capÍtulo 2 ejemplos y teorÍa de las vibraciones...
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CAPÍTULO 2
EJEMPLOS Y TEORÍA DE LAS VIBRACIONES PARAMÉTRICAS
2.1 Introducción [7] La descripción del término paramétrico se puede encontrar en casos donde por alguna
razón la acción de excitación externa aparece como una modificación variante en el tiempo
de un parámetro en un sistema.
Un sistema excitado paramétricamente mostrará la variación de un parámetro con la
excitación, mientras una resonancia apropiada está actuando. Un sistema excitado
paramétricamente sin resonancia no responderá normalmente, es posible que haya una
excepción dependiendo de las condiciones iniciales.
Como primer ejemplo examinaremos una estructura simple en cantilíver sometida a
una excitación paramétrica base. En términos matemáticos las ecuaciones diferenciales no
homogéneas de movimiento para un sistema forzado son reemplazadas por ecuaciones
homogéneas; en donde existen coeficientes periódicos variables en el caso paramétrico, y
esto se representa por medio de la ecuación fundamental de Mathieu-Hill
0)cos( =Ω++ qtbaqoo
(2.1)
Una versión para la cual la función de excitación f(t) es periódica pero no
necesariamente armónica es la ecuación Hill.
0))(( =++ qtfaqoo
(2.2)
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Los sistemas paramétricos responden cuando la frecuencia de excitación está
relacionada con la frecuencia natural por una condición de resonancia y esto no implica que
exista sincronía entre estas dos frecuencias. Por lo tanto grandes respuestas pueden ser
generadas en casos donde la frecuencia de excitación es remota (pero relacionada a un
entero - ó fraccional- múltiplo de una cierta clase) de la frecuencia natural del sistema o
frecuencias.
Cuando la frecuencia de excitación iguala dos veces la frecuencia natural, el
movimiento que resulta de una excitación paramétrica es inestable y crece
exponencialmente con el tiempo. La magnitud eventual de la respuesta no es directamente
gobernada por el acto de amortiguamiento dentro del sistema, pero por los efectos de
desplazamientos extremos como rigidez no lineal.
Donde el amortiguamiento frecuentemente aparece como significativo en problemas
paramétricos es en la etapa temprana de respuesta; un menor nivel de amortiguamiento nos
dirigirá a una respuesta vigorosa y temprana a un bajo nivel de excitación. Inversamente un
mayor de amortiguamiento inhibirá la velocidad de respuesta y aumentará el umbral de
excitación necesario para generar una respuesta, sin embargo, generalmente, no afectará la
respuesta final de amplitud. El comportamiento de la respuesta paramétrica con tiempo
para posiblemente una viga en cantiliver experimentando un movimiento de soporte es
presentado en la figura 2.1
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Figura 2.1 Viga en cantiliver experimentando vibración paramétrica
Figura 2.2 Respuesta paramétrica que crece con el tiempo
para una viga en cantiliver
2.2 Consideraciones de Estabilidad
La estabilidad de las ecuaciones de Mathieu fueron exploradas alrededor de los últimos
años del siglo antepasado (1883). Si tomamos la ecuación general de Mathieu-Hill (2.1)
entonces es claro de la teoría de sistemas lineales que pueden haber dos soluciones
linealmente independientes en esta ecuación f1(t) y f2(t) las cuales pueden presentar
superposición.
)()()( 21 tBftAftf += (2.3)
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A y B son constantes; f(t) es la solución completa
De la ecuación (2.1) obtenemos el periodo de excitación
Ω= /2πT (2.4)
Y las soluciones f1(t) y f2(t) pueden ser cambiados con el tiempo para convertirse en
f1(t+T), f2(t+T). Después podemos cambiar las soluciones con el tiempo para que sean
combinaciones lineales de las soluciones originales, entonces tenemos:
)()()( 2121111 tfatfaTtf +=+ (2.5)
)()()( 2221212 tfatfaTtf +=+ (2.6)
Regresando a las soluciones originales f1(t) y f2(t) podemos definir estas como
combinaciones lineales de algún orden, sin especificación, soluciones f1*(t) y f2*(t). Por lo
tanto;
)(*)(*)( 2121111 tfctfcTtf +=+ (2.7)
)(*)(*)( 2221212 tfctfcTtf +=+
Después de una manipulación algebraica llegamos a;
[ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++ −
)(*)(*
)(*)(*
2
11
2
1
tftf
cacTtfTtf
(2.8)
Haciendo una selección juiciosa de la forma de la matriz [c] es posible arreglar para
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[c]-1 [a] [c] de manera que se convierta en una matriz diagonal a la cual podemos designar
como [R] , de manera que:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1
100 ηη
R (2.9)
Entonces 1η y 2η son los valores eigen de [a] la sustitución de la ecuación (2.9) en
la (2.8) nos lleva a:
)(* )(* 111 Ttftf +=η (2.10)
)(* )(* 222 Ttftf +=η
Y la ecuación característica :
0)(
)(
22
12
21
11 =−
−η
ηa
aaa
(2.11)
Las soluciones independientes originales )(2,1 tf son desconocidas pero podemos
asumir que pueden ser hechas para satisfacer las condiciones iniciales independientes
linealmente como:
1)0( )0( 21 == ff & (2.12)
0)0( )0( 21 == ff&
Las ecuaciones (2.12) deben ser substituidas en la ecuación (2.6) y (2.7)
(diferenciando) para dar:
)( 111 Tfa = )( 221 Tfa = ; )( 112 Tfa &= )( 222 Tfa &= (2.13)
Por lo tanto la ecuación característica (2.11) se convierte en:
η2 − 2αη + β = 0 (2.14)
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Donde;
α =
12
f1(T) + fo
2(T)⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ (2.15)
)()()()( 2121 TfTfTfTfoo
−=β
β puede ser igual a uno si substituimos en la ecuación (2.1) y usando las
condiciones iniciales de (2.12) en el análisis que sigue.
