capitulo 4 desarrollo de la...

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CAPITULO 4

DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN

El desarrollo de la investigación comenzó con la obtención de los datos seguido de la

comprobación de la veracidad de los mismos. Este capítulo dará a conocer los

medicamentos seleccionados. Los documentos que el I.M.S.S. – Puebla proporcionó no se

adjuntarán, para mantener confidencialidad.

4.1 Veracidad de los Datos

Los datos que se utilizarán en el presente trabajo fueron obtenidos por el Sistema de

Abastecimiento Institucional (SAI), el cual registra los consumos diarios de las unidades

del I.M.S.S. en Puebla.

Al estimar la demanda, es necesario agregar una variable al modelo, la cual representa el

porcentaje de personas que no encontraron su medicamento. El I.M.S.S. desea que el 95%

de las personas hayan sido abastecidas por completo. Para saber que porcentaje de la

población ha sido suministrada adecuadamente, el I.M.S.S. hace encuestas y solicita

reportes mensuales a cada unidad. En el estado de Puebla, la mayoría de los trabajadores,

así como sus familias, son satisfactoriamente proveídos, pues el porcentaje de

abastecimiento registrado en Puebla es de 94.8%, por tanto, no se agregarán variables de

demanda al modelo.

94

4.2 Selección de Medicamentos

Dentro del cuadro básico de los medicamentos se pueden clasificar según el grupo al que

pertenecen. El I.M.S.S. cuenta con 23 grupos. A cada grupo le corresponden diversos

medicamentos. El número de claves para los medicamentos es de 900 claves

aproximadamente.

Para seleccionar los medicamentos a pronosticar, se elaboró una base con las claves que

mostraron mayor demanda e información mensual desde Agosto de 1998 hasta Junio del

2005. Es decir se cuenta con 83 observaciones. De los datos que cumplían con dichas

características, se eliminaron aquellos que durante ciertos periodos son sustituidos por

algún similar o bien que mostraron cambios de presentación en el transcurso de los

periodos; de este modo se estimarán sólo aquellos medicamentos que rara vez son

reemplazados.

Cada clave está constituida por 5 parámetros como son grupo, género, especialidad,

diferencia y variabilidad. Dichos valores van definiendo el área a la que pertenece cada

medicamento de lo más general a lo particular. Al momento de concatenar dichos

parámetros se obtiene una clave única. A continuación se muestra la descripción de los

medicamentos seleccionados.

ALBENDAZOL.- Genérico perteneciente al agrupo de enfermedades infecciosas y

parasitarias. Su presentación es en forma de tabletas de 200 mg. Cada envase contiene 2

95

tabletas. Su clave diferencial es la 1344. Dicho medicamento inhibe la captura de glucosa

en los helmintos susceptibles.

DICLOXACILINA.- Genérico perteneciente al grupo de enfermedades infecciosas y

parasitarias. Su presentación es una solución inyectable. Sus indicaciones son debido a

infecciones por Staphylococcous productores de betalactamasa. Dicho medicamento tiene

una acción bactericida que impide la síntesis de la pared bacteriana. Su clave diferencial es

1928.

BENCILPENICILINA PROCAINICA.- Genérico perteneciente al grupo de

enfermedades infecciosas y parasitarias. Su presentación es una solución inyectable. Sus

indicaciones son por infecciones por bacterias gram positivas, sensibles. Dicho

medicamento inhibe la síntesis de la pared celular microbiana durante la multiplicación

activa. Su clave diferencial es 1924.

AMIKACINA.- Genérico perteneciente al grupo de enfermedades infecciosas y

parasitarias. Su presentación es una solución inyectable. Este medicamento inhibe la

síntesis de proteínas, al unirse a la subunidad ribosomal 30S de la bacteria. Puede provocar

hipersensibilidad. Su clave diferencial es la 1956.

DICLOFENACO.- Genérico perteneciente al grupo de reumatología. Su presentación es

en cápsula o gragea de liberación prolongada. Dicho medicamento, provoca una acción

antiinflamatoria, analgésica y antipirética. Su clave diferencial es 3417.

96

PARACETAMOL.- Genérico perteneciente al grupo de la analgesia. Su presentación es

en forma de tabletas de 500 mg. Este analgésico inhibe la síntesis de prostaglandinas y

actúa sobre el centro termorregulador del hipotálamo. Su clave diferencial es 0104

CLORURO DE SODIO.- Genérico perteneciente al grupo de soluciones electrolíticas y

substitutos de plasma. Su presentación es de manera inyectable al 0.9% Es un suplemento

diario de electrolitos en fase postoperatoria. Su clave diferencial es 3608.

NAPROXENO.- Genérico perteneciente al grupo de reumatología. Su presentación es en

tabletas de 250 mg. Cada envase contiene 30 tabletas. El consumo de dicho medicamento

tiene un efecto antiinflamatorio, analgésico y antipirético. Su clave diferencial es 3407.

GLIBENCLAMIDA.- Genérico perteneciente al grupo de endocrinología. Su

presentación es en forma de tabletas de 5 mg. Cada envase contiene 50 tabletas. Se les

proporciona a las personas con diabetes mellitas tipo II. Su clave diferencial es 1042.

CAPTOPRIL.- Genérico perteneciente al grupo de cardiología. Su presentación es en

forma de tabletas. Cada tableta contiene 25 mg de captopril. Cada envase contiene 30

tabletas. Dicho medicamento se les proporciona a todos aquellos pacientes que sufren de

hipertensión arterial así como de insuficiencia cardiaca. Su clave diferencial es 0574.

GLUCOSA.- Solución inyectable al 5%. Cada 100 ml contienen: Glucosa anhidra ó

glucosa 5 g. Envase con 1000 ml. Es utilizada para sustituir pérdidas insensibles,

97

deshidratación hipertónica, deficiencia de agua, hipoglucemia, hipernatremia. La glucosa

es la fuente principal de energía en los organismos vivos. Las soluciones inyectables con

este nutriente (glucosa 5%) son una fuente de calorías que cubren las necesidades de agua

y son útiles en la rehidratación del organismo. Su clave diferencial es 3603.

