EJERCICIOS:

EJERCICIO 01

Determinar el coeficiente de forma β de una columna de sección constante de forma de L:

Solucióna) Por ser de sección constante:

β=A1

I21 xb2

∫ S1 xdA1+A2

I22 xb2

∫ S2 xdA 2

b) Luego hallamos el área y el momento de inercia con respecto aleje “X” para cada caso:

A1=BhdA1=Bdy

I 1 x=Bh3

3

S2

1 x=[B2 (h2− y2 )]2

A2=b (H−h )dA 2=bdy

I 2 x=b3

(H−h)(H2+h2+Hh)

S2

2 x=b2

(H2− y2 )

c) Reemplazando:

β= Bh

B2(Bh33 )2∫0

h

[ B2 (h2− y2 )]2

Bdy+b(H−h

b2( b3 (H−h )(H 2+h2+Hh))2∫h

Hb2(H2− y2)bdy

Resolviendo las integrales, además se sabe que: H = 2h, tenemos:

β=1 .36

EJERCICIO 02

Encontrar el elemento de rigidez

2EIL a partir de los resultados presentados en el

ejemplo 05:

Solucióna) Se sabe que:

v (x )=θ1 φ3( x )=θ1X (1− XL )

2

=θ1(X−2 X2

L+ X

3

L )Como

θ1=1:

v (x )=X−2 X2

L+ X

3

L

La derivada de v (x )es el giro θ( x )y la derivada del giro es la curvatura φ ( x )y a su

vez la curvatura es igual a

MEI :

θ( x )=dv ( x )dx

=1−4 XL

+ 3 X2

L2

φ ( x )=d2v ( x )dx2

=− 4L+ 6 XL2

Por la convención de signos con la que se está trabajando se tiene que:

d2v ( x )dx2

=− MEI

Al reemplazar x = L, se tiene que:

M=2EIL

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De tal manera que el momento que produce el giro unitario en el nudo final vale 2EIL que es el término de rigidez que se está buscando.

EJERCICIO 03Encontrar la matriz de rigidez asociada al sistema de coordenadas de la fig. 7.1 para un muro de 20 por 400cm (bxh). La altura del elemento es de 3.0 m. El módulo de elasticidad es de 2173706.5 T/m2. Calcular sin considerar el efecto de corte y considerando el efecto de corte.

Donde:b = 0.2 mh = 4.0 mL = 3.0 mE = 2173706.5 T/m2

G = 0.4*E = 869482.6 T/m2

Soluciónb) Hallamos el momento de inercia y el área de la sección:

I=b∗h3

12=1 .067m4

A=b∗h=0. 8m2

c) Calculando la matriz sin considerar el efecto de corte:

K=[4 EIL

2 EIL

0

2EIL

4 EIL

0

0 0AEL

]Resolviendo:

4 EIL

=4∗2173706 .5∗1 . 0673

=3092459 .78Tm .

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2EIL

=2∗2173706 .5∗1 .0673

=1546229 .89Tm .

AEL

=0 . 8∗2173706 .53

=579655 .067T /m .

Luego reemplazamos en la matriz K:

K=[309259 .78 1546229 . 89 01546229 .89 309259 . 78 0

0 0 579655 . 067 ]d) Calculando la matriz considerando el efecto de corte:

K=[4 EI (1+φ )L(1+4φ )

2EI (1−2φ )L(1+4 φ )

0

2 EI (1−2φ )L(1+4 φ)

4 EI (1+φ)L(1+4 φ)

0

0 0AEL

]Para una sección rectangular: β=1 .2

Utilizamos la siguiente fórmula para el cálculo de φ=3β EI

GAL2 para los siguientes casos:

1+φ1+4 φ

=0 .37 4 EIL

(0 . 37 )=113807. 59Tm .

1−2φ1+4φ

=−0 . 26 2EIL

(−0 .26 )=−406825 . 49T /m .

Luego reemplazamos en la matriz K:

K=[113807. 59 −406825 . 49 0−406825 . 49 113807 .59 0

0 0 579655 .067 ]

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EJERCICIO 04Con la ayuda de las tablas de Guldan determinar la matriz de rigidez del elemento para el sistema de coordenadas de la fig. 7.5 para la viga de sección variable que se indica a continuación considerar el módulo de elasticidad igual al del ejercicio anterior.

Solucióna) Coordenadas de la figura 7.5:

b) Se tiene la matriz de flexibilidad:

f=[ f 11 −f 12

−f 21 f 22]

c) Considerando el efecto de corte:

f 11=∫0

L

(L−xL )2 dxEI x

+∫0

L

β ( 1L )

2 dxGA x

f 12=f 21=∫0

Lx (L−x )L2

dxEI x

+∫0

L

β ( 1L )

2 dxGAx

f 22=∫0

L

( xL )2 dxEI x

+∫0

L

β( 1L )

2 dxGA x

ANALISIS ESTRUCTURAL II 5

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d) Tratándose de una sección variable:

Para 0<x<1 Para 0<x<1

h( x )=0 .8−0 .4 xA( x )=0 .24−0.12x

I ( x )=bh3(x )

12=0. 03( 0. 8−0 . 4 x )3

h=0 .4mA=0 .12m2

I=0 . 0016

Para 3<x<4

h( x )=0 .4 x−0 . 8A( x )=0 .12 x−0 . 24I ( x )=0 . 03(0 . 4 x−0. 8 )3

Se sabe que E = 2173706.5 Tn/m2 y G = 869482.6 Tn/m2 y remplazando en cada caso se obtiene:

f 11=2 . 37 x10−4

f 12=f 21=−1. 58 x10−4

f 22=2. 37 x10−4

Luego al reemplazar en la matriz de flexibilidad:

ANALISIS ESTRUCTURAL II 6

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f=[ 2 . 37x 10−4 −1 .58 x 10−4

−1 . 58x 10−4 2 .37 x 10−4 ]Se sabe que: K = f-1

Considerando el efecto de corte:

K=[7625 .9 5096 .85096 .8 7625. 9 ]

Sin considerando el efecto de corte:

K=[8042 .5 5513. 25513 .2 8042. 5 ]

EJERCICIO 05Determinar los términos f11 y f21 utilizando las ecuaciones (7.4.1) y (7.4.2) de la viga acartelada. Se recomienda resolver las integrales empleando métodos numéricos concretamente utilizar 5 puntos de la nomenclatura de Gauss.

Solución

a) Al igual que en el ejercicio anterior y considerando el efecto de corte:

f 11=∫0

L

(L−xL )2 dxEI x

+∫0

L

β ( 1L )

2 dxGA x

f 21=∫0

Lx (L−x )L2

dxEI x

+∫0

L

β( 1L )

2 dxGA x

b) Tratándose de una sección variable:Para 0<x<1 Para 0<x<1

h( x )=0 . 8−0 . 4 xA( x )=0 .24−0.12x

I ( x )=bh3( x )

12=0.03( 0.8−0 .4 x )3

h=0 .4mA=0 .12m2

I=0 .0016

Para 3<x<4

h( x )=0 .4 x−0 . 8A( x )=0 .12 x−0 . 24I ( x )=0 . 03(0 . 4 x−0. 8 )3

Se sabe que E = 2173706.5 Tn/m2 y G = 869482.6 Tn/m2 y remplazando en cada caso se obtiene:

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f 11=2 .37 x10−4

f 12=f 21=−1.58 x10−4

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