q =f1(t)f2(t)
⎧ ⎨ ⎩
Por lo tanto la ecuación (2.14) donde β =1, esa ecuación característica para dos
soluciones linealmente independientes de la forma Bolton´s del tipo de ecuación Mathieu-
Hill. Las raíces pueden ser evaluadas de manera que
η1 = α + α 2 −1 ; η2 = α − α 2 −1 (2.16)
Un análisis con detalle de la ecuación (2.16) nos muestra que;
η1 ⋅ η2 =1
Para donde uno de los siguientes casos debe aplicarse:
1. Las raíces son reales, del mismo signo pero con diferentes magnitudes el
cual debe tener un valor absoluto >1 y el otro <1
2. Las raíces son reales, y son η1 = η2 = ±1
3. Las raíces son un par de conjugados complejos con módulo unitario
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Estos casos de estabilidad pueden ser explorados examinando los lugares
geométricos de las raíces en el plano complejo. Esto es mostrado en la figura (2.2). La
interpretación física de los casos del 1 al 3 son por lo tanto:
1. El sistema es inestable y responderá, una respuesta creciendo exponencialmente con
el tiempo, la otra decreciendo hasta cero.
2. El sistema está en el umbral de estabilidad e inestabilidad, su comportamiento con
el tiempo es dependiente de las condiciones externas.
3. El sistema es estable con límites de respuesta aparente.
Figura 2.3 Raíces de la ecuación característica definiendo soluciones de estabilidad
η1,η2 son reales; η1 > 1,η2 <1 o viceversa (a lo largo del eje Re)
η1,η2 son reales; η1 = η2 = ±1 (Puntos P y Q)
η1,η2 son complejos; módulo unitario (en alguna parte del circulo unitario)
Es usual expresar la estabilidad de este sistema en términos de parámetros físicos
útiles como una magnitud de excitación y una frecuencia de excitación. Por lo tanto
podemos ubicar el sistema en un plano de dos parámetros el cual tiene importantes
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significados físicos en el problema. El plano es mostrado como una gráfica de estabilidad, y
el ejemplo que representa resonancia alrededor de su zona paramétrica principal para el
cual;
Ω = 2ω (2.18)
es dado en la figura 2.3. Esto es por una versión particular de la ecuación Mathieu Hill
como lo muestra la figura 2.4.
Figura 2.4 Gráfica de estabilidad mostrando las zonas para las principales resonancias
paramétricas.
Una característica de la estabilidad de la gráfica es la curva de transición, una curva
que delinea la gráfica en dos áreas de estabilidad y no estabilidad. Por lo tanto un par de
valores )2/,( ϖµ Ω los cuales definen una coordenada dentro de la región sombreada,
definen que el sistema por el cual han sido calculados sea estable. Por otro lado una
coordenada )2/,( ϖµ Ω fuera de la región sombreada define una respuesta estable. Esta
respuesta estable depende de las condiciones iniciales y de la presencia de excitaciones
externas en la forma de un término forzado del lado derecho. En la ausencia de dicha
excitación la respuesta estable decaerá a cero de las condiciones iniciales. Los puntos de la
curva de transición definen la estabilidad en el borde de la línea. Más adelante la figura
21
2.4 nos revela que la curva de transición se ensancha hacia afuera cuando incrementamos
µ . Por lo tanto las respuestas no estable y desiguales a se pueden predecir para los valores
de Ω los cuales no satisfacen exactamente la ecuación (2.18). Por lo tanto si aumenta la
excitación de la misma manera aumenta la desintonización permisible para la cual la
inestabilidad será esperada. Es muy común expresar la ecuación (2.18) en forma revisada
para incorporar esta modificación.
εσϖ +=Ω 2 (2.19)
Donde εσ es un grado de desintonización alrededor de la resonancia paramétrica
principal y es usualmente considerada pequeña.
