capÍtulo 3 - el sitio oficial de nelson caceres · se obtiene de dividir potencias iguales y con...

CAPÍTULO 3

Expresiones algebraicas

3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Objetivos

Al terminar este capítulo , el lector podrá:

3 Manejar expresiones algebraicas conexponentes enteros positivos , negativos yfraccionarios.

3 Reducir, multiplicar, dividir y racionalizarexpresiones con radicales.

3 Convertir expresiones con exponentesfraccionarios a expresiones con radicales.

3 Sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios.Estructura del capítulo

Introducción

3.1. Potenciación.3.2. Exponentes enteros.3.3. Exponente cero y negativo.3.4. Radicales.3.5. Polinomios.3.6. Aplicaciones.3.7. Manejo de polinomios con Mathematica.

INTRODUCCIÓN

EN EL LENGUAJE de las matemáticas, los símbolos son elementos esencialespara escribir expresiones en forma concisa y breve; esto nos permite plantear

y resolver diferentes tipos de problemas utilizando el mismo razonamiento. Eldesarrollo de este lenguaje tuvo lugar al generalizarse de la aritmética al álgebra.

El álgebra , por lo tanto, tiene una estructura sencilla, caracterizada por un con-junto de operaciones : suma, resta, multiplicación , división, exponenciación y ex-tracción de raíces, que se realizan de la misma forma que en la aritmética connúmeros, sólo que en el álgebra se utilizan símbolos.

Los números se usan , como en la aritmética, para representar cantidades determi-nadas y, generalizando , una letra representa una cantidad cualquiera. Asimismo, lasoperaciones están sujetas a determinadas condiciones , llamadas propiedades o leyes.

Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias de las operacio-nes mencionadas , con números o símbolos cualesquiera . Así, las siguientes expre-siones son algebraicas:

3x:y; x2- 5xy+y4

así como también 3b -y

1 05

106 Álgebra básica

Las expresiones algebraicas más sencillas se denominan términos y son aque-llas en las que sólo intervienen números, letras y cualesquiera de las operaciones,exceptuando la suma y la resta, como : 3x/2y, 5 /cib, 5x2y3.

Un solo término algebraico se denomina monomio,« pero si las expresiones es-tán ligadas mediante las operaciones de suma o resta se denotan de acuerdo con elnúmero de términos utilizados.

Así, un binomio consta de dos términos, un trinomio de tres y un polinomio decuatro o más términos . Por ejemplo : -2x,' y + Z es un binomio , 4x2 - 5xy+y4 esun trinomio y 3x4 + 5x3 - 2x2 +x- 3 es un polinomio.

Como resumen tenemos que:• El álgebra es la parte de las matemáticas que trabaja con las propiedades

generales de los números y las generalizaciones que de éstas provienen.• Las propiedades generales de los números y las generalizaciones se usan para

denotar números arbitrarios y establecer propiedades válidas en general.• Una expresión algebraica es la combinación de una o varias de las opera-

ciones , con letras o símbolos.• Una ecuación es una proposición que establece la igualdad de dos expresio-

nes algebraicas.• Un término es una expresión algebraica en la que no intervienen las operacio-

nes de suma o resta, como 3x2y o 58x3y8.• Un monomio es una expresión algebraica con un solo término. El binomio

tiene dos términos , el trinomio tres y el polinomio consta de cuatro términoso más, así 3x2y + 58x3y8 es un binomio y 3x2y - 58x3y8 + 347xyz es unpolinomio.

3.1. POTENCIACIÓN

La potenciación es una operación que consiste en tomar una expresión algebraicacomo factor dos o más veces; al resultado de esta operación se le llama, potencia. Así:

Si x e R, n e Nentonces : x" = (x) (x) (x)... (x) = n-ésima potencia de x.

Al entero positivo n se le denomina exponente y a x se le llama base.La primera potencia de una expresión es la misma expresión: x' = x.La segunda potencia, o cuadrado de una expresión , es tomar dos veces como

factor a la expresión : x2 = (x) (x).

3. Expresiones algebraicas

3.1.1. Potencia de un monomio

107

Para elevar un monomio a un exponente, es necesario elevar el coeficiente adicho exponente y multiplicar el exponente de cada literal por el exponente de lapotencia.

Ejemplos de 3.1.1

1. (4 ab3)2= (42) (a2)( b3x2) = 16 a2b6 Q(4 ab3)2= (4ab3)(4ab3) = 16a2b6

2. (-2 a2b4)2 =(-22)(a2x2)(b4x2)

=4a 4 b' Q

3. (-3X2 b')' = -33x6b9= -27x6b9

3 3' 14x 64x4.

3a2) 27a6

5. -5y2 2 = 25y47x3 49x6

En los ejemplos anteriores se presentan dos casos, cuando el monomio es nega-tivo: 1) Si el exponente es par, el signo de la potencia es positivo; 2) Si el exponen-te es impar, el signo en la potencia es negativo.

3.2. EXPONENTES ENTEROS

3.2.1. Producto depotencias de igual base

Este producto es igual a la potencia que se obtiene de elevar la base común alexponente que resulta de la suma de los exponentes de las potencias que se deseanmultiplicar.

(a")(am) = a"*m


Ejemplos de 3.2.1

1. (22)(23)=22+3=25=32 9

2. (3-2)(34) = 3-2+4 = 32

3. (-2)4(-2)2 = (_2)4+2 = (-2)'= 64

4. (x-2)(x4)(x5) = x- 2+4+5= x7

5. (xy)3(xy)2 = (_y)3+2 = (xy)5

3.2.2. Elevar una potencia a otra potencia

Esto es igual a la base elevada a un exponente, que se obtiene de multiplicar losexponentes originales.

(an)m = a(n)(m)

Ejemplos de 3.2.2

1. (42)3 = 4(2)(3) = 46

2. (x5)4 = x(5)(4) = x20

3. [(-1)3]4 = (- 1)(3)(4) = (_1)12 = 1

4. [(xy)2]3 = (xy)(2)(3) = (xy)6 JJ

5. [(-ab)2]2 = (-ab)(2)(2) = (-ab)4

3.2.3. Producto elevado a una potencia n

Este producto es igual al primer factor elevado a esta potencia por el segundofactor elevado a la misma potencia.

3. Expresiones algebraicas 109

((a)(b))n = (an)(bn)

Ejemplos de 3.2.3

1. ((2)(5))3 = (23)(53)

2. (4xy)Z = (42)(xz)(y2)

3. (-3ab)4 = (-3)4(a4)(b4) = (81 )(a4)(b4) Q

4. (1/2 ab )3= (1/2)3 (a3)(b3)

5. (3x2)2 = (32)(x2)2 = (32)(x4)

3.2.4 Elevar un cociente a una potencia n

La operación de elevar un cociente a una potencia n es igual a elevar por separadoel numerador y el denominador a esa potencia.

n(a^ _ab b"; si b:Pl- 0

Ejemplos de 3.2.4

1.(5\4

)3

5434

2 z z.

^ x - x_'-22yU) y

3.¡3x4 - (3x)4

\a) a4

4. C4xy1 - (4xy)5

3ab) (3ab)5

110 AÍlgebra básica

5. ( nx-(mx)3

ny (ny)'

3.2.5 Cociente de dos potencias de igual basey exponente diferente

Este cociente es igual a elevar la base a la potencia que resulta de la diferenciaentre los exponentes. Los resultados posibles son:

Ejem píos de 3.2 5

416x 4 42 x1 . =8x 2'x

5x4 5'x42.

25x' 5'x'

4

3. aa

27x' 3'x34.

3x 3x

4-3)(X4- 1) = 2 x '

1

(

1

5x-

- -')(x31)=3 2 x 2 =9x 2

7x2 7'x2 1 1 1343x4 7 3x4 (731)(x4-2) 7 2x2 49x2


3.3. EXPONENTE CERO Y NEGATIVO

3.3.1. Exponente cero

Se obtiene de dividir potencias iguales y con la misma base

2a

za 2-2 0=a =a

donde toda cantidad elevada a cero equivale a 1.

a°=1;si at- 0

E^enrplos de 3.3. I

1. 5°= 1

5

2.X

= x 5-

X5

3. (ln3)(in(')= 1713+° = m3

4. (n5)(n°)= n`+° = ns

5. (x4)(x°)=(x4)(1)=x4

3.3.2. Exponente negativo

111

Se obtiene de dividir dos potencias de igual base, con exponente mayor en el divi-sor y menor en el numerador.

9

a` 2-3a

-1=a` =

a

si a:0, entonces l es conocido como el inverso multiplicativo de a.a

a_1 1


Por ejemplo:

a_3 = a(-I)(3) = (a- 1)3 = al a3 a-'

C1-3 - ^a} ka) ka} a

Toda cantidad elevada a un exponente negativo es igual a tener en el numeradorel 1 y en el denominador la base con el exponente positivo. Si a es un número realdiferente de cero y n es un entero positivo:

1a =

a

Ejemplos de 3.3.2

3. C 'y = -1 =5122 ^ly

r4. 1 J 4 m 5n2=

3

1

(2L^3 j

rm5Jrn2-i 2 1 5 z 16m1n2m nC3)

Q

1 3

5. 23x23=23^12 13] =

-2

x y x y


Ejercicios de 31, 3.2y 3.3

1. (-4a)3 R. -64a32. (-6azb)z R. 36 a4b23 (4ab4 3 2. c ) R. 16 a2b8c6

4.2ab

212

3m3iR. 4a2b4

9m

113

5. í5

-'a2b3) R. - 1 alob1532

6 (a5+ 7b4)2.R. a10+ 14a5b4+ 49b8

7 (3x4- 5 3 2. x )y 6R. 9x8 - 30x5y3+ 25x28. (2a+ 3b )3

y

R. 8a3 + 36a2b+ 54ab2 + 27b39. (4a- 3b 2)3

10. (-x3)3R. 64a3 - 144a2b2 + 108ab4 - 27b6R. (-x)9

3 411 [(-2 ]. ) R. (-2) 12

Descomponer en factores

12.013X)2 R. (1/3)2(x)213. (4xy)3

R. (43)(x3)(Y1)14. (-2mn)3R. (-2)3(m3)(n3)15-(2)(7)1 R. (2)(7)5

Elevar un cociente a una potencia

4x 4 416)

(4x).3b R. 4(3b)

Exponentes fraccionarios y negativos

z17. 4y

256y5

81x2 v 318.

