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Capítulo 2: Oligopolio

Referencia: Game Theory with economic applications

H. Scott Bierman & Luis Fernández

Oligopolios y la teoría de juego

• La interdependencia en la toma de decisiones de las empresas en un oligopolio hace necesario utilizar herramientas de teoría de juego. A continuación emplearemos tres modelos de los cuales utilizan conceptos de teoría de juego. Estos son:

Modelo de Cournot

Modelo de Bertrand

Modelo de Baumol, Willig y Panzar

Modelo de Cournot

Agustín Cournot fue uno de los primeros economistas matemáticos en desarrollar un modelo diseñado para explicar como las empresas seleccionan sus niveles de producción. En el modelo de Cournot, el margen de ganancias de las empresas depende de lo que hacen las otras empresas. Aunque el modelo de Cournot precede la invención de la teoría de juego, fue un importante precessor de los trabajos de Neumann, Morgenstein, Nash, et al. A continuación presentamos una reformulación del modelo de Cournot, utilizando la teoría de juego.

Supuestos del modelo

El precio esta determinado por la producción total de todas las empresas participantes de la industria.

Ninguna empresa controla directamente el precio del producto.

Todas las empresas producen el mismo tipo de producto.

La mercancía aparece simultáneamente en el mercado.

El precio disminuye a medida que aumentamos la producción.

Asumimos que existen dos empresas (un duopolio).

Modelo de Cournot para un duopolio de camarones (producción en miles de libras

de camarones)

(1)Precio = 1.90 – 0.10 QT si 0 ≤ QT ≤19

Precio = 0 si QT >19

(2) QT = QSancho + QPanza

(3) Costo Total = Qi donde i = Sancho, Panza

Por lo tanto, el costo marginal es igual a 1.

(4) Gananciai = Ingreso Total – Costo Total

Gananciai = {precio x cantidad} – Qi

Gananciai = {1.90 – 0.10 QT} Qi – Qi

Modelo de Cournot para un duopolio de camarones

continuaciónA continuación utilizamos la función de ganancia de una de las empresas para indicar como el nivel de producción depende del nivel de producción de la otra empresa.

Gananciasancho

= {1.90 – 0.10 (Qsancho + Qpanza)} Qsancho – Qsancho

Despejar para Qpanza

Gananciasancho

= 1.90 Qsancho – 0.10Q2sancho- 0.10 Qpanza Qsancho – Qsancho

(Para simplificar Qsancho = Qs y Qpanza Qp, πs = Gananciasancho)


continuación

Gananciasancho

= 1.90 Qsancho – 0.10Q2sancho- 0.10 Qpanza Qsancho – Qsancho

πs = 1.90 Qs – Qs - 0.10Qs2 – 0.10 QsQp

πs = 0.90 Qs – 0.10Qs2 – 0.10 QsQp

πs - 0.90 Qs + 0.10Qs2 = - 0.10 QsQp

Dividir por - .10Qs ambos lados

- πs + 0.90 Qs - 0.10Qs2 = Qp

0.10 Qs


continuación- πs + 0.90 Qs - 0.10Qs2 = Qp

0.10 Qs

-πs + 0.90 Qs - 0.10Qs2 = Qp

0.10 Qs 0.10 Qs 0.10 Qs

πs + 0.90 Qs - 0.10Qs2 = Qp

0.10 Qs 0.10 Qs 0.10 Qs

Notar que 0.10 = 1/10 .

Por lo tanto 1/ 0.10 = 1/ 1/10 = 10


continuación

9 - 10πs/ Qs – Qs = Qp

Por lo tanto, el nivel de producción de Qp depende del nivel de producción de Qs.

Dado que existe una relación entre ambas empresas, tenemos que determinar cual es la mejor respuesta posible .

Regresemos a la función de ganancias

πs = 0.90 Qs – 0.10Qs2 – 0.10 QsQp


continuación

Derivamos la función de ganancias ( πs) con respecto a Qs y lo igualamos a cero, como condición de primer grado para un máximo.