Las técnicas de derivar las curvas paramétricas de transición de problemas
paramétricos depende de identificar un análisis apropiado con el cual, idealmente, una
expresión por el parámetro desincronizador como función de constantes (razones de
amortiguamiento, frecuencias naturales) deben ser encontrados. Así como las soluciones
específicas desiguales a cero a problemas pararamétricos lineales son ilimitados con el
tiempo en la zona inestable, es necesario usar métodos especializados. El primer Método es
atribuido a Hill y es conocido como el método de los determinantes infinitos. La aplicación
de esta técnica a problemas de vibración paramétrica necesita cierto grado de aproximación
que tiene que ver con el conjunto infinito ecuaciones homogéneas lineales, y algebraicas
que resulta de tomar unas soluciones de las series de Fourier de la ecuación diferencial
gobernante. Claramente después el coeficiente de la matriz, el cual podemos derivarlo de
este conjunto, será de dimensiones infinitas, así como será su determinante (el cual debe
compararse con cero para soluciones diferentes de cero). Afortunadamente el método dará
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resultados razonables si los elementos mayormente en el centro de las filas y las columnas
son considerados y los demás despreciados. La dificultad de esto es que esto nos guiará a
errores medíbles calculados para segundo o mayor orden, y por lo tanto claramente tenderá
a invalidar los esfuerzos a la investigación de cualquier otra cosa que los efectos
resonantes mas fuertes de primer orden.
El siguiente método de estabilidad es gracias a Liapunov, y en el contexto de
problemas paramétricos se puede usar para dar una indicación cualitativa de estabilidad en
un sistema. El método está basado en la premisa que la energía del sistema no incrementa
cerca de un estado de equilibrio y por lo tanto las ideas de Liapunov pueden ser vistas como
una extensión del concepto general de energía. Uno aplica el método examinando las
propiedades de las funciones de Liapunov de un conocimiento de todo el sistema en lugar
de las soluciones. Las reglas para encontrar las funciones convenientes de Liapunov son
complejas, pero pueden ser aplicadas directamente a ciertos problemas simples.
Finalmente llegamos a los métodos analíticos más útiles y directos que es el
método de aproximación asintótico Struble, métodos de promedios (incluyendo el método
de balance armónico), el de Linstedt- Poincaré y también las escalas múltiples de técnicas
de perturbación. Estos métodos y otros son potencialmente capaces de tener éxito tratando
problemas paramétricos lineales y no lineales.
2.3 Excitación en Rigidez Paramétrica [1]
Una forma de poder entender las vibraciones paramétricas es estudiando la excitación de
rigidez paramétrica. Donde cualquier masa, amortiguamiento o rigidez de un oscilador
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mecánico debe depender del tiempo, pero el problema de la excitación paramétrica
generalmente ocurre cuando la rigidez tiene una componente que varía con el tiempo.
Usualmente esta es una variación armónica y la ecuación de movimiento para un
solo grado de libertad puede ser escrito como:
0)()cos1()(2)( 2 =Ω+++ tyttyty αωζωooo
(2.20)
O de una forma alternativa podemos escribirla como:
)()cos()()(2)( 22 tyttytyty Ω−=++ αωωζωooo
(2.21)
Debido a que el término de excitación tΩcos es modulado por la respuesta y(t), la
solución para la ecuación (2.20) difiere marcadamente de un sistema con constante
paramétrica.
Cuando la amortiguación es despreciada la ecuación (2.20) se convierte en;
0)()cos1()( 2 =Ω++ tytty αωoo
(2.22)
La solución de y(t) resulta ser que depende de la magnitud de un coeficiente
adimensional α el cual asumimos que sea un número real y en la magnitud de la razón de
frecuencia ω/Ω , donde Ω es la frecuencia de la excitación paramétrica y ω es la
frecuencia natural del sistema cuando 0=α .
Es conveniente usar ( )2/ωΩ en lugar de ω/Ω para evitar usar números imaginarios
cuando tenemos rigidez negativa y ahora podemos entonces definir dos nuevos parámetros:
( )2/ Ω= ωδ (2.23)
24
( ) αωε 2/ Ω= (2.24)
2.3.1 Solución de la Ecuación Mathieu
Debido a que la excitación paramétrica en (2.22) tiene un periodo;
Ω= /2πT (2.25)
Hay soluciones y(t) de la ecuación (2.22) las cuales tienen propiedades que
)()( tyTty σ=+ (2.26)
Donde σ es constante. Esto es porque como la ecuación (2.26) se cumple en todo
tiempo t, seguimos que
)()( tdtdyTt
dtdy σ=+ (2.27)
Y
)()( 2
2
2
2
tdt
ydTtdt
yd σ=+ (2.28)
Por lo tanto si y(t) satisface la ecuación (2.20) también tiene que satisfacer (2.26) y
(2.28) y (t+T) tiene que satisfacer (2.20).
Debido a que la ecuación de Mathieu (2.20) es una ecuación de segundo orden la
cual es lineal en y , ooy y homogéneamente; siempre tiene dos soluciones independientes y
su solución general es una combinación lineal de estas soluciones. Por lo tanto si para un
conjunto de valores paramétricos podemos encontrar dos soluciones que satisfacen la
ecuación (2.26) con diferentes valores de σ , tenemos dos soluciones independientes y
luego nosotros sabemos la solución general para las constantes arbitrarias.
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Si existe una solución para la cual 1>σ , de la ecuación (2.26) la respuesta y(t)
crecerá en la manera en que el tiempo incrementa y la solución será inestable. Si 1<σ la
respuesta decrecerá con el tiempo y la solución será estable. Si 1=σ , la respuesta
continuará indefinidamente sin cambio en la amplitud y la solución también será estable en
el sentido que la respuesta será limitada.