9xy2

19. -81yz

6561y 8

1R.

64y3

R. 9xy

81y6

114

x2y320. 2

xxy y

Álgebra básica

R. 1

Exponentes cero, fraccionarios y negativos

( 21

21. m4

22. b -3

23.

R. m4

--1 3R. b

M

\.m2 )

R.1.^ 16

l4)27

R. 3 2X y

C4

,

j2

24. 31X-1y-2

25.

n2 9n22

R. ^1I2m 3 m3

^,3

3.4. RADICALES

Radical es la raíz de una cantidad denotada por el signo n¡-, que consta de uníndice y una cantidad subradical, a la que se le extrae la raíz indicada por el índice.

3.4.1. Exponente fraccionario

Se obtiene de extraer una raíz a una potencia

conaeR+yn:#0


donde:

n es el índice de la raíza la cantidad del subradical

símbolo del radical

Ejemplos de 3.4.1

1. 16y = 4116=2

2. 16Y = 3%a

3. 4ay2=4'

4. 8y =3.T8=2

5. (-8)Y = 'JA = -2

6. (0)//" 0=0

Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo , que satisface:

[T=b<=^> b"=a

como b"= a y n es un entero positivo, entonces bes una raíz n-ésima de a.

7. (-4)2 = 16, la raíz de 16 es +4 y -4

2í!6=+ 4

8. (-3)2 = 9, la raíz de 9 es +3 y -3

^l9 =+ 3

9. (-2)3 = -8, la raíz cúbica de -8 es solamente -2

oír 8 = - 2


De los ejemplos anteriores se puede afirmar que:

1Es positiva y negativa sia es positiva y n es par

Es negativa si a es negativay n es impar

Toda potencia fraccionaria min, m y n enteros, con una base a diferente de cero(a :Pl- 0) se expresa en forma de radical, en donde n es el índice del radical, a es elsubradical y in es exponente de este último.

n

an = "a

10.

11. 2m` =2 ni

12. 5m 7sa = 5 5 ni` ;'n5

13. 3ah'3 = 3a'rbi


3.4.2. Radicales semejantes

Son los que tienen el mismo índice (n) y la misma cantidad en el subradical.

Ejemplos de 3.4.2

1. m-T3, x,/

2. 2-15, x15

3. b-/95, abc -í95, c-í95

4. a-J2, m-38, x-13

5. 23!5, x -,,_5

6. b-J-93, abc 9 , c4J95

3.4.3. Simplificación de un radical

117

Para simplificar radicales es necesario extraer la raíz de cada uno de los factores,hasta llevarlos a su mínima expresión.

Ejemplos de 3.4.3

1. 318á = 3;'2 a á2 = 2a3/

2. ,%108a5b'2

Radicales semejantes

Radicales no semejantes

2!(6 (3)(a4ab4b2b = 3a2b3 -.í-3ab

3. 33,116 = 3 3,,/(23)(2) = (3)(23j2) = 6312


3.4.4. Introducción de un coeficiente dentro de un radical

Se eleva el coeficiente a una potencia igual al índice del radical.

Ejemplos de 3.4.4

1. 4 ix=.'42x= I1 6x

2. 2x2 a2b = 22(x5)2a2b = ' 4x4a2b

3. 2msm2

= m 3 m 2 = 8m' !--

4. (a + b) a = (a + b)2a

j(a+b) (a+b)a+b)=,ia +ab

3.4.5.. Suma de radicales semejantes

Se suman algebraicamente los coeficientes y la suma de éstos es el coeficiente delradical común.

Ejemplos de 3.4.5

1. 2 ;4+3 i4+3 4=(2+3)!4=5:4

2. 4,3a+ 8 ' 3a=(4+8 )-J3a=12-J3a

3. 3, 7-4- ,17=(3-4)J7=-i/-7 Q

4. 5a ':5-8a 3^5=(5a-8a) ^./5=-3a 5á5 Q


3.4.6. Conversión de radicales distintos a otros,con índice igual al m. e. m. de los índices

119

Se obtiene el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, se divide entre cadaíndice, y el subradical se eleva al cociente calculado.

Ejemplos de 3.4 .6

,

El m.c.m. de los índices (3, 4, 2) = 12

índice común- 12 12 12= 6, 4, 3

índice del radical 2 ' 3 ' 4

12, 26 14 12;23

l^/-729, T_256, tz g

2. 313x2y, 18y2z

El m.c.m. de los índices es el 6

índice común _ 6 6 6

índice del radical 2' 3' 6

6 (2x) , 6 (3x2Y)2, 618y2z

3.4.7 Suma y resta de radicales

Para sumar y restar radicales, primero se operan los radicales semejantes y des-pués se simplifican los radicales no semejantes.

120 fllgeba básica

Ejemplos de 3.4.7

1. 25+9 12-7'48+8-:5

(2 + 8) 5 + 9 (22)(3) - 7-:(24)(3)

1 05+1 8 - ,3-2 8 -3

105-103

12

6

3

2 (22) (3)2

48

24

12

6

3

2. 45- 27-- 20

(32)(5)-. (32)(3)-.(2 (5)

3 5-3 3-2-,5

5-3 3

45 3 27 3 20 2

15 3 9 3 10 2

5 3 5

(32) (5) (32) (3) (22) (5)

3. 80 - '63 - 180

(24)(5) - í(22)(32)(55

4 '5-37-6-.5

-2-'5-3 7


3.4.8. Multiplicación de radicales del mismo índice

Se multiplican los subradicales, el resultado queda dentro del radical con el índicede la raíz.

Ejemplos de 3.4 .8

1. (3-/10)(2-/15)

(3)(2) ,^ (10)(15) = 6-/150 = 6 -^Í(2)(3)(52) = 30 ^6

2. (4-11"3)(3-/f2) = (3)(4) 3)(12) =12-x'36 = 72

3.

4.

3

83a^ (8'!9ab2) = 28 'i/27áb' = 63/(3 )(a,)(b?) =18a ^ib

5( 3z6 J= l5324ax=153/(21)(3 a x 303 3ax= 5 /3ci,x Q6 42 )( )( ) - 42 7

5. (2x-./2a a6x 10a2=6x

a a

6. (53F2-á)(-/"zíá ) = 53

10)(a2) = 6x-10

=5(2a)=10a 9

3.49. División de radicales del mismo índice

Se obtiene un radical del mismo índice con el cociente de ambos subradicales.

Álgebra básica

3',' 3x

x2 -1

x+1

2 48x 3y

3. =34'3xy

6x 2X' = '1x'=2x3Jx

3

x -1)(x + 1)

x+1

- - _1¡48x-y =1 ,16x y

-2 _ (4xy_l) _ 2x

JLJ3xy3 2 2 y

3x y 4 3x4y2 2

23 2 6 x4

3x2 z2xy r3

y33'

3.410. Potenciación de radicales (radical elevado a una constante)

En este caso, se eleva a la potencia cada uno de los valores que se encuentra fuera

y dentro del subradical.

(a9 M "' = ani n/ _nF

Ejemplos de 3.4.10

1. (a", b)" = (ab '/„ ) ` = a'nb

2

2. (5.12x )2 = {5(2x)3] = 52(2x)3/ = 25 ,(2x) 2 = 25(2x) = 50x

3. [23/2x2y)]4 = 24 ^•/(25) 4 = 32x2y 3i2x 2y

4. (418x3)2 = 4Í(8x3)2 =2x 32x Q

=192xy ix5. (46;'9x3y4)3 =4 3 6 (9x 3y 4)3 2


3.4.11. Radicación de radicales

La raíz de una raíz se resuelve mediante el producto de los índices de cada una,mismo que se convierte en el nuevo índice de la segunda raíz.

Ejemplos de 3.411

1. 3,/729=/'x729=3

Q

a2 -:!4á ='J43.!a 9

4. ',,1^024='ó^1024=2 P

5. _ .'(6)(6) _ 1J6 = -'6

3.4.12. Racionalización del denominador cuando es un monomio

La racionalización consiste en eliminar los radicales de una fracción, ya sea queéstos se encuentren en el numerador o en el denominador.

Si la fracción tiene un monomio con un radical en el denominador, para racio-nalizarla se multiplican tanto el numerador como el denominador por el radicalque desea eliminarse.

Ejemplos de 3.412

1. 2 2)(,2)42_2,/2

2. 8x 8x /8x- J2x 4 Q

J2x -[2x -.2x 2x


6 6 3 3a2 63,'3a2 6 3 3a2 6-'í 3a2 2,, 23. -

3, 9a 3i3a2 3,32a 3'3a2 3 3a3 3a a 3a

36x 4,23x2 36x 4¡23x2 a' -236x 36x 4!23x2_ =18-,j 8x -4'2x2 a 2x2 á 23x2 a2xa 2x

3.4.13. Racionalización del denominador de una fracción cuandoes un binomio con raíces cuadradas

Se multiplica el denominador y el numerador de la fracción por el conjugado 0> deldenominador.

