capÍtulo 2 : anÁlisis del sistema...

CAPÍTULO 2 : ANÁLISIS DEL SISTEMA OFDM


CAPÍTULO 2 : ANÁLISIS DELSISTEMA OFDM

Índice del Capítulo 2CAPÍTULO 2 : ANÁLISIS DEL SISTEMA OFDM......................................................................... 95

1. NOTACIÓN ...................................................................................................................... 96

2. FFT APLICADA A OFDM ............................................................................................... 98

2.1.DESCRIPCIÓN DE UNA SEÑAL OFDM ................................................................................................. 982.2.OFDM A PARTIR DE DTFT....................................................................................................................... 992.3.OFDM A PARTIR DE DFT (Algoritmos FFT)........................................................................................ 100

3. INTERFERENCIA INTERSIMBÓLICA EN OFDM .................................................. 103

3.1.PREFIJO/SUFIJO CÍCLICO.................................................................................................................... 1063.1.1.Sufijo Cíclico............................................................................................................................................................... 1063.1.2.Prefijo Cíclico.............................................................................................................................................................. 108

3.2.TRANSMISOR OFDM............................................................................................................................... 1093.3.RECEPTOR OFDM.................................................................................................................................... 110

4. OFDM Y LA TEORÍA DE LA INFORMACIÓN ........................................................... 111

5. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA .................................................................................... 112

5.1.ANÁLISIS DE UN SISTEMA CP-OFDM................................................................................................. 1125.1.1.Equalización de CP-OFDM...................................................................................................................................... 120

5.2.ANÁLISIS DE UN SISTEMA ZP-OFDM (Zero Padded OFDM )......................................................... 121

- 1 -

Comparación de sistemas CP-OFDM con ZP-OFDM.


NOTACIÓN

1. NOTACIÓN

1. Las letras minúsculas se usan para representar vectores y las mayúsculas se reservan

para las matrices.

2. La notación A † denota la transpuesta conjugada de A.

3. La función E [ ]y denota el valor esperado de la variable aleatoria y .

4. La notación I N representa la matriz identidad de dimensión NN × . El subíndice

alguna vez será omitido cuando por el contexto se vea claro.

5. La notación F N se usa para representar la matriz unitaria DFT de dimensión NN ×

dada por,

[ ] knN

j

kn eN

π2

N1 F

−= para .1,0 −≤≤ Nnk

6. F HN : El superíndice denota matriz hermítica siendo F N la matriz de Fourier de orden

NN ×

7. Una matriz C de dimensión NN × será circulante si se cumple que la matriz es de la

siguiente forma:

=

−−−

−

−−

0321

3012

2101

1210

cccc

cccccccccccc

C

NNN

N

NN

Una matriz circulante NN × se puede diagonalizar usando matrices DFT NN × .

En particular, la matriz C se puede expresar como, C = W † Λ W.

- 2 -



NOTACIÓN

Donde Λ una matriz diagonal, cuyos N elementos de la diagonal son la DFT de los

N puntos de la secuencia .,, 11,0 −Nccc Es decir, [ ] ∑ −

=

−=Λ 1

0

2N

k

ikN

j

kii ecπ

.

8. La notación diag ( )110 −Nλλλ denota una matriz diagonal de dimensión NN ×

donde se representa el k-ésimo elemento como kλ .

- 3 -



FFT APLICADA A OFDM

2. FFT APLICADA A OFDM

Una de las claves en el éxito de la modulación OFDM es la existencia de un

transmisor y un receptor cuya implementación es eficiente y muy simple. Esta estructura es

posible debido al uso de la Transformada Discreta de Fourier ( DFT ) y su inversa ( IDFT ).

El cálculo de ambas transformadas se realiza mediante el algoritmo de Transformada

Rápida de Fourier ( FFT ).

El objetivo de este capítulo es realizar una análisis de un sistema OFDM a través

de la DFT y la IDFT.

2.1. Descripción de una señal OFDM

La envolvente compleja de la señal OFDM , ( )ts~ y la señal paso de banda s(t) vienen

determinadas por las ecuaciones :

( ) ( )tuexAts Tn

N

k

NT

tNkj

kns∑ ∑

∞

−∞=

−

=

−−

=1

0

21

2

,~

π

(2.1)

( ) ( )[ ]tfj cetsts π2~Re= (2.2)

La señal compleja paso de banda equivalente en el intervalo de símbolo [ 0,T ) viene

dado por :

( ) ( )tuexAts T

N

k

NT

tN

kj

kbs∑

−

=

−

−

=1

0

21

2π

(2.3)

donde :

