capitulo i marco teorico o conceptos …...de capital por trabajo y viceversa, para lograr el mismo...
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CAPITULO I
MARCO TEORICO O CONCEPTOS BASICOS
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CAPITULO I
MARCO TEORICO O CONCEPTOS BASICOS
1.1.MODELO DE SOLOW-SWAN
1.1.1 Definición
Siguiendo las reflexiones y resultados logrados por Harrod y Domar
(H-D), Solow y también Swan (en particular el primero), desarrollan un
modelo con flexibilidad tecnológica en el que es posible la sustitución
de capital por trabajo y viceversa, para lograr el mismo nivel de
producto. Solow (2000) sostiene que esta flexibilidad tecnológica
permitió corregir los principales problemas del modelo. Esto es,
primero, el que hubiera una sola trayectoria estable de crecimiento y
que estar en ella fuera un evento fortuito. El segundo, es que la
tasa de crecimiento a lo largo de la trayectoria estable, fuera
proporcional a la tasa de ahorro. En el modelo de Solow, la tasa de
ahorro no tiene ningún efecto sobre la tasa de crecimiento de largo
plazo.
El modelo neoclásico de crecimiento es también conocido como de
Solow y Swan, pero no porque lo hayan escrito en colaboración, sino
porque ambos, separadamente, escribieron modelos similares en el
mismo período.
Este es un modelo relativamente sencillo en el que, por ejemplo, las
decisiones de consumo de las familias, que se resumen en la tasa de
ahorro, aparecen como un dato que resulta exógenamente
determinado, con un valor estable y fijo como ocurriría en el largo
plazo o steady state. Las decisiones de inversión son tomadas
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siguiendo el criterio de dedicar a la inversión todo aquello que no es
consumido, luego de descontar la depreciación.
La función de producción, Y = F (K, L) es homogénea de grado 1, tiene
rendimientos marginales decrecientes y rendimientos constantes a
escala (RCE), y cumple las condiciones de Inada. Esta función
puede ser escrita en términos per-cápita como Y = L F (K/L, 1),
de donde obtenemos:
Este modelo supone que la economía está en equilibrio con
pleno empleo. Por esto, la condición básica es que el ahorro es
igual a la inversión bruta. Tenemos que en equilibrio el ahorro
total igual a la inversión total o inversión bruta. Esta inversión es
inversión neta mas inversión de reposición. La inversión neta es
el cambio en el stock de capital, mientras que la de reposición
iguala a la depreciación.
Por esto,
que puede ser reescrita como
Luego, dado el supuesto de rendimientos constantes a escala, y
dividiendo toda esta expresión entre L, podemos expresar esta
ecuación en términos per cápita con la ayuda del álgebra,
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Pero, como , entonces podemos escr
la ecuación es la ley de movimiento de la acumulación del capital
per-cápita. Los términos, n, representan respectivamente la tasa de
depreciación y la tasa exógena de crecimiento de la población. La
ecuación es representada por el conocido gráfico que sigue.
Para cualquier k < k*, el producto total es la suma de (a + b + c).
La distancia a corresponde a la parte del producto que tiene que
ser destinada a la depreciación y para mantener constante el
capital per-cápita. La distancia b corresponde a la parte del
producto que es destinada a inversión neta, es decir, a
incrementar el capital per-cápita. En consecuencia, (a + b)
constituye el ahorro. La distancia c corresponde a la parte del
producto destinada al consumo per-cápita.
El nivel de capital indicado como k* es el stock de capital per-
cápita en el estado estacionario. En términos matemáticos
podemos hallar k*, sabiendo que en el estado estacionario el stock
de capital per-cápita permanece constante y es igual a cero.
En este caso, hacemos.
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El lado izquierdo puede escribirse también como . Como el
lado derecho de esta ecuación está constituido por
parámetros podemos afirmar que, en el estado estacionario
tanto el producto como el capital crecerá a la misma tasa.
Además, existirá un valor único de k = k* que la resuelva.
La existencia de un estado estacionario en el que el stock de
capital per-cápita permanece constante, es decir, en el que el
stock de capital crece a la misma tasa en que crece la
población, es una consecuencia de haber asumido una función de
producción con rendimientos constantes a escala, que tiene
rendimientos marginales decrecientes.
El que se llegara a un estado estacionario con k* constante,
podría hacer pensar que este modelo predeciría que todas las
economías deberían convergir a un mismo e igual nivel de
producto per-cápita, creciendo más rápidamente aquellas
economías con menor nivel de stock de capital inicial hasta
alcanzar a aquellas que empezaron con un nivel mayor.
Sin embargo, esto no es así necesariamente. Tal como se puede
apreciar en la ecuación (1) , variaciones en
s, ó n pueden hacer que los stocks de capital per-cápita y, en
consecuencia, los niveles de producto per-cápita en el estado
estacionario sean diferentes para distintas economías. Por lo tanto,
en general, el modelo neoclásico no predice que todas las
economías convergirán a un mismo nivel de producto e ingreso.
Sin embargo, para economías con iguales funciones de producción
e iguales parámetros, sí es cierto que la predicción del modelo es
que convergirán a iguales niveles de producto y capital per-
cápita. Esto se llama “convergencia condicional”.
En el estado estacionario todas las economías crecerían a la
misma tasa que, si no consideramos la eficiencia del trabajo o
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la tecnología, será igual a cero. Sin embargo, dependiendo de
sus niveles de s y/o n, podrán alcanzar diferentes niveles de
capital per cápita, k*, con lo que podrán tener diferentes niveles
de ingreso, f(k*). Los países mas ahorradores no crecerán, en
el largo plazo, a tasas mayores que los países menos
ahorradores, sin embargo, serán más ricos.
1.1.2 Supuestos relacionados con la función de producción
Por lo que se refiere a la función de producción, la hipótesis básica
del modelo es que esta exhibe rendimientos constantes a escala en
sus dos factores, capital y trabajo. Esto significa que si se duplica la
cantidad de capital y de trabajo efectivo (por ejemplo, si K y L se
doblan, manteniéndose constante A), el nivel de producción también
se duplica. En términos más generales, si multiplicamos ambos
argumentos por una constante positiva c, el nivel de producción se
multiplica por ese mismo factor:
( , ) = ( , ) Para todo c ≥ 0
Esta hipótesis resulta de la combinación de dos supuestos. El primero
de ellos es que la economía es ya suficientemente grande como para
que las ganancias derivadas de la especialización se hayan agotado.
En una economía muy pequeña, las posibilidades de una mayor
especialización implican normalmente que la producción aumente en
mayor proporción que las cantidades incrementadas de capital y
trabajo.
El modelo de solow supone, sin embargo, que la economía esta lo
suficientemente desarrollada como para que las cantidades
adicionales de factores incorporadas al proceso productivo sean
explotadas de la misma manera que las ya existentes, de modo que el
nivel de producción crece exactamente en la que lo hacen aquellos.
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El segundo supuesto es que los factores productivos que no son el
capital, el trabajo y la tecnología, en particular la tierra y los
recursos naturales, son relativamente irrelevantes. Si los recursos
naturales fueran importantes, un aumento de las cantidades de
capital y de trabajo podría provocar un incremento de la producción
menor que proporcional. En la práctica no parece que la escasez
de recursos naturales constituya una restricción importante para el
crecimiento económico, de modo que la hipótesis de rendimientos
constantes de capital y el trabajo parece razonable.
El supuesto de rendimientos constantes a escala nos permite
operar con una función de producción intensiva. Si definimos c
=1/AL, la función de producción se puede expresar como:
, 1 = 1 ( , )En esta expresión, / es la cantidad de capital por unidad de
trabajo efectivo y ( , )/ es / , es decir, el producto por
unidad de trabajo efectivo. Si definimos ahora = / , =/ y ( ) = ( , 1), podemos reescribir
, 1 = 1 ( , )Como: = ( )Es decir, expresar al producción por unidad de trabajo efectivo
como una función de capital por unidad de trabajo efectivo.
Estas dos nuevas variables, e , no nos importan por sí mismo,
sino como instrumentos para entender el comportamiento de las
variables que nos interesan. Como tendremos ocasión de
comprobar, es más fácil analizar el modelo partiendo de que
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examinando directamente el comportamiento de los dos
argumentos de la función de producción, y . Así, por ejemplo,
analizaremos el comportamiento de la producción por trabajador/ , expresando esta como ( / ) o como ( ), y
determinando luego el comportamiento de y de .
Para comprender de forma intuitiva que hay tras la ecuación= ( ), imaginemos nuestra economía hipotética dividida en
economías de menor tamaño, cada una de las cuales dispone de
una unidad de trabajo efectivo y / unidades de capital. Dado
que la función de producción presenta rendimientos constantes a
escala, cada una de estas economías produce una fracción 1/AL
de lo que produciría la economía indivisa de mayor tamaño. Por
consiguiente, el volumen de producción por unidad de trabajo
efectivo depende exclusivamente de la cantidad de capital por
unidad de trabajo efectivo, y no del tamaño total de la economía.
