capitulo 6 metodo de la distribucion de momentos o metodos de cross

MTODO DE LA DISTRIBUCIN DE MOMENTOS O MTODO DE CROSS 197

6.1 INTRODUCCIN

ste mtodo, sumamente til en el anlisis de prticos, fue ideado por el profesor Hardy Cross, quien empez a ensearlo a sus alumnos de la Universidad de Illinois en 1924. Posteriormente lo public en una revista de la Sociedad Ame-ricana de Ingenieros Civiles (ASCE) en 1930 (referencia 6.1), despertando

inmediatamente el inters de la profesin de tal manera, que en pocos aos fueron presentados numerosos artculos por diversos autores que lo llevaron al grado de refinamiento con que se lo conoce hoy en da. El mtodo de distribucin de momentos puede ser utilizado para analizar cualquier tipo de viga indeterminada o de prtico rgido, e hizo posible resolver de manera sencilla y segura muchas estructuras que antes se diseaban nicamente mediante reglas empricas o mtodos aproximados. Esencialmente, el mtodo consiste en resolver las ecuaciones simultneas que resultan en el de ngulos de giro y deflexin mediante aproximaciones sucesivas. Esta caracterstica permite obtener la solucin con la precisin que se desee, dentro de las limitaciones del modelo matemtico escogido.

6.2 CONVENCIN DE SIGNOS PARA LOS MOMENTOS

De acuerdo con el tratamiento unificado seguido en estas conferencias (sistema ortogonal cartesiano de mano derecha), el momento en los nudos se considera positivo cuando su sentido es contrahorario. Esto implica que al compararlos con los momentos internos en la viga, los signos coinciden en el extremo derecho, pero son opuestos en el extremo izquierdo. Es preciso advertir de nuevo que esta convencin es opuesta a la dada en la mayora de los textos que fueron escritos antes del desarrollo de la computacin elec-trnica.

E

198 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

6.3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES: RIGIDEZ ABSOLUTA Y COEFICIENTE DE DISTRIBUCIN

El concepto de rigidez absoluta es esencial para el cabal entendimiento del mtodo. Es simplemente una medida de la capacidad de un elemento para oponerse al giro de uno de sus extremos cuando se le aplica en l un momento, y se define as:

Rigidez absoluta es el valor del momento que, aplicado en un extremo simplemente apoyado de un elemento, produce en l una rotacin de un radin, estando el otro extre-mo simplemente apoyado, parcialmente restringido o fijo, y sin que haya ninguna trans-lacin de los apoyos.

Los tres casos contemplados en la definicin se ilustran grficamente en la figura 6.1.

Figura 6.1 Definicin de rigidez absoluta.

Para empezar, Cross supuso que en la estructura todos los nudos estn fijos y luego comenz a soltarlos uno por uno, estudiando el efecto de cada liberacin sobre todos los elementos, hasta lograr equilibrar los nudos por completo. En la figura 6.2 (a) se muestra una estructura cruciforme de cuatro elementos que se unen en el nudo E y con los extremos opuestos empotrados. Al aplicarle a la estructura un momento M en E, sta se deflecta hasta encontrar la posicin de equilibrio indicada en (b). Para facilitar la explicacin, los cuatro elementos se presentan separados en la parte (c) de la misma figura. Es evidente que la suma de las rigideces de todos los elementos que llegan al nudo medir la resistencia del mismo a la rotacin y que el momento M se repartir entre los elementos proporcionalmente a sus rigideces, ya que suponemos el nudo rgido y, en con-secuencia, la rotacin en todos ellos debe ser igual. Es decir, que por la definicin de rigidez absoluta:

MEA = (Ka)EA E MEB = (Ka)EB E MEC = (Ka)EC E MED = (Ka)DE E

y en general:

Mi j = (Ka)i j i (6.1)


Figura 6.2 Efecto de la liberacin de un nudo.

