capítulo 3: modelación de la máquina de inducción
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Capítulo 3: Modelación de la Máquina de Inducción.
3.1 La necesidad de nuevos modelos de la máquina de inducción.
En el capítulo 2 se presentaron a grandes rasgos, tres métodos para la determinación de modelos matemáticos de sistemas físicos. Estas técnicas son de gran utilidad para la representación del comportamiento dinámico o de régimen permanente de los convertidores electromecánicos de energía. Estas metodologías son perfectamente aplicadas al caso particular de la máquina de inducción.
La máquina de inducción es uno de los convertidores electromecánicos más ampliamente difundidos en la actualidad. Las razones fundamentales para esta enorme popularidad, residen fundamentalmente en la economía de su diseño y en su robustez constructiva. Desde que Tesla desarrolló el principio de funcionamiento de esta máquina y construyó los primeros prototipos a finales del siglo XIX [24], se han desarrollado varios modelos que representan con una precisión adecuada a las aplicaciones prácticas tanto la operación equilibrada como desequilibrada, en régimen permanente y excitada mediante fuentes de tensión sinusoidal. Durante más de medio siglo, estas herramientas fueron satisfactorias para diseñar, construir y operar estas máquinas, pero el desarrollo sostenido de los convertidores electrónicos de potencia, especialmente en las décadas de los años ochenta y noventa, hicieron necesaria la utilización de técnicas de modelación más potentes, capaces de analizar el comportamiento de la máquina de inducción en régimen transitorio, y excitada con fuentes no sinusoidales de tensión o corriente. Mas aun, muchos de los controladores electrónicos que se han adaptado recientemente a estas máquinas se fundamentan en los nuevos modelos.
Los modelos clásicos interpretan a la máquina de inducción como un transformador con un grado de libertad adicional, el movimiento o giro del rotor. Para simplificar el análisis de este convertidor, la modelación clásica considera que los fenómeno eléctricos son mucho más rápidos que los fenómenos mecánicos. Esta hipótesis desacopla los subsistemas eléctrico y mecánico, permitiendo el análisis independiente de cada uno de ellos. En la práctica este razonamiento no siempre es válido, en ocasiones los fenómenos eléctricos y mecánicos tienen constantes de tiempo similares.
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Por otra parte, la modelación clásica de la máquina de inducción se justifica en varios hechos concretos tales como que el sistema eléctrico industrial es casi siempre trifásico, prácticamente equilibrado y posee un contenido armónico de poca importancia, al menos hasta hace pocos años. Además, estas máquinas se utilizan en muchas aplicaciones, o en un régimen fijo de carga y velocidad, o en un ciclo de carga que es considerablemente más lento que las constantes de tiempo del convertidor.
El problema que plantean los desequilibrios de la red, o las máquinas monofásicas y bifásicas, pueden ser analizados aplicando la teoría general de componentes simétricas instantáneas para sistemas polifásicos [14,76]. Con estas herramientas el diseñador de máquinas o accionamientos industriales, el planificador, y el operador de una planta disponen de modelos precisos para cada uno de sus propósitos.
Al introducir la regulación de la velocidad de la máquina de inducción mediante fuentes controladas electrónicamente, comienzan algunas dificultades. Uno de los principales problemas aparece cuando se intenta obtener de estos accionamientos características dinámicas rápidas, semejantes a las que son posibles empleando máquinas de corriente continua. Los modelos clásicos pueden ser utilizados en primera aproximación, pero cuando se intenta obtener mejores características es necesario mejorar estas representaciones. Aparece entonces la necesidad de modelos más precisos, donde se reproduzcan las características transitorias y dinámicas de la máquina de inducción alimentada por fuentes de tensión o corriente no necesariamente sinusoidales. Por otra parte, el vertiginoso desarrollo de los microprocesadores, de los controladores programables y de los sistemas de adquisición de datos, hicieron posibles la supervisión, estimación y control en tiempo real de las variables internas o medibles de la máquina de inducción. Estos modelos además de incrementar la precisión, y tener la capacidad de analizar los procesos transitorios y dinámicos, deben ser sobre todo muy rápidos.
Los modelos clásicos de la máquina de inducción se obtienen normalmente de la aplicación directa de las ecuaciones de Maxwell, a una geometría simplificada [22,51,52]. Con la información espacial de la máquina, filtrada mediante ciertas hipótesis simplificativas, es posible la integración analítica de estas ecuaciones. Aplicando la ley de Ampère 2.6, en una trayectoria cerrada y la ley de Gauss para
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el campo magnético 2.8, se obtiene la fuerza magnetomotriz FMM y la intensidad de campo magnético H, cuando se desprecia la variación temporal de la densidad de campo eléctrico D, que en las máquinas de tensiones industriales es varios órdenes de magnitud inferior a las densidad de corriente J de diseño. La densidad de campo magnético B, se obtiene de la relación constitutiva 2.10, considerando que la corriente inyectada en las bobinas es la variable independiente. Con la ley de Faraday 2.5 y la ley de Gauss para el campo eléctrico 2.7, se calcula el campo eléctrico E, y su integración en la trayectoria de las bobinas de la máquina determina las fuerzas electromotrices generadas sobre los devanados del estator y del rotor de la máquina.
Las leyes de Maxwell combinadas determinan el modelo circuital clásico [49]. A este modelo se le incluyen resistencias para considerar el efecto de las pérdidas en los conductores y en el material ferromagnético. El resultado final es un circuito eléctrico equivalente, semejante al circuito equivalente del transformador, pero con una carga resistiva que depende de la velocidad del rotor y que representa la potencia disponible en el eje mecánico. El análisis del lugar geométrico que describe la corriente del estator, cuando se utiliza como parámetro la velocidad del rotor, determina el diagrama de círculo de la máquina de inducción [52]. Este diagrama de las corrientes de la máquina de inducción se utilizaba frecuentemente en el pasado cuando los métodos de cálculo numérico eran más primitivos. Aunque en la actualidad esta necesidad ha sido superada, muchos fenómenos se pueden interpretar con gran simplicidad y elegancia mediante el diagrama de círculo.
En la década de los cincuenta surge el interés por los modelos dinámicos de la máquina de inducción [1,29,54]. Muchas técnicas se habían desarrollado para el análisis transitorio de la máquina sincrónica; la estabilidad del sistema eléctrico de potencia fue el motor que impulsó este avance [16,62,63]. Los primeros intentos siguieron las mismas ideas básicas de la transformación de Park [62,63], pero pronto se observó que estos métodos no producían resultados tan satisfactorios [2,76]. La razón fundamental por la que estos métodos tienen problemas para modelar una máquina constructivamente más simple, reside en el grado de libertad adicional que poseen estos convertidores. Mientras que en la máquina sincrónica la posición del campo resultante está definida por la posición del rotor y la intensidad de la corriente del estator, en la máquina de inducción la posición del
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campo magnético resultante depende además de la velocidad mecánica del eje. Este hecho complica el análisis dinámico de estos convertidores.
El desarrollo de un modelo matemático de la máquina de inducción en coordenadas primitivas es una tarea relativamente simple [1,2,67,76]. Sin embargo, el modelo resultante en estas coordenadas depende de la posición angular del rotor. Además, esta dependencia es no lineal. Las máquinas convencionales de inducción posee un número importante de bobinas, normalmente tres en el estator y tres o más en el rotor. Por esta razón, el sistema de ecuaciones diferenciales que determina el comportamiento dinámico del convertidor, dependen de la posición angular del rotor, masiva y no-linealmente. Analizando el problema a la luz de los métodos modales [19,48,64], es posible identificar las transformaciones de coordenadas que reducen el problema a dimensiones manejables. Las componentes simétricas instantáneas cumplen un papel importante en este cometido [19,64]. Simplificando el problema, es posible adecuar las técnicas utilizadas para representar el comportamiento dinámico de la máquina sincrónica, a la modelación transitoria de la máquina de inducción. Es necesario considerar siempre la existencia de un grado de libertad adicional en este caso. Los modelos que se obtienen finalmente para el análisis dinámico y transitorio de la máquina de inducción son más simples, completos y precisos que el circuito equivalente clásico. A pesar de esto, existen aun ciertos problemas prácticos que es necesario resolver, y en esa dirección se realiza un esfuerzo importante de investigación en la actualidad.
Durante las dos últimas décadas se han venido introduciendo nuevos conceptos en el área de las máquinas eléctricas, tales como el de los vectores espaciales [53], los fasores espirales [79] o las coordenada de campo orientado [7,53,75]. Aun cuando en este trabajo no se pretende discutir la eficacia de estos conceptos en la simplificación del modelo de la máquina de inducción, si se intenta presentar una visión general que identifica estas ideas relativamente nuevas, con los desarrollos clásicos de transformación de coordenadas, que se venían utilizando varias décadas atrás [1,2,67,76].
Como resultado de esta investigación se propone un método general, fundamentado en los principios variacionales, el cálculo matricial, y el análisis de la variable compleja. Este método simplifica notablemente el procedimiento requerido por los desarrollos previos [53,68,69,79] para obtener el modelo final de
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la máquina de inducción en régimen transitorio. Los desarrollos propuestos han sido aplicados en cursos de pregrado y postgrado impartidos por el autor, y sus resultados han sido publicados recientemente [4,12]. Al simplificar el procedimiento necesario para la determinación de los nuevos modelos, se puede ampliar el alcance de este tratamiento a muchas personas que en los próximos años deberán trabajar con estas ideas.
3.2 Hipótesis simplificativas utilizadas en los diferentes modelos de la máquina de inducción.
Reproducir cualquier fenómeno físico mediante un modelo es una tarea que solamente puede ser alcanzada con cierto grado de aproximación al comportamiento real. La dinámica de los sistemas físicos depende de infinidad de detalles y condiciones, algunos más importantes que otros. Una determinada consideración o hipótesis puede ser muy importante en algunas aplicaciones del modelo y completamente despreciable en otras circunstancias. Cuando se desarrolla un modelo concreto de la máquina de inducción es necesario imponer ciertas condiciones, hipótesis, aproximaciones y restricciones que definirán el ámbito de validez de la representación obtenida [1,2,53].
En los diferentes modelos de la máquina de inducción que se desarrollan en este capítulo, se supone que el convertidor electromecánico posee una pieza fija denominada estator, solidaria a un sistema de referencia inercial, y una pieza móvil, denominada rotor.
El estator es prácticamente un cilindro hueco de material ferromagnético. El material se encuentra laminado en la dirección axial y posee ranuras en su parte interna, capaces de albergar los conductores correspondientes a las bobinas de la máquina.
El rotor es aproximadamente un cilindro de material ferromagnético. Está laminado en forma semejante al estator, y las ranuras por donde pasan las bobinas o las barras de material conductivo son helicoidales, con la finalidad de eliminar los efectos que produciría una reluctancia variable. El diámetro del rotor es ligeramente inferior al diámetro interno del estator. La diferencia entre estos dos diámetros se denomina entrehierro de la máquina y es aproximadamente constante cuando se desprecia el efecto de las ranuras estatóricas y rotóricas.
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En el rotor existe una pieza sólida, denominada eje mecánico. Se encuentra centrado con respecto al eje geométrico del cilindro rotórico. Esta pieza es el único puerto mecánico de la máquina de inducción, y a través de él se realizan todos los intercambios de par y velocidad con los sistemas externos. El eje mecánico está construido normalmente de acero y posee chavetas que transmiten el par cuando se acopla el eje con otras máquinas o accionamientos.
El rotor está prácticamente ubicado en el centro del cilindro hueco del estator y tiene la libertad de girar con una fricción prácticamente despreciable. Esto se debe a la existencia de dos o más rodamientos mecánicos que centran el cilindro del rotor en el interior de la cavidad estatórica. En la carcasa se encuentra fijo el estator de la máquina, la caja de conexiones y los rodamientos que permiten el centrado y giro del rotor.
El estator de la máquina posee varias bobinas repartidas en sus respectivas ranuras. Aun cuando pueden existir máquinas de inducción con una o dos bobinas, lo más habitual es que en el estator de la máquina se distribuya un bobinado trifásico de múltiples pares de polos. En cualquier caso el espacio interior de la máquina y de sus ranuras, se distribuye por igual entre cada una de las fases y cada uno de los polos. Las bobinas pueden conectarse interna o externamente, en diferentes combinaciones serie-paralelo para ajustar la tensión de la máquina a las tensiones nominales normalizadas, en las conexiones delta y estrella.
El rotor de la máquina de inducción puede ser de dos tipos, devanado o de jaula de ardilla. Si el rotor es devanado, la estructura y disposición de sus enrollados es semejante a los del estator. Las bobinas del rotor suelen ser diferentes a las del estator, porque el número y la forma de las ranuras del rotor no coincide normalmente con la geometría y cantidad de las ranuras del estator. Es conveniente que los números de ranuras no coincidan para evitar vibraciones mecánicas por cambios periódicos de la reluctancia. Por esta razón, las ranuras del rotor se distribuyen helicoidalmente en la periferia del cilindro. Los rotores bobinados pueden o no tener cortocircuitados sus enrollados.
Los rotores de jaula de ardilla, poseen barras de cobre o aluminio en lugar de bobinas. Las barras están cortocircuitadas por dos anillos conductores que las unen eléctricamente. Los rotores de jaula de ardilla pueden ser de barra profunda
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o de doble jaula, esto con el propósito de mejorar el rendimiento de la máquina en el punto nominal e incrementar el par de aceleración durante el proceso de arranque.
La corriente que se inyecta en cada una de las bobinas del estator produce una distribución prácticamente sinusoidal de la fuerza magnetomotriz en el entrehierro. En el entrehierro de las máquinas reales existen varias armónicas espaciales de la fuerza magnetomotriz, pero la distribución de los conductores en las ranuras, reduce considerablemente sus magnitudes. En cualquier caso, es posible incluir este efecto en los análisis de la máquina aplicando la descomposición de la distribución periódica de la fuerza magnetomotriz en series de Fourier y el principio de superposición, siempre y cuando el comportamiento del circuito magnético de la máquina sea aproximadamente lineal.
El material magnético del estator y del rotor se encuentra laminado para reducir las pérdidas por corrientes parásitas, sin embargo en este material se producen pérdidas por efecto Joule y por histéresis. Aun cuando en el desarrollo de los modelos no se consideran estos fenómenos, es posible tenerlos en cuenta posteriormente, incluyendo resistencias adicionales en los circuitos equivalentes. Algunos modelos permiten modelar la saturación del material magnético. Hasta ciertas intensidades de campo magnético, la permeabilidad relativa es prácticamente infinita, y el potencial magnético se consume casi totalmente en el entrehierro de la máquina. A medida que aumenta la intensidad de campo, el material reduce su permeabilidad relativa. Los modelos del convertidor electromecánico que se desarrollan en este capítulo consideran que existe una relación biunívoca, lineal o no, entre la intensidad del campo magnético H y la densidad del campo magnético B del material ferromagnético. La histéresis del material sólo se tiene en cuenta desde el punto de vista de las pérdidas que ocasiona.
