capitulo 14 teoria de colas

agosto de 2009 Mg. Ing. Juan C. Ubillus C. 1

CAPITULO 14TEORÍA DE COLAS

• Las COLAS (LíNEAS DE ESPERA) son realidades que podemos observar diariamente:

•Personas esperando para realizar sus pagos ante una caja en un supermercado o un banco,

•Ordenes de Trabajo esperando ser ejecutadas en una fábrica,

•Vehículos esperando (incluso barcos o camiones) para ser decargados, •Máquinas dañadas a la espera de una reparación.

Se generan Líneas de Espera como resultado de un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrar el servicio.


TEORÍA DE COLAS• Las COLAS (LÍNEAS DE ESPERA) son realidades que pueden causar problemas:

•Los barcos o camiones en espera de ser descargados pueden retrazar los envios siguientes programados,

•Un trabajo de manufactura esperando su proceso demasiado tiempo puede perturbar la produccionsubsecuente,

•Aviones esperando aterrizar o despegar pueden desorganizar la programacion de vuelos,

•Una cuadrilla de trabajo esperando que una Grúa se desocupe para atender el montaje de un ensamble estructural.

Al generarse Lineas de Espera, el retraso en el servicio puede ocasionar atrasos en la produccion, mayores costos, insatisfaccion e incluso perdidas de clientes.


TEORÍA DE COLAS

• La TEORÍA DE COLAS es el estudio de la espera en las distintas modalidades.

•Usa los Modelos de Colas, para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran algun tipo de cola), que se presentan en la práctica.

•Aprovecha los Modelos de Colas, para determinar como debemos hacer operarar un sistema de colas de la manera más efectiva y/o eficiente.

•Usa la Teoría de Probilidades, para representar características de algunos componentes del modelo.

•Desarrolla fórmulas para cada modelo, las que nos indican cual debe ser el desempeño del sistema estudiado, la cantidad promedio de espera que ocurrirá bajo una gama de circunstancias.

ÍA


TEORÍA DE COLAS

• Los Modelos de Colas permiten analizar sistemas de colas, considerando que:

•Proporcionar demasiada capacidad de servicio para operar el sistema implica costos excesivos.

•Proporcionar poca capacidad de servicio para operar el sistema implica insatisfacción del cliente por la demora, atrasos de otras actividades o trabajos, mayores costos y otros efectos negativos.

•Nos permiten encontrar el balance apropiadoentre el costo del servicio y la cantidad de espera.

•Son muy útiles para determinar como debemos hacer operarar un sistema de colas de la manera mas efectiva.


TEORÍA DE COLAS

• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

• Los Análisis de Colas relacionan:

– la longitud de la línea de espera,–el promedio de tiempo de espera y otros factores como:– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,

Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (actividades de mantenimiento de maquinaria, el control de las operaciones en planta, actividades de construccion de una nueva planta industrial o de construccion de un edificio, etc.).


TEORÍA DE COLAS

• Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, una cuadrilla en espera de una grúa, los barcos que esperan ser descargados por una grúa, o las máquinas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común.

• Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que las actividades subsiguientes no se detengan, para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.


TEORÍA DE COLASCostos de Servicio y Costos de Espera

• El “Trueque”. Los Administradores de operaciones reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO DEproporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

• Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.

• Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO


TEORÍA DE COLAS

Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo

Costo Total Mínimo

COSTO TOTAL ESPERADO


TEORÍA DE COLASCostos de Servicio vs Nivel de Servicio

• Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes.

– En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario.

– En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.


TEORÍA DE COLAS

• Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera.

• Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidosa causa de mal servicio y colas muy largas.

• En ciertos servicios (Aeropuertos, Bancos, y otros) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.


TEORÍA DE COLAS

COLAS MAS USUALES

Carga y descargaBarcosMuelle

ReparaciónMáquinas dañadasMantenimiento

Llamadas en esperaClientesTeléfono

Efectuar montaje de estructuras

Requerimientos de grúa

Construcción

Proceso de datosProgramas a ser corridos

Sistema de Cómputo

ConsultaPacientesConsultorio Medico

Pago de peajeVehículosPeaje

Pago en cajas CompradoresSupermercado

SERVICIOLLEGADAS EN COLASITIO


TEORÍA DE COLASCaracterísticas de una LÍNEA DE ESPERA

• Una cola de espera está compuesta de tres elementos:1. Llegadas o arribos o ingresos al sistema2. Disciplina en la cola o línea de espera3. Mecanismo de Servicio o instalación

• Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.



