4. Metodos de un paso. Metodos de RungeKutta

Eduardo Sainz de la Maza

17 de febrero de 2011

Indice general

4. Metodos de un paso. Metodos de Runge-Kutta. 2

4.1. Metodos de un paso explcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.2. Metodos de un paso implcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.3. Metodos de Runge-Kutta explcitos . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4. Estimacion del error de los metodos de R-K explcitos . . . . . 11

4.4.1. Estimacion por extrapolacion . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4.2. Metodos de Runge-Kutta Fehlberg . . . . . . . . . . . 11

4.4.3. Metodos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.5. Estabilidad Absoluta de los metodos de R-K explcitos . . . . 14

4.6. Metodos de Runge-Kutta implcitos . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

Captulo 4

Metodos de un paso. Metodosde Runge-Kutta.

4.1. Metodos de un paso explcitos

Dado el problema de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias{y(x) = f(x, y(x))y(a) =

(4.1)

Un metodo de un paso es una ecuacion en diferencias finitas de orden 1, esdecir en la que solo aparecen 2 yn consecutivos relacionados. La estructurageneral de un metodo de un paso es{

yn+1 = yn + h(xn, yn;h)y0 = h

(4.2)

La funcion se llama funcion incremento del metodo, que supondremos con-tinua en el dominio D = [a, b] R [0, h0].Definicion 4.1.1 (E.L.T.). Se define el error local de truncatura del metodo4.2 en el punto xn+1 por

dn+1 = y(xn+1) y(xn) h(xn, y(xn);h) (4.3)

Como su propio nombre indica es el error cometido en un paso es decir, elerror global cuando se supone que no hay errores previos, es decir cuando sehace la hipotesis de que yn = y(xn).

2

Definicion 4.1.2 (E.G.T.). Se define el error global de truncatura del metodo4.2 en el punto xn por

en = y(xn) yn (4.4)Definicion 4.1.3 (Consistencia). Se dice que el metodo 4.2 es consistentepara el problema de valores iniciales 4.1 si

maxn=0,...,N1

dn+1h = o(1) lmh0

(max

n=0,...,N1

dn+1h) = 0 (4.5)

Definicion 4.1.4 (Cero-estabilidad). Dadas {yn} y {zn} obtenidas por{yn+1 = yn + h(xn, yn;h)y0 R (4.6)

{zn+1 = zn + h [(xn, zn;h) + n]z0 R (4.7)

diremos que el metodo 4.2 es cero-estable si existen constantes M1 y M2independientes de h tal que

maxn=0,...,N

|yn zn| M1|y0 z0|+M2 maxn=0,...,N1

|n| (4.8)

Definicion 4.1.5 (Convergencia). El metodo de un paso 4.2 es convergentepara el problema de valores iniciales 4.1 si cuando lm

h0h = se verifica que

maxn=0,...,N

|en| = o(1) lmh0

maxn=0,...,N

|en| = 0 (4.9)

Teorema 4.1.1 (Teorema de equivalencia). Si un metodo es consistente ycero-estable entonces es convergente

Teorema 4.1.2 (Condicion necesaria y suficiente para la consistencia). Unacondicion necesaria y suficiente para la consistencia del metodo 4.2 con elproblema 4.1 es que

(x, y(x); 0) = f(x, y(x)) x [a, b] (4.10)

Corolario 4.1.1. Una condicion necesaria y suficiente para la consistenciadel metodo 4.2 con el problema 4.1 es que

(x, y; 0) = f(x, y) x [a, b], y R (4.11)

3

Teorema 4.1.3 (Condicion suficiente para la cero-estabilidad). Si es Lip-schitz en y, es decir si

|(x, y;h) (x, y;h)| M |y y| (x, y;h), (x, y;h) D (4.12)

entonces el metodo de un paso es cero-estable.

Teorema 4.1.4. Si es Lipschitz en y entonces consistente convergente.Definicion 4.1.6 (Orden). Un metodo de un paso se dice que es de orden p N si dn+1 = O(hp+1), para todo problema de valores iniciales 4.1, supuestoque f(x, y) es suficientemente diferenciable.