( ) ( ) ( )s

T

NTTunidadamplituddegularesrecpulsosTtututu

depotenciasersuelebloquedetamañoNbloquedeíndicen

=←−−=

←←

tan2,

- 4 -



FFT APLICADA A OFDM

2.2. OFDM a partir de DTFT

La representación de la señal equivalente en banda base dada por la ecuación

anterior ( )( )tsb tiene una forma típica. Eliminando el término común ( que viene dado por

el retraso constante (N-1)/2 en el argumento) se puede expresar :

( ) ( ) ( ) [ ]110

1

0

2

,....,,ˆ −

−

=

=←== ∑ NTT

N

k

NTtkj

kb xxxxxIDFTxtAutuexAts s

π

(2.4)

donde IDFT representa la Transformada de Fourier Discreta de N muestras dada por

[ ]110 ,....,,ˆ −= Nxxxx .

Debe recordarse que tanto la DFT como la IDFT de una señal , resultará siempre

una señal contínua y periódica. Al multiplicar por uT(t), se enventana la señal a un único

periodo T. Así desde este punto de vista, un transmisor OFDM se puede ver simplemente

como un procesador IDFT tal y como se puede contemplar en la Figura 2.1:

Figura 2.1:Transmisor OFDM usando IDTFT

- 5 -



FFT APLICADA A OFDM

2.3. OFDM a partir de DFT (Algoritmos FFT)

El cálculo de la IDTFT y de la DTFT es computacionalmente sencillo y directo , sin

embargo no se puede realizar en un sistema puramente digital. En este caso requeriremos

una versión discreta de la DTFT, conocida como DFT. La DFT también es bastante sencilla

y además permite su cálculo en sistemas digitales. Incluso en ocasiones el cálculo de la

DTFT se apoya en uno previo de la DFT. No obstante, existe cierta penalización en este

tipo de procedimiento. A continuación se procede a analizar este caso.

Básicamente, el cálculo de una DFT consiste en tomar muestras discretas de una señal

DFT contínua y todavía periódica. Teóricamente, partiendo del Teorema de Nyquist , este

proceso es totalmente válido.

El muestreo, según Nyquist , de ( )tsb , implica el muestreo de dos señales :

∑−

=

1

0

2N

k

NTktj

ksex

π

& ( )tuT (2.5)

Muestrando la primera señal en 1/Ts , se asegura que se cumpla la tasa de Nyquist

dando como resultado del muestreo:

1,...,1,01

0

2

−=←= ∑−

=

NmexXN

k

Nmkj

km

π

(2.6)

la cual es la Transformada de Fourier Discreta de los símbolos de datos

[ ]110 ,...,,ˆ −= Nxxxx

De acuerdo con el Teorema de Shannon, para representar con exactitud uT(t) son

necesarias infinitas muestras, lo que significa que si se utiliza un número finito, el pulso

rectangular se distorsiona :

- 6 -



FFT APLICADA A OFDM

(2.7)

donde ( ) ∑−

=

=

1

0

sinˆN

k sa T

tcth no es más que la función de pulso rectangular distorsionado

, que se puede observar en la siguiente figura :

Figura 2.2: Pulso rectangular distorsionado

De la ecuación (2.6) y de la (2.7) se puede observar que contando con un número

finito de muestras ( N ) ,la señal sb(t) sólo puede estimarse, no obtenerse con exactitud,

asimismo el pulso rectangular AuT(t) distorsiona su forma rectangular original para

convertirse en ha(t), lo cual provoca que la ortogonalidad entre subportadoras se vea

distorsionada.

- 7 -


( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ∑

∑

∑

−

=

−

=

∞

−∞=

=←+=

=←+

=

←

−=

1

0

1

0

sinˆ

ˆsin

sin

N

k saa

N

k s

k sT

Ttcthtth

errorttTtc

IdealMuestreokTtctu

ε

εε


FFT APLICADA A OFDM

No obstante, si se puede tolerar esta distorsión moderada en la ortogonalidad de las

subportadoras, la señal de OFDM sb(t) puede representarse por las muestras Xm dadas por :

1,...,1,01

0

2

−=←= ∑−

=

NmexXN

k

Nmkj

km

π

(2.8)

La ecuación anterior no es más que la IDFT. Tanto la DFT como la IDFT se pueden

calcular eficientemente con algoritmos de FFT. La estructura de un transmisor OFDM

utilizando algoritmos FFT viene dado por la Figura 2.3:

Figura 2.3: Estructura de un transmisor OFDM utilizando algoritmos FFT

- 8 -



INTERFERENCIA INTERSIMBÓLICA EN OFDM

3. INTERFERENCIA INTERSIMBÓLICA EN OFDM

Una de las principales ventajas del uso de OFDM , es su capacidad para eliminar la

ISI. En este apartado se estudiará como OFDM intenta minimizar los efectos perjudiciales

de este fenómeno. Para prevenir la ISI, entre los bloques OFDM se insertan intervalos de

guarda.

