CAPÍTULO 1

Geometría del Plano.

El plano y el espacio constituyen los lugares geométricos sobre los cuales va-mos a trabajar en casi todo este libro y donde se aplican los teoremas integrales en los cuales culmina esta materia. La descripción del plano en coordenadas po-lares constituye una herramienta funda-mental para resolver muchos problemas.

CONTENIDOS

1. Conjuntos de puntos en R2.

2. Inecuaciones.

3. Representación geométrica.

SECCIÓN I

Coordenadas Cartesianas. Esta sección es extremadamente sencilla y no debería representar mayor dificultad para el lector. Trabajaremos sólo aquellos problemas en los cuales el lector pueda tener alguna dificultad. Si el lector considera obvio su contenido puede pasar directamente a la siguiente sección.

4

Problemas.

1. Describir mediante un gráfico las regiones planas descriptas por :

(a) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 − 2x +y2

4− y ≤ 16}

(b) B = {(x, y) ∈ R2 : 5 sinh(x) < y < 3 cosh(x)}

(c) C = {(x, y) ∈ R2 : sen(x) <12 }.

Solución.

(a) Un simple completamiento de cuadrados permite identificar claramente de qué se trata. En efecto

x2 − 2x +y2

4− y = (x − 1)2 + (

y2

− 1)2 − 2

Luego el conjunto A se describe por la inecuación

(x − 1)2 + (y2

− 1)2 ≤ 18

5

En el plano, una ecuación de la forma

x2

a2+

y2

b2= 1 a > 0, b > 0

representa geométricamente una elipse de semiejes a y b.

Galería 1.1. Interior y borde de una elipse.

Para poder realizar el gráfico aproximado conviene es-cribirla en la forma

(x − 1)2

18+

(y − 2)2

72≤ 1

lo cual se representa geométricamente por el interior y el borde de una elipse con centro en el punto P = (1,2) y semiejes 18 y 72.

(b) Este ejercicio es muy sencillo una vez que uno recuerda la definición de las funciones hiperbólicas. Recordamos que

sinh(x) =ex − e−x

2 cosh(x) =

ex + e−x

2

De esta definición observamos que la ordenada de la función sinh(x) está siempre debajo de la ordenada de la función cosh(x) para cada abscisa. Pero a nosotros nos interesa averiguar para qué abscisas

5 sinh(x) < 3 cosh(x).

6

La desigualdad analítica

5 sinh(x) < 3 cosh(x)

se traduce geométricamente en el área entre dos funciones. Como la desigualdad es estricta las gráficas de las funcio-nes propiamente dichas no pertenecen al conjunto en cues-tión.

Galería 1.2. Gráfica de funciones hiperbólicas

Esto es, luego de simplificar los “2” de los denominadores,

5ex − 5e−x < 3ex + 3e−x

e2x < 4

x < ln(2).

(c) Este ítem es un poco más interesante que los dos anteriores. Es preciso hallar los (x, y) ∈ R2 tales que

sen(x) <12

.

Supongamos primero que x ∈ [0,2π]. Entonces, salvo que

π6

≤ x ≤56

π

se verificará nuestra desigualdad. Es decir nuestra desi-gualdad se verifica en

[0,π6 ) ∪ (5

6π,2π]

y entonces puede parecer erróneamente que nuestra so-lución es una unión de intervalos. Nuestra solución es el conjunto de los (x, y) que la satisfacen y no los x que la satisfacen. Por lo cual nuestra solución será un sub-conjunto del plano, no de la recta. Dicho conjunto se describe analíticamente así :

C = {(x, y) : x ∈ . . . (−76

π,π6 ) ∪ (5

6π,

136

π) ∪ (176

π,256

π) ∪ . . . }

Su gráfico es el de la siguiente página.

7

2. Describir mediante un gráfico la región del espacio

R = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 ∧ y + z ≤ 4 ∧ z ≥ 0}

Solución.

El conjunto de puntos (x, y, z) que satisface la ine-cuación

x2 + y2 ≤ 1

es el interior y el borde de un cilindro vertical cuya “ba-se” es un círculo de radio 1. Por ejemplo, el punto del espacio (1,0,0) está en este cilindro, pero también lo es-tá el punto (1,0,4) y en general cualquier punto de la for-ma

(1,0,z) ∀z ∈ R.

El conjunto de puntos que satisface la inecuación

En el plano, una desigualdad de la forma

a < x < b

se representa geométricamente por una franja vertical y NO por un intervalo.

