Captulo IVANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA1. Introduccin

En los temas anteriores hemos analizado el comportamiento de fluidos en el mbito de esttica, en donde cualquier tipo de problema, se puede abordar y tener una solucin analtica directa. Tambin, nos hemos introducido en la dinmica de fluidos (cuando existe flujo) y lo hemos analizado a travs de las tres ecuaciones bsicas mediante el mtodo del volumen de control. En este ltimo caso, no existen soluciones directas en muchos casos de problemas que se nos pueden plantear, por ejemplo, siempre tenemos el problema de la valoracin de la altura de prdidas (hfriccion), por lo que se ha de recurrir al anlisis experimental, es decir, al trabajo de laboratorio para poder encontrar las correlaciones que nos hacen falta.

En general se aplican estas tcnicas cuando se conocen las variables que intervienen en el problema (fenmeno fsico), mientras que la relacin que existe entre ellas se desconoce.Por ejemplo:Pensemos que quiere determinar la fuerza de arrastre de una pelota lisa de dimetro D, que se mueve a una cierta velocidad u en un fluido viscoso. Otras variables involucradas son las que nos definen el fluido, es decir, la densidad y la viscosidad absoluta (r, m), por lo que podemos establecer que la fuerza de arrastre F, es una funcin desconocida de estas variables:

F = f ( D, u, r, m )

Para determinar experimentalmente la relacin se requerira un trabajo considerable, ya que slo una de las variables entre parntesis debe modificarse cada vez, lo que resulta la acumulacin de muchas grficas, el uso de diferentes pelotas con diferentes dimetros, y la utilizacin de muchos fluidos con diferentes densidades y viscosidades. Lo que implica que para un problema fsico casi pueril, una investigacin larga y costosa.

As en nuestro caso, si hacemos 10 pruebas, entre dos variables, manteniendo el resto de variables constantes, deberamos realizar, el siguiente nmero de pruebas experimentales:

En donde podemos representar en abscisas el dimetro, y en ordenadas la velocidad, representando cada curva, una determinada fuerza de arrastre, esto realizado para una densidad y una viscosidad de fluido constante, en total se han realizado 100 pruebas de laboratorio, despus realizaramos este mismo cuadro de pruebas para 10 densidades diferentes, con lo que ya tenemos 1000 pruebas, y despus realizaramos 10 series pruebas ms para encontrar la relacin con la viscosidad (viscosidad variable) con lo que obtendramos un total de 10.000 pruebas experimentales.

Para evitar esta tediosa tarea, se ha creado un procedimiento denominado anlisis dimensional.

2. Anlisis dimensional

Mediante el anlisis dimensional, el problema o fenmeno fsico, se representa por una funcin de los denominados grupos adimensionales, en vez de por las variables que intervienen. Con este procedimiento, se reduce el nmero de variables, con lo que el coste de la experimentacin disminuye.

Nosotros podemos expresar una dimensin dependiente en funcin de un conjunto seleccionado de dimensiones bsicas independientes, en nuestro caso como utilizamos el Sistema Internacional de unidades, estas dimensiones bsicas son:

L, longitudM, masaT, tiempoK, grados kelvin

As podemos expresar, por ejemplo, la velocidad dimensionalmente como:

Como una longitud entre un tiempo.Se denomina grupo adimensional, aquel cuya dimensin es 1; es decir, cuando el producto de un grupo de cantidades expresadas dimensionalmente es igual a 1.Por ejemplo:

Este grupo adimensional recibe un nombre particular, el nmero de Reynolds.La manera de relacionar estos grupos adimensionales y las variables que afectan a un fenmeno fsico en cuestin, nos viene relacionado por el teorema de Buckingham o teorema de p.

3. Teorema de P o Buckingham

3.1. Planteamiento del problema : Magnitudes fsicas que intervienen en el problema

q1 = f (q2, q3,...., qn)3.2. Seleccin de las dimensiones fundamentales:

F1, F2, F3, ., Fm

Las distintas magnitudes que intervienen en el problema pueden entonces, expresarse en la forma:

[qi] = F1ai1 F2ai2 F3,ai3 . Fmaim

Por consiguiente se puede conformar un cuadro de las magnitudes fsicas con sus dimensiones respectivas.

3.3. Seleccin de las magnitudes base

Se realiza de la siguiente forma:

Puesto que n >=m, escoger una submatrz m x m de A.

Si este determinante es distinto de cero, las magnitudes que la conforman servirn de base.Si el determinante es igual a cero, se elegir otras submatrices.Si todos los determinantes de orden m x m son igual a cero, se proceder con las submatrices (m 1 ) x m, hasta que al menos algn determinante sea diferente de cero.

Cuadro de magnitudes fsicasDel cuadro de los exponentes forma una matriz:A =

3.4. Formacin de parmetros adimensionales

Del total de las magnitudes fsicas n que intervienen en el problema se restan las m dimensiones presentes. Por tanto el nmero de grupos adimensionales que tendremos segn el teorema de pi es de:r = n m

donde las qn son variables dimensionales, existe una relacin equivalente que contiene un nmero (n - m) de parmetros adimensionales.

Pi =f(P2, P3,......,Pn-m)

donde los P son grupos adimensionales que se construyen a partir de las q. La reduccin m generalmente es igual al nmero de dimensiones fundamentales contenidas en q, pero nunca mayor que l.

Se supone que las k primeras magnitudes son independientes y han sido tomadas como base.

Ejemplo:1. Planteamiento del problemaEscribir una relacin funcional para la relacin dimensional que se investiga, asegurndose de incluir todos los parmetros dimensionales que estn presentes en el problema que se investiga.

As podemos escribir la prdida de altura por friccin (hfriccin) en una tubera recta de seccin circular, que depende de:

Donde es la rugosidad absoluta de la tubera (dimensin longitud).