Los dos valores para el parámetro σ , ( 1σ y 2σ ), depende de los valores de los
parámetros ω/Ω y α en la ecuación de Mathieu (2.20) y por lo tanto en los valores de δ y
ε definidos por ω/Ω y α por (2.23) y (2.24). Se puede mostrar en la teoría general de la
ecuación de Mathieu que si un diagrama δ contra ε es graficado tendremos regiones
continuas en este diagrama en el cual las dos sigmas son reales con 11 >σ y 12 <σ . En
estas regiones las soluciones con 1σ no tiene límites (por lo tanto inestables). También hay
regiones continuas para la cual la combinación de δ y ε es tal que la las dos sigmas son
complejas con 121 == σσ . Para estas regiones las soluciones son limitadas y por lo tanto
estables y son regiones estables en el diagrama. Los límites entre las regiones estables y no
estables ocurren en combinaciones de δ y ε para el cual las sigmas son la transición entre
valores reales y complejos con 121 ±== σσ . Estas fronteras pueden ser encontradas de la
manera siguiente:
Si 1+=σ la ecuación (2.26) nos da:
)()( tyTty =+ (2.29)
Y la respuesta y(t) debe tener un periodo T. En este caso podemos escribir y(t)
como la expansión de Fourier.
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∑∞
=
Ω+Ω+=1
0 )sincos()(j
jj tjbtjaaty (2.30)
tjtjtjt Ω−+Ω+=ΩΩ )1cos()1cos(coscos2 (2.31)
tjtjtjt Ω−−Ω+=ΩΩ )1sin()1sin(sincos2 (2.32)
Substituyendo la solución periódica (2.30) en la ecuación (2.20) encontramos que:
0)sincos(2
sincos21cos
2
)sincos()sincos(
211
1110
1
10
1
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω+Ω+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω++Ω+Ω−
∑∑
∑∑∞
=−−
∞
=++
∞
=
∞
=
jjj
jjj
jjj
jjj
tjbtjatjbtataa
tjbtjaatjbtjaj
εε
δ
(2.33)
Para que esta ecuación se cumpla para todos los valores de t, los componentes de los
coeficientes del seno y coseno de cada armónica deben ser separadamente cero. Las
constantes son cero si
02 10 =+ aa εδ (2.34)
El término en tΩcos es cero si
02
)1( 210 =+−+ aaa εδε (2.35)
Y los términos en 2,cos >Ω jtj son cero si;
02
)(2 1
21 =+−+ +− jjj aaja εδε (2.36)
El término en tΩsin es cero si
02
)1( 21 =+− bb εδ (2.37)
Y los términos en 2,sin >Ω jtj son cero si
27
02
)(2 1
21 =+−+ +− jjj bbjb εδε (2.38)
Si consideramos las primeras N armónicas de la respuesta periódica las ecuaciones (2.34) y
(2.35) pueden escribirse como:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅⋅⋅⋅
−−
−
Na
aaaa
N
3
2
1
0
22/2/
2/92/2/42/
2/12/
δεε
εδεεδε
εδεεδ
=0 (2.39)
Y las ecuaciones (2.37) y (2.38)
0
2/2/
2/92/2/4
2/2/1
3
2
1
2
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅⋅⋅⋅⋅−
−
−
Nb
bbb
Nδεε
εδεεδ
εεδ
(2.40)
Considera ahora resolver la ecuación (2.39) para encontrar los coeficientes
0, =ja j a N. En general (2.39) tendrá solo la solución trivial donde todas las a’s son cero.
La excepción es cuando el determinante del lado izquierdo de la matriz en (2.39) es un
determinante cero. Entonces las a’s tienen una solución no trivial. Supongamos que el valor
de ε es especificado y escogemos el valor de δ de manera que, por esta combinación de ε
y δ el determinante resulta ser cero. Desde que δ descansa sólo en la diagonal del
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coeficiente de la matriz, sigue que δ debe ser uno de los valores eigen de la matriz A (2.41)
donde, de la ecuación (2.39);
A =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅−⋅⋅⋅
⋅−−−
−−
22/2/
2/42/2/1
12/0
Nεε
εεε
εε
(2.41)
De manera similar por una ε especificada los valores de δ (para los cuales la
ecuación (2.40) tiene una solución no trivial) son los valores eigen de B (2.42) donde:
B =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅−⋅⋅⋅
⋅−−−
−−
22/2/
2/92/2/4
2/2/1
Nεε
εεε
εε
(2.42)
Cuando δ es un valor eigen de (2.41), entonces tenemos una solución periódica de
la ecuación de Mathieu (2.22) con periodo Ω= /2πT con solo términos de cosenos pares,
todos los términos seno siendo cero. Cuando δ es un valor eigen de (2.42) tenemos una
solución periódica diferente de (2.22), periodo T, con solo términos de seno impares, todos
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los coseno comienzan con cero. Los valores de los coeficientes 0, =ja j a N son los
elementos de los vectores eigen de A y aquellos de 1, =jb j a N son los elementos de los
vectores eigen de B. Cuando 0=ε , A y B son dos matrices diagonales y, excepto para el
valor eigen cero de A, tienen los mismos valores eigen etc,9,4,1=δ . Después la solución
con términos coseno debe coexistir junto a una solución con términos seno, la magnitud
relativa de cada uno dependiendo de las condiciones iniciales.
