capítulo 6 monografía - infomed, portal de la red de ... · 1.1 introducción. ... desviación...

Dr. Mario Estévez Báez

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Capítulo 6

Análisis espectral mediante el uso de la FFT. 1.1 Introducción.

El análisis espectral constituye un método de análisis poderoso para poner en evidencia periodicidades ocultas en una serie temporal, tal como lo es, por ejemplo, el electroencefalograma. El espectro de potencia refleja la energía de cada uno de los componentes de frecuencia del proceso estudiado. Permite distinguir los componentes espectrales y cuantificarlos. Este método de análisis en Neurofisiología Clínica, cuenta ya con más de 60 años de aplicación, existiendo equipos comerciales que permiten su empleo para el estudio de la actividad bioeléctrica del cerebro. Éste método de análisis es conocido y se maneja de forma diaria por el especialista promedio.

En el caso del electroencefalograma, el espectro de interés se encuentra entre 0.5 y 50 hertzios, mientras que para aquellas aplicaciones que muestren las fluctuaciones de variables como el neumograma, la presión arterial y el ritmo cardíaco, por poner solo algunos ejemplos, se requiere analizar frecuencias menores de 0.5 hertzios. Teniendo ello en cuenta, resulta conveniente revisar algunos aspectos básicos del método en cues-tión, y en donde sea necesario se realizarán referencias específicas, vinculadas con el estudio de tales frecuencias, que por su carácter han sido denominadas extra-lentas y que están vinculadas con manifestaciones de fenómenos vitales del organismo del hom-bre y los animales (Estévez Báez M.., 1982)..

1.2 Series discretas de Fourier

La secuencia temporal x(n), que es periódica, con período “T”, puede ser repre-sentada, como hemos visto en otro acápite anterior, por la siguiente expresión:

,)()( rTnxnx += donde "r" es un valor entero cualquiera. Esta secuencia puede ser representada por una serie de Fourier, que corresponda a una suma de secuencias exponenciales complejas relacionadas, con frecuencias que sean múltiplos de la frecuencia fundamental (2π/T), asociada con la secuencia periódica x(n). Las exponenciales periódicas complejas son de la siguiente forma:

knTie )2( π

Donde "i" es la unidad imaginaria y "k" es un número entero. La representación de la serie de Fourier de la secuencia temporal x(n) toma la siguiente forma:

Variabilidad de la Frecuencia Cardiaca

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.)(1)()(1

0

)2(∑−

=

=T

k

knTiekxT

nxa π

En esta expresión, queda bien definido que se trata de una secuencia de una se-

ñal de valores discretos y que por lo tanto, requiere solamente de “T” exponenciales complejas relacionadas.

Los coeficientes de la serie discreta de Fourier, pueden ser obtenidos de la se-

cuencia temporal x(n), por la relación que se muestra en la siguiente expresión:

∑−

=

−=1

0

)2( ;)()()(T

n

knTienxkxb π

En esta expresión se puede generalizar que

,)()( kTxkx += para cualquier entero “k”.

Las expresiones "a" y "b" constituyen una pareja (par) de análisis-síntesis, co-

nociéndose como las expresiones de las Series Discretas de Fourier, para la representa-ción de una secuencia periódica. Si se sustituye, para facilitar la notación, al término exponencial complejo de la siguiente manera:

,)2( TiT eW π−=

entonces, el par de ecuaciones de la Transformada de Fourier, para una secuencia tem-poral discreta, se puede escribir así:

;)(1)(:1

0∑

−

=

−=T

k

knTWkx

Tnxsíntesis

∑−

=

=1

0

;)()(:T

n

knTWnxkxanálisis

En la anterior exposición, se ha empleado la representación de las Series de Fou-

rier, para secuencias temporales de tiempo discreto, en forma de exponenciales comple-jas. Esta forma de representación resulta útil, pero implica recordar correctamente, al-gunas de las propiedades de los números complejos y de las operaciones que pueden ser realizados con los mismos. A modo de recordatorio, en los próximos acápites marcar se expondrán en forma resumida, algunos de estos elementos.

1.3 Transformada rápida de Fourier. Retomando la expresión que presenta el acápite “Series discretas de Fourier”, para el cálculo de una serie temporal periódica de tiempo finito:


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∑−

=

−=1

0

)/2()()(T

n

knTienXkX π

que se puede simplificar como fue descrito anteriormente de la siguiente manera:

∑−

=

=1

0

;)()(T

n

knTWnXkX

y tomando en cuenta que la serie temporal tiene que ser compleja, entonces para calcu-lar los diferentes valores, será necesario realizar operaciones con números complejos, que implicarán multiplicaciones, sustracciones y adiciones. Si descomponemos en partes real (real) e imaginaria (im) la expresión anterior, ten-dríamos:

;1,...,1,0

)],()),(([()(1

0

−=

=∑−

=

Tkpara

WimWrealXnimnXrealkXT

n

knT

knT

Desarrollando de modo genérico el producto de números complejos que se muestra, se puede ver que su cálculo sería:

;)])(())([()])(())([(

knT

knT

knT

knT

WrealnXimWimnXrealWimnXimWrealnXreal

∗+∗

+∗−∗

Un cálculo inicial aproximado, permite decir que serían necesarias 4T2 multiplicacio-nes de números reales y de T(4T – 2) sumas de reales. La cantidad de cálculos, y por ende del tiempo de cálculo, es aproximadamente proporcional al cuadrado de T, lo que representa un obstáculo serio, aún para las computadoras actuales. Está documentado, que ya en 1805, C.F. Gauss se había ocupado en buscar la manera de reducir el número de cálculos a realizar, aprovechando diferentes propiedades de la secuencia WT

kn . C. Runge (1905) y posteriormente Danielson y Lanczos (1942) describieron algoritmos que lograban que el tiempo de cálculo fuese proporcional a TlogT (Oppenheim A.V. y Shafer R.W., 1989). A partir de los trabajos de J.W. Cooley y J.W. Tukey (1965), se hizo posible el desarro-llo de algoritmos cada vez más eficientes para estos cálculos y que desde entonces han sido denominados como “algoritmos de la transformada rápida de Fourier” (FFT en lengua inglesa). Hemos empleado numerosos de estos algoritmos, y actualmente utilizamos un “fabulo-so” método descrito por Don Cross (2000), que más adelante será analizado.


6-4

1.4 Resolución y “aliasing”. La resolución del procedimiento del análisis espectral de una muestra finita (N) de valo-res de una secuencia temporal dada, se define por la siguiente expresión:

NPmRs

∗=

1

donde Rs_resolución y Pm_ período de muestreo.

El período de muestreo de una señal va a determinar un valor que fue objeto de estudio por H. Nyquist (1928) y casi de modo simultáneo por el Académico Kotelnikov en la antigua URSS, que ha sido por ello llamado como frecuencia de Nyquist o frecuencia de Kotelnikov y que constituye la máxima frecuencia que puede ser detectable en el proce-so de análisis. Si se denomina este valor como Fc, entonces el mismo queda definido mediante la expresión:

PmFc

∗=

21

El teorema del muestreo, enunciado por ambos investigadores plantea que una función temporal h(t), muestreada con un período Pm, está limitada a un ancho de banda para las frecuencias mayores que Fc, o sea, si h(f) = 0 para todas las frecuencias mayores que Fc, entonces la función h(t) estará determinada completamente por sus muestras. De forma explícita, la función h(t) se representa por la expresión:

[ ] ;)(

)(2)()(nPmt

nPmtFcsennhPmthn −

−= ∑

∞

∞−= ππ

Si la función h(t) no está limitada en ancho de banda para los valores menores que la frecuencia de Nyquist (Fc), la densidad espectral de potencia espectral fuera del rango que va de - ∞ a - Fc y de Fc a ∞ , se desplaza al intervalo entre – Fc y Fc, distor-sionando los resultados. A este fenómeno se le denomina en lengua inglesa “aliasing”. El problema del aliasing es una consecuencia del uso de circuitos electrónicos, en el caso de que se trate de señales continuas que muestran el comportamiento de una señal que se produce de manera continua, y de la introducción del proceso de digitalización de las señales, o sea, discretización de valores de una señal continua en el tiempo. El primero de los casos no es objeto de análisis, en esta parte del trabajo, pero sí lo será el segundo caso, por tratarse de la circunstancia con la cual se enfrenta el especialista en su trabajo cotidiano. Una secuencia de valores discretos de una serie temporal es de hecho, una serie someti-da a discretización, y queremos en la mayoría de los casos, tratar de inferir las propie-dades de la señal original (continua), a partir de la secuencia de valores digitalizados (discretizados). Si no se toma en cuenta este aspecto del teorema de muestreo, se pue-


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den cometer errores importantes por la distorsión que el aliasing produce en los resul-tados. En el caso concreto del análisis de la señal electrocardiográfica (ECG), este fenómeno se puede producir si el especialista no presta atención al modo en que fue realizado el registro de la señal original del ECG. Habitualmente, el registro original del ECG (con-tinuo) es sometido s discretización para su análisis posterior. Los sistemas de discreti-zación, pueden haber sido aplicados a señales continuas (analógicas) que han sido alma-cenadas en cinta magnética. En este caso, las características de la velocidad de la cinta, influirán en el proceso de análisis, e igualmente si se almacena en cinta magnética el valor discretizado de la señal del ECG. En este último caso, cuando se almacena la in-formación original del ECG en cinta magnética, o en dispositivos de memoria volátil, hay que prestar atención, no solamente a la frecuencia del proceso de discretización (Pm), sino que además debe controlarse que el dispositivo de traslación de la cinta, o el reloj interno que regula el proceso de discretización estén funcionando de modo estable. Un modo comúnmente utilizado, es la grabación (en cinta o en memoria) de una señal de tiempo real, con lo cual se puede comprobar y corregir, si resulta necesario, cualquier desviación instrumental. Generalmente, se considera que la frecuencia más elevada (rápida) que contiene infor-mación útil del ECG es de 50 – 100 Hz. De acuerdo con el teorema del muestreo, el Pm de tal proceso debe ser entonces de 0.01 o 0.005 Hz, ya que

;2

12

1∗

=∗

=Fc

PmyPm

Fc

En otras palabras, el periodo de muestreo debe ser de 2 a 5 milisegundos, para evitar la distorsión del aliasing en los indicadores espectrales calculados a partir de las medicio-nes discretas del ECG. Existen diversos algoritmos para calcular la duración del ciclo cardíaco, considerado éste como el período de tiempo transcurrido entre el vértice de una onda “R” del com-plejo “QRS” del electrocardiograma y la inmediata ulterior. Para otras mediciones, tales como: el intervalo P-R, intervalos P-P y otros, igualmente resulta importante tener en cuenta el “Pm” empleado para la discretización. El propio algoritmo utilizado, puede afectar aún más el efecto del aliasing. El hecho de que muchos equipos comercia-les utilicen una frecuencia de muestreo de q28 Hz (Pm = 7.81 ms), como base para el análisis posterior de las series de cardiointervalos R-R, ha sido estudiado para determi-nar si resultan válidos esos trabajos y sus limitaciones (Merri M., et al., 1990). En rela-ción con el empleo de diferentes algoritmos para la detección de los vértices de las on-das “R” del ECG, también se han realizado investigaciones (Friesen G.M., et al., 1990). Es recomendable, siempre que ello sea posible, emplear como período de muestreo de la señal electrocardiográfica un valor no mayor de 5 ms, aunque como antes ya señalamos se acepte que los estudios realizados con período de muestreo de 7.81 ms hayan tenido que aceptarse por razones de orden práctico. Cuando se emplean los algoritmos de la


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FFT, para realizar el análisis de frecuencia de series de cardiointervalos R-R, cuyos va-lores son reales, el componente N/2 de la serie de valores de salida de la FFT, será el que corresponde a la frecuencia de Nyquist. Esto podrá ser comprobado en ejemplos que posteriormente serán presentados. Veamos algunos ejemplos de interés para el lector, que permitirán comprender mejor lo expuesto con anterioridad. Si la duración de una serie periódica temporal que se desea someter al análisis espectral tiene las duraciones que se muestran en la tabla a continuación, los valores correspon-dientes de la resolución del procedimiento en cada caso serán los que se muestran en la columna pertinente.

Pasemos ahora a una situación concreta: Se han tomado 500 muestras de una señal sinu-soidal de frecuencia 0.08 Hz, empleando una frecuencia de discretización de 4 Hz. Se desea conocer la resolución que tendría el proceso de análisis espectral de esta serie temporal periódica y la frecuencia de Nyquist correspondiente.

Tabla 1. Resolución del proceso espectral en dependencia de la duración de la muestra

Duración (s) Resolución (Hz)

64 0.015625 128 0.0078125 256 0.00390625 1024 0.000976562 200 0.0050 400 0.0025

De acuerdo a lo que ha sido expuesto anteriormente tendremos:

;2)25.02(

1)2(

1

;008.0)50025.0(

1)(

1

HzPm

Fc

HzNPm

Rs

=∗

=∗

=

=∗

=∗

=

Puede comprobarse además, que el componente de frecuencia (si se aplica la FFT) N/2 corresponderá al valor de la Fc. Veamos:

;2250008.0 HzHz =∗

De manera general, se puede decir que existen dos maneras principales de enfrentar la influencia negativa del aliasing. Son ellas:


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Ø Conociendo el límite natural de ancho de banda de la señal a estudiar, muestrear-la con una frecuencia al menos del doble de la frecuencia más alta que la misma posee.

Ø Proceder a un filtraje de la señal original, ya sea usando métodos de filtraje ana-lógicos o digitales, para eliminar las frecuencias indeseadas y proceder luego a realizar un muestreo de la señal filtrada, con una frecuencia al menos del doble de la frecuencia más alta que pueda quedar después del proceso de filtraje.

1.5 Algoritmos de la FFT. Algoritmo de Don Cross. En un acápite anterior fue señalada la aparición de los algoritmos de la FFT, para su utilización en aplicaciones con el uso de ordenadores. Considerando que en general, los diferentes algoritmos solo varían en cuanto a su implementación y eficiencia, vemos a limitarnos en este acápite a la descripción de los rasgos principales del algoritmo des-arrollado por Don Cross (2000). Al finalizar el acápite se incluye el citado algoritmo en su implementación para Pascal. La FFT es un algoritmo que convierte una función compleja, muestreada en tiempo, en una función muestreada en dominio de la frecuencia y que también es compleja. Como la mayor parte de las veces se opera con valores reales y el algoritmo de la FFT requiere que la señal discretizada esté expresada en valores complejos, resulta imprescindible entonces utilizar la propiedad de que un número real puede ser expresado como un nú-mero complejo, si como valor imaginario le colocamos el valor cero. Ejemplo: el valor real 750 puede ser expresado como el número complejo (750, 0), donde 750 es la parte real y 0 la parte imaginaria de ese número complejo. Los valores de la secuencia temporal que se introducen como entrada al algoritmo de la FFT, deben estar ordenados en dos arreglos1 unidimensionales, que podrían llamarse RealesEnt e ImaginEnt, que tienen que tener el mismo número de elementos (N). El arreglo RealesEnt será el contenedor de los valores reales de la serie temporal que se somete al análisis y el arreglo ImaginEnt, tendrá el mismo número de elementos, sien-do todos ellos de valor cero (“0”). El valor de “N”, que representa al número de elemen-tos de la serie compleja temporal, tiene que ser uan potencia entera de 2. El algoritmo no permite la entrada de valores que no cumplan esta condición, por lo que una serie de N = 13,000 será inadecuada, en tanto que una serie de N = 16,384 será adecuada. Esta limitación está asociada con particularidades del proceso de cálculo que facilitan la rea-lización de la FFT y es común a todos los algoritmos de la FFT. El menor número de valores sería “2”, mientras que el número máximo estará en dependencia de las limita-ciones del sistema de memoria disponible y del sistema operativo del ordenador. El tiempo de ejecución de las operaciones es proporcional a la magnitud del número de estas operaciones que es O(n log(n)), donde O_operaciones a realizar y n_número de elementos en la serie de entrada. Los resultados del procesamiento son entregados al usuario por el algoritmo, mediante “n” valores complejos ordenados en dos arreglos, 1 Los arreglos son estructuras que contienen una serie de valores, que en lenguaje Pascal y Delphi son denominados array y en C y C++ son declarados sin emplear la palabra reservada array, aunque se co-rrespondan a esta estructura genérica de contenedores.