• 1. CARACTERÍSTICAS DE LAS LLEGADAS O ARRIBOS:• La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para

el servicio tiene tres características principales:a. Tamaño de la población que arribab. Patrón de llegada a la colac. Comportamiento de las llegadas.

1.a.Tamaño de la Población:El tamaño de la población puede ser:

infinito (ilimitado) o limitado (finito).



1. CARACTERÍSTICAS DE ARRIBO:1.a. Tamaño de la Población:

Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado.

LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consultorio médico



1. CARACTERÍSTICAS DE ARRIBO:

• 1.b. Patrón de arribo al sistema:– Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.

– Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.

– Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad.


TEORÍA DE COLASCaracterísticas de una LÍNEA DE ESPERA1. CARACTERÍSTICAS DE LLEGADAS (ARRIBO):

• DISTRIBUCION DE POISSON:

• P(x) = Probabilidad de x llegadas(arribos)• .x= número de llegadas(arribos) por unidad de tiempo• λ = tasa o cantidad promedio de llegadas(arribos)

.e = 2.71828

( ) ,...4,3,2,1,0_!

==−

xparax

exP

xλλ


TEORÍA DE COLASDISTRIBUCIÓN DE POISSON

DISTRIBUCIÓN DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO λλλλ = 2

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN

DISTRIBUCIÓN 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 0.0034 0.0009 0.0002

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


TEORÍA DE COLASDISTRIBUCIÓN DE POISSON

DISTRIBUCIÓN POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO λ λ λ λ = 4

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PROBABILIDAD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


TEORÍA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERA

1. CARACTERÍSTICAS DE ARRIBO:

1.c. Comportamiento de las llegadas(arribos):La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transacción.

Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.


Explicación

• Con una tasa promedio de llegada λ = 2 clientes por hora, la probabilidad de que “cero” clientes llegen en cualquier hora aleatoria es 13% aproximadamente, de 1 cliente es 27%, de 2 clientes es 27%, de 3 clientes es 18%, de 4 clientes 9%, de 5 clientes es 4%, de 6 clientes es 2% y así sucesivamnte, siendo que para la probabiladd de arribo de 9 o más son casi nulas.


TEORÍA DE COLAS2. CARACTERÍSTICAS DE LA LÍNEA DE ESPERA:

• La LÍNEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA o ILIMITADA.– Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no

puede incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender.

– Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los vehículos que arriban.


TEORÍA DE COLAS2. CARACTERÍSTICAS DE LA LÍNEA DE ESPERA:

• Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir (First In FirstOut) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también FIFS (First In First Served).

• En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por auxilio médico.

• En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la caja express que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende con la política PEPS.


TEORÍA DE COLASCARACTERÍSTICAS DE LA LÍNEA DE ESPERA

3. Características del Servicio

El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas:1. La configuración del sistema de servicio.2. El patrón de tiempos de servicio

3.1. CONFIGURACIONES BÁSICAS PARA EL SERVICIO:Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de canales (servidores) y el número de fases(número de paradas que deben hacerse durante el servicio).

Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida.


TEORÍA DE COLASCARACTERÍSTICAS DE LA LÍNEA DE ESPERA3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

– Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas.

– Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase

– Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera


TEORÍA DE COLASConfiguraciones Básicas de Sistemas de Colas

3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

MECANISMODE

SERVICIO

COLAARRIBOS DE CLIENTES

SISTEMA DE COLAS

SALIDAS

C

C

C

C

CLIENTES SERVIDOS

CLIENTES SERVIDOS SALIDAS

S

S

S

S




MECANISMODE

SERVICIO

ARRIBOS DE CLIENTES

SISTEMA DE COLAS

CLIENTES SERVIDOS

COLAFUENTE DE

ENTRADA


Estructura de los Modelos de Colas

• Fuente de entrada (poblacion potencial):Es la poblacion de la cual surgen las unidades que llegan al sistema de colas. Puede suponerse que el tamano es infinito por tanto la fuentede entrada tambien es ilimitada. La suposicion de fuenteinfinita hace los calculos mas sencillos.