Esto lo expresa matemáticamente la ecuación = ( ).El modelo supone que la forma intensiva de al función de
producción, ( ), satisface que (0) = 0, ′( ) > 0 y ′′( ) < 0.
Como ( , ) es igual a ( / ), la productividad marginal
del capital, ( , )/ , es igual a ′( / )(1/ ) que es
simplemente ′( ). Por lo tanto el supuesto de que ′( ) es
positivo y ′′( ) negativo implica que la productividad marginal del
capital es positiva, pero que disminuye a medida que la cantidad
de capital (por unidad de trabajo efectivo) aumenta.
Se supone, además que (•) satisface las condiciones de Inada
(Inada, 1964): lim → ′( ) = ∞ y lim →∞′′( ) = 0. Estas
condiciones (mas extremas de las que se necesitan para obtener
los resultados principales del modelo) nos dicen que la
productividad marginal del capital es elevada cuando el stock de
capital es lo suficientemente pequeño y que se vuelve muy
pequeña a medida que este aumenta, y su justificación estriba en
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que permiten garantizar que la evolución de al economía no sea
divergente.
Ejemplo de una función de producción
El grafico muestra una función de producción que satisface
>0 y <0 y las condiciones de Inada.
Un ejemplo concreto de función de producción es la función Cobb-
Douglas:
, 0< α <1
1.1.3 La evolución en el tiempo de los factores de producción
El resto de los supuestos del modelo se refieren a como varían a lo
largo del tiempo las cantidades de trabajo, capital y tecnología. El
modelo presupone que el tiempo es continuo, es decir, que las
variables incluidas en él están en todos y cada uno de los momentos.
Las dotaciones iníciales de capital, trabajo y tecnología se suponen
dadas. El trabajo y la tecnología crecen a tasas constantes.
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que permiten garantizar que la evolución de al economía no sea
divergente.
Ejemplo de una función de producción
El grafico muestra una función de producción que satisface
>0 y <0 y las condiciones de Inada.
Un ejemplo concreto de función de producción es la función Cobb-
Douglas:
, 0< α <1
1.1.3 La evolución en el tiempo de los factores de producción
El resto de los supuestos del modelo se refieren a como varían a lo
largo del tiempo las cantidades de trabajo, capital y tecnología. El
modelo presupone que el tiempo es continuo, es decir, que las
variables incluidas en él están en todos y cada uno de los momentos.
Las dotaciones iníciales de capital, trabajo y tecnología se suponen
dadas. El trabajo y la tecnología crecen a tasas constantes.
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que permiten garantizar que la evolución de al economía no sea
divergente.
Ejemplo de una función de producción
El grafico muestra una función de producción que satisface
>0 y <0 y las condiciones de Inada.
Un ejemplo concreto de función de producción es la función Cobb-
Douglas:
, 0< α <1
1.1.3 La evolución en el tiempo de los factores de producción
El resto de los supuestos del modelo se refieren a como varían a lo
largo del tiempo las cantidades de trabajo, capital y tecnología. El
modelo presupone que el tiempo es continuo, es decir, que las
variables incluidas en él están en todos y cada uno de los momentos.
Las dotaciones iníciales de capital, trabajo y tecnología se suponen
dadas. El trabajo y la tecnología crecen a tasas constantes.
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Donde n y g son parámetros exógenos y los puntos sobre las
variables indican una derivada con respecto al tiempo; es decir, ( )es una forma abreviada de expresar ( )/ .
La tasa de crecimiento de una variable es su tasa de cambio
proporcional, es decir, la expresión tasa de crecimiento de X no es
sino el valor ( )/ ( ). Por lo tanto la ecuación ( ) = ( ) implica
que la tasa de crecimiento de L es constante e igual a n, y la ecuación( ) = ( ) implica que la tasa de crecimiento de A es constante e
igual a g.
Un dato esencial sobre las tasa de crecimiento es que la tasa de
crecimiento de una variable es igual a la tasa de crecimiento de su
logaritmo natural. Es decir, ( )/ ( ) es igual a ln ( ) / . Para
comprobarlo, nótese que como ln es una función de X y X es una
función de t, podemos utilizar la regla de la cadena para escribir
ln ( ) = ln ( )( ) ( ) = 1( ) ( )Si aplicamos este resultado a las ecuaciones ( ) = ( ) y ( ) =( ), tenemos que las tasas de cambio de los logaritmos de y
son constantes e iguales a n y g, respectivamente. Así pues,ln ( ) = [ln (0)] +ln ( ) = [ln (0)] +Donde (0) y (0) son los valores que adoptan y en el periodo 0.
Si elevamos a sus correspondientes exponentes ambos lados de
estas ecuaciones, tendríamos:
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( ) = (0)( ) = (0)Por lo tanto, nuestra hipótesis es que tanto como crecen
exponencialmente.
La producción se destina al consumo o a la inversión. La proporción
del producto destinada a la inversión, s es exógena y constante: es
decir, la inversión de una unidad de producción genera una unidad
nueva de capital. Además, el capital existente se desprecia a una tasa
δ.
Por consiguiente: ( ) = ( ) − ( )Aunque n, g y δ no están sometidas a ninguna restricción de manera
individual, su suma se supone positiva. Con esto hemos completado
la descripción del modelo.
Como este es el primer modelo de los (¡muchos!) que vamos a
examinar, no está demás detenernos en ciertos aspectos de la
modelización. El modelo de Solow constituye una simplificación
extrema en varios sentidos.
Por mencionar solo algunos ejemplos, considera solo un bien,
prescinde del papel del estado a la economía, ignora las fluctuaciones
del empleo, describe la producción a través de una función donde
solo intervienen tres factores, y las tasas de ahorro, depreciación,
crecimiento de la población y progreso tecnológico se suponen
constantes.
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Es lógico pensar que estos son defectos del modelo: el modelo esta
prescindiendo de muchas características obvias del mundo real,
alunas de las cuales son sin duda importantes para explicar el
crecimiento económico. Sin embargo, el modelo no pretende ser
realista. Al fin al cabo, ya poseemos un modelo que absolutamente
realista: la realidad misma; el problema es que es un modelo muy
difícil de interpretar.
El objetivo de un modelo es destacar ciertas características concretas
de la realidad. Si sus supuestos simplificadores llevan al modelo a
proporcionar respuestas incorrectas a las preguntas que pretendía dar
respuesta, entonces la falta de realismo puede ser efectivamente un
defecto (aunque, incluso en este caso, la simplificación puede resultar
una referencia útil, porque muestra claramente los efectos de aquellas
características en un marco ideal).
Pero si esto no ocurre, entonces la falta de realismo se convierte en
una virtud: al aislar exclusivamente los efectos que nos interesan, la
simplificación hace que sean más fáciles de entender.
El modelo de Solow con cambio tecnológico ahorrador de trabajo
Como sabemos, este cambio tecnológico opera haciendo como si la
cantidad de trabajo hubiera aumentado. Si consideramos la existencia
de este tipo de cambio, podemos escribir la función de producción
considerando la cantidad de trabajo en términos de trabajo efectivo, Y
= F(K, AL).
La ecuación no se modificaría, aunque ahora
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Son el nivel de capital y producto por trabajador efectivo,
respectivamente.
Por un procedimiento semejante al que nos llevó a la ecuación podemos
obtener
que ya incluye la tasa de cambio tecnológico exógeno, x. No olvidar que,
en la ecuación , el términoya no indica solamente el capital per-cápita,
sino el capital por trabajador efectivo.
Como la tasa de crecimiento del trabajo efectivo, AL, es (n + x), el
resultado es que el stock de capital expresado en unidades de
trabajador efectivo va a disminuir con el cambio tecnológico que
aumenta la eficiencia del trabajo.
La siguiente ecuación puede expresarse ahora con un determinante
adicional del stock de
Capital por trabajador efectivo en el estado estacionario, el término
es
Como entonces .Por lo tanto, cuando =0
Obtenemos . Es decir el capital per cápita crece a la tasa que crece
la Tecnología.
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A partir de la ecuación, diferenciándola totalmente con respecto al
ahorro, s, y al capital por trabajador efectivo, k, puede mostrarse,
para una función que cumpla con las condiciones de Ianda, que en el
estado estacionario este stock de capital será mayor cuanto mayor sea
la tasa de ahorro, y será menor cuanto mayor sea el valor de los
parámetros que se encuentran en el numerador.
Cuando consideramos, en vez de la función de producción genérica
que hemos venido utilizando, una función específica de la forma Cobb-
Douglas, . obtenemos que
En la ecuación puede verse claramente que el stock de capital por
trabajador efectivo disminuirá con la tasa de cambio de la tecnología
indicada por x, así como con la tasa de depreciación y con la tasa de
crecimiento de la población. Este resultado es casi tautológico, y es
consecuencia de la misma definición de capital por trabajador
efectivo.