Ejemplos de 3.4 73

2--J21. ---- - p

2+5-i2

En general , el conjugado de (a+ b ) es (a- b ), y (a+ b) es el conjugado de (a- b);

así, el conjugado de (2 + 5 ./2) es (2 - 5 I2).

^2+5.5)2 J 221 (5^%5)2^ 14-1252 141212

2.12

El conjugado de (-,, '15 es

5 + . 2 12(-J5 + 2) 12(-J5 +

5+ 2 (;5)2-( 2)2 5 22

12(-/'5+-t2) r

3

( D El conjugado es una expresión que sólo difiere en un signo.


El conjugado de (— x - -J 33) es ( x + 3)

x-3 1ix + -13 (x-3)( +-J3)_(x-3)( /x+ !3)_1x +^I3

X - 3 l-x + -T (^^x)2 3)2 (x -3)

Ejercicios de 3.4

Expresar con signo del -radical

1. xy

2. b3

3.8a5b5c%

Expresar con exponente fraccionario

4. 2 4, a3

5. x3 5¡ya

6. 5a-5

x3y

4z

H

7.3`''a 5! b4

Simplificar el subradical

8. '49x3y'

9. 3 250a3b8

10. 3 125mn65

R. 2

R.x2y%

R. 5ax5y ,z%

R. 3a6b 5

R. 7xy3 í xy

R. 5ab2 3%2b2

R. 3n3 3 5m


Introducir la cantidad dentro del radical

11. 3 6 R. 54

12. 5x2y2 3x R. ¡'75xsy4

13. (1-a)1 +a

R. 1- a 21-a

2x3 214. (x+1) R. 12x +2x

x+1

Reducir los radicales semejantes

15. 8 5-10 5 R. -2 5

16. 33 2-1 32 R. 1 3 24 2 4

17.3 8- 8 R. -2 85 5

Reducir los radicales al menor índice

18.'4, 25

19. 48a2x3, 3a5,n46

R. '16, ' 125 = ", (16) (125)

R. 12 12a6x9 129alOm8

20. 33á, 2 2b, 44.'5x2 R. 3121a4, 21,2412l25x6

Sumar los radicales

21. 175+ 243- 63-2-:75 R. 2i7- 3

22. 3 80 - 4 320 - 5 800 + 7 450 R. 5 2 - 20 5

Multiplicar los radicales

23. C 211 2 142 1 '

R.

24. (8 12) (3 75) R. 720


25. (Vi 92b)(833 3ab2 ) R. 96ab

26. (2-.'35 )(-314)(3-, 6) R . 84-J15

Elevar los radicales a una potencia

27. (6-J2)2 R. 72

28. (2 r7)2 R. 28

29. (24 x )2 R. 8x-/2x

30. (46a3b4) 3 R. 192 ab2 3a

Radicación de radicales

31.-J3x R. X

32.

33.

34.

4,/- 381

3!4;27ay3

R. 33

R. 61-25

R. 4I3ay

R i li l d i dac ona zar e enom na or

6`35 39a2R.

5333a.5a

5 + 2^ %336. --- R. 2 + -f3

4 - /3

37.,!2-3_r3

R.19-7- 0

127


3.5. POLINOMIOS

3.5.1. Suma de monomios

En álgebra, la suma significa aumento o disminución, mientras que en aritméticasignifica solamente aumento.

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se debe escribir una a continuaciónde la otra, con sus respectivos signos, y reducir los términos semejantes si los hay.

Son términos semejantes los que tienen factores literales idénticos, las mismasletras elevadas a los mismos exponentes: 3abc, 8abc, -10cba.

Son términos no semejantes los que no tienen factores literales idénticos (por lomenos uno difiere en los exponentes): 5abc, l0abx, -8abe, 4dab.

Sumar a y +b es igual a (a + b).Sumar a y -b es igual a (a - b), que significa restar de a el valor absoluto de -b

(que es Ib1).Sumar -a y -b es igual a (-a - b), que implica restar de a el valor absoluto de

-b (que es lb¡).

Ejemplos de 3.5.1

1. Sumar 3a, 6a, 8b Q3a+ 6a+ 8b= 9a+ 8b

2. Sumar 5xy, -3a5xy- 3a

3. Sumar 7x, 4a, 15x, 9a, -4 P7x+4a+ 15x+ 9a - 4 = 22x + 13a-4

4. Sumar 7xy , 8yy, 3x^'2, 4y , 2z3 g1/ 2/ 1/ 2/

7x'2+8y^3 + 3x+4y 3+2z3

=10x72+l2y73+2z3


3.5..2. Suma depolinomios

Para sumar polinomios se acostumbra colocar uno debajo del otro (o de los otros),para que todos los términos semejantes queden en una sola columna y se procede ahacer la operación con éstos.

Ejemplos de 3.5..2

1. Sumar 5a - 6b y -2a + 4b Q

Solución:5a- 6b

-2a+ 4b3a - 2b

2. Sumar2a -2b+cy6a+4b-3c

Solución:2a- 2b+ c6a+4b-3c8a + 2b - 2c

3. Sumar 2x2 - 4xy + 2y2; -5xy + 8x2 - 4y2; -9y2 - 6xy - 9x2

Solución:2x2 - 4xy + 2y28x2 - 5xy - 4y2

-9x2 - 6xy - 9y2x2- 15xy- lly2

4. Sumar1x2+2xy;

Solución:

1 12x`+2xy

1 1+4xy +4y

1 1

4xy+4yp

1-


5. Sumar 5aY -6by y -2ay + 3by

Solución:

5ay -6by

-2aY2 + 3b 4

3ay - 3by

Otra forma de sumar los polinomios es mediante el uso de la ley distributiva dela multiplicación.

3.5..3. Ley distributiva de la multiplicación

Si a, b, c c= 9a(a+b)=ab+aca(b - c) = a[b + (-c)] = ab + a(-c) = ab - ac-a(b + c) _ -a(b) + (-a)(c) _ -ab - ac-a(b - c) = (-a)(b) - (-a)(c) = -ab + ac

Ejemplos de 3.5.3

1. Sumar 4a - 3b y 8b - 2a

Solución:(4a-3b)+(8b-2a) =4a-3b+8b-2a

_ (4a - 2a) + (-3b + 8b)_ (4 - 2)a+ (-3 + 8)b=2a+5b

2. Sumar-2b+3a+2cy4b+8a-6c

Solución:(-2b+3a+2c)+(4b+8a-6c) =-2b+3a+2c+4b+ 8a--6c

= (3a + 8a ) + (-2b + 4b) + (2c - 6c)_ (3 + 8)a + (-2 + 4)b + (2 - 6)c= lla+2b-4c


3. Sumar 2x2 + 2y2; 8x2-4y2; -9y2 - 6x2

Solución:(2x2 + 2y2) + (8x2 - 4y2) + (-9y2 - 6x2) = 2x2 + 2y2 + 8x2 - 4y2 - 9y2 - 6x2

131

= (2x2 + 8x2 - 6x2) + (2y2 - 4y2 - 9y2)=(2+8-6)x2 +(2-4-9)y2= 4x2 - l ly2

4. Sumar2lx2

+33xy;2 2xy+3ly2

Solución:

11 2 1 1 1 2 l 1 2 1 1 1C x +3xy I+ 2xy+3y I=2x +3xY+2xy+3y

2 x + 3 +1J

=2 3y2

+ 3 y

1 2 1 2 5=2x +3y +6xy

5. Sumar -2by4 +3a"2+2c'4; 4br4+8a'2-

Solución:

(-2b, 4 + 3 aj12 + 2c ^) + (4 by + 8 ay -6c)

=-2by + 3ay +2cy +4b34 +8aV2 -6cy

_ (-2by + 4by)+ (3ay + 8ay)+ (2cy -6cy)

_ (-2 + 4)by + (3 + 8)a» + (2 - 6)cy

= 2b4 + 1 lay - 4cy

=11aY +2by -4cy

3.5..4. Sustracción de monomios

En álgebra, la sustracción o resta significa el aumento o disminución, mientras queen aritmética significa disminución.


La operación de restar b de a significa que a es el minuendo que deseamos restarde b (sustraendo) y se simboliza como a - b, esto es lo mismo que a+ (-b), en dondepara restar b de a sumamos el inverso aditivo (o negativo) de b al número a.

Ejemplos de 3.5..4

1. De (-5 ) restar 9(-5)-(+9)=-5-9=-14

2. Restar 3a de 8a(8a) - (3a) = 8a - 3a= (8 - 3)a = +5a

3. Restar (-5a) de 9a(9a) - (-5a) = 9a + 5a = (9 + 5)a = 14a

4. Restar (4a) de (-7a)(-7a) - (4a) = -7a - 4a = (-7 - 4)a= -1 la

Restar (-2a) de (-6a)(-6a) - (-2a) = -6a + 2a = (-6 + 2)a = -4a

3.5.5. Sustracción de un polinomio

Se escribe el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo , de maneraque todos los términos semejantes queden en la misma columna. y se procede ahacer la operación de éstos.

Ejemplos de 3.5.5

1. De 2a - 3 b restar - a + 2b

Solución:2a- 3b+a - 2b3a-5b


2. De 8ab-2crestar4ab-5c+4

Solución:8ab - 2c

-4ab+5c-44ab+3c-4

3. De 2x2 - 3x restar -5x2 + 6x

Solución:2x2 - 3x5x2-6x7x2 - 9x

4. De -x3 - x2 + 6 restar 5x2 -3x+2 9

Solución:-x3-x2+6

-5x2-2+3x-x3-6x2+4+3x

Ordenando el polinomio se tiene: -x3 - 6x2+ 3x + 4

5. De 2ay - 3b y2 restar - a4 + b 2 Ll

Solución:

2ay - 3by

ay - by

3ay -4by2

Otra forma de realizar la sustracción de los polinomios es utilizando el inversoaditivo, el cual se obtiene sumando los inversos aditivos de todos los términos delpolinomio.