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que podemos denominar RealesSal e ImaginSal. El número de valores de salida será similar al número de valores de entrada. En la Tabla 2 se muestran, a modo de ejemplo concreto, los resultados de la aplicación del algoritmo de la FFT (Don Cross) a una serie temporal de 32 valores, correspondien-tes a la interpolación de una secuencia de cardiointervalos R-R, con periodo de mues-treo de 1 segundo. A los efectos del ejemplo, puede observarse que se han introducido 32 muestras con valores complejos, como son mostrados en la Tabla, cuyos componen-tes reales aparecen en la columna con denominación RealesEnt y cuyos componentes imaginarios aparecen bajo la columna denominada ImaginEnt, los cuales son todos de valor cero (“0”). Como la duración total de la serie es de 32 segundos, lo que resulta del hecho de que son 32 valores discretos (N = 32), muestreadas con periodo de 1 segundo (“Pm”), en-tonces:

.5.0)12(

1)2(

1

03125.0)321(

1)(

1

HzPm

Fc

y

HzNPm

Rs

=∗

=∗

=

=∗

=∗

=

A partir de la columna denominada ImaginEnt, aparecen mostrados en columna los resultados de la aplicación del algoritmo de la FFT, así como el cálculo de las densida-des espectrales, que han sido obtenidos a partir de los datos de salida del algoritmo de la FFT. La secuencia de valores reales de los 32 elementos de la serie temporal se muestra en un histograma secuencial en la figura 4. En la cuarta columna de la tabla se muestra el número de orden de las muestras frecuen-ciales, que corresponden a la salida de la FFT. Puede observarse que son 32 muestras, al igual que las 32 muestras de entrada a la FFT, pero la primera frecuencia en aparecer ha recibido el número de orden “0” en lugar de “1”. Por ello, el último valor de la columna es el “31”. En la quinta columna se muestran los valores de las frecuencias discretas, para las cua-les se han calculado los correspondientes resultados de la FFT. Podemos ver que la pri-mera frecuencia discreta correspondería al valor “0”, luego viene la que corresponde al valor al valor de la resolución del proceso (“Rs”), que en este caso, como fue antes cal-culado es de 0.03125 Hz y en las subsiguientes filas de la columna, aparecen las fre-cuencias discretas con valores consecutivos múltiplos enteros de la resolución (2Rs, 3Rs, … , NRs). En la sexta columna, se han precisado los valores del periodo (1 / Rs), que corresponden a cada valor de frecuencia discreta. Puede advertirse que el pe-riodo correspondiente a cada frecuencia discreta se va reduciendo, a medida que se va incrementando el valor correspondiente de la frecuencia, lo que es una natural conse-cuencia de la relación inversa entre la frecuencia y el periodo. En las columnas séptima y octava, aparecen los valores de salida del algoritmo de la FFT, correspondientes a la serie de valores complejos de la serie temporal de entrada,


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cuyos valores reales e imaginarios se muestran en las columnas segunda y tercera. Re-sulta evidente que para la primera frecuencia, que ocupa el orden “0”, solamente se ob-tiene un valor real; el imaginario es cero. Esta frecuencia “0”, del resultado, está teóri-camente asociada al valor de la media aritmética de los valores de la serie de entrada. Su magnitud (amplitud) es, en todo caso, proporcional a la media aritmética de los valores de entrada como ya se dijo, y por ello, podemos reducir su valor para una serie temporal de entrada dada, si a dicha serie se le calcula la media aritmética y luego se resta la misma de cada valor de la serie original. Más adelante volveremos sobre esta cuestión.

Tabla 2. Ejemplo de aplicación de la FFT a una muestra de 32 valores de una secuencia temporal (Ver explicación detallada en el texto).

N/O

(1)

Real Ent (2)

Imag Ent (3)

N/O

(4)

F[i]

(5)

T

(6)

Real Sal (7)

Imag Sal (8)

Potencia Espectro

(9)

Amplitud Espectro

(10) 1 970 0 0 - - 30360 0 57608100 948.75 2 980 0 1 0.03125 32 42.74557 195.48389 2502.57 8.84 3 970 0 2 0.06250 16.0 250.53107 135.14452 5064.37 12.58 4 945 0 3 0.09375 10.67 53.60643 11.42716 187.76 2.42 5 965 0 4 0.12500 8.00 36.81981 -61.81981 323.59 3.18 6 980 0 5 0.18750 5.33 49.94675 -32.57616 22.240 2.63 7 970 0 6 0.21875 4.57 58.92056 -74.43283 563.24 4.19 8 930 0 7 0.25000 4.00 146.71811 69.08236 1643.66 7.17 9 935 0 8 0.28125 3.56 -105.0000 -5.00000 690.62 4.64

10 950 0 9 0.31250 3.20 -81.99338 -14.54823 13.230 0.64 11 960 0 10 0.34375 2.91 -52.05764 -6.85924 172.31 2.32 12 935 0 11 0.37500 2.67 -25.49541 11.19549 48.460 1.23 13 935 0 12 0.40625 2.46 -26.81981 -1.81981 45.160 1.19 14 955 0 13 0.43750 2.28 7.800090 16.20385 20.210 0.79 15 970 0 14 0.46875 2.13 -17.39399 -17.28189 37.570 1.08 16 970 0 15 0.50000 2.00 6.671820 -47.14164 141.68 2.10 17 945 0 16 0.53125 1.88 -10.00000 0.000000 6.2500 0.44 18 950 0 17 0.56250 1.78 6.671820 47.14164 19 960 0 18 0.59375 1.68 -17.39399 17.28189 20 960 0 19 0.62500 1.60 7.800090 -16.20385 21 945 0 20 0.65625 1.52 -26.81981 1.819810 22 935 0 21 0.68750 1.45 -25.4954 -11.19549 23 935 0 22 0.71875 1.39 -52.05764 6.859240 24 940 0 23 0.75000 1.33 -81.99338 14.54823 25 920 0 24 0.78125 1.28 -105.0000 5.000000 26 915 0 25 0.81250 1.23 146.71811 -69.08236 27 915 0 26 0.84375 1.18 58.92056 74.432830 28 935 0 27 0.87500 1.14 49.94675 52.576160 29 920 0 28 0.90625 1.10 36.81981 61.819810 30 925 0 29 0.93750 1.07 53.60643 -11.42716 31 960 0 30 0.96875 1.03 250.53107 -135.14452 32 980 0 31 1.00000 1.00 42.745570 -195.48389

Una inspección de los valores calculados, tanto reales como imaginarios, muestra que las cifras obtenidas a partir de la frecuencia discreta “N/2”, se repiten en la segunda mitad de la serie de valores en la salida de la FFT, constituyendo una imagen en espejo de los correspondientes a la primera mitad. También es de notar, que el valor del signo correspondiente a los valores imaginarios en la segunda mitad de la serie, resulta opues-


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to al que tuvo en la primera mitad. Debe también ser objeto de atención, el hecho de que el valor de salida imaginario, correspondiente a la frecuencia “N/2”, es cero. Ello es consecuencia de que los valores de entrada a la FFT, fueron reales. Por tanto, puede irse resumiendo que los valores a la salida del algoritmo de la FFT, muestran una imagen especular de valores, cuando los valores de entrada han sido re-ales y que solo se diferencian en el signo, resultando que los signos de los valores ima-ginarios son opuestos en la segunda mitad, respecto a los signos en la segunda mitad.