Observese que si un metodo es de orden p entonces su error global en = O(hp).

Teorema 4.1.5 (Caracterizacion del orden). Si ,

h, . . . ,

p

hpson contin-

uas en D y si f(x, y) es suficientemente diferenciable en [a, b]R. Entoncesuna condicion necesaria y suficiente para que el metodo 4.2 sea de orden pes que

k(x, y; 0)

hk=

1

k + 1f (k)(x, y), k = 0, 1, . . . , p 1. (4.13)

Nota: Denotamos por f (k) la diferencial de f de orden k, es decir, f (k) = dkfdxk

.

Observamos tambien que dfdx

= fx

+ f fy fx + f fy.

Ejemplo 4.1 (Metodo de Taylor de orden p). Es el que tiene por funcionincremento

(x, y;h) = f(x, y) +h

2f (1)(x, y) + + h

p1

p!f (p1)(x, y)

Si f Cp entonces C(D). Ademas (x, y, 0) = f(x, y) y por tanto elmetodo sera consistente. Si ademas

| f (j)(x, y) f (j)(x, y) | L(j) | y y | x [a, b], y, y R

entonces

|(x, y;h) (x, y;h)| (

p1j=0

L(j)hj0(j + 1)!

)|y y| x [a, b], y, y R

luego el metodo de Taylor es estable y por consiguiente convergente. Resultainmediato comprobar que este metodo tiene orden p.

4

4.2. Metodos de un paso implcitos

Consideramos ahora metodos de la forma{yn+1 = yn + h(xn, xn+1, yn, yn+1;h)y0 = h

(4.14)

donde la funcion o funcion incremento del metodo sea continua en el do-minio D = [a, b] [a, b] R R [0, h0]. Ahora tenemos una ecuacion nolineal en yn+1 que habra que resolver en cada paso.

Teorema 4.2.1. Si verifica una condicion de Lipschitz en la variable v,es decir si

| (r, s, u, v;h) (r, s, u, v;h) | L | v v |en D, h suficientemente pequeno, entonces fijado y0 existe {y0, y1, . . . , yN}que es solucion del problema 4.14.

Demostracion. sea g(z) = yn+h(xn, xn+1, yn, z;h), entonces |g(z)g(z)| hL|z z| . Tomando h suficientemente pequeno para que hL < 1 se tieneque g(z) es contractiva, por lo que tendra un punto fijo que es la solucionbuscada.

Desde el punto de vista practico el valor de yn+1 lo obtenemos con la iteracionde punto fijo dada por{

y(0)n+1

y(t+1)n+1 = yn + h(xn, xn+1, yn, y

(t)n+1;h)

(4.15)

y segun el teorema del punto fijo lmt

y(t)n+1 = yn+1

Las definiciones de error local de truncatura, error global, consistencia, cero-estabilidad, convergencia y orden son las mismas, adecuandolas, que para losmetodos de un paso explcitos. Igualmente el teorema de equivalencia.

Teorema 4.2.2 (Condicion necesaria y suficiente para la consistencia). Elmetodo de un paso implcito 4.14 es consistente con el problema de valoresiniciales 4.1 si y solo si

(x, x, y, y; 0) = f(x, y) x [a, b], y RTeorema 4.2.3 (Condicion suficiente para la cero-estabilidad). Si verificauna condicion de Lipschitz en las variables u, v, es decir si

| (r, s, u, v;h) (r, s, u, v;h) | L (| u u | + | v v |)entonces el metodo de un paso 4.14 es cero-estable.

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Ejemplo 4.2. Un ejemplo de metodo de un paso implcito es la Regla de lostrapecios

yn+1 = yn +h

2(fn + fn+1)

En este caso

(r, s, u, v;h) =1

2(f(r, u) + f(s, v))

que es Lipschitz si lo es f(x, y),

| (r, s, u, v;h) (r, s, u, v;h) | 12L (| u u | + | v v |)

por lo tanto sera cero-estable.

