capítulo 6 - crodzmate3131.files.wordpress.com · una justificación para el algoritmo de...
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Capítulo
Números racionales y
razonamiento
proporcional
Multiplicación y
división de números
racionales
6
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Multiplicación de números
racionales
Multiplicación como una suma repetida
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Multiplicación de números
racionales
Multiplicación como una suma repetida
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4 ×2
3=
2
3+2
3+2
3+2
3=
8
3 = 2
2
3
Si a es un entero, a ≠ 0 y 𝑐
𝑑 es cualquier
número racional, entonces
Multiplicación de números
racionales
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a ×𝑐
𝑑=
𝑎
1×𝑐
𝑑 =
𝑎 ∙ 𝑐
𝑑
Multiplicación de números
racionales Multiplicación como parte de un área
3
5×1
2=
3
10
1
2𝑑𝑒
3
5
1
10𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
Multiplicación de números
racionales Multiplicación como parte de un área
5
8×1
3=
5
24
5
8 5
8
1
3
𝟓
𝟖𝒅𝒆
𝟏
𝟑
1
24𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
Si son números racionales entonces,
Multiplicación de números
racionales
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Ejemplos
Hallar la expresión mínima de los productos.
10 21
7 100
10 21
7 100
3
10
10710
1073
(a)
11 4
12 3
11 4
12 3
11
3 3
11
9
433
411
(b)
Profa. Yuitza T. Humarán
(c) 2 9
3 5
= 2 9
3 5
= 2 3 3
3 5
= 6
5
Escoges el signo del
producto con las reglas
de signo.
5
32
Ejemplos (cont.)
Elemento de identidad multiplicativa
El número 1 es el número único tal que para
cada número racional ,
Propiedades de la multiplicación de
números racionales
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Inverso multiplicativo (recíproco)
Para cualquier número racional , existe un
número racional único, , tal que
Propiedades de la multiplicación de
números racionales
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Propiedad de la igualdad de la multiplicación
Si son números racionales tal que
, entonces
Propiedades de la multiplicación de
números racionales
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𝟑
𝟒 partes de los estudiantes que tomaron un
examen lo aprobaron. En total aprobaron 21
estudiantes. ¿Cuántos estudiantes tomaron el
examen?
Solución:
Sea x la cantidad de estudiantes que tomaron el
examen entonces sabemos que
Ejemplo
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𝟑
𝟒𝒙 = 𝟐𝟏
𝟒
𝟑∙𝟑
𝟒𝒙 =
𝟒
𝟑∙ 𝟐𝟏 (𝟏)𝒙 =
𝟒 × 𝟕 × 𝟑
𝟑 𝒙 = 𝟐𝟖
Propiedades de la multiplicación de
números racionales
Si son números racionales, entonces
Propiedad distributiva de la multiplicación
sobre la suma
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Multiplicación con números mixtos
Uso la propiedad distributiva para determinar
el producto de
Con fracciones impropias
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−21
3−3
1
4= 2
1
3× 3
1
4=
7
3×13
4 =
91
12= 7
7
12
3 42
3= 3 4 +
2
3
= (3)4 + (3)2
3
= 12 + 2 = 14
División de números racionales
¿Cuántas mitades hay en 3 enteros?
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División de números racionales
¿Cuántos octavos hay en ¾ partes de un entero?
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Hay 1 barra de longitud ¾ en la longitud de
tamaño 7 8 , pero hay un sobrante.
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¿Qué fracción de una segunda barra de longitud ¾ sobra ?
𝟑𝟒 𝟑
𝟒
¿Cuántas barras de tamaño 3 4 hay en una
longitud igual a 7 8 ?
𝟕𝟖
División de números racionales
Como la barra de longitud ¾ se divide en 6 partes
equitativas, la parte que sobra es equivalente a 1 6 parte de una segunda barra del mismo tamaño.
Por lo tanto:
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Ejemplo
Usar la recta numérica para determinar:
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5
6÷1
3=
𝟓𝟔
𝟏𝟑 𝟏
𝟑
?
Como la longitud ⅓ se divide en 2 partes equitativas, la parte
que sobra es equivalente a la 1 2 de una tercera barra del
mismo tamaño.
Por lo tanto:
5
6÷1
3=
5
2= 2
1
2
Definición de división de números
racionales Si son números racionales y NO es
igual a cero, entonces si y solo si
es un número racional único tal
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7
5÷2
5=
7
2
Ejemplo: Demostrar que la siguiente
aseveración es cierta.