Figura 1 Representación mediante un histograma secuencial de los valores de la secuencia utilizada en el

texto como un ejemplo.

. Como en la inmensa mayoría de los casos emplearemos valores reales a la entrada de la FFT, resulta entonces que las salidas para las frecuencias positivas y negativas son simi-lares y podemos decir que redundantes. Resulta, que estos valores son números conju-gados complejos, lo que significa que sus partes reales son similares y que sus partes imaginarias tienen signo contrario. Vale recordar que en la parte que fue dedicada a la actualización acerca de la teoría de los números complejos, fue expuesto que dos núme-ros complejos son conjugados si se da la condición

.),(),( bayba −

El algoritmo de Don Cross, tiene algunas facilidades que permiten que los cálculos se limiten a un solo componente de frecuencia discreta que se desee evaluar (ya sean valo-res de amplitud de componentes real e imaginario, o valor de la fase correspondiente). También es posible, usando un procedimiento especial del algoritmo, calcular la FFT de secuencias de números reales enteros, cuya longitud sea diferente de 2N.


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Nos parece conveniente ahora, que recordemos algunas expresiones de los números complejos que nos serán de utilidad inmediata. Podemos considerar el valor real e ima-ginario de salida de la FFT para cada frecuencia discreta en la forma “modulo-argumental” que se expuso en acápites anteriores:

;),( ϕρ=ba

En este caso, a_ parte real, correspondería al valor real obtenido y b_ parte imaginaria, correspondería al valor imaginario. Recordando que

;2 22 ba +=ρ

se desprende que el módulo ρ estará dado por el valor real obtenido para la frecuencia discreta correspondiente, elevado al cuadrado, sumado con el cuadrado del valor imagi-nario y después de ser sumados ambos, calculando la raíz cuadrada se oibtendría ρ. Consideremos como ejemplo los valores real e imaginario correspondientes a la salida de la FFT para la frecuencia discreta 0.3750 en la tabla 2. Para obtener el módulo del resultado basta con operar:

;84519577.273549274.775

3389963.1250159311.650

)19549.11()49541.25(

2

2

2 22

±=±=

=+±=

=+−±=

ρ

ρ

ρ

Para encontrar el argumento ϕ, bastaría con calcularlo a partir de cualquiera de las ex-presiones:

;31."34'17156tan

;cos;

:43912.0tan

o==

==

−==

abarc

absena

b

ϕ

ϕρϕρ

ϕ

El punto ρϕ en un plano de coordenadas, es el afijo que corresponde en este caso a la frecuencia discreta en cuestión. Como hemos visto en otro acápite anterior, este valor ρϕ son las coordenadas polares del número complejo correspondiente. En este caso, el afijo se encontrará en el segundo cuadrante, con valor en el eje de las abscisas de – 25.49541 y en el de las ordenadas de 11.19549. En el acápite “Métodos de Análisis de Procesos”, al señalar un ejemplo del primer tipo de los mismos, fue mencionado el caso de la transformada de Fourier. Se indicó que los valores de la serie temporal, representados en las coordenadas tiempo-intensidad, resul-tan absolutamente equivalentes a la representación en coordenadas de frecuencia-fase-intensidad. En el ejemplo que venimos analizando en este acápite, las coordenadas tiempo-intensidad de la serie de entrada están representados por los que se muestran en las columnas segunda y tercera de la tabla 2, en tanto que la de frecuencia-fase-intensidad, lo están en las columnas séptima y octava. Sin embargo, no queda claro de


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la simple inspección de la tabla, cuál es la información de fase. La fase asociada a cada valor de frecuencia discreta está dada por el valor del ángulo ϕ, expresado generalmen-te en radianes y obtenido mediante la expresión ya antes mostrada:

;tan abarc=ϕ

Los valores reales e imaginarios del valor complejo de salida de la FFT para cada fre-cuencia discreta son portadores, por lo tanto, de la información referente a la intensidad y a la fase. Teniendo estos elementos, se puede reconstituir unívocamente la serie origi-nal de valores de entrada a la FFT, aplicando el proceso de la FFT inversa, posibilidad que también brinda el algoritmo de Don Cross que venimos analizando, y en general, todos aquellos algoritmos que usan el concepto de la FFT. Debe advertirse, sin embargo, que a los efectos del cálculo de la fase, se toman solo los denominados valores principales de la función “arc tan”. En el caso de la frecuencia discreta, para la cual se efectuaron algunos cálculos anteriormente, ese valor principal de la fase correspondería a – 0.414 radianes en la frecuencia discreta 11. Los valores principales de la función “arc tan” tienen que cumplir la condición:

;2

tan2

ππpp xarc−

Figura 2 Diagrama de fases del espectro de la secuencia utilizada en el ejemplo. (Ver explicación en el texto).

Por ello, calculando la fase para las 15 primeras frecuencias discretas del ejemplo, se obtienen los valores que se muestran tabulados a la derecha de la figura 5. En la parte izquierda, se muestra una curva que describe el perfil de la variación de la fase de la secuencia de entrada. En las abscisas se han situado los valores de las frecuencias dis-cretas (Hz), en tanto en las ordenadas, aparecen los valores de la fase expresados en radianes. Este diagrama se denomina diagrama de fase y junto al espectro de potencia,

1.355 0.495 0.210 -1.033 -0.578 -0.901 0.440 0.048 0.175 0.131 -0.414 0.068 1.122 0.782 -1.430


6-13

constituyen los resultados principales del análisis espectral. Más adelante, veremos la forma de calcular el espectro de potencia.

Figura 3 Diagrama de afijos de la serie de salida de la FFT del ejemplo en el texto.

1.5.1 Algoritmo de Don Cross (Código). fourier.pas - Don Cross <[email protected]> ==================================================================*) $N+,E+ (* Allows code to use type 'double' and run on any iX86 machine *) $R-(* Turn off range checking...we violate array bounds rules *) unit Fourier; interface (*------------------------------------------------------------------ procedure fft Calculates the Fast Fourier Transform of the array of complex numbers represented by 'RealIn' and 'ImagIn' to produce the output complex numbers in 'RealOut' and 'ImagOut'. -----------------------------------------------------------------*) procedure fft ( NumSamples: word; must be a positive integer power of 2 var RealIn: array of double; var ImagIn: array of double; var RealOut: array of double; var ImagOut: array of double ); (*------------------------------------------------------------------ procedure ifft Calculates the Inverse Fast Fourier Transform of the array of complex numbers represented by 'RealIn' and 'ImagIn' to produce the output complex numbers in 'RealOut' and 'ImagOut'. -----------------------------------------------------------------*) procedure ifft (

mailto:[email protected]


6-14

NumSamples: word; must be a positive integer power of 2 var RealIn: array of double; var ImagIn: array of double; var RealOut: array of double; var ImagOut: array of double ); (*------------------------------------------------------------------ procedure fft_integer Same as procedure fft, but uses integer input arrays instead of double. Make sure you call fft_integer_cleanup after the last time you call fft_integer to free up memory it allocates. ------------------------------------------------------------------*) procedure fft_integer ( NumSamples: word; var RealIn: array of integer; var ImagIn: array of integer; var RealOut: array of double; var ImagOut: array of double ); (*------------------------------------------------------------------ procedure fft_integer_cleanup If you call the procedure 'fft_integer', you must call 'fft_integer_cleanup' after the last time you call 'fft_integer' in order to free up dynamic memory. ------------------------------------------------------------------*) procedure fft_integer_cleanup; (*------------------------------------------------------------------ procedure CalcFrequency This procedure calculates the complex frequency sample at a given index directly. Use this instead of 'fft' when you only need one or two frequency samples, not the whole spectrum. It is also useful for calculating the Discrete Fourier Transform (DFT) of a number of data which is not an integer power of 2. For example, you could calculate the DFT of 100 points instead of rounding up to 128 and padding the extra 28 array slots with zeroes. ------------------------------------------------------------------*) procedure CalcFrequency ( NumSamples: word; can be any positive integer FrequencyIndex: word; must be in the range 0 .. NumSamples-1 var RealIn: array of double; var ImagIn: array of double; var RealOut: double; var ImagOut: double ); implementation function IsPowerOfTwo ( x: word ): boolean; var i, y: word; begin y := 2; for i := 1 to 15 do begin if x = y then begin IsPowerOfTwo := TRUE; exit; end; y := y SHL 1; end; IsPowerOfTwo := FALSE; end; function NumberOfBitsNeeded ( PowerOfTwo: word ): word; var i: word; begin for i := 0 to 16 do begin if (PowerOfTwo AND (1 SHL i)) <> 0 then begin NumberOfBitsNeeded := i;