(x, x, y, y; 0) =1

2(f(x, y) + f(x, y)) = f(x, y)

luego es tambien consistente y convergente.

Estudiemos su orden analizando y(xn+1)yn+1 cuando se supone yn = y(xn).En primer lugar tenemos que hacer expansiones de Taylor de la yn+1 dentrode la f(xn+1, yn+1) obteniendo

yn+1 = y(xn) +h2f(xn, y(xn)) +

h2f(xn+1, yn+1)

= y(xn) +h2y(xn) + h2f(xn + h, y(xn) +O(h))

= y(xn) + hy(xn) +O(h2).

luego

f(xn+1, yn+1) = f(xn + h, y(xn) + hy(xn) +O(h2))

= y(xn) + h(fx(xn, y(xn)) + hy(xn)fy(xn, y(xn)) + 12O(h2)

= y(xn) + hy(xn) + 12O(h2).

por tanto

dn+1 = y(xn+1) y(xn) h2f(xn, y(xn)) h2f(xn+1, yn+1)= y(xn+1) y(xn) h2f(xn, y(xn)) h2 (y(xn) + hy(xn) + 12O(h2))= hy(xn) + h

2

2y(xn) + h

3

3!y(xn) + h2y(xn)

h2y(xn) h22 y(xn) 14O(h3) + = O(h3)

por tanto el orden es p = 2.

6

4.3. Metodos de Runge-Kutta explcitos

Los metodos de Runge-Kutta pueden considerarse como la clase mas im-portante de metodos de un paso para aproximar ecuaciones y sistemas deecuaciones diferenciales ordinarias. La estructura general de un metodo deRunge-Kutta explcito de R tapas viene dada por

yn+1 = yn + h(xn, yn;h)

(x, y;h) =Rr=1

crkr

k1 = f(x, y)

kr = f

(x+ har, y + h

r1s=1

brsks

), r = 2, 3, . . . , R

ar =r1s=1

brs, r = 2, 3, . . . , R

(4.16)

Un metodo de R-K de R etapas emplea R evaluaciones de la funcion f(x, y)que pueden considerarse como aproximaciones de la derivada y(x) en diversospuntos y en este sentido, podemos interpretar (x, y;h) como una media de

dichas aproximaciones. Por ello, por consistencia, se exije queRr=1

cr = 1. La

eleccion de las constantes cr, ar y brs daran lugar a distintos metodos deRunge-Kutta con diferentes propiedades. Ademas en los metodos explcitoscada kr solo depende de ks previamente calculados. Nuestra primera tareava a ser la obtencion de algunos de estos metodos.

Para simplificar la notacion denotaremos con subndices las derivadas par-ciales

f = f(x, y), fx =f(x, y)

x, fxx =

2f(x, y)

x2, fxy =

2f(x, y)

xy, etc.

Denotaremos tambien con

F = fx + ffy, G = fxx + 2ffxy + f2fyy. (4.17)

Con esta notacion la funcion incremento T del metodo de Taylor podemosexpresarla

T (x, y;h) = f +1

2hF +

1

6h2(Ffy +G) +O(h

3).

Vamos a analizar con detalle los metodos de hasta R = 3 etapas. Se tieneque los k1, k2 y k3 tienen la forma

k1 = f(x, y) = fk2 = f(x+ ha2, y + ha2k1)k3 = f(x+ ha3, y + h(a3 b32)k1 + hb32k2).

(4.18)

7

Expandiendo k2 en serie de Taylor en el punto (x, y) se obtiene

k2 = f + ha2(fx + k1fy) +1

2h2a22(fxx + 2k1fxy + k

21fyy) +O(h

3).

Sustituyendo k1 y usando 4.17 se tiene

k2 = f + ha2F +1

2h2a22G+O(h

3).