De la misma ecuación puede derivarse que la tasa de
crecimiento del capital por trabajador efectivo en el tiempo es
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Considerando que y que α<1 podemos escribir el resultado previo como
; Capital por trabajador efectivo
K: capital per – cápita
Se muestra que el stock de capital por trabajador efectivo crecerá a lo largo
del tiempo junto con la tasa de crecimiento de la tecnología o eficiencia y
disminuirá con la tasa de crecimiento del capital per-cápita, tal como se
observa en la ecuación Es decir, el aumento en el stock de capital per-cápita
tiende a reducir la tasa de acumulación del capital por trabajador. Sin embargo,
tal como se ve en la ecuación (7) y como lo mostramos más abajo en la
ecuación (8), mejoras en la eficiencia del trabajo pueden contrarrestar ese
efecto.
La razón de esto es que el aumento en la eficiencia del trabajo actúa como
si incrementara el número de trabajadores, lo cual aumenta la productividad
marginal del capital por trabajador efectivo. Para la llegada del estado
estacionario es necesario que el stock de capital per cápita crezca a una tasa
menor o igual a la del cambio tecnológico, pero la llegada de ese estado se
postergará mientras la tasa de crecimiento de la eficiencia sea mayor que
la tasa de crecimiento del capital per cápita.
Este efecto global puede desagregarse algo más observando la relación
entre el Producto Marginal del capital y la eficiencia del trabajo en la
producción (A).
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Entonces, por un lado, como es conocido, el aumento del stock de
capital por trabajador efectivo reduce su producto marginal, mientras
que por el otro, tal como se ve el aumento de la eficiencia del trabajo, A,
contrarresta ese efecto aumentando el producto marginal del capital.
Este resultado se obtiene cuando usamos una función de producción
genérica que cumpla con las condiciones de Inada.
Aplicación práctica del modelo de Solow - La contabilidad delcrecimiento
Solow emplea una función de producción Y=AF(K, L). Aplicando
logaritmos a esta función, obtenemos que,
diferenciándola nos da
Que puede presentarse como
que dice que la tasa de crecimiento del producto puede explicarse por
la suma de la tasa de crecimiento del cambio tecnológico mas la tasa
de crecimiento del stock de capital, ponderada por su participación
porcentual en el producto, mas la tasa de crecimiento de la fuerza
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de trabajo, ponderada también por su participación porcentual en el
producto. Es decir, la tasa de crecimiento del producto es explicada
por la tasa de crecimiento de todos los factores, incluyendo el
cambio tecnológico, que intervienen en su producción.
La serie de datos para esta ecuación o están disponibles o pueden ser
construidos con relativa facilidad. La única dificultad se presenta con
los datos para el cambio tecnológico. Solow salió de este problema
calculándolo como residuo,
A esto se le conoce como la “contabilidad del crecimiento” o “growth
accounting”.
Como en el modelo de Solow el cambio tecnológico es exógeno, no es
explicado por el modelo, no fue posible dar el paso para hallar las
causas que lo producen. Esta última tarea, a la que se conoce como
“growth regressions, recién pudo ser abordada luego del desarrollo de los
modelos de crecimiento endógeno.
Las predicciones del modelo de Solow en la versión de MRW
Una presentación que facilita la aplicación práctica de esta propuesta de
MRW es la que aparece en su propio texto, MRW (1992). Aquí se
formula la función de producción tipo Cobb- Douglas,
que la podemos escribir en términos de trabajo
efectivo
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Asumiendo que las tasa de depreciación son iguales para el capital físico
y para el capital humano, y que el mismo producto Y, sirve para producir
ambos capitales, podemos escribir en términos de trabajo efectivo
En el estado estacionario
Sustituyendo cada uno en el otro, obtenemos
Asumiendo que
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Aplicando logaritmo neperiano obtenemos:
Oh * OK
*
*)(** hnhsO
***)( hshn
*
*)(*
k
hns
hhns *)(*
Desglosando s*
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**
*hh
n
s
1
11*1
1*
hn
s
*
* 1
1
hn
s
1
1
*n
sh
1.2. MODELO DE RAMSAY-CASS-KOOPMAN
1.2.1 Definición
También se analizará las decisiones que toman los agentes
económicos, consumidores y empresas. Por un lado, analizaremos
como las familias toman sus decisiones de consumo y ahorro.
Paralelamente analizaremos las decisiones de inversión y
contratación de mano de obra que hacen las empresas. El objetivo es
estudiar cual es el resultado que obtiene una economía en la que
dejamos que sean los consumidores los que toman sus decisiones de
consumo y las empresas sus decisiones de inversión. En el contexto
Ecuación del EstadoEstacionario stock decapital en estadoestacionario con cobbDouglas per cápita
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de esta economía estaremos preocupados por analizar cuáles son los
determinantes del crecimiento económico.
Como sabemos en la vida real las empresas y los consumidores son
instituciones separadas que interactúan en un lugar llamado mercado.
Las familias distribuyen su renta entre consumo y ahorro. Las
empresas contratan trabajo a cambio de un salario y venden el
producto a cambio de un precio. Empresas y familias se encuentran
en el mercado y los precios del trabajo y el capital son tales que los
tres mercados se vacía. (Modelo de equilibrio general de Ramsey
(1928)).
Esta nota esta basada en el modelo de Ramsey (1928) y que,
posteriormente perfeccionado por Cass (1965) y Koopmans (1965),
donde incorpora la función de producción neoclásica y va considerar
también el modelo de Solow.
El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans también es conocido como el
modelo de horizonte infinito y para los economistas, este modelo es la
continuación del modelo de Solow, pero desarrollado en un contexto
de optimización de los agentes económicos (firmas, familias). Algunas
características de este modelo son: Que las firmas competitivas
rentan capital y contratan trabajo para producir, un número fijo de
familias que viven por siempre, ofrecen la fuerza laboral, consumen y
ahorran, excluye todas las imperfecciones de los mercados.
1.2.2 Supuestos
Las decisiones son determinadas a nivel microeconómico.
Los agentes deciden cuanto ahorrar.
Aumentar su conjunto y su capital a futuro.
Las familias son consumidoras y productoras (tipo Robinson
Crusoe).
Ahorraron para cambiar su parte temporal de consumo:
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Tasa de descuento.
Rentabilidad de capital.
Este modelo se ve en tiempo continuo.
Existe una función neoclásica agregada de buen comportamiento.
Mundo perfecto:
Firmas Competitivas: Rentas, capital y alquiler de mano de
obra.
Hogares: que sobreviven en el tiempo, los que trabajan y
los que son vienes de capital.
Existe una función de utilidad de los individuos, que depende del
consumo por Trabajador.
La magnitud de la función de utilidad marginal del consumo es
positiva esto quiere decir es una función es cóncava. La
concavidad de la utilidad refleja el deseo de la gente de tener
trayectorias de consumo más o menos lisas o suaves en el
tiempo. Que la función de utilidad sea lisa, significa que los
consumidores prefieren consumir un poco cada día que consumir
un poco mucho y otro nada. La relación entre concavidad de la
función de utilidad y el deseo de alisar el consumo (es decir
querer consumir más o menos lo mismo cada día) se puede
apreciar en el gráfico Nº1.
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Empresas
Función de Producción: F(K,A,L)
K: Capital.
L: Trabajo.
A: Tecnología que aumenta la productividad del trabajo.
Hogares
Número grande. Todos son idénticos, brindan una unidad de trabajador.
Tienen capital inicial:
( ) ; H: Número de hogares.
1.2.3. Utilidad del hogar
La utilidad derivada de consumir t c , es mayor cuando el consumo
total se ha repartido, que cuando no se reparte.
= ∫ ( )n( ( )) ( ) } Función.
: Factor de descuento, nos sirve
para
descontar el tiempo continuo.
L : Población.
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n(c) : Función de utilidad instantánea.
( ) : Consumo por unidad de trabajo
efectivo.
H : Número de hogares.
Función de Utilidad Especial
( ) = ( )1 −En esta función, es una constante que representa el grado de
concavidad de la función de utilidad. Contra mayor sea , mayor será
la concavidad de la función de utilidad, mayor serán los deseos de los
agentes de suavizar el consumo en el tiempo.
Deducir el coeficiente de Aversión al Riesgo Constante (ARC)
= ( )( ) …………………………(*)
Dado:
( ) = ( )( ) = ( ) ( ) =( ) = −
Reemplazando en la fórmula (*)= . = − . − = . =ARC =
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Fundamentos
En este modelo las familias determinan la forma óptima de la
trayectoria del consumo. En el caso de Solow las familias no tienen la
oportunidad de medir su trayectoria temporal de su consumo en forma
óptima.
Paso I: Utilidad agregada de los individuos
( ) = ∫ ( ) Función objetivo utilidad agregada en
los individuos.
