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1

G �(s) � y �(s)

u �(s)

u �(t) � ��k�o

u(kTo) �(t�kTo).

y(t) � ��k�o

u(kTo) g(t�kTo).

CAPITULO 3

3. MODELOS DISCRETOS DETERMINISTICOS

3.1 Función de Transferencia de Impulsos.

La función de transferencia de un sistema monovariable continuo está definida comola relación de la transformada de Laplace de la señal de salida respecto de latransformada de la entrada, para condiciones iniciales nulas.

Es importante extender este concepto para el tratamiento de los sistemas de tiempodiscreto, para los cuales se puede definir la Función de Transferencia de Impulsoscomo la relación de la transformada de Laplace de la señal discretizada de salidarespecto de la transformada de la señal discretizada de entrada para condicionesiniciales nulas.

Referido a la Fig. 3.1.1, se define la función de transferencia de impulsos comoG �(s)

(3.1-1)

Fig. 3.1.1. Sistema muestreado.

Siendo una señal continua, el tren de impulsos a la entrada del proceso es, segúnu(t)Ec. 2.3-7

(3.1-2)

La señal de salida continua se calcula mediante la sumatoria de convolución entrey(t)la entrada y la función de peso o respuesta al impulso ,g(t)

(3.1-3)

Cuando la salida continua se muestrea sincrónicamente con la entrada, lay(t)Ec. 3.1-3 puede escribirse en tiempo discreto

Control Digital Directo Modelos Discretos Determinísticos

2

y(nTo) � ��k�o

u(kTo) g[(n�k)To)].

y �(s) � ��n�0

y(nTo)e�nTos.

y �(s) � ��n�0

��k�o

u(kTo) g[(n�k)To]e�nTos.

q � n�k

y �(s) � ��q��k

��k�0

u(kTo) g(qTo) e�qTos

e�kTos.

y �(s) � ��q��k

g(qTo)e�qTos ��

k�0u(kTo)e

�kTos.

y �(s) � ��q�0

g(qTo)e�qTos

u �(s).

G �(s) � ��q�0

g(qTo)e�qTos.

(3.1-4)

La transformada de Laplace de la salida muestreada es

(3.1-5)

Reemplazando y(nTo)

(3.1-6)

Haciendo un cambio de variable

(3.1-7)

Reordenando

(3.1-8)

La función representa los valores de tiempo discreto de la función de peso g(qTo) g(t)

del sistema y se denomina Secuencia de Ponderación. La segunda sumatoria de laEc. 3.1-8 representa la transformada de Laplace de la entrada muestreada .u �(s)Considerando que por causalidad del sistema es con , resulta,g(qTo)�0 q<0

(3.1-9)

De acuerdo con la definición adoptada en Ec. 3.1-1, la Función de Transferencia deImpulsos queda definida comoG �(s)

(3.1-10)

Esto es, está definida como la transformada de Laplace de la secuencia deG �(s)ponderación .g(qTo)


3

z � eTos

G(z) � y(z)u(z)

� ��q�0

g(qTo)z�q

G(z) � ��g(qTo)�.

Tdy(t)

dt� y(t) � K u(t).

u(t) � �(t)

g(t) � Ke �t/T

T.

g(kTo) � Ke�kTo/T

T

3.2 Función de Transferencia de Tiempo Discreto.

La función de Transferencia de Tiempo Discreto, también denominada Función deTransferencia , se obtiene reemplazando en la Ec. 3.1-10 de la Función de�Transferencia de Impulsos, la siguiente igualdad

obteniéndose

(3.2-1)

(3.2-2)

Esto es, la función de transferencia de tiempo discreto puede obtenerse realizando laTransformada de la secuencia de ponderación .� g(qT0)

A modo de ejemplo se calcula la función de transferencia de tiempo discreto para unsistema de primer orden. Un sistema tal está definido en el dominio temporal por suecuación diferencial de primer orden, donde representa la entrada, e la salida.u(t) y(t)

(3.2-3)

Resolviendo esta ecuación diferencial para una entrada impulsiva

se obtiene la respuesta impulsiva que es una función exponencial decrecienteg(t)

(3.2-4)

Tratándose de un sistema muestreado, la respuesta impulsiva de tiempo discreto, osecuencia de ponderación, será

(3.2-5)

que se representa en la Fig. 3.2.1.

De acuerdo con la Ec. 3.2-2, se puede obtener la función de transferencia de tiempo


4

G(z) � KT ��

k�0e�kTo/T

z �k � KT ��

k�0(e To/T

z)�k.