El resultado de graficar contra ε los valores de los primeros 4 valores eigen δ de A
y B son mostrados en la siguiente gráfica. En esta existen cuatro curvas marcadas con c
para coseno y cuatro marcadas como s para el seno. Estos son los lugares geométricos de
los valores eigen de A y B respectivamente. Para la combinación de valores parámetros en
donde δ y ε no son verdaderas en una de estas curvas., hay una solución periódica de la
ecuación de Mathieu (2.22) con periodo Ω= /2πT .
Otra solución periódica es posible cuando 1−=σ en la ecuación (2.26) entonces
tenemos:
)()( tyTty −=+ (2.43)
Y la respuesta y(t) debe tener un periodo 2T. En este caso podemos escribir y(t)
como una expansión de Fourier
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω
+Ω
+=1
0 2sin
2cos)(
jjj tjdtjccty (2.44)
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Figura 2.5 Regiones estables de la ecuación Mathieu
d2ydt 2 + ϖ 2(1+ α cosΩt)y = 0 (2.45)
Sustituyendo esta nueva solución en (2.22) y usando identidades trigonométricas
tjtjtjt Ω−+Ω+=Ω
Ω )2/1cos()2/1cos(2
coscos2 (2.46)
tjtjtjt Ω−−Ω+=Ω
Ω )2/1sin()2/1sin(2
sincos2 (2.47)
Y comparado los coeficientes de los correspondientes términos seno y coseno
como antes, podemos encontrar las relaciones que deben existir entre los coeficientes
0, =jc j a ∞ y 0, =jd j a ∞ . Como antes, esto todo será cero amenos que o δ es un
valor eigen de C o un valor eigen de D, donde;
31
C =
0 0 −ε /20 1/4 −ε /2 0 −ε /2−ε 0 1 0 −ε /2
−ε /2 0 9 /4 0 −ε /2−ε /2 0 4 0 −ε /2
⋅ ⋅ 4 ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −ε /2⋅ ⋅ ⋅ 0
−ε /2 0 M 2 /4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
(2.48)
Y
D =
1/4 + ε /2 0 −ε /20 1 0 −ε /2
−ε /2 0 9 /4 0 −ε /2−ε /2 0 4 0 −ε /2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −ε /2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
−ε /2 0 M 2 /4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
(2.49)
Si δ es un vector eigen de C, una solución de y(t) existe solo con los términos
coseno en la expansión (2.44). Si δ es un valor eigen de D y y(t) tienen sólo términos
senos en (2.44). Cuando para,ε = 0, δ es un valor eigen para ambas C y D, las soluciones
deben de tener senos y cosenos o ambos.
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Se puede observar que los elementos de la sub diagonal y diagonal superior de C y
D son todos cero. Como resultado los valores alternados de C son los valores eigen de A y
los que sobran son los valores eigen de E, donde si N=M/2
E =
1/4 −ε /2 −ε /2−ε /2 9 /4 −ε /2
−ε /2 25 /4 −ε /2⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ −ε /2−ε /2 (2N −1)2 /4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
(2.50)
También los valores eigen alternados de D son los valores eigen de B y los
sobrantes son los valores eigen de F donde:
F =
1/4 + ε /2 −ε /2−ε /2 9 /4 −ε /2
−ε /2 25 /4 −ε /2⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ −ε /2−ε /2 (2N −1)2 /4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
(2.51)
La prueba de esto depende del factor que los valores eigen de una matriz no son
alternados como resultado de una transformación similar. Dicha transformación ocurre
cuando cualquiera de las dos filas son intercambiadas de manera que las mismas dos
columnas también son intercambiadas. Después de haber intercambiado las columnas y las
filas, las filas con numeros nones de C y D pueden ser movidas a la mitad inferior. El
resultado encontrado resulta ser similar a l a matriz
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A 00 E
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ (2.52)
Y D similar a la matriz:
F 00 E
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ (2.53)
Los primeros tres valores eigen δ de cada una de las matrices E y F son graficadas
en la figura 2.4. Aquellas de E están en términos de funciones cosenos por una expansión y
son nombrados c 12
porque la armónica fundamental es Ω /2. Aquellos de F están en
términos de funciones seno por una expansión, y son nombrados s 12
.
En la siguiente figura 2.5 se muestra una ampliación de la figura 2.4 En esta gráfica
son mostrados los valores positivos y negativos de ε. Se puede ver que la grafica tiene una
simetría con respecto al eje ε = 0. La razón de esto es que cambiando el signo de los
elementos de la sub-diagonal y la superdiagonal en A, B, E y F no altera el determinante de
estas matrices tridiagonales. Sin embargo el primer elemento de es cambiado de 1/4 −ε /2
a 1/4 + ε /2, este es el primer elemento de F para una ε positiva, de manera que los valores
eigen de en -ε sean los mismos a los correspondientes valores eigen de F a +ε y viceversa.