6. De 6x - 7y restar 2x - 4y


Solución:(6x - 7y) - (2x - 4y) = 6x - 7y - 2x + 4y

= (6x - 2x) + (-7y + 4y)= (6 - 2)x + (-7 + 4)y=4x-3y

7. De8a+6b-2restar2a-3b+8

Solución:(8a+6b-2)-(2a-3b+8)=8a+6b-2-2a+3b-8

=(8a-2a)+(6b+3b)+(-2-8)= (8 - 2)a+ (6 + 3)b- 10=6a+9b-10

8. De 9xy- 2y+ 3 restar 6xy+ 2z-4 9

Solución:(9xv-2y+3)-(6xy+ 2z-4)=9.xy-2y+3-6xy-2z+4

= (9xy - 6xy) - 2y - 2z + 7=(9-6)xy-2y-2z+7= 3xy- 2y- 2z+ 7

3a 119. De 8x ' -7v restar 2x-4y

Solución:

(8x73 -7y/4) - (2x/3 -4y /4 ) = 8x/3 -7y /4 -2x /3 +4y

=(8x73-2x 3 )+(-7y74+4y,4)

=(8-2)x3 +(-7+4)y

= 6x'3 -3y3,

3.5..66 Multiplicación

La multiplicación en aritmética y álgebra significa que, dadas dos cantidades llama-das multiplicando y multiplicador, se encuentra una tercera cantidad conocida comoproducto. Al multiplicando y multiplicador se les llama también factores del producto.


Las siguientes son leyes de multiplicación:1. Ley conmutativa: ab = ba2. Ley asociativa: a(bc) = (ab)c3. Ley distributiva: a(b + c) = (b + c)a = ab + ac4. Multiplicación de cantidades con signo : (+a)(+b) = +ab

(-a)(+b)(+a)(-b)(-a)(-b)

= -ab= -ab_ +ab

Los símbolos de agrupación son los paréntesis ( ), las llaves { } y el paréntesisrectangular o corchete [ ]; se emplean para manejar las cantidades encerradas den-tro de ellos (como una sola cantidad) de una manera más sencilla , cuando haynecesidad de realizar más de una operación.

Ejemplos de 3.5..6

1. 2x- 4(x+ y)

Solución:=2x-4(x+y)=2x-4x-4y_ -2x - 4x- 4y_ -2x- 4y

2. 2x- (2y+ 4x) + 3(x- 6y) Q

Solución:=2x-(2y+4x)+3(x-6y)= 2x- 2y- 4x+ 3x- 18y=x-20y

3. 3x+ 2 [2y- 3(3x- 5y)] SQ

Solución:= 3x+ 2[2y- 9x+ l5y]= 3x+ 2[17y- 9x]=3x+34y- l8x_ -15x + 34y


4. 6x-{2v+2[3-(x+y)+2(5x+1)]} -

Solución:=6x- {2y+2[3 -x- y+ lOx+2]}= 6x- {2y+ 6 - 2x- 2y+ 20x+ 4}=6x-2y-6+2x+2y-20x-4=-12x- 10

5. 2x 1/2 -9 (x2 + y^3)

Solución:

= 2x/2 -9(x/2 +y/3)

1/ 2/=2x2-9x 2-9y/3

=-7x/2 -9y

3.5 7. Multiplicación de monomios

Se multiplican los coeficientes y a continuación se escriben los factores en ordenalfabético, colocándole a cada uno su exponente, que se obtiene de la suma de losexponentes de cada uno de los factores.

Ejemplos de 3.5..7

1. 2x2 por -3x Q°-

Solución:(2x2)(-3x) = -6x2+' = -6x3

2. a2b3 por 3a2bx 11

Solución:(a2b3)(3a2bx) = 3a2+2b3+ix

= 3a4b4x


3. -4a2 por -5ab2c

Solución:(-4a2)(-5ab2c) = +20a2+1b2c

= 20a3b2c

4. -x2y3z por 4y4z2 Q

Solución:(-x2y3z)(4y4z2 ) = -4x2y3+4z'+2

= -4x2y7z3

5. 3an+4bn+1 por -4an+2b-n +3 Q

Solución:(3a+4bn+' )(-4a.n+2b-n+3)= -12a +4+n+2bn+l-n+3

= -12a2n

+6b4

6. ---x2y por - x2y3

Solución:

7x2yJ( 4x2y3J=28x2+2 y1+3

21 4 4=28x y

7. a3b/2 por 3a3b 3 c2

Solución:

(a/3b/2)(3a'/.3b23 c/2) = 3a3+3b'/2+3c'/2

= 3abyc%

137

13 8 Álgebra básica

3.5.8. Monomio porpolinomio

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplos de 3.5.8

1. 3x2- 4x+ 9 por 4x2 Q

Solución:(3x2- 4x + 9)(4x2) = 3x2(4x2) - 4x(4x2) + 9(4x2)

= 12x4 - 16x3 + 36x2

Otra forma de resolver el ejercicio es:

3x2 - 4x + 9 Multiplicando4x2 Multiplicador

12x4- 16x3+ 36x2 Producto o resultado

2. 8x2y - 8y2 por 2axy Si

Solución:(8x2y- 8y2)(2axy) = 8x2y(2axy) - 8y2(2axy)

= 16ax3y2 - l6axy3

Empleando la otra forma:8x2y - 8y2 Multiplicando2axy Multiplicador16ax3y2 - 16axy3 Producto o resultado

3. 3a- 5b- 8cpor - 3 a 2 b 2

4

Solución:

(3a-5b-8c)I -34 4 4

a2b2 3c(-3a2W 2 J - 5bí - 3a2b2 J -8cl 4a2b2 J=-9a3b2 +15 a2b3 +24a2b2c

4 4 4

--9a3b2 +15a2b3 +6a2b2

4 4


4. xa+5 - 2x' + 3x°+3 por -2x2

Solución:xa+s - 2x °+4 + 3x°+3 Multiplicando-2x2 Multiplicador-2x" 7 + 4x°+6 - 6xa+5 Producto o resultado

5. 3x4 - 4x 4 + 9 por 4x 2

Solución:

(3xy -4x4 +9)(4x4)= 3x4(4x4)-4x4(4x4)+9(4x4)

=12x4+Y

-16x 4+y + 36x4

=12x -16x4 + 36x4

3.5.-9. Multiplicación de dos polinomios

139

Se multiplican todos los términos del primer polinomio (multiplicando) por cadauno de los términos del segundo polinomio (multiplicador).

Ejemplos de 3.5..9

1. Multiplicar (x - 3) por (4 + x) Q

Solución:Los factores se ordenan con respecto a cada literalx-3 Multiplicando4+x Multiplicadorx(x) - 3x

+ 4x - 3(4)x2 + x - 12 Producto o resultado

Otra forma de solucionarlo:(x-3)(x+4) =x(x)+4(x)-3(x)-3(4)

=x2+4x-3x- 12=x2+x- 12


2. 8x-3y por-2y+5x

Solución:8x - 3y Multiplicando5x - 2y Multiplicador(5x)(8x) - 3y(5x)

- 2y(8x) - 3y(-2y)

Entonces:8x - 3y5x - 2y40x2 - 15xy

- 16xy+ 6y240x2 - 31xy + 6y2 Producto o resultado

Otra forma de solución es:(8x- 3y)(-2y+ 5x) = 8x(-2y) + 8x(5x) - 3y(-2y) - 3y(5x)

=-16xy+ 40x2+6y2- 15xy= 40x2 + 6y2 - 16xy - 15xy= 40x2+ 6y2- 31xy

3. x3 + 2x2 - x por x2 - 2x+ 5

Solución:(x3 + 2x2 - x)(x2 - 2x+ 5) = x3(x2) + x3(-2x) + x3(5) + 2x2(x2) +2X2 (-2x) +

2x2(5) -x(x2) - x(-2x) - x(5)=X'- 2x4 + 5x3 + 2x4 -4X3+ 1 Ox2 - x:'+ 2x2 - 5x= x5 - 2x4 + 2x4 + 5x3 - 4x3 - x3 + 10x 2 + 2x2 - 5x=X5+ 12x2 - 5x

4. 8x^2-3yy por -2yy+5xy El

Solución:

(8x 2-3yy 4)(-2y'4+5x 2)_

=8x Y2 (-2y/-'4 )+8x8x(5x) - 3yy4(-2yy4)- 3y/̂4(5xy2)

=-16x/2y/-'4 +40xY+yí+6y/+j -15yYx


= 40x +6y^/4 - l6xyyY - 1 5 xyyY

=40x+6yy -31xyyY

3.5.10. División

La división consiste en obtener el cociente de dos términos a/b. Al primero (a) se

le llama dividiendo y al segundo (b) divisor.

Dividendo= Cociente o Dividendo = divisor = cociente

Divisor

abb ab+ b = a

3.5.11. Propiedades de la división

Si a, b, c, d(=- Z, (2) todos los denominadores de las fracciones deben ser diferen-

tes a cero.

1. a no está definida cuando b = 0b

a1.2.0 no es un número

1.3. 0 es indeterminado0

2.a ac

b bc

(')Números enteros Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

142

3 a+b a+b

C c c

4.

5. bd= Cb)\c

Álgebra básica

3.5.12. División de monomios

Primero se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, des-pués se escriben las letras en orden alfabético con su respectivo exponente, que seobtiene de la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor.

