elástica de sección transversal A y longitud L, sujeta
a una carga axial P, aplicada gradualmente, como se muestra en la figura 3.
(Fig. 1) Sistema Recto
A B
P1
Lδ1
A B
P
R
δ
(Fig. 2) Sistema Curvo
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 3
Sabemos:
( )
( )
El trabajo externo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es:
∫
∫
(
) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (
)
( ) (
)
δ
A
L
P
(Fig. 3)
P
δo
(P , δ )1 1
Wext.
RELACIÓN: CARGA - DEFORMACIÓN
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
II - 4
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
El trabajo de la deformación elástica corresponde al área sombreada del
triángulo mostrado, es decir, está representado por el área bajo la recta.
En el caso de la elasticidad no lineal, la energía de deformación es el
área bajo la curva.
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN EN BARRAS
CASO I: Debido al esfuerzo normal
(
)
(
)
(
) ( )
Como:
( )
P
δ
Wext.
CASO NO LINEAL
P
δ
Wext.
CASO LINEAL
δ
A
L
P
d = d .dv s A
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 5
(2) en (1):
( )
(A.L) = Representa un volumen que se puede considerar unitario, obteniéndose
el llamado TRABAJO ESPECÍFICO DE DEFORMACIÓN ( ), es decir, la
energía de deformación almacenada en la unidad de volumen.
( )
( )
Como:
( )
De la energía especifica de deformación:
∭
∭
( )
ds
dAd = d .dv s A
Tomando una diferencia
de volumen
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
II - 6
(3) en (4):
∭
∭
∫ ∬
( )
A. EFECTO DE FUERZA NORMAL
en (5):
∫ ∬
( )
Como N, E, A son constantes en una sección transversal.
Además:
∬
En (6):
∫
∫
B. EFECTO DE MOMENTO FLEXIONANTE
En (5)
∫ ∬
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 7
Como M, E, I son constantes en una sección y
Además:
∬
En (7)
∫ ∬
∫
CASO II: Debido al esfuerzo cortante
( )
( )
Sabemos:
(
) ( ) ( )
A
L
d = d .d .v x y dz
o
z
y
x
dy
dx
P
P
δ
P
P
Elemento sujeto
a fuerza cortante
P
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
II - 8
Considerando: dx.dy.dz = 1, volumen unitario, se obtiene el TRABAJO
ESPECÍFICO DE DEFORMACIÓN ( ) debido a esfuerzo de corte.
( )
ENERGÍA ESPECÍFICA DE DEFORMACION DEBIDA A ESFUERZO DE CORTE
Como:
( )
De la energía específica de deformación:
∭
∭
( )
(4) en (5):
∭
∭
∫ ∬
( )
A. EFECTO DE FUERZA CORTANTE
En (6)
∫ ∬
∫ ∬
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 9
Como: V, G, A son constantes y además:
∬
( )
(*) Factor o coeficiente de forma (solo depende de la forma de la sección
transversal)
En (7)
K = 1.2, Para secciones rectangulares y triangulares
K = 10/9, Para secciones circulares.
∫
∫
( )
(*) TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR FUERZA CORTANTE
B. EFECTO DE MOMENTO TORSIONANTE
Considerando sección circular:
En (6)
∫ ∬
∫ ∬
( )
Como: son constantes y además:
∬
En (8)
∫
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
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∫
( )
(*)TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR MOMENTO TORSIONANTE
Aplicando el Principio de Superposición de Causas y Efectos a fin de
considerarse los 4 efectos simultáneamente en a barra; además como un
sistema estructural esta compuesto de varios elementos Aplicando la sumatoria,
se obtiene la energía interna a trabajo interno debido a la deformación elástica.
∑∫
∑∫
∑∫
∑∫
En donde:
El trabajo de la deformación elástica debido a:
- FUERZA AXIAL (Tracción o Compresión):
∑∫
- MOMENTO FLEXIONANTE:
∑∫
- MOMENTO TORSOR:
∑∫
FACTOR DE FORMA “K”
El coeficiente de forma o factor de forma “K” de la sección transversal de un
elementos, esta dado por la siguiente expresión:
∬
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 11
En donde:
Q = A.d ; Momento elástico
I = Momento de Inercia
t = Ancho de la sección
A = Área de la sección
K = 6/5 = 1.2 : Para secciones rectangulares
K = 10/9 : Para secciones circulares
K = 1 : Para secciones I
y
dy
x dx
S
ds
dx
dy
α
α
s
ds
θ
dθ
θ
dx
dy
R
d = Rds θ
o ≤ ≤θ α
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
II - 12
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
PROBLEMA Nº 01
Determinar el trabajo de la deformación elástica de la viga en cantiléver
SOLUCIÓN:
En esta estructura se presentan los efectos de flexión y corte, por lo tanto:
∫
∫
( )
1º. Cálculo de las fuerzas internas
TRAMO AB: ( )
( )
2º. Cálculo de la “
∫( )
∫
( )
P
L BA
Px
L BA
+
ING. RONALD SANTANA TAPIA
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PROBLEMA Nº 02
Calcular el trabajo de la deformación elástica para la viga de sección constante.