Si se considera un canal lineal en tiempo discreto, la relación de entrada-salida del

mismo se puede expresar como :

∑∞

∞−− == nnmnmn XgXgR *ˆ (3.1)

para n= i , i+1 ,…, i+L-1 , donde i es el primer índice ( arbitrario ) de la ventana de

longitud L ( Se asume la hipótesis de que la respuesta impulsiva del canal es cero salvo en

los índices del intervalo 0,1,….,L-1). En general desconocemos el valor exacto de L , sin

embargo se puede estimar fácilmente considerando una L tal que Lng n ≥∀= 0 . Así se

puede reescribir la ecuación anterior como :

∑−

− ==1

0

*ˆL

nnmnmn XgXgR (3.2)

De la ecuación anterior podemos observar que el valor de Rn depende de los L

valores distintos de cero que presenta la respuesta impulsiva del canal gm y de

nnLnLn XXXX ,,...., 121 −+−+− . Esta ecuación determina que la salida del canal no es más que

la convolución lineal entre la respuesta impulsiva del canal propiamente dicha, es decir

[ ]110 ,...,,ˆ −= Lgggg y una entrada determinada por [ ]110 ,....,,ˆ −= NXXXX tal como se

puede observar en la Figura 3.1:

- 9 -




Figra 3.1: Canal lineal en tiempo discreto

A continuación se procede a deducir una expresión para los N símbolos de salida para

el bloque k-ésimo. El símbolo kiR denota el i-ésimo símbolo del bloque k-ésimo.

∑ ∑−

=

−+−− +==

1

0

1

1

1000

L

m

ISI

Lk

mLmkk

mmk XgXgXgR

∑ ∑∑−

=

−

=

+−+

=−− +==

1

0

1

2

11

1

0111

L

m

ISI

L

m

kmLm

m

kmm

kmm

k XgXgXgR

∑ ∑∑−

=

−

=

+−+

=−− +==

1

0

1

3

12

2

0222

L

m

ISI

L

m

kmLm

m

kmm

kmm

k XgXgXgR

∑

−

=−−− ←=

1

011

L

m

kmLm

kL ISIexisteNoXgR (3.4)

En la Figura 3.2 se puede observar el efecto de la ISI en los primeros L-1 símbolos

de un bloque. En el k-ésimo bloque , las primeras L-1 salidas del canal son las causantes de

la interferencia intersimbólica.

- 10 -




Figura 3.2: Interferencia Intersimbólica (ISI)

Con el fin de evitar la ISI en los L-2 primeros símbolos de cada bloque del canal de

salida, se deben insertar L símbolos de guarda ya que, tal y como se expresa en la ecuación

anterior, así se eliminaría totalmente la interferencia.

En el sistema OFDM basado en FFT, la primera tarea a realizar en el receptor

( justo después de la conversión analógico-digital ), es la de realizar una FFT para poder

obtener los símbolos transmitidos, Xn. Sin embargo el ruido jugará un papel importante en

este punto del sistema , permitiendo que el sistema sólo pueda hacer una estimación del

símbolo transmitido nX , en lugar de obtener fielmente el símbolo. Sin embargo esta

circunstancia se ha tenido en cuenta en el uso de FFT & IFFT en un sistema OFDM . El

fenómeno introducido por el ruido se da en parte por que el canal no es estrictamente

digital. Este fenómeno se verá mediante la deducción de ciertas ecuaciones.

Para eliminar la ISI se añaden símbolos de guarda constituidos por ceros. El canal

de salida tras eliminar los símbolos de guarda es :

1,...,1,0*0 −=== NngXR nngn (3.5)

- 11 -




Una vez que en el receptor se procesa la FFT , se obtendrá el símbolo estimado nX :

( )nnn gXDFTX *ˆ = (3.6)

Realizar la DFT en señales digitalizadas y linealmente convolucionadas , no ofrece

muchas ventajas en términos de simplicidad. Sin embargo si la convolución fuera cíclica en

lugar de lineal, la DFT total pasa a ser un producto de DFT’s individuales.

Es decir :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )bDFTxaDFTbaDFT

bDFTxaDFTbaDFT≠=⊗

*(3.7)

Sin embargo ahora surge la pregunta de si es posible convertir una convolución

lineal en una circular .La respuesta es afirmativa y además es el motivo fundamental de la

inclusión del prefijo cíclico ( CP ) en los sistemas OFDM.