Los modelos clásicos de régimen permanente, equilibrados o desequilibrados, y los modelos transitorios o dinámicos de la máquina de inducción necesitan utilizar un conjunto mínimo de hipótesis que simplifican razonablemente el problema, manteniendo siempre un compromiso entre la exactitud y la simplicidad. Las principales hipótesis que se utilizan para este fin son [1,2,53]:
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• La máquina de inducción se compone de dos piezas cilíndricas, una fija denominada estator y otra centrada en su interior, con un diámetro ligeramente inferior, denominada rotor.
• Se desprecian los efectos de las ranuras del estator y del rotor, con lo cual el entrehierro de la máquina es prácticamente constante.
• Las bobinas del estator son simétricas, y están repartidas uniformemente en la periferia o manto del cilindro. Normalmente la máquina posee tres fases en el estator, pero también es posible que en algunas ocasiones disponga de tan solo una o dos fases.
• La distribución espacial de la fuerza magnetomotriz producida por las corrientes inyectadas en cada una de las fases es prácticamente sinusoidal. Cuando esta hipótesis no es válida para una máquina en cuestión, se puede utilizar el principio de superposición para modelar la máquina en armónicos espaciales, considerando que el material ferromagnético no se satura en el rango de operación.
• La saturación puede ser considerada en los diferentes modelos, pero siempre se desprecia la no linealidad introducida por la histéresis. Las pérdidas ocasionadas en el núcleo magnético por el efecto Joule y por los ciclos de histéresis pueden ser consideradas, incluyendo resistencias adicionales en los circuitos equivalentes.
• El rotor de la máquina puede ser bobinado o de jaula de ardilla, pero se supone por simplicidad que el número de fases y que el número de pares de polos del rotor siempre coincide con los del estator. La coincidencia entre el número de fases del estator y rotor no es necesaria, pero simplifica los modelos. Los rotores de jaula de ardilla tienen siempre cortocircuitadas sus barras.
3.3 Modelación directa de la máquina e inducción a partir de leyes físicas [50,51,52].
Para modelar la máquina de inducción aplicando directamente las leyes físicas, es necesario comenzar con una representación geométrica del estator que
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respete las hipótesis definidas en la sección anterior. En la figura 3.1 se ilustra el esquema geométrico básico del estator.
θ = 0
A
BC
a
cb
θ
+ N i a
-N i c
+ N i b
-N i a
+N i c
-N i b
trayectoria de Ampère
eje de referencia
Fig. 3.1 Esquema simplificado del estator de una máquina de inducción trifásica
Cada una de las fases de la máquina, se encuentra repartida uniformemente en un tercio de la periferia del estator. Las fases están formadas por bobina de N vueltas. Los retornos de las bobinas están separados 180° eléctricos de las respectivas entrada. En la figura 3.1 se ha representado el primer par de polos de la máquina, o en otra palabras se ha desarrollado el estator en ángulos eléctricos. La trayectoria de Ampère seleccionada, tiene en cuenta la simetría impuesta por la ley de Gauss para el campo magnético. La fuerza magnetomotriz resultante en función de la posición angular θ, se puede obtener por superposición de las fuerzas magnetomotrices producidas por cada una de las fases. En la figura 3.2 se representa mediante un gráfico la distribución espacial de la fuerza magnetomotriz de la fase a, utilizando como referencia su propio eje magnético.
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NI
0
-NI
θ
0 60 120 180Posición angular θ
Distribución Espacial de la Fuerza Magnetomotriz - Fase a
240 300 360
Fig. 3.2 Distribución espacial de la fuerza magnetomotriz de la fase “a”
La fuerza magnetomotriz ilustrada en la figura 3.2 se puede descomponer en series de Fourier [44,64]. Debido a la simetría impar de la función, la fuerza magnetomotriz se puede expresar de la forma siguiente:
( ) 2 21
12 . 1 2, cos cos .cos3 3
e aa a
n
N i n nFMM i nn
π πθ θπ
∞
=
= −
∑ 3.1
En la figura 3.3 se representa mediante un gráfico, la distribución armónica espacial de la fuerza magnetomotriz de la fase a.
Las fuerzas magnetomotrices de las fases b y c poseen exactamente la misma distribución espacial que la de la fase a, pero la orientación tiene desfasajes de 120° y 240° respectivamente, con respecto al eje magnético de la fase a. Por esta razón se obtiene el siguiente resultado:
( ) 2 21
12 . 1 2 2, cos cos .cos3 3 3
e bb b
n
N i n nFMM i nn
π π πθ θπ
∞
=
= − −
∑ 3.2
( ) 2 21
12 . 1 2 4, cos cos .cos3 3 3
e cc c
n
N i n nFMM i nn
π π πθ θπ
∞
=
= − −
∑ 3.3
- 11 -
-0.25
0
0.25
0.5
0.75A
mpl
itud
Rel
ativ
a
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23Armónica
Distribución Armónica de la FMM - Fase "a"
25
Fig. 3.3 Distribución armónica espacial de la fuerza
magnetomotriz de la fase “a”
La fuerza magnetomotríz resultante se obtiene superponiendo las fuerzas magnetomotrices de las tres fases obtenidas en las expresiones 3.1, 3.2 y 3.3. La solución depende de los valores instantáneos de las tres corrientes que circulan por cada una de las bobinas del estator. En este punto es conveniente suponer que en las bobinas se inyecta un sistema de corrientes trifásico, balanceado, sinusoidal, de secuencia positiva y frecuencia constante. Esta hipótesis simplifica notablemente el modelo, pero también limita su aplicación al análisis en régimen permanente de la máquina de inducción. El modelo pierde validez cuando no se satisface cualquiera de las condiciones impuestas sobre las corrientes.
Para obtener el modelo clásico de la máquina de inducción, se supone que por las bobinas del estator de la máquina de inducción se inyectan un sistema trifásico y balanceado de corrientes de secuencia positiva, tal como se presenta a continuación:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
23
23
2 cos
2 cos
2 cos
a
b
c
i t I t
i t I t
i t I t
π
π
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
= +
= + −
= + −
3.4
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Al introducir este sistema de corrientes, en las expresiones 3.1, 3.2 y 3.3, aparecen tres productos de cosenos. Al descomponer los productos de cosenos en sumas y diferencias, se obtiene la siguiente expresión para la fuerza magnetomotriz resultante:
2 21
( , )
6 2 1 2 (cos cos ).[cos( ) cos( )3 3(2 1) (2 1) cos( ) cos( )
3 3(4 1) (4 1) cos( ) cos( )]
3 3
r
e
n
FMM t
N I n n n t n tn
n nn t n t
n nn t n t
θ
π π θ ω ϕ θ ω ϕπ
π πθ ω ϕ θ ω ϕ
π πθ ω ϕ θ ω ϕ
∞
=
=
= − + + + − − +
+ −+ − + + + − − − +
+ −+ − + + + − − −
∑. 3.5
Cuando el orden armónico n es par o múltiplo de tres, la fuerza magnetomotriz resultante es nula. El primer armónico espacial que aparece en la distribución de la fuerza magnetomotriz resultante es el 5º. La magnitud de esta armónica es 1/25 de la magnitud de la componente fundamental de la distribución. Para la mayoría de las aplicaciones prácticas, se puede considerar que la distribución espacial y temporal de la fuerza magnetomotriz corresponde aproximadamente a los valores de la componente fundamental -n=1-. En la figura 3.4 se presenta una comparación entre las fuerzas magnetomotrices correspondientes a la componente fundamental y a la superposición de las cincuenta primeras armónicas.
En la mayoría de los casos, el estator de las máquinas de inducción se diseña utilizando dos capas para cada bobina, desfasadas entre sí un cierto ángulo, que reduce aun más los contenido de quinta y/o séptima armónica. Esto refuerza la hipótesis que considera la existencia de una distribución prácticamente sinusoidal de la fuerza magnetomotriz en el entrehierro. Cuando se desprecia todo el contenido armónico diferente a la componente fundamental de la fuerza magnetomotriz, se obtiene la siguiente distribución espacio-temporal:
2
18 2( , ) cos( )er
N IFMM t tθ θ ω ϕπ
≈ − − 3.6
La ecuación 3.6 es la expresión matemática aproximada de la fuerza magnetomotriz rotatoria que se origina en las bobinas del estator de la máquina de inducción, cuando se alimentan sus devanados con un sistema trifásico,
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balanceado y sinusoidal, de corrientes de secuencia positiva, de frecuencia constante. Una vez determinada la fuerza magnetomotriz resultante, se aplica la ley de Ampère 2.6, a la trayectoria ilustrada en la figura 3.1. En el material ferromagnético la caída de fuerza magnetomotriz es prácticamente despreciable. Por esta razón, toda la caída de potencial magnético tiene lugar en el trayecto por el aire. La densidad del campo magnético resultante en el entrehierro es:
02
18 2( , ) cos( )
2e
rN I
B t tgµ
θ θ ω ϕπ
≈ − − , 3.7
donde: 2g es el espesor total del entrehierro de la máquina.
π2
18 2 N I
π/2 π 3π/2 2π
FMM
r(θ,
ωt=
-φ)
0
FMMr (Total)
FMMr (Fundamental)
θ
Fig. 3.4 Comparación entre las distribuciones espacio-temporales de las fuerza magnetomotrices resultantes de la componente fundamental y de la superposición
de las cincuenta primeras armónicas.
Una vez determinada la distribución espacio-temporal de la densidad de campo magnético B en el entrehierro, es posible calcular la fuerza electromotriz en cualquier bobina del estator o del rotor de la máquina, aplicando simplemente la ley de Faraday 2.5, a la trayectoria espacial descrita por dicho devanado. Para un conductor ubicado en la posición angular θ, con su retorno en la posición θ+π, se obtiene el siguiente valor para la fuerza electromotriz inducida:
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02
02
( , ) ( , ). ( ', ) '
9 2cos( ' ) '
18 2 cos( )
c r rS
e e
e e
d d de t t d t r l ddt dt dt
r l N I d t dg dt
r l N It
g
θ π
θ
θ π
θ
λθ θ θ θ
µθ ω ϕ θ
π
µ ωθ ω ϕ
π
+
+
= = = =
= − − =
= − −
∫ ∫
∫
B S B
3.8
La fuerza electromotriz sobre la fase “a” del estator se puede obtener integrando las fuerzas electromotrices sobre cada uno de los conductores distribuidos uniformemente entre las posiciones angulares −
2π3 ≤ θ ≤ − π
3 . Considerando que en un diferencial de ángulo dθ , existen
3 N eπ dθ conductores, la
fuerza electromotriz inducida sobre todos los conductores de la fase “a” del estator es:
30
223
20
3
18 2 3( ) cos( )
54 2 sen( )
e
e e ea
e e
r l N I Ne t t dg
r l N It
g
π
π
µ ωθ ω ϕ θ
π π
µ ωω ϕ
π
−
−
= − − =
= − +
∫ 3.9
Por otra parte, en la fase “a” del rotor la situación es:
( )
30
223
03
18 2 3( ) cos( )
54 2 ( ) sen ( )
m
r
m
t
e e ra
t
m e r em
r l N I Ne t t dg
r l N N It
g
π ω
π ω
µ ωθ ω ϕ θ
π π
µ ω ωω ω ϕ
π
− +
− +
= − − =
−= − − +
∫ 3.10
De las expresiones 3.9 y 3.10, se puede obtener la relación de transformación entre las amplitudes o entre los valores efectivos de las fuerzas electromotrices del estator y del rotor:
1 e
r
a e e
a r m r
E N NE N N s
ωω ω
= =−
3.11
donde: s se define como el deslizamiento de la máquina de inducción.
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Si las bobinas del rotor se encuentran en cortocircuito, la fuerza electromotriz que aparece sobre ellas, fuerza la circulación de corrientes sinusoidales de secuencia positiva en el rotor. Las corrientes originadas por la inducción de fuerza electromotriz en el rotor, producen un campo magnético rotatorio de frecuencia de deslizamiento. Como el material ferromagnético tiene una permeabilidad muy alta, la caída de fuerza magnetomotriz ocurre casi completamente en el entrehierro. Si se supone, tal como se hace en la deducción del circuito equivalente de un transformador, que la caída de fuerza magnetomotriz es despreciable, se obtiene del balance de las fuerzas magnetomotrices estatóricas y rotóricas, el siguiente resultado aproximado:
2 2
( , ) ( , ) ( , ) 0
18 2 18 2cos( ) cos( [( ) ] ) 0
g e rr r r
e e r rm m
FMM t FMM t FMM t
N I N It t
θ θ θ
θ ω ϕ θ ω ω ω γπ π
= + ≈
= − − + − − + − ≈ 3.12
De la expresión 3.12 se obtiene la relación de transformación idealizada entre las amplitudes o entre los valores efectivos de las corrientes del estator y del rotor de la máquina de inducción:
e r
r e
I NI N
≈ − 3.13
Las expresiones 3.11 y 3.12, se pueden combinar para determinar la relación de transformación existente entre las impedancias del estator y del rotor de la máquina:
2
2
1e e
r r
Z NZ N s
≈ − 3.14
Considerando que el circuito del rotor está formado por la resistencia y por la inductancia de las correspondientes barras o bobinas, se pueden representar por un circuito equivalente formado por una resistencia en serie con una inductancia. Cuando este circuito equivalente se refiere al estator mediante la relación de transformación 3.14, se obtiene el resultado siguiente:
2 2
2 2
1 1 ( ( ) ) ( )e
e r ee e rr r r m r r
r r
N N RZ Z R j L j LN s N s s
ω ω ω≈ − = − + − = − + . 3.15
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Si al modelo del rotor, referido al estator se le añade la resistencia y reactancia de dispersión del estator, una reactancia de magnetización para corregir la hipótesis 3.12, y una resistencia en paralelo con esa reactancia para reproducir las pérdidas en el hierro, se obtiene el modelo clásico de la máquina de inducción que se ilustra en la figura 3.5 [49,51,52].
R e j X e j X r
R rs Rm j X mV e
Ie Ir
Ee
Fig. 3.5 Modelo circuital clásico de la máquina de inducción en régimen permanente
Para determinar por medio de la ley de Lorenz 2.19, el par desarrollado por la máquina de inducción, se integran las fuerzas producidas por el campo magnético rotatorio del estator sobre las corrientes que circulan por los conductores del rotor:
3 3
2 203 3
03
3 . .2. { ( , ). ( ) ( , ). ( ) ( , ). ( ) }
162 . . 3 sen( ) . sen( )
r r r
e
re r a r b r c
e r e ra e
N r l B t i t d B t i t d B t i t d
N N I I r l E Ig
π ππ
π π
τ θ θ θ θ θ θπ
µ ϕ γ ϕ γπ ω
−
−
= + + =
= − = −
∫ ∫ ∫ 3.16
Se puede demostrar que la expresión 3.16, coincide con el cálculo del par eléctrico realizado utilizando el circuito equivalente clásico, si se recuerda que:
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22
22
22 2
22
. ; sen( )
3 3 . . .
er
er
a a rer
r
er
e er r
e a r a aer
r
RR sE I Xs R X
s
RR RsI X I Is sR X
s
ϕ γ
τω ω
= + − = ⇒
+
= + =
+
3.17
Si se intenta utilizar el modelo clásico de la máquina de inducción en el análisis transitorio, los resultados discrepan del comportamiento real del convertidor debido a que las corrientes que circulan por el estator no se corresponden con las hipótesis de partida. La modelación directa a partir de las leyes fundamentales del electromagnetismo ofrece una interpretación física de los principios de funcionamiento básicos de la máquina de inducción. A nivel de diseño y construcción, este enfoque es de gran utilidad porque tiene en cuenta los aspectos geométricos y constructivos de la máquina de inducción.