2. Determinacin de las dimensiones fundamentales

MasaLongitudTiempo

Construccin del cuadro de magnitudes fsicas y sus exponentes.

Para ello cada magnitud fsica se expresa dimensionalmente:

Hoja1

MLT

r1-30

u01-1

D010

010

L010

m1-1-1

e010

Hoja2

Hoja3

3. Seleccin de las magnitudes fsicas baseConstruir una matriz del cuadro anterior:

C =

Seleccionar de la matriz anterior una sub-matriz [A] = m x m

A = = 1

Al ser diferente de cero se escoge a las tres magnitudes fsicas como base.

4. Clculo de los Parametros adimensionales

Donde se tiene 7 magnitudes fsicas n y 3 dimensiones m. Por tanto el nmero de grupos adimensionales que tendremos segn el teorema de pi es de:

r = n mr = 7 3 r = 4 grupos adimensionales.

La relacin funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes:

Ejemplo:

Suponiendo que no se conoce las leyes que rigen la cada de presin a lo largo de una tubera por la cual circula un fluido, explicar como se pueden organizar experimentos que hagan aparecer las magnitudes que intervienen. Encontrar una expresin adimensional de la forma de la ley fsica que da dicha cada.

1. Planteamiento del problema

Donde es la rugosidad absoluta de la tubera (dimensin longitud).

2. Determinacin de las dimensiones fundamentales

MasaLongitudTiempo

Construccin del cuadro de magnitudes fsicas y sus exponentes.

Para ello cada magnitud fsica se expresa dimensionalmente:

Hoja1

MLT

r1-30

u01-1

D010

DP1-1-2

m1-1-1

L010

e010

Hoja2

Hoja3

3. Seleccin de las magnitudes fsicas baseConstruir una matriz del cuadro anterior:

C =

Seleccionar de la matriz anterior una sub-matriz [A] = m x m

A = = 1

Al ser diferente de cero se escoge a las tres magnitudes fsicas como base.

4. Clculo de los Parametros adimensionales

Donde se tiene 7 magnitudes fsicas n y 3 dimensiones m. Por tanto el nmero de grupos adimensionales que tendremos segn el teorema de pi es de:

r = n mr = 7 3 r = 4 grupos adimensionales.

La relacin funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes:

Grupos adimensionales importantes en la Mecnica de Fluidos

En todos los problemas relacionados con la Mecnica de Fluidos, aparece siempre un nmero determinado de grupos adimensionales. Veamos cuales son, y por qu son estos y no otros.

As, a nivel general, sabemos que la suma de fuerzas que actan sobre un fluido, puede provocar una aceleracin del mismo:

Esta fuerza de inercia se puede expresar como:

Las fuerzas que componen la sumatoria de fuerzas, son las msicas y las superficiales, y pueden ser:

Fuerzas msicas:

Fuerzas debido a la gravedad:

Fuerzas superficiales:

Fuerzas normales o de presin:

Fuerzas tangenciales o de friccin debido a la viscosidad:

Fuerzas tangenciales debido a la tensin superficial:

Fuerzas normales debido a la compresibilidad:

Nmero de ReynoldsCociente entre las fuerzas de inercia y las de friccin producidas por la viscosidad.

Nmero de EulerLa raz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de presin.

Nmero de FroudeLa raz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de gravedad.

Nmero de MachLa raz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de elasticidad. Siendo la velocidad del sonido en el fluido en cuestin.

Nmero de WeberLa raz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las debidas a la tensin superficial.

4. Semejanzas de modelos

Muchas veces, con la experimentacin; en vez de examinar un fenmeno fsico, que ocurre en un objeto particular o en un conjunto de objetos, nos interesa estudiar un conjunto de fenmenos, sobre un objeto o conjunto de objetos. Por ejemplo, se quiere predecir el campo de presiones en un pilar de un puente que est sobre un ro. Para ello tenemos dos opciones:

Construirlo a escala 1:1, y medir directamente las presiones. Si la resistencia es adecuada dejarlo, y si no, destruirlo y volverlo a construir adecuadamente.

Construir un modelo a escala, por ejemplo 1:60, y realizar pruebas en un laboratorio de hidrulica, y extrapolar los resultados para construir un pilar adecuado.

Como es obvio primera opcin es inviable y tendremos que recurrir a la opcin.

Para ello deberemos relacionar el modelo a escala con el prototipo real, de alguna manera; para poder predecir el comportamiento de ste a partir de los resultados obtenidos experimentalmente en el modelo a escala. Por ello debemos hablar de las leyes de semejanza.

5. Criterios de semejanza

Para poder llevar adelante lo anteriormente sealado, se debe asegurar de que el modelo este sujeto a los mismos fenmenos que el prototipo, solo que a una escala menor, por lo que es necesario establecer una serie de criterios de semejanza.

Semejanza geomtricaEl modelo ha de ser geomtricamente igual que el prototipo.

Por tanto, las longitudes L, superficies A y volmenes V deben ser homlogos entre el prototipo y el modelo.

Semejanza dinmicaEl modelo ha de ser dinmicamente semejante al prototipo, es decir, que el flujo en el modelo sea,, en una proporcin conocida, exactamente la imagen del flujo en el prototipo, de manera que los flujos, o sea las lneas de corriente, han de ser semejantes. Para ello es necesario que las velocidades, aceleraciones, y fuerzas sean tambin semejantes.Cuando se cumple la semejanza geomtrica y dinmica se dice que el modelo tiene semejanza cinemtica con el prototipo.

Por lo tanto para una semejanza completa, supuesta la intervencin de todas las fuerzas sealadas anteriormente, se debera cumplir:

Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep = Rem; Wep = Wem