: Tasa de descuento (Preferencia de los
consumidores)
( ) : Función instantánea de la utilidad de los individuos
Lt: Población
n: Tasa de capitalización de crecimiento de la población=Reemplazando = = 1 =
( ) = ∫∞ ( )( ) = ∫∞ ( )( ) = ∫ ( )∞ ( )
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Como la función definida de la utilidad instantánea de los individuos es
función del consumo:
( ) = ( ) > 0
Reemplazando ( ) en ( )
( ) = ∫ ( )∞ ( )Función Objetivo
Paso II: Restricción del Flujo Presupuestal de Individuos y Familiar = + − : Tasa de cambio del stock de capital agregado
W: Salario individual
L : Población
r : Tasa de Retribución del capital
K : Stock de capital
C : Consumo total
Per cápita: = + − c: consumo per cápita
h: stock de capital per cápita
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Ingresos de los individuos:
WL : Salarios totales. Remuneración por trabajo
rK : Remuneración por el capital
Reemplazando en per cápita:
= + ℎ − I
Para homogenizar:
h = ;
= –= . − .
Sea: = ;
ℎ = − ℎdesagregando
= ℎ + ℎ II
Reemplazando e igualando I y II
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= + ℎ − = ℎ + ℎℎ + ℎ = + ℎ −
ℎ = + ℎ − − ℎTasa de cambio del stock Ingresos Consumo Reposición del
capital
de capital en términos per cápita
per cápita.
ℎ = + ℎ − − ℎ Flujo de ahorro neto per cápita
( ) = ∫ ( )∞Función Objetivo
ℎ = + ℎ − − ℎ Restricción
Para maximizar la función objetivo con respecto a sus restricciones
aplicamos Hamiltonianos y se definen así:
= 0 = − C = se hace per cápita c
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= ( )∞ 1 − + ( + ℎ − − ℎ ) = ( ) ( ) + ( + ℎ − − ℎ )= ( ) . − = 0
= ( ) .
= − = −
( − ) = −− =
= −( − )Linealizamos por derivadas:
= ( ) .
como
= −( − ) }
( ) = + = = ( ) +
( )
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= ( ) (−) + − ( − ) ( )Ordenando:− −( − ) . −(1+) − ( − ) −( − ) −− −( − ) . − ( − )) −( − ) −− − ( − )
e=1
− − ( − ) = = ÷
−
− ( − )
=
= − − ( − )Igualando:
nos da
= −( − )− − ( − ) = −( − )− = −( − ) + ( − )
= ( − ) − ( − )
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 31
= −EULER
=
La tasa de crecimiento del consumoes igual a la tasa de retribución
del capital (r) menos la tasa de descuento que es la preferencia de los
consumidores ( ) dividido por la aversión al riesgo constante ()
Con las empresas
Una vez obtenido
= y
ℎ = + − − ℎBeneficio = ( , ) − ( + )
Producción Retribución
del trabajador
A: Tecnología constanteℎ = /Hacemos Per cápita= − − ( )
= (ℎ) − (ℎ) − ……….. 1
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 32
Maximizando
= ′(ℎ) − = 0 ′(ℎ) = ………….. 2
Reemplazando 2 en 1
= (ℎ) − ′(ℎ)ℎ− ……… 3
Como en familia es = Familia
se reemplaza
= ′( )Empresa
Como ℎ = + − − ℎReemplazo = ′(ℎ) ℎ = + ′(ℎ) − − ℎAnalizando 3= (ℎ) − ′(ℎ)ℎ −
Beneficio Producción Valor del Pago del
Per cápita Producto Marginal Salario
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 33
1.3. MODELO DE DIAMOND
1.3.1 Definición
Pasamos ahora al modelo de generaciones solapadas de Diamond.
La principal diferencia entre este modelo y el Ramsey-Cass-
Koopmans es que ahora la población se renueva: en lugar de existir
un número de fijo de hogares con horizontes temporales infinitos, en
el modelo de Diamond nacen continuamente nuevos individuos, que
vienen a sustituir a los que se van muriendo. En definitiva, en dicho
modelo se supone que una generación se relaciona con otras
generaciones a lo largo de su vida. La utilidad fundamental de este
tipo de estudios, además de lo que expondremos aquí, estriba en la
posibilidad de mostrar la implicaciones de tipo agregado del ciclo de
vida del ahorro de los individuos.
En este sentido, hay que considerar que los individuos generan un
stock de capital gracias al ahorro que realizan a lo largo del período
en el que trabajan para poder financiar su consumo cuando se jubilen.
Obviamente, nuestro interés es exponer los efectos de la política fiscal
sobre dicho stock de capital, que es el que va a influir, desde esta
perspectiva, sobre el crecimiento económico del país.
Por otro lado, se parte del supuesto de que el tiempo es discreto más
que continúo y que el individuo, para simplificar, vive dos períodos,
creciendo la población a una tasa n. A su vez los individuos ofertan
trabajo y los ingresos que obtienen los utilizan de forma distinta en
cada uno de los períodos. En el primero, lo dedican al consumo y al
ahorro y, en el segundo, se consumen tanto los ahorros generados
como los intereses que se perciben.
La producción se concibe de la misma forma que en los modelos
anteriores, esto es, se parte de una función de producción con
rendimientos constantes a escala que satisface las condiciones. Los
mercados son competitivos y, para simplificar, se supone que no
32
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 34
existe depreciación, partiendo de la hipótesis de que tenemos un
cierto stock de capital que es poseído equitativamente entre los
individuos viejos
Cuando se adopta a la hipótesis de recambio poblacional, resulta más
sencillo suponer que el tiempo es discreto en vez de continuo: es
decir, ahora definiremos las variables del modelo para = 0,1,2 … ., en
vez de para todos los valores de ≥ 0. Para simplificar aun más el
análisis, suponemos que la vida de cada individuo dura solamente
dos periodos. Pero lo que resulta crucial para el modelo no son las
hipótesis sobre el tiempo discreto y los periodos vitales, sino un
supuesto general del recambio poblacional.
En el periodo nacen individuos. Como antes, la población crece
en una tasa igual a n, de manera que = (1 + ) . Dado que los
individuos viven durante dos periodos, en el momento hay
individuos que se encuentran en el primer periodo de sus vidas y= /(1 + ) que están en el segundo. Durante el periodo de la
juventud, cada individuo suministra una unidad de trabajo y divide la
renta laboral resultante entre el consumo y el ahorro: en el segundo
periodo, el individuo se limita a consumir sus ahorros y cualquier
interés que haya obtenido.
Sean y el consumo de los individuos jóvenes y viejos
respectivamente en el periodo . La utilidad de un individuo nacido en
, depende de y . Suponemos una vez más que la utilidad
es con aversión relativa al riesgo constante:
= 1 − + 11 + 1 − , > 0, > −1
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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1.3.2 Supuestos principales del Modelo (economía privada y
cerrada) Sobre las empresas
Existen múltiples empresas que enfrentan una función de
producción neoclásica tradicional:
Y(t) = F[K(t),A(t)L(t)] (1)
Las empresas producen bienes que venden en mercados
competitivos. Esos bienes se producen con trabajo que
realizan los jóvenes y con capital que poseen los viejos .Por
estos insumos se paga w y r.
El progreso técnico A es exógeno y crece a una tasa g.
Se asume que δ=0.
Existe un stock inicial de capital K0 en la economía distribuido
equitativamente entre la población vieja.
Sobre los hogares
En el período t nacen Lt individuos y la población crece a una
tasa n. Por tanto:
individuos en en 1 periodo individuo en el 2 periodo
de su vida de su vida
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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En su primer periodo de vida cada individuo suministra una
unidad de trabajo y divide la renta laboral obtenida entre
consumo y ahorro.
En el segundo periodo cada individuo se dedica a consumir la
totalidad del ingreso generado por sus ahorros mas el
rendimiento pagado a ese ahorro.
Sobre los hogares
Un individuo nacido en t trata de maximizar una función de
utilidad con forma funcional ARRC:
= 1 − + 1 ∗1 − (1)donde > 0 , < −1
Los viejos consumen todo el ingreso derivado del capital y su
riqueza inicial y mueren.
Los jóvenes dividen su ingreso laboral wtAt entre consumo y
ahorro.
El ahorro y los rendimientos que genera se trasladan para el
siguiente. Por esto, el capital en t+1 depende del ahorro total:
= [ − ]Kt+1 se combina con el trabajo que provee una nueva
generación para continuar con el proceso productivo.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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Sobre el comportamiento de los hogaresPara poder completar el ejercicio de optimización además de
la función de utilidad nos hace falta la restricción
presupuestaria que enfrenta el agente representativo.
Para hallar la restricción presupuestaria, partamos del
consumo en el segundo periodo de su vida de un individuo
nacido en el periodo t.
= [1 − ][ − ] ( 2 )Restricción presupuestaria= [ − ] + [ − ] ( 2 )
El valor presente del
ingreso de un individuo
nacido en t debe ser
igual al valor presente
del consumo de toda
su vida.
Comportamiento de los hogares
Problema maximización: de Lagrangiano
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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Comportamiento de los hogares
Ecuación de euler
modelo de diamond
Esta ecuación es similar a la Ecuación de Euler para el Modelo deRamsey.
Interpretación: La decisión de un agente representativo de cómo
repartir su consumo entre el presente y el futuro depende de la
relación que exista entre el rendimiento real, r, y la tasa de
descuento, ρ
En consumo a esta diferencia entre r y ρ adición, θ determina la
sensibilidad del comportamiento de los hogares.
