1

CAPITULO 4.- Aplicaciones de las representaciones de Fourier.

4.1 Introducción.4.2 Respuesta en frecuencia de sistemas LTI.4.3 Representaciones de señales periódicas mediante la

transformada de Fourier.4.4 Convolución y modulación con mezclas de señales de

distintas clases.4.5 Representación mediante la transformada de Fourier

para señales en tiempo discreto.4.6 Muestreo.4.7 Reconstrucción de señales en tiempo continuo a partir de sus muestras.4.8 Procesamiento en tiempo discreto de señales en tiempo

continuo.

4.6 MUESTREO. (submuestreo)* Muestreo de señales continuas

( )

πωωω

πωωωω

ωωδπωπ

ωωπ

ω

πωδπωω

δδ

δδδ

ωδ

δ

δ

δδ

δ

δ

δ

2;|)()(][

2;)(1)(

)(2*)(21)(*)(

21)(

)2(2)(;)()()()(

)()()(

)()(;)()()(

)()()()(;)(][)(

)(][)(

/ =Ω⇒==⎯⎯ →←

=−=

−==

−=⎯→←=

⇒=

⇒−=−=

−=−−=

⎯→←=⎯⎯⎯ →⎯

Ω=Ω

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∑

∑

∑

∑∑

∑

sTjDTFT

ss

ks

s

ks

s

k ss

FT

ns

ns

ssssn

FTs

muestreo

sijXeXnx

TkjX

TjX

kT

jXjPjXjX

Tk

TjPjXtptxtx

impulsosmediantemuestreotptxtx

impulsosdetrennTttpnTttxtx

nTtnTxnTttxnTtnxtx

nTxnxtx

s

2

Figure 4.22 (p. 364)The FT of a sampled signal for different sampling frequencies. (a) Spectrum of continuous-time signal. (b) Spectrum of sampled signal when ωs = 3W. (c) Spectrum of sampled signal when ωs = 2W. (d) Spectrum of sampled signal when ωs = 1.5W.

( )∑∞

−∞=

−=k

ss

kjXT

jX )(1)( ωωωδ

πωδ

↔↔↔

pvd

“aliasing” = traslape

Figure 4.23 (p. 365)The DTFTs corresponding to the FTs depicted in Fig. 4-22

(b)-(d). (a) ωs = 3W. (b) ωs = 2W. (c) ωs = 1.5W.

πωδ

↔↔↔

pvd

( )∑∞

−∞=

−=k

ss

kjXT

jX )(1)( ωωωδ

3

Ejemplo 4.9 Muestreo de una sinusoideConsidere el efecto de muestrear la señal sinoidal :Determine la FT de la señal muestreada para los siguientes intervalos :b) T=1/4 , c) T=1 , d) T=3/2.

)cos()( ttx π=

( )

( )

3/4);2);82)

)()()(

)(1)(

)()()()cos()(

πωπωππω

ωπωδωπωδπω

ωωω

πωπδπωπδωω

δ

δ

====

−−+−+=

−=

−++=⎯→←=

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

sss

s

kss

s

ks

s

FT

dcT

b

kkT

jX

kjXT

jX

jXttx

Figure 4.24(p. 367)(a) Original signal and FT. (b) FT for Ts= ¼. (c) FT for Ts = 1. (d) FT for Ts = 3/2. A cosine of frequency π/3 is shown as the dashed line.

πωδ

↔↔↔

pvd

4

4.7 Reconstrucción de señales en tiempo continuo a partir de sus muestras

4.7.1 Teorema de muestreo

Condiciones que deben cumplirse para reconstruir en forma únicauna señal en tiempo continuo partiendo de sus muestras.

Herramienta : FT

Las muestras no nos dicen nada acerca del comportamiento de laseñal entre los tiempos de muestreo.

)()(][ 21 ss nTxnTxnx ==

4.7 (cont)

)()( ωjXtx FT⎯→←

Restricciones para la señal en tiempo continuo :•transiciones suaves entre muestras –frecuencia máxima de la señal

•banda limitada•prevenir el efecto de traslape

Teorema de muestreo

Correspondencia biunívoca representaciones dominios (t) y (ω)

“Si representa una señal limitada en banda tal que

es la frecuencia de muestro, entonces x(t) está determinada únicamente por sus muestras “

ssmsm TjX /2donde,2Si.para,0)( πωωωωωω =>>=

L,2,1,0),( ±±=nnTx s

2ωm = velocidad de muestreo de Nyquist

ωs = frecuencia de Nyquist (real) Filtro antitraslape : paso baja

5

Ejemplo 4.12

πωπω

ωππ10010,1

)()/()10()( >≤

=⎯→←= jXttsentx FT

)/()10()( ttsentx ππ=Supongamos que :Determine el periodo de muestreo Ts, tal que x(t) esté unívocamenterepresentada por la señal en tiempo discreto x[n]=x(n Ts)

1.0101

202210

=<

=>

=

s

ms

m

T

Tπωπ

πω

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

4.7 (cont_2)4.7.2 Reconstrucción ideal

( )

idealbandaenitadaerpolaciónnTtsencnxtx

nTthnxnTtnxthtxthtx

jXjHjXjXjXT

tsenct

tsenTth

TjHjHth

kjXT

jXjXjX

jXtxjXtx

ss

srsrr

r

ss

s

ss

r

s

ssrr

FTr

ks

s

FTFT

limint)(2

][)(

)(][)(][*)()(*)()(

)()()(:)()(

2;2

2)(

2,02,

)(:)()(

)(1)(:)()(

)()(:)()(

∑

∑∑

∑

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=−==

=⇒•

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

>≤

=⎯→←

−=⇒•

⎯→←⎯→←

πω

δ

ωωωωω

πωπω

π

ω

ωωωω

ωω

ωωωωω

ωω

δ

δδ

δδ

δδ

Sistema no causal, no puede implementarse

6

Figure 4.35 (p. 376)Ideal reconstruction. (a) Spectrum of original signal.

