capitulo 3
TRANSCRIPT
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1/56
CA#'ITULO
3
ANALISIS
POR
FLEXION
3.l INTRODUCCION
El
estudio
de
las
vigas
requiere
de
anlisis
o
diseo.
En el
caso
del
anlisis
por flexin,
las
dimensiones del acero
y
del
concreto,
as como
la
magnitud
y
lnea
de
accin
de la fuerza
efectiva
pretensora
son
gene-
ralmente
conocidas.
si se
dan
las
cargas, es
posible
que
se
desee
calcular
los
esfuerzos
resultantes y
compararlos
con
los
respectivos
esfuerzos permisibles.
Alternativamente,
si se
conocen
los
esfuerzos
permisibles,
es
posible
calcular
las
mximas
cargas
que
pueden
tomarse
sin
exceder
los esfuerzos permisibles.
para
resistencias
conocidas
del material, pueden
calcularse
la
capacidad
del
miembro
para
cualquie
carga
y
el factor
de
seguridad
contra el
colapso.
En
contraposicin,
en
el
diseo por
flexin,
se
conocen
ros
esfuerzos
permi-
sibles,
y
la resistencia
de
los
materiales,
se
dan las
cargas
por
soportar
y
el inge-
niero debe
determinar
las dimensiones
del
concreto
y
el
acero
as
como
la
mag-
nitud
y
la lnea
de
accin
de
la fuerza pretensora.
El
anlisis
por
flexin
de miembros
presforzados
es
con
mucho
la tarea
ms
sencilla.
El
diseo
se complica
por
la
interdependencia
de
muchas variables.
por
lo
general,
los
cambios
en una variable
afectarn
a
muchas
otras
de
ellas,
si
no es
que
a todas,
y
a menudo
el
mejor
camino
para
el
diseo
final
es un
proced.imiento
iterativo.
un
miembro
tentativo
que
se
escoge sobre
la
base de
un
clculo
aproxi-
mado
se verifica para
comprobar
su
suficiencia, y
luego
se afina. De
esta
manera,
en cierto
sentido
el diseador
converge
a la
solucin
que
es
"la
mejor',.
Tanto
el
anlisis
como
el
diseo
del
concreto
presforzado
puede
necesitar
de
la
consideracin
de varios
estados
de
carga, tal
como
sigue:
1. Presfuerzo
inicial,
inmediatamente
despus
de
la
transferencia,
cuando
solo P,
acta en el
concreto.
-
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2/56
8O
Anlisis
por
flexin
2.
Presfuerzo
inicial
ms
peso
propio
del
miembro.
3.
Presfuerzo
inicial
ms la
totadad
de
la
carga
muerta.
4.
Presfuerzo
efectivo,
Pn,
despus
de
ocurridas
las
prdidas
ms
las
cargas
de servicio
consistentes
en la
totalidad
de
la
carga
muerta
ms las
cargas
vivas
esperadas.
5.
Carga
rltima,
cuando
se
incrementan
las
cargas
esperadas
de
servicio
mediante
factores
de carga,
y
el
miembro
se
encuentra
al
inicio
de
la
falla.
En
el
nivel
de
cargas
de
servicio
o
por
debajo
de 1,
tanto
los
esfuerzos
en
el con-
creto como
los
actuantes
en
el
acero estn
por
lo
general
dentro
del
rango
els-
tico. sin
embargo,
si
el
miembro
llega
a
sobrecargarse,
es
posible
que
uno
o los
dos materiales
pueda
ser
esforzado
dentro
del
rango
inelstico,
en
cuyo
caso,
las
predicciones de
la resistencia
ltima debern
basarse
en
las relaciones
reales
no
lineales
de esfuerzo'deformacin.
En
este captulo
se tratarn
nicamente
vigas de
un
solo
claro,
estticamente
determinadas.
El estudio
de
estos
miembros
permite el
establecimiento
de los
principios
bsicos
en
la forma
ms
clara
posible. Por otra
parte,
estos
miembros
son
de
una
gran
importancia
prctica,
ya
que un
gran
porcentaje
de
la
construc-
cin
en concreto
presforzado
en
los
Estados
Unidos
es
corrientemente
precolada
y
se
monta
en
forma
de
vigas simplemente
apoyadas.
El
estudio
de
las
vigas
in
-
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3/56
y
Esfueros
elsticos de
flexin
en vigas no
agrietadas
8l
3.3 PERDIDA
PARCIAL
DE
LA
FI.JERZA
PRETENSORA
No
es
posible
ir
muy
lejos en
el
anlisis o diseo
de
miembros
de
concreto
pres-
forzado
sin
toma
en cuenta
que
la
fuerza
pretensora
no
es constante. Como
ya
se
estudi
brevemente en el
captulo
l,la
fuerza
de
tensin en
el
gato
P,
aplicada
ini-
cialmente
al tendn, se
reduce
inmediatamente,
lo
que
se
ha denominado fuerza
pretensora
inicial
P,.
Una
parte
de esta
prdida
en
la
tensin del
gato,
aquella
debida
a
la
friccin
existente entre el tendn
postensado y
su
ducto,
realmente
ocurre antes de
la
transferencia
de
la
fuerza
pretensora
al
concreto. La
restante,
debida
al
acortamiento
elstico
del concreto
y
a
los deslizamientos
en
los anclajes
del postensado al empezar
a
trabajar
las cuas
de
bloqueo,
ocurre
inmediatamente
despus de
la
transferencia.
Ocurren
prdidas
adicionales a travs de
un
largo
periodo,
debidas
a
la
con-
traccin
y
al escurrimiento
plstico, y
al
relajamiento
de
los esfuerzos
en
el
ten-
dn
de acero.
Como consecuencia de esto,
lafuerza
pretensora
se
reduce
deP,
hasta
su
valor
final o
efectivo
P",
despus
de
que
han
ocurrido todas
las
prdidas
significativas
que
dependen
del
tiempo.
Los
valores
de mayor
inters
en
el
clculo de los esfuerzos en
el
concreto
son el
presfuerzo
inical
P,
y
el
presfuerzo
efectivo P"
.
Resulta
conveniente
expre-
sar
la
relacin
ciitre
estos
trminos
en
funcin
de
la relacin
de
efectividad
R.
la
cual se
define
como:
P":
RP
(3.1)
Expresada de otra
manera. la relacin
entre
las
prdidas
dependientes del
tienrpc
y
lafuerza inical
de
presfuerzo
es:
D
-D
:t_R
Pi
(3.21
En
trabajos de mayor
importancia
es siempre recomendable
calcular
cuida-
dosamente
cada componente de
la
prdida
de la fuerza
pretensora.
usando
la
mejor
informacin disponible
de
las
propiedades
de
los
materiales
y
de las
se-
ruencia de
la
construccin.
En
los
casos
rutinarios
o
de
menor
importancia,
resulta
adecuado
suponer
un
valor
para
la
relacin
cle
efectividad
R,
basndose
en
la informacin
publicada
o en
las
experiencias
previas
de
construcciones
sirni-
lares. En el
captulo 6
se
dar
informacin
detallada
til
para
el
clculo de
cada
uno
de los componentes individuales
de las prdlCas.
En
todos los ejemplos
de
este
captulo,
con
el
objeto
de no obscurecer
los
principios
fundamentales,
se
supondr un
valor
razonable para
las
prdidas.
3.4
ESFUERZOS
ELASTICOS
DE FLEXION
EN
VIGAS
NO AGRIETADAS
A. Comportamento de
vigas
presfozadas
en
el rango
elstico
En
la
figura
3.1 se muestra una
viga presforzada
apoyada
simplemente
con
un
tendn
curvo.
El
centroide del
concreto
es
el
de toda
la
seccin no
agrietada,
y
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4/56
82
Anlisis
por
flexin
el
acero
se
representar
por
su
eje centroidal,
bien
sea
que
est
constituido
por
un
solo
tendn o por
varios.
I
excentricidad
del
centroide
del
acero,
ser
posi-
tiva
si
sta
se
mide
hacia abajo
del centroide
del
concreto,
y
se
representa con
e.
Las
distancias
de
el centroide
del concreto
alas
superficies
superior
e inferior
del
miembro
son
cr
y
c2,
respectivamente.
La
figura
3.1
muestra
las
fuerzas resultantes
que
actan
en el
concreto
des-
pus
dellensado
del acero.
LafuerzaF
act:a
en
el
concreto
en
los
anclajes
de
ios
tendones
cerca
de
los
extremos
del
miembro .