• Cola: es donde los Clientes esperan para ser servidos. La suposicion de Cola infinita es la estandar para los modelos.


Estructura de los Modelos de Colas

• Disciplina de Cola: Se refiere al orden en que los miembrosreciben el servicio. Asi puede ser primero en entrar primeroen salir, aleatoria o de acuerdo con algun otro orden de prioridad.

• Mecanismo de Servicio: Formada por una o masinstalaciones de servicio, cada una con una o mas canales de servicio paralelos denominados servidores.




SERVIDOR

COLA

SERVICIOFASE 2

COLA

ARRIBOS

SERVICIOFASE 1

SALIDAS

SISTEMA DE COLA DE UN CANAL, UNA FASE

ARRIBOS

SISTEMA DE COLA DE UN SOLO CANAL, MULTIFASE

SALIDAS




SISTEMA MULTICANAL UNA FASE

ARRIBOS

COLA SERVIDOR

SERVISOR

SERVIDOR

SALIDAS

CANAL 1

CANAL 2

CANAL 3


SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE

ARRIBOS

COLA FASE 2CANAL 1

FASE 1CANAL 2

FASE 2CANAL 2

SALIDAS

FASE 1CANAL 1



CANAL 1

CANAL 2



3.2. Distribución del Tiempo de Servicio

• Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.

I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros).

II. Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente –que es el caso más común – se lo representa por la DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e-µµµµx para x ≥≥≥≥ 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribossiguen la distribución de Poisson.


TEORÍA DE COLASMedición del Rendimiento de las Colas

• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.

• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la

cola2. Longitud de cola promedio3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema

(tiempo de espera + tiempo de servicio).4. Número de clientes promedio en el sistema.5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío6. Factor de utilización del sistema7. Probabilidad de la presencia de un específico número de

clientes en el sistema.


TEORÍA DE COLAS

PROBABILIDAD DE QUE EL SERVICIO TOME MÁS DE XMINUTOS (distribución exponencial negativa,tiempo de servicio)

30 Minutos

TIEMPO promedio de servicio de una hora

Probabilidad (intervalos de 1 minuto)

µ = NÚMERO PROMEDIO DE SERVICIOS POR MÍNUTO

TIEMPO promedio de servicio de 20 minutos

9060 120 150

5

15

20

10

25


Distribución exponencial negativa

• Puesto que no se conoce con certeza el lapso entre dosarribos, es necesario especificar para el una distribución de probabilidad.

• En el modelo básico de teoría de colas se utiliza una distribución particular denominada distribución exponencial, llamada algunas veces como distribución exponencial negativa.

• Esta distribución permite una representación razonable delproceso de arribo en gran numero de situaciones.

• Posee una propiedad llamada perdida de memoria o ausencia de memoria, la cual permite alcanzar resultados analíticos de mucha utilidad.


Distribución exponencial negativa. Propiedades.

• Ausencia de Memoria. Esta propiedad implica en que la probabilidad de que ocurra un evento de llegada minutos después de un arribo, no esta influenciada por el momento en que haya ocurrido la llegada anterior. (el sistema no lo trae a la memoria).

• Se puede dar en los siguientes casos:• Hay muchos individuos que potencialmente pueden llegar al

sistema.• Cada persona decide llegar independientemente de los

demás.• Cada individuo elige al azar el momento de llegar (por eso las

llegadas telefónicas encajan bien con la llegada exponencial).



• Lapsos de Servicio Breves. Esta propiedad implica que los valores son pequeños en el lapso de servicio.

• La distribución exponencial representa muy bien estos casos, en que un gran proporción de tareas duran un lapso muy breve y solo una pequeña proporción duran un lapso grande.

• Si vemos la siguiente figura, nos indica que mas del 63% de los tiempos de servicio serán menores que el promedio.