Por lo tanto la curva c 12
arriba del eje en la figura 14, 2 es reemplazada por la curva s 12
por debajo del eje ε = 0, y la curva s 12
arriba del eje es reemplazada por la curva c 12
por
debajo del eje.
34
Figura 2.6 Graficada en a una mayor escala de la figura 2.5.
Los resultados de cálculos aproximados de los límites de estabilidad,
para ε pequeños, son mostrados por líneas partidas.
2.4 Ejemplos de Vibraciones Paramétricas
2.4.1 Rigidez Flexiva que Difiere en dos Ejes [3]
Un sistema que posee coeficientes variables periódicamente es una flecha la cual su rigidez
flexiva difiere con respecto a los ejes 1-1 y 2-2 como se muestra en la figura 2.6. La flecha
desarrollará vibración con una grande amplitud cuando se gira a submúltiplos de
acostumbrada velocidad crítica. Las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento
del centro de gravedad del disco cargado por la flecha son:
35
_
22
12
22
12
2cos22 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−−
++ tx ϖϖϖϖ&& (2.54)
tyx Ω−
−= 2sin2
22
12 ϖϖ
_
22
12
22
12
2cos22 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−−
++ ty ϖϖϖϖ&&
gtxy −Ω−
−= 2sin2
22
12 ϖϖ
Figura 2.7 Sistema de flecha poseyendo una rigidez desigual
Donde ω1 y ω2 son las frecuencias naturales circulares en el primer modo de
flexión respecto a los ejes 1-1 y 2-2 y Ω es la velocidad de rotación. Si la flecha está
operando muy cerca de la velocidad crítica Ω =ϖ1
2 + ϖ22
2o a un medio, un cuarto, un
sexto, etc. de la velocidad crítica, es muy probable que ocurra una vibración violenta. Si el
movimiento es restringido a la coordenada X solamente, se puede escribir la ecuación de
Mathieu. Una ecuación más general que la ecuación de Mathieu es la ecuación Hill:
36
[ ] 0)(22
2
=−+ ytqadt
yd ψ (2.55)
Donde ψ es una función par de z.
La solución completa a la ecuación de Mathieu es:
∑∑∞
−∞=
−−∞
−∞=
+=r
rzir
z
r
rzir
z ecBeecAety 22
22)( µµ (2.56)
La estabilidad de la solución de Mathieu depende del valor de µ que resulta ser
función de los parámetros a y q. Si µ es un número real positivo, el primer término de la
ecuación (2.21) tiende a infinito como ∞⎯→⎯t ; por lo tanto si µ es un número negativo,
el segundo término es limitado y si µ = α + iβ y α ≠ 0, la solución es inestable. Y cuando
µ = iβ y β es no integral, la ecuación da una solución estable.
Figura 2.8 Diagrama de estabilidad de Mathieu mostrando los valores de a y q
donde se definen estables e inestables y las soluciones periódicas de
la ecuación de Mathieu.
37
2.4.2 Columna Sometida a Vibración Forzada [3]
Otro ejemplo que describe las vibraciones paramétricas es considerar una columna larga
sujetada por pernos la cual está sometida a una fuerza Po(t) como se muestra en la figura
2´9. Debido a la pérdida de balance que es causada por una maquinaria en rotación. Una
componente alternante de fuerza −2γPocos2ωt es superpuesta. La ecuación de movimiento
lateral es:
EI ∂ 4 y∂x 4 − Po(1− 2γ cos2ϖt) ∂2y
∂x 2 + m1∂ 2y∂t 2 = 0 (2.57)
Donde
y = movimiento lateral en el punto x
ml = es la masa por unidad de longitud
2γ = la resistencia de la componente de la fuerza alterante relativa a la fuerza
sometida.
Figura 2.9 Columna larga con pernos en los extremos. Una fuerza
periódica es superpuesta con un empuje axial constante.
Las condiciones de frontera son y(0,t)=0, 0),0(2
2
=x
ty∂
∂ , x=0, y x=l. Estas
condiciones son satisfechas asumiendo:
y = f (t)sin nπxl
(2.58)
38
Substituyendo la solución asumida en la ecuación de movimiento lateral tenemos:
∂ 4 f∂z4 + (a − 2qcos2z) f = 0 (2.59)
z = ϖt (2.60)
α =
nπl
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ EI nπ
l2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
2
+ Po⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
mlω2 (2.61)
q =γPo nπ
l⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
2
mlω2 (2.62)
Para un valor de n dado, la estabilidad es determinada resolviendo los valores de a y
q y observando su ubicación en la grafica de la figura 2.9 de estabilidad.