G(z) � KT

z

z�e�To/T

� K/T

1�e�To/T

z �1.

G(z) � bo

1 � a1z�1

� y(z)u(z)

.

y(z) � a1y(z)z �1 � bou(z).

y(kTo) � a1y[(k�1)To] � bo u(kTo)

discreto

(3.2-6)

Fig. 3.2.1. Secuencia de ponderación de un sistema de primer orden.

En forma cerrada la Ec. 2.3-6 toma la siguiente forma

(3.2-7)

queda para un sistema de primer ordenG(z)

(3.2-8)

La Ec. 3.2-8, puede también expresarse como

(3.2-9)

Antitransformando al dominio temporal, se obtiene

(3.2-10)

La Ec. 3.2-10, que representa una ecuación en diferencias de primer orden, podríahaberse obtenido por discretización de la ecuación diferencial, Ec. 3.2-3.


5

amd my(t)

dt m� ...� a1

dy(t)dt

� y(t) �� bm

d mu(t)

dt m� ...� b1

du(t)dt

� bou(t).

G(s) � y(s)u(s)

� bo � b1s � ...� bms m

1 � a1s � ...� ams m� B(s)

A(s).

y(k) � a1y(k�1) � ...� amy(k�m) �� bou(k) � b1u(k�1) � ...� bmu(k�m).

y(z) � a1y(z)z �1 � ...� amy(z)z �m �� bou(z) � b1u(z)z �1 � ...� bmu(z)z �m .

G(z) � y(z)u(z)

� bo � b1z�1 � ...� bmz �m

1 � a1z�1 � ...� amz �m

.

G(z �1) � B(z �1)

A(z �1)

Para sistemas de mayor orden se pueden generalizar estos conceptos. La ecuacióndiferencial de un sistema de orden tendrá, en su caso más general, la formamrepresentada en la Ec. 3.2-11.

(3.2-11)

L afunción de transferencia, es

(3.2-12)

En el campo discreto se puede plantear la ecuación en diferencias de orden quemtendrá la forma

(3.2-13)

La Ec. 3.2-13 se puede transformar en aplicando el teorema de desplazamiento a la�derecha, obteniéndose

(3.2-14)

A partir de Ec. 3.2-14 se obtiene la función de transferencia discreta del sistema deorden .m

(3.2-15)

En forma compacta se expresa comoG(z)

(3.2-16)

donde representan los polinomios de numerador y denominador respectivamenteB, A


6

y(k) � � a1y(k�1)�...� amy(k�m) �� bou(k) �...� bmu(k�m).

y(k) � ��mi�1

aiy(k�i) ��mi�0

biu(k�i)

y el exponente negativo de es una notación que indica que la función de transferenciazdiscreta esta expresada en términos de potencias negativas de . Multiplicandoz

numerador y denominador por se puede obtener una expresión de en términosz m G(z)de potencias positivas de lo que resulta de utilidad en algunos casos particulares.zDespejando de la ecuación en diferencias Ec. 3.2-13 se obtieney(k)

Esta forma de expresar la ecuación en diferencias se denomina modelo ARMA delproceso. El nombre generalizado de modelo ARMA proviene de su nombre en inglésautoregressive (AR), moving average (MA). La parte autoregresiva se refiere a aquellaque contiene los términos pasados (regresivos) de la propia (auto) variable de salidaen un número igual al orden del proceso. El concepto de media móvil (MA) se refiereal caso en que siendo una entrada estocástica, los coeficientes realizan unau(k) bmedia pesada de los últimos valores de la entrada . Como esta media se vam u(k)actualizando con , se la denomina móvil. Este concepto de media fue extendido a losksistemas determinísticos y conserva el nombre.

Cuando son los coeficientes se tiene un modelo de media móvil puro (modeloai � 0

MA). Esto es, los valores pasados de no influyen en el valor presente.y(k)

Cuando son los coeficientes se tiene un modelo autoregresivo puro (modelo AR).bi � 0

Bajo esta condición, el modelo no es sensible a entradas y sólo tiene la dinámicapropia.

El modelo ARMA, expresado en forma de sumatoria tiene la forma


7

G(z �1) � B(z �1)

A(z �1)

G(z �1) � c0 � c1z�1 � c2z

�2 �...

D(s) � e �Ts.

T � dTo

D(z) � z �d.