(b) Spectrum of sampled signal. (c) Frequency response of reconstruction filter.

Figure 4.36 (p. 377)Ideal reconstruction in

the time domain.

7

4.7 (cont_3)4.7.3 Reconstrucción práctica – Retenedor de orden cero

restoTt

th s

,00,1

)( 0

<<=

ω

ωω

ωωω

δ

ω

δ

δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎯→←

=

=−=−=

−

∞

∞−

∞

∞−∑∑

22)()(

)()()(

)(*)()(][*)()(][)(

2/00

00

0000

s

TjFT

ss

TsenejHth

jXjHjX

txthnTtnxthnTthnxtx

s

Figure 4.39 (p. 379)Effect of the zero-order hold in the frequency

domain. (a) Spectrum of original continuous-time signal.

(b) FT of sampled signal. (c) Magnitude and phase

of Ho(jω). (d) Magnitude spectrum of signal reconstructed using zero-order hold.

8

4.7 (cont_4)

El retenedor de orden cero introduce tres formas de modificación :1. Corrimiento en fase lineal correspondiente a un retardo de Ts/2 2. La curvatura del lóbulo principal de H0(jω) distorsiona Xδ(jω)

entre –ωm y ωm3. Versiones distorsionadas y atenuadas de X(jω) aparecen en kωs

Al retener cada valor de x[n] por Ts estamos introduciendo uncorrimiento de Ts/2 en x0(t)

Las transiciones abruptas en x0(t) sugieren la presencia de componentes de alta frecuencia (3.)

Las modificaciones (1.) y (2.) se reducen incrementando ωs

Filtro antiimagen causal (de compensación)

Figure 4.40 (p. 380)Frequency response of a compensation filter used to eliminate some of the distortion introduced by the zero-order hold.

Figure 4.41 (p. 380)Block diagram of a practical reconstruction system.

9

4.8 Procesamiento en tiempo discreto de señales entiempo continuo

Sistema básico de procesamiento de señales en tiempo discreto

Métodos de FourierVentajas (poder y flexibilidad de los computadores) :1. Facilidad manipular señales2. Fácil implementación ( programa de ordenador )3. Cambios en tiempo real

Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

No periódica

(k,ω)

Continua (t)

No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo

[ ] tjk

k

ekXtx 0)( ω∑∞

−∞=

=

[ ] dtetxT

kX tjkT0

0)(1 ω−∫=

Tπω 20 =⇒x(t) periodo T

FS FT

DTFS DTFT

njk

Nnenx

NkX 0][1][ Ω−

=∑=

njk

NkekXnx 0][][ Ω

=∑=

Nπ2

0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N

( ) Ω= Ω

−

Ω∫ deeXnx njjπ

ππ21][

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][

( )ΩjeX tiene periodo 2π

∫∞

∞−= ωω

πω dejXtx tj)(

21)(

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

10

4.3 y 4.4 (res.)

)(][2)(][][ 0

1

0

0 Ω−Ω=⎯⎯ →←= ∑∑∞

−∞=

ΩΩ−

=

kkXeXekXnxk

jDTFTnjkN

kδπ

* Relación entre la FT y la FS

[ ] [ ] )(2)()( 00 ωωδπωω kkXjXekXtx

k

FTtkj

k−=⎯→←= ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

* Relación entre la DTFT y la DTFS

* Convolución de señales periódicas y no periódicas

∑∞

−∞=

−=⎯→←=k

FT kkXjkHjYthtxty )(][)(2)()(*)()( 00 ωωδωπω

)(][)(2)(][*][][ 00 Ω−Ω=⎯⎯ →←= ∑

∞

−∞=

ΩΩ kkXeHeYnhnxnyk

kjDTFT δπ

* Modulación de señales periódicas y no periódicas

)(][)()()()( 0ωωω kGkXjYtxtgtyk

FT −=⎯→←= ∑∞

−∞=

)(][)(][][][ )( 0Ω−Ω

=

Ω ∑=⎯⎯ →←= kj

Nk

jDTFT eGkXeYngnxny

Problema 4.17

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= nsennnx

58cos][ ππ

Calcular la representación DTFT de la siguiente señal periódica :

Relación entre la DTFT y la DTFS )(][2)(][][ 0

1

0

0 Ω−Ω=⎯⎯ →←= ∑∑∞

−∞=

ΩΩ−

=

kkXeXekXnxk

jDTFTnjkN

kδπ

π/8=5 2 π/80π/5=8 2 π/80

11

Problema 4.17

Problema 4.16

* Relación entre la FT y la FS [ ] [ ] )(2)()( 00 ωωδπωω kkXjXekXtx

k

FTtkj

k

−=⎯→←= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

π=1 2 π/22 π =2 2 π/2

12

Problema 4.22