TEORÍA DE COLAS

Alta probabilidad de lapsos de servicios cortos en la distribución exponencial

10 t Minutos

La probabilidad de que S sea menor o igual que t es = 0.632

Probabilidad (S ≤ t)

TIEMPO promedio de servicio de 20 minutos

3020 40 50

0.25

0.75

0.5

1

60



• Relación con la Distribución de Poisson.• Si el tiempo entre llegadas tiene una distribución exponencial

con parámetro λλλλ , entonces en un periodo especifico de tiempo T esta propiedad implica que el número de llegadas tendrá una distribución de Poisson con parámetros λλλλ T.

• Si X es el número de llegadas durante el tiempo T, la probabilidad de que X sea igual a un número dado (digamos n) se obtiene mediante una conocida ecuación.

• Comparando el número de tareas que llegan al servicio durante un periodo dado con el numero que sugiere la distribución de Poisson, el analista puede ver si su criterio sobre el modelo y los parámetros del proceso de llegadas es razonable.


Distribución de Poisson

• La Distribución de Poisson se utiliza para describir el proceso de arribos en los casos en que el lapso entre arribos tiene una distribución exponencial.

• Esto se debe a la relación que hay entre la Distribución exponencial y la Distribución de Poisson.

• Así, si el lapso entre arribos tiene una distribución exponencial, entonces el numero de llegadas en un intervalo de tiempo especifico (por ejemplo en 8 horas) tiene un distribución de Poisson.

• Existe una relación matemática entre la Distribución exponencial y la Distribución de Poisson.


TEORÍA DE COLASNotación de los Modelos de Colas

• Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall(1953) propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos que ha sido adoptado universalmente.

• Una versión resumida de esta convención está basada en el formato A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientes características del sistema:– A = Distribución de tiempo entre arribos.– B = Distribución del tiempo de servicio.Los siguientes son símbolos comunes para A y B:

M = exponencial o Markov (1)

D = constante o determinística



• Ek = Erlang de orden k• P H = Tipo fase• H = Hiperexponencial• G = Arbitrario o general• GI = General independiente

• c = número de servidores paralelos• N = Capacidad del sistema• K = Tamaño de la población.Nota(1): A causa de las suposiciones de distribución

exponencial en los procesos de arribo, estos modelos son llamados MARKOVIANOS



• Por ejemplo: M/M/1/∞∞∞∞/∞∞∞∞ significa un solo servidor, capacidad de cola ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente.

• Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la notación. M/M/1/∞/∞ es reducido a M/M/1.


TEORÍA DE COLASVariedad de Modelos de Colas

• Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados. Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y se los encuentra en textos especializados sobre el tema.

• Los 4 modelos de colas a estudiar asumen:o Arribos según la Distribución de Poissono Disciplina PEPSo Una sola fase de servicio.

– Modelo A: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales


TEORÍA DE COLASVariedad de Modelos de Colas

– Modelo B: Multicanal– Modelo C: Tiempo de Servicio constante– Modelo D: Población Limitada

• Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la distribución de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: (Modelo M/M/1)

• Los casos más comunes de problemas de colas incluyen la línea de espera de canal único o servidor único. En este caso los arribos crean una sola cola a ser servida por una sola estación.


TEORÍA DE COLASModelo A: M/M/1

• Asumimos que existen las siguientes condiciones: 1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada

arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.

2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.

3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.

4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.


TEORÍA DE COLASModelo A: (M/M/1) – Modelo B: (M/M/S)

5. Los tiempos de servicio se representan mediante ladistribución de probabilidad exponencial negativa.

6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo.Tabla 5.3 Render Pág. 192

• Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S)• Dos o más servidores o canales están disponibles para

atender a los clientes que arriban.• Los clientes forman una sola cola y se los atiende de

acuerdo al servidor que queda libre. • Asumimos que los arribos siguen la distribución de

probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente.


TEORÍA DE COLASModelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)

• Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata.

• Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1)

• Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de exponencialmente distribuidos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.


TEORÍA DE COLASModelo D: Población limitada

• Modelo D: Modelo de Población limitada.-• Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos

considerando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5 máquinas. Este modelo permite cualquier número de reparadores a ser considerados.