La
fuerzaP
en
el
centro
del
claro
es la
resultante
de
todos
los
esfuerzos
normales
de
compresin
en el con-
creto que acta
en
dicha
seccin. Estos esfuerzos
normales
varan de
un
valor/,
en
h
Juperficie
superior
af,
en
la
superficie
inferior.
Las
fuerzasiy'
se
ejercen
sobre
el concreto
por
el tendn
debido
a su
curvatura
y
la distribucin
exacta
de estas
fuerzas depende
de
la
configuracin
particular
que
se
use
pala
el
tendn.
Las
tres
fuerzas
F,N,y
P
forman
un
sistema
autoequilibradcl,
tal
como
se
ilustra
en
el
polgono
cerrado
de
fuerzas
de la
figura 3.1c.
Ntese
que cuando
nicamente
actan
las
fuerzas
del
presfuerzo
en una
viga estticamente
determi-
nada,
las
reacciones
externas
en la
viga
son
cero.
La
figura 3.1d
nos
muestra una
forma alternativa
de
representar
a
las
fuerzas
de la
figura
3.lb
,
en
la
cual
las
fuerzas
f'
y
y'y'
se
reemplazan
por
su suma
vectorial
Z,
I-a
comprensin
resultante
P
actia
como
antes.
Ntese
que
P
y
?n
son
fuerzas
iguales
y
opuestas,
que
actan
en el
mismo
punto
de
la seccin
transversal.
Puede
concluirse
que
para una
viga estticamente
determinada,
la consecuencia
delpres-
fuerzo
es
una fuerza
resultante
de
compresin
que
acta
en el centroide
del acero
en
cualquier
seccin.
La
direccin
de
la
resultante de
compresin
es
siempre
tangente
a
la confi-
guracin del
tendn
en cualquier
seccin. Para
la
seccin
en
el
centro del
claro
de
una
viga simtrica,
tal
como
la
que
se
acaba
de
considerar,
la
resultante
de
compresin
fue horizontal. Si
la seccin
se
hubiera tomado
en
cualquier
otra
ubicacin,
por
ejemplo
en el
cuarto
del
claro,
la
resultante
de
compresin
habra
tenidc una
componente
hor2ontal
y
otra
vertical.
En
tal caso,
la componente
horizontal
representara
la
suma
de
todas
las
fuerzas
normales
que
actan
en
el
concreto
y
la componente
vertical la
suma
de
todas
las
fuerzas
de corte'
A
continuacin,
se
permite que
acte
una
fuerza uniforme distribuida
de
intensidad
w,
tal
como
se
muestra
en
la figura
3.1e. Existe una fuerza
de
reac-
cin
asociada
R
-
wll2 en
cda
apoyo.
A
medida
que
la
fuerza
w
es aplicada
gradualmetrte,
la
magnitud de
la
fuerza
pretensora
permanece
esencialmente
constante
(el pequeo
aumento
real
se
estudiar
en la
seccin
3.6),
y
Tnmantiene
tanto
su
magnitud
como su
posicin.
Sin
embargo,
a
medida
que
se superponen
los
esfuerzos de flexin
debidos
a
las
cargas
aplicadas
a los
esfuerzos axiales
y
de
flexin
debidos al
presfuerzo,
la compresin
resultante
P
se
mueve
hacia arriba.
Se
genera
un
par
interno
resistente, con
fuerzas
iguales
P
y
T
y
un brazo
z.
Este
par
equilibra exactamente al
momento
exterior.
presforzado
y
-
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de
vigas
de
concreto
Centroide
del
concreto
Centroide
del
acero
Esfueros
elsticos
de
flexin
en
vigas
no
agrietadas 83
+-F
f,
tr
(F+N)
=T
(el
Figuta
3.1
Fuerzas
que
actan
en
una
viga
presforzada
tpica.
(a)
Perfil
de
la
viga
y
su seccin.
(b)
Fuerzas
que
actan
en
el
concreto.
(c)
Polgono
de
equili-
brio
de
fuerzas.
(d)
Fuerzas
de
anclaje
y
curvatura
reemplazadas
por
la
resultante.
(e)
Viga
con
crrgas transversales.
una
viga
de concreto
reforzado,
el
brazo del
par
interno
permanece
bsicamente
constante
a
medida
de
que
la carga se
incrementa,y
el incremento en elmo-
mento
viene
acompaado
por
un
incremento
casi
proporcional
de las
fuerzas
internas.
Para
la
viga
presforzada,
las
fuerzas
pennanecen
esencialmente
constan-
tes a
medida que
se
incrementa
la
carga,
y
el
incremento
en
el momento
viene
acompaado
por
un incremento del
brazo
del
par
interno.
jLAldtl:
-
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84 Anlisis
por
flexin
B. Esfuerzos
elasticos
Siempre
que
la
viga
permaneza
sin agrietarse,
y que
tanto
el
concreto
como
el
acero
sean
esforzados
dentro
de
los
rangos
elsticos,
los esfuerzos
en
el
concreto
pueden hallarse usando conocidas ecuaciones
de
la mecnica,
basadas en
el com-
portamiento
elstico. En
la
prctica
actual,
estas
condiciones
se
cumplen a
me-
nudo hasta
el
nivel de las
cargas
de
servicio.
_Mo
s1
-l
g
V
A
E
E
*M"
s2
(c)
Figura
3.2 Esfuerzos
elsticos
en
una
viga
presforzada
sin agrietar.
(a)
Efecto
del
presfuerzo
inicial. ()
Efecto
del presfuerzo
inicial
ms
el
peso
propio. (c) Efecto
del
presfuerzo
final
ms carga
de
servicio
total.
-,
Ac
E
-PJ
Ac
P. ec.
I
P. ec,
-:
"(1
--;l
qr
r-ll-J
L
"\
',,
tta
-
P, ecz
Ie
P, ec-
--"11
+
-l
P.
ec-
--
(1
+
-j)
A.
12
P, c M^
---.1
(1
+----f) +-"
Ac 12
52
M+Ml
P",- ?c1,
Mt
tt
--,
--
Ji
Ac
r
51
P- cz
M,
---:
(1
+r)
+
r
Ac
12
52
bt
-
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7/56
Esfuerzos
elsticos
de flexin
en
vgas
no
agrietadas
gE
De
acuerdo
con
el
cdigo ACI,
los
esfuerzos
se
pueden
hanar
usando
ros
mtodos
elsticos
lineales,
aun cuando
la tensin nominal
sea
ligeramente
mayor
que
el
valor
probable
del
mdulo
de ruptura.
El
razonamiento
para
esto es que
debe
de
proveerse
una
cierta
cantidad
de
refuerzo
bien
sea
presforzado
o no en
las zonas de
tensin.
Esto
sirve
para
controlar tanto
las
grietas como la
deflexin,
y
permite
al
miembro
responder
esencialmente
como
si
no
tuviera
grietas.
Si
el
miembro
se
zujeta
nicamente
ala
f:uerz,a pretensora
rnicial
pr,acaba
de
demostrarse
que
la resultante
de
compresin
acta en el
centroide
del
acero. El
esfuerzo
en
el
concret
o
f
,
enla
cara
iuperior
del
miemb
ro
y
fz
en
la
cara
inferior,
pueden
hallarse
mediante
la
superposicin
de
los efectos
axial
y
de
flexin:
donde
e
es
la
excentricidad
del
tendn
medida
hacia
abajo
desde
el
centroide
del
concreto,
A
"
es
el
rea
de
la seccin
transversal
del
concreto,
e
1"
es el
momento
de
inercia
de
la
seccin
transversal
del
concreto.
Los
dems
trminos
ya
se defi-
nieron
anteriormente-
Sustituyendo
el radio
de giro
12
-I"f
A",estas
ecuaciones
pueden
escribirse
en una
forma
ms
conveniente:
(3.3a)
(3.3b)
Q.aa)
(3.4b)
(3.sa)
(3.5b)
f'
f,
:-';('--)
:
-'i(.?)
La distribucin resultante
del esfuerzo
se
muestra
enlafrgwa3.2a.
casi nunca
el
presfuerzo
inicial
{
acta
solo. En
la
mayora
de
los
casos
prcticos,
con el
tendn
debajo
del
centroide
del
concreto,
la viga
se
deflexionar
hacia
arriba
debido
al momento
de
flexin
causado
por
el
presfuerzo.