Analogamente para k3 tenemos

k3 = f + h {a3fx + [(a3 b32)k1 + b32k2] fy}+ 1

2h2 {a23fxx + 2a3 [(a3 b32)k1 + b32k2] fxy

+ [(a3 b32)k1 + b32k2]2 fyy}

+O(h3).(4.19)

Sustituyendo de nuevo k1 y k2 y usando 4.17 se tiene

k3 = f + ha3F + h2(a2b32Ffy +

1

2a23G) +O(h

3).

Esto nos permite escribir la funcion incremento del Runge-Kutta de 3 etapaspor

(x, y;h) = (c1 + c2 + c3)f + h(c2a2 + c3a3)F+ 1

2h2 [2c3a2b32Ffy + (c2a

22 + c3a

23)G] +O(h

3).(4.20)

Para tener metodos de R = 1 etapas, c2 = c3 = 0 quedando

(x, y;h) = c1f +O(h3).

Comparando con la funcion T , como ademas debe ser c1 = 1 se obtiene quesolo existe un metodo de R-K explicito de una etapa que es el metodo deEuler y que tiene orden uno.

Para R = 2 etapas, c3 = 0 y nos queda la funcion incremento

(x, y;h) = (c1 + c2)f + hc2a2F +1

2h2c2a

22G+O(h

3).

Comparando con la funcion T , se deben cumplir las ecuaciones

c1 + c2 = 1, c2a2 =1

2.

Que es un conjunto de 2 ecuaciones con 3 incognitas, por lo que existe unafamilia uniparametica de metodos de 2 etapas y orden 2 y que no puedeexistir ninguno de orden 3. Los dos casos mas conocidos son

8

El metodo de Euler modificado, que corresponde a tomar c1 = 0, c2 = 1 ya2 =

12

yn+1 = yn + hf

(xn +

1

2h, yn +

1

2hf(xn, yn)

).

El metodo de Euler mejorado, que corresponde a tomar c1 =12, c2 =

12

ya2 = 1

yn+1 = yn +1

2h [f(xn, yn) + f (xn + h, yn + hf(xn, yn))] .

Para R = 3 etapas comparando los terminos hasta h2 de 4.20 con la T sedeben cumplir las siguientes ecuaciones

c1 + c2 + c3 = 1

c2a2 + c3a3 =1

2

c2a22 + c3a

23 =

1

3(4.21)

c3a2b32 =1

6.

Son un sistemas de 4 ecuaciones con 6 incognitas, por lo que existe una familiabi-parametrica de soluciones o metodos explcitos de tres etapas y orden 3.No existe ninguno de orden cuatro. Dos ejemplos bien conocidos son

La formula de Heun de tercer orden que corresponde a tomar c1 =14, c2 = 0,

c3 =34; a2 =

13, a3 =

23, b32 =

23

yn+1 = yn +h

4(k1 + 3k3)

k1 = f(xn, yn)

k2 = f(xn +1

3h, yn +

1

3hk1)

k3 = f(xn +2

3h, yn +

2

3hk2).

La formula de Kutta de tercer orden que corresponde a tomar c1 =16, c2 =

23,

c3 =16; a2 =

12, a3 = 1, b32 = 2

yn+1 = yn +h

6(k1 + 4k2 + k3)

k1 = f(xn, yn)

k2 = f(xn +1

2h, yn +

1

2hk1)

k3 = f(xn + h, yn hk1 + 2hk2).

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La obtencion de metodos de R = 4 etapas es mas tediosa pues aparecen ochoecuaciones en diez incognitas por lo que no hacemos el desarrollo y solamenteponemos como ejemplo el conocido como metodo de Runge-Kutta de cuartoorden que puede considerarse como el mas popular de todos los metodos deRunge-Kutta

yn+1 = yn +h

8(k1 + 3k2 + 3k3 + k4)

k1 = f(xn, yn)

k2 = f(xn +1

3h, yn +

1

3hk1)

k3 = f(xn +2

3h, yn 1

3hk1 + hk2)

k4 = f(xn + h, yn hk2 + hk3).Podra parecer que el orden coincide con el numero de etapas en los metodosde R-K explcitos, pero esto no es as. Si denotamos por p(R) el maximoorden alcanzable por un metodo explicito de R etapas se tiene que p(R) = Rpara R = 1, 2, 3, 4, pero p(5) = 4, P (6) = 5, p(7) = 6, p(8) = 6 y p(R) R 2, R = 9, 10, . . ..Definicion 4.3.1 (Error local de truncatura). Se define el error local detruncatura en xn+1 del metodo 4.16 y se denota por dn+1 o Tn+1 a

Tn+1 = y(xn+1) y(xn) h(xn, y(xn);h) (4.22)donde y(x) es la solucion teorica del problema de valores iniciales 4.1.