• La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora hay una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la rata de arribo. La situación extrema sería si en la fábrica tenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitan reparación; siendo en este caso la rata de arribo CERO. En general, si la línea de espera crece, la rata de llegada tiende a cero


RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS

PEPSFINITAEXPONENCIAL

POISSONUNAUNOPOBLACIONLIMITADA

D

PEPSINFINITACONSTANTE

POISSONUNAUNOSERVICIOCONSTANTE (M/D/1)

C

PEPSINFINITAEXPONENCIAL

POISSONUNAMULTICANAL

MULTI-CANALM/M/S

B

PEPSINFINITAEXPONENCIAL

POISSONUNAUNOSIMPLEM/M/1

A

DISCIPLINA DE COLA

TAMAÑO DE LA POBLACIÓN

PATRÓN DE

SERVICIO

PATRÓN DE

ARRIBO

N° DE FASES

N° DE CANALES

NOMBREMODELO


FÓRMULAS PARA COLASMODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

λµ

µ

λρ

λµ

λ

µ

λ

−=

+

==

==

−==

=

=

=

1

servicio) de tiempo espera de (tiempo

sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo

sistema deln utilizació deFactor

sistema elen (clientes) unidades de promedio Número

sistema elen unidades de número

tiempode períodopor servidos cosas o gente de promedio Número

tiempode períodopor arribos de promedio Número

S

S

SS

W

W

LL

n


FÓRMULAS PARA COLASMODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

( )

( )

( )

( )

1

2

sistema elen estén unidades k"" de más que de adProbabilid

11

vacía)está servicio de unidad (la sistema elen unidades cero de adProbabilid

11

sistema elen estén clientes "n" que de adProbabilid

cola laen espera unidad una que promedio Tiempo

cola laen unidades de promedio Número

+

⟩

⟩

=

==

−=−=

==

∗−=

∗

−=

==

∗=−

==

∗=−

==

k

kn

kn

o

o

n

n

n

n

Sq

Sq

P

P

P

P

P

P

WW

LL

µ

λ

ρµ

λ

ρρµ

λ

µ

λ

ρλµµ

λ

ρλµµ

λ


FÓRMULAS PARA COLASMODELO B: SISTEMA MULTICANAL O

M/M/S

( ) ( ) µ

λ

λµ

µλλµ

λµ

λµ

µ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

+−−

=

=

⟩

−

+

=

==

=

=

=

∑−=

=

PoMM

L

L

M

M

M

Mn

P

P

M

M

S

s

MMn

n

no

o

2

1

0

.!.1

:sistema elen unidades o personas de promedio número

para

!

1

!

1

1

sistema elen unidades o personas CEROexistan que de adProbabilid

canal cadaen servicio de promedio tasa

arribo de promedio tasa

abiertos canales de número


FÓRMULAS PARA COLASMODELO B: SISTEMA MULTICANAL O

M/M/S

( ) ( )

λµ

ρµ

λ

λµλµ

µλµ

q

Sq

q

SSq

q

S

M

S

s

LWW

W

LLL

L

LPo

MMW

W

=−=

=

=

−=−=

==

=+−−

=

=

=

1

serviciopor esperando cola laen da tar

se unidad o persona una que promedio Tiempo

servicio de esperaen cola, o línea laen unidades o personas de promedio Número

1

! 1

)(atendida) servida siendoy cola la(en

sistema, elen permanece unidad una que promedio Tiempo

2


FÓRMULAS PARA COLASMODELO C: SERVICIO CONSTANTE O

MODELO M/D/1

( )

( )

µ

µ

λ

λµµ

λ

λµµ

λ

1 sistema, elen espera de promedio Tiempo

sistema, elen clientes de promedio Número

2 cola, laen espera de promedio Tiempo

2 cola, la de promedio Longitud

2

+=

+=

−=

−=

qS

qS

q

q

WW

LL

W

L


FÓRMULAS PARA COLASMODELO D: POBLACIÓN LIMITADA

servicio deFactor

cola laen espera unidad una que promedio Tiempo

unidad la aatención de ntosrequerimie entre servicio Tiempode

promedio servicio de Tiempo

spotenciale clientes de Número

servicio de canales de Número

servicio el esperando unidades de promedio Número

servicio desector elen o colaen están no que unidades de promedio Número

servidas siendo unidades de promedio Número

eficiencia deFactor

cola laen esperar que tengaunidad una que de adProbabilid

:NOTACIÓN

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

X

W

U

T

N

M

L

J

H

F

D


FÓMULAS PARA COLASMODELO D: POBLACIÓN LIMITADA

( )( ) ( )