Ejemplos de 3.512

1. a = a7-5 = a2a

8a4b3 _2. b -4a4-2b3-1 =-4a2b2

-2a2

3. -- 10x4, 3c2

= +2a4-iba-2c 2-1 =2a 3bC q-5 ab2c

4. (a-1)s - 5-3 2-(a-1) =(a-1)

(a-1)3

5.-(x + 2) 3 l 1

(x + 2)' (x + 2)7 -3 (x + 2)4

w+3

6 . a= a+3-(nF+1) = am+3-m-1 = a2

aoi+1

7. C2x4yZ213 x322 3 x926

3y 27y3óxy2


(2a2b2c3)3 23a6b6c9 8a4c'_ _

8. (3ab4e)2 32a2b8c2 9b2

9. ay4b- = aY2-Y4 b/-i4 = aYb)ayb^

3.5.13. División de un polinomio por un monomio

Cada uno de los términos del polinomio se dividen entre el monomio.

Ejemplos de 3.5.13

Dividir y simplificar los siguientes polinomios

1 12a3 -6a2 +24a

6c.

Solución:

12a3 - 6a2 +24a 12a3 6a2 24a 22_

6a-

6a+ = a

6a 6a

2 3a3 -18a2b+27a2b4Q

3a

Solución:

3a'-18a 2 b + 27a'b 4 3a3 18a2b 27a2b4- _ - 2 4+ ----- = a - óab + 9ab

3a

(3y+b)2 -a(3y +b)

3a

u

3a 3a

l3y + b)

Solución:

143

(3y+b)2-a(3y+b)-(3y+b)2_a(3y+b)_

(3y+b) (3y+b) (3y+b) -(3y+b)-a=3y-a+b


4 12a zbm +8ax+lbnrl-4a

x+2bm-2

-2a3b4

Solución:

12axb` + 8ax+Ibm -I - 4ax+2bni-2 12axbni 8aA+lb ni -' 4a-Y +2 W1 -2

-2a3b4 2a 3b4 2a3b4 2a3b4_ -6as-3 bm-4 -4a x-2bm-5 + 2ax-Ibm-6

5. x-5 -2x4-x(2x+5)2

X

Solución:

=x2 2xz4

z -x(2x+5)-x x

=x3-2x2-2x2-5x

=x3-4x2-5x

6.12a4 - 6a''2b + 24 a 2b 2

6a^2

Solución:

12 a,4

6a Y2

Q

6ay2b 24a^b^ _3/_ I I'-I/2 -a2 2b+4a+--- -- =2a 4Gay 6ay

=2ay -b+4a4/2bi/2

=2ay -b+4a2bY

2

Definición: El grado de un polinomio con respecto a una literal es el exponentemayor de esta literal presente en el polinomio.


3.5.14. División de dospolinomios

Para dividir dos polinomios se realizan los siguientes pasos:

145

1. Ordenar ambos polinomios en relación con una misma letra , en orden decre-ciente de potencias.

2. Dividir el primer término del dividiendo entre el primer término del divisor,obteniendo el primer término del cociente.

3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos deldivisor, el producto obtenido se resta término a término del polinomio original(dividendo); para hacerlo , al producto obtenido se le cambian los signos y seescribe cada término debajo de su semejante.

4. La diferencia obtenida es el nuevo dividendo ; se divide el primer término delnuevo dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el segundocociente; se repiten los pasos anteriores hasta obtener el residuo igual a cero ode grado menor al dividendo.

Ejemplos de 3.5..14

1. Dividir 3y2+ 2y- 8 entre y+ 2

Solución :3yz +2y-8

Paso 1y+2

3Paso 2 2y+2 3y +2y-8

3Paso 3 y+2 3y +2y-8

-3y'-6y

0 -4y-8

3 -4Paso 4 y+2) 3y +2Y-8

-3y2-6y

0 -4y-8

+4y+8

0 0


2. Dividir -x2 + x4 + 4 entre x - 1 Q,

Solución:Paso 1

Paso 2

x4-x2+4

x-1

xx-1)x4 -x2+4

Paso 3 x -1)

Paso 4

-x4 +x3

0 +x3-xz+4

-x3+x2

0 0 +4

3. Dividir 6y4+ lOy+ 12y2+ 1 + 7y3 entre 2yz+y+ 4 Q

Solución:Paso 1

Paso 2

3x

x4-xz+4

-x4+x3

0 +x3-x2+4

x3+zx-1 x4-x2+4

6y4 +10y+12yz+1+7y3

2y2+y+4

3 22y2+y+4)6y4 +7y3+12y2+10y+1

3yPaso3 2y2 +y+46y4+ 7y3+12yz+IOy+1

-6y4 - 3y3 -12yz

0 +4y3 + 0 +10y +1


2 + -1Paso4 2y2+y+4 6y4+7y3+12y +10y+1

-6y4 -3y3 -12y2

0 +4y3 + 0 +10y+1

-4y3 - 2y2 - 8y

0 -2y2

+2y2

+ 2y+1

+ y+4

4. Dividir 6a3 - 17a2+ 16 entre 3a - 4 9

0 3y+5

Solución:6a3 -17a2 +16

1Paso3a-4

2

Paso 2 3a-4 6a -17a +16

2Paso 3 3a-4 )6a ' -1 á +16

-6a 3 + 8a2

0 - 9a2+16

2a -Paso 4

c3a - 4)6a3 - 17a + 16

-6a 3 +8a2

0 -9a2+16

+9a2 -12a

0 -12a+16

+12a-16

0 0

148 íígebra básica

5. Dividir 2x4+ Ox3y - 13x2y2+ 14xy3 - 3y4 entre x2+ 2xy - 3y2 p

2x2 -4x^ +yzx2+2xy-3y2} 2x +Ox y-13x y +14xy 3y4

-2x4 -4x3y+6xzyz-4 X3y -7 X2y2 + 14xy3 - 3y4

+4x3y+8x2y2-12xy3

z2+2xy3-3y4x y

-x2y2-2xy3+3y4

o o o

Ejercicios de 3.5

Sumar los monomios y polinomios

1 2 31. 2x+3y; -4x

2. -8a2b, 5ab2; -a2b- llab2; -7b3

3. a2+1ab; --ab +--a2

4. -5x4+6x3 - --x;x4-x2+5;

2x3-3x-33 8

Restar los monomios y polinomios

2 1R. 3y-4x

R. -9a2b - 6ab2 -7b 3

R. 3a2-4ab2

R. 2x4+3x3-x2-9x--25 2 8

5. De -4ab2 restar -6ab2 R. 2ab26. De 2a- 3b restar -a+ 2b R. 3a- 5b7. De x3 - 9x+ 6y2 - 19

restar -11x2 +21x-43+6X3 R. -5x3 - 11x2- 30x+ 6y2+ 24

8. De laz restar -lag -1ab+2b2 R. 3a2+1ab-2b22 4 3 5 4 3 5

5xz-3y2 restar Sxy+_1 y2- 3 R. 5x2_5 xy-19y2+ 39. De -9 8 7 10 11 9 7 40 11


Multiplicar los monomios

10. -8a2b3 por -9a2bx4 R. 72a4b4x411. -xm+lya+2 por 4xm-aya-5z2 R. -4x2m -2y2a-3z2

12. 3x'y3 por - -a2 x4y R. -Sa2xbya

Multiplicar el monomio por el polinomio

13. x3 - 4x2y + 6xy2 por ax3y14. -3x3 + 5x 2y - 7xy2 - 4y3

por 5a2xy215. 2x3+x- 3x2- 4 por 2y

Dividir los polinomios y simplificar

16. ^-a)34a

17. 36a'ob9

-12a4b8

-3manbx318.

19.

15m2n2x

20. (4Xy2Z)4(-2x2yz3)3

21. 3x3-5xy2 -6x2b3

-2x

R. ax6y - 4ax5y2+ 6ax4y3R. 15a2x4y2 +25a 2X3y3 - 35a2x2y4 +

20a2xy5R. 4x3y + 2xy - 6x2y - 8y

a

R. -3a6b

R. -1 ma-2nG 2x25

R. +64x6

R. -32y5

x2z5

R. -3x2+5y2+3xb3

axby +ax-lby+2 - ax-2by+4

22. R. ax-3¿V,-I+ax-4¿,i+I-ax-5bi+3

a3b

23 .8x 3 -6x 2 +18x

R. -4x-9+3-2x2 x


24. 9(x- a)2 + 3(x - a)2

R. 4x-4°3(x - a)

25.18a4-6a'+ 12a2

2a(3a-2) R. 6a2 -2a+43a2

4x3-5x2+3x-226. R. 4x2 - 9x + 12

x+1 Residuo = 0

11+17y+3y'+14y227 3y2+ 5y+ 2R.

y+3.

Residuo = 5

2828.a6

_b6

a-bR. a5+ a4b+ a3b2+ a2b3+ ab4+ b5

Residuo = 0

3.6. APLICACIONES

Entre las muchas expresiones algebraicas en economía podemos mencionar lassiguientes:

1. El consumo. En economía, el consumo depende del ingreso, y en su forma mássimple, la ecuación de consumo se representa mediante la fórmula:

C= a+ bY

en donde C= consumoY= ingresoa = consumo autónomob = propensión marginal al consumo

2. La expresión

P(1 + ¡y

representa el valor obtenido al acumular un capital dado P, a una tasa de interési durante cierta cantidad de años t.


3. La expresión algebraica

Aza,¿ fi

representa la producción obtenida con Ky L, insumos de capital y de mano deobra, respectivamente.