Observamos que en este caso el Tn+1 coincide con el error global en+1 =y(xn+1) yn+1 cuando de hace la hipotesis que no de han cometido erroresprevios, por eso indica el error cometido en un paso.

Si suponemos que y(x) es suficientemente regular y si el metodo tiene ordenp entonces podemos escribir

Tn+1 = Cp+1hp+1y(p+1)(xn) +O(h

p+2),

donde la constante Cp+1 se llama constante de error y los terminos en hp+1

forman la parte principal del ELT. Muchas veces se expresa a traves de unafuncion llamada funcion error principal

Tn+1 = (xn, y(xn))hp+1 +O(hp+2).

Como los metodos de Runge-Kutta son un caso particular de metodos de unpaso, todo lo visto para metodos de un paso es aplicable. Nos centraremosen aspectos especficos de estos metodos.

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4.4. Estimacion del error de los metodos de

R-K explcitos

Un elemento importante al utilizar los metodos numericos es poder estimar elerror, para saber si conviene modificar el metodo o el paso que se esta utilizan-do durante la computacion. Vamos a ver tres formas diferentes de estimar elerror local de truncatura de estos metodos.

4.4.1. Estimacion por extrapolacion

La primera esta basada en la extrapolacion al lmite de Richardson. Bajo lahipotesis de que no se han cometido errores previos, es decir, si yn = y(xn)entonces

y(xn+1) yn+1 = Tn+1 = (xn, y(xn))hp+1 +O(hp+2)

donde p es el orden del metodo de R-K. Supongamos que yn+1 es una segundaaproximacion de y(xn+1) obtenida aplicando el mismo metodo con paso 2ha partir de xn1. Se verifica tambien

y(xn+1) yn+1 = Tn+1 = (xn1, y(xn1))(2h)p+1 +O(hp+2)= (xn, y(xn))(2h)

p+1 +O(hp+2)

tras expandir (xn1, y(xn1)) en (xn, y(xn)) y restando ambas ecuaciones

yn+1 yn+1 = (2p+1 1)(xn, y(xn))hp+1 +O(hp+2)

por lo que podemos estimar la parte principal del error local de truncaturapor

Tn+1 (xn, y(xn))hp+1 = yn+1 yn+1

2p+1 1

4.4.2. Metodos de Runge-Kutta Fehlberg

Esta tecnica para estimar el error local de truncatura consiste en empleardos metodos de R-K de ordenes p y p+ 1

yn+1 = yn + hI(xn, yn;h) de orden p

yn+1 = yn + hII(xn, yn;h) de orden p+ 1

11

a ser posible que utilicen las mismas evaluaciones de la funcion f(x, y) esdecir que compartan las kr

I(x, y;h) =

RIr=1

crkr

II(x, y;h) =

RIIr=1

crkr

kr = f(x+ arh, y + hr1s=1

brsks)

Habitualmente RII = RI + 1. Se verifica que

T In+1 = I(xn, y(xn))hp+1 +O(hp+2)

T IIn+1 = II(xn, y(xn))hp+2 +O(hp+3).

y con las hipotesis de que no hay errores previos yn = yn = y(xn)

y(xn+1) yn+1 = I(xn, y(xn))hp+1 +O(hp+2)y(xn+1) yn+1 = II(xn, y(xn))hp+2 +O(hp+3),

luego podemos estimar la parte principal del ELT del metodo de orden pusando

yn+1 yn+1 = I(xn, y(xn))hp+1 +O(hp+2).Si queremos trabajar siempre con un tamano de paso h tal que el error enun paso sea menor que una tolerancia prefijada, despreciando los terminosde orden superior esto significa que