En esta sección se ha presentado un modelo simplificado de la distribución de los conductores en el estator y rotor. Sin embargo, distribuciones más complejas o distribuciones discretas de los devanados, se traducen solamente en variaciones de las relaciones de transformación de las tensiones, corrientes e impedancias entre el estator y el rotor de la máquina. El circuito equivalente es independiente de la distribución de los conductores en las ranuras de la máquina, pero los parámetros de este circuito si son dependientes de esta geometría.
3.4 Modelación de la máquina de inducción utilizando métodos matriciales y el principio de los trabajos virtuales [1,2,48,67,76].
La máquina de inducción convencional posee tres bobinas idénticas en el estator, espaciadas 120° eléctricos unas de otras. El rotor puede estar configurado con una geometría diferente pero siempre es posible determinar un conjunto de enrollados trifásicos que produzcan efectos equivalentes al devanado o a las barras reales. De esta forma se dispone de un total de seis bobinas, tres en el estator y tres en el rotor, estas últimas se encuentran normalmente en cortocircuito, en especial cuando el rotor es de jaula de ardilla. Las bobinas equivalentes del rotor también se encuentran separadas espacialmente 120° eléctricos entre ellas, pero el eje
- 18 -
magnético de la bobina “a” del rotor se encuentra en la posición angular θ con respecto al eje magnético de la fase “a” del estator. En la figura 3.6 se muestran esquemáticamente los puertos eléctricos y el eje mecánico de la máquina de inducción trifásica.
θ = 0
A
BC
a
cb
θ(t)
+ N e iae bobina equivalente fase "a" del estator
+ N r iar
+ N r ibr
+ N r icr
+ N e ice+ N e ibe
EstatorRotor
Eje
ωmτm
iaevae
var iar
bobina equivalente fase
"a" del rotor
Fig. 3.6 Diagrama esquemático de la máquina de inducción trifásica
Cada una de las bobinas representadas en la figura 3.6, están repartidas en el espacio de tal forma que produce fuerza magnetomotriz distribuida sinusoidalmente en el entrehierro, cuando se le inyecta una corriente. En general, las bobinas del rotor y del estator de la máquina pueden tener un número de vueltas y una distribución espacial de los devanados diferentes. Si se recorren cada una de las seis bobinas, tres en el estator y tres en el rotor, se obtienen seis ecuaciones de mallas. En cada una de estas ecuaciones aparecen dos términos igualando las tensiones externas aplicadas a las bobinas. El primero de estos términos corresponde a la caída de tensión en la resistencia propia de la bobina. El otro término es la fuerza electromotriz inducida en el circuito magnético de esa bobina. Es necesaria una ecuación adicional que defina el comportamiento dinámico del eje mecánico. El conjunto de ecuaciones que determina el modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas es el siguiente:
- 19 -
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
..
e e e
r r r r
me m fric m
dJdtωτ τ α ω
= = + = +
+ = +
ev R 0 i ev R i e
v 0 R i e 3.18
donde: v[ ] Vector formado por las tensiones aplicadas a las 6 bobinas de
la máquina. i[ ] Vector de las corrientes que circulan por las 6 bobinas.
e[ ] Vector de las fuerzas electromotrices conservativas inducidas por el acoplamiento magnético de las 6 bobinas.
R[ ] Matriz cuadrada de 6*6, con las resistencias de cada bobina en la diagonal principal y el resto de los elementos nulos.
τe Par de origen electromagnético.
τm Par de origen mecánico aplicado por la carga.
ωm Velocidad angular mecánica.
J Inercia total asociada al eje mecánico de rotación.
α fric. Coeficiente de fricción.
Suponiendo que durante la operación transitoria o permanente del convertidor, el material ferromagnético es completamente isotrópico y que no se satura, es posible encontrar una dependencia lineal entre los enlaces de flujo λ[ ] y las corrientes i[ ] de las seis bobinas de la máquina:
λ[ ]= L[ ] i[ ] =
λe[ ]λr[ ]
=Le[ ] Ler[ ]Lre[ ] Lr[ ]
i e[ ]i r[ ]
=Le[ ] Ler[ ]
Ler[ ]t Lr[ ]
i e[ ]i r[ ]
3.19
donde:
Le[ ] Inductancias debidas a los acoplamientos propios y mútuos entre las bobinas del estator.
Lr[ ] Inductancias debidas a los acoplamientos propios y mútuos entre las bobinas del rotor.
Ler[ ] Inductancias debidas a los acoplamientos mútuos entre las bobinas del estator y las bobinas del rotor.
Los devanados del sistema estatórico o rotórico, se encuentran desfasados espacialmente 120° eléctricos unos de otros. Si se excita con una corriente unitaria la bobina “b” o “c” se obtiene una fracción del flujo mútuo sobre el devanado de la fase “a” que es respectivamente cos(120°)=-1/2 y cos(240°)=-1/2. Por otra parte, el
- 20 -
flujo producido en una bobina por la corriente inyectada en el propio devanado obtiene la fracción correspondiente al cos(0°)=1. Sin embargo, es necesario añadirle el flujo de dispersión a la bobina excitadora. De esta forma es muy fácil demostrar por simple inspección de la figura 3.6, que las submatrices de inductancias propias del estator, y propias del rotor de la expresión 3.19, son:
[ ]1 1
2 2
1 12 2
1 12 2
1 12 2
1 12 2
1 12 2
1 1 0 01 0 1 0
1 0 0 1
σ
σ
σ
σ
+ − − = = − + − = − − +
− − = − − + − −
e e eaa ab ac e e e ee e e
e ba bb bc e e e ee e eca cb cc e e e e
e e
L L L L L L LL L L L L L LL L L L L L L
L L
L
3.20
[ ]1 1
2 2
1 12 2
1 12 2
1 12 2
1 12 2
1 12 2
1 1 0 01 0 1 0
1 0 0 1
r r raa ab ac r r r rr r r
r ba bb bc r e r rr r rca cb cc r r r r
r r
L L L L L L LL L L L L L LL L L L L L L
L L
σ
σ
σ
σ
+ − − = = − + − = − − +
− − = − − + − −
L
3.21
Cuando se analizan las matrices de inductancia mútuas entre el estator y el rotor, se observa que es necesario añadir el ángulo θ, al observar el flujo de acoplamiento entre unas bobinas y otras. En este caso los resultados que se obtiene son los siguientes:
Ler[ ]= Lre[ ]t =Laa
er Laber Lac
er
Lbaer Lbb
er Lbcer
Lcaer Lcb
er Lccer
= Ler
cos θ cos(θ − 2π3) cos(θ − 4π
3)cos(θ − 4π
3) cos θ cos(θ − 2π3)
cos(θ − 2π3) cos(θ − 4π
3) cos(θ − 4π3)
3.22
Para determinar el vector de fuerzas electromotrices e[ ], se deriva con respecto al tiempo el vector de los enlaces de flujo λ[ ]. Esto corresponde a la aplicación de la Ley de Faraday a un circuito acoplado magnéticamente:
- 21 -
[ ] [ ] [ ]{ [ ]} [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ][ ]
t g
ere er e e
ttr rer r
er
d d d ddt dt dt d
ddp
dd
θθ
θθ
θ
= = ⋅ = + ⋅ ⋅ = + =
= + ⋅
e L i L i L i e e
0 LL L i ii iL L L 0
λ
3.23
donde: e t[ ] se refiere a las fuerzas electromotrices de transformación, debidas a la
variación de las corrientes por las bobinas. eg[ ] son las fuerzas electromotrices de generación, debidas al corte de los
enlaces de flujo por las bobinas en movimiento. θ es la velocidad angular del rotor. p es el operador derivada temporal.
Los términos de generación se determinan calculando las derivadas parciales de la matriz de inductancias con respecto a la posición angular θ. Debido a que la máquina es de rotor liso, los únicos términos dependientes de la posición angular son las inductancias mútuas entre el estator y el rotor. Realizando estas operaciones, se obtiene el siguiente resultado:
[ ] [ ]2 4
3 3
4 23 3
2 4 43 3 3
sen sen( ) sen( )sen( ) sen sen( )sen( ) sen( ) sen( )
ter re er
d d Ld d
π π
π π
π π π
θ θ θθ θ θ
θ θθ θ θ
− − = = − − − − − −
L L 3.24
La determinación del par eléctrico instantáneo que desarrolla la máquina de inducción se obtiene aplicando el principio de los trabajos virtuales. En el capítulo 2 se demostró la ventaja de utilizar el concepto de coenergía en el campo, cuando las corrientes son las variables independientes, y los enlaces de flujo las variables dependientes. Considerando que la máquina tiene su eje mecánico en una posición angular θ completamente fija, toda la energía o coenergía entra al convertidor inyectada desde los puertos eléctricos, En estas condiciones, la coenergía en el campo se determina de la siguiente forma:
- 22 -
W c ' = ∆ W e
' = λ k (i'1 ,… , i' 6 )di'k
k= 1
6
∑ ( 0 , … , 0)
( i 1 , … ,i 6 )
∫ = L kj i ' j
j =1
6
∑ di ' k =
k =1
6
∑ (0,…, 0)
( i1 ,…,i 6 )
∫
= 1 2 L kk i k 2 + L kj i j j = k + 1
6 ∑ ik = 1
2 Lkjijj =1
6
∑ ik = k =1
6
∑ 12 i1 i2 … i6[ ] L[ ]
i 1 i 2 … i 6
= 1 2 i [ ] t L[ ] i[ ]
k = 1
6 ∑
k = 1
6 ∑
3.25
Recordando la expresión 2.38, para el cálculo de la fuerza o el par a partir de la coenergía en el campo, y reemplazando los resultados 3.24 y 3.25, en esta ecuación, se obtiene el siguiente resultado para el par eléctrico de la máquina de inducción:
τ e = − ∂ W c ' ( θ ; i [ ]
t ) ∂ θ
= − ∂ ∂ θ
(12 i[ ] t L [ ] i[ ] ) = − 12
ie[ ] ir[ ]
t
0[ ]
∂ ∂ θ
L er [ ] ∂
∂ θ L er[ ]
t 0 [ ]
i e[ ] i r[ ]
=
= − 1 2 i e [ ] t ∂ ∂ θ
L er[ ] ir[ ] + ir[ ] t ∂
∂ θ L er[ ]
t ie[ ]
= − ie[ ] t ∂
∂ θ L er [ ] i r [ ] =
= L er i a e i b e i c e [ ] senθ sen(θ − 2π
3) sen(θ − 4 π 3 ) sen(θ − 4π
3) senθ sen(θ − 2 π 3 )
sen(θ − 2π3) sen(θ − 4π
3) sen(θ − 4 π 3 )
i a r
i b r
i c r
3.26
El sistema de ecuaciones diferenciales 3.18, modela completamente el comportamiento dinámico, transitorio o de régimen permanente de la máquina de inducción. Sin embargo, cuando se determinan las fuerzas electromotrices inducidas en las bobinas, o el par eléctrico sobre el eje mecánico, se hace explícita en las ecuaciones la dependencia no lineal y funcional con la posición angular θ. Las matrices de inductancias mútuas estator-rotor, dependen de la posición angular θ, y por esta razón el par eléctrico y las fuerzas electromotrices también. Este ángulo varía continuamente durante la operación de la máquina, con la única excepción de la condición correspondiente al rotor bloqueado.
Para obtener la solución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales 3.18, es conveniente despejar las derivadas de las variables de estado en función de las propias variables de estado y de las fuentes independientes que excitan el convertidor. La matriz de inductancia [L] acopla fuertemente estos términos, y es necesaria la inversión analítica de esta matriz, cuya dimensión es 6*6. Debido a que la mitad de los elementos de la matriz de inductancias son
- 23 -
funciones trigonométricas de la posición angular θ, la inversión analítica de esta matriz es una tarea laboriosa, que culmina con resultados finales de escasa utilidad práctica.
Una alternativa para la integración numérica del modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas consiste en invertir numéricamente la matriz de inductancia [L] en cada paso de integración, una tarea no menos ardua que la inversión analítica, incluso para los computadores personales modernos. Sin embargo, esta alternativa es viable en la actualidad [39].
A pesar de lo que se pueda pensar de las discusiones anteriores, este modelo tiene algunas ventaja importantes. En primer lugar, está desarrollado a partir de variables que es posible medir físicamente en los puertos o ejes de la máquina, al menos aquellas que se encuentran asociadas a los devanados estatóricos. Por otra parte, utiliza muy poca información geométrica sobre la construcción de la máquina, esta información se encuentra condensada y agrupada en la matriz de inductancia [L] . La deducción y comprensión del modelo es muy simple cuando se utiliza este método, porque se circunscribe a formular las ecuaciones de un circuito de seis mallas acopladas magnéticamente. Finalmente, con la aplicación del principio de los trabajos virtuales, se obtiene el par electromagnético en el eje mecánico.
El modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas es muy sencillo en su deducción, pero requiere un gran esfuerzo de cálculo si se desea obtener resultados prácticos. A continuación se cita una anécdota que frecuentemente se cuenta a los estudiantes de los cursos de máquinas eléctricas que se enfrentan con problema semejantes: “...Después de que el maestro ha explicado a sus alumnos, con gran detalle y esmero, el famoso pero poco utilizado sistema de los números romanos, les pide que realicen una operación aritmética tan simple como puede ser la multiplicación o división de dos cifras representadas en este sistema numérico. Los estudiantes aventajados pronto se darán cuenta de lo difícil que puede ser este problema, porque no conocen las reglas para realizar estas operaciones - el maestro es talentoso y abnegado, pero no tanto -. Los alumnos más inteligentes pronto transformaran los números romanos en arábigos, realizarán la operación deseada con las reglas conocidas para este sistema numérico, y posteriormente algunos, en general los más trabajadores y dedicados, antitransformarán la solución obtenida a números romanos nuevamente...”. La
- 24 -
transformación de un tipo de variables a otras, puede simplificar la estructura matemática del problema, permitiendo una solución más rápida del modelo. La antitransformación algunas veces es optativa.
Las ecuaciones de la máquina de inducción en coordenadas primitivas representan su comportamiento mediante relaciones funcionales y no linealidades extremadamente complejas. Por esta razón es necesario estudiar el proceso de transformaciones de coordenadas que simplifica el problema. Estas simplificaciones permiten incrementar la comprensión del problema y acelerar la rapidez en la determinación de las soluciones. Estas dos ventajas hacen posible el empleo de los modelos transformados en una gran variedad de aplicaciones que requieren el uso de cálculo y estimación en tiempo real.