3.1. Prefijo/Sufijo Cíclico

Si en lugar de añadir ceros como símbolos de guarda , se usan versiones de los

símbolos del mismo bloque circularmente extendidas, no solamente se logra eliminar la ISI

sino que la salida del canal, tras haber eliminado los símbolos añadidos, puede expresarse

como la convolución cíclica de los coeficientes del canal gn y los de los símbolos de

entrada Xn

3.1.1. Sufijo Cíclico

El sufijo cíclico , de tamaño G , se añade a la salida del canal de la siguiente manera:

1,...,2,1,0),mod( −+== GNnXX Nngn (3.8)

- 12 -




Es destacable el hecho de que añadir símbolos de guarda, ya sean sufijos o prefijos,

reduce la tasa de transmisión debido a que ( ) sg

s NTTGN =+ .

Se supone que la secuencia gnX se transmite por un canal DLTI con respuesta

impulsiva 10

−= Lngg . En este caso la salida del mismo viene determinada por :

∑−

=−=

1

0

L

m

gmnm

gn XgR (3.9)

El receptor ( tras realizar la conversión analógica-digital pertinente ) elimina los

símbolos de guarda de acuerdo con la siguiente expresión :

gNGnGn RR ),mod( −+= (3.10)

Si se elige un tamaño del sufijo tal que G > L-1 , entonces las muestras recibidas

tras la eliminación del intervalo de guarda son :

nn

L

mNmnmn XgXgR ⊗== ∑

−

=−

1

0),mod( (3.11)

donde ⊗ es el símbolo de la convolución cíclica.

Figura 3.3: El sufijo cíclico realiza la convolución circular

Es en este punto es cuando el demodulador OFDM realiza la DFT ( mediante la

FFT ) en el vector 10

−== N

nnRR , siendo la secuencia demodulada de la siguiente forma :

- 13 -




(3.2)

En la expresión (3.12) se debe incorporar el factor de escala u de amplitud de pulso

( 1/N ) , además el ruido en el canal no está considerado todavía. Para este caso, la

presencia de ruido, en el receptor se añade tras la FFT un estimador.

3.1.2. Prefijo Cíclico

Los símbolos OFDM con guarda del Prefijo Cíclico ( CP ), formado de nuevo por

G bits, se forman añadiendo los símbolos de guarda de la siguiente manera :

1,...,2,1,0),mod( −+== −+ GNnXX NGNngn (3.13)

El símbolo gnX , de longitud N+G , será la entrada al canal FIR y la salida ,

gnR , no será más que la convolución lineal con la respuesta impulsiva del canal

denotada como 10

−Lmg . Se puede expresar en forma de ecuación :

∑−

=−=

1

0

L

m

gmnm

gn XgR (3.14)

Los símbolos de guarda se eliminan del símbolo gnR para producir Rn tal y como se

expresa en la siguiente ecuación :

1,...,2,1,0 −== + NnRR gnGn (3.15)

- 14 -


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

∑

∑−

=

−

−

=

−

=←=

=←==

====⊗==

1

0

/2

1

0

/2

L

m

Nimjmi

L

m

Nimjmi

ni

egx

eggFFTgFFTx

xIFFTFFTgFFTXFFTgFFTXgFFTRFFTZ

π

π

ηη



De las dos ecuaciones anteriores se puede deducir :

(3.16)

Tal y como se comentó con el sufijo cíclico, el prefijo cíclico también permite la

transformación de la convolución lineal en cíclica, con el ahorro computacional que ello

supone.

3.2. Transmisor OFDM

El diagrama de bloques de un transmisor de un sistema OFDM basado en técnicas

de trasnformada rápida de fourier , FFT se muestra en la Figura 3.4:

Figura 3.4: Diagrama de bloques de un transmisor de un sistema OFDM basado en técnicas de FFT

- 15 -


nn

L

mNmnm

L

mNNmnm

L

mNGNmGnm

L

m

gmGnm

gnGn

Xg

Xg

Xg

Xg

Xg

NnRR

⊗=

=

=

=

=

−==

∑

∑

∑

∑

−

=−

−

=+−

−

=−+−+

−

=−+

+

1

0),mod(

1

0),mod(

1

0),mod(

1

0

1,...,2,1,0



3.3. Receptor OFDM

El diagrama de bloques de un receptor de un sistema OFDM basado en técnicas de

trasnformada rápida de Fourier, FFT se muestra en la Figura 3.5:

Figura 3.5: Diagrama de bloques de un receptor de un sistema OFDM basado en técnicas de FFT

- 16 -



OFDM Y LA TEORÍA DE LA INFORMACIÓN

4. OFDM Y LA TEORÍA DE LA INFORMACIÓN

Un sistema OFDM opera típicamente sobre canales con funciones de transferencia

T(f) no lineales, tales que la respuesta en amplitud |T(f)| no es constante en todo el ancho

de banda de interés. Según la teoría de Shannon, la capacidad de un canal que no sea del

tipo AWGN se logra mediante expresión de este tipo :

( )( )

( )

∈−=Ω

casootroenb

WffT

fSK

fnn

t2

(4.1)

donde K es una constante escogida para satisfacer la siguiente condición :

( )∫ Ω≤ΩW

avt dff (4.2)

Un método para lograr mayor capacidad es la de dividir el espectro para convertirlo en

un conjunto de canales gaussianos en paralelo mas estrechos.