G(z) � B(z �1)

A(z �1)z �d

3.3 Características y propiedades de la Función de transferencia discreta.

3.3.1 Realizabilidad.

representa un sistema realizable si haciendo el cociente,G(z)

(3.3-1)

resulta

(3.3-2)

sin términos con potencias positivas de , impuesto por condiciones de causalidad.zObsérvese que los , representan en el dominio temporal los valores de la secuenciaci

de ponderación del sistema (Ec. 3.2-5). Esto implica que el orden del denominadorpuede ser igual o mayor que el del numerador pero no menor, cuando se expresaG(z)en potencias positivas de .z

3.3.2 Retardo puro.

La función de transferencia de un retardo puro, tiempo muerto o demora , seTrepresenta como

(3.3-4)

Si el tiempo de demora se expresa en múltiplos de intervalos de muestreo esT To

(3.3-5)

con . La función de transferencia en , serád � 1, 2, 3,... z

(3.3-6)

Un proceso como el representado en la Fig. 3.3-1 que tiene un retardo puro de dintervalos de muestreo, tendrá como función de transferencia discreta

(3.3-7)


8

limk��

y(k) � limz�1

z�1z

y(z) � limz�1

z�1z

G(z)u(z)

u(z) � zz�1

K � limz�1

G(z) � b0 � b1 �...� bm

1 � a1 �...� am

.

G(z) � 1

1 � z �1

b0 � b1z�1 �...� bmz �m

1 � d1z�1 �...� dm�1z

�(m�1)

� 1

1 � z �1

B(z �1)

D(z �1)

Fig. 3.3.1 Proceso con retardo puro.

3.3.3 Constante de proporcionalidad.

La constante de proporcionalidad de un sistema se obtiene utilizando el teorema delKvalor final. está dado por el valor final de para una entrada escalón unitario.K y(k)

siendo

por ser un escalón unitario, resulta

(3.3-8)

3.3.4 Constante de integración.

La constante de integración de un sistema se obtiene en base a la determinación dela pendiente de la salida en estado estacionario para una entrada escalón unitario.

Si el sistema tiene comportamiento integral tendrá un polo en el origen del plano oSbien en en el plano , el cual se puede sacar como factor común.z � 1 �

(3.3-9)

Siendo la transformada de la señal de variación de la salida,


9

�y(z) � y(z)(1�z �1)


10

�y(z) � B(z �1)

D(z �1)

zz � 1

.

KI � b0 � b1 �...� bm

1 � d1 �...� dm�1

GT(z) � y(z)u(z)

� �{G1(s) G2(s)} � �{GT(s)}

para una entrada escalón unitario, con resultau(z) � 1.z/(z�1)

Utilizando el teorema del valor final, se obtiene el gradiente de crecimiento de la salida,el cual se denomina constante de integración.

(3.3-10)

3.4 Operaciones con funciones de transferencia discretas.

Para realizar la transformada del sistema en cascada representado en la Fig. 3.4.1,�debe primero efectuarse el producto , al no estar separados losG1(s)G2(s) � GT(s)

bloques por un muestreador sincrónico.

(3.4-1)

Fig. 3.4.1 Bloques en cascada.

Si ambos bloques están separados por un muestreador sincrónico como en la Fig.3.4.2, se realizan las transformadas independientemente

Fig. 3.4.2 Bloques separados por muestreador.


11

GM(z) � y(z)u(z)

� ��G1(s) � ��G2(s)� � G1(z)G2(z)

GM(z) � GT(z).

GT(z) � y(z)r(z)

y(z) � GP(z) GC(z)[r(z) � y(z)]

GT(z) � GP(z)GC(z)

1 � GP(z)GC(z)

(3.4-2)

resultando en general

La función de transferencia discreta para el sistema de la Fig. 3.4.3, es

Fig. 3.4.3. Sistema realimentado.

con

resulta

(3.4-3)


12

G(s) � y(s)u(s)

� K1 � sT

� K/T1/T � s

.

G(z) � y(z)u(z)

� bo

1 � a1z�1

y(k) � a1y(k�1) � bou(k).

y(k) � a1y(k�1) � 0.

y(1) � a1y(0)�0

y(2) � a1y(1) � a 21 y(0)

.

.

.y(k) � a1y(k�1) � a k

1 y(0).