1.3.3. DINAMICA DEL MODELO
Comportamiento de los hogares: Sobre el ahorroPara ver el comportamiento del ahorro introduzcamos la
Ecuación de Euler en la restricción presupuestaria y
resolvamos para el C1t:
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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Ecuación de Euler
Restricción presupuestaria
Comportamiento de los hogares: Sobre el ahorro
El tipo de interés determina que proporción del ingreso se
consume en el primer periodo y por tanto que proporción se
ahorra. Llamemos a esa fracción que se ahorra s(r). Por tanto
comportamiento de los hogares sobre el ahorro
Por definición:
38
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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Comportamiento de los hogares: Sobre el ahorro
Tenemos una expresión explícita para la tasa de ahorro:
Interpretación:
El ahorro de los jóvenes es función creciente de r solo si θ<1.
Un aumento de r tiene dos efectos: un efecto sustitución
inmediato que lleva a un mayor C2t+1 y un efecto renta que viene
dado por el impacto del incremento del ahorro en el ingreso, lo
que genera un incentivo para consumir más ahora.
El efecto sustitución domina si θ es muy bajo y el efecto renta
domina si θ es alto. Sobre el comportamiento de las empresas
Comportamiento de las empresas
Del comportamiento de la empresa en este modelo es necesario
recordar que la empresa produce con capital y trabajo que alquila
a las generaciones vieja y joven a precios r y w, equivalentes a la
productividad marginal de estos factores desde este punto de
vista, se puede generar una dinámica del modelo simplemente
incorporando el resultado del ejercicio maximizador de la
empresa, al comportamiento dinámico de la economía.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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CAPITULO II
MATERIALES Y MÉTODOS
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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CAPITULO II
MATERIALES Y MÉTODOS
Para la realización de esta investigación, se tomo el Universo que es el
Perú, los modelos de crecimiento económico examinados Solow,
Ramsay, Diamond son modelos muy importantes y sirve como medidas
de la economía, está conformado por los siguientes elementos: el
consumo público y privado, la inversión pública y privada, el ahorro
público y privado. De la misma manera no tuvimos dificultad para el
acceso de información, de los materiales bibliográficos, ya que se utilizó
lo último de la información en el tema de modelos de crecimiento,
obtenidos del Banco Central de Reserva del Perú (BCR) y diferentes
Bancos Privados así como por Internet.
Por la naturaleza de la investigación, pensamos haber aportado en la
elaboración de un marco teórico, desde la óptica de la economía. La
investigación realizada será descriptiva, esto es los estudios
descriptivos que han detectado y definido ciertas variables. En estos
casos la investigación descriptiva detecta ciertas variables en las cuales
se puede fundamentar el estudio. Asimismo, se pueden adicionar
variables y medir. La investigación correlacional, es una correlación
entre varios conceptos y variables un ejemplo: la tasa del cambio del
capital por trabajador está en función del ahorro y de la población, la
investigación explicativa, revela que existe una o varias teorías que se
explican en nuestro problema de investigación.
Por otra parte, para la obtención y manejo de información hemos tenido
que leer, analizar y seleccionar los temas con respectivos a los
objetivos generales y específicos.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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Por último, se empleó también la información estadística y gráfica
diferentes de reconocido prestigio, paquetes estadísticos así como el
centro de computo, aporte invalorable de nuestro apoyo administrativo
para la elaboración de informes tanto trimestrales como y finales.
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CAPITULO IÍI
RESULTADOS
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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CAPITULO IÍI
RESULTADOS
3.1. MODELO DE SOLOW
(a) ALBERTO FUJIMORI 1990 - 1999
POBLACIÓN
1990 : 21’764,515
1999 : 25’588,546
Cm 1999 = Co 1990 (1 + i)10
AHORRO1990 : 16.47
1999 : 21.08
21.08 = (1+i)10
16.47
DEPRECIACIÓN
1990 : 1.64
1999 : 2.10
2.10 = (c + i )10
1.64
POBLACIÓN AHORRO DEPRECIACIÓN
TASAS DE CRECIMIENTO
1990 – 1999
0.0163
1.63
0.0249
2.49
0.02503
2.50
Fuente de Elaboración: Propia
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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(b) ALEJANDRO TOLEDO – ALAN GARCÍA 2000 - 2009
POBLACIÓN
2000 : 25’983,588
2009 : 29’132,013
29’132,013 = (1+i)10
25’983,588
AHORRO
2000 : 20.20
2009 : 20.61
20.61 = (1+i)10
20.20
DEPRECIACIÓN
2000 : 2.01
2009 : 2.29
2.29 = (1 + i )10
2.01
POBLACIÓN AHORRO DEPRECIACIÓN
TASAS DE CRECIMIENTO
2000 – 2009
0.0150
1.150
0.002011
0.2011
0.01312
1.3127
Fuente de Elaboración: Propia
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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(c) 1990 - 2009
POBLACIÓN
1990 : 21’764,515
2009 : 29’132,013
29’132,013 = (1+i)20
21,764,515
AHORRO
1990 : 16.47
2009 : 20.61
20.61 = (1+i)20
16.47
DEPRECIACIÓN
1999 : 1.64
2009 : 2.29
2.29 = (1 + i )20
1.64
POBLACIÓN AHORRO DEPRECIACIÓN
TASAS DE CRECIMIENTO
1990 – 2009
0.014684
1.4684
0.01127
1.1274
0.01683
1.6832
Fuente de Elaboración: Propia
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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TASAS DE CRECIMIENTO
POBLACIÓN AHORRO DEPRECIACIÓN
1990 – 1999 0.0163 0.0249 0.02503
1.63 2.49 2.50
2000 – 2009 0.01150 0.002011 0.01312
1.150 0.2011 1.3127
1990 – 2009 0.014684 0.01127 0.01683
1.4684 1.1274 1.6832
Fuente Elaboración: Propia
1
1
**
n
sh
h* : Capital por trabajador
s : Tasas de crecimiento del ahorro
n : Tasas de crecimiento de la población
: Tasa de crecimiento de depreciación
α : Parámetro es la suma del capital físico y del capital humano
SOLOW 1990 – 1999
031
1
50.263.149.2
*
h
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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4285.16029.0* h
4853.0* h
SOLOW 2000 – 2009
3.01
1
3127.1150.12011.0
*
h
4627.22011.0
*h
4285.10816.0* h
0278.0* h
SOLOW 1990– 2009
3.01
1
6832.14684.11274.1
*
h
7.0
1
1516.31274.1
*
h
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 50
4285.13577.0* h
3.0
2302.0* h
. h* .
0.2 0.2766
0.3 0.2302 si . . h*
0.5 0.1279
SOLOW RESUMEN
1990 1999 2000 2009 1990 2009
h* h* h*
0.3 0.4848 0.3 0.027 0.3 0.2302Fuente: Elaboración propia
= Tasa de ahorro .
Tasa de crecimiento Tasa de crecimiento
de la población + Depreciación
a medida que el parámetro va incrementando la tasa de capital por trabajador
va disminuyendo
Si la tasa de ahorro aumenta manteniendo viendo constante la población y la
depreciación, entonces el capital por trabajador aumenta.
CapitalDe
Trabajo
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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Si la tasa de la población aumenta manteniendo constante todo lo demás
entonces el capital por trabajador disminuye.
Las variables mas importantes son el capital por trabajador, la tasa de ahorro y
la tasa de la población.