Se dice que hay rendimientos a escala constantes si cuando se incrementantodos los insumos en determinada proporción, la producción aumenta en el mismoporcentaje. Si la producción aumenta, hay rendimientos crecientes a escala; y siel crecimiento es menor que determinada proporción, entonces hay rendimientosdecrecientes a escala. Los rendimientos se pueden obtener de la suma de losexponentes.

Si a+ /3 = 1, se tienen rendimientos a escala constantes.Si a + /3 > 1 , se tienen rendimientos a escala crecientes.Si a + /3 < 1, se tienen rendimientos a escala decrecientes.

Por ejemplo, en la expresión:

120Ko.6L o.a

a= 0.6fi= 0.8

como a + /3 = 1.4 > 1 se tiene rendimientos a escala crecientes.

Pero si la expresión es 320Ko2L o.s

a= 0.2/3 = 0.5

a+ /3 = 0.7 < 1 se tiene rendimientos a escala decrecientes.


3.7. MANEJO DE POLINOMIOS CON MATHEMATICA

Las operaciones que tiene disponibles el paquete Mathematica para manipular lasexpresiones algebraicas son las siguientes:

Operaciones estructurales en polinomiosNombre Operación

Expand[polinomio] Efectúa los productos y potencias indicados.

Factor[polinomio] Realiza factorización completa.

Simplify[polinomio ] Simplifica a la menor expresión.

Together[polinomio ] Escribe los términos con común denominador.

Apart[polinomio ] Separa en términos con denominador simple.

Cancel[polinomio ] Simplifica expresión fraccionaria.

FactorTerms[polinomio ] Obtiene los factores comunes.

Collect[polinomio , x] Acomoda el polinomio de acuerdo con la suma

de potencias de x.

Collect[polinomio , {x, y, ...}] Acomoda el polinomio de acuerdo con la suma

de potencias de x, y, ...

PowerExpand [expresión] Desarrolla expresiones de la forma (ab)' y (a°)`

Ejemplos (véase imagen 3.1)

In[l]:= (2 + 4 x^2)^2(x - 1)^3Out[ 1]= (-1 + x3)(2 + 4x2)2

(Polinomio en una variable.)

In[2]:= t = Expand[%] (Lo presenta en términos simples.)Out[2]= -4 + 12x - 2Sx2 + 52x3 - 64x4 + 64x5 - 48x6 + 16x'

In[3]:= Factor[t] (Lo factoriza completamente.)

Out[3]= 4(-1 + x)3(l + 2 x2)2

In[4]:= FactorTerms[t] (Calcula el factor numérico común.)Out[4]= 4(-1 + 3x - 7x2 + 13x3 - 16x4 + 16x5 - 12x6 + 4x')

Cuando el polinomio contiene varias variables puede acomodarse de diversasmaneras, eligiendo la variable dominante.


In[5]:= Expand [(1 + 3x + y)3]Out[5]= 1 + 9x + 27x2 + 27x3 + 3y + 18xy + 27x2y + 3y2 + 9xy2 + y3

In[6]:= Collect[%, x] (Lo acomoda eligiendo x como dominante.)Out[6]= 1 +27x3+3y+3y2+y3+x2(27+27y)+x(9+ l8y+9y2)In[7]:= Collect[Expand[(1 + x + 2y + 3z)^3], {x, y}] (Desarrolla y lo acomoda

eligiendo x y después ycomo dominantes.)

Out[7]= 1 + x3 + 8y3 + 9z + 27z2 + 27z3 + x2(3 + 6y + 9z) + y2(12 + 36z) + y(6 +36z + 54z2 + x(3 + 12y2 + 18z + 27z2 + y(12 + 36z))

IMAGEN 3.1

h[1]:. (2.4x - 2>- 2 (x- 1) ^3

MII- (-1+x)' (2 +4x')'

hpl. Ext'axd[%]

Utpp -4+12x- 28x52X'-64x +64X' - 48 X 16 x'

ht31 Factor[%]

N[41= FactorTeras[%]

G. 4} 4(-1.3x-7x'+13x'-16x16x'-12 x1.4x1)

h [61.. Ezpaed ( ( 1. 3 x + y) 33

pu[[6)^ 1.9x+27x1 +27x'.3 y.18x y+27 X'Y+3 y'+9xy'+y'

h3l:- Collect[%, x]

GS[GI• la 27x'. 3 y+ 3 y'. y'ax' (27.27 y) +x (9.18 ya9y')

h[J- Collect [E,q, ((1ax + 2y a3 z)^3]. (x, y)]

ouph 1. x'+By'.9e+27 e '. 27 e'. ' (3+6y+9e ) Y'(12+36e ).y(6.36e+54e')

x (3.12y'.18 r.27 e'.y(12.36z))

Respecto a la estructura de los polinomios, existen las siguientes funciones:

Estructura de un polinomioNombre Operación

PolynomialQ[expr, x] Demuestra si la expresión es polimonio en x.

PolynomialQ[expr, {x), x2, ...}] Prueba si la expresión es polinomio en x,.

Variables[polinomio] Enlista las variables en el polinomio.

Length[polinomio] Muestra el número de términos.

Exponent[polinomio, x] Indica el máximo exponente de x.

Coefficient[pol, expr,] Señala el coeficiente de la expresión.Coefficient[pol, expr, n] Indica el coeficiente de la expresión a la n.Coefficient[pol, expr, 0] Da el término independiente de la expresión.

CoefficientList[pol, {x), x2, ...}] Ordena los coeficientes de x, en el polinomio.


Ejemplos

In[22]:= t = Expand[(1 + x)^3 (1 - y - x)^2]Out[22]= 1 + x - 2x2 - 2x3 + x4 + x5 - 2y - 4xy + 4x3y + 2x4y + y2 +

3xy2 + 3x2y2 + x3y2

In[23]:= PolynomialQ[t,x]Out[23]= True (Es verdad que tes un polinomio en x.)

In[24]:= PolynomialQ[x + Sin[x], x]Out[24]= False (No es verdad que x+ Sin[x] es

un polinomio en x.)

In[25]:= Variable[t]Out[25]= {x, y}

(Enlista las variables en t.)

In[26]:= Length[t]Out[26]= 14

(Muestra el número de términos.)

In[27]:= Exponent[t, x] (Indica el mayor exponente de x en t.)

Out[27]= 5

In[28]:= Coefficient[t, x^2] (Da el coeficiente total de x2 en t.)Out[28]= -2 + 3y2

Para solicitar el coeficiente de x2 se usa también: Coefficient/t, x, 2j. Así,

Coefficient/t x, Ojproporciona el coeficiente de x° en t, esto es: 1 - 2y+y2.

In[29]:= CoefficientList[1 + 3x^2 + 4x^4, x] (Enlista los coeficientes.)Out[29]= {1, 0, 3, 0, 4}

In[30]:= CoefficientList[t, {x, y}] (Ordena los coeficientes de cadapotencia de cada variable.)

Out[301= {{l, -2, l}, {1, -4, 3}, {-2, 0, 3}, {-2, 4, 1}, {l, 2, 0}, {1, 0, 0}}

Si el polinomio es t= 1 + x - 2x2 - 2x3 + x4 + x5 - 2y - 4xy+ 4x3y + 2x4y + y2 +

3xy22 + 3x2y2 + x3y2, entonces el primer subconjunto corresponde a los coeficientes

de los términos con x°, que son: término independiente , término en y, término en

y2; el siguiente subconjunto son los coeficientes de los términos en x, en xyy en xy2;


a continuación aparecen los coeficientes de los términos en x2 , x2y y x2 y2, y asísucesivamente.

Las siguientes instrucciones corresponden a operaciones entre polinomios or-dinarios, con exponentes enteros y coeficientes racionales:

Operaciones entre polinomiosInstrucción Operación

PolynomialQuotient[pol„ pol2, x] Da el cociente de dividir pol,(x)/pol2(x).

PolynominalRemainder[pol„ pol2, x] Proporciona el residuo de dividir pol,(x)/pol2(x).

PolynominalGCD[pol„ po12]"> Máximo común divisor.

PolynominalLCM[pol„ po12] Mínimo común múltiplo.

Otra instrucción útil en el caso de polinomios es la que permite evaluar elpolinomio en un valor dado para la variable. Esta operación se logra con "Expre-sión /. x - > valor". Por ejemplo:

In[21 ]:= 1+ x+ x^2/. x - > 3Out[21]= 13

También puede utilizarse para lograr la composición de funciones . Sif(x) = 3 +

18x- 5x2 pero x = g(y) = 4y - 35, entoncesf(g(y)) puede obtenerse con las ins-trucciones:

In[22]:= 3 + 18x - 5x^2.x - >4y - 35Out[22]= 3 + 18(4y - 35) - 5(4y - 35)^2

Otro ejemplo con dos variables

In[23]:=(x+y)(x-y)^2/.{x->3,y-> 1-z}Out[23]= (4 - z) (2 + z)2

La instrucción PolynomialQuotient proporciona el resultado de la división dedos polinomios y Polynomiall?emainder devuelve el residuo. El máximo comúndivisor de varios polinomios se obtiene a partir de PolynomialGCD y el mínimocomún múltiplo con Polynomia1LCM.

(3) Pueden incluirse más de dos polinomios.