3.5 Condiciones de estabilidad de sistemas de tiempo discreto.

Para analizar conceptualmente la estabilidad de los sistemas de tiempo discreto sehace primeramente el estudio en base a la ubicación de un polo real único. La funciónde transferencia continua de un sistema con un polo real único es

De acuerdo a la Ec. 3.2-8, resulta

(3.5-1)

tiene un polo en .G(z) z1 � a1

La correspondiente ecuación en diferencias de es G(z)

La ecuación homogénea en diferencias que corresponde a la evolución libre resulta

Si la condición inicial es , se puede analizar la evolución temporal de eny(0) � 0 y(k)forma recursiva.

De estaexpresión se observa que el sistema con la función de transferencia en representadazen Ec. 3.5-1, tendrá una evolución tendiendo a cero -sistema estable- si . Por�a1� < 1

el contrario, con , la salida crece indefinidamente. La condición �a1� > 1 y(k) �a1� � 1

representa el límite de estabilidad. El valor de fija la posición del polo en el plano a1 �. En la Fig. 3.5.1 se representan distintas posiciones de un polo real y sucorrespondiente comportamiento temporal.


13

z1 � a1 � eTos

1

s1 � �1/T.

G(s) � y(s)u(s)

� Ns(s)

(s�s1) (s�s2)

s1,2 � �a ± j�1

Fig. 3.5.1. Polos reales y comportamiento temporal

Los polos en los planos y están relacionados porS �

Los polos reales en el plano , comprendidos en el rango correspondenS �� < si < ��a polos reales en el plano comprendidos en el rango . Esto es, solamente� 0 < zi < �polos reales positivos en . Polos reales negativos en no tienen correspondencia en� �el plano . S

Para extender este concepto a los sistemas con polos complejos, se considera unsistema cuya ecuación característica tenga un par de polos complejos conjugados. Lafunción de transferencia en variable tendrá la formas


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G(z) � y(z)u(z)

� Nz(z)

(z�z1) (z�z2)

z1,2 � eaTo e

± j�1To

� M e± j�1To � M � [�1To]

y(k) � M k cos(�1 kTo) y(0)

Transformando al dominio se obtiene�

Los poloscomplejos son

Para valores existe correspondencia entre los polos en y en . En un contextoM > 0 � Sdigital es posible la existencia de polos con . Estos polos no tienenM < 0correspondencia en el dominio , ya que no es posible su transformación. Este tipo deSpolos tienen poca significación práctica ya que la discretización de un sistema continuoreal generará solo polos en con .� M > 0

Considerando un sistema discreto con un par de polos complejos conjugados, lasolución de la ecuación en diferencias homogénea, para evolución libre a partir de unacondición inicial , tiene la formay(0)

La salida del sistema permanecerá acotada si y solo si es . Esto es, ely(k) M � 1sistema será estable si los polos complejos se encuentran dentro del circulo de radiounitario en el plano .�En la Fig. 3.5.2 se representan distintas posiciones de un par de polos complejosconjugados y sus correspondientes evoluciones temporales esquemáticas.

Para ángulos se obtienen las representaciones a, b y c en las cuales se�1To < 90�cumple correctamente el teorema de Shannon ya que la frecuencia de muestreo essuficientemente alta en relación a la frecuencia de la armónica producida por el par depolos complejos. Cuando los polos se ubican sobre el eje imaginario. En�1To � 90�este caso la señal se anula para y su signo cambia alternativamentey(k) k � 1, 3, 5, ...para (representación d). El amortiguamiento está definido por el valor dek � 0, 2, 4, ...

. Para ángulos se obtienen las representaciones e, f y g en las queM �1To > 90�comienza a violarse el teorema de Shannon.


15

(z�z1)(z�z2)...(z�zm) � 0

�zi�<1 para i � 1,2...m.

Fig. 3.5.2 Polos complejos y evoluciones temporalescorrespondientes

La condición de estabilidad en general se puede enunciar de la siguiente manera:

Un sistema lineal es asintóticamente estable si a partir de una condición inicialdistinta de cero, la salida del mismo tiende asintóticamente a cero. Dado unmodelo de función de transferencia discreta la condición de estabilidadestablece que los polos estén ubicados dentro del círculo unitario del plano .�Esto es, se debe cumplir que .�ai� < 1

Generalizando este concepto para una ecuación característica de un sistema

con varios polos reales o complejos, el mismo será estable si todas las raíces cumplencon la condición que su módulo,


16

3.6 Modelos para la representación de sistemas multivariables de tiempo discreto.

En forma general se define proceso multivariable, a aquel que tiene más de unaentrada y más de una salida. Sin embargo, cuando cada salida esta vinculada a unay sólo una entrada, como se muestra en la Fig. 3.6.1 (a), entonces más que un procesomultivariable, se tiene un conjunto de procesos de una entrada y una salida, cuyotratamiento se puede hacer en forma individual para cada uno de ellos, con lasherramientas de control monovariable conocidas hasta ahora y se podrán controlar conlazos individuales de control. Comúnmente se los denomina sistemas desacoplados,y no presentan ningún problema adicional. Más específicamente un proceso esmultivariable cuando además de tener múltiples entradas y múltiples salidas, cadaentrada está vinculada a más de una salida, y cada salida a más de una entrada, eneste caso toman el nombre de procesos acoplados, como se muestra en la Fig. 3.6.1(b).