Entonces
se
soportar por
las
cimbras
o
por
las
camas
de
colado
sobre
todo en
los
extremos,
y
la
carga
muerta
de la
ga
misma,
causar
momentos
Mo
que
se
superpondrn
inmediatamente.
consecuentemente,
en
el
estado
inicial de
carga,
inmediatamen-
te
despus
de la
transferencia
de
la
fuerza pretensora,
los esfuerzos
en
el
concreto
en las
superficies superior
e
inferior
valen:
fi:
ft:
-2(-?)-+
-i(.?).y
-
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8/56
86
Anlisis
Por
flexin
donde
Mo
es
el
momento
flector
debido
al
peso
propio delmiembro,
y
s, =IJc
t
y
Sz
=
tilc,
son
los
mdulos
de seccin
con
fespecto
a
las
superficies
superior
.
if.rioi
d-e
la
viga.
La
distribucin
del
esfuerzo
para este
estado
de carga
se
muestra
en la
figra
3.2b.
Pueden colocarse
las
cargas
muertas
superpuestas
(adicionales
alpesopropio)
cuando
la
fuerza
pretensora tenga
an
un
valor
cercano
al
inicial,
esto
es,
antes
dequehayanocurridolasprdidasdependientesdeltiempo.Sinembargo'este
estao
de
cargas
rara
vez
controlar
el diseo,
como
se
puede
confirmar
estu-
diando
lafigrna3.2.
Las
cargas
vivas aplicadas
son
generalmente
superpuestas
lo sufiencientemen-
te
despus
como
para
que hayan
ocurrido
la
mayor
parte
de
las
prdidas del
presfuerzo.
En
consecuencia,
el
siguiente
estado
de
carga
de
inters
es
el
estado
correspondiente a
la
totalidad
de las
cargas
de
servicio, cuando
acta
la
fuerza
pretensora
efectiva
P"
con
los
momentos
debidos
al
peso
propio
(M")'
ala
carga
muerta
superpuesta
(U)
v
a
la
catga
viva
(M)'
Los
esfuerzos
resultantes
son:
M,
-s,
M.
+'
s2
3,('-?)
*,('.?)
(3.6a)
(3.6b)
{
-_
t
-
{
-,
2
-
donde
el
momento
total
M,
es
M,:
Mo+
Md+
Mt
(3.
t;
En la
figura 3.2c
se
muestran
los
esfuerzos debidos
a las
cargas
de servicio.
C.
Clculo
de
las
propiedades de la seccin
Cuando
se
calculen
las
propiedades
de la
seccin
transversal
del
concreto
para
usarse
en las
ecuaCiones
antes
mencionadas,
debe
notarse
que en la
construcCin
postensada
los
tendones
pueden
pasar
a
travs
de
ductos
de tamao
considerable'
Antes
de
que
se
aplique
el
mortero
en
los tendones,
los
esfuerzos
en
el
concreto
deben
calcularse
usando la seccin
neta,
deduciendo
los
agujeros.
Despus
de
la
aplicacin
del
mortero,
deber
emplearse
la seccin
transformada.
Pueden
con-
,id.rurrt
los
agujeros
llenos
de
concreto
y
remplazarse
al acero
con
su
rea
trans-
formada equivalente de
concreto igual
a (no
- l)
Ao,
donde
no
esla
relacin
modular
OoE"
V
Ao
es el rea
del acero
dei
presfuerzo
(ver
la
obra citada
en
la
Bibliograf
.n :.f.;.
En los casos
prcticos,
en
tanto
que
la
deduccin
de los
agujeros
puede
ser
significativa,
el
empleo
de
la seccin
total
de concreto
des-
pus
de la
aplicacin
del
mortero
en
lugar
de
la seccin
transformada
puede
ser
normalmente
satisfactorio.
En
muchos
casos,
la
deduccin
de
los
agujeros
es
pequea
y
podr
usarse
la
seccin
total
del
concreto
en los clculos.
Este casi
siempre
ser
el
caso
cuando
se
usen
tendones envueltos sin ductos para
eliminar
la adherencia'
-
5/20/2018 capitulo 3
9/56
Esfuerzos
elstcos
de
flexin
en vigas
no
agrietadas
g7
En
la
construccin
pretensada,
tericamente
debera
usarse
la
seccin
trans-
formada
en
los
clculos.
Sin embargo,
las
diferencias
entre
las
propiedades
de
la
seccin
transformada
y
la
seccin
total
son
generalmente
tan
pequeas
que per-
miten
el
empleo
de
la
seccin
total en
los
clculos.
D.
Ncleo
central
de la
seccin
transversal
se dice que
cuando
lafterzapretensora,
actuando
sola,
no
produce
tensiones en
la
seccin
transversal,
acta
dentro
del ncleo
de
la
seccin
transversal.
En
los
casos
lmites
se
obtendr
una
distribucin
triangular
de esfuerzos
de
la
aplicacin
de la
fuerza pretensora,
con
un
esfuerzo
en
el
concreto
de
cero
en
la
parte
supe-
rior
o
inferior
del
miembro.
Las
dimensiones
lmite
del
ncleo
central de
la
seccin
se
pueden
hallar
de
las
ecuaciones
G.aa) v
G.4b).
Para
hallar
la dimensin
inferior
del
ncleo
central,
el
esfuerzo
en
el
concreto
en
la
superficie
superior
deber hacerse
cero,
tal
como
se
ilustra en
la
figura
3.3. As
pues:
"
P,
(,
ec,\
f':
-i('-7):'
lo
cual
indica que
la
cantidad entre
parntesis
debe
de
ser
igual
a
cero. Resolviendo
esta
ecuacin,
se
halla
la excentricidad
e
-
k,
y
constituye
el lmite
inferior del
ncleo
cenal
de
la
seccin
t
-b?:
o
r-
12
,,
^2--
c1
f:T
llcl
il
centrciue
aer
l_L___-.t_
concreto
I
I
A
r-'--l l
Fiura
3.3 Distribuciones
de esfuerzos para
lmites
del ncleo
de
la
seccin.
(a)
Seccin
ncleo
(c)
Lmite
superior
del ncleo.
bt
al
(3.8a)
e=kz
_
___
(c)
fuezas
pretensoras
aplicadas
en
los
tranwersal.
()
Lmite
iferior
del
-
5/20/2018 capitulo 3
10/56
88 Anlsis Por
flexin
De manera
similar,
se
puede
hallar
el
lmite
superior
del
ncleo
central
anulando
la
expresin
del
esfuerzo
en
el
concreto
en
la superficie
inferior,
de
donde:
1
r-
k.---
L2
Momento
de
inercia
Ic
Area
del
concreto
A"
=
Mtlulo
de
seccin
Sr
Radio
de
giro 12
=
Los
esfuerzos
en
el concreto
producidos
por
la
fuerza
pretensora
inicial
de
169
kilolibras
se
pueden
hallar
mediante
la
ecuacin
(3.4).
En
las
superficies
supe-
rio
e
inferior
estos esfuerzos
valen, respectivamente:
confirmando
el
signo
menos
que la
dimensin
lmite
se
mide
hacia
arriba
dcl
centroide
del
concreto'
No sera
aconsejable
poner mucho
nfasis
en
estas
dimensiones
lmite.
No
se
deber
inferir
que
el
centroide
del
acero
debe
permanecer
dentro
del
ncleo
de
la
seccin.
Sin
embargo,
a
menudo
los
lmites
del
ncleo
sifven
como
puntos
convenientes
de
referencia
en
el diseo
de
vigas'
EJEMPLO
Esfuerzos
de
flexin
para una viga con
garga-s
dadas
La
viga
I
simplement
e
apoyada
que
ie
muestra
en
la
figura
3.4
debe
soportar
una
carga-uniforme
de servicio,
muerta
ms
viva,
que
totaliza
0.55
kiobras/pie
con
,rn .luro
de
40
pies,
en forma
adicional
a su
peso
propio'
Se
usar
concreto
nor-
mal
con
una
densidad
de
150
lb/pie3.
Laviga
se
pretensar
usando
cables
mlti-
plesdeTalambres;laexcentricidadesconstanteeiguala5.l9pulg.Lzfverua
pretensora
P,
inmediatamente
despus
de
la
transferencia
(despus
de
ocurridas
ias
prdidas
por
acortamiento
elstico)
es
de
l6g
kilolibras.
Las
prdidas
depen-
dientes del
tiempo
debidas a
la
contraccin,
al
escurrimiento
plstico
y
al
relaja-
-i"nto
,o-*
,rn l5To
de
lafuerzapretensora
inicial
total.
Encontrar
los
esfuer-
zos
de
flexin
en
el concreto
en
el centro
del
claro
y
en los
apoyos
para
las
condiciones
inicial
y
fial.