Por último comentar que la densidad espectral viene dada por

( )21

0

22

211∑

−

=

−−−=

N

kaxf

NkT

fHTAfS σ (4.3)

- 17 -



DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA

5. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA

Figura 5.1: Diagrama de bloque equivalente en tiempo discreto.

5.1. ANÁLISIS DE UN SISTEMA CP-OFDM

En este apartado se analizará matemáticamente un sistema completo de CP-OFDM.

Así en la Fígura 5.2 se puede contemplar la representación conceptual de un transmisor

para un sistema CP-OFDM, en el que no se considera el convertidor digital-analógico, el

amplificador de potencia y otros subsistemas analógicos. El análisis de este sistema se basa

en la descripción algebraica del mismo .

Figura 5.2 : Sistema CP-OFDM

La trama de datos de entrada ( )mxN del m-ésimo bloque de entrada al procesador de

IFFT no es más que un vector de N elementos que se puede representar como:

- 18 -




(5.1)

El vector de salida del bloque IFFT ( )mX N puede expresarse de forma parecida:

( )

( )( )( )

( )( )( )

=

−

−

−

mXmXmX

mXmXmX

mX

N

N

N

N

1

2

3

3

1

0

.

.

.(5.2)

Por otra parte es bien conocido que la matriz IFFT no es más que la matriz hermética

de la matriz FFT. Denotaremos la matriz IFFT como HNF donde el superíndice H denota

matriz hermítica y NF es la matriz de Fourier de orden NxN. La matriz de FFT se puede

escribir como:

- 19 -


( )

( )( )( )

( )( )( )

=

−

−

−

mxmxmx

mxmxmx

mx

N

N

N

N

1

2

3

3

1

0

.

.

.



(5.3)

Así podemos expresar la matriz HNF de la siguiente manera :

=

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

)1)(1()1)(2()1(2)1(

)1)(2()2)(2()2(2)2(

)1(3)2(363

)1(2)2(242

)1()2(21

11

111

11111

NNNNNN

NNNNNN

NN

NN

NN

HN

WWWWWWWW

WWWWWWWWWWWW

F

(5.4)

Entre los dos vectores ( ) ( )mxymX NN se puede establecer la siguiente relación

lineal:

( ) ( )mxFmX NH

NN = (5.5)

Que no es más que :

- 20 -


=

−−−−−−

−−−−−−

−−

−−

−−

)1)(1()1)(2()1(21

)1)(2()2)(2()2(22

)1(3)2(363

)1(2)2(242

122

11

111

11111

NNNNNN

NNNNNN

NN

NN

NN

N

WWWWWWWW

WWWWWWWWWWWW

F



(5.6)

Tal y como se representa en la Figura 5.2, añadir el prefijo cíclico no es más que

duplicar las G filas inferiores de ( )mX N y sumarlas a las G filas superiores. En

consonancia con este concepto podemos escribir la siguiente ecuación :

( )

( )( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

=

=

−

−

−

−

−+

−+

+

−

mXmX

mXmXmXmX

mXmX

mXmX

mXmXmX

mXmXmX

mX

N

N

N

N

gGN

gGN

gN

gN

gN

g

g

g

gN

1

2

1

0

1

2

1

0

1

2

1

1

2

1

0

(5.7)

Se puede re-escribir la relación como :

- 21 -


( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

=

−

−

−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−

−

−

mxmxmx

mxmxmx

WWWWWWWW

WWWWWWWWWWWW

mXmXmX

mXmXmX

N

N

N

NNNNNN

NNNNNN

NN

NN

NN

N

N

N

1

2

3

3

1

0

)1)(1()1)(2()1(2)1(

)1)(2()2)(2()2(2)2(

)1(3)2(363

)1(2)2(242

)1()2(21

1

2

3

3

1

0

.

.

.

11

111

11111

.

.

.