3.4 Modelación de la máquina de inducción mediante métodos variacionales [20,76].
Para modelar un convertidor electromecánico utilizando los métodos variacionales discutidos en el capítulo 2, se debe comenzar por definir un conjunto de coordenadas generalizadas que representen todos los grados de libertad existentes en este sistema físico. En el caso particular de la máquina de inducción estas coordenadas pueden ser las cargas eléctrica qk , y el desplazamiento angular θ del eje mecánico. Las derivadas o velocidades de la coordenadas generalizadas serían en este caso las corrientes ik , por las bobinas y la velocidad angular ωm . Las variables generalizadas correspondientes al esfuerzo son las fuerzas electromotrices ek inducidas en cada devanado, y el par eléctrico sobre el eje mecánico τm . Finalmente las variables generalizadas de momentum corresponderían a los enlace de flujo λ k , y al momentum angular mecánico pm . Las relaciones físicas y matemáticas que satisfacen este conjunto de variables se resume en la tabla 3.1:
Variable Sistema Eléctrico Sistema Mecánico
Coordenada (z ) Carga Eléctrica ( qk ) Posición Angular (θ ) Velocidad ( z ) Corriente ( k ki q= ) Velocidad Angular ( ωm )
- 25 -
Esfuerzo ( f p= ) FEM ( k ke = λ ) Par ( m mlτ = ) Momentum ( p kz= ) Enlace ( λ k = Lkiij∑ ) Moment. ang. ( lm = J.ω m )
Tabla 3.1 Asignación de variables para el modelo variacional de la máquina de inducción
Una vez que han sido definidas las variables de estado del convertidor, se determina la función de Lagrange, evaluando las energías potenciales y las coenergías cinéticas asociadas con el comportamiento del sistema. Recordando que las bobinas rotóricas y estatóricas de la máquina de inducción se excitan mediante fuentes independientes de tensión, y que sobre el eje mecánico existe además del par eléctrico, una fuente independiente de par mecánico, la función conservativa de Lagrange es:
[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]
' 21 12 2
21 1 12 2 2
( , , , , , , ; , , , , , , )
, , ; , 0
( )
e e e r r r e e e r r ra b c a b c m a b c a b c m
tpot m cin m m m
t t tm e e e e er m r r r r
L q q q q q q i i i i i i
W W J
J i L i i L i i L i
θ ω
θ θ ω ω
ω θ
=
= + = + + =
= + + +
q q i i L i 3.27
Considerando que los conductores de las bobinas poseen resistencia eléctrica, que está presente la fricción en la rotación del eje, y si se aplica el principio variacional 2.64, a los ejes eléctricos y mecánicos del convertidor electromecánico no conservativo, constituido por la máquina de inducción, se obtienen las siguientes expresiones:
• Para los ejes eléctricos:
[ ] [ ][ ] [ ]
6
1
( ( )) . ; 0;
( ) . ; 1, 2, ,6
k k k kj j kjk k k k
k k k k
d L L L Lv t r i L idt i q q i
v t r i k
∂ ∂ ∂ ∂ λ∂ ∂ ∂ ∂
λ=
− = − − − = = =
= + ∀ = …
= +
∑
v R i e
3.28
• Para el eje mecánico:
- 26 -
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]( )
.
.
( ) .
; ; .
; ( ) . .
m fric mm m
t tere r e m m m
m m m
te m m fric m m
d L L tdt
L L J l
t J
∂ ∂ τ α ω∂ω ∂θ
∂∂ ∂τ θ ω∂θ ∂θ ∂ω
τ θ τ α ω ω
− = − − −
= = = =
+ = +
Li i i
i
3.29
El conjunto de las expresiones 3.28 y 3.29, corresponden exactamente con el sistema de ecuaciones diferenciales 3.18, que modela el comportamiento dinámico de la máquina de inducción en el sistema de coordenadas primitivas. Por los métodos variacionales se alcanza exactamente la misma representación matemática que se obtiene a través de la formulación circuital o matricial del problema. De hecho, los principios variacionales reproducen las leyes circuitales y mecánicas básicas, debido a que han sido desarrollados a partir de la generalización de todos los principios básicos que rigen el comportamiento de los sistemas físicos [32,36,48,59,76].
Las ecuaciones de la máquina de inducción también pueden obtenerse utilizando un sistema de coordenadas generalizadas alternativo. De cualquier forma, los principios variacionales son exactamente los mismos. Un sistema de coordenadas generalizadas alternativo podría utilizar los enlaces de flujo como λ
variable generalizada, la fuerza electromotriz e como velocidad generalizada, la corriente i como variable de esfuerzo generalizado, y la carga q como momentum generalizado. En este sistema de coordenadas alternativo, las variables mecánicas pueden mantener las mismas asignaciones. En la tabla 3.2 se presenta un resumen del sistema de coordenadas alternativo:
Variable Sistema Eléctrico Sistema Mecánico
Coordenada ( z ) Enlace de Flujo ( λ k ) Posición Angular (θ ) Velocidad ( z ) FEM ( k ke λ= ) Velocidad Angular ( ωm )
Esfuerzo ( f p= ) Corriente ( k ki q= ) Par ( m mlτ = ) Momentum ( p kz= ) Carga ( qk = Ckjej∑ ) Moment. ang. ( lm = J.ω m )
Tabla 3.2 Asignación de variables alternativas para el modelo variacional
de la máquina de inducción
- 27 -
Con el sistema de coordenadas eléctricas alternativas definidas en la tabla 3.2, se puede establecer la correspondiente función de estado Lagrangiana, para un sistema conservativo:
[ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]
'
1 12 21 1 1 12 2 2 2
21 1 12 2 2
( , , , , , , ; , , , , , , )
, , ; ,
( ) ( )
( )
e e e r r r e e e r r ra b c a b c m a b c a b c m
pot m cin m m
t tm m m m
t t te e e e er m r r r r m
L e e e e e e
W W
J J
J
λ λ λ λ λ λ θ ω
θ θ ω
θ ω θ ω
θ ω
− −
=
= + =
= + = Γ +
= Γ + Γ + Γ +
e
L
λ λ
λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
3.30
Aplicando nuevamente el principio variacional 2.64, para sistemas no conservativos, a la función de Lagrange calculada en la expresión 3.30, se obtiene el siguiente modelo matemático de la máquina de inducción, en el sistema alternativo de coordenadas generalizadas:
• Para los ejes eléctricos:
( )
[ ][ ] [ ]
6
,1
,
( ) . ; ; 0
( ) . ; 1, 2, ,6
k iny k k kj j kjk k k k
k iny k k k
iny
d L L L Li t g e idt e e
i t g e i k
∂ ∂ ∂ ∂λ∂ ∂λ ∂λ ∂=
− = − − − = Γ = =
= + ∀ = …
= +
∑
i G e i
3.31
• Para los ejes mecánicos:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
.
12
.
( ( )) .
( ; ); .
( ; ) ( ) . .
m fric mm m
t te m m m
m m m
te m m fric m m
d L L tdt
L L J l
t J
∂ ∂ τ α ω∂ω ∂θ
∂∂ ∂τ θ ω∂θ ∂θ ∂ω
τ θ τ α ω ω
− = − − −
Γ
= − = = =
+ = +
λ λ λ
λ
3.32
La expresión 3.31 es una representación nodal de las bobinas de la máquina de inducción, mientras que el modelo 3.28 es una representación en mallas de los mismos circuitos [61]. En cambio, las expresiones 3.30 y 3.32 son idénticas entre sí, como se puede comprobar fácilmente, cuando existe linealidad entre los enlaces de flujo y las corrientes:
- 28 -
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 12 2
1 12 2
tt te
m m
t t t t t ere r
m m m
i∂ ∂
τ∂θ ∂θ
∂ ∂ ∂∂θ ∂θ ∂θ
= − = − − =
= = =
LL i L
L L Li L L i i i i i
Γλ λ Γ Γ
Γ Γ 3.33
El primer modelo se utiliza con mayor frecuencia, debido principalmente a que en los sistemas eléctricos reales las fuentes de tensión independiente son prácticamente ideales. Sin embargo, en la actualidad los convertidores electrónicos de potencia pueden ser capaces de funcionar, con gran aproximación, como fuentes de corriente independientes ideales. En estos casos el segundo modelo ofrece claras ventajas para la modelación del convertidor.
Es interesante destacar que los conceptos de energía potencial y energía cinética están relacionados estrechamente con el sistema de coordenadas que se utiliza en un determinado momento. En el primer sistema de coordenadas, la energía potencial tenía que ver con la capacidad de acumular carga eléctrica. En el sistema alternativo, la energía potencial estaba relacionada con la capacidad de acumular enlaces de flujo. La ventaja de los métodos variacionales es que incrementan la generalización de los conceptos, pero en algunos casos puede parecer confusa su aplicación debido a que no se respetan necesariamente las líneas epistemológicas clásicas de razonamiento físico.
Los principios variacionales pueden suministrar modelos alternativos, que utilizan diferentes tipos de variables. Los dos ejemplos que se han presentado en esta sección son de gran interés práctico, porque permiten obtener directamente las ecuaciones diferenciales básicas de la máquina de inducción, en la representación por mallas o nodos, y en las coordenadas primitivas del convertidor. Además, este método es muy práctico para incorporar ciertos elementos acumuladores o disipadores de energía.
Los modelos de la máquina de inducción desarrollados consideran que existe linealidad entre los enlaces de flujo y las corrientes por las bobinas, pero el método variacional, al igual que los métodos fundamentados en el análisis de circuitos y el principio de los trabajos virtuales, no están limitados por esta hipótesis. Por el contrario, pueden ser extendidos al análisis de modelos electromagnéticos no lineales de la máquina de inducción. La única diferencia consiste en la necesidad de establecer una función de Lagrange, que caracterice el
- 29 -
estado del convertidor para cada uno de los casos. Esta función debe ser independiente de la historia pasada, de las derivadas de las variables de estado del sistema, y del instante de tiempo que se esté considerando.
3.5 Transformación de las ecuaciones diferenciales de la máquina de inducción en coordenadas primitivas mediante métodos modales.
Cualquiera de los modelos desarrollados en las secciones 3.3 y 3.4, representan el comportamiento de la máquina de inducción en régimen dinámico, transitorio o permanente. Como ya se ha discutido, estos modelos no son prácticos o eficientes cuando se requiere la solución analítica o numérica de un determinado problema. Los dos obstáculos más importantes son el acoplamiento no lineal existente entre las variables del sistema de ecuaciones diferenciales, y la dependencia con la posición angular θ, de estos acoplamientos.
En la sección 2.7 se presentaron algunas ideas prácticas, pero de escasa generalidad para la determinación de transformaciones útiles para la simplificación de los modelos no lineales de la máquina de inducción. Debido a la falta de generalidad del método propuesto, existen gran variedad de alternativas, con diversos grados de simplificación y desacoplamiento de las variables. Se han utilizado diversas técnicas a través de los años, pero hay una cierta convergencia o unidad en los criterios y objetivos básicos.
Si el problema de la modelación de la máquina de inducción fuese lineal, se podría determinar la matriz característica de este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Con el análisis de la matriz característica se obtendrían directamente los autovalores y autovectores del modelo. Los autovalores definen las constantes de tiempo del sistema, y los autovectores constituyen la matriz de transformación que desacopla las variables primitivas del modelo, y definen los grados de libertad existentes para la solución analítica. Cuando el problema no es lineal, esta técnica no es aplicable en general. El esfuerzo se dirige entonces hacia la búsqueda del desacoplamiento o diagonalización de la matriz que presenta la dependencia en la variable de estado θ, y que además acopla las derivadas del resto de las variables de estado. En el modelo de la máquina de inducción en coordenadas primitivas esta matriz corresponde con la matriz de inductancia [L] .
- 30 -
La matriz de inductancia [L] se puede particionar, tal como se ha hecho anteriormente, en cuatro submatrices:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
2 41 12 2 3 3
4 21 12 2 3 3
2 41 12 2 3 3
cos cos( ) cos( )cos( ) cos cos( )cos( ) cos( ) cos
cos cos(
ee eree ert
re rr er rr
e e e e
e e e e er
e e e e
er
L LL LL
L L L L
L L L LL L L L LL L L L
L
π πσ
π πσ
π πσ
θ θ θθ θ θθ θ θ
θ θ
= = =
+ − − − − − + − − − − − + − −
4 2 1 13 3 2 2
2 4 1 13 3 2 2
4 2 1 13 3 2 2
) cos( )cos( ) cos cos( )cos( ) cos( ) cos
r r r r
r r r r
r r r r
L L L LL L L LL L L L
π πσ
π πσ
π πσ
θθ θ θθ θ θ
− − + − − − − − + − − − − − +
3.34
Las dos submatrices de inductancias propias y mútuas del estator o del rotor, [Lee] y [Lrr ] , son completamente simétricas e independientes de la posición angular θ [43]. Las submatrices de inductancias mútuas entre las bobinas del estator y del rotor, [Ler ] y [Lre] , son cíclicas [19], y fuertemente dependientes de la posición angular del rotor θ . Analizando los autovalores y autovectores de las matrices completamente simétricas y de las matrices con simetría cíclicas, se pueden encontrar transformaciones de coordenadas que simplifiquen la estructura de la matriz de inductancias, y por tanto del sistema de ecuaciones diferenciales.