(carga
8.02
kN/m,
claro
12.l9m,
densidad
24
kN/m3,
e
=
132
mm,
P,
=
752
kN.)
En las
vigas
pretensadas
que
usan
cables
trenzados,
la
diferencia
entre
las
propiedades
de
la
seccin
total
y
la
transformada
es
generalmente
pequea. En
consec,ren"ia,
todos
los
clculos
se
basan
en las
propiedades
de
la
seccin
total
del
concreto.
se
usar
un
espesor
promedio
pala
los
patines,
tal
como
se
mues-
tra
en
la figura 3.4b.
Para esta
seccin:
12,000
purg.4
(4.99
x
loe
mma)
176
pe.2
(114
x 103
mmz)
S"
=
1000
pulg.3
(16.4
x 106
mms)
tlla"
=
68.2pu1g.2
(44
x
loa
mmz)
(3.8b)
r,:
-2('-.):
-#(1
-ala ):
-83,b/pu,g2
f,:
_?"(r.?):
169.000/
5.t9xl2r
t76
\'
'
68.2
/
-
5/20/2018 capitulo 3
11/56
Esfuerzos
elsticos
de
flexin
en
vigas
no
agrietadas
99
Tal
como
se
muestra
en
la
distribucin
(l)
en
la figura
3.4c.
Estos
esfuerzos
existen
a
lo largo
de
toda la
longitud
del
miembro.
Sin
embargo,
a medida
que
se
aplica
la
fuerza
pretensora,
la
viga
se
levantar
de
la
cimbra,
y
actuarn
los
esfuerzos
debidos
al
momento
flector
de la viga
por
cuga
muerta.
La
carga
muer-
ta
de.bida
al
peso
propio
del
miembro
es:
176
w":
t44
x
0.150
:
0.183 kilolibras/pie
u
+
al
=
0.55
klf
'l
{
,1,{
{
{
{
+ {
{ {
e=
constante
ts_.'--40,_______+1
(al
k_12___4
l-*4-l
T;T-
rt_
I
2l
-{l
6
T-;[-
5l
+l
717
Centroide
del
concreto
Centroide del
acero,
c
e
o
@
P
P+Mo
Pe
rMo
P
+
Mo+
ll+
l,l
1c)
Figura
3.4
viga
I
con excentricidad constante.
(a)
Elevacin.
(b)
seccin
trans-
versal.
(c)
Esfuerzos
en
el
concreto
en
el
centro
del
claro.
El
momento
correspondiente
en
el
centro
del
claro
vale
M,::x
0.183 x
402
:
36.6
kilolibras/pie
5
l_
-
5/20/2018 capitulo 3
12/56
9O
Anlisis
por
flexin
Este
momento
pfoduce
en
el centro
del clao
los
siguientes
esfuerzos
en
el con-
creto
para
las
pates
superior
e
inferior
r,: -ry-
-:o'o1I'ooo
:
-+zttblputg.2
sl
1000
f,
:
.y:-
+36'6
Iir'000
:
+43elb/pulg.2
Los
efectos
combinados
del
presfuerzo
iicial
y
el
peso
propio
se
hallan
por
superposicin
fi: -83 -
439:
-522lblpulg.2
(-3.6
N/mm'?)
h:
-1837
+
439:
-
13e8lb/pulg.2
(-9.6
N/mm'?)
tal
como
se
muestra
en
la distribucin
(2).
Las
prdidas dependientes
del
tiempo
son
el l5%
de
Pr. En consecuencia
la
relacin
de
efectividad
vale
n:
&:
o.as
Pi
y
lafuerza
efectiva
de
presfuerzo,
despus de
ocurridas
todas
las
prdidas
es
P"
:
0.85
x
169
:
144
kfolibras
Los
esfuerzos
en
el
concreto
debidos
aPe
en las
fibras superior
e inferior
valen
:0.85
x(-83)
:
-lrlblE;/rs.z
fz:0.85
x
(-1837):
-1561lb/pulg.2
como
antes, debern superponerse
los
esfuezos
de
flexin
debidos al
peso
pro-
pio.
Los
esfuerzos
resultantes
en
el
cento
del claro
debidos
a
P.
Y
al
peso
propio
valen
ft:
-7r
-
439
:
-slolb/pulg.'
(-'s
N/mm2)
fz
:
_
ts6t
+
43g
:
-tr22lbipulg:2
(-7'7
N/mm2)
tal
como se
da
en ta
distribucin
(3)
de
Iafiguta3-4c.
El
momento
en
el centro
del claro
debido
a las
cargas
muerta
y
viva sobre-
puestas vale:
Md+
Mt:
I
t
o.ss
x
402
:ll0kilolibra-pie
y
los esfuerzos correspondientes
en
el
concreto
son:
-
110
x 12,000
'
:
-
"",ir-]"""
:
-
1320lb/Pulg'2
-
5/20/2018 capitulo 3
13/56
Esfuerzos
elsticos
de
flexin
en
vigas
no agrietadas
91
110
x
12.000
:
+-:ffi:
:
+r32olb/Pulg.2
Luego, combinando
la
fuerza efectiva pfetensora con los momentos
debidos al
peso
propio
y
a la carga
sobtepuesta,
los esfuerzos
gue
se
producen
valen:
f
:
-510 -
t32O:
-1830lb/pulg.2
(-
12.6
N/mm'?)
f,:
-tt22
+
1320
:
+
198
tb/pulg.2
(+
1.4
Nimm2)
tal
como
se
muestra
en
la
distribucin
(4).
En
la
figura
3.4c
el
cambio
de
esfuer-
zo resultante
del
peso
propio
del
miembro se
muestra
mediante
un
sombreado
horizontal,
mientras
que
aquel
que
resulta
de
las cargas
muerta
y
viva sobfepues-
tas
con
un
sombreado
vertical.
En las secciones
de
los
apoyos,
las cargas
tranSversales
no
produgen esfuerzos
de
flexin,
y
los
esfuerzos
en
el concreto
se
deben
nicamente
al
presfuerzo.
Los
valores
iniciales
de
-83
y
-1837
lb/pute.z
se
reducen
gradualmente
hasta
-71
y
-
1561
lb/pulg.'? respectivamente,amedidaqueocurrenlasprdidasdependientes
del
tiempo.
COMENTAR
IOS
ADICIONALES
l.
El
esfuerzo en el
centroide
del
concreto debido
al
presfuerzo
inicial
es
169.000
Jcc
-
li6
y
este
esfuerzo
no
cambia a
medida
que
va actuando
el
peso
propio
del
miembro.
iampoco
vara
el esfuerzo centroidal
en
el
concreto,
despus
de
ocurtidas
las
prdidas,
cuyo
valor es 0.85
x
C960)
=
-8
16
lblpulg.z,
al
aplicarse
las
cargas
muerta
y
vivas
sobrepuestas.
2.
El
cambio en
el
esfuerzo
en
el
acero del presfuerzo que proviene
de
la
aplica-
cin
de las
cargas,
se
puede
calcular
fcilmente. Suponiendo
que
la
adherencia
entre
el
concrto
y
el
acero
permanece
intacta,
el
cambio
en
el
esfuerzo
del
acero
ser
nD
veces
el
cambio
en el
esfuerzo
en el
concreto
en
aquel
nivel
del
miem-
bro,
donde
h,
=
E
ol
E
".
Aqu
se
supondr un
valor
de
n
O
=8.Refirindose
a
la figu'
ra
3
.4
c,
a
mdida
que
acta
el
peso
propio,
el incremento
en
el esfuerzo
del acero
vale
A/"
:
8(-
13e8
+
1837)
"T :
l5le
lb/pulg.2
en
tanto
que
el
incremento
asociado
con
las cargas
muerta
y
viva
sobrepuestas
es
^r:
s(le8
+
tr22).
#:
4567lblpulg.2
El
incremento
total
es
alrededor
del
3Yo
del esfuerzo inicial
probable
en el acero.
-
5/20/2018 capitulo 3
14/56
92
Anlisis Por
flexin
Este
cambio
por
lo
general
se
desprecia'
. Lu
*ugnit"d
eiesfuerzo
de
iensin
en
la
superficie
inferior
del
concreto
de
1r;i{iple,
est
bastante
por
debajo
del
mdulo
de
ruptura
probable del
con-
..J",
',"onF"*ndose
.i t
""o
de
que
el concreto
no
se
ha agrietado
y
que
son
,alio,
los
clculos
de
los
esfuerzos
que
se
basan
en
la seccin
total.
4.
