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    CAPITULO 4

    OPTICA FISICA El principio de propagacin rectilnea de la luz ha sido fundamental para la descripcin de los fenmenos analizados en el captulo anterior dedicado a la ptica geometrica; gracias a ese

    principio hemos podido reemplazar las ondas luminosas con los rayos que representan las

    direcciones de propagacin de los frentes de onda y hemos podido obtener relaciones sencillas

    que dan cuenta, con buena aproximacin, del comportamiento de algunos sistemas pticos.

    Sin embargo, ya desde el siglo XVII Grimaldi haba observado que la luz tena la capacidad

    de bordear obstculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre la

    superficie de un estanque; este hecho contradeca el principio de propagacin rectilnea y reforzaba la teora acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz.

    Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en el cual la luz procedente

    de una fuente puntual se hace incidir sobre una pantalla en la cual se haya abierto una ranura. Mientras la ranura sea bastante amplia, sobre otra pantalla paralela a la primera se formar una

    franja iluminada que puede correctamente interpretarse como la proyeccin geomtrica de la

    ranura (Figura 4.1); tambin podr observarse que dicha franja iluminada vara su anchura

    segn la ranura se haga ms amplia o ms estrecha.

    Ocurre sin embargo que si la ranura se hace muy estrecha entonces la zona de iluminacin en

    la pantalla se ampla evidenciando as que, en este caso, la luz no se propaga en forma

    rectilnea; este fenmeno llamado difraccin se presenta cuando una onda (cualquiera que sea su naturaleza) se encuentra con obstculos cuyas dimensiones son comparables con la longitud

    de onda.

    Fenmenos como el descrito y otros que analizaremos en este captulo solamente pueden describirse utilizando un tratamiento ondulatorio; con relacin a los fenmenos conexos con la

    luz stos conforman esa parte de la fsica que normalmente se llama ptica fsica u

    ondulatoria.

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    Queda entonces claro que el fenmeno de la difraccin establece el lmite de aplicabilidad de

    las leyes de la ptica geomtrica porque sta se basa en el principio de propagacin rectilnea

    que es el que precisamente falla cuando los obstculos y/o rendijas que se interponen al paso de la luz tienen dimensiones comparables con su longitud de onda.

    4.1 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS

    Thomas Young, en el ao 1800, realiz el primer experimento tpicamente ondulatorio al

    producir interferencia entre las ondas generadas en dos rendijas.

    El aparato experimental, representado en la Figura 4.2, consista de una fuente de luz al frente de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas S S1 2, ; la superposicin de las

    dos ondas luminosas generadas en las dos rendijas producan una serie de franjas brillantes y

    oscuras (patrn de interferencia) sobre una pantalla paralela a las dos rendijas.

    El resultado del experimento de Young puede analizarse mediante un tratamiento ondulatorio

    y teniendo en cuenta el principio de Huygens, el cual establece que: "Cualquier punto sobre el

    cual llega una perturbacin ondulatoria se vuelve fuente secundaria de ondas".

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    Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vuelve fuente secundaria de una onda luminosa y cuando esta onda llega a las rendijas S S1 2, , stas a su vez generan

    las ondas que se superponen dando lugar al patrn de interferencia sobre la pantalla.

    Si las distancias SS 1 y SS 2 son iguales, las dos ondas cuando se generan en S S1 2, ,

    estn en fase entre s de manera que, cuando se superpongan, darn lugar a una franja oscura

    o brillante dependiendo de la diferencia de fase que ellas presenten en cada punto de la pantalla; esta diferencia de fase depender, entonces, nicamente de la diferencia entre los

    recorridos de las dos ondas.

    Con relacin a la Figura 4.3, supongamos que la pantalla sobre la cual se forma el patrn de interferencia est lo suficientemente alejada de las dos rendijas para que pueda pensarse que

    las dos ondas que se superponen en el genrico punto P tengan lneas de propagacin paralelas entre s, nuestro problema consiste en determinar las condiciones de iluminacin de

    un punto P cualquiera situado a la distancia x del centro 0 de la pantalla, donde 0 es el punto de interseccin del eje del segmento S S1 2 (eje ptico del sistema) con la pantalla.

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    Si los recorridos de las dos ondas generadas en las rendijas para llegar sobre el punto P son respectivamente r r1 2, , entonces, en el punto P , las dos ondas podrn escribirse as:

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    y p a k r t

    y p a k r t

    1 1

    2 2

    = +

    = +

    sen

    sen

    (4.1)

    donde hemos supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial y la misma amplitud a ; esto ltimo es cierto si las dos rendijas S S1 2, tienen el mismo ancho.