6-15

exit; end; end; end; function ReverseBits ( index, NumBits: word ): word; var i, rev: word; begin rev := 0; for i := 0 to NumBits-1 do begin rev := (rev SHL 1) OR (index AND 1); index := index SHR 1; end; ReverseBits := rev; end; procedure FourierTransform ( AngleNumerator: double; NumSamples: word; var RealIn: array of double; var ImagIn: array of double; var RealOut: array of double; var ImagOut: array of double ); var NumBits, i, j, k, n, BlockSize, BlockEnd: word; delta_angle, delta_ar: double; alpha, beta: double; tr, ti, ar, ai: double; begin if not IsPowerOfTwo(NumSamples) or (NumSamples<2) then begin write ( 'Error in procedure Fourier: NumSamples=', NumSamples ); writeln ( ' is not a positive integer power of 2.' ); halt; end; NumBits := NumberOfBitsNeeded (NumSamples); for i := 0 to NumSamples-1 do begin j := ReverseBits ( i, NumBits ); RealOut[j] := RealIn[i]; ImagOut[j] := ImagIn[i]; end; BlockEnd := 1; BlockSize := 2; while BlockSize <= NumSamples do begin delta_angle := AngleNumerator / BlockSize; alpha := sin ( 0.5 * delta_angle ); alpha := 2.0 * alpha * alpha; beta := sin ( delta_angle ); i := 0; while i < NumSamples do begin ar := 1.0; (* cos(0) *) ai := 0.0; (* sin(0) *) j := i; for n := 0 to BlockEnd-1 do begin k := j + BlockEnd; tr := ar*RealOut[k] - ai*ImagOut[k]; ti := ar*ImagOut[k] + ai*RealOut[k]; RealOut[k] := RealOut[j] - tr; ImagOut[k] := ImagOut[j] - ti; RealOut[j] := RealOut[j] + tr; ImagOut[j] := ImagOut[j] + ti; delta_ar := alpha*ar + beta*ai; ai := ai - (alpha*ai - beta*ar); ar := ar - delta_ar; INC(j); end; i := i + BlockSize; end;


6-16

BlockEnd := BlockSize; BlockSize := BlockSize SHL 1; end; end; procedure fft ( NumSamples: word; var RealIn: array of double; var ImagIn: array of double; var RealOut: array of double; var ImagOut: array of double ); begin FourierTransform ( 2*PI, NumSamples, RealIn, ImagIn, RealOut, ImagOut ); end; procedure ifft ( NumSamples: word; var RealIn: array of double; var ImagIn: array of double; var RealOut: array of double; var ImagOut: array of double ); var i: word; begin FourierTransform ( -2*PI, NumSamples, RealIn, ImagIn, RealOut, ImagOut ); (* Normalize the resulting time samples... *) for i := 0 to NumSamples-1 do begin RealOut[i] := RealOut[i] / NumSamples; ImagOut[i] := ImagOut[i] / NumSamples; end; end; type doubleArray = array [0..0] of double; var RealTemp, ImagTemp: ^doubleArray; TempArraySize: word; procedure fft_integer ( NumSamples: word; var RealIn: array of integer; var ImagIn: array of integer; var RealOut: array of double; var ImagOut: array of double ); var i: word; begin if NumSamples > TempArraySize then begin fft_integer_cleanup; free up memory in case we already have some. GetMem ( RealTemp, NumSamples * sizeof(double) ); GetMem ( ImagTemp, NumSamples * sizeof(double) ); TempArraySize := NumSamples; end; for i := 0 to NumSamples-1 do begin RealTemp^[i] := RealIn[i]; ImagTemp^[i] := ImagIn[i]; end; FourierTransform ( 2*PI, NumSamples, RealTemp^, ImagTemp^, RealOut, ImagOut ); end; procedure fft_integer_cleanup; begin


6-17

if TempArraySize > 0 then begin if RealTemp <> NIL then begin FreeMem ( RealTemp, TempArraySize * sizeof(double) ); RealTemp := NIL; end; if ImagTemp <> NIL then begin FreeMem ( ImagTemp, TempArraySize * sizeof(double) ); ImagTemp := NIL; end; TempArraySize := 0; end; end; procedure CalcFrequency ( NumSamples: word; must be integer power of 2 FrequencyIndex: word; must be in the range 0 .. NumSamples-1 var RealIn: array of double; var ImagIn: array of double; var RealOut: double; var ImagOut: double ); var k: word; cos1, cos2, cos3, theta, beta: double; sin1, sin2, sin3: double; begin RealOut := 0.0; ImagOut := 0.0; theta := 2*PI * FrequencyIndex / NumSamples; sin1 := sin ( -2 * theta ); sin2 := sin ( -theta ); cos1 := cos ( -2 * theta ); cos2 := cos ( -theta ); beta := 2 * cos2; for k := 0 to NumSamples-1 do begin Update trig values sin3 := beta*sin2 - sin1; sin1 := sin2; sin2 := sin3; cos3 := beta*cos2 - cos1; cos1 := cos2; cos2 := cos3; RealOut := RealOut + RealIn[k]*cos3 - ImagIn[k]*sin3; ImagOut := ImagOut + ImagIn[k]*cos3 + RealIn[k]*sin3; end; end; begin Unit initialization code TempArraySize := 0; flag that buffers RealTemp, RealImag not allocated RealTemp := NIL; ImagTemp := NIL; end.

1.6 Estimación del valor de la densidad espectral de potencia: el periodograma. Los procesos aleatorios, como fue expuesto anteriormente, se utilizan con frecuencia como modelos de señales, cuando el proceso que está produciendo una señal es muy complejo para ser expresado por un modelo “razonablemente determinístico”.


6-18

Cuando la entrada a un sistema lineal invariante en el tiempo se modela como un proce-so estocástico (aleatorio) estacionario, buena parte de las características esenciales de la señal de entrada y de la de salida, son representadas adecuadamente por el valor prome-dio de algunas propiedades, como son: Ø La media aritmética de la muestra Ø La varianza Ø La función de autocorrelación “o” la densidad espectral de potencia

Cuando utilizamos una señal discreta (con tiempo determinado), para estudiar e inferir las propiedades del proceso generatriz, resulta entonces conveniente, estimar con herramientas matemáticas esas propiedades. La media aritmética de la muestra (mx) resulta ser un estimado sin sesgos del valor de la media del proceso estocástico, ya que el valor esperado de la media aritmética de la muestra (mx) es la verdadera media del proceso (Mx).

∑−

=

=1

0

;)(L

nx nXm

donde L _ total de valores en la muestra y X(n) _ es la serie de valores de la muestra. La varianza de la muestra (varx) resulta ser un estimado asintóticamente sin sesgos, ya que ha sido probado que a medida que L se acerca a ∞, varx se aproxima al valor de la verdadera varianza del proceso Varx.