(5.8)

Esta misma expresión se puede escribir de forma simplificada como :

( ) ( )mxFmX NgH

NgN

,= (5.9)

donde gHNF , es la matriz de dimensiones (N+G)xN obtenida al sumar el prefijo cíclico

de G filas a la matriz HNF con las G filas inferiores de la misma tal y como representamos

en la siguiente ecuación:

- 22 -


( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )

=

−

−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−−

−+−−+−−+−−

−+−−+−−+−−

−+−−+−−+−−

+

+

+

mxmx

mxmxmxmx

WWWWWW

WWWWWWWWW

WWW

WWWWWWWWW

mm

mmmmm

mmm

N

N

NNNN

NNNN

N

N

N

NNNN

NGNGNGN

NGNGNGN

NGNGNGN

1

2

3

2

1

0

)1(1121

)1(2222

)1(363

)1(242

)1(21

)1)(1(121

)1)(3(323

)1)(2(222

)1)(1(121

1-N

2-N

3

2

1

0

1-N

3G-N

2G-N

1G-N

11

111

11111

111

XX

XXXXX

XXX



(5.10)

Donde ( )mF gCP es la matriz de dimensiones GxN formada por las G filas inferiores de

la matriz inversa de fourier HNF .

El elemento N+G-ésimo del vector de salida del canal ( )mR gN ( tras la inclusión del

ruido AWGN) se puede expresar como :

( ) ( ) ( ) ( )

Ruido

GN

IBI

gNIBI

gN

gN mnmXHmHXmR ++−+= 1 (5.11)

Las matrices del canal H y HIBI vienen dadas por:

- 23 -


( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

=

=

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−−

−+−−+−−+−−

−+−−+−−+−−

−+−−+−−+−−

HN

gCP

NNNN

NNNN

N

N

N

NNNN

NGNGNGN

NGNGNGN

NGNGNGN

gHN F

mF

WWWWWW

WWWWWWWWW

WWW

WWWWWWWWW

F

1)1(121

1)2(222

)1(363

)1(242

)1(21

1)1()1(2)1(

)1)(3()3(2)3(

)1)(2()2(2)2(

)1)(1()1(2)1(

,

11

111

11111

111

ˆ



(5.12)

=−

−−

−

−−

000000

000000000

0000

0000

ˆ1

21

231

1221

L

LL

L

LL

IBI hhh

hhhhhhh

H

(5.13)

Tanto la matriz H como la HIBI son de dimensiones (N+G)x(N+G). Eliminar los bits de

guarda es esencialmente eliminar las G filas superiores de ambas matrices. Así podemos

expresar la salida del canal (omitiendo el ruido por simplicidad) , tras haber suprimido el

símbolo de guarda mediante la siguiente ecuación.

Para L=G

- 24 -


=

−−

−−

−−

−−

−−

0121

0121

01221

01221

0132

012

01

0

00000

0000000000000000000000000000

ˆ

hhhhhhhh

hhhhhhhhhh

hhhh

hhhhh

h

H

LL

LL

LL

LL

LL



(5.14)

Para el caso general de L>G la anterior ecuación se reconvierte en un caso especial :

( )

( )

( )( )

( )( )( )( )

( )

( )( )

=

−

−

+−

−

−

+−

−−

−−

−

mXmX

mX

mXmXmXmXmXmX

mX

hhhhhhhh

hhhhhh

mR

N

N

GN

N

N

GN

LL

LL

L

N

1

2

1

3

2

1

0

1

2

1

0121

0121

012

011

000000

00000000

(5.15)

Se puede observar que la expresión anterior presenta una matriz circulante, la cual

permite que se pueda expresar como :

- 25 -


( )

( )

( )( )

( )( )( )( )

( )

( )( )

=

−

−

+−

−

−

+−

−−

−

−−

mXmX

mX

mXmXmXmXmXmX

mX

hhhh

hhhhhhhh

mR

N

N

GN

N

N

GN

LL

L

LL

N

1

2

1

3

2

1

0

1

2

1

0121

0121

0121

000000000000000000000000

000

000000



( )

( )( )( )( )

( )

( )( )( )

=

−

−

−

+−

−−−

−−−−

−−−

−−−−

−

−−

mXmXmX

mX

mXmXmXmX

hhhhhhhhhh

hhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

mR

N

N

N

GN

LLL

LLLL

LLL

LLLL

L

LL

N

1

2

3

1

3

2

1

0

01321

04321

01321

10432

45123

34012

23101

12210

00000

000000

000000

00000

(5.16)

Es decir de forma equivalente y simplificada :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ruido

NNH

NNNNNN mnmxFhCmnmXhCmR +=+=

(5.17)

5.1.1. Equalización de CP-OFDM

La ecualización de un sistema CP-OFDM es muy sencilla, gracias a la propiedad

circulante de la matriz ( )hCN . Es bien conocida la propiedad de este tipo de matrices por la

cual cualquier matriz circulante puede ser diagonalizada multiplicando dicha matriz