I(xn, y(xn))hp+1 si en el paso siguiente de xn+1 a xn+2 queremos usar un nuevo hnew de maneraque

I(xn+1, y(xn+1))hp+1new ,como

I(xn+1, y(xn+1)) = I(xn, y(xn)) +O(h),y como

I(xn, y(xn)) = yn+1 yn+1 | hp+1 | +O(h)para que en nuevo error este acotado por , debe cumplirse que

yn+1 yn+1 | hp+1 | | h

p+1new | ,

12

es decir

hnew p+1

yn+1 yn+1 h

Ejemplo 4.3. El mas conocido de estos metodos es el RKF45 de ordenes 4y 5 con 5 y 6 etapas. Damos su tableau.

ar br1 br2 br3 br4 br5 br6014

14

38

332

932

1213

19322197

72002197

72962197

1 439216

8 3680513

8454104

12 8

272 3544

256518594104

1140

cr25216

0 14082565

21974104

15

cr16135

0 665612825

2856156430

950

255

En general los coeficientes de un metodo de R-K se representan en forma deTabla llamada Matriz de Butcher o Tableau.

a1 b11 b12 b1Ra2 b21 b22 b2R...

......

. . ....

aR bR1 bR2 bRRc1 c2 cR

4.4.3. Metodos especiales

A esta clase pertenecen algunos metodos que permiten estimar directamenteel error local de truncatura, pero no se utilizan pues no sirven como meto-dos de proposito general y hay muy pocos. Tiene un cierto interes historicoy tuvieron cierta relevancia a principios de la decada de los 60. Tan solo

13

pondremos un ejemplo debido a Merson a modo de ilustracion

yn+1 = yn +h

6(k1 + 4k4 + k5)

k1 = f(xn, yn)

k2 = f(xn +1

3h, yn +

1

3hk1)

k3 = f(xn +1

3h, yn +

1

6hk1 +

1

6hk2)

k4 = f(xn +1

2h, yn +

1

8hk1 +

3

8hk3)

k5 = f(xn + h, yn +1

2hk1 3

2hk3 + 2hk4)

Este metodo tiene orten cuatro y su estimacion del erroe local viene dadapor

30Tn+1 = h(2k1 + 9k3 8k4 + k5).

4.5. Estabilidad Absoluta de los metodos de

R-K explcitos

Para estudiar la estabilidad debil o absoluta de los metodos de R-K aplicamosel metodo a la ecuacion test y = y y buscamos la region o el intervalo h = hpara los que yn+1

ynse mantiene acotado.

Para el caso de R 3 etapas de 4.18 aplicando la ecuacion test obtenemosk1 = f(x, y) = yk2 = f(x+ ha2, y + ha2k1) = y(1 + a2h)k3 = f(x+ ha3, y + h(a3 b32)k1 + hb32k2) =

= y(1 + a3h+ a2b32h22)

por tanto

(x, y;h) = c1k1 + c2k2 + c3k3

= y[(c1 + c2 + c3) + (c2a2 + c3a3)h+ c3a2b32h

22]

luego

yn+1 = yn + h[(c1 + c2 + c3) + (c2a2 + c3a3)h+ c3a2b32h

22]yn

yn+1yn

= 1 + (c1 + c2 + c3)h+ (c2a2 + c3a3)h2 + c3a2b32h

3.

14

Esto es una ecuacion en diferencias finitas de orden uno cuya solucion generalde de la forma

yn = d1rn,

donde d1 es una constante arbitraria y donde

r1 = 1 + (c1 + c2 + c3)h+ (c2a2 + c3a3)h2 + c3a2b32h

3.

Podemos definir la region de estabilidad absoluta del metodo R-K como laregion del plano complejo de los h para los que |r1| < 1 y en el caso de que sea real, hablamos del intervalo de estabilidad absoluta.