Por otra parte, la suma de los momentos desarrollados en los extremos que se unen en el nudo debe ser igual al momento aplicado, puesto que por equilibrio:

( )[ ] ===)i( )i(

iijiji KaMM

=)i(

ijii )Ka(M (6.2)

Definiendo el coeficiente de distribucin, ij, en el extremo i de un elemento ij como la relacin entre el momento Mij desarrollado en dicho extremo y el momento Mi aplicado en el nudo correspondiente, resulta al dividir la ecuacin (6.1) por la ecuacin (6.2):

( )( )

( )

==

iiji

iij

i

ijij Ka

KaMM

(6.3)


( )

( )( )

=i

ij

ijij Ka

Ka (6.4)

o sea, que el coeficiente de distribucin de cualquier elemento en un nudo es igual a la rigidez del elemento para ese extremo, dividida por la suma de las rigideces correspon-dientes de todos los elementos que llegan a ese nudo. Cuando todos los elementos involucrados son prismticos y tienen las mismas condicio-nes de apoyo, las rigideces absolutas tendrn un factor comn y resulta ms fcil trabajar con las rigideces relativas (K = I/L) definidas en el captulo anterior. Los coeficientes de distribucin se pueden calcular, entonces, mediante la siguiente ecuacin:

( )

=i

ij

ijij K

K (6.5)

Obviamente, la suma de los coeficientes de distribucin en un nudo debe ser igual a la unidad y conviene comprobarla antes de iniciar el proceso de distribucin.

6.4 RIGIDEZ ABSOLUTA DE ELEMENTOS PRISMTICOS

Volviendo a la definicin de rigidez absoluta, en el caso de extremo opuesto simplemente apoyado, se tiene la situacin de la figura 6.3.

Figura 6.3 Rigidez de un elemento con extremo opuesto articulado.

Utilizando la viga conjugada correspondiente, ilustrada en la parte (b) de la misma figura, se obtiene:

( )EI3

LML

L3/22L

EIM

R iiii ===

ii L

EI3M =

De ah que la rigidez absoluta en este caso es:

LEI3MKa

i

i== (6.6)


Considerando ahora un elemento con el extremo opuesto empotrado, se tiene la siguiente situacin:

Figura 6.4 Rigidez de un elemento con extremo opuesto empotrado.

Como en i no hay desplazamiento, el momento de la viga conjugada figura 6.4 (b) en dicho punto debe ser cero.

0L32

2L

EIM

3L

2L

EIM ji

=

ij M21M = (6.7)

2L

EIM

2L

EIM

R jiii ==

EI4LM

M21M

EI2L i

iii =

=

ii L

EI4M = (6.8)

y de acuerdo con la definicin de rigidez absoluta:

LEI4MKa

i

i== (6.9)

que no es otra cosa que el coeficiente de la rotacin i en las ecuaciones de ngulos de giro y deflexin. Comparando las ecuaciones (6.6) y (6.9) se observa que la rigidez (absoluta o relativa) de un elemento prismtico con extremo opuesto simplemente apoyado equivale a las tres cuartas partes de la rigidez del mismo elemento con su extremo opuesto empotrado. En el caso de elementos no prismticos, los diagramas de carga de la viga conjugada debern dividirse por una Ix variable. El procedimiento para encontrar las rigideces absolutas ser idntico, pero la evaluacin de reas y centroides se complicar. En tal


caso se utilizan generalmente tablas o grficos (referencias 6.2 a 6.4) o mtodos num-ricos de integracin como el de Newmark (referencia 6.5), que se ver ms adelante en el captulo 9.

6.5 COEFICIENTE DE TRANSMISIN

En la figura 6.4 (a) se observa que al aplicar un momento Mi en el apoyo respectivo del elemento, surge un momento Mj en el extremo opuesto a dicho nudo. Se puede demostrar que siempre hay una relacin fija entre el momento inducido en el extremo empotrado y el momento aplicado en el extremo girado. Se define entonces el coeficiente de transmisin como:

Coeficiente por el cual se debe multiplicar el momento aplicado en un apoyo sim-ple de un miembro estructural para obtener el momento inducido en el extremo opuesto.

La ecuacin (6.7) permite concluir que el coeficiente de transmisin para un elemento prismtico con el extremo opuesto empotrado es 0.5. Por otra parte, reemplazando la ecuacin (6.8) en la ecuacin (6.7), se obtiene:

ij LEI2M = (6.10)

que tambin se identifica claramente con un trmino de las ecuaciones de ngulos de giro y deflexin. Observando ahora la figura 6.3, es evidente que en el extremo j, obviamente, no puede inducirse ningn momento al aplicar Mi, lo cual equivale a decir que el coeficiente de transmisin para un elemento con el extremo opuesto simplemente apoyado (o articulado) es cero.