Una matriz completamente simétrica se caracteriza por tener todos los elementos de la diagonal principal iguales entre sí (a), y los elementos fuera de la diagonal principal también son iguales entre sí (b), pero entre ellos no necesariamente son iguales (a b):
[ ]a b b
S b a bb b a
=
. 3.35
Los autovalores de la matriz completamente simétrica S[ ], son:
- 31 -
[ ] [ ] 3 3 2
0 1 2
det( ) det ( ) 2 3 ( ) 0
2 ; ;
a b bS I b a b a b b a
b b aa b a b a b
γγ γ γ γ
γγ γ γ
− − = − = − + − − = ⇒ −
= + = − = −
3.36
El autovector asociado con el autovalor γ 0 es:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]00
0 0 10 0 00
20
2 0 1( ) 2 0 1
2 0 1
b b b VS b b b V V
b b b Vγ
− − = ⇒ − = ⇒ = −
I V 0 V 3.37
Los autovectores asociados con los autovalores γ 1 y γ 2 son:
[ ] [ ] [ ]0(1,2) 1(1,2) 2(1,2)
1,2 (1,2) 1(1,2) (1,2) 1(1,2)
2(1,2) 2(1,2)
0 ( )( ) 0
0
b b b V V VS b b b V V
b b b V Vγ
− + − = ⇒ = ⇒ =
I V 0 V 3.38
Con los tres autovectores obtenidos en 3.37 y 3.38, se construye la matriz de transformación que diagonaliza las matrices completamente simétricas, algunos autores denominan a esta matriz, transformación de Karrenbauer [19,43]:
[ ]1 2 3 4 5
1 2 4
1 3 5
( ) ( )
Karrenbauer
k k k k kT k k k
k k k
− + − + =
3.39
El determinante de la transformación 3.39 debe ser diferente de cero para que exista la matriz inversa. Si los coeficientes indeterminados de la transformación pueden ser números complejos, la transformación tiene diez grados de libertad. Para garantizar que la matriz de transformación se pueda invertir, requisito indispensable si es necesaria la transformación inversa, es necesario satisfacer simultáneamente las dos condiciones siguientes:
[ ]1 2 3 4 5
1 2 4 1 2 5 3 4
1 3 5
1 2 5 3 4
( ) ( )det det 3 ( ) 0
0 0
Karrenbauer
k k k k kT k k k k k k k k
k k k
k k k k k
− + − + = = − ≠ ⇒
≠ ∧ − ≠ 3.40
- 32 -
Estas dos restricciones, no reducen los grados de libertad, pero restringen los posibles coeficientes al lugar geométrico del hiperespacio dimensional que satisface simultaneamente las dos desigualdades. Una restricción que es de gran utilidad cuando se transforman las variables de los convertidores electromecánicos de energía, pero cuya aplicación no es indispensable, ni necesaria, consiste en imponer la condición de hermitianidad sobre la transformación. Cuando se utilizan transformaciones hermitianas, las potencias se conservan entre el sistema de coordenadas primitivas y el sistema de coordenadas transformadas. Una matriz es hermitiana si su inversa es igual a su traspuesta conjugada. Para la transformación de Karrenbauer, la hermitianidad se asegura al cumplir las siguientes condiciones:
* * *1 2 3 4 5 1 1 1
* * * *1 2 4 2 3 2 3
* * * *1 3 5 4 5 4 5
* * * * * * *1 1 2 2 4 4 3 3 5 5 2 3 4 5
( ) ( ) 1 0 0( ) 0 1 0( ) 0 0 1
1 2 2 1; ; ; 3 3 3 3
k k k k k k k kk k k k k k kk k k k k k k
k k k k k k k k k k k k k k
− + − + − + = ⇒ − +
= + = + = + = −
3.41
Las igualdades obtenidas en el desarrollo 3.41, restringen en cuatro los grados de libertad cuando se impone la condición hermitiana a la transformación de coordenadas. Si además se exige que la transformación debe utilizar solamente coeficientes reales, es suficiente con definir sólo uno de estos coeficientes para obtener la transformación deseada, con la excepción del primer coeficiente k1, que ya está determinado por la selección de transformaciones hermitianas. Cuando se escoge arbitrariamente que la suma de los coeficiente k4 y k5 es cero, y que el resto de los coeficientes deben ser reales, se obtiene la conocida transformación de Clark [14,15]:
[ ]1 2 13 3 2
31 1 2 1 13 3 3 2 22
31 11 1 2 223 3
0 1 01
1ClarkT
= − = − − −− −
3.42
La transformación de Clark 3.42, se utiliza con gran frecuencia para transformar los sistemas trifásicos equilibrados en sistemas bifásicos ortogonales equivalentes. Como la transformación está desarrollada mediante coeficientes reales puros, se puede realizar físicamente mediante transformadores ideales. Por esta razón, se ha utilizado en los analizadores de redes analógicos para obtener la respuesta modal
- 33 -
de los sistemas eléctricos de potencia, o para analizar los desequilibrios de una red en componentes de secuencia αβo . Algunos autores obtienen esta transformación a partir de la proyección a ejes ortogonales de los flujos producidos en las tres bobinas de una máquina trifásica equilibrada [76].
La otra matriz que es necesario analizar para resolver el problema de la diagonalización de la matriz de inductancias [L] , es la matriz cíclica de dimensión 3*3. Esta matriz está conformada por tres elementos diferentes - a, b y c -, que se encuentran permutados en cada nueva fila, mediante la rotación de sus elemento con un avance hacia la derecha:
[ ]a b cc a bb c a
=
C 3.43
Los autovalores correspondientes a la matriz cíclica [C] , son:
[ ] [ ]( )
2 4 4 23 3 3 3
3 3 3
0 1 2
det det ( ) 3 ( ) 0
; ; j j j j
a b cc a b a b c bc ab c a
a b c a be ce a be ceπ π π π
γγ γ γ γ
γ
γ γ γ
− − = − = − + + − − = −
= + + = + + = + +
C I 3.44
El autovector asociado con el autovalor γ 0 es:
[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]00
0 0 10 0 00
20
( ) 0 1( ) 0 1
( ) 0 1
b c b c Vc b c b V Vb c b c V
γ− +
− = ⇒ − + = ⇒ = − +
C I V 0 V 3.45
El autovector asociado con el autovalor γ 1 es:
[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] 23
43
1 1 1 01
1j
j
e V
e
π
π
γ
− = ⇒ =
C I V 0 V 3.46
Y por último, el autovector asociado con el autovalor γ 2 es:
- 34 -
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 43
23
2 2 2 02
1
( ) j
j
e V
e
π
π
γ
− = ⇒ =
C I V 0 V 3.47
Con los tres autovectores obtenidos en 3.45, 3.46 y 3.47, se construye la matriz de transformación que diagonaliza las matrices cíclicas. Esta transformación, introducida inicialmente por Fortescue [25] para el análisis de los sistemas de potencia trifásicos y desequilibrados, se conoce en la literatura como transformación de componentes simétricas:
2 43 3
4 23 3
1 2 3
. . 1 2 3
1 2 3
j jComp Simét
j j
k k k
T k e k e k
k e k e k
π π
π π
=
3.48
Si los coeficientes de la transformación de componentes simétricas son números complejos, se obtienen seis grados de libertad. Para que la matriz tenga inversa, es necesario que se cumplan las tres condiciones siguientes:
2 4 33 3 2
4 23 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
det 3 3 . 0 0; 0; 0j j j
j j
k k k
k e k e k e k k k k k k
k e k e k
π π π
π π
= ≠ ⇒ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠
3.49
Al establecer la condición de hermitianidad sobre la transformación de componentes simétricas, se obtiene:
2 4 4 23 3 3 3
4 2 2 43 3 3 3
2433
23
* * *1 2 3 1 1 1
* * *1 2 3 2 2 2
* * *1 2 3 3 3 3
* * *1 1 2 2 3 3
* * *1 1 2 2 3 3
* * *1 1 2 2 3 3
1 0 00 1 00 0 1
1
0
j j j j
j j j j
jj
jj
k k k k k k
k e k e k k e k e k
k e k e k k e k e k
k k k k k k
k k k k e k k
k k k k e k k
π π π π
π π π π
ππ
π
=
+ + =
⇒ + + =
+ +43
* * * 11 1 2 2 3 3 1 2 3 3
0
1 3k k k k k k k k k
π
=
⇒ = = = ⇒ = = =
3.50
Las igualdades obtenidas en el desarrollo 3.50, restringen tres de los seis grados de libertad de la transformación hermitiana de componentes simétricas. Si
- 35 -
los coeficientes indeterminados se escogen dentro del conjunto de los números reales, la transformación hermitiana de componentes simétricas queda completamente determinada:
2 4 2 43 3 3 3
4 2 4 23 3 3 3
1 1 13 3 3
1 1 1 1. . 3 3 3 3
1 1 13 3 3
1 1 1
1
1
j j j jComp Simét
j j j j
T e e e e
e e e e
π π π π
π π π π
= =
3.51
La transformación de componentes simétricas o transformación de Fortescue 3.51, se utiliza habitualmente en el cálculo de fallas, desequilibrios, y respuestas modales [30]. Esta transformación tiene una enorme ventaja con respecto a la transformación de Karrenbauer, desacopla tanto a las matrices cíclicas C[ ], como a las matrices completamente simétricas S[ ], debido a que estas últimas corresponden al caso particular de las matrices cíclicas, cuando los coeficientes b y c son idénticos entre sí. La transformación de componentes simétricas utiliza coeficientes complejos en sus elementos, esto puede considerarse una desventaja relativa. Por otra parte, esto es una dificultad menor en la actualidad debido a las poderosas herramientas de cálculo existentes en el mercado.
La matriz de inductancia L[ ] se ha descompuesto en cuatro submatrices, dos cíclicas y dos simétricas. Cada una de estas submatrices pueden ser diagonalizadas mediante la transformación hermitiana de componentes simétricas 3.51. Sin embargo, en algunas ocasiones resulta más ventajoso la aplicación parcial de la transformación de Clark, en particular cuando se desea determinar mediante circuitos analógicos o bloques de control, los valores de las coordenadas transformadas a partir de las mediciones realizadas sobre las variables primitivas, o viceversa. La aplicación de la transformación de componentes simétricas al sistema de ecuaciones diferenciales 3.18, reduciría el acoplamiento existente entre las derivadas de las corrientes, simplificando considerablemente la inversión analítica de la matriz de inductancia transformada de dimensión 6*6:
- 36 -
[ ][ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
[ ]
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ee ere e e et
r r r rer rr
h h he e eee ere
th h hr er rrr r r
p
p
= + ⇒
= +
L LV R 0 I IV 0 R I IL L
CS V CS I CS IL LR 00 R L LCS V CS I CS I
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
h he e eee ere
t h hr er rrr r r
p
⇒
= +
V I ICS L CS CS L CSR 00 R CS L CS CS L CSV I I
3.52
donde: CS[ ] matriz de componentes simétricas. CS[ ]h matriz CS[ ] traspuesta y conjugada.
[ ] [ ][ ] 32
32
0 00 00 0
eh
ee e e
e e
LL L
L L
σ
σ
σ
= + +
CS L CS 3.53
[ ] [ ][ ] 32
32
0 00 00 0
rh
rr r r
e r
LL L
L L
σ
σ
σ
= + +
CS L CS 3.54
[ ] [ ][ ] 32
32
0 0 00 00 0
h jer er
jer
L eL e
θ
θ−
=
CS L CS 3.55
[ ] [ ] [ ] 32
32
0 0 00 00 0
t h jer er
jer
L eL e
θ
θ
−
=
CS L CS 3.56
[ ] [ ] 4 23 3
2 43 3
0
1
2
1 1 11ˆ 13
1
e e
e e
e e
ah j j
e b e
j jc
x xx e e xx xe e
π π
π π
= = =
X CS X 3.57
[ ] [ ] 4 23 3
2 43 3
0
1
2
1 1 11ˆ 13
1
r r
r r
r r
ah j j
r b r
j jc
x xx e e xx xe e
π π
π π
= = =
X CS X 3.58
- 37 -
El sistema 3.52 se puede reescribir mediante tres sistemas de ecuaciones diferenciales completamente desacoplados: uno de secuencia cero, otro de secuencia positiva y el último de secuencia negativa. Para las variables de secuencia cero se obtiene el siguiente sistema:
0 0 0
0 0 0
0000
e e e
r r r
ee
rr
v i iLRp
v i iLRσ
σ
= +
3.59
Para la secuencia positiva, se tiene:
3 31 1 12 2
3 31 1 12 2
00
e e e
r r r
je e e er
jr er r r
v i iR L L L ep
v i iR L e L L
θσθ
σ−
+ = + +
3.60
Las ecuaciones del sistema de secuencia negativa son:
3 32 2 22 2
3 32 2 22 2
00
e e e
r r r
je e e er
jr er r r
v i iR L L L ep
v i iR L e L L
θσθ
σ
− + = + +
3.61
El par eléctrico en el sistema de coordenadas correspondientes a las componentes simétricas, se obtiene aplicando el mismo procedimiento anterior a la expresión 3.26:
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ] ( )1 1 2 2
ˆ ˆ
3ˆ ˆ2 e r e r
tt h he e er r e er r
t h j je er r er
d dd dd j L e i i e i i
dθ θ
τθ θ
θ−
= − = =
= = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
I L I CS I L CS I
I CS L CS I 3.62
Como se puede observar en la expresión 3.62, las componentes de secuencia cero de las corrientes no contribuyen a la producción del par eléctrico. Las componentes de secuencia positiva y negativa si contribuyen, pero en direcciones contrarias. En esta ecuación se debe considerar únicamente la parte real. La parte imaginaria de la expresión aparece debido a la descomposición de las funciones trigonométricas reales en sumas de exponenciales complejas, y no tiene implicaciones físicas en la producción de par eléctrico.
Los tres modelos de secuencia de la máquina de inducción son visiblemente más simples que el modelo original en coordenadas primitivas. Sin embargo, aun en estas ecuaciones existe una dependencia en la matriz de inductancias con la posición angular θ. Ahora bien, estas matrices tienen una dimensión de 2*2, y este
- 38 -
hecho simplifica notablemente la inversión analítica. En las secciones siguientes se analiza con mayor detalle este problema y sus alternativas de solución. Es interesante destacar que la presencia de este ángulo en las ecuaciones, se debe a que las referencias de los sistemas de coordenadas del estator y rotor son diferentes, y esa diferencia es precisamente el ángulo θ. Esta idea se puede desarrollar para encontrar transformaciones que eliminen la dependencia de las ecuaciones con la posición angular del rotor.
3.6 Transformación de las ecuaciones diferenciales de la máquina de inducción en coordenadas primitivas a vectores espaciales.
El siguiente paso en el desarrollo de modelos dinámicos de la máquina de inducción consiste en definir el concepto matemático de los vectores espaciales [53,75]. Si se multiplica la transformación hermitiana de componentes simétricas 3.51, por un vector de variables trifásicas instantáneas, se obtiene el siguiente resultado:
[ ][ ] 2 4 2 43 3 3 3
4 2 4 23 3 3 3
1
1 13 3
0 0(
1 1
2
1 1 1 ( ) ( ) ( )( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
a b caj j j j
b a b c
j j j jc a b c
j
x t x t x tx tt e e x t x t x t e x t e
x te e x t x t e x t e
t x tt x t et
π π π π
π π π π
ξ
+ + = = + + = + +
= =
CS x
xxx
1
2 1
0 0 0) ( )
1 1 1 1( ) ( ) *
2 1 11 1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
t j t
j t j t
x t x t tx t e x t j x t t
x t e x t e tx t j x tα β
α β
ξ
ξ ξ−
= = + = −
xxx
3.63
Cada uno de los elementos de la transformación 3.63, sobre las variables genéricas, trifásicas e instantáneas, es un vector en el espacio, cuyo módulo y fase varían en el tiempo. El primer elemento es una función real que depende del tiempo, y se conoce habitualmente como la componente homopolar o de secuencia cero. El segundo y el tercer elemento, corresponden a las componentes de secuencia positiva y negativa respectivamente. En el desarrollo de la expresión 3.63 se observa que estas dos funciones son complejas y conjugadas entre sí. Por esta razón, la información contenida en estas variables es redundante. La transformación matricial de componentes simétricas 3.51, se puede descomponer en tres transformaciones vectoriales:
- 39 -
• La transformación a vectores espaciales homopolares:
( ) ( ) ( )( ) ( )10 03 a b cx t x t x t x t= + + =x 3.64
• La transformación a vectores espaciales de secuencia positiva:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 43 3
( )11( )1 1
11 3
31 12 23
( ) ( )2 21 1 1 1 1
x tx t
j ja b c
a b c b c
j tg j t
x t x t e x t e
x t x t x t j x t x t
x t j x t x t x t e x t e
π π
βα ξ
α β α β
−
= + + =
= − + + − =
= + = + =
x
3.65
• La transformación a vectores espaciales de secuencia negativa:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 23 3
1
12 3
31 12 23
( ) *2 2 1 1 1 1
j ja b c
a b c c b
j t
x t x t e x t e
x t x t x t j x t x t
x t j x t x t j x t x t e
π π
ξα β α β
−
= + + =
= − + + − =
= + = − = =
x
x
3.66
Es muy frecuente que la adición de tres magnitudes trifásicas instantáneas, tales como corrientes o tensiones, sean cero. Reemplazando esta condición en las expresiones 3.64, 3.65 y 3.66, se obtienen los siguientes resultados:
• Para la componente homopolar de los vectores espaciales:
10 3[ ( ) ( ) ( )] 0a b cx t x t x t= + + =x 3.67
• Para los vectores espaciales de secuencia positiva:
[ ] [ ]{ }
[ ] 1
31 12 21 3
( )3 12 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )a b c b c
j ta a b
x t x t x t j x t x t
x t j x t x t x t e ξ
= − + + − =
= + + =
x 3.68
• Para los vectores espaciales de secuencia negativa:
[ ] [ ]{ }[ ] 1
31 12 22 3
( )3 12 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )a b c b c
j ta a b
x t x t x t j x t x t
x t j x t x t x t e ξ−
= − + − − =
= + + =
x 3.69
Una consideración interesante que cabe destacar en las expresiones 3.64, 3.65 y 3.66, es que determinan directamente la transformación de Clark obtenida en 3.42, pero en una versión no hermitiana:
- 40 -
0 0
1 1 1 12 21 13 3
3 32 21 1
1 2 0( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 1 1 3 ( )( ) 0 ( ) ( ) ( )1 1 3
a a
b b
c c
x t x t x t x tx t x t x t x tx t x t x t x t
α α
β β
= − − ⇒ = − − − −
3.70
El vector espacial de secuencia cero resulta en muchas ocasiones de escasa utilidad cuando se modelan máquinas de inducción, pero permite añadir grados de libertad, si el sistema de fuentes independientes aplica tensiones con componente homopolar, o si la conexión del convertidor a la fuente posibilita la circulación de corriente por el neutro. En cualquier otro caso, la transformación a vectores espaciales de secuencia positiva o negativa, de las diferentes magnitudes trifásicas del modelo en coordenadas primitivas, contiene los grados de libertad suficientes para representar el sistema.