Lo primero que podemos observar es que para que el metodo sea consistentec1 + c2 + c3 = 1 luego siempre

r1 = 1 + h+O(h2), (4.23)

y por tanto para h pequeno y positivo no puede haber estabilidad absoluta.

Una segunda observacion es que si el metodo tiene orden tres y tres etapasentonces

r1 = 1 + h+1

2h2 +

1

6h3 +O(h4). (4.24)

Todos los metodos de R-K de tres etapas y orden 3 tienen la misma regionde estabilidad absoluta. En particular el intervalo de estabilidad absoluta es(2.51, 0). Este resultado es cierto para 1, 2 3 y 4. Damos una tabla conestos intervalos.

Metodo r1 Intervalo

R1 1 + h (2, 0)R2 1 + h+

12h2 (2, 0)

R3 1 + h+12h2 + 1

6h3 (2.51, 0)

R4 1 + h+12h2 + 1

6h3 + 1

24h4 (2.78, 0)

El intervalo puede cambiar si no coinciden el numero de etapas y el orden.Por ejemplo si busco un metodo de tres etapas pero con orden solo dos,tendremos que

r1 = 1 + h+1

2h2 + 3h

3 +O(h4), (4.25)

y podemos elegir los coeficientes del metodo para que 3 = c3a2b32 tenga uncierto valor. Por ejemplo para 3 = 0 nos queda un intervalo (2, 0) y para3 =

112

obtendramos un intervalo (4.52, 0).

15

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Regiones de estabilidad absoluta de los Runge-Kutta explicitos.

'rk1.dat''rk2.dat''rk3.dat''rk4.dat''rk5.dat''rk6.dat'

4.6. Metodos de Runge-Kutta implcitos

En los metodos de R-K implcitos las kr dependen no solo de las ks anterioressino de todas ellas. Teniendo que resolver un sistema de ecuaciones no linealesen cada iteracion. Es decir su estructura es

yn+1 = yn + h(xn, yn;h)

(x, y;h) =Rr=1

crkr

kr = f

(x+ har, y + h

Rs=1

brsks

), r = 1, 2, . . . , R

ar =Rs=1

brs, r = 1, 2, . . . , R

(4.26)

Cuando en el sumatorio que define kr se suma hasta r se dice que el metodoes semi-mplcito y cada kr depende de s misma, teniendo que resolver Recuaciones no lineales en cada iteracion.

El proceso de obtencion se complica con respecto a los metodos explcitos.Consideraremos solo es caso de R = 2 etapas. La expansion de la funcionincremento del metodo de Taylor con los terminos en h3 es

T (x, y;h) = f +1

2hF +

1

6h2(Ffy +G) +

+1

24h3[(3fxy + 3ffyy + f

2y )F +Gfy +H

]+O(h4),

16

donde

F = fx + ffy,

G = fxx + 2ffxy + f2fyy, (4.27)

H = fxxx + 3ffxxy + 3f2fxyy + f

3fyyy.

Ahora para r = 1, 2 se tiene que

kr = f(x+ har, y + br1hk1 + br2hk2). (4.28)

Se hacen expansiones de Taylor de las kr,

kr = f + h [arfx + (br1k1 + br2k2)fy]

+1

2h2[a2rfxx + 2ar(br1k1 + br2k2)fxy + (br1k1 + br2k2)

2fyy]

+1

6h3[a3rfxxx + 3a

2r(br1k1 + br2k2)fxxy + 3ar(br1k1 + br2k2)

2fxyy

+ (br1k1 + br2k2)3fyyy

]+O(h4), r = 1, 2.

pero como son implcitas no podemos usar la tecnica usada en el caso ex-plcito, as que suponemos que esta kr se pueden expresar en potencias deh

kr = Ar + hBr + h2Cr + h

3Dr +O(h4), r = 1, 2 (4.29)

entonces sustituyendo en la anterior, sin desarrollar los terminos en h4 osuperior que los englobamos en el O(h4), tenemos