6.6 MOMENTOS DEBIDOS A DESPLAZAMIENTOS DE LOS EXTREMOS DEL ELEMENTO

En el mtodo de distribucin de momentos, el desplazamiento de los extremos del ele-mento se trata de manera similar a la vista en el de ngulos de giro y deflexin. Gene-ralmente se desprecia el efecto de las cargas axiales y slo se consideran los momentos inducidos por el desplazamiento normal al eje de los extremos del mismo. Para independizar el efecto de los desplazamientos se considera que los extremos no giran, como se hizo al plantear el mtodo citado, encontrando entonces el valor de la figura 6.5 (a). Como se ver ms adelante, el proceso se puede simplificar en el caso de apoyos articu-lados, considerando desde el principio la verdadera condicin del extremo del elemento que llega a l.


=

=

2

''

j''

i

LEI6

MM (6.11a)

M EIL

M

i

j

''

''

=

=

3

0

2

Figura 6.5 Momentos causados por un desplazamiento a) extremo opuesto empotrado b) extremo opuesto articulado.

Aprovechando la viga conjugada de la figura 6.5 (b) se obtiene:

= ;0Fy EILM

21R

"

ijj ==

= ;M j = L32

2L

EIM"i

= 2''

i LEI3M (6.11b)

que, como se ve, es la mitad del obtenido anteriormente cuando la rotacin era nula en ambos extremos.

6.7 MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

En el numeral 6.3 se dijo que Cross empez por suponer que todos los nudos estn fijos. En consecuencia, en los extremos de los elementos que se hallan sometidos a cargas intermedias surgen unos momentos para anular los giros que produciran tales cargas si los extremos pudiesen rotar libremente. stos son los llamados momentos de empotra-miento, vistos ya en el captulo 5 y obtenibles, como se dijo entonces, por cualquiera de los mtodos tradicionales, especialmente los de rea de momentos y viga conjugada, o de ayudas de diseo como la tabla 5.1 (pginas 164 y 165). 6.8 PROCEDIMIENTO PARA ESTRUCTURAS CUYOS NUDOS NO SE DESPLAZAN


Cuando no hay desplazamientos relativos de los extremos de los elementos que confor-man la estructura, basta con considerar los nudos fijos calculando los momentos de empo-tramiento de los elementos que reciben cargas y luego soltar los nudos uno por uno. Se estudia en cada caso el efecto de la liberacin en los extremos de los elementos que concurren al nudo, mediante los coeficientes de distribucin, y en los extremos opuestos utilizando los coeficientes de transmisin. El proceso se ilustra con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.1

Resuelva la estructura mostrada. Los valores indicados sobre los elementos corresponden a los K relativos (I/L) de los mismos.

Solucin

El nico nudo que puede girar es el E. Siguiendo el procedimiento indicado atrs, se comienza por suponer que dicho nudo est fijo, para lo cual se le debe aplicar el momento de empotramiento M EA

F que anule la tendencia al giro del elemento AE debida a las

cargas aplicadas sobre el mismo. Para una viga prismtica sometida a carga uniformemente repartida:

00.1512

92012

wLMM2

FEA

FAE =

=== kNm

La estructura queda entonces en la siguiente situacin:


El segundo paso es liberar el nudo E, lo cual se logra aplicndole un momento igual y de sentido contrario a la suma de los momentos de empotramiento de los extremos de los elementos que concurren a l, en este caso 15.00 kNm (contrahorario).

Al soltar el nudo, dicho momento se reparte entre los elementos, proporcionalmente a sus rigideces. Los respectivos coeficientes de distribucin son:

363.02324

4KKKK

K

EDECEBEA

EAEA

=

+++=

+++=

EDEB182.0

112 ===

273.0113

EC == Comprobacin: = 1

Por consiguiente, los momentos debidos al giro de E sern:

mkN44.50.15363.0MME

FijEA

'

EA ==

=

73.20.15182.0MM 'ED'

EB === kNm

10.40.15273.0M 'EC == kNm

y la estructura queda entonces as:


Pero el giro de E induce tambin momentos en los extremos opuestos de los elementos, como se vio en el numeral 6.5. Dichos momentos son iguales a los anteriores, multipli-cados por el coeficiente de transmisin, en este caso 0.5, por tratarse de elementos prismticos. Esto es:

72.244.55.0M5.0M 'EA'

AE === kNm

36.173.25.0M5.0M 'EB'

BE === kNm

05.210.45.0M5.0M 'EC'

CE === kNm

36.173.25.0M5.0M 'ED'

DE === kNm

Con lo cual el estado final de los elementos de la estructura viene a quedar as:

y aplicando superposicin:

Comprobacin:

010.4)73.2(256.9ME

=++=


Como el nudo E es el nico que puede girar, con lo anterior queda terminado el proceso, y los momentos indicados son los momentos definitivos en los extremos de los ele-mentos. En el ejemplo siguiente se explica el procedimiento para el caso en que varios pueden girar.