( )

HLJN

FNXH

XNFJ

XF

FT

LN

UTLW

FNL

UT

TX

++=

=

−=

−=

−

+=

−=

+=

............. Población la de Cuantía

servido siendo promedio Número

1 entofuncionamien promedio Número

1 ........ espera de promedio Tiempo

1 ........ esperaen promedio Número

....................... Servicio deFactor

:FÓRMULAS


El Modelo Básico o Simple.

• Supongamos estamos en una empresa donde tenemos una sola copiadora y las personas arriban para sacar copias según su turno de llegada y entonces tienen que hacer su cola en una sola fila.

• Los trabajos varían desde sacar una copia de una pagina hasta sacar 100 copias de un informe de 25 paginas.

• Este tipo de sistema de denomina cola de espera con un solo servidor (o de un canal).


El Modelo Básico o Simple.

Nos hacemos las siguientes preguntas: • Cantidad de personas en el sistema• Numero de personas en la fila• Tiempo de espera• Tiempo de espera en la filaHacemos las siguientes suposiciones del modelo básico:• Proceso de llegadas• Proceso de servicio• Tamaño de la línea de espera• Disciplina de la línea de espera• Horizonte de tiempo


Proceso de llegadas, modelo básico:

• Como no conocemos con certeza el tiempo entre dos llegadas, arribos o tareas, le especificamos una distribución de probabilidad.

• En el modelo básico se utiliza la distribución exponencial.

• Esta distribución queda completamente identificada con el parámetro λ (tasa media de llegadas), o sea cuantas veces se presenta en promedio durante un periodo dado.

• Sea λ = 0.05 tareas/minuto es decir arriban 5 tareas cada 100 minutos o una tarea cada 20 minutos.

• tiempo medio entre tareas = tiempo promedio entre 2 arribos = 1/ λ , en el caso de la distribución exponencial.

• Luego tiempo promedio = 1/ λ = 1/0.05 = 20minutos.


Proceso de servicio, modelo básico:

• En el modelo básico, el tiempo de servicio es el que ocupa concluir una tarea.

• Se maneja también con la distribución exponencial.

• El parámetro de esta distribución exponencial se llama µ

• µ = Tasa promedio de servicios en tareas por minuto o número promedio de servicios por mínuto

• Por tanto µT sera en promedio el numero de tareas que se atenderan durante un perioo de T minutos.

• Si por ejemplo tenemos que µ = 0.10 tareas/minuto es decir se completa una tarea en 10 minutos como promedio.

• Luego el tiempo medio o promedio de servicio es 10, puesto que 1/µ = 1/0.10 = 10


Tamaño, disciplina y horizonte

• Tamaño de la línea de espera: Infinita, no hay limite.

• Disciplina en la línea de espera: el primero en llegar el primero en salir.

• Horizonte del tiempo: Continuamente, luego es Infinito.

• Si suponemos tiempo de arribo entre tareas es de 20 minutos,

luego 1/ λ = 20 minutos, implica λ =0.05, o sea llegan tareas a razon de 1 cada 5 minutos según la distribuionexponencial.

• Similarmente, si suponemos tiempo promedio para terminar una tarea es de 10 minuto (tiempo de servicio), entonces puesto que 1/µ = 1/0.10 entonces luego µ= 0.10 y se atenderan treas a razon de 0.10 por minuto cuando al maquina este trabajando.


Tamaño, disciplina y horizonte

• Si suponemos tiempo de arribo entre tareas es de 20 minutos,

luego 1/ λ = 20 minutos, implica λ =0.05, o sea llegan tareas a razón de 1 cada 5 minutos según la distribuionexponencial.

• Similarmente, si suponemos tiempo promedio para terminar una tarea es de 10 minuto (tiempo de servicio), entonces puesto que 1/µ = 1/0.10 entonces luego µ= 0.10 y se atenderán tres a razón de 0.10 por minuto cuando al maquina este trabajando.