La transformación hermitiana de componentes simétricas 3.51, es conservativa en potencia. Esto quiere decir que al calcular la potencia instantánea en las coordenadas primitivas, o en el sistema de coordenadas transformadas, se obtiene exactamente el mismo resultado:
( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . . . .
. . . . . .
t tt h h
a a b b c c
p t
v i v i v i v i v i v i
= = = = ⇒
+ + = + +
V I CS V CS I V CS CS I V I
3.71
Para que la transformación a vectores espaciales sea conservativa en potencia, es necesario realizar algunas consideraciones adicionales. En primer lugar es necesario definir el concepto de potencia, calculada a partir de los vectores espaciales. La definición de potencia activa, reactiva y aparente, utilizada en la operativa con fasores, ofrece el punto de partida para esta definición. Como los vectores espaciales son funciones complejas y los fasores son números complejos, es posible utilizar la misma definición:
( )
( ) ( )
2 4 4 2* 3 3 3 31 1( ) ( ) . .
3 3
1 3 3. . . . . .3 2 2
j j j j
a b c a b c
a a b b c c ab c bc a ca b
s t p t j q t v v e v e i i e i e
v i v i v i j v i v i v i
π π π π = + = = + + + + =
= + + + + +
v i
3.72
- 41 -
Las potencias activas y reactivas instantáneas definidas en la expresión 3.72, corresponden a la mitad de los valores calculados a partir de las variables reales. Esto se debe a que se está utilizando solamente la componente de secuencia positiva para definir el vector espacial. Considerando vectores espaciales de secuencia negativa, se obtendría el resto de la potencia necesaria. Como la representación en secuencia positiva o en secuencia negativa aportan la misma información, es conveniente añadir una constante a la definición de los vectores espaciales de secuencia positiva, para que la transformación vectorial sea conservativa en potencia, si se utiliza solamente esta componente en la representación del sistema. El factor de corrección en potencia es dos, y para que las definiciones de los fasores espaciales de tensión y corriente coincidan, es aconsejable añadir en la definición de la transformación vectorial el factor 2 . La definición del vector espacial de secuencia positiva, conservativo en potencia es:
( ) ( ) ( ) ( )4 23 32
3j j
a b ct x t x t e x t eπ π
= + +
x 3.73
Aplicando la transformación de vectores espaciales de secuencia positiva, y conservativos en potencia, definidos por la expresión 3.73, a las ecuaciones del estator del modelo en coordenadas primitivas 3.18, se obtiene el siguiente resultado:
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]( )
[ ][ ] [ ][ ]{ }( ){ }
2 4 2 43 3 3 3
2 4 2 43 3 3 3
2 23 3
2 23 3
3 32 2
1 1
1 1
j j j je e e ee e er r
j j j je e e ee e ee e
je e e e e e er r
de e e e R I L Ldt
dR e e L e e Ldt
dR L L L edt
π π π π
π π π π
θσ
= + + ⇒
= + + ⇒
= + + +
v i i i
v i i i
v i i i
3.74
Realizando las mismas transformaciones sobre las ecuaciones del rotor, se obtiene:
( ){ }3 32 2
jr r r r r r er e
dR L L L edt
θσ
−= + + +v i i i 3.75
El par electromagnético sobre el eje mecánico, en vectores espaciales se puede obtener de la siguiente forma:
- 42 -
[ ] [ ][ ]
2 43 3
4 23 3
2 43
2 43 3
4 23 3
2 43 3
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1
12
e r
e r
e r
e
e
e
t
a at d
e e er r er b bd
c c
t j ja
j jjerb
j jc
i sen sen sen iL i sen sen sen i
i sen sen sen i
e eiL i e e e
ji e e
π π
π π
π
π π
π πθ
π π
θ
θ θ θτ θ θ θ
θ θ θ
− − = − = − − = − −
=
i L i
2 43 3
4 23 3
2 43 3 3
4 23 3
2 43 3
32 *
1
1
1 1
1 13
2
r
r
r
e
e
e
j ja
j jjb
j jc
t
aj jer j j
b r r
j jc
e e ie e e i
ie e
iL
i e e e ej
i e e
π π
π π
π π π
π π
π π
θ
θ θ
− −
− −−
− −
−
− =
= − =
i i { }
{ } { }
* *
* *
4
3 3( ) ( )2 2
j jere r e r
j je er e r er e r
L e ej
L m e L m e
θ θ
θ θτ
−− =
= ℑ = − ℑ
i i i i
i i i i
3.76
Las expresiones 3.74, 3.75 y 3.76, representan el comportamiento dinámico de la máquina de inducción en vectores espaciales. Las siete ecuaciones diferenciales, implícitas en la expresión 3.18, pueden ahora representarse de la siguiente forma:
{ }
3 32 23 32 2
2*3
.2 2
00
( )
je e e ee e erd
dt jr r r rer r e
jer e r m fric
R L L L eR L e L L
d dL m e Jdt dt
θσθ
σ
θ θ θτ α
−
+ = + +
ℑ + = +
v i iv i i
i i
3.77
Las siete ecuaciones diferenciales en variables primitivas, se han reducido a tan solo tres ecuaciones diferenciales en la representación mediante vectores espaciales. Obviamente, las nuevas variables, y la matriz de inductancia, son ahora números complejos, pero de cualquier modo la simplificación obtenida es de gran importancia. La dependencia no lineal en la posición angular θ aparece solamente en tres términos, y es posible invertir la nueva matriz de inductancias con relativa facilidad.
La solución numérica del modelo de la máquina de inducción expresado mediante vectores espaciales puede realizarse, después de desarrollar explícitamente el término correspondiente a la fuerza electromotriz de la expresión 3.77, e introducir la velocidad angular ωm como variable de estado en el modelo:
- 43 -
{ }
3 32 2 3
23 32 2
*3.2
0 00 0
( )
j je e e e ee e er d
m erdtj jr r r r rer r r
j mer e r m fric m
m
R L L L e ej L
R L e L L e
dL m e Jdt
ddt
θ θσθ θ
σ
θ
ω
ωτ α ω
θ ω
− −
+ = + + + −
ℑ + = +
=
v i i iv i i i
i i 3.78
Posteriormente, se despejan las primeras derivadas de las variables de estado, en función de las fuentes independientes, y en función de las propias variables de estado. De esta forma, se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales en su forma canónica:
{ }{ }
13 3 32 2 23 3 32 2 2
*3.2
1 ( )
j je e ee e er e m er
j jr r rer r r m er r
jmer e r m fric m
m
L L L e R j L eddt L e L L j L e R
d L m edt J
ddt
θ θσθ θ
σ
θ
ωω
ω τ α ω
θ ω
−
− −
+ = − + − = ℑ + − =
i v ii v i
i i 3.79
donde:
32 Le + Lσe
32 Ler e
jθ
32 Lere
− jθ 32 Lr + Lσr
−1
= 1∆
32 Lr + Lσr − 3
2 Lerejθ
− 32 Lere
− jθ 32 Le + Lσe
∆ = 32 Le + Lσe( ) 3
2 Lr + Lσr( )− 94 Ler
2 = 32 Le .Lσr + Lr.Lσe( )+ Lσe.Lσr
3.80
El sistema de ecuaciones diferenciales 3.79, se puede resolver utilizando métodos de integración numérica tales como el algoritmo de Euler, la regla trapezoidal implícita, el método de Runge Kutta en diversos órdenes, o los procedimientos combinados denominados genéricamente Predictor Corrector, que utilizan pasos de integración variables para ajustar el error de cada integración [13,39]. Aun cuando las derivadas de las variables de estado dependen de la posición angular θ, la evaluación de estas funciones explícitas puede ser obtenidas a gran velocidad por un computador personal ordinario.
3.7 Transformación de las ecuaciones de la máquina de inducción de vectores espaciales a un sistema arbitrario de referencia.
- 44 -
El sistema de ecuaciones diferenciales 3.78, es un paso importante en la solución eficiente del modelo de la máquina de inducción, pero como ya se ha destacado, la dependencia de estas ecuaciones con la posición angular θ, dificulta la integración numérica, y complica la interpretación de los resultados obtenidos. Es conveniente desarrollar transformaciones adicionales de las variables vectoriales que eliminen esta dependencia.
Si se analiza el sistema de ecuaciones diferenciales 3.78, se observa la presencia de tres términos exponenciales complejos en la variable θ. El primero de ellos, aparece en la ecuación de tensión del estator, y multiplica al vector espacial de la corriente del rotor. Como se discutió en la sección anterior, esta corriente se encuentra referida a un sistema de coordenadas que se mueve solidario con el eje magnético de la fase “a” del rotor. Entre el eje magnético de la fases “a” del estator y del rotor existe el ángulo θ, tal como se puede observar en la figura 3.6. La multiplicación de un vector espacial determinado, por el término ejθ , le añade a su respectivo ángulo el valor θ, pero no altera su magnitud. De tal forma que el producto e
jθ . i r , corresponde a la expresión de la corriente del rotor referida al sistema de coordenadas del estator. Se puede concluir con un razonamiento similar, que el producto e
− jθ .i e , es el vector espacial de la corriente del estator referida al sistema de referencia del rotor.
Otra consideración importante en la simplificación del modelo reside en el hecho de que en la mayoría de las ocasiones, las variables del rotor de la máquina de inducción no son accesibles, e incluso las tensiones en estas bobinas son generalmente nulas. Sin embargo, durante la deducción del modelo se utilizaron dos sistemas de referencia: uno para el estator y otro para el rotor. La consecuencia de esto ha sido la presencia del ángulo θ, en las ecuaciones diferenciales que modelan la máquina de inducción en el nuevo sistema de coordenadas. Por esta razón, es razonable (?) la proposición de utilizar solamente el sistema del referencia del estator para representar todas las ecuaciones de la máquina de inducción. De acuerdo con esta idea se definen los vectores espaciales del rotor en el sistema de referencia estatórico como:
- 45 -
ire ≡ ir e
jθ
v re ≡ v r e
jθ
⇒
di re
dt=
dir
dtejθ + j Ý θ ir e
jθ
3.81
Sustituyendo las expresiones 3.81, en la ecuación del estator 3.74, se obtiene el siguiente resultado:
( )
( )
3 3 32 2 2
3 32 2
j je re e e e e er m er r
ee r
e e e e e er
d dR L L L e j L edt dt
d dR L L Ldt dt
θ θσ
σ
ω= + + + + ⇒
= + + +
i iv i i
i iv i 3.82
Reemplazando las definiciones presentes en la expresión 3.81, en la ecuación del rotor 3.75, resulta:
ejθ v r = Rri r ejθ + 3
2 Lr + Lσr( )di r
dtejθ + 3
2 Lere− jθejθ di e
dt− j 3
2 ω mLeri ee− jθ ejθ ⇒
v re = Rri r
e + 32 Lr + Lσ r( ) di r
e
dt− jωmir
e
+32 Ler
di e
dt− j 3
2 ω mLerie
3.83
Y si finalmente se reemplazan las mismas definiciones en la ecuación del par eléctrico 3.76, se obtiene el siguiente resultado:
32 Lerℑm i e
*(ejθi r ){ }+ τm = J dωm
dt+ α fric.ωm ⇒
32 Lerℑm i e
*.i re{ }+ τm = J
dωm
dt+ α fric.ωm
3.84
En el nuevo modelo de la máquina de inducción, con las variables del rotor expresadas en el sistema de referencia del estator, las ecuaciones dinámicas son independientes de la posición angular θ. En cambio, las ecuaciones diferenciales 3.82, 3.83 y 3.84, son ahora dependientes de la velocidad angular del rotor ωm . Esta dependencia reduce la rapidez con la que cambian los parámetros que definen el modelo dinámico. Además, la velocidad mecánica es constante durante la operación en régimen permanente. Incluso, cuando se considera como hipótesis que las constantes de tiempo eléctricas y mecánicas son muy diferentes, se puede desacoplar la ecuación correspondiente al puerto mecánico, de las ecuaciones que
- 46 -
representan el comportamiento de los puertos eléctricos. Como el problema eléctrico resultante es lineal, se puede resolver mediante una integración analítica del sistema de ecuaciones diferenciales, utilizando la técnica de los autovalores y autovectores o la transformada de Laplace [44,45,64].
Al reflexiona sobre el alcance de la transformación anterior, surge una posible duda sobre la razón de peso que conduce a la eliminación de la posición angular θ , cuando se refieren todas las variables del modelo al sistema de referencia del estator. La respuesta a este cuestionamiento es interesante, la razón fundamental no reside en la selección de un determinado sistema de referencia, sino en el hecho de utilizar el mismo sistema de referencia para describir a todas las variables del modelo. De hecho, es posible definir un sistema de referencia arbitrario y expresar todas las variables en el nuevo sistema. El resultado de esto es un modelo más general que el anterior, y completamente independiente de la posición angular θ .