Fig. 3.6.1 Esquema de sistemas multivariables.(a). Entradas y salidas desacopladas.(b). Entradas y salidas acopladas.

La particularidad más importante de los procesos acoplados es la interacción entreentradas y salidas, de manera que no se puede tratar por separado cada relaciónentrada-salida, sino que se debe realizar un estudio en conjunto, lo que lleva a aplicarel cálculo matricial-vectorial.

3.6.1 Estructuras canónicas para procesos multivariables.

Los procesos multivariables se pueden representar bajo modelos denominadosestructuras canónicas. Las más importantes son la estructura canónica P y laestructura canónica V, ilustrados en Fig. 3.6.2 (a) y (b) respectivamente. En laestructura canónica P todas las entradas actúan sobre cada salida, mientras que en laestructura canónica V todas las salidas se conectan a cada entrada. La estructura V sedefine para igual número de entradas y salidas.


17

yi(z) � �e

j�1Gij(z)uj(z)

yi(z) � Gii(z)[ui(z) ��s

j�1Gij(z)yj(z)]

(a) (b)

Fig. 3.6.2. Estructuras canónicas más importantes(a) Estructura P. (b) Estructura V ( ).e�s

3.6.2 Modelo matemático para las estructuras canónicas multivariables.

Se puede considerar que cada salida se vincula a una entrada a través de una funciónde transferencia de tiempo discreto de manera que para entradas y salidas see stiene

(3.6-1)

con para el caso de una estructura P y i�1, ... ,s

(3.6-2)

con si , para la estructura V.Gij � 0 i� j

Considerando todas las salidas y representando el sistema de ecuaciones en forma


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y1(z)

y2(z)�ys(z)

�G11(z) G12(z) � G1e(z)

G21(z) G22(z) � G2e(z)� � � �Gs1(z) Gs2(z) � Gse(z)

u1(z)

u2(z)�ue(z)

y(z) � G(z)u(z) .

y1(z)

y2(z)�ys(z)

�G11(z) 0 � 0

0 G22(z) � 0� � � �0 0 � Gss(z)

u1(z)

u2(z)�us(z)

�

�0 G12(z) � G1s(z)

G21(z) 0 � G2s(z)� � � �Gs1(z) Gs2(z) � 0

y1(z)

y2(z)�ys(z)

y(z) � G1(z) [u(z) � G ,2(z) y(z)].

y(z) � G1(z) u(z) � G1(z) G ,2(z) y(z)

y(z) � [I � G1(z) G ,2(z)]

�1G1(z) u(z).

G ��(z) � [I � G1(z) G ,2(z)]

�1G1(z)

matricial, para la estructura P se tiene

(3.6-3)

o con notación vectorial-matricial(3.6-4)

Para la estructura V

(3.6-5)

En formacompacta

(3.6-6)

Operando en Ec. 3.6-6 se tiene

(3.6-7)

(3.6-8)

Denominando:

(3.6-9)


19

y(z) � G ��(z)u(z) .

y(z) � Ga(z)u(z) � Gb(z)u(z)

y(z) � Ga(z) [ u(z) � G ��1a (z)Gb(z)u(z)].

u(z) � G ��1(z)y(z)

y(z) � Ga(z) [ u(z) � G ��1a (z)Gb(z)G ��1(z)y(z)].

G1(z) � Ga(z)

G ,2(z) � G ��1

a (z)Gb(z)G ��1(z).

(3.6-10)

Comparando Ec. 3.6-10 con Ec. 3.6-4, se deduce que se ha transformado unaestructura V en una P.