∑−

=

−=1

0

2 ;))((1varL

nxx mnx

L

Consideremos ahora el estimado de la densidad espectral de potencia del proceso, que denominaremos como Pss(Ω). Debe advertirse que el muestreo discreto de la señal que es generada por el proceso en estudio, introduce un nuevo factor, que podemos denomi-nar convencionalmente “factor de ventana” y que modifica a los valores originales de la señal de la muestra. Llamemos a este factor de ventana V(n). En estas condiciones, la transformada de Fourier de la señal muestreada sería:

∑−

=

−=1

0

)/2( ;)()()(L

n

knTienXnVkX π

Se puede entonces considerar como un estimado del espectro de potencia2 la canti-dad

;)(1)( 2kXUL

Pxx =Ω

2 En lo adelante usaremos el término espectro de potencia para referirnos al más correcto de densidad espectral de potencia.


6-19

que denominaremos como “periodograma”, donde U es una constante cuyo valor es 1, si no se modifican los valores muestreados de la serie de entrada a la FFT, y que puede tomar otros valores, como será analizado más adelante. Cuando se calcula el periodo-grama Pxx(Ω) utilizando “1” como valor de la constante U, el estimado recibe el nombre genérico de “periodograma”. Si se utiliza otro valor, se le denomina “periodo-grama modificado”.

Si una señal tiene una media aritmética diferente de cero, su espectro de potencia posee un impulso en la frecuencia cero, de la que se habló anteriormente en otro acápite. Si el valor de la media es grande, este componente va a resultar de una magnitud que domi-nará al estimado del espectro de potencia. Ya anteriormente también se explicó, que en estos casos, resulta conveniente substraer de los valores de la muestra la media aritméti-ca, antes de estimar el espectro. La media aritmética de la muestra, es realmente un estimado “aproximado” del compo-nente de frecuencia cero, llamado también componente de DC por analogía de la media como un valor sobre el cual fluctúan las muestras, y ello remeda en cierto sentido a los valores de corriente directa en los circuitos eléctricos. El grado de consistencia de este estimado de Pss(Ω), se ha demostrado por Jenkins y Watt (1968), que posee la misma dimensión que el espectro de potencia, a medida que es incrementado el número de muestras, ampliando el tamaño de la ventana de tiempo de la señal muestreada. En otras palabras, que la varianza del periodograma tiene aproximadamente la magnitud del espectro de potencia, lo que se puede expresar así:

;)()( Ω≅Ω xxss PP

Si prestamos atención a la expresión que más arriba se mostró:

;)(1)( 2kXUL

Pxx =Ω

podemos advertir que los valores X(k) no son más que los valores complejos de salida de la FFT para cada frecuencia discreta. El módulo elevado al cuadrado, debemos re-cordar, es obtenido como la suma al cuadrado del componente real con el componente imaginario elevado al cuadrado, o sea,

;222 ba +=ρ

Para obtener un estimado del espectro menos “ruidoso”, existen al menos dos opciones. Una de ellas es el método del periodograma promediado y la otra es la de calcular el espectro a partir de la función de autocorrelación de la serie temporal de entrada a la FFT. Volveremos sobre esto en posteriores acápites. El cálculo del periodograma constaría entonces (después de obtenidos los valores me-diante la aplicación de la FFT a la serie temporal de entrada) de los siguientes pasos:

a. Elevación al cuadrado de los valores reales e imaginarios obtenidos para ca-

da frecuencia discreta.


6-20

b. Suma de cada valor real obtenido mediante el paso anterior al del valor ima-ginario,

c. Suma de los valores antes calculados para cada frecuencia discreta. d. División de la suma total de valores por el número de frecuencias discretas.

A ese valor le llamaremos estimado de la densidad espectral de potencia de la serie temporal sometida al análisis espectral. Otro valor frecuentemente también utilizado es el de la estimación de la densidad espectral de amplitudes; para calcularla basta con adicionar a los pasos anteriores, después del “b”, extraer la raíz cuadrada del valor cal-culado en el propio paso “b”. Las expresiones simplificadas de ambos estimados quedarían así:

;)(1)(

;)(1)(

2 2

22

kXUL

P

kXUL

P

xx

xx

=Ω

=Ω

A los efectos de la notación, hemos renombrado Pxx(Ω)2, colocando el exponente “2”, para representar el estimado, mediante el periodograma de la densidad espectral de po-tencia, dejando a Pxx(Ω) como símbolo de la estimación de la densidad espectral de amplitudes. Un retorno al ejemplo expuesto en la tabla del acápite anterior, nos permite observar que los valores ubicados en las columnas novena y décima corresponden a los cálculos para obtener Pxx(Ω)2 y Pxx(Ω). Puede verse, sin embargo, que los cálculos se han reducido a la primera mitad de la serie. Ello es posible, aprovechando el hecho de que los valores de la secuencia de entrada eran reales, con lo que los valores de salida del algoritmo de la FFT mostrarán una simetría especular, a la que antes se hizo referencia. El único inconveniente, que podría haber sido el hecho de que los signos de los valores imaginarios son opuestos entre los valores de las dos mitades de la serie de salida, se resuelve con el hecho de que el cálculo implica la elevación al cuadrado de los valores y con ello este problema queda resuelto satisfactoriamente. A continuación vamos a deta-llar los pasos del cálculo refiriéndonos concretamente a una frecuencia discreta (la quin-ta). Los pasos para el cálculo quedan entonces así:

a. Elevación al cuadrado de los valores reales e imaginarios obtenidos para la pri-

mera mitad de la serie (exceptuando, naturalmente, la frecuencia “0”).

49.946752 = 2,494.677836 -32.576152 = 1,061.1205549;

b. Multiplicación por 2 del valor calculado en el paso anterior, para cada frecuencia discreta de la primera mitad.

2 x 2,494.677836 = 4,989.355672 2 x 1,061.1205549 = 2,122.241108;

c. Sumatoria de los valores reales e imaginarios obtenidos anteriormente para ob-

tener el valor total relativo a cada frecuencia discreta.


6-21

4,989.355672 + 2.122.241108 = 7,111.59678;

d. División por el número total de frecuencias discretas de la serie (“N” y no

“N/2”).

7,111.59678 / 32 = 222.2373994;

Para el cálculo del estimado de la densidad espectral de amplitudes, debe insertarse en-tre los pasos “c” y “d”, la extracción de la raíz cuadrada de los valores y luego se conti-núa de la misma forma. Una manera de representar esos resultados la constituyen los espectrogramas, que se construyen situando en el eje de las abscisas los valores de frecuencias discretas del periodograma y en las ordenadas los valores correspondientes a la potencia o a la ampli-tud espectral, de cada frecuencia discreta. En las próximas gráficas (Figuras 7 y 8) se muestran un espectrograma de potencia y un espectrograma de amplitudes, utilizando los datos del ejemplo de la tabla que estamos analizando. En estos diagramas se ha utili-zado el procedimiento de unir entre sí los puntos que representan el valor de la potencia o de la amplitud.

Figura 4 Espectrograma de potencia del ejemplo explicado en el texto.

Observando ambos espectrogramas se puede advertir que en el de amplitudes, existe una mejor oportunidad de analizar las frecuencias discretas más rápidas, en tanto que de igual manera, se magnifican “exageradamente” los valores que corresponden a las fre-cuencias discretas más bajas, en el espectrograma de potencia. En el párrafo anterior hemos empleado los términos “rápidas” y “bajas”, refiriéndonos a las frecuencias espectrales. Para el lector resultará útil emplear la terminología que con-sidere pertinente, o que sea más empleada por los investigadores en este campo. Noso-tros, utilizaremos los términos de “altas” frecuencias para referirnos a las de la segunda mitad del espectrograma y de “bajas” frecuencias para aquellas de la primera mitad. Cuando existan bien definidos márgenes de diferenciación o nomenclatura, nos ajusta-remos a lo establecido por la práctica en uso.


6-22

Figura 5 Espectrograma de amplitudes del ejemplo explicado en el texto.