RANITIDINA.- La presentación de este medicamento es en tableta o gragea. Cada tableta

o gragea contiene: Clorhidrato de ranitidina equivalente a 150 mg de ranitidina. El envase

contiene 20 tabletas o grageas. Es tomada por aquellas personas que tienen ulcera

gastroduodenal, gastritis, Trastornos de hipersecreción, como el síndrome Zollinger

Ellison. Dicho medicamento inhibe la acción histamina (H2) en los receptores de las

células parietales, disminuyendo la secreción gástrica de ácido. Su clave diferencial es

1233.

CASEINATO DE CALCIO.- La presentación de este medicamento es en polvo. Cada

envase contiene 100 gramos. Se da a niños con intolerancia a lactosa. Pacientes con ingesta

proteica inadecuada o con requerimientos de proteínas aumentados. En un componente en

fórmulas modulares. Dentro de sus generalidades destacan que es un módulo proteico para

alimentación entera a base de caseinato de calcio para complementar el requerimiento de

niños o adultos, es bajo en sodio y grasas y tiene un alto contenido en calcio y fósforo. Este

medicamento pertenece al grupo de nutriología y su clave diferencial es 0022.

PARACETAMOL.- Este medicamento viene en presentación de 3 supositorios. Cada

supositorio contiene 300 mg. de paracetamol. Dentro de sus generalidades se encuentran

98

que inhibe la síntesis de prostaglandinas y actúa sobre el centro termorregulador en el

hipotálamo. Dicho medicamento pertenece al grupo de la analgesia. La clave diferencial

para dicho medicamento es la 0105.

CINARIZINA.- La presentación de este medicamento es en forma de tabletas. Cada

tableta contiene 75 mg. de cinarizina, y el envase contiene 60 tabletas. Sus indicaciones

son para vértigo y la enfermedad de Meniere. Sus generalidades están la antagonista

competitiva de receptores histaminérgicos H1 y bloquea los canales de calcio de la

membrana. Este medicamento pertenece al grupo de otorrinolaringología. Su clave

diferencial es 5451.

En el Apéndice A se pueden apreciar las gráficas de los consumos de estos medicamentos a

partir de Agosto de 1998 hasta Junio del 2005, contando con un total de 83 observaciones.

Así como el procedimiento para determinar el modelo que se ajusta mejor a cada

medicamento.

4.3 Determinación actual de los requerimientos del I.M.S.S.

Con el transcurso de los años, se ha ido implementando un modelo que estime mejor la

demanda de los medicamentos. Actualmente la fórmula utilizada para calcular los

requerimientos del 2005 se calculó de la siguiente manera:

R2005 = CPM * (12 + Margen de Seguridad) – EE a Diciembre

EE = IA + TMC – CPM * NMTA + SCE

99

CPM = MAMCAA + CPDUC + APDC - AICC

Donde:

R2005 = Requerimiento 2005

EE = Existencias Esperadas

CPM = Consumo Promedio Mensual

IA = Inventario Actual

TMC = Tránsitos en el Momento del Cálculo

NMTA = Número de Meses para Terminar el Año

SCE = Saldo del Contrato por Ejercer

MAMCAA = Media Acotada Mensual del Consumo de Años Anteriores

CPDUC = Crecimiento de la Población Derechohabiente Usuario de esa Clave

APDC = Ajuste por Posible Desabasto de esa Clave

AICC = Ajuste por Incremento en el Consumo debido a que esta Clave se Utilizó como

Sustituto de una Agotada

4.4 Medicamentos de Mayor Impacto

Dentro de los Medicamentos que causan mayor impacto en la demanda de los

medicamentos pueden encontrarse los de un alto consumo promedio mensual y los

medicamentos de mayor importe mismos que no serán pronosticados debido a la

importancia y la repercusión que estos pueden causar.

100

Los medicamentos que obtuvieron un mayor Consumo Promedio Mensual son

medicamentos que causan gran impacto en el presupuesto anual del I.M.S.S.- Puebla y se

presentan en la Tabla 4.1. Los siguientes medicamentos son de suma importancia para el

I.M.S.S. puesto que provee a los trabajadores y a sus familias de salud, puesto que son los

productos más consumidos en Puebla.

Tabla 4.1Claves con mayor Consumo Promedio Mensual

20 CLAVES CON MAYOR CPM_V DELEGACIONAL ENERO 2005.

CLAVE PUU DESCRIPCION CPM_V 010000192402010301 $ 4.96 BENCILPENICILINA PROCAINICA CO 71620010000057400010301 $ 2.00 CAPTOPRIL, TABLETAS CADA TABLE 47851010000123300010301 $ 2.60 RANITIDINA. TABLETAS O GRAGEAS 47430010000104200010301 $ 2.48 GLIBENCLAMIDA TABLETAS. CADA T 46358010000010402010301 $ 1.04 PARACETAMOL (ACETAMINOFEN) TAB 46104010000362302020301 $ 0.88 ELECTROLITOS ORALES. POLVO PAR 44216010000341701010301 $ 3.18 DICLOFENACO. CAPSULAS O GRAGEA 44074010000340701020301 $ 3.35 NAPROXENO. TABLETAS. CADA TABL 29813010000134400010301 $ 0.70 ALBENDAZOL. TABLETAS. CADA TAB 28640010000192907010301 $ 9.71 AMPICILINA, TABLETAS O CAPSULA 27892010000193103010301 $ 5.00 AMPICILINA, POLVO PARA SOLUCIO 23222010000057200010301 $ 3.81 METOPROLOL. TABLETAS CADA TABL 22632010000516500010320 $ 4.57 METFORMINA, TABLETAS, METFORMI 22294010000190301010301 $ 2.74 TRIMETOPRIMA CON SULFAMETOXAZO 21514010000246300010301 $ 3.06 AMBROXOL. SOLUCION ORAL. CADA 21210010000134500010301 $ 1.94 ALBENDAZOL. SUSPENSION ORAL. C 20889010000250100010301 $ 2.11 ENALAPRIL O LISINOPRIL. TABLET 20653

Fuente: I.M.S.S.