Ejercicios del capítulo 3 resueltos con Mathematica

IMAGEN 3.2a

expresiones Racionales.nb

n [41 ]:= Expand [ ( 4 a b ^ 3) ^23

01(41)= 16 at b'

.[421= Epand [(-2a^2b^4)^2]

0.142]= 4e4bs

^n[43]:= Expand[ (-3x^2b^3)^3]

o,A143]^ -27b' x'

b]44]:= Expand [(-4 xl(3a ^ 2))"3]

64x40.144]= -

27a'

_ q x

3.1.1. Ejercicios del 1 al 5

m[45p= Expand[(-5 y^21 ( 7x^3))^2]

25 y4O. pS]= 49x°

1,]46]:• 2^2 R 2133.2.1. Ejercicio 1

0.1461= 32

m[4?]:= 2^4r-2^2- 3.2.1. Ejercicio 30.[47]= 64 ^ J1,449]= x^ 2vx^4.x^5

9 1l- 3.2.1. Ejercicio 4 JI

IMAGEN 3.2b

E: Fx xasinnex Racianme nh q x¡ . _

!n ]95]. ( xy)^3w (xy)"23.2.1. Ejercicio 5 Jl

0.150]= xs ys

3.2.2. Ejercicio 40.[51]= xs ys

x452]:• (-3ab)"43.2.3. Ejercicio 3

0.452]= 81 a^b^ 1.1 ( 3ab))"5!n ]531:= (4x iy 3.2.4 Ejercicio 4 f

1024 xs ys

.

0.[537•243 as bs

f

16x " 4/ (ex)

0.4551' 2 x3

3.2.5. Ejercicios 1 y 5!n [504:= 7x ^ 21 (343x^4) Í0.]56 1]

49 xi 1

In[58):= (2/ 3)^-4*n ^ 5.x"-2

81 a5

16 n1

'!( b(50]:= 2 " 3xx^-2*y^-3

Oa[59p xt y=

' I In(G0]:= 8^(113)

upo]= 2

In(0l):= x"(314)

001)8)? X214

b)82]:= (Sgrt[188 a^5 b ^7] ) x (1/ 2)

Out)82? 3 -13 as b°

In(80):' 35grt [7] - 4Sgrt[7]

001)85)= _Y +

„'. In)86]:= 5a ( 5"(113)) -8a(5^(1/3))

001)80)= -3 5111 a

3.3.2. Ejercicio 5

3.4.1. Ejercicio 4

3.4.1. Ejercicio 10

3.4.3. Ejercicio 2

3.4.5. Ejercicio 3

3.4.5. Ejercicio 4

IMAGEN 3.2d

ú Ex]1l esinnes Ftacion4(O1. tl

OÑ[7i]=...-2 ./ 5 ~3V7

n(70( (3/ 8) .(3a^2)^(1 / 3) •8w (fa b^2)"(1/3)

oa(755. 9 (as)' ( abt)''

m(7*] (3/7) (4 a)^(113 ) . (5/6) (6x ) ^(113)

Out[76? 5 3113 a" x1117

In[77]= 5 (2a )^( 1/3) (4a " 2)^(1/3)

001(77)= 10 a1n (at)u1

In[85]:= 2 sgrt [48 x^3 y] / (4 Sgrt[3 xy "31)

x y1

In [9o):= (Sgrt[720])^(1/3)

Ou[)00)' 3


IMAGEN 3.2c

3.3.2. Ejercicio 4

3.4.8. Ejercicio 3

3.4.8. Ejercicio 4

3.4.8. Ejercicio 6

3.4.9. Ejercicio 3

3.4.11. Ejercicio 1

157

Jl

1191):= sgrt [ ( 4 a ^2) "(113)] 3.4.11. Ejercicio 3(91)116 '1

011 )01f= 2112

158

w Expresiones Raciotiales.nh'

Álgebra básica

IMAGEN 3.2e

~3]= Xz - 15 X Y- 11 yt

b[94] = -2b +3a+2c+4b+8a-6c

Out(04]= ll a+2b-4c

(1/ 2) x^2+ (113) xy + (112 ) xy+ (113) y 12

x6 5xy y1

2 6 3

-2b^(3/4 ) + 3a"(1/2 ) + 2c^(1/4 ) + 4b^(314 ) + 8a^(1/2) -6c^(1/4)

0ut[d6]= 11 + 2b2"- 4,111

8x^ ( 2/3)-7y "( 314) - (2x ^ ( 2/3) -4y"(3/4))

ou<[9ip 6 xt!) 3 y''1

n[9a] (x^(a+5)-2x ^( a+4) + 3x^(a+ 3)) (-2x^2)

onP)a1= -2 x= (3x3+,-2x,'+x6;')

n[99]:= Expand[%]

4 inn[39p -6x6}t+4x6+, -2xr++

IMAGEN 3.3a

Simplify [112q,1[3x4y 2J J t ti J 4)kgr L[x 2J J ttJ rn[slu 4.... un 3.4 9)

2 x,y1o m k

7 17 xi

". mn]n]= 2xy

(5 Sgrt[2x])^ 2 (ejemplo 2 sección 3.4 . 10)

omp t]= SO X

`. inOs7= (2 ( 2 x^2 y ) ( 1/3))^4

nut]t5]= 32 211' (x' y) 11'

mnpe]= 32 21J' xt y (+' y)

((8x^3)^(114 ))^ 2 (ejemplo 4 sección 3.4. 10)

On D"1° 2 x'

(4 (9x^3y "4)^(1/6))^3 ( ejemplo 5eccióx 3.4 19)

0.122]= 192 x7 y1

° 0')' 192x11, y'

3.5.3. Ejercicio 2

3.5.3. Ejercicio 4

3.5.3. Ejercicio 5

3.5.5. Ejercicio 9

_ q x

x


IMAGEN 3.3b

(Sgrt [a])"(1/3) (Ejemplo 2sección3.4.11)

O1[26]= a116

(Sgrt [1024 ]) " (115) (Ejemplo 4 sección 3.4 .11)

Outrz]= 2

(6Sgrt[6] )^( 113) (Ejemplo 5 sección 3.4 .11)

otr4,=

41 (Sgrt[2]) (Ejemplo lsección 3.4 .12)

Out[29]= 2 l f-2

8x1 (Sgrt[2x]) (Ejemplo 2sección3.4 .12)

U¡18]= 4

6/(9a)"(113 ) (Ejemplo 3 sección 3.4. 12)

2 3113Out[3lj=

Oal J2]=

a113

2 31)3 ( 36)113

a

IMAGEN 3.3c

(36x)1 (2x^2)•(1/4) (e3tmVlo4seoolon 3.4 .12p

18 23!4 x

XL

O.141= 18 2"' fx

(2-Sgrt[2])/ 12+5Sgrt [2]) (ejeMlolsección3.4.13)

2+5^-2

O*[4.]- 1 {14-12.)121

12/(Sgrt[5] - Sgrt [2]) (ejemplo 2 sección 3.4 . 13)

O^n [337= 12

oin [44]= 4 ( * í-5 )

Uut]451=

(x-3)/(Sgrt[x]-Sgrt[3]) ( ejemplo 3 sección 3.4. 13)

-3 +X

159

Ii

0u3[46]= -í-3 .1-x


IMAGEN 3.4a

3a+6a +8b (ejido lsección3.5.1)

' ' . 0. 5,471= 9 . 8 b

7x+4a+15x + 9a-4 (e~lo3 sección 3.5 .1)

om4$)= -4+13a+22x

7x^(112 )+ 8y^(2/3 )+ 3x^(1/2 )+ 4y^(2/3) +2 z^3

(ejemplo 4 sección 3.5 .1)

946) = 10 . + 12 y", . 2 z °

(5a-6b ).(-2a.4b ) ( ejemplo lsección 3.5.2)

Jf Ou1150i= 3a-2b

(2x^2-4xy + 2y12)+(-5xy + 8x^2-4y ^ 2)+(-9y^2 - 6xy-9x ^ 2) (e~lo 3 sección 3.5 .2)

Om)51]= x =-15xy-11y'

((112)x^2 + ( 112) xy ) + (( 114)xy + ( 1/4)y) (ejemplo 4 sección 3.5 .2

xl y 3xyunns]=

2 + 4 + 4

(5a^(1/2 )- 6b^(1/4 ))+(-2a^(1/2)+ 3b^ (1/4 )) ( ejemplo 51sección 3. 5.2)

W11531= 3',/ a - 3 b"

IMAGEN 3.4b

(2a-3b)-(-a+ 2b) (ejemplo l sección 3.5 .5)

~41= 3a-5b

(2x^2-3x)-(-5x1 2+6x) (ejemplo 3 sección 3.5. 5)

0m¡55]= -9x+7x=

(-x^3-x^2+6 ) - ( 5x^2-3x . 2) (ejemplo 4 sección 3.5 .5)

(M]= 4.3x-6x'-x7

(2a^(1/4 ))-3b^(112))-(-a^(1/4)+b ^( 1/2)) (ejemplo 5 sección 3.5 .5)

nm)57]= 3 a114 - 4 y b

(6x-7y)-(2x-4 y ) (ejemplo 6 sección 3.5.5)I

0m(53]= 4x-3y

(9xy-2y + 3)-(6xy + 2z-4) (ejemplo 8 sección 3.5.5)I

8x159)= 7-2y+3xy-2z

(8x^(2/ 3)-7y ^( 314)) -(2x^( 2/3) -4y^(3/4)) (ejeilo 9seccián 3.5 .5)I0N(B0)= 6 XZ

12 - 3 y1 /4


IMAGEN 3.4c

2x-(2y.4x)+3(x- 6y) (ejegf1o2secciás3.5.6)

anpt]= -2 x+3 (x-6y) -2y

3x+(2y-3(3x-5y)) (ejemplo3sección3.5.6)

Ut 2]= 3x-3 (3x-Sy) +2y

6x- (2y+2 (3-(x+y)+ 2 (5x+1))) (ejesplo4sección3.5.6)

Out(R31= 6x-2 (3-x+2 (1+5x) -y) -2y

2x^(1/2)-9(x^(1/2)+ y^(2/3)) (ejemplo 5sección3.5 .6)

an1547= 2 Jj - 9(NIX , yW)