δπs/ δQs = 0.90 – 0.20Qs – 0.10 Qp = 0

Despejamos para Qs

0.90 – 0.10Qp = 0.20 Qs

Dividir ambos lados por .2

4.5 - .5Qp = Qs

Tenemos la mejor respuesta para Qs


continuación

Por simetría, la mejor respuesta para la otra empresa es:

4.5 - .5Qs = Qp

Sustituimos esta expresión en la mejor respuesta de Qs y tenemos lo siguiente:

4.5 - .5Qp = Qs

4.5 - .5 (4.5 - .5Qs) = Qs


continuación

Despejamos para Qs

4.5 – 2.25 + .25Qs = Qs

2.25 + .25Qs = Qs

2.25 = Qs - .25Qs

2.25/ .25 = Qs

3 = Qs

El nivel de producción óptimo que representa la mejor respuesta es producir 3 (3 mil camarones)


continuación

Representación gráfica

Si representamos gráficamente la mejor respuesta de ambas empresas, podemos obtener la respuesta buscando el punto de intersección.

1er paso: representar la mejor respuesta de cada empresa

2ndo paso: buscar el punto de intersección


continuación

El modelo de Cournot y la competencia perfecta

Anteriormente asumimos la presencia de dos empresas. Veamos a continuación lo que sucede a medida que aumenta en número de empresas.

Regresemos a la función de ganancias:

Gananciai = {1.90 Qi – 0.10 QT }Qi – Qi

Esta expresión se simplifica a:

Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 QTQi

Si QT =9 tendríamos lo siguiente:

Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 (9) Qi = 0

Por lo tanto, si QT ≥ 9, no hay ganancias económicas.

El modelo de Cournot y la competencia perfecta continuación

Por lo tanto, QT < 9

Podemos representar QT de la siguiente manera:

QT = Qi + Qk Donde k son todas la demás empresas menos la empresa I

Por lo tanto la función de ganancia se puede reescribir de la siguiente forma:

Gananciai = 1.90 Qi – 0.10 QTQi – Qi

Gananciai = 1.90 Qi – 0.10 (Qi+ Qk )Qi – Qi

Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 (Qi+ Qk )Qi


Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 Qi 2 - 0.10 Qk Qi

Notar lo siguiente:

Si Qk ≥ 9 no hay ganancias económicas

Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 Qi 2 - 0.10 (9)Qi

Gananciai = – 0.10 Qi 2

Regresemos a la función de ganancias

Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 (Qi+ Qk )Qi

Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 Qi 2 - 0.10 Qk Qi

Derivar con respecto a Qi

δπ/ δQi = .9 – 0.20Qi – 0.10 Qk


Igualamos a cero como condición de primer orden para un máximo

δπ/ δQi = .9 – 0.20Qi – 0.10 Qk = 0

Despejamos para Qi

.9 – 0.10 Qk = 0.20Qi

Multilicamos por 10 ambos lados

9 – Qk = 2 Qi

Dividimos por 2 ambos lados

9 – Qk = Qi

2

Ahi tenemos la mejor respuesta para la empresa Qi


Recordar que Qk son las otras empresas además de la empresa Qi .

Por lo tanto Qk se puede reescribir de la siguiente forma:

Qk = (N-1)Qi

Dado que existe una simetría en la mejor respuesta de cada empresa (la mejor respuesta es la misma para cada empresa), es posible reescribir la mejor respuesta de la siguiente forma:

9 – Qk = Qi

2

9 – (N-1)Q* = Q*

2

Despejamos para Q*


9 – (N-1)Q* = 2Q*

9 – NQ* + Q* = 2Q*

9 = 2Q* + NQ* - Q*

9 = Q* + NQ*

9 = Q* (1 + N)

Dividimos ambos lados por (1+N)

9/ (1+N) = Q*

Es la producción de cada empresa

Mientras que la producción de toda la industria es igual a

9N/ (1+N) = NQ*


A medida que aumentamos el número de empresas (aumentamos el número de N), tenemos lo siguiente:

Usando el concepto del límite

lim 9{N/(1+N}

N→∞ 9{∞/(1 + ∞)} = 9

Dado que el precio es dado por la siguiente expresión:

P = 1.90 – 0.10 QT

Si QT = 9

P = 1.90 – 0.10 (9) = 1

El precio es igual al costo marginal. Es decir, el precio es igual a un precio competitivo.