2.4.3 Pendulo Simple con Vibraciones en Pivote [2]
Considera el péndulo simple mostrado en la figura 2.10. El punto de pivote del péndulo está
diseñado para vibrar en la dirección vertical como:
y(t) = Y cosωt (2.63)
Donde T es la amplitud y ω es la frecuencia de oscilación. Desde que el péndulo
entero acelera en la dirección vertical, la aceleración neta esta dada por:
g − yoo
(t) = g −ω 2Y cosωt (2.64)
Y la ecuación de movimiento del péndulo puede ser escrita como:
39
ml2 θoo
+ m(g − yoo
)lsinθ = 0 (2.65)
Para deflexiones pequeñas cerca de θ = 0, sinθ ≈ θ y la ecuación se reduce a:
0cos2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ θωωθ t
lY
lg&& (2.66)
Figura 2.10 Diagrama de fuerzas del Péndulo Físico
Si el péndulo es invertido como se muestra en la figura la ecuación de movimiento
sin vibraciones se convierte en:
0sin2 =− θθ mglml && (2.67)
Si el punto pivote vibra de acuerdo a la ecuación y(t) = Y cosωt y si tiene un
desplazamiento angular pequeño la ecuación de movimiento se convierte:
0cos2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+ θωωθ t
lY
lg&& (2.68)
Estas ecuaciones son formas particulares de la ecuación de Mathieu para las cuales
el coeficiente θ en la ecuación diferencial varia con respecto al tiempo.
40
Consideraremos la ecuación de Mathieu de la forma:
d2ydt 2 + (α + εcos t)y = 0 (2.69)
Donde ε se asume pequeño.
Para observar la estabilidad del sistema se grafican valores de α y ε en el plano.
Estas ecuaciones representan curvas que son conocidas como las curvas de transición que
dividen el plano en dos regiones: estables y no estables. En la figura 2.11 se puede observar
que la inestabilidad se encuentra en la región sombreada. También se puede notar que la
estabilidad es también posible para valores negativos de α los cuales corresponden la
posición de equilibrio θ =180o. Por lo tanto con la correcta selección de los parámetros, el
péndulo puede ser diseñado para ser estable en la posición verticalmente hacia arriba
moviendo su soporte armónicamente.
Figura 2.11 Gráfica de estabilidad para péndulo físico
41
2.4.4 Cable Fijo en los Extremos [5]
La figura 2.11 muestra una cuerda con masa despreciable (1) con longitud 2l en el cual sus
dos extremos están fijados (2) y (3). Un elemento puntual (4) con masa m está adjuntado a
la cuerda en su punto medio. La cuerda está tensada por la fuerza S. Denotando con x el
desplazamiento de la posición de equilibrio del elemento 4. Podemos escribir para x << l la
siguiente ecuación de movimiento:
m x
oo+
Sl
x = 0 (2.70)
Si la fuerza de tensión depende del tiempo, por ejemplo S=So-S1(t), donde S1(t)<So
para cualquier t, entonces, despreciando cualquier disipación de energía obtenemos:
m x
oo+
1l
S0 − S1(t)[ ]x = 0 (2.71)
Figura 2.12 Cable excitado fijo en dos extremos
2.4.5 Masa Excitada por dos Barras [5]
Otro ejemplo lo tenemos en la figura 2.13. Ahora el elemento (1) de masa m es abisagrada a
dos barras idénticas con masa despreciable (2) y (3). La longitud de cada barra es l. El
extremo izquierdo de la barra 2 está conectado a un pivote fijo (4) y el extremo derecho de
la barra (3) esta conectado a un pivote montado a un bloque deslizador el cual puede
42
moverse horizontalmente. El elemento 1 esta conectado a un resorte con masa despreciable
(6), con rigidez c, el otro extremo del resorte está conectado a un soporte (7). En la posición
de equilibrio las barras 2 y 3 descansan en una línea recta. El perno que conecta a las dos
barras es el centro de gravedad del elemento (1). La fuerza F(t) es aplicada al bloque
deslizador (5). Si el desplazamiento del elemento (1) de la posición de equilibrio es
pequeño de manera que x << l la ecuación de movimiento se convertirá:
m x
oo+ c +
1l
F(t)⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ x = 0 (2.72)
Figura 2.13
Masa excitada por dos barras
2.4.6 Péndulo Oscilador [5]
Considerando la figura 2.13 El péndulo físico (1) oscila con respecto al el pivote fijo (2). La
ranura (3) en el péndulo acomoda un elemento de masa movible (4). El eje del pivote 2 y
los centros de gravedad del péndulo (1) y el elemento(4) en la ranura permanecen siempre
en una línea recta. El movimiento del elemento (4) en la ranura es determinado como una
función de tiempo por un factor externo. Debido a esto el momento de inercia J del sistema
con respecto al eje del pivote (2) y la distancia l entre el eje del pivote y el centro de
43
gravedad del sistema también son funciones del tiempo. Por lo tanto tenemos J=J(t) l=l(t).
La ecuación de movimiento puede ser escrita de la manera siguiente:
ddt
J(t) dϕdt
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ = −mgl(t)ϕ (2.73)
Por lo tanto;
J(t)ϕoo
+ J(t)o
ϕo+ mgl(t)ϕ = 0 (2.74)
Figura 2.14 Péndulo Oscilador
2.4.7 Circuito en Paralelo con Capacitancia Variable en el Tiempo [5]
Figura 2.15 Circuito con capacitancia variable
44
Ecuación:
tCCtC Ω∆+= cos)( (2.75)
Donde para encontrar resonancia paramétrica tenemos la siguiente condición;
LC2=Ω (2.76)
2.4.8 Oscilación de Cable Inducido por Excitación Paramétrica en Puentes
Estacionarios Por Cable [8]
En cables largos de puentes, la excitación paramétrica es muy probable debido a la
presencia de muchas frecuencias pequeñas en la torre y la cubierta. Cuando se cumplen
ciertas condiciones sin importar que las frecuencias sean muy pequeñas, pueden provocar
inestabilidad dinámica y causar grandes amplitudes de vibración.