El problema de la dimensión de los valores de los espectrogramas merece un párrafo aparte. Si se acepta que el área bajo la curva del espectrograma de potencia, es equiva-lente a la varianza (Varx) de los valores de la secuencia temporal de entrada al cálculo de la FFT, se puede entonces considerar ese valor como la potencia media liberada por dicha “tensión” Varx al paso de un resistor de valor 1 ohmio (Dmitriev V.I., 1991, p. 57). Esto constituye una convención útil desde el punto de vista intuitivo. Si se toman en cuenta las operaciones que se realizan en el cálculo del periodograma, se pueden expresar estas unidades de potencia asignándoles como dimensión universalmente acep-tada, las que se derivan de la dimensión de los valores de entrada a la FFT, y los cálcu-los que con ellas se efectúan. Por ejemplo, si los valores correspondientes a la secuencia de entrada fuesen el tiempo expresado en milisegundos (ms), entonces la dimensión del espectro se puede expresar en ms2. Si fue de “ms/Hz”, puede entonces emplearse la dimensión “ms2/Hz” para la potencia espectral. Siguiendo esta tónica, para el espectro de amplitudes la dimensión sería la misma que la de la señal de entrada, o sea, “ms” o “ms/Hz“. Se pueden mostrar también los resultados del periodograma, efectuando la transformación logarítmica de los valores de salida de la FFT. En este caso, las unidades podrían ser dadas como el logaritmo de la dimensión pertinente (por ejemplo “log10 ms/Hz “. En otros casos se puede emplear una escala en decibeles, o incluso utilizar una escala adimensional. Esta última opción es particularmente interesante y sencilla. Para ello, basta dividir los valores de entrada a la FFT por el valor de la media aritméti-ca de la serie, o bien dividir el resultado del espectro de potencia para cada frecuencia discreta por el valor de la media de los valores de la serie de entrada, pero elevada al cuadrado (“media2”). Resulta muy recomendable que el especialista que analiza los resultados, tenga en cuen-ta las dimensiones en que se ofrecen los datos, pues muchas veces le aclararán aspectos no descritos tal vez por un autor dado, en relación con los cálculos realizados y sobre todo, a los efectos de comparar resultados entre autores o métodos de procesamiento.


6-23

1.7 Fugas (“leakage”). Volvamos a considerar un ejemplo que se expuso en un acápite anterior. Se trata de un caso en que se han tomado 500 muestras de una señal sinusoidal de frecuencia 0.08 Hz, empleando una frecuencia de discretización de 4 Hz.

Si se toman 128 muestras de esta serie y se someten al proceso de la FFT, podemos observar en la figura que más adelante aparece (figura 9), que el espectro muestra un pico bien definido en la décima frecuencia discreta., pero también hay “picos” de mucha menor amplitud, pero perceptibles, en las frecuencias discretas comprendidas entre la octava y la duodécima. Los valores de frecuencia en el gráfico se dan en mili-hertzios (mHz)..

Figura 6 Espectrograma de amplitudes del ejemplo expuesto en el texto.

Pudimos haber pensado que no debía verse ningún otro pico en el espectro, pero si ana-lizamos con detenimiento la resolución del proceso, podremos tener una idea de lo que ha sucedido. En la tabla 3 se muestran los valores de las frecuencias discretas en la zona correspondiente del espectro.

Tabla 3. Valores de las frecuencias discretas del ejemplo que se detalla en el texto.

Frecuencias discretas

F[i]

Valor de la F[i]

. . 7 0.0545875 8 0.0625000 9 0.0703125 10 0.0781250 11 0.0859375 12 0.0937500 13 0.1015625 . .


6-24

Como se puede apreciar, el proceso no tiene una frecuencia discreta exacta de 0.08000 Hz y sin embargo, el análisis ha mostrado la existencia de densidad espectral (energía) en las frecuencias discretas más cercanas al verdadero valor de la señal de entrada. A este desplazamiento, contaminación o extensión a frecuencias discretas cercanas, se le ha denominado en lengua inglesa “leakage” y se acepta el término de “fugas” en idioma español.

También podemos observar en la figura 9, que muestra el espectro del ejemplo anterior, que además de los picos ya mencionados se pueden apreciar otros, que corresponden a valores de las frecuencias discretas cercanos a los armónicos 2, 3, 4 etc. de la frecuencia fundamental de la señal muestreada. Para reducir el efecto de fuga, al realizar el análisis espectral, mediante el procedimiento del periodograma, se pueden aplicar tres opciones:

Agregar ceros a la serie temporal de entrada, con el objeto de incrementar el

número de muestras. Como la resolución del proceso es dependiente del nú-mero de muestras por unidad de tiempo, lo que se busca es hacer más peque-ño el valor de la resolución, buscando acercarnos a la frecuencia de interés. Esta variante recibe en inglés la denominación de “padding”.

Transformar una proporción “p” de los datos de la serie temporal del co-

mienzo y final de la misma, mediante la multiplicación de los valores origi-nales observados del siguiente modo:

[ ]

[ ] ,1

/)5.0(cos15.0)(10

/)5.0(cos15.0)(

−−=+−∗−∗=

−=−∗−∗=

NhastamNtparamtNtsy

mhastatparamtts

π

π

donde “m” se escoge de modo tal que “(2 * m) / N” sea igual a la pro-porción de los datos que serán modificados. A este proceder se le llama en inglés “tappering” y nosotros lo llamaremos “afinamiento”.

Suavizar los valores del periodograma a partir de la transformación de los

valores de la secuencia original con una ventana de “promediación deslizan-te”. Este procedimiento de aplicación de ventanas de transformación a los datos de entrada a la FFT, se conoce en lengua inglesa como “data windo-wing” y en nuestra lengua se acepta ya el término de “ventaneo”.

En el próximo acápite vamos a desarrollar algo más el concepto de “ventaneo” y descri-bir algunas de las principales ventanas utilizadas.


6-25

1.8 Ventaneo (“data windowing”). Dando por entendido que el problema del “aliasing” haya sido tomado en cuenta y re-suelto satisfactoriamente en el momento en que se haya efectuado la discretización de la serie temporal de entrada, siempre será introducido un error que se puede denominar como “error de cuantificación”. Este error se puede modelar como una secuencia ruido-sa que se adiciona a la serie temporal original X(n).

Por otro lado, debido al hecho de que la entrada a la transformada de Fourier está limi-tada a una duración finita, ello crea una ventana temporal de valores que podemos de-nominar convencionalmente “V(n)” y que se comporta como un factor de multiplica-ción de X(n) * V(n). Este hecho produce un efecto, en el dominio de la frecuencia, que corresponde al de una convolución periódica. Esta convolución se puede expresar formalmente por la siguiente expresión:

∑−

=

=1

0

)2( ;)()()(L

n

knTienXnVkX π

donde L _ es la longitud (tamaño) de la ventana y el resto de la simbología se corres-ponde a la utilizada anteriormente. Retomemos la expresión que fue expuesta acerca de la estimación del espectro de po-tencia del proceso que se estudia, y al que intentamos conocer a través de la señal mues-treada en una ventana de tiempo finito:

;)(1)( 22 kXUL

Pxx =Ω

Se ha comprobado que si el factor de escala (1/(LU) se escoge correctamente, entonces se puede eliminar de modo significativo el efecto que introduce el factor ventana (V(n)) y el estimado del periodograma logrará resultar un estimado asintóticamente no sesgado del verdadero espectro de potencia que en otro lugar hemos simbolizado por Pss(Ω). El factor de escala tiene que ser ajustado escogiendo para la constante U un valor tal que:

∑−

=

==1

0

2 ;1))((1 L

nnV

LU

Cuando esta constante U sea 1, decimos que se está aplicando una ventana de tiempo “rectangular” a la secuencia de entrada de la muestra discreta. Otras ventanas, que trata-remos más adelante en este acápite, requerirán del uso de valores para U tales que:


6-26

;10 pp U

para lograr que el estimado Pxx(Ω)2 sea un estimado conveniente de Pss(Ω). Esta forma de introducir intuitivamente el concepto de las ventanas, puede bastar a los efectos de esta obra, pero el lector interesado puede revisar múltiples fuentes bibliográ-ficas, que le puedan brindar un exhaustivo conocimiento al respecto. Como breve resu-men de lo expuesto hasta este punto en el acápite, digamos que la discretización de una señal, por lo visto, trae como consecuencias inmediatas:

el posible efecto del fenómeno de “aliasing”, la influencia en la capacidad de resolver unas u otras frecuencias en el espectro, la generación del llamado efecto ventana.