( anterior y posteriormente ) por matrices FFT. Matemáticamente se puede expresar de la

siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mnFmxHHHdiagmnFmxFhCFx NNNNNNNH

NNNN +=+= −110 ,...,,ˆ

(5.18)

- 26 -




5.2. ANÁLISIS DE UN SISTEMA ZP-OFDM (Zero PaddedOFDM )

Un sistema ZP-OFDM se muestra en Fig.(5.3).La única diferencia con CP-OFDM

es que CP (código cíclico) es remplazado por una ristra de ceros de tamaño G que son

añadidos a cada bloque precodificado X ( )mN .

Figura 5.3: ZP-OFDM

La trama de datos de entrada x )(mN para el m-ésimo bloque de entrada al procesador

de IFFT no es más que un vector de N elementos que se puede representar como:

( )

( )( )( )

( )( )( )

=

−

−

−

mxmxmx

mxmxmx

mx

N

N

N

N

1

2

3

3

1

0

.

.

.(5.19)

El vector de salida del bloque IFFT ( )mX N puede expresarse de forma parecida:

- 27 -




(5.20)

Por otra parte es bien conocido que la matriz IFFT no es más que la matriz hermética

de la matriz FFT. Denotaremos la matriz IFFT como HNF donde el superíndice H denota

matriz hermítica y NF es la matriz de Fourier de orden NxN. La matriz de FFT se puede

escribir como:

=

−−−−−−

−−−−−−

−−

−−

−−

)1)(1()1)(2()1(21

)1)(2()2)(2()2(22

)1(3)2(363

)1(2)2(242

122

11

111

11111

NNNNNN

NNNNNN

NN

NN

NN

N

WWWWWWWW

WWWWWWWWWWWW

F

(5.21)

Así podemos expresar la matriz HNF de la siguiente manera :

- 28 -


( )

( )( )( )

( )( )( )

=

−

−

−

mXmXmX

mXmXmX

mX

N

N

N

N

1

2

3

3

1

0

.

.

.



(5.22)

Entre los dos vectores ( ) ( )mxymX NN se puede establecer la siguiente relación

lineal:

( ) ( )mxFmX NH

NN = (5.23)

Que no es más que :

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

=

−

−

−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−

−

−

mxmxmx

mxmxmx

WWWWWWWW

WWWWWWWWWWWW

mXmXmX

mXmXmX

N

N

N

NNNNNN

NNNNNN

NN

NN

NN

N

N

N

1

2

3

3

1

0

)1)(1()1)(2()1(2)1(

)1)(2()2)(2()2(2)2(

)1(3)2(363

)1(2)2(242

)1()2(21

1

2

3

3

1

0

.

.

.

11

111

11111

.

.

.

(5.24)

En ZP-OFDM, el zero-padding no consiste más que en añadir G filas de zeros en el

vector X ( )mN .

- 29 -


=

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

)1)(1()1)(2()1(2)1(

)1)(2()2)(2()2(2)2(

)1(3)2(363

)1(2)2(242

)1()2(21

11

111

11111

NNNNNN

NNNNNN

NN

NN

NN

HN

WWWWWWWW

WWWWWWWWWWWW

F



(5.25)

Se puede re-escribir la relación como :

( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

=

−

−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

mxmx

mxmxmxmx

WWWWWW

WWWWWWWWW

mm

mXmmm

N

N

NNNN

NNNN

N

N

N

1

2

3

2

1

0

)1)(1()1(2)1(

)1)(2()2(2)2(

)1(363

)1(242

)1(21

1-N

2-N

4

3

1

0

0000

000000000000

11

111

1111

0

000

XX

)(XXX

(5.26)

Esta misma expresión se puede escribir de forma simplificada como :

( ) ( )mxFmX NgH

NgN

,= (5.27)

- 30 -


( )

( )( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

=

= −

−

−+

−+

+

−

0

0001

2

1

0

1

2

1

1

2

1

0

mXmX

mXmX

mXmX

mXmXmX

mXmXmX

mX N

N

gGN

gGN

gN

gN

gN

g

g

g

gN



donde gHNF , es la matriz de dimensiones (N+G)xN obtenida al sumar G filas a la

matriz HNF con las G filas inferiores de la misma tal y como representamos en la siguiente

ecuación:

=

=

= −−−−−−−

−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

0)(

0000

000000000000

11

111

1111

ˆ )1)(1()1(2)1(

)1)(2()2(2)2(

)1(363

)1(242

)1(21

,H

Ng

ZP

HN

NNNN

NNNN

N

N

N

gHN

FmF

FWWWWWW

WWWWWWWWW

F

(5.28)

Donde ( )mF gZP es la matriz de dimensiones GxN obtenida al añadir las G filas

inferiores de ceros a la matriz inversa de fourier HNF .