es la suma del capital físico y del capital humano α = + n
3.2. MODELO DE RAMSAY
(a) ALBERTO FUJIMORI 1990 - 1999
CONSUMO
1990 : 81.60
1999 : 81.23
81.23 = (1+i)10
81.60
AVERSIÓN AL RIESGO
1990 : 89
1999 : 208
208 = (1+i)10
89
TASA DE DESCUENTO
1990 : 28
1999 : 23
23 = (1 + i )10
28
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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TASA DE RETRIBUCIÓN DE CAPITAL
1990 : 10
1999 : 6.6
6.6 = (1 + i )10
10
CONSUMO
AVERSIÓN
AL RIESGO
TASA DE
DESCUENTO
TASA DE
RETRIB. DECAPITAL
TASAS DE
CRECIMIENTO
1990 – 1999
-0.045 8.8597 -1.9478 -4.070
Fuente de Elaboración: Propia
(b) ALEJANDRO TOLEDO – ALAN GARCÍA 2000 - 2009
CONSUMO
2000 : 81.75
2009 : 75.84
75.84 = (1+i)10
81.60
AVERSIÓN AL RIESGO
2000 : 310
2009 : 219
219 = (1+i)10
310
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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TASA DE DESCUENTO
2000 : 21.9
2009 : 7.8
7.8 = (1 + i )10
21.9
TASA DE RETRIBUCIÓN DE CAPITAL
2000 : 5.4
2009 : 1.5
1.5 = (1 + i )10
5.4
CONSUMO
AVERSIÓN
AL RIESGO
TASA DE
DESCUENTO
TASA DE
RETRIB. DECAPITAL
TASAS DE
CRECIMIENTO
2000 - 2009
-0.7475 -3.4153 -9.8086 -12.0288
Fuente de Elaboración: Propia
(c) 1990 - 2009
CONSUMO
1990 : 81.60
2009 : 75.84
75.84 = (1+i)20
81.60
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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AVERSIÓN AL RIESGO
1990 : 89
2009 : 219
219 = (1+i)20
89
TASA DE DESCUENTO
1990 : 28
2009 : 7.8
7.8 = (1 + i )20
28
TASA DE RETRIBUCIÓN DE CAPITAL
1990 : 10
2009 : 1.5
1.5 = (1 + i )20
10
CONSUMOAVERSIÓNAL RIESGO
TASA DEDESCUENTO
TASA DERETRIB. DE
CAPITAL
TASAS DE
CRECIMIENTO
1990 – 2009
-0.3653 4.6050 -6.1904 -9.0496
Fuente de Elaboración: Propia
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TASAS DE CRECIMIENTO
CONSUMO AVERSIÓN ALRIESGO
TASA DEDESCUENTO
TASA DERETRIBUCIÓN
DE CAPITAL
1990 – 1999 -0.045 8.8597 -1.9478 -4.0701
2000 – 2009 -0.7475 -3.4153 -9.8086 -12.0228
1990 – 2009 -03553 4.6050 -6.1904 -9.0496
Fuente Elaboración: Propia
C
C
C
C
: Tasa de crecimiento de consumo
: Tasas de crecimiento de retribución de capital
: Tasas de descuento (preferencia de los consumidores)
: Aversión al riesgo constante
1990 - 1999
8597.8
978.10701.4
8597.8
9478.1(0701.4
C
C
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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2395.08597.8
1223.2
2395.0
C
C
2000 - 2009
4153.3
8086.90228.12
4153.3
)8086.9(0228.12
C
C6483.0
4153.3
2142.2
C
C
6483.0
C
C
1990 - 2009
6050.4
8592.2
6050.4
1904.60496.9
6050.4
)1904.6(0496.9
C
C
6208.0
C
C
RESUMEN RAMSAY
1990 - 1999 -0.2395
2000 - 2009 0.6483
19900 - 2009 -0.6208
Fuente: Elaboración propia
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TASA DE CRECIMIENTO TASA DE CRECIMIENTO TASA DE
DEL CONSUMO = DE RETRIBUCIÓN DEL - DESCUENTO
CAPITAL
AVERSIÓN EL RIESGO CONSTANTE
Para que la tasa de crecimiento del consumo aumente, la aversión al riesgo
constante tiene que disminuir, manteniendo constante con tasa de crecimiento
de retribución del capital y la tasa de descuento.
Existe otra forma, para aumentar la tasa de crecimiento de consumo, el
numerador tiene que crecer más rápido que el denominador.
Para disminuir la tasa de crecimiento del consumo, la aversión el riesgo
constante tiene que subir más que el numerador (tasa de crecimiento de
retribución del capital y tasa de descuento) y así se disminuye el consumo.
3.3. MODELO DE DIAMOND
(a) ALBERTO FUJIMORI 1990 - 1999
TASA DE INTERÉS REAL
1990 : 32
1999 : 27
27 = (1+i)10
32
AVERSIÓN AL RIESGO
1990 : 89
1999 : 208
208 = (1+i)10
89
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 58
TASA DE DESCUENTO
1990 : 28
1999 : 23
23 = (1 + i )10
28
TASA DEINTERÉS REAL
AVERSIÓN ALRIESGO
TASA DEDESCUENTO
TASAS DE CRECIMIENTO
1990 – 1999
-1.6846 8.8597 -1.9478
Fuente de Elaboración: Propia
(b) ALEJANDRO TOLEDO – ALAN GARCÍA 2000 - 2009
TASA DE INTERES REAL
2000 : 22
2009 : 15.1
15.1 = (1+i)10
22
AVERSIÓN AL RIESGO
2000 : 310
2009 : 219
219 = (1+i)10
310
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 59
TASA DE DESCUENTO
2000 : 21.9
2009 : 7.8
7.8 = (1 + i )10
21.9
TASA DE
INTERÉS REAL
AVERSIÓN AL
RIESGO
TASA DE
DESCUENTO
TASAS DE CRECIMIENTO
2000 – 2009
-3.6935 -3.4153 -9.8086
Fuente de Elaboración: Propia
(c) 1990 - 2009
TASA DE INTERES REAL DE CAPITAL
1990 : 32
2009 : 15.1
15.1 = (1+i)20
32
AVERSIÓN AL RIESGO
1990 : 89
2009 : 219
219 = (1+i)20
89
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 60
TASA DE DESCUENTO
1990 : 28
2009 : 7.8
7.8 = (1 + i )20
28
TASA DEINTERÉS REAL
AVERSIÓN ALRIESGO
TASA DEDESCUENTO
TASAS DE CRECIMIENTO
1990 – 2009
-3.6855 4.6050 -6.1904
Fuente de Elaboración: Propia
TASAS DE CRECIMIENTO
Fuente: Elaboración Propia
1
1
1
)1()1(
)1()(S
TASA DE
INTERES REAL
AVERSIÓN AL
RIESGO
TASA DE
DESCUENTO
1990 – 1999 -1.6846 8,8597 -1.9478
2000 – 2009 -3.6935 -3.4153 -9.8086
1990 – 2009 -3.6855 4.6050 -6.1904
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 61
)(S : Proporción del ahorro
: Tasa de interés real del capital
: Tasas de descuento (preferencia de los consumidores)
: Aversión al riesgo constante
DIAMOND
1990 - 1999
8597.8
8597.81
8597.8
1
8597.8
8597.81
6846.1(1)948.1(1
)6846.1(1)(
S
8891.01128.0
8891.0
6846.0)9478.1
)6846.0)(
S
3945.2
4006.1
4006.19939.0
4006.1)(
S
%41.581005841.0)( xS
2000 - 2009
4153.3
)4153.3(1
4153.3
1
4153.3
)4153.3(1
6935.3(1)8086.9(1
)6935.3(1)(
S
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 62
4153.3
4153.42928.0
4153.3
4153.4
6935.28086.8
)6935.2)(
S
2928.1
2928.1
6935.25288.0
6935.2)(
S
2511.0
2777.0
)2777.0(5288.0
2777.0)(
S
%59.1101059.1)( S
1990 - 2009
6050.4
6050.41
6050.4
1
6050.4
)6050.4(1
6855.3(1)1904.6(1
)6855.3(1)(
S
8915.1
4615.0
4615.04300.1
4615.0)(
S
%39.242439.0)( S
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 63
RESUMEN DIAMOND
S()
1990 – 1999 58.41% 0.5841
2000 – 2009 -110.59% -1.1059
1990 – 2009 24.39% 0.2439
Fuente: Elaboración Propia
PROPORCIÓN TASA DE INTERÉS AVERSIÓN AL
DEL AHORRO = REAL DE CAPITAL Y RIESGO
CONSTANTE
TASA DE DESCUENTO Y TASA DE
INTERES DEL
CAPITAL
Para que la proporción del ahorro aumente, la tasa de interés real del
capital y la aversión al riesgo constante, tiene que crecer más
rápidamente que el numerador; tiene de descuento y tasas de interés del
capital.
Para que la proporción del ahorro disminuya el denominador o sea la
tasa de descuento y la tasa de interés del capital, tiene que ser mayor
que la del numerador donde se encuentra; la tasa de interés real del
capital y la aversión al riesgo constante.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 64
CAPÍTULO IV
DISCUSIÓN
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 65
CAPÍTULO IV
DISCUSIÓN
La Teoría del crecimiento Económico es la rama de la economía de mayor
importancia y la que debería ser objeto de mayor atención entre los
investigadores económicos. No es difícil darse cuenta de que pequeñas
diferencias en las tasas de crecimiento, sostenidos durante largos períodos de
tiempo, generan errores diferencias en niveles de renta per cápita. Por ejemplo
el Producto Bruto Interno (PBI) Per cápita del Perú, paso de 2873 dólares en
1950 a 6950 dólares en 2009. Ambas cifras en dólares reales de 1994. En
casi 59 años el PBI Percápita se duplicó, este cambio sustancial mejoro la
economía Peruana, ya que represento una Tasa de Crecimiento anual de 1.50
mejorando el Bienestar de la población.
Analizando la década de 1990 y 1999 en términos de Producto Bruto Interno y
Producto Bruto Interno Per cápita se puede observar que la Tasa de
crecimiento del PBI fue de 3.66% versus la per cápita que fue de 2.0%, En la
década de 2000 – 2009 el PBI creció a una Tasa de 5.38% y el Percápita fue
de 3.37%. Finalmente en la evaluación de 1990 – 2009 o sea 19 años la Tasa
de Crecimiento fue de 4.67% y la Per cápita fue de 3.25%. De todo esto se
puede inferir que la evaluación en Periodos largos del producto Bruto interno y
del Percápita en 20 años son más consistentes en el Tiempo.