Todo esto tiene que ser tomado en cuenta, para evitar distorsiones importantes de los espectros resultantes.

1.8.1 Ventana de Hanning. La ventana así denominada, está asociada al nombre de Julius Von Hann, meteorólogo inglés. Esta ventana es denominada en ocasiones con el nombre de ventana de Hann. El término “hanning” fue asignado por Blackman y Tukey (1958), para describir la opera-ción de aplicación de esta ventana a una señal y ha quedado en el tiempo como el térmi-no más generalmente utilizado. Ecuación:

≤≤−

=condiciónotracualquierpara

MnparaMnnV

,0,0),/2(cos5.05.0

)(π

donde “n” es el valor de cada ítem de la secuencia y “M” es el número total de ítems. A continuación se muestra un ejemplo de la aplicación de esta ventana a una secuencia temporal de 16 ítems. En la tabla 4 aparecen en la tercera columna los valores de los coeficientes calculados y en la cuarta está el resultado de la multiplicación de los valo-res de a serie por los correspondientes coeficientes. Como puede advertirse, el último valor de la secuencia se ha considerado como el valor “M-1”. Ello es consecuencia de un convencionalismo, ya que la ventana está concebida para aplicarse a un número impar de valores (M), pero para aplicar el algoritmo de la FFT requerimos el empleo de secuencias de valores pares que sean potencias enteras de 2. En la figura 5, que se muestra a continuación aparece la representación gráfica del uso de la ventana a los ítems de la secuencia procesada.


6-27

Tabla 4. Muestra de aplicación de la ventana de Hanning

Figura 7 Diagrama de la ventana de Hanning

1.8.2 Ventana de Hamming. Esta ventana tiene un efecto algo más intenso que la ventana de Hanning sobre los valo-res de la secuencia a los que se aplica. Al analizar la ecuación de la ventana, veremos que difiere ostensiblemente de la de Hanning y que guarda mayor similitud con la de Blackman que analizaremos posteriormente. En la figura 11, que se muestra a continuación aparece la representación gráfica del uso de la ventana a los ítems de la secuencia procesada.

n/o Items Coeffs. Efecto 1 730 0.038060 27.7839710 2 725 0.146447 106.173792 3 735 0.308658 226.863839 4 740 0.500000 370.000000 5 715 0.691342 494.309327 6 710 0.853553 606.022907 7 725 0.961940 697.406331 8 735 1.000000 735.000000 9 740 0.961940 711.835427

10 735 0.853553 627.361742 11 730 0.691342 504.679453 12 725 0.500000 362.500000 13 720 0.308658 222.233964 14 730 0.146447 106.906025 15 735 0.038060 27.9742720 16 740 0.038060 28.1645730


6-28

Ecuación:

≤≤−

=.,0,0),/2(cos46.054.0

)(condiciónotracualquierpara

MnMnnV

π

En la tabla 5 se muestra el efecto de la ventana sobre los mismos ítems de la secuencia de 16 valores antes utilizada como ejemplo.

Tabla 5. Muestra de aplicación de la ventana de Hamming

Los resultados, desde el punto de vista gráfico, se muestran en la figura 11. Debe ad-vertirse, que al igual que para la ventana de Hanning, los coeficientes de ventana descri-ben una curva acampanada y que el coeficiente para el valor central es 1. Al igual que en el caso anterior, el valor del último coeficiente de ventana ha sido el mismo del valor penúltimo, por las razones que ya antes se expusieron.

1.8.3 Ventana de Blackman. Esta ventana tiene la particularidad de que los valores en los extremos son coeficientes con signo negativo, lo que tiene que ser tomado en cuenta por el que la emplea. El efec-to de la ventana se diferencia notablemente por su forma más redondeada en los valores centrales, que los que se obtienen con las ventanas de Hanning o Hamming. Ecuación:

n/o Items Coeffs. Efecto 1 730 0.115015 83.961253 2 725 0.214731 155.679888 3 735 0.363966 267.514732 4 740 0.540000 399.600000 5 715 .0.716034 511.964581 6 710 .0.865269 614.341075 7 725 0.964985 699.613824 8 735 1.000000 735.000000 9 740 0.964985 714.088593

10 735 0.865269 635.972803 11 730 0.716034 522.705097 12 725 0.540000 391.500000 13 720 0.363966 262.055247 14 730 0.214731 156.753543 15 735 0.115015 84.536330 16 740 0.115015. 85.111407


6-29

≤≤+−

=condiciónotracualquieren

MnMnMnnV

,0.0),/4(cos08.0)/2(cos5.042.0

)(ππ

Figura 8. Diagrama de la aplicación de la ventana de Hamming.

Tabla 6. Muestra de aplicación de la ventana de Blackman.

n/o Items Coeffs. Efecto 1 730 - 0.098508 -71.911065 2 725 0.066447 48.173792 3 735 0.28522 7 209.641717 4 740 0.500000 370.000000 5 715 0.667910 477.555835 6 710 0.7735 53 549.222907 7 725 0.825371 598.394137 8 735 0.840000 617.40000 9 740 0.825371 610.774706

10 735 0.773553 568.561742 11 730 0.667910 487.574489 12 725 0.50 0000 362.500000 13 720 0.285227 205.363315 14 730 0.066447 48.506025 15 735 -0.098508 -72.403607 16 740 -0.098508 -72.896148


6-30

Figura 9 Diagrama de la aplicación de la ventana de Blackman.

1.8.4 Ventana de Bartlett. Esta ventana se denomina con frecuencia como ventana triangular, por la forma de la misma. Debe tenerse en cuenta que los coeficientes para todos los valores posibles siempre son positivos, lo que tiene importancia para aplicaciones específicas, como por ejemplo, para aplicar el algoritmo de la FFT a la secuencia de autocorrelación de la serie de entrada, para obtener el espectro de potencia suavizado.

Tabla 7. Muestra de aplicación de la ventana de Bartlett.

n/o Items Coeffs. Efecto 1 730 0.12500 91.250 2 725 0.25000 181.250 3 735 0.37500 275.625 4 740 0.50000 370.000 5 715 0.62500 446.875 6 710 0.75000 532.500 7 725 0.75000 634.375 8 735 0.87500 735.000 9 740 1.00000 647.500

10 735 0.87500 551.250 11 730 0.75000 456.250 12 725 0.62500 362.500 13 720 0.37500 270.000 14 730 0.25000 182.500 15 735 0.12500 91.875 16 740 0.12500 92.500


6-31

Ecuación:

≤≤−

≤≤=

.,0,2/,/22,2/0,/2

)(condiciónotracualquierpara

MnMMnMnMn

nV

1.10.5 Ventana Rectangular. Cuando no se aplica una ventana determinada a la serie temporal de entrada a la FFT, tales como las que se han expuesto anteriormente, el lector debe advertir que realmente “sí” está aplicada una ventana. Esta ventana, que no se advierte, pero que tiene un fun-damento y efectos importantes, del cual hablamos a inicios de este acápite, tiene coefi-ciente “1” para todos los valores de la serie. Ecuación:

≤≤

=.,0

,0,1)(

condiciónotracualquierparaMn

nV

Debido al hecho de que en toda la longitud de la ventana de tiempo se mantiene unifor-me el valor “1”, se ha denominado “rectangular” a esta ventana. Para otras cuestiones de interés, acerca de las ventanas, se remite al lector a la literatura especializada.

Figura 10. Diagrama de la aplicación de la ventana de Bartlett.

capítulo 6 monografía - infomed, portal de la red de ... · 1.1 introducción. ... desviación...

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