    La perturbacin resultante en el punto P ser: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y p y p y p a k r t a k r t= + = + + +1 2 1 2sen sen

    De acuerdo con lo que hemos dicho, en el segundo captulo, acerca de la superposicin de dos

    ondas armnicas de la misma frecuencia, la perturbacin resultante es una onda armnica de la misma frecuencia de las dos ondas componentes cuya amplitud est dada por:

    A a2 2 24 2= cos (4.2)

    siendo la diferencia de fase entre las dos ondas que se superponen en el punto P , o sea: ( ) ( ) ( ) = + + = k r t k r t k r r2 1 2 1 (4.3)

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    Teniendo en cuenta que la intensidad de iluminacin es proporcional al cuadrado de la

    amplitud, obtenemos:

    ( )I P i= 4 22.cos (4.4)

    relacin que nos dice que la iluminacin en cualquier punto P de la pantalla es cuatro veces la iluminacin producida por una sola de las rendijas multiplicada por cos2 2 ; este ltimo

    trmino implica que la iluminacin de la pantalla no es uniforme sino que vara de punto a punto de acuerdo con el valor del desfase entre las dos ondas componentes. Por supuesto que en promedio la iluminacin es 2 i . La Figura 4.4 ilustra la variacin de la iluminacin

    con los valores de .

    Evidentemente habr mxima iluminacin, es decir interferencia constructiva, en los puntos en los que resulte cos2 2 1 = o sea = 2n , mientras habr mnima iluminacin (en este caso ( )I P = 0 ), o sea interferencia destructiva, en los puntos para los cuales cos2 2 0 = o sea ( ) = +2 1n , en ambos casos con n = 0 1 2, , .....

    Teniendo en cuenta la ecuacin (4.3) vemos que:

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    a) En los puntos en los cuales las dos ondas llegan con una diferencia de recorrido

    r r n2 1 = (4.5)

    n = 0 1 2, , ....

    habr interferencia constructiva.

    b) En los puntos en los cuales las dos ondas llegan con una diferencia de recorrido

    ( )r r n2 1 2 1 2 = +

    (4.6)

    n = 0 1 2, , ....

    habr interferencia destructiva.

    Las relaciones (4.5), (4.6) nos permiten entonces hacer previsiones acerca de las condiciones

    de iluminacin de cualquier punto de la pantalla cuando para cada uno de esos puntos determinemos la diferencia de recorrido entre las dos ondas componentes.

    Podemos hacer ese clculo con algunas aproximaciones; con relacin a la Figura 4.3, habiendo

    supuesto la pantalla muy alejada de las dos rendijas y por lo tanto la trayectoria de las dos ondas paralelas entre s, la diferencia de recorrido entre las dos ondas que llegan al punto P , identificado a travs de su distancia con respecto al centro 0 de la pantalla o a travs del ngulo entre el eje ptico del sistema y la direccin FP paralela a las trayectorias de las dos ondas, est dada por: r r S M d2 1 2 = = sen

    donde d es la distancia entre las rendijas S S1 2, . Dado que la distancia D entre las

    rendijas y la pantalla es muy grande, el ngulo es pequeo y por lo tanto:

    sen =tan xD

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    de manera que:

    r r d xD2 1

    = . (4.7)

    Teniendo en cuenta las relaciones (4.5), (4.6) podemos concluir, de acuerdo con nuestras

    aproximaciones, que las franjas brillantes estarn localizadas, en la pantalla, a las distancias

    del centro:

    x n Dd

    nnB = = ; , , ....0 1 2 (4.8)

    mientras las franjas oscuras estarn localizadas (con respecto a 0 ) a las distancias:

    ( )x n Dd

    nn0 2 1 20 1 2= + = ; , , .... (4.9)

    De lo anterior se deduce que en el centro 0 de la pantalla estar localizada la franja brillante central mientras las dems franjas brillantes estarn separadas entre s por la distancia

    x DdB

    = ; entre dos franjas brillantes consecutivas estarn localizadas las franjas oscuras,

    tambin separadas por la distancia x Dd0

    = .

    La Figura 4.5 ilustra estos resultados y resuelve el problema propuesto que consista en la determinacin de las condiciones de iluminacin en cualquier punto de una pantalla dispuesta paralelamente a las dos rendijas S S1 2, .

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    4.1.1 Superficies nodales y ventrales.

    Las ecuaciones (4.5), (4.6) que expresan las condiciones de interferencia constructiva o

    destructiva y que hemos utilizado para encontrar, con aproximaciones, la iluminacin en los

    diferentes puntos de una pantalla lejana, pueden ahora utilizarse para determinar las condiciones de iluminacin en cualquier punto del espacio en el cual las