Ntese
que
en
el estado
descargado,
representado
por la distribucin
(2)'
exis-
te
una
precompresin
sustancial
en la
parte
superior
de
la
viga'
la
cual
se
com-
primiranmsposteriormenteporlaaplicacindelascargassobrepuestas.
Esto
sugiere
que
se
podra obtener
un
diseo
ms
eficaz'
mediante
el incremento
de la
excentricla
et
cable
o
la
reduccin
de
la
fuerza
pretensora,
o
ambas
cosas.
Sinembargo,pafaunmiembrocontendonesrectos,talescambiospuedencon-
duci
a
grandes
esfuerzos
de tensin
en
la
parte
superior
del
miembro
en
los
apo-
yos,
donde
la cargamueta
de
la
viga
no
produce
esfuerzos
de
flexin'
Por
sta
y
Lt*,
,uro.r.r,
a
mlnudo
se
reduce
la
excentricidad
del
tendn
cerca
de
los
apoyos.
3.5
ESFUERZOS
PERMISIBLES
DE
FLE
XION
Lamayoradelasespecificacionesparalaconstruccindeconcretopresforzado
imponenciertaslimitacionesalosesfuerzosenelconcretoyenelaceroparacada
estado
en
particular,
tales
como
aquellas
que
se
imponen
durante
el.tensado
del
acero,aquellasparainmediatamentedesp,,sdelastransferenciadelafuerza
pretensoraalconcreto,yparacuandoactalatotalidaddelacargadeservicio.
Estas
limitaciones
en
i
t'f"""o
tratan
de
evitar
daos
al
miembro
durante
la
construccinyasgurarbuenascondicionesdeserviciomediantelalimitacin
indirecta
del
ancho
oe
ias
grietas
y
la
deflexin.
En
la
prctica
actual,
las
especi-
ficaciones
que limitan
el
Jsfuerzo
proporcionan
a
menudo
el
punto
de
partida
paralaseleccindelasdimensionesdelosmiembrosdeconcretopresforzado.
Por
supuesto,
el diseo
resultante
debe
comprobarse
por
resistencia
asegurando
un
adecuado
fu"to,
e
,egt'ridad
contra
h
fJla'
A
menudo
tambin
deben
calcu-
larse las deflexiones
explcitamente
para
un
estado
particular
de carga
que
sea
de
imPortancia.
A. Concreto
LoslmitesenelesfuerzodelconcretoqueimponeelCdigoAClseresumenen
la
Tabla
3.
I
.
Aqu
f ,
es
la
resistencia
a
la
compresin
del
concreto
al
momento
del
presfuerzo
iniclil
y
es
la resistencia
especificada
a
la
compresin
para
el
concreto.
Ambas
rr
.*pt.lru"
en libras/pu1'.2,
fl la misma
forma
que los
esfuer-
zos
resultantes.
LosesfuerzospermisiblesdelaparteldelaTabla3.lseaplicaninmediata.
mente
despus
de
la
transferencia
e
la
fuerza
pretensora
al
concreto,
despus
de
que
,,
-huyun
deducido
las
prdidas
debidas
a
la
friccin'
deslizamiento
en
los
anclajes,
y
el acortamiento
elstico
del
concreto'
pero
antes
de
que se
hayan
tomadoencuentalasprdidasdependientesdeltiempodebidasalacontraccin'
el
escurrimiento
plstico
y
el
relajamiento'
-
5/20/2018 capitulo 3
15/56
Esfuerzos
permisibles
de
flexin
93
Los lmites
de los esfuerzos
de tensi
"
"$t/Ei
e,r/ffse
refieren
al esfuerzo
de
tensin
que
ocurre en
zonas
que
no
sean la de
tensin
precomprimida.*
Si
el
esfuerzo
de
tensin
sobrepasa
el valor
lmite
aplicable, la
fuerza
total
en
lazona
de tensin
deber calcularse,
y
deber
proporcionarse refuerzo
auxiliar
para
re-
sistir
esta fuerza.
Para
los fines
del diseo,
se supone
que
tal acero acta
a
un
esfuerzo
del
600/o
de
su esfuerzo
de
fluencia,
pero
no
mayor
que
30
kilolibras/
pulg.2.
Tabla
3.1
Esfuerzos
permisibles
en el
concreto de
miembros
presforzados
sujetos
a flexino
l.
Esfuerzos
inmediatamente
despus de
la transferencia del presfuer-
zo
(antes
de
que
ocuran
las
prdidas
del
presfuerzo),
no
deben
exceder
los siguientes valores:
a. Esfuerzo
de
compresin
en fibras extremas
0.60f
Lt
b.
Esfuerzo de tensin
de
fibras extremas,
con excepcin
de
lo
.gJn
ermitido
en
c
c. Esfuezo
de tensin de fibras extremas
en los extremos de
miembros
simplemente apoyados
Cuando los esfuerzos
de
tensin
calculados exceden
estos
valores, deber
proveerse
refuerzo
auxar
(presforzado
o
sin
presforzar)
en
la zona
de tensin
para
resistir la fuerza
total
de tensin en el
conceto
calculada
suponiendo una
seccin
no
agrietada.
Los
esfuerzos
bajo cargas
de servicio
(despus
de
considerar
todas
las
prdidas
de
presfuerzo)
no deben exceder
los siguientes valores:
a.
Esfuerzos
de
compresin en
fibras
extremas
-
0'45f ',
b. Esfuerzos
de
tensin
en
fibras extremas
en la zona
de
tensin
precomprimida
\
6.J7,
c.
Esfuerzos
de
tensin en
las
fibras
extremas
de
la zona
de
tensin
precomprimida
de los miembros
(excepto
en
sistemas
de losas
armadas
en dos
sentidos)
en las
que
el
anlisis
basado
en
la seccin
transformada
agrietada
y
en las
relaciones
bilineares
de momento-deflexin
demuetre que
las deflexiones
a
largc
plazo
as
como
las
instantneas
satisfacen
los requerimientos que
se
establecen
en otra
parte
del
Cdigo
nrn
Los esfuerzos permisibles
de las
secciones
I
y
2 se
podrn
sobrepasar
si se demuestra
mediante
pruebas
y
anlisis
que
el
desempeo
no
se
ve
afectado
a
Adaptado
con la
autorizacin
del
Instituto
Americano
del Concreto
del
Cdigo
de
Edifi-
6nE,
2.
J.
cacin
ACI
318-71
.
*
La
zona
de
tensin
precomprimida
se
ACI
como
aquella
porcin del
miembro
bajo las
cargas
muertas
y
vivas.
define en los
comentarios
del
Cdigo
en
la
cual
ocurre tensin
por flexin
-
5/20/2018 capitulo 3
16/56
94 Anlisis
Por
flexin
Los
lmites
de los
esfuerzos
debidos
ala carga
de
servicio
de
la
parte
2
dela
Tabla
3.1,
se
aplican
despus
de
quo han ocurrido
todas
las
prdidas,
y
cuando
acta
la totalidad
de la carga
de
servicio.
El esfuerzo
de tensin
permisible
para
el
concreto
de 6r/fse
ha
establecido
principalmente a
partir
de resultados
expe-
rimentales
en
probtas
y
en estructuras
reales.
El
uso de
este
esfuerzo
lmite
en
lugar
de
un
valor menor
o cero,
requiere
que
exista suficiente
cantidad
de
re'
fuerzo
en
la
zona de tensin
precomprimida
para
controlar
el
agrietamiento,
tambien
requiere
que
el
recubrimiento
de
concreto
pafa
el
refuerzo
sea
suficiente
para
evitar
la corrosin
y
que
no
existan
condiciones
de
extraordinaria
corrosi'
vidad.
EI
refuerzo
puede
consistir
de tendones
presforzados
o
sin
presforzar,
o
de
varilas de
refuezo, convenientemente
distribuidos
en la
zona
de
tensin.
se permite
el
uso de
un lmite
para
el
esfuerzo
de tensin
de
12
f
"
para
me-
jorar
las
caractersticas
de deflexin
bajo
cargas
de
servicio,
particularmente
cuando
una
parte
importante
de las
cargas
vivias
es
de naturaleza
momentnea.
Debe
enfatizarse
la
naturaleza
nominal
del
esfuerzo
permisible
a
la tensin
12
\/f,, calculado
sobre
la
base
de seccin
total
sin agrietar,
ya que
su
valor
est
bastante
por
encima
de cualquier
estimacin
razonable
del
mdulo
de
ruptura
del concreto.