Mientras que las claves de mayor importe delegacional son las que se aprecian en la Tabla

4.2 que se encuentra a continuación.

101

Tabla 4.2 Claves con mayor importe delegacional

20 CLAVES CON MAYOR IMPORTE DELEGACIONAL ENERO 2005. CLAVE PUU DESCRIPCION CPM_V010000437300010301 $14,369.83 VALGANCICLOVIR. COMPRIMIDO REC 1010000510701010320 $ 8,063.35 ALTEPLASA. SOLUCION INYECTABLE 4010000543206010320 $ 7,308.83 FILGRASTIM. SOLUCION INYECTABL 16010000436800010301 $ 6,169.59 ABACAVIR, LAMIVUDINA Y ZIDOVUD 16010000543600010320 $ 5,414.83 TRETINOINA, CAPSULAS 10 MILIGR 7010000530000010320 $ 5,140.58 NELFINAVIR, COMPRIMIDOS, CADA 1010000047601010301 $ 4,972.09 METILPREDNISOLONA. LIOFILIZADO 30010000451001010301 $ 4,765.34 ETANERCEPT. SOLUCION INYECTABL 16010000528800010320 $ 4,609.59 LOPINAVIR-RITONAVIR. CAPSULAS. 15010000426701010301 $ 4,112.63 ATAZANAVIR. CAPSULA, CADA CAPS 30010000426600010301 $ 3,749.14 ATAZANAVIR. CAPSULA, CADA CAPS 7010000524004010320 $ 3,604.86 INMUNOGLOBULINA G NO MODIFICAD 3010000533002010320 $ 2,799.46 ALFADORNASA, SOLUCION PARA INH 110010000533100010301 $ 2,683.79 BERACTANT. SUSPENSION INYECTAB 30010000426801010301 $ 2,673.25 LAMIVUDINA Y ZIDOVUDINA. TABLE 10010000428000010301 $ 2,604.65 GENTAMICINA COLAGENO. IMPLANTE 40010000530602010320 $ 2,603.32 ACIDO MICOFENOLICO. COMPRIMIDO 1

Fuente: I.M.S.S.

4.5 Implementación del Método Box Jenkins.

En el medicamento Diclofenaco con clave diferencial 3417 se mostrará amplia y

detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada

será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura 4.1

se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Diclofenaco en el

Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede

determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos

ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.

102

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Ago

-98

Feb-

99

Ago

-99

Feb-

00

Ago

-00

Feb-

01

Ago

-01

Feb-

02

Ago

-02

Feb-

03

Ago

-03

Feb-

04

Ago

-04

Feb-

05

Figura 4.1 Cantidades consumidas de Diclofenaco

Fuente: Elaboración Propia

Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria en varianza, para

ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de 12 elementos, pues la

información es mensual, (O’Donovan, 1983, p.26). Una vez dividida la información se

obtiene la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla 4.2 muestra la

media varianza y desviación estándar para el medicamento Diclofenaco.

Tabla 4.3 Media varianza y desviación estándar del medicamento Diclofenaco

media var desv 10641 1809763 1345.2748468 6675167 2583.6349039 3303744 1817.62

10498 3708193 1925.66710653 2102562 1450.02211573 2490004 1577.975

Fuente: Elaboración propia

Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen

constantes con el tiempo, como lo muestra la figura 4.2.

103

02000400060008000

10000

1200014000

1 2 3 4 5 6Grupos

Valo

res desv

media

Figura 4.2 Comportamiento de Media y Varianza


El comportamiento tanto de la media como de la varianza se observan constantes en el

tiempo. Ahora se graficará una contra otra para ver la relación entre ellas.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5000 10000 15000media

desv

Figura 4.3 Media contra desviación estándar


De manera visual se observa que no existe relación entre la media y la desviación estándar,

por tanto la serie es estacionaria en varianza y en media, lo que implica que no es necesario

realizar ninguna transformación a la serie. Sin embargo, no se afirmará nada hasta no

104

analizar el modelo de manera estadística. Para verificar la estacionariedad es necesario

observar la FAC y FACP.

La técnica básica para la identificación del modelo es la comparación de la Función de

Autocorrelación Simple y la Función de Autocorrelación Parcial teóricas con respecto a la

serie observada. Si se tienen dos ó más modelos que pudiesen modelar la serie, se tomará

el modelo más sencillo, pues acorde al Método Box- Jenkins se tiene el principio de

parsimonia que indica que se debe de utilizar siempre el modelo más sencillo, es decir, con

menos parámetros a estimar. Si al momento de hacer el diagnóstico de chequeo se observa

que se tiene un modelo inadecuado, se le agregarán más parámetros al modelo.

No se elaboró diferenciación entre ellos, pues si la Función de Autocorrelación Simple de

la serie de datos originales desciende rápidamente a cero, entonces los datos son

estacionarios en media y no es necesario elaborar ninguna diferenciación, sin embargo, si

se tiene duda sobre si se debe o no de hacer alguna diferenciación, un buen parámetro a

considerar es la desviación estándar, que en el caso del medicamento Diclofenaco aumentó

considerablemente al establecer la primera diferencia.

La media contra la varianza es graficada para determinar si los datos son estacionarios en

varianza. Si los datos se observan con tendencia positiva o negativas como la gráfica 4.4 o

como la gráfica 4.5 entonces no son estacionarios. Sin embargo, si se presentan como en la

gráfica 4.6 entonces los datos son estacionarios en varianza.