Observaciones finales del modelo de Cournot

La producción de toda la industria es igual a

9N/ (1+N) = NQ*

Si N = 1 → monopolio

9(1)/ (1+(1)) = (1) Q*

4.5 = 9/ 2 = Q*

Si tenemos un duopolio (N =2)

9(2)/ (1 + (2)) = (2)Q*

18/ 3 = 2Q*

6 = 2Q*

3 = 6/2 = Q*

Cada empresa produce 3 unidades

Resumen del procedimiento a seguir para determinar la mejor respuesta

1er paso: Usar la función del precio para obtener el Ingreso Total → Precio = f(Qi , Qk)

Ingreso Total para la empresa i → f(Qi , Qk) Qi

2ndo paso: Obtener la función de ganancia para la empresa i

Ganancia = Ingreso Total – Costo Total →

π(Qi , Qk ) = f(Qi , Qk) Qi – CT (Qi )

3er paso: Derivar la función de ganancias con respecto al nivel de producción e igualar a cero → δπ/δQi = 0

4to paso: Despejar para Qi para obtener la mejor respuesta.

Resumen para obtener el nivel de producción óptimo

1er paso: Una vez obtenemos la mejor respuesta de la empresa i, obtenemos por simetría la mejor respuesta de la empresa k, solamente que cambiamos los símbolos.Por ejemplo: Si la mejor respuesta de la empresa i es la siguiente expresión

a – b Qk = Qi

Entonces, la mejor respuesta de la empresa k es

a – b Qi = Qk 2ndo paso: Sustituir la mejor respuesta de la

empresa k en la expresión de la empresa i

a – b {a - b Qi} = Qi

Resumen para obtener el nivel de producción óptimo

3er paso: Despejar para Qi

a – b {a - b Qi} = Qi

a – ab + b2 Qi = Qi

a – ab = Qi - b2 Qi

a – ab = Qi

1 - b2

Por simetría tenemos el nivel de producción que tienen todas las empresas (Qi = Qk)

Ejemplo numéricoTenemos dos aerolíneas Coqui Airlines (CA) y

Alcapurria Airlines (AA), con ruta de San Juan a Orlando. Cada día tienen que decidir en el número de pasajes ofrecer a descuento. El precio de descuento depende del número de asientos ofrecidos por la aerolínea Coqui (Sc) y la aerolínea Alcapurria (Sa), según la siguiente ecuación:

P = $200 - $0.10(Sc + Sa)

El costo marginal de viajar un pasajero en esta ruta es dado por la siguiente ecuación:

Costo marginal = $100

Ejemplo numérico

Determinar lo siguiente :

(A)La función de ganancias para cada aerolínea.

(B)La mejor respuesta para cada empresa

(C)El equilibrio Nash ( el número de pasajes a descuento que venderá cada empresa y el precio que prevalecerá)

(A) La función de ganancias para cada aerolínea.

Respuesta: La función de ganancias de la empresa Coqui Airlines es la siguiente:

πsc = Ingreso Total – Costo Total

πsc = (Precio x cantidad) – (CM x cantidad)

[comentario: Cuando el costo marginal (CM) es constante y no hay costo fijo, el Costo Total es igual a CM multiplicado por la cantidad]

πsc = {200 – 0.10(Sc + Sa)}Sc – 100 Sc

πsc = 200 Sc – 0.10 Sc 2 - 0.10 Sa Sc – 100 Sc

πsc = 100 Sc – 0.10 Sc 2 – 0.10 Sa Sc

(A) La función de ganancias para cada aerolínea.

Respuesta: La función de ganancias de la empresa Alcapurria Airlines es la siguiente:

πsa = Ingreso Total – Costo Total

πsa = (Precio x cantidad) – (CM x cantidad)

[comentario: Cuando el costo marginal (CM) es constante y no hay costo fijo, el Costo Total es igual a CM multiplicado por la cantidad]

πsa = {200 – 0.10(Sc + Sa)}Sa – 100 Sa

πsa = 200 Sa – 0.10 Sa 2 - 0.10 Sa Sc – 100 Sa

πsa = 100 Sa – 0.10 Sa 2 – 0.10 Sa Sc

(B) La mejor respuesta para cada empresa

πsc = 100 Sc – 0.10 Sc 2 – 0.10 Sa Sc

Busco la derivada con respecto a Sc, e igualo a cero como condición de 1er orden para un max.

δπ Sc /δSc = 100 – 0.20 Sc – 0.10 Sa = 0

Despejo para Sc

100 – 0.10 Sa = 0.20 Sc

500 – 0.5 Sa = Sc

Es la mejor respuesta de la Empresa Coqui Airlines

Por simetría, la mejor respuesta de la Empresa Alcapurria Airlines es la siguiente

500 – 0.5 Sc = Sa

(c) El equilibrio NashPara obtener el equilibrio Nash, sustituyo la mejor

respuesta de una empresa en la mejor respuesta de la otra empresa.