El problema existente

• El problema existente es un sistema, el cual queremos estudiar para convertirlo en un sistema mejor o mas eficiente.

• Para esto nos ayudaran los Modelos de Colas y la teoría de Colas.

• Una Nave Industrial, consistente en una construcción de estructuras metálicas industriales pesadas de acero, integrada por sub-ensambles estructurales cuyo montaje es apoyado con una grúa-camión de 30 ton con pluma hidráulica telescópica de 20 m de alcance.

• Se observa que el gruero ha estado trabajando muchas horas de sobretiempo, lo cual puede causar accidentes personales además de atrasar la entrega de la obra según el cronograma contractual

• Al respecto se desea analizar alternativas de alquilar mas gruas con implicancias en los tiempos y en los costos:


Recopilación de datos:

• Se conocen los datos de los tiempos entre arribos de los requerimientos del servicio de grúa según el cuadro mostrado (average Inter arival time = 3.55h).

• Al respecto, el tiempo promedio de montaje de un subensamble es de 5 horas, lo cual se ha utilizado en el cronograma.

• Por lo tanto: Si suponemos tiempo de arribo entre tareas es de 3.55 horas = 213 minutos, luego 1/ λ = 213 minutos, implica λ =0.00469

• Similarmente: Si conocemos que el tiempo promedio para culminar una tarea es de 5 horas = 300 minutos, luego 1/µ = 300 minutos, implica µ =0.00333


Propuesta de solucion:

• Con 1 grúa:• Mean waiting time = AS/(A-S) = (5*3.55)/(5 – 3.55)=12.24 h • Intensidad de trafico = S / A = 3.55 / 5 = 71% ocupado• Wq = tiempo promedio de espera en cola = λ / µ (µ-λ) • Wq = 0.00469/0.00469(0.00469 -0.00333)• Wq = 0.00469/0.0000063784 =735.294 minutos= 12.25 horasρ = Factor de utilización del servicio o Intensidad de trafico.= λ / µ = 0.00333/0.00469 =71%• Con 3 grúas:• =3.14 horas tiempo promedio de espera• 1.67/3.55 =0.47 = 47% intensidad de tráfico


Propuesta de solucion:

• Con 3 grúas, estamos en un modelo multicanal B: MMS• Wq =Lq/ λ• Lq = Ls – (λ / µ )• Ls = ( (λµ (λ / µ )^M)Po / (M-1)! (Mµ-1) ^2) ) + (λ / µ)

• Wq = tiempo promedio de espera en cola = ”X” horasρ = Factor de utilización del servicio o Intensidad de trafico= λ / µ = = %• Luego, con 3 grúas:

tiempo promedio de espera =intensidad de tráfico =


Problema prpuesto:

• Al respecto analizar la siguientes alternativas con implicancias en los tiempos y en los costos:

• Costos de alquilar más grúas (para tener 3 grúas en obra)• Costos de no alquilar grúa adicional, no hacer nada y asumir los

costos– Penalidad– Hh perdidas– Costos financieros por renovar carta fianza, demora en

cobranza de valorizaciones)– Costo de oportunidad

• Trabajar 24 horas, con 3 turnos, 3 grueros, una sola grúa– Pagos por personal adicional– Alquiler grupo electrógeno (iluminación)– Gastos de seguridad un guardian adicional


Bibliografía

• Juan C. Ubillus C. Apuntes de Clase de la asignatura: Investigación de Operaciones. FIC. Dpt. Académico de Contrucción. Universidad Nacional de Ingeniería. Pre Grado. Lima. Perú.

• Juan C. Ubillus C. Modelos y Análisis de Decisisones. FIC. Universidad Nacional Ingeniería, Sección de Post Grado. Lima. Perú.

• Render,B y R.M. Stair. Quantitative Analysis for Management. 5ta. Ed. Boston: Allyn & Bacon.

• Frederick S. Hillier y Gerald J. Lieberman. Introduction to operations resarch. Stanford University. Ed. McGraw-Hill.

• Gould, Eppen and Schmidt. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Ed. Prentice Hall.

• Sasieni,Yaspan, Friedman. Investigación de Operaciones. Ed. Limusa.

capitulo 14 teoria de colas

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