105

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

Figura 4.4 Datos directamente relacionados Fuente: Elaboración Propia

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

Figura 4.5 Datos inversamente relacionados


0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

Figura 4.6 Datos no relacionados


Clase del Modelo

Para el medicamento Diclofenaco, no ha sido necesario elaborar diferencias, ni realizar

transformaciones

4.6 Identificación

Para el medicamento Diclofenaco, la gráfica de la media contra la varianza se observa un

comportamiento sin tendencia alguna, es decir, los valores se ven repartidos dentro de sus

106

límites, por tanto se dice que los datos presentan estacionariedad, es decir, tienen media y

varianza constante.

Las Funciones de Autocorrelación mostrarán tanto estadística como empíricamente el

comportamiento de las observaciones.

2015105

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

32.4232.3132.3132.0231.6331.45

30.3829.0328.7828.6927.5224.9323.56

23.1623.1623.0822.2220.9318.4413.45

0.22-0.00-0.35-0.43 0.29 0.71

0.81-0.35-0.21-0.78-1.19-0.88-0.48

0.05 0.21 0.72 0.90 1.28 1.90 3.60

0.03-0.00-0.05-0.06 0.04 0.10

0.11-0.05-0.03-0.11-0.16-0.12-0.07

0.01 0.03 0.10 0.12 0.17 0.24 0.40

201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Figura 4.7 Función de Autocorrelación del medicamento Diclofenaco


Empíricamente se presentan dos situaciones: La flecha amarilla en la función de

autocorrelación muestra que los restrasos caen rápidamente a cero; mientras que en la

función de Autocorrelación Parcial se encuentra una flecha verde que muestra que el

primer retraso es mayor que todos y no se encuentra dentro de las barras de significación;

por tanto se podría tener como Modelo Tentativo un Modelo Autorregresivo de Orden

uno, pues dichas propiedades son características de dicho modelo, pero no se afirmará nada

hasta no elaborar las pruebas estadísticas necesarias.

107

En la Figura 4.7 se pueden apreciar la estacionariedad en media, pues el estadístico T

mencionado en el capítulo 2 dice que si el valor absoluto del estadístico es mayor que 1.25

para los primeros 3 retrasos ó mayor a 2 para los retrasos del 4 en adelante, entonces el

retraso no es igual a cero. En este caso los primeros 3 retrasos presentaron valores mayores

que el valor absoluto de 1.25, por tanto, el retraso no es igual a cero.

El estadístico (Ljung Box) explicado en el capítulo dos es de 8.1511, para un α = .05

Ho: ρ1=ρ2=…=ρκ=0

Ha: 0≠iρ

Por tanto se acepta la Hipótesis Nula con un nivel de confianza del 5%.

En la Figura 4.8 se encuentra la Función de Autocorrelación Parcial de los datos. El

estadístico T de la Función de Autocorrelación Parcial muestra niveles significativos en el

primero retraso, por lo que se podría contemplar como Modelo Tentativo un Modelo

Autorregresivo de Orden uno, sin embargo, en los periodos subsecuentes no se observan

altos niveles de significación. Se debe recordar que las observaciones son mensuales, por

tanto se podría pensar en un Modelo Estacional de orden 12 o múltiplos de 6.

108

5 10 15 20

-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0

1 2 3 4 5 6 7

8 9

1011121314

151617181920

0.40 0.10 0.05 0.03 0.03-0.04-0.02

-0.08-0.09-0.09 0.02 0.07-0.02 0.19

0.04-0.05-0.15-0.05-0.01 0.04

3.60 0.89 0.48 0.23 0.24-0.40-0.14

-0.75-0.79-0.86 0.14 0.63-0.15 1.77

0.34-0.44-1.32-0.47-0.06 0.36

Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T

Figura 4.8 Función de Autocorrelación Parcial para el medicamento Diclofenaco


Existen pruebas de significancia que resaltan los factores importantes en la Función de

Autocorrelación y Función de Autocorrelación Parcial. El Procedimiento empleado para

decidir si ρk es igual a cero o diferente de cero se denomirá como rk. Para el modelo MA(q)

la función de Autocorrelación se corta después del retraso q, por tanto ρk = 0 para todo

k>q. Para el Modelo AR(p) la función de Autocorrelación Parcial corta después del retraso

p. Por tanto ρkk = 0 para todo k>p. Para poder emplear el Modelo AR(p), la función de

Autocorrrelación Parcial rkk deberá estar muy cercano al cero para k>p, entonces, la

Función de Autocorrelación Parcial rkk para k>p se aproximará a una normal con Media

cero y varianza 1/N. Por la ecuación 4.1 basada en el Teorema del Límite Central se tendrá

que si ρkk =0 para todo k>p, la función de Autocorrelación Parcial rkk con k>p deberá de

estar entre los límites:

21

96.1

N

±

109

Esto sucederá con una probabilidad de 95%.

[ ]

nx

nx

n

xn

xZP

xXP

96.1

96.110

95.10

95.

±=

=±=−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

<

=<

Otro procedimiento consiste en calcular el radio de t que se obtiene de la siguiente manera:

2

11

N

rt kkrkk =

Si el radio de t estimado se encuentra fuera de los límites +1.96, entonces rkk es

significativamente diferente de cero y se concluirá que ρkk es diferente de cero. De lo

contrario no será significativamente diferente de cero y se concluirá que ρkk=0.

4.7 Estimación de los parámetros del modelo

El modelo tentativo para el medicamento Diclofenaco se eligió anteriormente, ahora será

necesario estimar los parámetros del modelo tentativo. Para el modelo ARMA se calculan

los valores residuales descritos en el capítulo 2 en la ecuación (2.5). Entonces 1ˆ −− tt zz es

igual al error aleatorio at. Ahora para poder pronosticar 1−tz depende del parámetro del

modelo. Para un AR(1) se tiene: 1−tz = µ + φ1(zt-1−µ) .