El sistema arbitrario de referencia se puede representar mediante un eje que se ubica adelantado en un ángulo arbitrario δ , con respecto al eje magnético de la fase “a” del estator de la máquina. Para transformar cualquier vector espacial expresado en el sistema de referencia del estator es suficiente con multiplicarlo por el número complejo e− jδ . Si el vector espacial está referido al sistema de referencia del rotor, para expresarlo en el sistema de referencia arbitrario, primero es necesario referirlo al sistema estatórico multiplicando por el término ejθ , y después por e− jδ para expresarlo finalmente en el nuevo sistema. Esta idea conduce a las siguientes definiciones de los vectores espaciales y de sus derivadas en el sistema de coordenadas arbitrarias:
( )
( )
( )
( )
j je e r r
j je e r r
je ee
jr rr
e ee e
d d e jdt dt
d d e jdt dt
δ δ δ θ δ
δ δ δ θ δ
δδ δ
δθ δ δ
δ
θ δ
− −
− −
−
−
≡ ≡
≡ ≡
= +
= + −
i i i iv v v v
i i i
i i i
3.85
Aplicando las definiciones 3.85, en la expresión 3.74, correspondiente a la ecuación del estator en vectores espaciales, se obtiene el siguiente resultado:
- 47 -
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )3 3 32 2 2
3 3 32 2 2
3 3 32 2 2
( )
j j j j je re e e e e er m er r
e re e e e e e er r m er r
e re e e e e er e e e
d de R e L L e L e j L edt dt
d dR L L j L j j Ldt dt
d dR L L L j L Ldt dt
δ δ δ θ δ θ δσ
δ δδ δ δ δ δ
σ
δ δδ δ
σ σ
ω
δ θ δ ω
δ
− − − − −= + + + + ⇒
= + + + + − − + ⇒
= + + + + +
i iv i i
i iv i i i i
i iv i i{ }32 er rLδ δ+ i
3.86
La ecuación del rotor 3.75, conduce al siguiente resultado:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )3 3 32 2 2
3 3 32 2 2
3 32 2
( )
(
j j j j j j jerr r r r r er m er e
err r r r r r er e m er e
err r r r r er
dde R e L L e L e e j L e edt dt
ddR L L j L j j Ldt dt
ddR L L L jdt dt
θ δ θ δ θ δ δ θ δ θσ
δδδ δ δ δ δ
σ
δδδ δ
σ
ω
θ δ δ ω
δ
− − − − −= + + + − ⇒
= + + − − + + − ⇒
= + + + +
iiv i i
iiv i i i i
iiv i ( ){ }3 32 2) r r r er eL L Lδ δ
σθ− + +i i
3.87
Por último, el par eléctrico de la expresión 3.76, es:
32 Lerℑm i e
*ejδ e− jδ (ejθ ir ){ }+ τm = J dω m
dt+ α fric.ωm ⇒
32 Lerℑm (iee
− jδ )*(ej (θ −δ )i r ){ }+ τm = Jdωm
dt+ α fric.ωm ⇒
32 Lerℑm (i e
δ )*i rδ{ }+ τm = J dωm
dt+ α fric.ωm
3.88
En el modelo de la máquina de inducción definido por las ecuaciones diferenciales 3.86, 3.87 y 3.88, es suficiente con asignar propiedades arbitrarias al ángulo δ , ο a su derivada correspondiente Ýδ , para obtener diferentes sistemas de referencia. Asignando a la referencia δ y a su derivada Ýδ valores nulos, se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales 3.82, 3.83 y 3.84, donde se considera como referencia al eje magnético de la fase “a” del estator. Las ecuaciones diferenciales 3.86 y 3.87 pueden representarse mediante el circuito equivalente que se ilustra en la figura 3.7. Este circuito equivalente está compuesto por resistencias, inductancias y fuentes de tensión dependientes de los vectores espaciales de las corrientes del estator y del rotor.
- 48 -
+ +
v e δ
v rδ
i rδ
i e δ
Ý j δ λ e
δ
j(Ý δ − Ý θ )λ r
δ
Lr' − Mer
' R e R r L e
' − Mer'
Mer'
' '
' 'e ere e
er rr r
L MM L
δ δ
δ δ
=
ii
λλ
Fig. 3.7 Circuito equivalente de la máquina de inducción en el sistema de
coordenadas arbitrarias
El circuito equivalente de la figura 3.7, además de representar dinámicamente el comportamiento de las tensiones y corrientes de la máquina de inducción, también puede ser utilizado para determinar el par electromagnético. Si se evalúa la potencia real total entregada a las dos fuentes dependientes del modelo, se obtiene la potencia instantánea transmitida al eje de la máquina. El cociente entre la potencia instantánea transmitida al eje mecánico y la velocidad angular mecánica, define el par electromagnético instantáneo. El par electromagnético se ha expresado anteriormente en el primer término de la ecuación diferencial 3.88. Realizando estas operaciones, se obtiene el siguiente resultado:
( ) ( ){ }( ) ( ){ }
* *3 3 3 32 2 2 2
* * * *3 3 3 32 2 2 2
*32
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
eje e e e er r e r r r er e r
e e e e er r e r r r r er e r
er r e
p t e j L L L j L L L
m L L L L L L
L m
δ δ δ δ δ δσ σ
δ δ δ δ δ δ δ δσ σ
δ δ
δ δ θ
δ δ θ
δ δ θ
= ℜ + + + − + + =
= ℑ + + + − + + =
= ℑ + −
i i i i i i
i i i i i i i i
i i{ } { }{ }
* * * *32
*32
( ) ( ) ( ) ( )
( )
e r er r e e r e r
er r e m e
L m
L m
δ δ δ δ δ δ δ δ
δ δ
δ θ
θ ω τ
= ℑ + − =
= ℑ =
i i i i i i i i
i i
3.89
El circuito equivalente de la máquina de inducción, en vectores espaciales y con sus coordenadas expresadas en un sistema de referencia arbitrario, es similar al circuito equivalente clásico de la máquina de inducción, válido solamente para
- 49 -
el análisis del régimen permanente equilibrado. Las diferencias más importantes entre estos dos modelos, se centran principalmente en: la presencia de fuentes de tensión en las mallas que representan los circuitos del estator y del rotor, la validez del modelo vectorial en el análisis de la operación transitoria y dinámica de la máquina de inducción, el tipo de variables que utilizan, y la falta de la resistencia en paralelo con la reactancia de magnetización que modela las pérdidas de histéresis y Foucault en el hierro. Si la velocidad angular del sistema arbitrario de referencia es cero, la fuente de tensión de la malla estatórica desaparece. En este caso, la única fuente existente se encuentra en la malla rotórica. Es interesante destacar que la resistencia Rr
(1−s )s del modelo clásico de la máquina, también
representa una fuente de tensión dependiente de la corriente del rotor. La resistencia de pérdidas en el hierro se puede incluir en el modelo vectorial de coordenadas arbitrarias con las mismas consideraciones e hipótesis realizadas en el desarrollo del modelo clásico.
Para ilustrar más las semejanzas existentes entre los dos modelos, se puede particularizar el circuito equivalente en coordenadas vectoriales arbitrarias para las condiciones de operación del convertidor en régimen permanente equilibrado. En régimen permanente, las tensiones y corrientes primitivas de la máquina son trifásicas, sinusoidales, balanceadas y de secuencia positiva. La velocidad angular del eje mecánico permanece constante cuando la máquina opera en este régimen. El vector espacial de la tensión del estator resulta ser:
2 43 3
2 4 2 23 3 3 3
4 43 3
223 3
23
13
cos( )1 2 cos( )
cos( )
1 1
1 3e e e
ej j
e e e
e
j j j jj t j t j te e
j j
te e V t
t
V e e e e e e V e
e e
π π
π π π π
π π
π
π
ω ω ω
ωωω
− −
−
= − = −
= + =
v
3.90
El vector espacial de la tensión del rotor es:
2 43 32
3
01 2 0 0
0
j jr re e V
π π
= =
v 3.91
La corriente del estator es:
- 50 -
2 43 3 ( )22
3 343
cos( ) 1 2 cos( ) 3
cos( )
e e
e ej j j t
e e e e e
e e
te e I t I e
t
π π ω φπ
π
ω φω φω φ
−
− = − − = − −
i 3.92
Y el vector espacial de la corriente del rotor resulta ser:
2 43 3 ( )22
3 343
cos( )1 2 cos( ) 3
cos( )
r r
r rj j j t
r r r r r
r r
te e I t I e
t
π π ω φπ
π
ω φω φω φ
−
− = − − = − −
i 3.93
Expresiones donde es necesario cumplir las relaciones siguientes:
0
r e m
e r m
ω ω ω
ω ω ω
= −
= = = 3.94
Los vectores espaciales definidos entre las expresiones 3.90 a 3.93, cuando se transforman al sistema de referencia arbitraria, son:
v eδ = 3 V e ej (ωe t − δ)
v rδ = 0
ieδ = 3 Ie ej (ω e t −φ e −δ )
i rδ = 3 Ir ej(ω et − φr − δ)
3.95
Como la fuente de excitación de la máquina es sinusoidal, la solución particular o de régimen permanente del modelo, también debe ser sinusoidal. Para obtener la solución particular del problema, se sustituyen los cuatro vectores espaciales de la expresión 3.95, en las ecuaciones diferenciales 3.86, 3.87 y 3.88. Una vez que se simplifican los factores comunes, se obtiene el resultado siguiente:
3 32 2
3 32 2
32
( )( ) ( )
0 ( )( ) ( )
3. . .sen( )
e e e e e e e er r
r r r r r r r er e
e er e r e r
R j L L j L
R j L L j L
L I I
σ
σ
ω δ ω δ
ω δ ω δ
τ φ φ
= + + + + + = = + + + + +
= −
V I I
V I I 3.96
Las variables negrillas con la barra superior representan los fasores tradicionales. El módulo de estos fasores es igual al valor efectivo de la variable sinusoidal primitiva. Los fasores que aparecen en la solución particular del modelo dinámico son:
- 51 -
V e = V eej(ω e t )
V r = 0.ej0
I e = Ieej (ω e t −φ e )
I r = I rej (ωe t − φr )
3.97
Si se escoge un sistema de referencia arbitrario, tal que Ý δ = 0 , y se dividen todos los términos de la ecuación rotórica, del sistema de ecuaciones diferenciales 3.96, por la definición del deslizamiento s = ω r / ωe , se obtiene nuevamente el modelo clásico de la máquina de inducción:
3 32 2
3 32 2
( )
0 ( )
e e e e e eree
rre er e r r
R j L L j LRj L j L Ls
σ
σ
ω ω
ω ω
+ + = + +
IVI 3.98
El par eléctrico se obtiene al despejar del sistema de ecuaciones 3.98, la relación entre los fasores correspondientes a las corrientes del estator y rotor, y reemplazando posteriormente esta relación en la expresión del par obtenida en la ecuación 3.96:
( )32
3 32 2
232
( )
33. . . . ( ) . .
r re r r
e ee r
r e er r e er
re er e r e r r
e
R Rj L L Is ssenj L I L
RL I I sen Is
σωφ φ
ω ω
τ φ φω
+ += − ⇒ − = ⇒
= − =
II 3.99
El par electromagnético calculado mediante los vectores espaciales definidos en el sistema de coordenadas arbitrarias, coincide con el obtenido del circuito equivalente clásico, cuando se restringe el análisis al régimen permanente, sinusoidal y equilibrado.
El modelo vectorial arbitrario ofrece una gran flexibilidad en la modelación dinámica y transitoria de la máquina de inducción. Es independiente de la posición angular θ, e introduce un grado de libertad adicional que es de gran utilidad para acelerar la evaluación numérica del problema. La selección adecuada de la referencia, determina la rapidez de variación de las variables transformadas. Si la referencia tiene una velocidad similar o igual a la de aquellas variables que se están transformando, en el sistema transformado las variables son constantes o su variación es muy lenta. Esto reduce el número de pasos de discretización necesarios por los algoritmos de integración numérica para mantener una determinada precisión.
- 52 -
Otra característica importante del sistema de coordenadas vectoriales arbitrarias es la independencia absoluta del modelo con respecto al valor de los parámetros de la máquina. Algunos sistemas de coordenadas se fundamentan en la selección de algunas variables, de muy difícil medición u observación, como referencias. En estos casos es imprescindible asegurar la determinación precisa de los parámetros del modelo, para evaluar por medio de cálculos y mediciones indirectas de otras variables, la posición instantánea de la referencia deseada. Desafortunadamente, este proceso está repleto de posibles errores, imprecisiones y retardos. La variabilidad de los parámetros con la temperatura o el grado de saturación, y el tiempo requerido por los computadores convencionales para realizar los cálculos necesarios, limitan la aplicación satisfactoria u óptima de estos modelos. La representación de las ecuaciones de la máquina de inducción mediante vectores espaciales con referencia arbitraria pueden resolver muchos de los problemas que se presentan en los procesos de estimación de estado utilizados en los controladores de par, velocidad o posición de estos convertidores.
El control preciso del par eléctrico es un requisito indispensable para el ajuste rápido de la velocidad o posición de la máquina de inducción. El desarrollo de modelos orientados al control automático de la máquina de inducción, está fundamentado en la posibilidad de independizar las variables productoras del par. En la próxima sección se presenta uno de los modelos de la máquina de inducción que más difusión tiene en la actualidad y que resuelve este interesante problema.
3.8 Transformación de las ecuaciones de la máquina de inducción representadas mediante vectores espaciales al sistema ortogonal de coordenadas de campo orientado.
En la sección anterior se presentó un modelo de la máquina de inducción, que es válido en cualquier régimen de operación, posee un circuito equivalente similar al circuito equivalente clásico utilizado universalmente para el análisis equilibrado y sinusoidal del régimen permanente, y además es independiente de la posición angular θ del eje mecánico. Sin embargo, en este modelo las variables que producen el par electromagnético se encuentran estrechamente acopladas. Este hecho complica el control del par eléctrico, de la velocidad angular mecánica o de la posición del eje de la máquina. No es evidente el impacto que tienen unas variables del modelo sobre el comportamiento de las otras, y resulta complicado
- 53 -
establecer relaciones entre las consignas del controlador que garanticen una respuesta rápida del sistema.
El ideal desde el punto de vista de la controlabilidad del accionamiento, lo representa la máquina de corriente continua con excitación independiente. En una bobina se produce el campo, y en la otra la corriente necesaria para producir el par [53]. Adicionalmente el valor del par es casi siempre el máximo posible debido a la ortogonalidad existente entre las fuerzas magnetomotrices de los dos circuitos.
La máquina de inducción convencional, se excita normalmente inyectando corrientes en el estator. En el rotor se inducen fuerzas electromotrices debidas al corte de sus conductores por la fuerza magnetomotriz estatórica. Las corrientes del rotor producen una nueva fuerza magnetomotriz que iteractúa con la fuerza magnetomotriz del estator para producir el par eléctrico. Un concepto interesante puede ser controlar la corriente y/o la tensión en cada bobina, de tal forma que las variables que producen el par puedan ser controladas independientemente. Esta idea es central en el desarrollo del modelo de la máquina de inducción en coordenadas de campo orientado [7].
Debido a que la corriente del rotor no es accesible a la medida u observación directa, es conveniente eliminar o reducir esta variable del modelo. Por otra parte, la inmensa mayoría de las máquinas de inducción convencionales tienen cortocircuitadas las barras o bobinas equivalentes del rotor. En todos estos casos la fuente de tensión independiente del rotor está definida y es cero.