Para pasar de P a V es más complejo. La Ec. 3.6-4 se estructura de la forma

(3.6-11)

o también

(3.6-12)

con diagonal conteniendo sólo los elementos .Ga(z) Gii

Despejando de Ec. 3.6-4u(z)

(3.6-13)

(3.6-14)

Comparando Ec. 3.6-6 con Ec. 3.6-14

(3.6-15)

(3.6-16)

Las funciones de transferencia se denominan elementos principales si yGij i � j

elementos de acoplamiento si , y la estructura se dice simétrica si parai� j Gij�Gji

.i� j

3.6.3 Ecuación característica y factor de acoplamiento.

Suponiendo una realimentación desacoplada del sistema mediante una matriz derealimentación de la forma


20

H(z) �H11(z) 0 � 0 0

0 H22(z) � 0 0� � � � �0 0 � Hee(z) 0

u(z) � M(z)r(z) � H(z)y(z).

y(z) � G(z) [M(z)r(z) � H(z)y(z)].

y(z) � [I � G(z)H(z)]�1 G(z)M(z)r(z)

G ��(z) � [I � G(z)H(z)]�1 G(z)M(z) .

(3.6-17)

y un vector de referencia vinculado a través de una matriz , se busca obtenerr(z) M(z)la matriz de transferencia de lazo cerrado. Puesto que es la referencia deseadar(z)para , e tienen la misma dimensión. El vector de entrada seráy(z) r(z) y(z)

(3.6-18)

Reemplazando Ec. 3.6-18 en Ec. 3.6-4 se obtiene

(3.6-19)

Reordenando se encuentra

(3.6-20)

de manera que la matriz de transferencia de lazo cerrado es

(3.6-21)

Dado que la dimensión de es (s x e), de es (e x s), y de es (e x s), entonces G H M G ��es (s x s).

En la Fig. 3.6.3 se puede observar un diagrama en bloques del modelo multivariable delazo cerrado.

Fig. 3.6.3. Diagrama en bloques de un sistema multivariablerealimentado.

Puesto que la matriz inversa se define como


21

[I � G(z)H(z)]�1 � Adj[I�G(z)H(z)]det[I � G(z)H(z)]

G ��(z) � Adj[I�G(z)H(z)]G(z)M(z)det[I � G(z)H(z)]

det[I � G(z)H(z)] � 0

det[I � Gc(z)G(z)] � det[1�Gc11G11] Gc11G12

Gc22G21 [1�Gc22G22]� 0.

[1�Gc11G11] [1�Gc22G22] � G12G21Gc11Gc22 � 0

[1�Gc11G11][1�Gc22G22] 1� G12G21

G11G22

Gc11G11Gc22G22

[1�Gc11G11] [1�Gc22G22]�0

Gri(z) � Gcii(z)Gii(z)

1 � Gcii(z)Gii(z)

(3.6-22)

ésta se puede reemplazar en Ec. 3.6-21 obteniéndose

(3.6-23)

y por lo tanto la ecuación característica del proceso multivariable de lazo cerrado es

(3.6-24)

es decir una generalización del polinomio característico estudiado para el caso de unaentrada y una salida.

Un caso particular de bastante importancia se presenta cuando es una matrizHidentidad en el caso de procesos de dos entradas y dos salidas y además se coloca encascada con un sistema desacoplado , de manera que se tieneG Gc

(3.6-25)

Desarrollando el determinante

sacando factor común el primer término y multiplicando y dividiendo en el segundo por G11 G22

se obtiene

Definiendo la función de transferencia de lazo cerrado desacoplada

(3.6-26)

y e lfactor de acoplamiento dinámico


22

fad(z) � G12(z)G21(z)

G11(z)G22(z)

(1 � Gc11G11) (1 � Gc22G22) (1 � fadGr1Gr2) � 0.

fae � G12(1)G21(1)

G11(1)G22(1)

(3.6-27)

el polinomio característico queda

En esta última ecuación los dos primeros factores son los polinomios característicos delos lazos simples desacoplados y sólo el tercer término depende de las funciones detransferencia cruzadas, agregando raíces al polinomio característico debidas alacoplamiento. De acuerdo con la ecuación del factor de acoplamiento dinámico, ya sea G12

o o ambas igual a cero, no se modificará el conjunto de autovalores del sistemaG21

desacoplado.

Los resultados anteriores son difíciles de generalizar para procesos de más de dosentradas y dos salidas, sin embargo se puede demostrar que sólo se necesita que unade las dos funciones de transferencia cruzada para todo y todo sean ceroGij, Gji i j

para que se conserven los autovalores del sistema desacoplado.

También se puede definir un factor de acoplamiento estático como

(3.6-28)

La matriz constituye el controlador del proceso, y se puede elegir de manera que el efectoGc

de acoplamiento sea mínimo.

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