(4.1)

Se estandariza

(4.2)

110

donde: ( )

1

0

111

1

ˆ

φθµ

µφµ

−=

−−−=− −− tttt zzzz

Si se considera la Suma de Cuadrados:

( )( )2

11 1ˆ∑

=−−

N

ttt zz

Cuyo valor depende del parámetro desconocido en el modelo, θ0,φ1,...,φp,θ1,...,θq, así como

las observaciones z1,z2,...,zn. La suma de cuadrados para un AR(1) es:

( )( )2

111∑

=− −−−

N

ttt zz µφµ

Cuyo valor depende del parámetro desconocido θ0 y φ1 en el modelo. De acuerdo con el

principio de los mínimos cuadrados, se estiman los parámetros desconocidos

θ0,φ1,...,φp,θ1,...,θq, para los cuales, la suma de los cuadrados es la más pequeña. La suma

de los cuadrados también dependerá de las observaciones z1,z2,...,zn. Cada uno de los

mínimos cuadrados estimados es una función de las observaciones z1,z2,...,zn. Estos

estimadores mínimos cuadrados son denotados como: qp θθφφθ ˆ,...,ˆ,ˆ,...,ˆ,ˆ110 Para el modelo

AR(1) en el cual la suma de cuadrados es mínimo se tiene la ecuación (4.6). Estos valores

mínimos son funciones de las observaciones z1,z2,...,zn y son denotados como 0̂θ y 1̂φ . En

general, no es posible encontrar una expresión para los estimadores cuadrados mínimos,

de los parámetros del Modelo ARMA(p,q) en términos de las observaciones z1,z2,...,zn.

El medicamento Diclofenaco arroja muy buenos resultados con el modelo

ARMA(1,0,0)*SARIMA(1,0,0)18 pero al momento de obtener los resultados, se puede

(4.3) (4.4) (4.5) (4.6)

111

observar que el coeficiente SAR(1) 18 no es significativo, por tanto no es necesario

incluirlo en el modelo.

Figura 4.9 Gráfica de los residuales para el medicamento Diclofenaco


Los residuos deben de manifestar las siguientes características:

• Su media debe de ser constante, se observa oscilando alrededor del eje x.

• La varianza debe de ser constante.

• No presentan correlación, por tanto, la función de autocorrelación debe ser nula,

esto es, no se manifiestan picos en la función pues se manifiestan dentro de la

banda de: T

xT

96.196.1≤≤ donde x representan los retrasos de los residuales.

A los residuales del medicamento Diclofenaco se les elaboró la prueba de normalidad en la

cual se muestra que los residuales mantienen una media y una varianza constante. El

estadístico de Anderson- Darling señala de forma matemática que los residuales tienen una

distribución normal. La gráfica 4.10 manifiesta lo anterior. Mientras que en la gráfica 4.11

112

y 4.12 se observan las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de los

residuos, donde todos los valores permanecieron dentro de los parámetros

correspondientes, esto es, los valores permanecieron dentro de los límites de confianza.

Se postulan las siguientes hipótesis:

Ho: Los residuales no tienen distribución normal

Ha: Los residuales tienen distribución normal

P-Value = .760

Valor en Tabla es .757 para un α = .05

.760>.757 por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal

Figura 4.10 Gráfica de los residuales para el medicamento Diclofenaco


Anderson-Darling Normality TestA-Squared: 0.306P-Value: 0.760

-4000 -2000 0 2000 4000

.001.01.05

.20

.50

.80

.95

.99

.999

113

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 4.11 Gráfica de la ACF medicamento Diclofenaco (residuales)


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 4.12 Gráfica de la PACF medicamento Diclofenaco (residuales)


Como se puede observar en la gráfica 4.11 y 4.12, los residuales se comportan como ruido

blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo

anterior.

114

Ho: Los errores no son ruido blanco

Ha: Los errores son ruido blanco

Se rechaza Ho si 2rkQ −< χ

∑=

=k

ll arNQ

1

2))ˆ((

Donde:

N = Número de residuales

k = Número de las autocorrelaciones ))ˆ(( arl

))ˆ(( arl = la autocorrelación del rezago l para los residuales

r = Número de parámetros en el modelo

Por tanto para el medicamento Diclofenaco se tiene:

N= 83; r = 1, k = 20

0.0))ˆ((8320

1

2 == ∑=l

l arQ 87.28219 =χ

Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.

4.8 Modelos Estimados para cada Medicamento

Diclofenaco

Modelo Tentativo: ARIMA(1,0,0)*SARIMA(1,0,0)18

AR (1) .3984 T = 285.3 > Entra en el modelo

SAR (1) 18 -.0852 T = 267.0 <− No entra en el modelo

Constante 6549.6 T = 244.30 > Entra en el modelo

115

Por tanto, el Modelo es el siguiente:

AR(1)