Usando multiplicación tenemos que
2
5×
7
2=
7
5
Si son números racionales y no es
igual a cero, entonces
División de números racionales
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Ejemplo
Una estación de radio provee 72 minutos de
anuncios públicos por cada 24 horas de transmisión.
a. ¿Qué parte del día se separa para anuncios de
servicios públicos?
Existen 60 · 24 = 1440 minutos en el día. Por
lo tanto, la fracción del día es
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72
1440 =
72 × 1
72 × 20 =
1
20
Ejemplo (cont.)
b. ¿Cuántos anuncios públicos de minutos se
permiten en 72 minutes?
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72 ÷3
4= 72 ×
4
3= 72 × 4
3=
3 × 24 × 4
3= 96 𝑎𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑠
Una justificación para
el algoritmo de división • La definición de división de números racionales nos
asegura que el cociente de dos números racionales
existe 𝑎
𝑏÷𝑐
𝑑= 𝑦 si y sólo si
𝑐
𝑑∙ 𝑦 =
𝑎
𝑏
• La propiedad del inverso multiplicativo y la de la
igualdad de la multiplicación, nos permiten despejar
para hallar el valor de y.
𝑑
𝑐∙𝑐
𝑑𝑦 =
𝑎
𝑏∙𝑑
𝑐 1 ∙ 𝑦 =
𝑎
𝑏∙𝑑
𝑐 𝑦 =
𝑎
𝑏∙𝑑
𝑐
Por lo tanto: 𝒂
𝒃÷𝒄
𝒅=𝒂
𝒃∙𝒅
𝒄
Ejemplo
Hay yardas de material están disponibles
para hacer toallas. Cada toalla requiere 5
8 de
material. a. ¿Cuántas toallas se pueden preparar del
material disponible?
Sólo nos interesa la parte entera del resultado.
Se pueden preparar 56 toallas. Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.
351
2÷5
8=
71
2÷5
8=
71
2×8
5=
71 × 4 × 2
2 × 5= 284
5 = 56
4
5
Ejemplo (continuación)
b. ¿Cuánto material sobra?
Como cada by toalla necesita 5
8 de material
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4
5𝑑𝑒
5
8=
4
5×5
8=
4 × 5
5 × 4 × 2=
1
2 𝑦𝑎𝑟𝑑𝑎
y sobró material para preparar 4
5 de otra toalla,
la cantidad de material sobrante se calcula
Estime los productos o cocientes
a.
b.
El producto exacto estára entre 21 y 32.
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Si ignoramos las partes fraccionarias, 3 × 7 = 21.
El producto es más grande que 21.
Un sobre estimado se consigue con el producto 4 × 8 = 32.
El cociente exacto estára entre 5 y 6.
Si ignoramos las partes fraccionarias, 24 ÷ 4 = 6.
El cociente es más grande que 6.
Otro estimado se consigue con dividiendo 25 ÷ 5 = 5.
Extendiendo la noción de
exponentes 1.
2.
3.
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Donde a es cualquier número
racional y m cualquier número
natural.
Donde a ≠0 y m y n son
enteros.
Para a ≠ 0.
Extendiendo la noción de
exponentes
4.
5.
6.
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Para a ≠ 0.
Donde a es cualquier número
racional diferente de 0 y m y n
son enteros.
Donde a es cualquier número
racional diferente de 0 y m y n
son enteros.
Ejemplos
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c. 2
9
−1
= 9
2
b. 106
102= 106−2 = 104
a. −2
3
23
= −2
3
6
= 64
729
Extendiendo la noción de
exponentes
7.
9.
8.
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Donde 𝑎
𝑏 es cualquier número racional
diferente de 0 y m es cualquier entero.
Donde a y b son números racionales
diferentes de 0 y m es cualquier
entero.
Donde 𝑎
𝑏 es un número racional
diferente de 0 y m es cualquier entero.
Ejemplos
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c. 3
5
−3
= 5
3
3
= 125
27
b. −21
2
−1
= −5
2
−1
= −2
5
a.
Ejemplos
Escribir cada uno en la forma más simple. Su
respuesta final debe tener exponentes positivos.
a.
b.
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92 ∙ 27−2 = 𝟑𝟐𝟐∙ 𝟑𝟑
−𝟐= 𝟑 𝟒 ∙ 𝟑 −𝟔
= 𝟑 −𝟐
=𝟏
𝟑𝟐 =
𝟏
𝟗