500 – 0.5 Sa = Sc

500 – 0.5 [500 – 0.5 Sc] = Sc

Despejar para Sc

500 – 250 + 0.25 Sc = Sc

250 = Sc - 0.25 Sc

250 = 0.75 Sc

250/0.75 = Sc

333.33 = Sc

Por simetría 333.33 = Sa

(c) Equilibrio Nash continuación

Dado que Sc = Sa = 333.33

Sc + Sc = 666.66 = 667

Sustituye en la función de precio

P = $200 - $0.10(Sc + Sa)

P = $200 - $0.10 (667)

P = $200 - $67 = $133

Recordar lo siguiente

Función de ganancias = Ingreso total – costo total

Ingreso Total = Precio x cantidad

(200 -0.10(Sc + Sa)) x Si i = c, a

El costo marginal es la derivada de la función de costo total con respecto a la producción o cantidad.

Es decir, Costo marginal = δCosto Total/ δSi

i = c, a

Si el costo marginal = δCosto Total/ δSi = z

Entonces, el Costo total = zSi i = c, a

(No hay costo fijo)


Para buscar la mejor respuesta derivar la función de ganancias con respecto al nivel de producción e igualar a cero → δπ/δSi = 0

Y luego despejar para Si para obtener la mejor respuesta.

Para buscar un simple derivada recuerda estas simples reglas:

y = f(x) = xa → δy/δx = axa-1

y = f(x) = dxa →δy/δx = adxa-1

Recordar lo siguienteEjemplos de algunas derivadas

y = f(x) = x2 → δy/δx = 2x

y = f(x) = 3x2 →δy/δx = (2)3x = 6x

y = f(x) = zx →δy/δx = z

Observar lo siguiente:

si y = f(x) = zx1 →δy/δx = 1zx1-1= 1zx0 = z


Para buscar el equilibrio Nash, recuerda que una vez obtengas la mejor respuesta para la empresa i ( i = c, a), tenemos simetría. Sustituye y despeja para obtener el valor de la cantidad para cada empresa.

kicinski

o

El modelo de BertrandJoseph Bertrand desarrollo un modelo de oligopolio

donde las empresas seleccionan su propio precio. El modelo tiene los siguientes supuestos básicos:

• En este modelo, cada empresa anuncia su precio sin saber el precio que cada empresa va a seleccionar.

• Los costos de producción de cada empresa son conocimiento común.

• Cada empresas ofrece el mismo producto. No hay diferenciación por marca.

• En el caso de un duopolio, si una empresa fija un precio por debajo de su competidor se lleva todo el mercado.

Equilibrio Nash en el modelo de Bertrand.

En el cado de un duopolio, si una empresa vende el mismo precio que su competencia, se llevará la mitad del mercado. Le conviene vender un poquito por debajo de su competencia para así llevarse el mercado completo. Pero cada empresa sabe que la mejor respuesta es vender un poco por debajo de su competencia. Por lo tanto, ambas empresas terminan ofreciendo el producto a un precio igual al costo marginal.

Equilibrio Nash en el modelo de Bertrand – ejemplo numérico

Costo marginal para cada empresa: $0.25Si la empresa Taino ofrece pastelillos a $1, la

empresa Caribe ofrece pastelillos a $0.99 y se lleva el 100% del mercado.

Si la empresa Taino ofrece pastelillos a $0.50, la empresa Caribe ofrece pastelillos a $0.49 y se lleva el 100% del mercado, …

Finalmente, la empresa Taino ofrece pastelillos a $0.25, la empresa Caribe ofrece pastelillos a $0.25 y se lleva cada una el 50% del mercado.

Como la empresa Taino sabe que la mejor respuesta de la empresa Caribe es ofrecer su producto a un precio un poco por debajo de su precio, sabe que la mejor respuesta ante este escenario es ofrecer su producto a un precio igual al costo marginal.