AR (1) .4003 T = 291.3 > Entra en el modelo


6.65493984.06016.0)1(ˆ

6.65493984.06016.0

)1()1)(1)(1(

)()()()(

1

019181111818

018018181

1800

001811

++=

+++=

++−+=

=−−−−

=∇∇

−

−−−

tt

ttt

ttttt

tt

tt

yy

ayy

ayyyy

ayBBBB

aBByBB

θϕϕϕϕ

ϕϕ

θθϕϕ

Albendazol

Modelo ARIMA(1,1,0)*SARIMA(1,1,0)12

Transformación raíz cuadrada de la serie original

AR 1 -.4221 T = 285.3 > Entra en el modelo

SAR 12 .4988 T = 271.4 >− Entra en el modelo

Constante .706 T = 223.0 < No entra en el modelo

Por tanto el Modelo es el siguiente

tt

tt

ayBBBB

aBByBB

+=−−−−

=∇∇

01212

121

1200

111211

)1()1)(1)(1(

)()()()(

θϕϕ

θθϕϕ

116

252

132

242

12132

12

122

242

122

232

112

122

112

*

26*

14*

25*

13*

14*

2*

13*

1*

25*

13*

24*

12*

13*

1*

12*

02612114121251211312114121

13111251213122412121213112

)4988.0)(4221.0()4988.0)(4221.0()4988.0)(4221.0(

)4988.0)(4221.0(4221.04221.04221.04221.0

4988.04988.04988.04988.0)1(ˆ

)4988.0)(4221.0()4988.0)(4221.0(

)4988.0)(4221.0()4988.0)(4221.0(4221.04221.04221.0

4221.04988.04988.04988.04988.0

9233.0

−−−

−−−−

−−−−−−

−−

−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−−−−

+−−

+−++−

+−−+−+=

=

++−

−+−++

−+−−+−+=

++−++−+−

−++−+−+−++=

ttt

ttttt

tttttttt

ttt

ttttt

ttttttttt

ttttttt

tttttttttt

yyy

yyyyy

yyyyyyyy

yy

ayy

yyyyy

yyyyyyyyy

ayyyyyy

yyyyyyyyyy

θϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

Dicloxacilina

AR(1)

AR 1 .4822 T = 296.4 > Entra en el modelo


yt = 0.5178 + 0.4822yt-1 + 4635.9 + at

9.46354822.05178.)1(ˆ ++= yyt

117

Bencilpenicilina Procainica

Modelo Tentativo ARMA(1,0,1)*SARIMA(1,0,1)24

Transformación logarítmica de la serie original

AR 1 -.8599 T = 289.11 > Entra en el modelo

SAR 24 .9859 T = 220.34 > Entra en el modelo

MA 1 .0770 T = 256.0 < No entra en el modelo

SMA 24 .8080 T = 260.6 > Entra en el modelo


Por tanto el Modelo es el siguiente:

ARMA(1,0,0)*SARIMA(1,0,1)24

Transformación logarítmica de la serie original

AR 1 0.8347 T = 202.13 > Entra en el modelo




tt

tt

aByBBBB

aBByBB

)1()1()1)(1)(1(

)()()()(

2424

024024241

2410

002411

θϕϕ

θθϕϕ

−=−−−−

=∇∇

118

)1(ˆ(8069.0)9856.0)(8347.0(24

8347.01

9856.023

))1(ˆ(8069.0)9856.0)(8347.0(8347.09856.0

2423*

24**

23*

2425*

1*

24*

242425*

2411*

124*

24

*

2423

24232423

***)1(ˆ

)1(ˆ

))1(ˆ(8069.0)9856.0)(8347.0(8347.09856.0ˆ

8069.0)9856.0)(8347.0(8347.09856.0

ln

−−

−−−−

−−−−−

−−−+

−−−−

−−−−

−−−−

=

=

−−−+=

−+−+=

−+−+=

=

tt

ttttt

yytttt

yyyyyt

tttttt

tttttt

tttttt

eyyyy

ey

yyyyyy

aayyyy

aayyyy

yy

θϕϕϕϕ

Amikacina



SAR 18 -.9745 T = 234.17 >− Entra en el modelo


SMA 18 -.7693 T = 261.5 >− Entra en el modelo


Por tanto, el Modelo es el siguiente:

ARMA(1,0,0)*SARIMA(1,0,1)18


SAR 18 -0.9752 T = 270.17 >− Entra en el modelo

119



tt

tt

aByBBBB

aBByBB

)1()1()1)(1)(1(

)()()()(

1818

018018181

1810

001811

θϕϕ

θθϕϕ

−=−−−−

=∇∇

6.2808))1(ˆ(7694.0)9752.0)(6060.0(6060.09752.0)1(ˆ

6.28087694.0)9752.0)(6060.0(6060.09752.0

18171817

1819118

181819181111818

+−+++−=

+++++−=

−+−+=

−−−−

−−−−

−−−−

tttttt

tttttt

tttttt

yyyyyy

aayyyy

aayyyy θϕϕϕϕ

Paracetamol

ARIMA(1,1,1)*SARIMA(1,2,1)12 Transformación logarítmica de la serie original



MA 1 .9801 T = 252.38 > Entra en el modelo


Constante .0037318 T = 253.6 >− Entra en el modelo

120

13121111212

381212612114121261141213712

2512131225131371212512113121

251131113612241212122412

12121

21212121

1211

211211

22

222

222

)1)(1()1()1)(1)(1(

)()()()(

−−−

−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

+−−+

+−+−+−−

+−+−+−+−

+−++−+−=

−−=−−−−

=∇∇

tttt

ttttttt

tttttttt

ttttttttt

tt

tt

aaaa

yyyyyyy

yyyyyyyy

yyyyyyyyy

aBByBBBB

aBByBB

θθθθ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

θθϕϕ

θθϕϕ

131

123826

142614237

25132513137

25132513

13624122412

)8525.0)(9801.0(9801.0

8525.0)5727.0)(3599.0()5727.0)(3599.0(*2

)5727.0)(3599.0(3599.0)3599.0(*23599.05727.0

)5727.0(*25727.02)5727.0)(3599.0(

)5727.0)(3599.0(*2)5727.0)(3599.0(3599.0)3599.0(*2

3599.05727.0)5727.0(*25727.02

−−

−−−

−−−−−

−−−−−−

−−−−

−−−−−−

+−

−+−+

−−+−+

−++−++

−++−

+−+−−=

tt

tttt

ttttt

tttttt

tttt

ttttttt

aa

aayy

yyyyy

yyyyyy

yyyy

yyyyyyy

121

)ˆ)(8525.0)(9801.0())1(ˆ(9801.0

))1(ˆ(8525.0)5727.0)(3599.0()5727.0)(3599.0(*2

)5727.0)(3599.0(3599.0)3599.0(*23599.05727.0

)5727.0(*25727.02)5727.0)(3599.0(

)5727.0)(3599.0(*2)5727.0)(3599.0(3599.0)3599.0(*2

3599.05727.0)5727.0(*25727.02)1(ˆ

13121

13123725

132513136

2412241236

24122412

3523112311

−−−

−−−−

−−−−−

−−−−−

−−−−

−−−−−

−+−−

−−−+

−−+−+

−++−++

−++−

+−+−−=

tttt

tttt

ttttt

tttttt

tttt

ttttttt

yyyy

yyyy

yyyyy

yyyyyy

yyyy

yyyyyyy

Cloruro de Sodio

ARIMA(1,1,0)*SARIMA(1,0,0)12

AR 1 .7427 T = 25 >− Entra en el modelo


Constante -194.8 T = 221. <− No entra en el modelo

122

131

121211

142

13113112

14121211312113121111212

001212

121

1200

011211

)3460.0)(7427.0()7427.0(

)3460.0()3460.0)(7427.0(7427.03460.0)1(ˆ

)3460.0)(7427.0()7427.0(

)3460.0()3460.0)(7427.0(7427.03460.0

)1()1)(1)(1(

)()()()(

−−

−−−

−−

−−−−−

−−−−−−−

+−

−+−−=

++−

−+−−=

++−−+−−=

+=−−−−

=∇∇

tt

tttttt

ttt

tttttt

ttttttttt

tt

tt

yy

yyyyyy

ayy

yyyyyy

ayyyyyyyy

ayBBBB

aBByBB

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

θϕϕ

θθϕϕ

Naproxeno




MA 1 .2102 T = 208.1 <− No entra en el modelo

Constante -194.8 T = 267.1 <− No entra en el modelo

Por tanto el Modelo es el siguiente:




123

24

1223111211

25

13241213112

251131241212131111212

12012121

1200

101211

5915.0

5915.04262.05915.05915.04262.0)1(ˆ

5915.0

5915.04262.05915.05915.04262.0

)1()1)(1)(1(

)()()()(

−

−−−−−

−

−−−−−−

−−−−−−−

+

−++−+−=

++

−++−+−=

++−−+−+=

=−−−−

=∇∇

t

ttttttt

tt

ttttttt

ttttttttt

tt

tt

y

yyyyyyy

ay

yyyyyyy

ayyyyyyyy

ayBBBB

aBByBB

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

θθϕϕ

Glibenclamida





SMA 12 .8438 T= 273.6 > Entra en el modelo

Constante -16.87 T = 274.0 <− No entra en el modelo

Por tanto, el modelo es el siguiente:

ARMA(1,0,0)*SARIMA(1,2,1)12


124


SMA 12 0.8472 T= 293.6 > Entra en el modelo

))1(ˆ(8472.0)6828.0)(7047.0(

)6828.0)(7047.0(*2)6828.0)(7047.0(7047.0)7047.0(*2

7047.06828.0)6828.0(*26828.02)1(ˆ

8472.0)6828.0)(7047.0(

)6828.0)(7047.0(*2)6828.0)(7047.0(7047.0)7047.0(*2

7047.06828.0)6828.0(*26828.02

2

222

)1()1()1)(1)(1(

)()()()(

121136

24122412

3523112311

1237

25132513

13624122412

1212371212512113121

251131113612241212122412

1212

212012121

1211

201211

−−−

−−−−

−−−−−

−−

−−−−

−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−

−−−

+−+−

+−+−−=

−+−

+−+−

+−+−−=

−++−+

+−++−+−=

−=−−−−

=∇∇

ttt

tttt

ttttttt

ttt

tttt

ttttttt

ttttt

ttttttttt

tt

tt

yyy

yyyy

yyyyyyy

aay

yyyy

yyyyyyy

aayyy

yyyyyyyyy

aByBBBB

aBByBB

θϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

θϕϕ

θθϕϕ

Ranitidina

Modelo Tentativo ARIMA(1,1,1)*SARIMA(1,2,1)16

AR 1 .-0.0935 T = 258.0 <− No entra en el modelo


MA 1 1.0032 T = 253.346 > Entra en el modelo

125

SMA 16 0.7534 T = 204.4 > Entra en el modelo

Constante -128.987 T = 286.31 >− Entra en el modelo


ARIMA(0,1,1)*SARIMA(1,2,1)16


MA 1 0.9846 T = 288.66 > Entra en el modelo

SMA 16 0.7465 T = 209.4 > Entra en el modelo

Constante -146.48 T = 201.14 >− Entra en el modelo

17116

4932171617161

17161111616

491632161716171616161

16161

2161616

1611

211610

)7465.0)(9846.0(9846.07465.0

)5090.0(*2)5090.0(*2225090.05090.0

2222

)1)(1()1()1)(1(

)()()()(

−−−

−−−−−−−

−−−

−−−−−−−

+−−+

++−++−=

+−−+

−−−+−+=

−−=−−−

=∇∇

tttt

tttttttt

tttt

tttttttt

tt

tt

aaaa

yyyyyyyy

aaaa

yyyyyyyy

aBByBBB

aBByBB

θθθθ

ϕϕϕϕ

θθϕ

θθϕϕ

))1(ˆ)(7465.0)(9846.0())1(ˆ(9846.0))1(ˆ(7465.0

)5090.0(*2)5090.0(*2225090.05090.0)1(ˆ

171611615

483116151615

−−−−−

−−−−−−

−+−−−−

++−++−=

tttttt

tttttttt

yyyyyy

yyyyyyyy

126

Captopril

ARMA(1,0,1)*SARIMA(1,1,1)18



MA 1 .5337 T = 237.2 > Entra en el modelo


Constante 244.15 T = 265.12 >− Entra en el modelo

15.244))1(ˆ)(7546.0)(5337.0(

))1(ˆ(5337.0))1(ˆ(7546.0)8078.0)(5759.0(

8078.0)5759.0()8078.0)(5759.0(8078.05759.0)1(ˆ

15.244)7546.0)(5337.0(5337.07546.0)8078.0)(5759.0(

8078.0)5759.0()8078.0)(5759.0(8078.05759.0

)1)(1()1)(1)(1(

)()()()(

1918

1181736

1835171817

1911837

19361819118

19181111818

3718119136181819181111818

18181

1818181

1811

101811

+−+

−−−−−

−++++−=

++−−+−

−++++−=

+−−+

+−−+−+=

−−=−−−

=∇∇

−−

−−−−

−−−−−

−−−−

−−−−−−

−−−

−−−−−−−

tt

ttttt

ttttttt

ttttt

ttttttt

tttt

tttttttt

tt

tt

yy

yyyyy

yyyyyyy

aaaay

yyyyyyy

aaaa

yyyyyyyy

aBByBBB

aBByBB

θθθθ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

θθϕϕ

θθϕϕ

127

Glucosa


AR 1 .2808 T = 226.0 <− No entra en el modelo


MA 1 -.4085 T = 240.0 < No entra en el modelo


Constante 382.5 T = 231.1 < No entra en el modelo


ARMA(0,0,0)*SARIMA(1,2,1)18



))1(ˆ(7205.09607.0)9607.0(*29607.02ˆ

7205.09607.0)9607.0(*29607.02

22

)1()1()1)(1(

)()()()(

18175335173517

185436183618

18185418361818183618

1818

21801818

1810

201810

−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−+−−=

−+−+−−=

−++−+−=

−=−−−

=∇∇

tttttttt

tttttttt

tttttttt

tt

tt

yyyyyyyy

aayyyyyy

aayyyyyy

aByBBB

aBByBB

θϕϕϕ

θϕ

θθϕϕ

128

Caseinato de Calcio



SAR 12 .0978 T = 277.0 < No entra en el modelo


Por tanto, el modelo sugerido es el siguiente:

AR(1)



tt

ttt

ttt

tt

tt

yy

ayy

ayy

ayBBB

aBByBB

4186.5814.0)1(ˆ

4186.05814.0

)1()1)(1(

)()()()(

1

011

01201

1200

001201

+=

++=

++=

=−−−

=∇∇

−

− θϕ

ϕ

θθϕϕ

Paracetamol (supositorios)

ARMA(0,0,0)*SARIMA(0,0,1)12


129


Cinarizina

ARMA(0,0,0)*SARIMA(0,0,1)15

SMA 15 .1736 T = 241.1 < No entra en el modelo


))1(ˆ(1736.)1(ˆ

101.4321736.0

)1()1()1(

)()()()(

1514

15

1515

1515

0150

1510

001500

−−

−

−

−−=

++=

+=

−=−−

=∇∇

ttt

ttt

ttt

tt

tt

yyy

aay

aay

aByBB

aBByBB

ϕ

θ

θθϕϕ

))1(ˆ()1(ˆ

73.7738429.0

)1()1()1(

)()()()(

121112

12

1212

1212

0120

1210

001200

−−

−

−

−−=

++−=

+=

−=−−

=∇∇

ttt

ttt

ttt

tt

tt

yyy

aay

aay

aByBB

aBByBB

θ

ϕ

θ

θθϕϕ

130

Tabla 4.4 Estadístico Q para los medicamentos

Parámetro Medicamento Modelo N k r Q Conclusión

Albendazol ARIMA(1,1,0)*SARIMA(1,1,0)12 70 17 2 Q=.7 X2

15=25 Rechazo

Ho

Dicloxacilina AR(1) 83 20 1 Q=1.195 X2

19=28 Rechazo

Ho Bencilpenicilina

Procainica ARMA(1,0,0)*SARIMA(1,0,1)24 83 20 1 Q=3.169 X2

19=28 Rechazo

Ho

Amikacina ARMA(1,0,0)*SARIMA(1,0,1)18 83 20 3 Q=1.004 X2

17=26 Rechazo

Ho

Diclofenaco AR(1) 83 20 1 Q=0.0 X2

19=28 Rechazo

Ho

Paracetamol ARIMA(1,1,1)*SARIMA(1,2,1)12 58 14 4 Q=7.94 X2

10=18.3 Rechazo

Ho Cloruro de Sodio ARIMA(1,1,0)*SARIMA(1,0,0)12 82 20 2 Q=.1056

X215=28

Rechazo Ho

Naproxeno ARMA(1,0,0)*SARIMA(1,1,0)12 71 17 2 Q=5.9 X2

15=25 Rechazo

Ho

Glibenclamida ARMA(1,0,0)*SARIMA(1,2,1)12 59 14 3 Q=1.51 X2

15=19. Rechazo

Ho

Captopril ARMA(1,0,1)*SARIMA(1,1,1)18 64 16 4 Q=.0576 X2

12=21 Rechazo

Ho

Glucosa ARMA(0,0,0)*SARIMA(1,2,1)18 47 11 2 Q=2.70 X2

9=16 Rechazo

Ho

Ranitidina ARIMA(0,1,1)*SARIMA(1,2,1)16 50 12 3 Q=.02 X2

9=16 Rechazo

Ho Caseinato de

Calcio AR(1) 83 20 1 Q=6.507 X2

19=28 Rechazo

Ho Paracetamol

(supositorios) ARMA(0,0,0)*SARIMA(0,0,1)12 83 20 3 Q=13.95 X2

17=26 Rechazo

Ho

Cinarizina ARMA(0,0,0)*SARIMA(0,0,1)15 83 20 1 Q=3.32 X2

19=28 Rechazo

Ho


capitulo 4 desarrollo de la...

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