capítulo 3: modelos continuos. ecuaciones diferenciales ordinarias

7/24/2019 Captulo 3: MODELOS CONTINUOS. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

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Captulo 3: MODELOS CONTINUOS.

ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS

Dr. Angel Ferrandez Izquierdo

Fundamentos matematicos para el estudio del Medio Ambiente

Departamento de Matematicas

Universidad de Murcia


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Introduccion a las ecuaciones diferencialesTipos de E. D. de primer orden y c omo se resuelven

Ecuaciones diferenciales de segundo ordenE. D. lineal de 2o orden homogenea con coeficientes constantesE. D. de 2o orden no homogenea con coeficientes constantes

Primeros pasos

Una ecuacion diferencial -como su nombre indica- es unaecuacion donde estan implicadas una o mas derivadas de unafuncion y(x).Por ejemplo, y(x) +y(x) = 0.

Una funcion y=f(x) se dice que es una solucionde unaecuacion diferencial si tal ecuacion se satisface cuando yy susderivadas se sustituyen por f(x) y sus correspondientesderivadas.

Ejemplos

La ecuacion diferencial xy y = 0, tiene por soluciones lasfunciones y=x2 + 3 e y=C1x

2 +C2.

La ecuacion diferencial yy = 2(y)2 2y, tiene porsoluciones las funciones y=C e y= 1

C1tg(C1x+C2).

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Una observacion importante

Sera conveniente, como veremos inmediatamente, escribir laprimera derivada de la funcion y(x) de la forma dy

dx, que se leera

derivada de y con respecto a x.

E. D. de primer orden

Una E. D. se dice de primer orden si es de la forma F(x,

y,

y

) = 0.

Tipo 1: Variables separadas

Se dice as cuando es posible poner juntos los terminos en y ydy, por una parte, y en x y dxpor otra.

Ejemplos

(1) Resuelva la ecuacion (x+ 1) dydx

=x(y2 + 1).(2) Modelos decrecimiento de poblaciones: P(t) =kP(t).[Solucion: P(t) =P0e

kt].



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Tipo 2: Homogeneas

Ocasionalmente, una E. D. cuyas variables no se pueden separar sepodra transformar [mediante el cambio de variable u= y

x] en una

E. D. de variables separadas. Esto ocurre cuando la ecuacion sepuede escribir de la forma dy

dx =F(y

x). Una tal E. D. se llama

homogenea.

Ejemplo

Resuelva la ecuacion x2 +y2 + 2xyy = 0.


I d i l i dif i l


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Tipo 3: Lineales

Una E. D. se dice linealsi se puede escribir de la formay +P(x)y=Q(x) [*].

Como se resuelven

La idea es encontrar una funcion f de x tal que al multiplicar laecuacion [*] por f, el miembro de la izquierda llegue a ser laderivada del producto f y. Se prueba entonces que f =e

RPdx y a

f se le llama un factor integrantede la ecuacion [*]. Se tieneentonces que (f y) =f Q, cuya solucion es y= 1

f

f Qdx+C.

Ejemplos

(i) Resuelva la ecuacion y +y=ex.(ii) Resuelva la ecuacion xy 3y=x= 0.


I t d i l i dif i l


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E. D. de segundo orden

Una E. D. se dice de segundo orden si F(x, y, y, y) = 0.

Tipo 1: F(x, y, y) = 0.

Se reduce a primer orden haciendo u=y. As, u =y y la

ecuacion queda de la forma F(x,

u,

u

) = 0, que es de primer ordenen u.Para encontrar y basta calcular y=

ydx=

udx.

Tipo 2: F(y, y, y) = 0.

Hagase, como antes, u=y. Entonces y =ududy

Ejemplo

Resuelva la ecuacion y +y= 0.


Introduccion a las ecuaciones diferenciales


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E. D. lineal de 2o orden homogenea con coeficientes constantes

Es una ecuacion de la forma y +ay +by= 0.Como se resuelve? Se introduce el smbolo D= d

dx, es decir,

Df(x) =f (x) y D2f(x) =f (x). As la exuacion abterior seescribeD2 y+ aD y+ by= (D2 + aD+ b)y. Ahora se calculan las

races r1

y r2

de la ecuacion caracterstica r

2

+ar+b= 0.(i) Si son reales y distintas, entonces y=C1er1x +C2e

r2x.(ii) Si son reales e iguales, entonces y= (C1x+C2)e

r2x.(i) Si son imaginarias, r1=a+iby r2=a ib, entoncesy=eax(C1cosbx+C2senbx).

Ejemplos

(i) Resuelva la ecuacion y +y 2y= 0.(ii) Resuelva la ecuacion y + 4y + 4y= 0.(iii) Resuelva la ecuacion y + 2y + 2y= 0.

(iv) Resuelva la ecuacion y

+a2

y= 0.Dr. Angel Ferrandez Izquierdo Captulo 3: MODELOS CONTINUOS. ECUACIONES DIFERE

Introduccion a las ecuaciones diferenciales


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E. D. lineal de 2o orden no homogenea con coeficientes constantes

Es una ecuacion de la forma y

+ay

+by=f(x) [*].

Como se resuelve? Se considera la homogenea, es decir,y +ay +by=f(x). Sea yh una solucion de la homogenea.Entonces y=yh+ypes la solucion de [*], siendo ypuna solucion

particular de [*], la cual se obtiene por una simple inspeccion de laecuacion dada.

Ejemplo

Resuelva la ecuacion y

+ 2y

3y= 6.


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