Modelo de Bertrand con restricción en capacidad

Un caso especial del modelo de Bertrand es cuando asumimos que existe una restricción en la capacidad de las empresas, de tal manera que ninguna empresa tiene la capacidad de suplir todo el mercado existente. Supongamos que hay dos empresas en un oligopolio con la siguiente restricción en la capacidad:

Ci = 0.25 Qi para 0 ≤ Qi ≤ 0.5

= ∞ para Qi > 0.5

Es decir, si la empresa produce entre 0 y 0.5 unidades del producto (donde 1 = mil)


Supongamos que las empresas enfrentan la siguiente función de precios:

P = 2.00 – (Qbacalao + Qsalmón) si Qbacalao + Qsalmón) ≤ 2

= 0 si Qbacalao + Qsalmón) >2

Finalmente, supongamos que cada empresa fija los siguientes precios:

Empresa Bacalao = $1.20

Empresa Salmón = $1.30


Dado que la Empresa Bacalao vende más barato, los consumidores inicialmente van a esta empresa. La demanda inicial para esta empresa es de 0.8

¿De donde sale ese 0.8?

P = 2.00 - Qbacalao

Sustituimos $1.20 en el precio (P)

1.20 = 2.00 - Qbacalao

Qbacalao = 2.00 – 1.20 = 0.8

Pero como existe una restricción en la capacidad de 0.5, terminamos con un exceso de demanda. Este sobrante lo termina supliendo la empresa Salmón.

Modelo de Bertrand con restricción en capacidad –

análisis gráfico

Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – perspectiva de la empresa Salmón

Si la empresa Salmón fija el precio en $1.30, solamente puede vender 0.2

¿De donde sale este resultado?

Psalmón = 2.00 – Qsalmón

Sustituimos Psalmón = 1.30

1.30 = 2.00 - Qsalmón

Qsalmón =2.00 – 1.30 = 0.7

Dado que la Empresa Bacalao ya vende 0.5, el sobrante lo suple la Empresa Salmón. (0.7 – 0.5=0.2)

Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – ¿Cuál es la

estrategia dominante?

La Empresa Bacalao tiene tres escenarios de precios para considerar:

$0.25 ≤ Pbacalao ≤$1.00

$1.00 < Pbacalao ≤$1.50

Pbacalao < $1.50

Si la Empresa fija su precio entre $0.25 y $1, habrá exceso de demanda, debido a la restricción de capacidad. Por ejemplo, si

Pbacalao = $1.00 Entonces,

Pbacalao = 2 – Qbacalao

1 = 2 – Qbacalao

Qbacalao = 2 – 1 = 1→ Tenemos un exceso de demanda de 0.5

Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – ¿Cuál es la estrategia dominante?

Si selecciona un precio igual a $1.50, no hay exceso de demanda.

Pbacalao = 2 – Qbacalao

1.5 = 2 – Qbacalao

Qbacalao = 2 – 1.5 = 0.5

La cantidad demandada es igual a la restricción de capacidad.

Si la empresa Bacalao fija un precio mayor de $1.5, la empresa Salmón estaría limitado por su restricción de capacidad, de no poder vender más de 0.5 unidades del producto.


Ante los tres escenarios descritos, la empresa Salmón tiene como mejor respuesta las siguientes acciones:

Si Bacalao fija el precio entre $0.25 y $1.00, la mejor respuesta de Salmón es fijar el precio en $1. Esto es así debido a que la restricción en la capacidad de Bacalao limita lo máximo que puede vender Bacalao a 0.5 unidades. La Empresa Salmón puede suplir el excedente de la demanda, fijando el precio en $1.


Si Bacalao fija el precio entre $1.00 y $1.50, la mejor respuesta de Salmón es fijar el precio un poco por debajo del precio de la Empresa Bacalao. De esta manera, Salmón vende toda su capacidad. Mientras que a Bacalao le toca el residual.

Si ambos venden el mismo precio, se dividen el mercado

Debido a que existe simetría entre las respuestas de ambas empresas, ambas empresas terminan fijando el precio en $1.

¿Por qué?


P = 2.00 – (Qbacalao + Qsalmón)

1 = 2.00 – (Qbacalao + Qsalmón)

Dado que ambas fijan el mismo precio, ambas venden la misma cantidad. Por lo tanto, Qbacalao = Qsalmón = Q

1 = 2.00 – 2Q

2Q = 2.00 – 1.00

2Q = 1

Q = ½ = 0.5 → ambas empresas utilizan su capacidad al máximo.

capítulo 2: oligopolio referencia: game theory with economic applications h. scott bierman &...

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