Ejemplo 6.2

Resuelva la viga de seccin constante mostrada.

Solucin

Como se trata de una viga de seccin constante, se puede suponer I = 100 y trabajar con K relativos. 67.166

100K;254

100KBCAB

====

Coeficientes de distribucin

600.067.162525

KKK

BCAB

ABBA =+

=

+=

400.067.4167.16

KKK

BCAB

BCBC ==+

=

Comprobacin: Bj = 1.000 En A, por ser apoyo simple, AB = 1.

En C, por ser empotramiento, CB = 0, que fsicamente equivale a no poder absorber ningn momento en A y, por el contrario, poder absorber en C todo el que le llegue.

Momentos de empotramiento

Para los casos mostrados se obtiene:

0.258

4508

PLMM FBAFAB =

=== kNm

0.6012

362012

wLMM2

FCB

FBC =

=== kNm


Se empieza, como antes, por suponer los nudos fijos. Para lograrlo, a cada extremo se le deben aplicar los momentos de empotramiento encontrados atrs.

Sin embargo estos momentos no pueden permanecer, pues se alteraran las condiciones del problema. De ah que a cada nudo que pueda girar debe aplicrsele un momento igual y de sentido contrario al de desbalance. Al soltar primero el nudo A, dicho momento es tomado ntegramente por el extremo correspondiente de AB, y a B se transmite la mitad del mismo.

El momento de desbalance en B queda ahora igual a 22.5 kNm (contrahorario). Para lograr el equilibrio se le agregar un momento de 22.5 kNm (horario).

Al soltar ahora el nudo B, dicho momento balanceador se repartir proporcionalmente a las rigideces:

5.135.22600.0M 'BA == kNm 0.95.22400.0M 'BC == kNm

con lo cual la situacin queda as:

pero estos momentos, a su vez, inducen otros, iguales a su mitad, en los apoyos A y C, quedando por tanto:


Se observa ahora que el nudo B ha quedado balanceado y se ha concluido el primer ciclo. Sin embargo, como consecuencia de la transmisin ha vuelto a aparecer en A un momento de desbalance de 6.8 kNm (horario) que se debe eliminar mediante uno igual y de sentido contrario. Al soltar A por segunda vez, se transmite a B la mitad de dicho valor:

y al permitir el giro de B, los 3.4 kNm necesarios para el balance se reparten segn sus coeficientes de distribucin.

con lo cual queda:

que de nuevo muestra balanceados los nudos A y B. Los momentos inducidos en A y C por el segundo giro de B sirven para efectuar un tercer ciclo, que se resume a con-tinuacin:


Para un cuarto ciclo se transmitiran a A y C momentos de 0.1 kNm, que pueden despreciarse al considerar la precisin con que se conocen las cargas aplicadas. Por consiguiente, los valores dados en (e) pueden tomarse como las respuestas buscadas. La consideracin detallada de todos los pasos anteriores es innecesaria en la solucin mecnica del problema y se ha hecho aqu nicamente para facilitar el entendimiento del mtodo. A continuacin se indica la forma esquemtica utilizada en la prctica, siguiendo el mismo proceso. En sntesis, en cada ciclo para equilibrar cualquier nudo, basta determinar la magnitud y signo del momento de desbalance y distribuirlo con el signo cambiado entre los miembros concurrentes mediante los coeficientes de distribucin. Luego se transmiten estos momentos y se pasa a balancear el siguiente nudo. Otra alternativa, que se utilizar en el siguiente ejemplo, consiste en distribuir primero los momentos de desbalance simultneamente en todos los nudos y luego efectuar, tambin simultneamente, las transmisiones. El orden en este caso no tiene importancia.

1 0.600 0.400 0 MF 25.0 25.0 60.0 60.0

25.0 12.5 6.8 13.5 9.0 4.5 6.8 3.4 1.0 2.0 1.4 0.7 1.0 0.5 0.3 0.2 0.0 49.4 49.4 65.2

capitulo 6 metodo de la distribucion de momentos o metodos de cross

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