2x^2 (-3x) (ejemplo 1 sección 3.5 .7)Iw(05]= -6 xt

(a^2b^3) (3a^2bx) (ejemplo 2sección 3.5.7)I

O*t961= 3a 4 b'x

(-x^2y^3 z) (4y^4z^ 2) (ejemplo 42 sección 3.5 .7)

U1871- -4 xt 3? ° z;

IMAGEN 3.4d

(3a^(n+1)b^(a+1)) (-4a^( a.2)b^(-n.3)) (ejemplo 5 sección 3.5.7)

s Out(s8l. - 12 ata n b4

(a^(2/ 3 )̂-b^(112)) (3a^(113) b^(2/ 3) c^ ( 1/ 2)) (ejemplo 7sección 3.5 .7)

0,n[80]- 3 ab^/6 y c

(3x^2-4x + 9) (4x^2 ) (ejemplolsecciós 3.5 .t)

Out7O]= 4xt (9-4x+3xt)

In[72]:= Expand [4x^2 (9 - 4x. 3x^2)]

Cutf?21= 36x°-16x'+12x4

(82y- 8 y ^ 2) (2axy) (ejemplo 2 sección 3.5 .8)

0utF11= 2axy (8 xt y - 8 yt)

m73]:= Etpand [2ax y (t x2y -ay2 )lOut[73]= 16 axyt-16 axyt

(x^(a+5) -2x^(a+4)+3x ^(a+3)) (-2x ^ 2) (ejeplo4sección3.5.8)

Om[74l= -2 xt (3X'--2.4', x'-)

I*[75]:- Expand[-2x2 (3 x3i - 2x"+x! )

Out(75]= - 6 xs+. + 4 x°+a - 2 xf+.


IMAGEN 3.4e

(x-3) (4+x ) (ejealo lsección3.5.9)

O. R6]= (-3+x) (4+x)

h(771= Expand[o]

OUt)77i= -12+xx1

(8 x- 3 y) (-27+5x) (ejemplo 2 sección 3.5 .9)

en(8]= (-27+5x) (8x-3y)

': in[79]:= Expand[o]

"'. oropel= -216x+40x=+81y-15xy

(x^3+2x ^ 2-x) (-2x+5) (ejemplo 3 sección 3.5 9)

nm¡d01= (5-2x) (-x+2 x6+x2)

In^dt]n Expand[o]

'! 5 (7 p= -5x+12xt+x2-2x4

(¡8 x^(1/2)-3y ^( 3/4)) (-2y^( 314)+5x ^( 1!2)) (ejesplo 4 sección 3.5 9)I

ol1,21= (81J-3 y24` (5 I-X - 2y1l4)

b [83], Expand [%]

0,*P31= 40x -31 ' y214 +6y°7=

IMAGEN 3.4f

a^7/a^5 (ejemplo 1sección3.5 .12)

O^p4]^ 82

(-18a^4b ^3c2) 1 (-5ab^2c ) (ejeiip1o 3 sección 3.5 .12)

0u1(d6)= 2 a2 b c

-(x+2)^31(x+2)^1 (ejemplo 5 sección 3.5 .12)

omt:e1- -1

(2 +x) 4

a^(m+3)1a^(m+1) (ejemplo 6 sección 3.5.12)

0u11a'7]= el

(2x^4yz ^ 2/6xy 1 2)^3 (ejesplol sección 3.5 .12)

0*11881= 1 x15 y6 Z627

(2a^2b ^2c^3)^31( 3 ab^4c )^ 2 (eje 2lo8 sección 3.5 .12)

8 4 11O ¡é21=

9 b1

a^(1/2)b ^( 1/2)/a^(1 / 4)b^(1!4 ) (ejemplo 9 sección 3. 5 .12)

Oro v,8114 b 214

1

1

]1

1


IMAGEN 3.4g

(12 a^3 - 6a^2+24 a )/ ( 6 a) (ejerVlo l sección 3.5 .13)

24a-6 at+ 12 alu¡931=

6a

m(94)= Sitplify[%]

out)14]= 4-a+2a2

(3a^3-18a ^ 2b+27a ^ 2b^4)/(3a) (ejeitlo 2sección3.5.13)

3a2- 18 al b +27 at b4om19sj=

3a

m[s6J:= Singlify[%]

Out (96] = a (a - 6 b + 9 b4)

n(97] = Expand[%]

ut871= at-6ab+9ab4

((3y+b)^2 - a(3y+b))/(3y+b) (ejesplo3sección3.5.13)

-a(b+3y)+(b+3y)2ou^s1=

b+3y

In[99]:= Sit4tlify[%]

0u(99]= -a+b+3y

IMAGEN 3.4h

(12a^xb ^m+8a^(x + 1)b^(m-1)- 4a^(x+2 ) b^(m-2))1 (-2a ^ 3b^4) (ejm 1o 4 sección 3.5 .13)

-4at+.b-t+m+ 8 a'* ba+"+ 12 axb°oup62j= -

2a;b4

';i in(1531:= SinOlify[%]

'!''ou[io3]= 2a2+x b-5' (at-2ab -3 b2)

!'• In(t0<]= Expand[%]

Gu[104j= 2 a1+xb" -4 a4 b-s+"'-6aa+xb-4m

n:1o€i:= (x^ 5-2x^4 ) f x^2 - x (2 x+5)

-2x4+xs0.1101= -x (5 + 2 x) +

In[109]:= Togetber [%]

Ox[1091= -5x-4 xt + xt

(12a^(3 / 4)-6a^(1 1 2)b+ 24 a^( 512)lb 4 ( 1/2))/(6 a^( 1/2)) (ejesttlo 6 sección 3 . 5 .13)1

12 a='4 -6/_. b + 48 Ba/2b

163


IMAGEN 3.4i

(12 a^(314 )- 6a^(1/2 ) h + 24 a ^ ( 5/2) b 4 ( 1/2))/ (6 a^( 112)) (ejrnplo 6 sección 3 . 5 .1:';)

12 a=¡''-6'b + 48 a5^1b01[110]

6ya

In )1111:= 511lV1ify[%]

On11111= 2 al¡4-b« 8 at b

(3y^2+ 2y - 8) / (y+2) (ejemplo l sección 3. 5. 14)

8+2y.3y'

2+y

In(1 131= Si>iplify[%]

om[173)= -4. 3y

(-x^2+x^4+4)I(x-1) (ejemAo2sección3.5.14)

4-x=+x40 1)114?

-1 +x

I.[115]:= Apart[%]

-1+x

Como se observa en el ejemplo , se usa Simples cuando la división es exacta, obien flpartpara que separe la parte entera de la fraccionaria . Puede utilizarse siem-pre la segunda instrucción ; cuando es exacta, reporta el cociente.

IMAGEN 3.5

—[116)

(6y^4+l0y.12y ^ 2+1.7y ^ 3) / (2y-2 +y + 4) (ejemplo 3sección3.5 .13)

1 . 10y+ 12Y, + 7y'+ 6 y'

4+y+2 ye

0,1)1181= -1+2Y+3yp+ 6«3y4.y+2 y1

(6a^3-17a ^ 2+16)/ (3a-4) (ejen,1o4secclón3.5.13)

C,^íl 1.91=16- 17 a' + 6 al

-4+3a

"'. I,)120)= Apart [%1

0-1)120]= -4-3«2 n1

(2x^4+Ox ^ 3y-132y^2 .14x y ^ 3-3y^4 )/ ( x^ 2+2 xy - 3y^2) (ejemplo 5 sección 3 . 5 . 13)1

2x4-13x' yp+ 14x y1 -3 Y.O1p2t)_

xp+2x y-3y1

In )112):= Apart[%]

n:-1)t221= 2 xp 4 xy+yt

1l

11-jl

1yJ_

11


BIBLIOGRAFÍA

Adalid Diez de U., Claramartha , Víctor Breña Valle, Andrés Morales Alquicira elal., Fundamentos de álgebra, Universidad Autónoma Metropolitana-Xochimilco , México, 1998.

Arya, Jagdish C., y Robin W. Lardener, Matemáticas aplicadas a la administra-cióny la economía, 3a. ed ., P.H.H., México, 1992.

Baldor, A., Álgebra, Mediterráneo, Madrid, 1991.Bittinger, Keddy, Álgebra y trigonometría, Fondo Educativo Interamericano,

México, 1990.Budnick , Frank S ., Matemáticas aplicadas para la administración, economía y

ciencias sociales, 3a. ed., McGraw-Hill, México, 1990.Eslava, María E., el al., Introducción a las matemáticas universitarias, 4a. ed.,

McGraw-Hill, Medellín, 1997.Gobran , Alfonse, Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica , México, 1991.Hsruddlrt , Rtnrdy R., y Jr . Richard S., Matemáticas para administración, econo-

mía, ciencias socialesy de la vida, P.H.H., 8a. ed., México, 1990.Kramer, G., Matemáticas contemporáneas, McGraw-Hill, México, 1997.Lovaglia & M.A., Álgebra, Harla , México, 1998.Nichols, Eugene D., el al, Álgebra 1, CECSA, México, 1980.Raymond , Barnett , Álgebra y trigonometría con geometría analítica, McGraw-

Hill, México, 1995.Rees, Paul K ., el al, Álgebra, McGraw-Hill, México, 1992.Swokowski , Ernest W., Álgebra y trigonometría con geometría analítica, 2a. ed.,

Grupo Editorial Iberoamericano , México, 1998.

capÍtulo 3 - el sitio oficial de nelson caceres · se obtiene de dividir potencias iguales y con...

Documents