El elemento N+G-ésimo del vector de salida del canal ( )mR gN ( tras la inclusión del

ruido AWGN) se puede expresar como :

( ) ( ) ( ) ( )

Ruido

GN

IBI

gNIBI

gN

gN mnmXHmHXmR ++−+= 1 (5.29)

Las matrices del canal H y HIBI vienen dadas por:

- 31 -




=

−−

−−

−−

−−

−−

0121

0121

01221

01221

0132

012

01

0

00000

0000000000000000000000000000

ˆ

hhhhhhhh

hhhhhhhhhh

hhhh

hhhhh

h

H

LL

LL

LL

LL

LL

(5.30)

=−

−−

−

−−

000000

000000000

0000

0000

ˆ1

21

231

1221

L

LL

L

LL

IBI hhh

hhhhhhh

H

(5.31)

Tanto la matriz H como la HIBI son de dimensiones (N+G)x(N+G).

Para G L≥ , podemos comprobar que el término de la IBI es despreciable. Lo podemos

ver a través de la siguiente ecuación matricial:

- 32 -




( ) 0

0

000

)1()1(

)1()1()1()1(

000000

000000000

0000

0000

ˆ11

2

4

3

1

0

1

21

231

1221

=

−−

−−−−

=−−

−

−

−−

−

−−

mXmX

mXmXmXmX

hhh

hhhhhhh

mXHN

N

L

LL

L

LL

gNIBI

(5.32)

Entonces la salida del canal se puede re-escribir como

( ) ( ) ( )

Ruido

GNgN

gN mnmHXmR ++= (5.33)

donde

( )

( )( )

( )( )( )

=

−

−

−

−−

−−

−−

−−

0

000

)(

000

000

000

000

000

000

000

000

000

0000000000000000000000000000000

ˆ)(

1

2

3

4

3

1

0

0121

01221

01221

0132

012

01

0

mXmXmX

mXmXmXmX

hhhh

hhhhhhhhhh

hhhh

hhhhh

h

mHX

N

N

N

LL

LL

LL

LL

gN

(5.34)

- 33 -




Eliminar los bits de guarda en ZP-OFDM es esencialmente eliminar las G ≥ L filas

inferiores de la matriz HX gN (m) para obtener la matriz H 0 de dimensión ( ) NGN ×+ . Así

podemos expresar la salida del canal (omitiendo el ruido por simplicidad), tras haber

suprimido el símbolo de guarda mediante la siguiente ecuación.

( )

( )

( )( )

( )( )( )

==

−

−

−

−−

−−

−−

−−

0

000

)(

000

000

000

000

000

000

000

000

000

0000000000000000000000000000000

ˆ1

2

3

4

3

1

0

0121

01221

01221

0132

012

01

0

0

mXmXmX

mXmXmXmX

hhhh

hhhhhhhhhh

hhhh

hhhhh

h

HmR

N

N

N

LL

LL

LL

LL

N

(5.35)

Para L=G,

−−

−−−−

=−

−−−

−

−−

0

000

)1()1(

)1()1()1()1(

000000000000000000000000

000

0000000

)(1

2

4

3

1

0

0121

0021

121

mXmX

mXmXmXmX

hhhh

hhhhhhh

mRN

NLL

L

LL

N

(5.36)

- 34 -




Para el caso general de L>G la anterior ecuación se reconvierte en un caso especial :

( )

−−

−−−−

=−

−

−−

−−

−

0

000

)1()1(

)1()1()1()1(

000000

00000000

1

2

4

3

1

0

0121

0121

012

011

mXmX

mXmXmXmX

hhhhhhhh

hhhhhh

mRN

N

LL

LL

L

N

(5.37)

Se puede observar que la expresión anterior presenta una matriz circulante, la cual

permite que se pueda expresar como :

( )

−−

−−−−

=−

−

−−−

−−−−

−−−

−−−−

−

−−

0

000

)1()1(

)1()1()1()1(

00000

000000

000000

00000

1

2

4

3

1

0

01321

04321

01321

10432

45123

34012

23101

12210

mXmX

mXmXmXmX

hhhhhhhhhh

hhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

mRN

N

LLL

LLLL

LLL

LLLL

L

LL

N

(5.38)

- 35 -




Es decir de forma equivalente y simplificada :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ruido

NNH

NNNNNN mnmxFhCmnmXhCmR +=+=

(5.39)

- 36 -


capÍtulo 2 : anÁlisis del sistema...

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