Galería 1.3. Gráfica del conjunto del ítem (c)

8

y + z ≤ 4

es un semiespacio cuyo borde es el plano de ecuación

y + z = 4.

Podría parecer a primera vista que esta ecuación define una recta. Pero no es así. El punto (0,3,1) está en el plano y + z = 4, como así también lo está el punto (4,3,1) y en general cualquier punto de la forma

(x,3,1) ∀x ∈ R.

Finalmente la inecuación

z ≥ 0

9

Nuestro sólido se describe por la parte del cilindro macizo vertical

x2 + y2 ≤ 1

que satisface la inecuación

y + z ≤ 4

y que se encuentra “arriba” del plano

z = 0.

Vista 1.

Galería 1.4. El sólido R de nuestro ejercicio.

define evidentemente el semiespacio “superior”.

Con todo esto vemos que los puntos que satisfacen a las tres inecuaciones se pueden graficar como mostra-mos en la galería 1.4, la primera de importancia de este libro.

Se puede ver una solución on-line clickeando aquí.

10

CONTENIDOS

1. Curvas en coordenadas polares.

2. Descripción de conjuntos en coordenadas polares.

SECCIÓN 2

Coordenadas Polares Esta sección es la primera del libro que no debe subestimarse. El motivo de la dificultad es que debemos pensar el plano de una forma diferente a la que estamos acostumbrados. Debemos identificar un punto del plano no por sus proyecciones sobre los ejes, sino por su distancia al origen, lo cual nos sitúa en una circunferencia, y luego por el ángulo que se forma entre el semi-eje positivo de las x y el vector que sale desde el origen hacia el punto. Los ejercicios selecciona-dos tienen por objetivo familiarizarnos con estas ideas.

11

Problemas.

1. Trazar aproximadamente las curvas en coordenadas polares dadas por :

(a) r = 2 0 < θ < π

(b) θ =π6

(c) r = 2 cos(θ), 0 ≤ θ ≤π2

.

Solución.

(a)Recordamos que las coordenadas cartesianas se obtienen de las polares por las fórmulas

x = r cos(θ)

y = r sen(θ)

de lo cual se obtiene elevando al cuadrado ambos miembros de cada ecuación y sumando miembro a miembro que

x2 + y2 = r2.

En nuestro caso r = 2, así que se obtiene la ecuación de una circunferencia de radio 2.

x2 + y2 = 4.

La solución anterior no es la mejor para desarrollar el pensamiento en coordenadas polares. Incidentalmente hay una pérdida de la variación de θ que no se está teniendo en cuenta. Lo que hicimos fue pasar la ecuación que nos dieron en coordenadas polares a las coordenadas cartesianas. Veamos como llegar al mismo resultado pensando en coordenadas polares.

Una ecuación de la forma

r = f (θ)

12

define al radio en función del ángulo de la misma mane-ra que una ecuación de la forma

y = f (x)

define la ordenada para cada abscisa. Entonces r = 2 nos dice que el radio es 2 para cada 0 < θ < π. El gráfico resulta el siguiente, donde el lector debe dirigir su aten-ción a que el plano está siendo pensado en coordena-das polares y no cartesianas.

A lo largo del curso utilizaremos el color amarillo en los gráficos cuando el plano tenga las coordenadas polares y conservaremos el clásico blanco para las coordenadas cartesianas.

13

La ecuación

r = 2

en coordenadas polares nos describe una circunferencia. Para que resulte una semicircunferencia debemos agregar la condición

0 < θ < π.

Galería 1.4. Semicircunferencia en coordenadas polares

(b) De las ecuaciones

x = r cos(θ)

y = r sen(θ)

deducimos que, excepto que algún denominador se anule

tg(θ) =yx

.

Luego introduciendo el valor de θ que nos han da-do obtenemos

tg(π6

) =1

3=

yx

o lo que es lo mismo

y =x

3.

Pero si procedemos así estamos nuevamente pensando el plano el coordenadas cartesianas y podríamos nuevamente agregar puntos que en la curva polar (en coordenadas polares) no estaban. Volviendo a meditar en coordenadas polares

θ =π6

representa el ángulo igual a una constante. Es decir, re-presenta una semirrecta. Dicha semirrecta la vemos en el siguiente gráfico.