SOLUCIÓN:
∑∫
∑∫
( )
1º. Cálculo de las fuerzas internas
TRAMO AB: ( )
TRAMO CB: ( )
2º. Cálculo de la “ :
En (1):
∫( )
∫
( )
(
)
∫ ( )
∫
( )
(
)
(
)
(
)
P
BA
3L/4C
L/4
L
Px
LB
A
+
x
3L/4
P/4 3P/4
CL/4
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
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PROBLEMA Nº 03
Encontrar el trabajo de la deformación elástica por todo concepto de la estructura
en arco de circunferencia. La sección es única y tiene radio (r = 0.05R), usar
G=0.4E
SOLUCIÓN
∫
∫
∫
( )
TRAMO BA: ( )
( ) ( )
Además:
( )
( )
R
B
A
P
d = 2r
x - x
RP
d = Rds θ
B
A
Psenθ
θ
θ
dθ
(R - Rcos )θ
S
d = 2r
x - x
x
x
PcosθM=P.d
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 15
En (1):
A.
∫[ ( )]
∫ ( )
OJO:
( )
( )
∫ (
)
(
)∫
(
)
( )
B.
∫ ( )
∫
OJO:
∫
∫ (
)
(
) ∫
(
)
( )
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
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C.
∫( )
∫
OJO:
∫
∫ (
)
(
)∫
(
)
( )
Reemplazando las expresiones encontradas:
( )
PORCENTAJE DE PARTICIPACIÓN:
( )
( )
( )
La influencia del cortante y del normal es insignificante en relación a la flexión,
por consiguiente se pueden despreciar.
ING. RONALD SANTANA TAPIA
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PROBLEMA Nº 04
Para la estructura que se muestra, hecha de una varilla maciza de diámetro
(d =0.1a), siendo G = 2/5 E , determinar el trabajo de la deformación elástica
considerando todos los efectos.
SOLUCIÓN:
1º. Cálculo de las fuerzas internas:
TRAMO AB: ( )
Plano: XZ
a
a
a
A
BC
D
P
d = a/10
o
X
Z
Y
a
a
a
A
BC
D
Px
+
d = a/10
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
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TRAMO BC: ( )
TRAMO CD: ( )
√
o
X
Z
Y
a
BC
D
Pa
+
x
P
Plano: XY
o
X
Z
Y
C
D
Pa
+
PPa
a
C
D
P
+
a
x
a√2
Pa√2
P
ING. RONALD SANTANA TAPIA
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√
2º. Cálculo de la energía interna
∑∫
∑∫
∑∫
∑∫
POR FLEXIÓN:
(
)
[∫( )
∫( )
∫( √ )
]
(
)
POR CORTE:
(
)
[∫( )
∫( )
∫
]
(
)
POR CARGA AXIAL:
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
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[∫
∫
∫( )
]
POR TORSIÓN:
(
)
[∫
∫( )
∫
]
(
)
PORCENTAJE DE PARTICIPACIÓN:
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
(
)
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
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PROBLEMA Nº 05
Hallar:
SOLUCIÓN:
∫
TRAMO AB: ( )
( )
∫( )
∫
∫
∫ (
)
(
) ∫
(
)
(
)
R
A C
P
B
P
R
A C
P
B
P
dθ
ds=Rdθ
Rsenθθ
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
II - 22
PROBLEMA Nº 06
Considerando solo el efecto de flexión (EI=cte), calcular la energía de
deformación elástica acumulada en la estructura.
SOLUCIÓN:
1º. Reacciones:
∑
( ) ( )
√
∑
∑
A
4a
qa²
B 3a C
R Sen A 45º = qa
AR Cos A 45º = qa
X
4a
45º
RA
45º
qa²
B 3a
X
H c = qa
Vc = qa
C
+
+
ING. RONALD SANTANA TAPIA
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2º. Acciones Internas
TRAMO AB: ( )
TRAMO CB: ( )
3º. Energía de deformación
∑∫
∫( )
∫
( )
∫
∫
(
)
(
)
(
)
PROBLEMA Nº 07
La barra ABC de sección circular esta doblada según la recta AB y el cuadrante
de circunferencia BC, si esta fija en A y libre en C, hallar la Energía de
Deformación Elástica al actuar una carga “P” en C, perpendicular al plano de la
barra. Considerar los efectos de deformación por flexión y torsión
(J = 2 I, G = 0.40 E).
B
A
C
rr
Y
Z
X
P
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
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SOLUCIÓN:
TRAMO CB: ( )
( )
TRAMO BA: ( )
( )
( )
θ
B
A
C
rr
Y
Z
X
P dθ
ds r= dθ
θ
BA
C
r
r
YZ
X
P
dθ
θ /2
d/2
d/2
θ/2
M =MCos θ/2f
-
M=Pd
M =MSen θ/2t
+
d = 2 r Sen /2θ
Momento Torsor: +
P
BA r
r
YZ
X
P
Px
45º
M=√2 Pr
M t
+
M f
+
r√2
ING. RONALD SANTANA TAPIA
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∑∫
∫
( )
∫
( )
(
)
∑∫
∫
( )
∫
(
)
(
)
PROBLEMA Nº 08
Solo efectos de flexión EI = cte.
TRAMO DC: ( )
TRAMO CB: ( )
P
AB
CD a
2a
3a
P
CD a
x
+
B
C
2a
P
Pa
x
+
TRABAJO DE LA DEFORMACION ELÁSTICA
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TRAMO BA: ( )
∑∫
( )
∫( )
∫
( )
∫
( )
∫
∫
∫ ( )
(
)∫
( )∫
(
)∫
(
)
( )
( )
P
A B Pa
x
+