Si
se usa
este
esfuerzo
lmite,
se
deber incrementar
un
50% arriba
de su
valor
usual el
recubrimiento
de
concreto
pafa
el-refuerzo,
de
acuerdo
con
\
el
Cdigo,
)
deUer revisarse
explcitamente
la reflexinpara
las
cargas
de
ser-
vicio.
La clusula
de
escape
de
la
parte
3
en la Tabla
3.1,
permite
lmites
ms
altos
para
el esfuerzo
a
usarse cuando
las
pruebas
o
el
anlisis
indiquen
un
desempeo
satisfactorio.
B. Acero
En
la
Tabla
3.2
se
dan
los esfuerzos permisibles
de
tensin para el acero
de pres-
fuerzo
en
funcin de
fpu
la
resistencia
ltima del
acero,
V
fo",la
resistencia
especificada de
fluencia.
Puede verse
que el esfuerzo
permitido por
el
Cdigo
depende del
estado de carga. Cuando
recin se aplica
la
fuerza del
gato,
se
permite
el menor de
los
siguientes
esfuerzos: 0.80
f
u
6
0.94
fo,.
Lajustifica-
cin
para
estos
elevados
valores
del esfuerzo
lmite
es
que
durante
el tensado,
los
esfuerzos
en
el
acero
pueden
conocerse
de una manera
muy
precisa,
ya
que
la
presion
hidrulica
y
la
deformacin
del
acero se
pueden
medir
fcilmente.
Ade-
ms,
si
un
tendn
defectuoso
se
rompiera accidentalmente,
se
le podra
reempla-
zar
fcilmente.
Despus de
que
hayan
ocurrido las
prdidas
por
acortamiento
elstico
y
por
deslizamiento
de anclajes,
se
aplica
el
valor
0.'70
feu,
pero
antes
de la ocurrencia
de
las
prdidas dependientes
del tiempo
debidas a
la
contraccin, al
escurrimiento
plstico
y
al relajamiento.
No
se
dar ninguna limitacin
para
los
esfuerzos en
el
acero
despus
de
ocurridas todas las
prdidas,
debido
a
que
tales
esfuerzos
siem-
pre
sern
menores
que
los
esfuerzos
en
el acero
en las condiciones
iniciales,
cuando
debe obtenerse
un
factor
de
seguridad adecuado.
-
5/20/2018 capitulo 3
17/56
Carga
de
agrietamento 95
Tabla3.2 Esfuerzos
permisibles
en
el
acero
del
presfuerzoa
El
esfuerzo de
tensin
en
los tendones de
presfuerzo
o
debe exceder
los
siguientes
valores:
I
Debidos
a
la
fuerza
de
tensin
del gato 0.8o
feu
el
que
sea
menor,
pero
no mayor
que
el
mximo valor
recome
nouuoo''o
fo'
por
el
fabricante
de los tendones de
presfuerzo
o
de los anclajes.
2. Tendones
pretensados,
inmediatamente
despus
de
la transferencia
del
presfuerzo
0.70
fpu
3.
Tendones
postensados,
inmediatamente despus
del anclaje del
tendn
4.70
feu
o
Adaptado con
la
autorizacin
del
Instituto
Americano del Concreto del Cdigo de
Edifi-
cacin
ACI
318-77
3.6
CARGA
DE
AGRIETAMIENTO
En
la figura
3.5 se
muestra
de
una
manera
cuantitativa
la
relacin
entre
la
carga
aplicada
y
ef esfuerzo
en
el
acero
para una
tpica
viga presforza con buena
adhe-
rencia.
El
desempeo
de
una
viga
postensada
inyectada con
mortero es
similar.
Cuando
recin
se
aplica
la
fuerza del
gato
y
el
cable
se
estira
entre
los
empotra-
mientos,
el
esfuerzo
en
el
acero
es
fr.
Despus
de la
transferencia
de la
fuerza
al
miembro
de
concreto,
ocurre una
reduccin
inmediata
del
esfuerzo hasta
su
nivel infcialf
,,
debido
al acortamiento
elstico del
concreto. Al
mismo
tiempo,
comienza
a actuar
el
peso
propio
a
medida
que
la
viga
se
empieza
a
combar
hacia
arriba. Aqu
se
supondr
que
todas
las
prdidas
dependientes del
tiempo ocurren
antes de
la
aplicacin
de
las
cargas
sobrepuestas,
en forma
tal
que
el esfuerzo
se
contina
reduciendo
hasta
su
nivel efectivo de
presfuerzo,
fo",
tal como se
muestra
en
la
figura
3.5.
A
medida
que
se agregan las
cargas
muerta
y
viva
sobrepuestas,
ocurre un
pequeo
incemento
en el
esfuerzo
del
acero. Suponiendo
que
se
mantine
una
adherencia
perfecta
entre el
acero
y
el
concreto,
este
incremento
debe
ser
rzo
veces
el
incremento
en
el esfuerzo
en
el
concreto al
nivel
del
acero.
El
cambio
no
es mayor
de ms
o
menos
el
3
6 4olo del
esfuerzo
inicial,
y
se
desprecia
por
lo
general
en
los clculos.
A
menos de
que la viga
se
haya agrietado
antes
de
la
aplicacin
de las
car-
gas
debido
a la
contraccin
u
otras
causas, no
existe una
modificacin
substan-
cial
en el
comportamiento
hasta
lacarga
de descompresin,
en donde
la
compre-
sin en la
parte
inferior del
miembro
se
reduce
a
cero. El
esfuerzo en
el
acero
contina incrementndose
poco
y
en forma
lineal
hasta
que
se alcanza la
carga
de
agrietamiento.
Bajo
esta
carga,
ocurre
un
sbito incremento
en el esfuerzo
del
acero, a
medida en
que
la
tensin
que
era
tomada
por
el
concreto se
transfiere
al
-
5/20/2018 capitulo 3
18/56
Anlisis
Por
flexin
Esfuerzo
en
el acero
Jpu
f
Jps
fot
T
fo
lf
Prdidas
JP
I
jL
fo"
Si
el concreto
tiene
resstenca
nula
a
la
tensro
n
Lf,
=
no\f""
Csntroide
del
concreto
I
M",
l+f;
Figuta
3.6
Cambio
en
los
esfuerzos
del
concreto
al
apcarse
el
momento
de
agdetamiento.
c
,9
E
o
.9
o
I
E
:9
tr
o
o
E
o
o
I
I
Figuta
3.5
@r"
@r"
Ti
i+
cz
II
acero.
En
una
viga con
agrietamiento
previo-o
que
haa
sido
colada
en
diversos
segmentos,
la
curva
"u-U?
"
p'nAientt
en
la
carga
de
descompresin'
tal como
*
*;".tTi;,
del
agrietamiento,
el
esfuerzo
en
el acero
s
incrementa
mucho
ms
rpidamente
que antes';;;
de
alcanzado
el
esfuerzo
de
fluenciaf
"
'
el
acero
-
5/20/2018 capitulo 3
19/56
Carga de
agrietamento
97
se
deforma desproporcionalmente,
pero
soporta
crecientes esfuerzos
debido
a la
forma
de
su
curva esfuerzo-deformacin,
y
la
curva esfuerzo
vs. carga
contina
hacia
arriba reduciendo
gradualmente
su
penente.
El esfuerzo
del acero en la
falla
/p"
puede
ser
igual
a
la
resistencia
a
la
tensinf,
,
pero por lo
general
se
encuentra
algo
por
debajo
de
ese
valor,
dependiendo
de la
geometra
de la
viga,
la
proporcin
de
acero,
y
de las
propiedades
de
los materiales.
La
carga
de
agrietamiento representa el
lmite
de
validez
de
aquellas
ecua-
ciones
para
los esfuerzos elsticos
en
el
concreto
que
se basan
en
una
seccin
transversal homognea (a pesar
de
que
esta
seccin
puede
proveer
las bases
para
el
clculo de los
esfuerzosnominales para
cargas
arriba
de este
valor,
tal
como
se
indica en
la
seccin
3.5).
A
pesar
de
que
en
el
pasado
se
ha
sobreestimado la
importancia del
agrietamiento, puede
ser
necesaria
la
prediccin
de
la
carga
de
agrietamiento
por
cualquiera
de
las siguientes razones:
1. La
deflexin
es
afectada
por
la
reduccin
en
la
rigidez
alaflexinque
acompaa al
agrietamiento.
2. Despus
de
que
se agrieta la
viga,
el
acero
del
presfuerzo
es
ms
vulnera-
ble
a
la
corrosin.