En las ecuaciones de la máquina de inducción en vectores espaciales, las derivadas de las corrientes están acopladas a través de la matriz de inductancias. Si se calculan los autovalores de esta matriz se obtiene el siguiente resultado:
( )( )
( ) ( )
3 32 2
3 32 2
2 3 3 3 32 2 2 2
det 0
. . . 0
je e i er
jer r r i
i e r e r i e r r e e r
L L L eL e L L
L L L L L L L L L L
θσ
θσ
σ σ σ σ σ σ
γγ
γ γ
−
+ −= ⇒ + −
− + + + + + + =
3.100
Con los dos autovalores que resultan de la ecuación característica 3.100, se obtienen los autovectores de la matriz de inductancias:
- 54 -
( )( )
3 311 121,22 2
3 321 221,22 2
11 12
21 22
0 00 0
.
je e er
jer r r
j
j
k kL L L ek kL e L L
k k A B ek k Be A
θσ
θσ
θ
θ
γγ−
−
+ − = ⇒ + −
=
3.101
Para obtener una transformación vectorial que desacople las derivadas de las corrientes del modelo, se puede utilizar cualquiera de las dos filas de la matriz de autovectores 3.101. La nueva transformación, puede ser la siguiente:
i m = A i e + B ejθi r 3.102
Esta corriente, denominada por algunos autores corriente de magnetización modificada [7,53,75], tiene dos grados de libertad que pueden ser utilizados para simplificar el sistema de ecuaciones diferenciales que determina el comportamiento dinámico de la máquina de inducción. En primer lugar se puede despejar la corriente del rotor de la expresión 3.102 y sustituirla en el sistema de ecuaciones 3.77, obteniéndose el siguiente resultado:
( ) ( )
( ){ }
( )
' '
1 1' '
' * 1
'
' ' '
000
.
0
0
e
je eee e er
j jjm e m er er r
e er m e
e ee e
r er r r r m
R L L ep
B e A B e AR L e L
L m B A
R L ABR A j L B AL R j L
θ
θ θθ
τ
θ θ
− − − −−
−
= + − −
= ℑ − ⇒
− = + − − − −
i ivi i i i
i i i
ivi
{ }
1 ' ' 1
' ' '
' 1 * .e
eer er
mer r r
e er m
L L Bp
L B AL L
L B mτ
− −
−
−
= ℑ
ii
i i
3.103
Es evidente en el sistema 3.103, que la selección apropiada de los valores de los coeficientes A y B, puede simplificar notablemente estas ecuaciones. Tal vez la simplificación más importante ocurre cuando se escogen los valores que anulan el coeficiente asociado con la derivada de la corriente del estator, en la ecuación del rotor. En ese caso, se tiene que:
Ler' B − ALr
' = 0 ⇒ AB −1 = Ler' / Lr
' 3.104
Sustituyendo la condición 3.104 en el sistema de ecuaciones diferenciales 3.103, se obtiene el siguiente resultado:
- 55 -
( )
{ }
2' ' ' ' 1
' '
' 1 *
0 /0 0
.e
e eee e er r er
m mr r r r
e er m
R L L L L B pR A R j L L
L B m
θ
τ
−
−
− = + − −
= ℑ
i ivi i
i i
3.105
Una simplificación menor aparece cuando se asigna el valor unitario al coeficiente A. Las ecuaciones de la máquina de inducción en este caso son:
( ) ( )
( ) { }
2 2' ' ' ' '
' '
2'*
'
0 / /0 0
.e
e eee e er r er r
m mr r r r
ere m
r
R L L L L Lp
R R j L L
Lm
L
θ
τ
− = + − − = ℑ
i ivi i
i i
3.106
Además, la corriente de magnetización modificada queda definida entonces por la relación vectorial siguiente:
i m ≡ ie +
Lr'
Ler' e jθi r = ime jδ 3.107
El último paso consiste en representar el sistema de ecuaciones diferenciales 3.106, en un sistema de referencia solidario con la dirección de la corriente de magnetización modificada. Para esto, se multiplican las ecuaciones de tensión por el término de rotación e
− jδ . Los diferentes vectores espaciales, y sus derivadas quedan definidos según las siguientes expresiones:
( ).
..
..
je d q j
e d q d qje d q j
m m mjm m
e v j ve p pi j pi j i j i
e i j ie p pi j i
e i
δδ
δ
δδ
δ
δ
−
−−
−−
≡ + = + + + ≡ +
= + =
vi
ii
i
3.108
Realizando estas sustituciones en el sistema de ecuaciones diferenciales 3.106, y agrupando los resultados en parte real y parte imaginaria, se obtiene el siguiente modelo de la máquina de inducción:
- 56 -
( )( )
( ) { } ( )
'
'
'
' '
' * '
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ. . . . . .
0 . . .
0 . . . .
ˆ ˆ. . .e
d e d e d e e m e q
q e q e q e e m e d
r d r m r m
r q r m r m
e e e m e e q m
v R i L pi L L pi L i
v R i L pi L L i L i
R i R i L pi
R i L i L i
L L m L L i i
δ
δ δ
θ δ
τ
= + + − − = + + − + = − + + = − − + = − ℑ = −
i i
3.109
donde:
( ) ( ) ( )( )
2 2' 32' 3
2' 32
ˆ er ere e e e
r r r
L LL L L L
L L Lσσ
≡ − = + −+
3.110
El sistema de ecuaciones 3.109, está constituido por cinco ecuaciones. Las dos primeras determinan las componentes directa y cuadratura de la tensión del estator en el sistema de referencia definido por la posición espacial de la corriente de magnetización modificada. Las ecuaciones tercera y cuarta están asociadas con el circuito rotórico. La quinta ecuación determina el par eléctrico, en función de las nuevas variables. Hay que destacar en este punto, que las ecuaciones tres y cuatro son independientes de las derivadas de las corrientes del estator. En otras palabras, si se utiliza como variable independiente la corriente del estator, las ecuaciones primera y segunda no son necesarias para definir la dinámica del sistema. Reescribiendo las ecuaciones tercera y cuarta se obtiene el siguiente resultado:
T r .pim + im = id 3.111
.q
r m
iT i
δ θ= + 3.112
donde: ( )' 3
2 r rrr
r r
L LLTR R
σ+= = 3.113
La ecuación diferencial de primer orden 3.111, determina el comportamiento del módulo de la corriente de magnetización im , en función de la componente directa de la corriente del estator - según la dirección del vector espacial i m -. Esta ecuación es semejante a la del circuito de campo de una máquina de corriente continua de excitación independiente. La expresión 3.112, determina el comportamiento dinámico de la dirección del vector espacial i m . Si se observa con
- 57 -
detenimiento, esta expresión es equivalente a la ecuación del circuito de armadura de la máquina de corriente continua. El producto '. .r mL iδ corresponde con la fuerza electromotriz aplicada, el producto '. .r mL iθ con la tensión inducida, y Rriq
representa la caída en el circuito de armadura. La analogía es completa cuando se compara la ecuación del par eléctrico, en este sistema de coordenadas se determina a través del producto de la constante
ˆ L e − Le
'( ), por la corriente de campo
im , y por la corriente de armadura iq , tal como sucede en la máquina de corriente
continua.
La posibilidad de controlar la corriente del estator de la máquina de inducción mediante fuentes electrónicas de potencia, simplifica los accionamientos a velocidad variable. Esto se debe principalmente a que los modelos del convertidor en campo orientado producen el par eléctrico mediante dos variables independientes. Por una parte el módulo de la corriente de magnetización im se puede controlar ajustando la componente directa de la corriente del estator id . Por la otra, el par eléctrico depende directamente de la componente en cuadratura iq .
El modelo de la máquina de inducción en coordenadas de campo orientado desacopla las variables que producen el par eléctrico. Sobre este modelo se pueden aplicar las técnicas de control clásico de las máquinas de corriente continua [53]. En la máquina de corriente continua, el campo debe ajustarse al mayor valor permisible por la saturación del material ferromagnético, y por las especificaciones nominales de la máquina. Esto garantiza retardos mínimos en la respuesta de los accionamientos a velocidad variable. El campo es un circuito que posee una constante de tiempo lenta, por esta razón no es práctica su utilización como regulador rápido del par eléctrico. Por otra parte, el circuito de armadura posee constantes de tiempo mucho menores que facilitan el ajuste rápido de la corriente correspondiente. Por estas razones, en la máquina de inducción se controla el flujo mediante el ajuste de la componente directa de la corriente estatórica id , que define la corriente de magnetización im . La componente en cuadratura iq , se utiliza para
controlar el par, la velocidad o la posición de la máquina.
Desde el punto de vista del control, el modelo de campo orientado tiene múltiples ventajas: es simple, aplicable en controladores electrónicos prácticos, y tiene una interpretación física concreta. Sin embargo, el modelo de campo orientado de la máquina de inducción tiene algunos inconvenientes que limitan o
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restringen su aplicación. El primer problema se debe a la necesidad de transformar las variables externas y medibles de la máquina a una referencia que en principio no se conoce. Esta referencia tiene que ser determinada a partir de la solución del propio modelo, o medida utilizando transductores especiales ubicados en el interior de la máquina. La solución del problema de estimación de variables internas parte de la hipótesis del conocimiento, más o menos preciso, de los parámetros del modelo. Esto constituye el segundo problema importante, los parámetros de la máquina de inducción varían durante su operación. Esto repercute en la aparición de errores importantes en la dirección estimada para la referencia del modelo. Evidentemente, el resto de las variables expresadas en esta referencia, también son erróneas o imprecisas. Por último, la velocidad de la posición angular δ , depende del inverso de la corriente de magnetización im . En otras palabras, cuando la corriente de magnetización es nula, la referencia de la posición angular δ , queda indefinida, y el modelo no puede ser evaluado numéricamente. Durante estos instantes es imprescindible cambiar momentáneamente la referencia para salvar la discontinuidad y poder continuar con la evaluación del modelo.
La selección de una constante diferente a la obtenida en 3.104 para definir la corriente de magnetización, podría simplificar la ecuación del estator o el conjunto completo de ecuaciones. Esta constante en particular, simplifica la ecuación del rotor, y desacopla la dependencia de las derivadas de la corriente del estator en estas expresiones. El costo de esta simplificación es la dependencia de la referencia con los parámetros, y por consiguiente con las condiciones de operación de la máquina.
En la actualidad existen varias alternativas para obtener fuentes de corriente independientes y controlables, requeridas por estas estrategias. Los sistemas de adquisición de datos, y el procesamiento en tiempo real de la información, hacen posible una determinación precisa de la referencia y de las consignas de control. Para este fin es necesaria la aplicación de las técnicas de estimación de estado y de estimación paramétrica. En la figura 3.8 se ilustra el esquema en diagrama de bloques que representa el modelo de la máquina de inducción en coordenadas de campo orientado.
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23
1e
j 2π3
ej 4π
3
t
e−j δ
v a
vb
vc
vα
vβ vq
vd +
+
δ
1Re
⋅ 1Tep +1
1Re
⋅ 1Tep +1
1r p +1T
÷ 1 Tr
1 Tr Le'− ˆ L e
-
p i m
im
id
Le'− ˆ L e
ˆ L e
iq
š iq
1 p
δ
δ.
θ.+
+ im
+
-
id
im
+
δ.
ˆ L e š
δ.
id
šδ.
im
im
š im
iq
Le'− ˆ L e
τe
--
Fig. 3.8 Modelo de la máquina de inducción en variables de campo orientado
3.9 Análisis comparativo de las diferentes técnicas de modelación de la máquina de inducción.
En las secciones precedentes se ha presentado en forma resumida la aplicación de diferentes técnicas para la modelación de la máquina de inducción. Las leyes físicas, la conservación de la energía y los principios variacionales más generales, permiten la determinación de modelos matemáticos que reproducen con diferentes grados de aproximación el comportamiento dinámico o estático de esta importante familia de convertidores electromecánicos.
Los modelos en coordenadas primitivas tienen una aplicación limitada debido al esfuerzo numérico requerido por la solución. Los modelos en régimen permanente pueden solventar parcialmente estos problemas, pero es conveniente utilizar una representación fasorial de las variables para simplificar los cálculos. La transformación de coordenadas es un método eficaz para la determinación de modelos simples de la máquina de inducción. Las transformaciones pueden o no tener interpretaciones físicas concretas, pero son de gran utilidad en la medida que desacoplan, independizan o simplifican las relaciones entre las variables. La transformación de componentes simétricas es una herramienta fundamental para
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este fin debido a las simetrías cíclicas que presenta la matriz de inductancia de la máquina. Los vectores espaciales son una expresión simplificada de la transformación de componentes simétricas. Las transformaciones a sistemas de referencia arbitraria o a la referencia de campo orientado, ofrecen un método conveniente para eliminar la dependencia en la posición angular en las variables de estado.
El sistema de referencia arbitrario elimina la dependencia en la posición angular del rotor y es independiente del comportamiento dinámico o transitorio del convertidor, así como de sus respectivos parámetros. Esta es una ventaja muy útil cuando se plantea la necesidad de obtener controles universales para máquinas con diferentes parámetros característicos. El sistema de referencia por campo orientado depende de los parámetros y del comportamiento instantáneo de la máquina, pero simplifica notablemente el modelo y hace compatible el control de la máquina de inducción con las técnicas desarrolladas para el accionamiento de las máquinas de corriente continua.
En definitiva, se puede asegurar que cada uno de los modelos tiene un rango de aplicación que debe ser delimitado para evitar posibles problemas. Desde el circuito equivalente clásico, pasando por las interpretaciones del diagrama de círculo, o las representaciones más modernas de la máquina de inducción, pueden ser de utilidad a cada una de las personas o sistemas que utilizan estos convertidores. Es importante destacar la necesidad de conocer en todo momento las hipótesis que limitan cada modelo para definir con precisión su ámbito de aplicación. Para calibrar el ajuste de una protección no es necesario, y probablemente tampoco es conveniente, utilizar el mismo modelo empleado por el ingeniero de control en la memoria de un accionamiento moderno de alta precisión y velocidad de respuesta.
No ha sido el objetivo de este capítulo presentar un resumen de todos los modelos de la máquina de inducción. Tampoco se pretende ilustrar todas y cada una de las técnicas básicas utilizadas para esta finalidad. Por el contrario, la intención fundamental es la de ofrecer un abanico de posibilidades que permiten afrontar el problema con diversas profundidades y conjuntos de hipótesis. Es probablemente que no exista el mejor método de modelación, pero siempre es necesario conocer la técnica más adecuada o conveniente para la solución de un determinado problema.
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En la medida que avanza la tecnología moderna serán necesarios más y mejores modelos. Algunas hipótesis ampliamente aceptadas hoy en día, pueden ser burdas aproximaciones mañana. También es posible que suceda lo contrario, el exceso de refinamiento puede dejar de ser necesario. Nuevas herramientas matemáticas y numéricas pueden y deben sustituir las actuales ideas, cada día es más importante la unificación de conocimientos de diferentes áreas en la solución de los problemas. Es necesario luchar contra la ultra especialización que puede retardar o limitar la búsqueda de nuevos enfoques, pero al mismo tiempo es indispensable profundizar en el conocimiento teórico y práctico de cada área. Tal vez esto sea una contradicción, tal vez un reto que afrontar. El futuro de la tecnología depende de las máquinas, seguramente durante el próximo siglo los convertidores electromecánicos continuarán siendo muy importantes para el desarrollo de la humanidad. Es necesario desarrollar más y mejor esta área del conocimiento. No todo está dicho, es necesario recorrer con firmeza este camino.