Ar + hBr + h2Cr + h

3Dr

= f + h{arfx +

[br1(A1 + hB1 + h

2C1) + br2(A2 + hB2 + h2C2)

]fy}

+1

2h2{a2rfxx + 2ar [br1(A1 + hB1) + br2(A2 + hB2)] fxy

+ [br1(A1 + hB1) + br2(A2 + hB2)]2 fyy

}=

1

6h3{a3rfxxx + 3a

2r(br1A1 + br2A2)fxxy

+ 3ar(br1A1 + br2A2)2fxyy + (br1A1 + br2A2)

3fyyy}

+O(h4),

e igualando los terminos constantes, en h, en h2, etc. en ambos lados de la

17

igualdad obtenemos que

Ar = f

Br = arF

Cr = (br1a1 + br2a2)Ffy +1

2a2rG

Dr = [br1(b11a1 + b12a2) + br2(b21a1 + b22a2)]Ff2y

+ ar(br1a1 + br2a2)F (fxy + ffyy) +1

2(br1a

21 + br2a

22)Gfy

+1

6a3rH, r = 1, 2.

Llevando esto a la expansion de las kr y usando que (x, h;h) = c1k1 + c2k2obtenemos

(x, y;h) = c1A1 + c2A2 + h(c1B1 + c2B2) + h2(c1C1 + c2C2)

+h3(c1D1 + c2D2) +O(h4),

(4.30)

comparando con la T obtenemos que el metodo de R-K implcito de R = 2etapas tendra orden uno si

c1 + c2 = 1, (4.31)

tendra orden dos si ademas

c1a1 + c2a2 =1

2, (4.32)

orden tres si ademas

c1(b11a1 + b12a2) + c2(b21a1 + b22a2) =1

6

c1a21 + c2a

22 =

1

3(4.33)

y orden cuatro si ademas de las condiciones anteriores se cumple

(c1b11 + c2b21)(b11a1 + b12a2) + (c1b12 + c2b22)(b21a1 + b22a2) =1

24

c1a1(b11a1 + b12a2) + c2a2(b21a1 + b22a2) =1

8

c1(b11a21 + b12a

22) + c2(b21a

21 + b22a

22) =

1

12(4.34)

c1a31 + c2a

32 =

1

4.

18

Junto con la relacion de la definicion 4.26

a1 = b11 + b12

a2 = b21 + b22.

Queda un sistema de ocho ecuaciones con seis incognitas que resulta teneruna unica solucion dada por

c1 = c2 =1

2, a1 =

1

2

3

6, a2 =

1

2

3

6,

b11 = b22 =1

4, b12 = a1 1

4, b21 = a2 1

4.

El metodo de Gauss tiene orden cuatro y viene dado por

yn+1 = yn +h

2(k1 + k2)

k1 = f

(xn +

(1

2+

3

6

)h, yn +

1

4hk1 +

(1

4+

3

6

)hk2

)

k2 = f

(xn +

(1

2

3

6

)h, yn +

(1

4

3

6

)hk1 +

1

4hk2

).

Un ejemplo de metodo de Runge-Kutta semi-implcito de tres etapas y ordencuatro debido a Butcher es

yn+1 = yn +h

6(k1 + 4k2 + k3)

k1 = f(xn, yn)

k2 = f

(xn +

1

2h, yn +

1

4hk1 +

1

4hk2

)k3 = f (xn + h, yn + hk2) .

El interes de los metodos implcitos radica en las propiedades de estabilidadabsoluta que son muy superiores a las de los metodos explcitos. La defini-cion de la region de estabilidad absoluta es la misma que para los metodosexplcitos, pero al aplicar el metodo a la ecuacion test y = y con h = h,en vez de obtener un polinomio en h se obtiene una funcion racional en h.As para el metodo de Hammer y Hollingsworth se obtiene la expresion

yn+1yn

= r1 =1 + 1

2h+ 1

12h2

1 12h+ 1

12h2,

que tiene a (, 0) como intervalo de estabilidad absoluta.

19