3. El
agrietamiento reduce la resistencia
por
fatiga
de
las
vigas
debido
a los
mayores
niveles de esfuerzo
experimentado
por el
acero de presfuerzo
cerca
de las
grietas.
4.
Las
grietas pueden
ser
estticamente
objetables en
algunos casos.
5. En
el
caso
de
recipientes
que
contienen
lquidos, despus
del
agrieta-
miento
las fugas
aumentan su
posibilidad
de ocurrencia.
El momento que
produece
el
agrietamiento
para
hallarse
fcilmente
para
una viga
tpica,
escribiendo
la
ecuacin
para
el esfuerzo en el
concreto
en
la
cara
inferior,
basndose en
la
seccin homogneb,
e
iguallndolo
al
mdulo
de
ruptura:
t,:
-x('
en
la
cual
M""
es el
momento
total de
agrietamiento (incluyendo
al
momento
de.
bido
al
peso
propio y
al de las
cargas muertas
y
vivas
sobrepuestas)
y,(
es
el m-
dulo
de ruptura
(ver
seccin
2.9).
Trasponiendo
trminos
de
la
ecuacin
se
obtiene
+12
.?)+ff:r;
V:t+ ,(t
(a)
(b)
la
cual
establece
simplemente
que
el
cambio en el esfuerzo
de
la
cara
inferior
al
aplicarse
el
momento
de
agrietamiento
debe de
ser
tal
que venza
a la
precompre-
sin
inicial
debida
al
presfuerzo
e
introduzca un esfuerzo
de
tensinjustamente
igual
al
mdulo
de
ruptura.
Esto
se
muestra
en
la figura 3.6.
Si
se
reacomodan
-
5/20/2018 capitulo 3
20/56
98
Anlisis
Por
flexin
trminos
y
tomando
en cuenta
que s2
-
I
"lc
2'
la
ecuacin
para el
momento
ce
agrietamiento
es
M",
(3.e)
puede
observarse
que
el
primer
trmino
dentro del
parntesis
en
la
ecuacin
(3.9)esladimensinlmitesuperiordelncleocentraly'consecuentemente'
iod
et
segundo
trmino
representa
el
momento
necesario
para mover
la resul-
tante
de cJmpresin
del
nivel
del
centroide
del
acero
hasta
el
lmite
superior
del
ncleo,
en
donde,
por
definicin,
producir
esfuerzos
nulos
en la
parte inferior
de
la
viga.
El
momento
adicional
correspondiente
al
primer
trmino,
cuando
se
supe{pone,
deviene
en
un agrietamiento
por
flexin'
-
urres
resulta
conveniente
establecer
el
factor
de
seguridad
contra
el agrie-
tamiento.
Este
puede definirse
de varias maneras,
pero
generalmente
se
establece
con
respecto
al
momento
de
flexin
por
cafga
viva,
de
tal
manera
que:
Mo+
Mo+
F,,Mt:
M,,
(c)
en
la
cual
el
factor
F""
puede
ser
menor'
igual
o mayor
que'la
unidad'
Entonces
^
M",-Mo-M
,*_
Mt
EJEMPLO
Clculo
del
momento
de agrietamiento
para una
viga
Y
carga
dadas
Calcular
el
momento
de
agrietamiento
y
hallar
el factor
de seguridad
conta
el
aerietamiento
para
la viga
I
considerada
en
el ejemplo
de la.seccin
3.4
y
m-ostra-
d;;;;;;
ili.Pt,rto
de
ruptura
del concreto
es
f',=
Siolblptg'?
(2'4
N/mm2).
El momento
de
agrietamiento
se
puede
hallar
por
substitucin
directa
en la
ecuacin
(3.9):
/$?
* ,,n\
350
x
1000
+
144.000
I
'---
\
12
/
=
1,e16,000lb/Pulg.
:
160
frkilolibra/pie
(217
kN-m)
Suponiendo
que
la
totadad
de
la carga
sobrepuesta
es viva,
entonces
el
factor
de
seguridadcontraelagrietamiento,expresadoenfuncindeunincrementoenla
carga
viva
es,
de
la
ecuacin
(3.10):
Mn-Mo-Md
:
f,,s,
*
r"(t *
)
(3.10)
/r2 \
M.:
fis2
*
,"\u*
t
)
F_
Ml
-
5/20/2018 capitulo 3
21/56
Resistencia a la
flexin
99
160-37-0
:
_:
1.12
3.7 RESISTENCIA
A
LA
FLEXON
La propiedad
ms
importante
de
una
estructura
es
su
resistencia,
debido
a
que la
resistencia
del
miembro
est relacionada directamente
con
su seguridad. La resis-
tencia de
un miembro
de
concreto
presforzado
no
est
automticamente
asegu-
rada
por
la limitacin de
los
esfuerzos
bajo
carga
de
servicio. Si
el miembro
tuviera
que
sobrecargarse, ocurriran importantes
cambios
en
su
comportamiento
por
el
agrietamiento
y
debido
a
que
uno o
los
dos materiales
alcanzaran
niveles
de esfuerzo dentro del rango
inelstico antes
de
la
falla. El factor de
seguridad
real
solamente
puede
establecerse
calculando
la
resistencia del miembro,
con
un
reconocirniento
total
de estos
efectos,
y
comparando
la
carga
que producira
la
falla
del miembro con
aquella
que
se
espera
acte.
Ya
se
mostr
que
las
vigas
de
concreto
presforzado
difieren
en
su
compor-
tamiento de las de
concreto
reforzado.
A
medida
que
se incrementala
cargahasta
ms
o menos el nivel de
la
carga
de
servicio,
las
fuerzas
que
componen
el
par
in-
terno resistente
permanecen
casi constantes, siendo
el incremento en
elmomento
aplicado resistido
a
travs de un
aumento
en el
brazo
del
par
interno.
Obviamente,
esto
no
puede
continuar
indefinidamente,
despus
del
agrieta-
miento
sobreviene
un
incremento sbito
en el
esfuerzo del
acero, acompaado
por un
aumento en
el
esfuerzo de
compresin resultante
en
el
concreto.
A
me-
dida
en que
se
contina incrementando
la carga,
una viga
presforzada
se
comporta
ms
similarmente
a
una viga
ordinaria
de
concreto reforzado. El
brazo interno
pernanece
ms
o menos
constante,
y
se
incrementan
con
lacargatantolosesfuer-
zos en el
concreto como los
del
acero. Igual
que
en
una viga
de
concreto
reforzado,
la
capacidad a
la flexin
se alcanza
cuando
el
acero se
esfuerza hasta
su
resisten-
cia
ltima
o
cuando se alcanza la
capacidad
de deformacin
del
concreto.
Sin
embargo,
an
para
cargas
prximas
a la ltima, existen
diferencias im-
portantes entre
las
vigas de
concreto reforzado
y
las presforzadas,
como
conse-
cuencia
de
lo siguiente:
(l)
En
concreto reforzado,
cuando
las
cargas
se anulan,
se anulan
tambin las
deformaciones
en el
acero. En
concreto
presforzado,
la
deformacin
de los tendones
bajo
cargas
nulas
no es
cero,
sino
que
corresponde
al
presfuerzo
efectivo
despus de
las
prdidas.
cualquier
deformacin
posterior
en
el
acero
causada
por
las cargas
aplicadas
se
suma a
esta
deformacin
preexis-
tente.
(2)
Is
caractersticas
de esfuerzo-deformacin
del
acero
del
presfuerzo
son bastante
diferentes
de las de
las
varillas
de refuerzo,
tal como
se muestra en
la
figura 2.2.
rns
aceros
del
presfuerzo
no
presentan
una
meseta
definida
de
fluencia.
La
fluencia
se
desarrolla
gradualmente
y,
en el rango
inelstico,
la
curva
esfuerzo-deformacin
contina
elevndose
suavemente hasta
que
se
alcanza la
resistencia
de
tensin.
La diferencia
entre
la resistencia
nominal
alafluencia
fpy
y
la
resistencia
ltima
a la tensin
f
,
es mucho
ms
pequea
para
los
aceros
de
presfuerzo
que
para
los
aceros ordinarios
de
refuerzo.
Tambin,
la
deformacin
totalE"u
en
la
ruptura
es
mucho
ms
pequea.
-
5/20/2018 capitulo 3
22/56
1)
Anlisis
Por
flexin
A. Curvas
de
esfuerzo
deformacin
Las curvas
representativas
cle
esfuerzo-deformacin
para
el
acero
de
presfuerzo
y
el
concreto
se
muestran,
para propsitos
de
referencia,
en la
figura
3.7.