14

(c) Este ítem es el más interesante del ejercicio, porque verdaderamente el radio depende del ángulo como indica la fórmula r = 2 cos(θ). Si pasamos de esta ecuación a la correspondiente en cartesianas teniendo en cuenta que x = r cos(θ) encontramos

x2 + y2 = 2x

x2 + y2

o lo que es lo mismo

x2 + y2 = 2x

que luego de un completamiento de cuadrados

(x − 1)2 + y2 = 1.

15

Una ecuación de la forma

θ = c

define una semirrecta que forma un ángulo constante con el semieje positivo de las x

Galería 1.5. Semirrecta en coordenadas polares

Esto representa una circunferencia de radio 1 con centro en el punto P = (1,0).

Pero ya discutimos los inconvenientes del paso a la ligera de las coordenadas cartesianas a las polares sin tener en cuenta el dominio de variación de las variables en cuestión. Si calculamos para distintos valores de θ el valor de r obtendremos, por ejemplo,

θ = 0 ⟹ r = 2

θ =π6

⟹ r = 3

θ =π4

⟹ r = 2.

E l g r á f i c o q u e r e s u l t a e s e n t o n c e s l a semicircunferencia siguiente donde volvemos a graficar en amarillo puesto que el plano está siendo pensado en coordenadas polares.

Se puede ver una solución on-line clickeando aquí.

16

Una ecuación de la forma

r = 2cos(θ)

define una circunferencia con centro en el punto (1,0). De-bido a que

0 ≤ θ ≤π2

la circunferencia se reduce a la semicircunferencia dibu-jada

Galería 1.6. Circunferencia con centro desplazado del origen en coordenadas polares.

2. Describir mediante inecuaciones en coordenadas cartesianas las regiones planas descriptas, en coordenadas polares, por

(a) 1 < r ≤ 2,π6

≤ θ <π3

(b) r ≤ 4 sen(θ), θ ∈ [0,π].

Solución.

(a) En los casos en que haya que pasar de las coordenadas polares a las cartesianas realizar el gráfico previamente puede resultar muy útil porque ya se tendrá una idea de como describirlo en coordenadas cartesianas.

Si r varía entre 1 y 2 es evidente que se trata de un anillo y si simultáneamente el ángulo varía entre

π6

y π3

el anillo se reduce a un sector circular.

La descripción en coordenadas cartesianas es muy sencilla ahora pues al ser

r = x2 + y2

obtenemos

17

Un sistema de inecuaciones de la forma

r1 < r ≤ r2 α ≤ θ < β

define un sector circular como el de la figura.

Galería 1.7. Sector circular.

1 < x2 + y2 ≤ 4

y al ser

tg(θ) =yx

obtenemos

tg(π6

) ≤ tg(θ) < tg(π3

)

o sea

1

3≤

yx

< 3

donde hemos usado que la función tangente es creciente en el intervalo considerado por lo cual se

conservan las desigualdades. La respuesta es entonces el sistema de inecuaciones

1 < x2 + y2 ≤ 4

x

3≤ y < 3x

(b) Ya conocemos esta idea del ejercicio 1 (c). De la ine-cuación

r ≤ 4 sen(θ)

obtenemos

x2 + y2 ≤ 4y

x2 + y2

es decir18

x2 + (y − 2)2 ≤ 4.

El gráfico lo tenemos en la siguiente galería.

(3) Describir mediante inecuaciones en coordenadas polares la región plana descripta por

R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2y ≤ 0, y > ∣ x ∣ }.

Solución.

El gráfico resulta sencillamente el de la galería en la página siguiente.

La primera inecuación re-escrita

x2 + y2 ≤ 2y

se describe en coordenadas polares

r2 ≤ 2 r sen(θ)

o simplificando

19

Una inecuación de la forma

r ≤ 4 sen(θ)

describe un círculo con centro en el punto (0,2).

Galería 1.8. Círculo corrido en coordenadas polares.

r ≤ 2 sen(θ).

Y la segunda define trivialmente la variación del ángulo

π4

< θ <3π4

.

La respuesta final es entonces el sistema de inecuaciones

{0 < r ≤ 2sen(θ)π4 < θ < 3π

4

Obsérvese que el punto (0,0) ∉ R por eso hemos escrito en la primera inecuación 0 < r.

20

La región

R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2y ≤ 0, y > ∣ x ∣ }

es muy sencilla de dibujar en coordenadas cartesianas. Nos ayudamos de esta representación para describir el conjunto en coordenadas polares.

Galería 1.9. Región en coordenadas polares.