Estudios recientes han revelado que cuando la cubierta del puente o la torre cae en
cierto rango de frecuencias, la oscilación de los cables estacionarios causada por
movimientos de soporte puede convertirse en inestable y exhibir grandes respuestas de
amplitud. La situación más peligrosa llega cuando la frecuencia de vibración de la torre o la
cubierta está cerca de dos veces la primera frecuencia natural de los cables estacionarios.
En este estudio, se propone un modelo dinámico no lineal para la simulación de la
vibración paramétrica en el cable inducida por el movimiento de la cubierta del puente. El
cable es modelado como una cuerda no lineal con masa uniformemente distribuida y la
rigidez del puente es representada por un resorte.
45
En la siguiente figura se puede observar como el puente es modelado, el cable se
representa como una cuerda no lineal con la longitud inicial L y la densidad de masa
uniforme ρA por unidad de longitud. La no linealidad geométrica del cable es introducida
de manera que la interacción dinámica entre el cable y la cubierta puedan ser tomados en
cuenta. El cable posee una rigidez elástica de EA, pero el peso y la rigidez de flexión del
cable son omitidos. La fuerza de tensión estática To del cable representa la acción del peso
y la deformación elástica la cubierta del puente con la masa m y la rigidez de flexión con k.
Figura 2.16 Modelo dinámico de un cable fijo
Haciendo una serie d cálculos llegamos a las ecuaciones no lineales que gobiernan
el sistema de movimiento del cable de la cubierta:
( ) 0/1 112
0212
1 =+++ XKXzXX ω&& (2.77)
012
0222
2 =++ XKzmlAEXX ω&&
46
Donde
K = π 2 /(4Lz0) (2.78)
ω 22 = AE /(ml) + k /m
Debido a los términos no lineales, las respuestas dinámicas X1(t) y X2(t) son unidas
fuertemente. A pesar de que los parámetros estructurales del sistema no contienen tiempo
explícitamente, la vibración de la masa m causará la fuerza de tensión del cable variar en el
tiempo debido a que el cable sostiene una fuerza que se restablece con X2. Esto significa
que el cable es excitado por la cubierta del puente a través de vibraciones paramétricas. De
esta manera la vibración transversal del cable y la vibración vertical de la cubierta con
masa m son unidas. De acuerdo al criterio de la resonancia interna de segundo orden en los
sistemas no lineales, la vibración vertical del cable exhibirá respuestas con amplitudes
grandes cuando: ϖ1 ≈ 0,5ϖ2 . En este caso la vibración resultante del cable y la masa m
actúa como una resonancia paramétrica y la vibración del cable será inestable.
2.4.9 Excitaciones Paramétricas de Oscilaciones de Presión en Sistemas Hidráulicos
[9]
Se sabe de antemano que bajo ciertas condiciones se puede formar una caverna de
cavitación en una máquina hidráulica. Durante la media operación de una turbina el cambio
periódico del volumen base de cavitación induce oscilaciones de presión en todo el sistema
hidráulico. Este fenómeno es conocido como “oleada de carga media”. Hasta ahora la
oleada de carga media era teóricamente tratada como una fuerza de oscilación de un
sistema lineal reducido frecuentemente a la descarga de un sistema hidráulico. El sistema es
tomado para ser excitado por variaciones de descarga o presión presentadas en la turbina.
47
Sin embargo se puede ver, que los registros de presión tomados en prototipos así
como también ,durante el dimensionamiento del modelo, las oscilaciones semejantes de un
sistema excitado paramétricamente. Las oscilaciones de presión en este caso se componen
de una respuesta de la excitación de descarga, así como también las oscilaciones de presión
presentadas debido a la inestabilidad del sistema, a veces llamadas resonancias
paramétricas.
Las oscilaciones de presión excitadas paramétricamente no pueden ser modeladas
usando el método de matriz de transferencia. Es necesario desarrollar una nueva
aproximación para modelar este tipo de oscilaciones.
Las vibraciones excitadas paramétricamente de un sistema mecánico sin
amortiguamiento con un grado de libertad se describe a continuación:
uoo
+ λ + γ cosωt( )u = 0 (2.78)
Donde:
u Desplazamiento
λ Constante de rigidez
γ Variable de rigidez
ω Frecuencia angular
48
La solución a esta ecuación se puede mostrar en la siguiente gráfica
Figura 2.17 Solución de un sistema mecánico sin amortiguamiento
y con un grado de libertad
El sistema mecánico puede ser sujeto a inestabilidad dinámica (vibraciones que
incrementan con el tiempo, las llamadas resonancias paramétricas) teniendo una de las
frecuencias de vibración posibles correspondientes a: 1/2, 1, 2/3,….de la frecuencia de
excitación paramétrica.