Este País ha sufrido fluctuaciones cíclicas, períodos de auge y de recesión. La
mayor parte de la Teoría Macroeconómica trata de investigar las causas de
dichos movimientos cíclicos y la manera de evitar los períodos de recesión y
estancamiento. En 1992 hubo una recisión que se debió a que venía del
gobierno anterior con una proceso inflacionario (Hiperinflación) y una brutal
caída de la producción y en 2009 se dio la Crisis Mundial en EEUU de bienes
raíces; lo cual provocó en el país una leve recesión.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 66
¿Por qué crecen las economías? La respuesta es:
1ro La economía crece porque los trabajadores tienen cada vez mas
instrumentos, más máquinas y en definitiva más capital, con los que
trabajar. La clave de crecimiento será la inversión por parte de las
empresas.
2do La clave es la Educación de la Población: Hoy somos capaces de
producir mucho más que hace cien años, por que los trabajadores de hoy
en día están mucha más calificados.
3ro Es el progreso tecnológico, según esta visión, hoy somos mucho más
productivos; porque las máquinas que utilizamos son mucho mejores y
porque nuestro nivel de conocimiento es muy superior al que teníamos
hace un siglo.
En esta investigación se ha tomado el modelo con tasas de ahorro e inversión
constante, nos estamos refiriendo al modelo de Solow. En la Tasa de ahorro
constante la razón por la que las familias simplemente consumen una fracción
constante de su renta o producto. Con respecto a depreciación, la razón que
lleva las empresas ha invertir, no es que las empresas les guste utilizar los
bienes que compran, si no que la inversión sirve bien para aumentar futura
producción (esto se llama inversión neta), bien para reemplazar las máquinas,
que se determinan en el proceso productivo. Con respecto a la población, lo
que nos interesa es la tasa de crecimiento del PIB, del consumo o del capital
por persona, se considera que un país es rico si sus habitantes, en promedio
producen mucho. En los resultados del Modelo de SOLOW en la década 1990
– 1999 fue la que tuvo mayor per cápita del capital por trabajador y esta tasa
fue 0.4848 muy superior a la década 2000-2009 que fue de 0.027 per cápita de
capital por trabajador. En los 20 años de análisis 1990 – 2009 se puede inferir
que el per cápita de capital por trabajador fue de 0.2302 un per cápita de
capital por trabajador aceptable.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 67
El siguiente modelo que se probo fue el de RAMSAY, que es un modelo
analógico de OPTIMIZACIÓN. En este modelo interactúan las familias y las
empresas. Las familias son las propietarias de activos financieros que dan un
rendimiento neto (que puede ser positivo o negativo en caso de que tengan
deudas) y también son propietarios del factor trabajo, reciben sus ingresos una
parte la consumen y otra la ahorran. Las empresas alquilan trabajo a cambio
de un salario, alquilan capital a cambio de una tasa de alquiler y venden su
producto a cambio de un precio. La tasa de descuento expresa el beneficio o
rendimiento que proporciona el consumo e indica el aumento de la utilidad
obteniendo por consumir en el presente y no en el futuro, lo que no olvidemos
que el individuo otorga más utilidad a su propio consumo que la de sus
descendientes. Con respecto a la aversión al riesgo, el consumidor es
partidario de intercambiar parte de su consumo futuro por consumo presente.
Esto representa una preferencia adicional por el consumo de hoy que sumada
el termino tasa de descuento, representa el beneficio de consumir ahora. El
beneficio o rendimiento neto obtenido del ahorro, que el tipo de interés que dan
los activos financieros. Los individuos optimizadores, en el margen, se
muestran indiferentes ante la disyuntiva entre el consumo y el ahorro. En 1990
– 1999 se puede observar que el consumo disminuyo en -0.2395, pero en la
siguiente década 2000 – 2009 el consumo aumento vertiginosamente en
0.6483 lo cual queda demostrado que el consumismo en década 2000 – 2009
fue el punto de APOYO para que el país no entre en la recesión mundial que se
vivió. Finalmente en el periodo de 20 años el consumo disminuyo a -0.6208.
El modelo de DIAMOND, en la cual es un modelo neoclásico de optimización,
nos describe la proporción del ahorro que está en función de la Tasa de interés
del capital y la inversión al riesgo constante y a una tasa de descuento
(preferencia del consumidor. Lo que se trata aquí es, ver como la tasa de
ahorro aumenta o disminuye según las variables mencionadas. En la década
de 1990 – 1999 la tasa de ahorro fue positiva con un 0.5841, lo cual nos indica
que la gente al AHORRAR más consume menos en el presente, en la década
siguiente 2000 – 2009 la tasa de ahorro fue negativa, lo cual indica que; la
sociedad peruana, de dedicó al consumismo y finalmente en los 20 años
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 68
analizados 1990 – 2009, la tasa de ahorro fue de 0.2439, o sea disminuyo con
respecto a la década de 1990 – 19999 en aproximadamente un 50%.
Describiendo los resultados de los 3 modelos Solow, Ramsay y Diamond, se
puede observar que en la década de 1990 – 1999, el per cápita de capital por
trabajador aumento en 0.4848 y el consumo de las mismas década del modelo
de RAMSAY disminuyo en 0.2895, y ha proporción de ahorro aumento en
0.5841. En la década siguiente ó sea 2000 – 2009, el per cápita de capital fue
trabajador disminuyo a 0.027, el consumo aumento en 0.6483 y la proporción
del ahorro disminuyo en -1.1059. Finalmente en los 20 años estudiados 1990 -
20009; el per cápita de capital por trabajador aumento a 0.2302, el consumo
disminuyo a -0.6208 y la proporción al ahorro aumento en 0.2439.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 69
CAPITULO V
REFERENCIALES
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 70
CAPITULO V
REFERENCIALES
1. Andrew B. Abel y Ben S. Bernanke
Macroeconomía
4ta. Edición
Addison Wesley
Madrid
2003
2. Oliver Blanchard
Macroeconomía
2da. Edición
Prentice Hall
Madrid
2002
3. David Romer
Macroeconomía Avanzada
3era. Edición
Mc Graw Hill
Madrid
2002
4. Banco Central de Reserva del Perú
Sube Gerencia del Sector Monetario
PERÚ: Compendio de Estadística Monetaria 1959 – 1995
Lima . Banco Central de Reserva del Perú
5. Peter Birch Sorensen
Introducción a la Macroeconomía Avanzada
Volumen I: Crecimiento Económico
Primera Edición
Mc Graw Hill
Madrid
2008
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 71
6. Sala – i – Martín
Apuntes de Crecimiento Económico
Segunda Edición
Antoni Bosch
España
2000
7. Félix Jiménez
Macroeconomía: Enfoques y Modelos
Segunda Edición
P.U.C.P.
Lima – Perú
2007
8. Gregori Mankiw
Macro Economía
Sexta Edición
Antoni Bosch
Barcelona
2006
9. Willian Bransan
Teoría y Política Macro Económica
Primera Reimpresión
Fondo de Cultura
México
1979
10.Banco Central de Reserva del Perú
Memoria 2008
Memoria 2009
Lima – Perú
2010
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 72
CAPITULO VI
ANEXOS
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 73
CAPITULO VI
ANEXO Nº 1SOLOW
AÑO AHORRO POBLACIÓN DEPRECIACIÓN
1990 16.47 21’764 515 1.64 0.3 0.5
1991 17.29 22’203 931 1.72 0.3 0.5
1992 17.31 22’640 305 1.73 0.3 0.5
1993 19.31 23’073 150 1.93 0.3 0.5
1994 22.18 23’501 974 2.22 0.3 0.5
1995 24.80 23’926 300 2.48 0.3 0.5
1996 22.81 24’348 132 2.28 0.3 0.5
1997 24.09 24’767 794 2.40 0.3 0.5
1998 23.56 25’182 269 2.36 0.3 0.5
1999 21.08 25’588 546 2.10 0.3 0.5
2000 20.20 25’983 588 2.01 0.3 0.5
2001 18.83 26’366 533 1.87 0.3 0.5
2002 18.35 26’739 379 1.84 0.3 0.5
2003 18.45 27’103 457 1.84 0.3 0.5
2004 17.97 27’460 073 1.79 0.3 0.5
2005 17.85 27’810 540 1.78 0.3 0.5
2006 20.01 28’151 443 2.00 0.3 0.5
2007 22.96 28’481 901 2.29 0.3 0.5
2008 26.70 28’807 034 2.67 0.3 0.5
2009 20.61 29’132 013 2.29 0.3 0.5
(1) Ahorro del sector público y privado: Ahorro total porcentaje del PBI
(1990 – 2009) fuente BCR 1990
Elaboración Gerencia Central de Estudios Economía – 2009
(2) Población del Perú (1990 – 2009)
Fuente INEI 1990 – 2009
(3) Depreciación: se obtiene de inversión total dividido entre 10 años se
llama depreciación de línea recta
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 74
ANEXO Nº 2
RAMSAY
AÑO CONSUMO AVERSIÓNAL RIESGO
TASA DECRECIMIENTO
TASA DERETRIBUCAIÓN DEL
CAPITAL1990 81.60 891991 84.97 132 28 101992 85.64 99 30 91993 84.56 70 27 111994 81.14 281 25 81995 80.87 169 22 51996 82.13 198 30 11.81997 80.32 462 32.6 11.01998 81.77 174 35 11.81999 81.23 208 23.0 6.62000 81.75 310 21.9 5.42001 83.00 312 17.3 5.22002 82.26 298 13.1 2.2003 81.20 292 11.2 0.12004 78.41 204 10.8 -1.02005 76.19 221 12.3 1.12006 71.28 91 12.5 2.02007 70.55 116 9.0 -0.62008 72.64 335 8.1 -2.62009 75.84 219 7.8 1.5
(1) Consumo privado y consumo público (Estructura porcentual
nominal) demanda y oferta global 1990 – 2009 INEI y BCRP
Elaboración Gerencia Central de Estudios Economía – 2009
(2) Rendimiento de Bono de Tesoro de EEUU y SPREADS DE
MERCADOS EMERGENTES (datos de fin de periodo) 1990 - 2009
Fuente: BLOOMBERG y RUTERS
(3) Tasa de Retribución de capital activas real, se descuenta la tasa de
inflación últimas 12 meses.