Para
el
acero,
en
la
figura 3.7a,
una
notacin
conveniente
y
fcil
de
recordar
es
la
si-
guiente.
fo",
tr":
esfuerzo
y
deformacin
en
el
acero
debidos
a
lafircrza
pretensora
efectivaP",
despus
de
to-
das
las
prdidasr
f r
-
esfuerzo
v
deformacin
de
fluencia
para
el
rpv'
"pv
acero,
tal
como
se
les
define
en
la seccin
2.5
f*,
to,:
resistencia
y
deformacin
ltimas
del
acero
fo",tp":esfuerzo
y
deformacin
del
acero
cuando
la
viga
falla
fi= f,
fo
o^
I/z
o
J
ur
It
O ene*
.p
Deformacin
lal
1 e2 3
e4
Deformacin
cu
lbl
Figura 3.?
Curvas
representativas
de
esfuerzo-deformacin.
(a)
Acero
de
pres-
fuerzo.
()
Concreto.
En el
caso
del concreto,
la
resistencia
ltima a la compresin,
se
denomina
/",
"o*o
siempre,
y
la
deformacin
en
la
falla es
ecu,
tal como
se
mustra
en
la
{gufja
3.7b.
Las
mediciones
de
la deformacin
al
momento
de
la
falla en
vigas
de
prueba
indican
gue
los
valores
de e* se
encuentran
entre 0.003
y
0.004.
De
acuerdo
con
el Cdigo
del ACI, aqu
se
emplear
una
deformacin
lmite
para
el
concreto
de 0.003.
*
Este
esfuerzo
se designa
como
f"
en
el
Cdigo
ACI-
-
5/20/2018 capitulo 3
23/56
Resistencia
a la flexin
f
01
B. Distribucin
sucesva
de
esfuerzos
en
el
concreto
a
medda
que
la vga
es
sobre-
cargada
Al
igual
que
las
vigas
de
concreto
reforzado,
las
vigas
presforzadas
se
pueden
dividir
en 2
tipos,
basndose
en
su
tipo
de
fa[a
por
flexin.
para
vigas
subrefor-
zadas
la falla
se
inicia
con
la
fluencia
del
acero
de
tensin.
Las
grandes
deforma-
ciones
involucradas
permiten
el
ensanchamiento
de
las
giretas
de
flexin
y
su
propagacin
hacia
el
eje
neutro,
Los
esfuerzos
de
compresin
en
el
concreto
aumentados
actuando
sobre
una
reducida
rea
de
compresin
proyoc:m
una
falla
"secundaria"
del
concreto
a
la
compresin,
aun
cuando
la falla
se
inici
con
la
fluencia.
El
esfuerzo
en
el
acero
al
momento
de
la
falla estar
entre
los puntos
A
y
B de
la
figura
3.7a.
Las
grandes
deformaciones
del
acero
producen
un
agrie-
tamiento
visible y
una
deformacin
considerable
del
miembro
antes
de
que
se
alcance
la
catga de
falla,
tal
como
se
ilustra en
la
viga
de
pruebas
de
la figura
3.g.
Esta
es
una
consideracin
importante
de
seguridad.
Por
otro
lado,
las
vigas
sobrerreforzadas
fanan
cuando
el
concreto
alcanza
la
deformacion
lmite
de
compresin,
a una
carga
para
la
cual
el
acero est
an
por
debajo
de
su
esfuerzo
de
fluencia,
entre
los
puntos
0
y
A
d.elaftgura3.7a.
Figura
3.8
Falla
por
flexin
en
viga
pretensada
(cortesa
de
la
Asociacin
de
Cemento
Portland).
-
5/20/2018 capitulo 3
24/56
102
l\nlisis
Por
flexin
Este
segundo
tipo
de
falla
viene
acompaado
con
un
desplazamiento
hacia abajo
del eje neutro,
debido a
que
el
concreto
est etforzado
dentro
de su
rango inels-
tico,
en
tanto
que
la
respuesta
del
acero
es
an
elstica.
Este
tipo
de
falla
ocurre
sbitamente
con
poco
aviso.
Las
distribuciones
del esfuerzo
de
compresin
en
el
concreto
en
vigas
pres-
forzadas sub
y
sobrerreforzadas,
bajo
niveles sucesivos
de carga,
se
muestran
enla
figura 3.9.
Tanto
para
los miembros sobre
como
subreforzados,
es
posible
hallar
la distribucin
de esfuerzos
para
cualquier
nivel
de carga de las
curvas
esfuerzo-
deformacin
del
concreto,
tal como
sigue.
Con
base
en
que
es aplicable
la suposicin
usual
de
que
las secciones
trans-
versales
planas de una viga
permanecen
planas
a
medida
que
se
aplica
el
momento
de
flexin,
las deformaciones
en el concreto
para
cualquier
nivel de cargavaran
linealmente
desde cero en
el
eje
neutro
hasta un
mximo
en la
cara
superior.
En
consecuencia
la
variacin
del
esfuerzo
de compresin
con
la
distancia
del eje
neutro
es idnticamente
igual
a
la
variacin
del esfuerzo con
la
deformacin indi
cada
por
la curva
esfuerzo-deformacin
hasta
aquella
deformacin
que
corres-
ponde
al mximo
valor,
en la
carasuperior
de
la
viga.
Consecuentemente,
la
distribucin
de esfuerzos
para
el
estado
(1)
(figuras
3.9a
3.9b),
es
aproximadamente
lineal, en tanto
que para
el estado
(2)
presenta
una
pequea
curvatura
cerca
de
la
parte
superior
de la
viga.
En
el
estado
(3)
se
fo
fl
_ll
ft
I
fz
I
f,
I
t-t E__
E---F
Ll
#;-+|
{t,
F
#,,^
' :r)f
py
f
I
I
=
'
-v --
I
lfo"
ft
I
f
o
f;
J
P
2,,"
tbt
Figura
3.9
Distribuciones sucesivas
de esfuerzos
de
flexin
a medida
que
se
in-
crementa
la carga desde
la de agrietamiento
hasta
la
ltima.
()
Viga
presforzada
subreforzada.
(b)
Viga
presforzada
sobrerreforzada.
(1)
QI
lal
(4)
f,
I
7
I
$u
-
5/20/2018 capitulo 3
25/56
Resistencia
a.la
flexin
103
reproduce
la
curva
esfuerzo-deformacin
hasta
llegar
al esfuerzo
mximo
f,",
pero
no
se llega a la falla
hasta
el
estado
(4)
en
que
la mxima deformacin
es
igual
aE"u,
y
se reproduce
totalmente la
curva
esfuerzo-deformacin.
Salvo
casos
excepcionales, las vigas
de
concreto
presforzado son subreforza-
das.
Cuando el concreto
alcanza
su
deformacin
lmite, el
esfuerzo
en el
acero
fp,
est entre
fo,
y
fpu,
tal como se muestra
enla figura
3.7a.
Es
interesante
observar que
una
viga
presforzada
sobrerreforzada,en
la
cual
el
esfuerzo en
el acero est
debajo
de
la fluencia en
la
falla,
se
puede
transformar
en
una
viga
presforzada
subreforzada incrementando
la
intensidad
del
presfuerzo
en
el acero. As, resulta
evidente que
la
distincin
entre una viga
presforzada
sub-
reforzada
y
otra sobrerreforzada,
depende
no
solamente
del
porcentaje
de
acero
y
de las propiedades de
los
materiales, como
en las vigas de
concreto reforzado,
sino
tambin de
la
intensidad del
presfuerzo
en el
acero.
Pero
tambin
deber
notarse que,
si se va
a
incrementar
la intensidad del esfuerzo
en el
acero, debin-
dose
mantener
la misma fuerza
pretensora,
se
requerir
disminuir el
rea de
acero.
Realmente
es
este
cambio
el
que
causa
que
la
viga
sea
subreforzada,
de
acuerdo
con
la definicin
dada.
C. Bloque rectangular
de esfuerzos
equivalentes
Todo
1o
que
se
necesita
para
calcular
el
momento
de resistencia
ltima de una
viga
de
concreto
presforzado
es el valor
de la resultante
de la
compresin C
(la
cual
debe
ser
igual
que
la
fuerza
de
tensin T\
y
el
brazo del
par
interno'en
la
falla.
Si
el
concreto tuviera una
curva
esfuerzo-deformacin
que
se
pudiera
defi-
nir matemticamente,
sera
muy
sencillo
establecer
relaciones
explcitas
tanto
parala
magnitud
como
para
la ubicacin