Fuente: Superintendencia de Banca y seguros AFP BCRP 1990 –
2009
Elaboración Gerencia Central de Estudios de Economía
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 75
ANEXO Nº3DIAMOND
AÑO TASA DE INTERESREAL DE CAPITAL
AVERSIÓNAL RIESGO
TASA DECRECIMIENTO
1990 32.0 89
1991 31.0 132 28
1992 30.0 99 30
1993 28.0 70 27
1994 29.0 281 25
1995 28.0 169 22
1996 30.0 198 30
1997 35.0 462 32.6
1998 32.6 174 35
1999 27.3 208 23.0
2000 22.0 310 21.9
2001 23.1 312 17.3
2002 18.9 298 13.1
2003 19.3 292 11.2
2004 21.1 204 10.8
2005 21.8 221 12.3
2006 21.7 91 12.5
2007 17.7 116 9.0
2008 15.3 335 8.1
2009 15.1 219 7.8
(1) Tasa de Interés Real de Capital Promedio activa en moneda
nacional y real 1990 – 2009. Se descuenta la tasa de inflación de
los últimos 12 meses a la tasa de interés nacional.
Fuente: Superintendencia de Banca y Seguros, AFP y BCRP
Elaboración Gerencia Central de Estudios de Economía
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 76
ANEXO Nº 4
AÑOPRODUCTO BRUTO
INTERNO(1)
PBIPERCAPITA
(2)
1990 82,032 3,769
1991 83,760 3,772
1992 83,401 3,683
1993 87,375 3,786
1994 98,577 4,194
1995 107,064 4,474
1996 109,760 4,507
1997 117,294 4,735
1998 116,522 4,627
1999 117,587 4,595
2000 121,057 4,656
2001 121.317 4,659
2002 127.407 4,601
2003 132,545 4,764
2004 139,141 4,890
2005 148,640 5,067
2006 160,145 5,344
2007 174,329 5,688
2008 191,479 6,120
2009 198.280 6,474
(1) En millones de dólares
(2) Miles de dólares
Fuente: Memoria 2009 BCRP.
Elaboración Gerencia Central de Estudios de Economía
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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ANEXO Nº 5
AÑOEXPORTACIONES DE
BIENES(1)
IMPORTACIONES DEBIENES
(2)
1990 3,279 2,922
1991 3,393 3,596
1992 3,578 4,001
1993 3,384 4,160
1994 4,424 5,499
1995 5,491 7,733
1996 5,877 7,864
1997 6,824 8,536
1998 5,756 8,218
1999 6,087 6,710
2000 6,954 7,357
2001 7,025 7,204
2002 7,714 7,392
2003 9,090 8,205
2004 12,809 9,806
2005 17,368 12,081
2006 23,830 14,844
2007 27,882 19,595
2008 31,529 28,438
2009 33,290 28,520
(1) En millones de dólares
(2) En millones de dólares
Fuente: Memoria 2009 BCRP.
Elaboración Gerencia Central de Estudios de Economía
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 78
INDICE
RESUMEN
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO I
MARCO TEÓRICO O CONCEPTOS BÁSICOS1.1 Modelo de Solow – Swan 1
1.1.1 Definición 1
1.1.2 Supuestos relacionados con las funciones de producción 5
1.1.3 La evolución en el tiempo de los factores de producción 8
1.2 Modelo de Ramsay – Cass – Koopma 19
1.2.1 Definición 19
1.2.2 Supuestos 20
1.2.3 Utilidad del hogar 22
1.3 Modelo de Diamond 32
1.3.1 Definición 32
1.3.2 Supuestos principales del modelo 34
1.3.3 Dinámica del modelo 37
CAPÍTULO II
MATERIALES Y MÉTODOS 40
CAPÍTULO IIIRESULTADOS 42
3.1 Modelo de Solow 43
3.2 Modelo de Ramsay 49
3.3 Modelo de Diamond 55
CAPÍTULO IVDISCUSIÓN 62
CAPÍTULO VREFERENCIALES 67
CAPÍTULO VIANEXOS 70
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 79
RESUMEN
En el presente trabajo se revisó los modelos de crecimiento como son: el modelo de
Solow, el modelo Ramsay y el modelo de Diamond. Estos modelos son de
optimización y interpertemporales y además se toma la tasa de ahorro e inversión
constante (Solow), en el siguiente modelo interactúan las familias y las empresas
(Ramsay) y finalmente se describe la proporción del ahorro y al preferencia del
consumidor (Diamond).
En el periodo analizado, se observa que el producto bruto interno de 1990 fue de
82,032 millones de dólares y el de 2009 fue de 198,280 o sea un aumento más del
doble, lo mismo para el percapita del año 90 fue de 3,769 dólares y en el 2009 fue
de 6,474 o sea un aumento de casi el doble, mejorando el nivel de vida de la
población peruana.
Los gobiernos que se estudiaron fueron: Alberto Fujimori, Alejandro Toledo y Alan
García y el periodo analizado fue de 1990 al 2009. Obteniendo un resultado el
modelo de Solow de la tasa de población y la tasa de ahorro de 1.46% y 1.12%
respectivamente. En el mismo periodo de 1990 a 2009 el modelo Ramsay tubo el
siguiente resultado el consumo disminuyo en 0.36% y la tasa de descuento también
disminuyo en 6.19%, finalmente en el modelo de Diamond la tasa de interés real del
capital disminuyó en 3.68% y al tasa de aversión al riesgo aumento en 4.60%.
De todo esto se puede inferir que los modelos de crecimiento sirven para analizar el
largo plazo.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 80
INTRODUCCIÓN
Este trabajo de investigación es fundamentalmente basado en los modelos de
crecimiento económico, por lo cual tiene una vital importancia para la economía,
para medir en largo plazo el funcionamiento de la economía.
El interrogante de cómo determinar el uso de estos modelos que sirven como
respuesta al crecimiento económico en el largo plazo porque aquí se estudia el
consumo, la inversión que son variables fundamentales y motor de crecimiento del
desarrollo económico de un país.
La justificación de esta investigación está basada en que se toma las variables de
población, la tasa de ahorro, la tasa de depreciación, la tasa de descuento, la tasa
de retribución del capital y la tasa de interés real, esto influye en el nivel de actividad
real y la importancia en que en el largo plazo se puede tomar decisiones para brindar
a la sociedad un mejor bienestar.
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 81
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL
TITULO:“ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DEL MODELO DE
CRECIMIENTO SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND ENEL PERÚ PERIODO 1990 – 2009”,
INVESTIGADOR:Ms. Sc. CESAR AURELIO MIRANDA TORRES
PROFESOR PRINCIPAL
RESOLUCIÓN RECTORAL:R.R.Nº 301-2010-R CALLAO,26 DE MARZO DEL 2010
BELLAVISTA – CALLAO2011
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
Lic. CESAR MIRANDA TORRES Página 81
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL
TITULO:“ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DEL MODELO DE
CRECIMIENTO SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND ENEL PERÚ PERIODO 1990 – 2009”,
INVESTIGADOR:Ms. Sc. CESAR AURELIO MIRANDA TORRES
PROFESOR PRINCIPAL
RESOLUCIÓN RECTORAL:R.R.Nº 301-2010-R CALLAO,26 DE MARZO DEL 2010
BELLAVISTA – CALLAO2011
SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL
TITULO:“ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DEL MODELO DE
CRECIMIENTO SOLOW, RAMSAY Y DIAMOND ENEL PERÚ PERIODO 1990 – 2009”,
INVESTIGADOR:Ms. Sc. CESAR AURELIO MIRANDA TORRES
PROFESOR PRINCIPAL
RESOLUCIÓN RECTORAL:R.R.Nº 301-2010-R CALLAO,26 DE MARZO DEL 2010
BELLAVISTA – CALLAO2011