capitulo iipersonales.unican.es/sancibrr/asignaturas/cyddm/capii2.pdf · 1 r. sancibrián, ing....

48
1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo II Capitulo II Capitulo II Capitulo II Teoría de curvatura R. Sancibrián, Ing. Mecánica 2 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo II Capitulo II Capitulo II Capitulo II Movimiento Plano Movimiento Plano Movimiento Plano Movimiento Plano II.1 Aspectos generales del movimiento plano. II.1 Aspectos generales del movimiento plano. II.1 Aspectos generales del movimiento plano. II.1 Aspectos generales del movimiento plano. II.2 Teoría de la curvatura. II.2 Teoría de la curvatura. II.2 Teoría de la curvatura. II.2 Teoría de la curvatura. 1. Teorema de Hartman. 2. Euler-Savary. 3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia de Bresse. 4. Construcciones gráficas. 5. Teorema de Bobillier y construcción de Aronhold. 6. Generalización de la fórmula de Euler-Savary. 7. Aplicaciones de la fórmula de Euler-Savary. II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado. II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado. II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado. II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado.

Upload: vuonghuong

Post on 12-Dec-2018

236 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

1

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

1

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capitulo IICapitulo IICapitulo IICapitulo II

Teoría de curvatura

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

2

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capitulo IICapitulo IICapitulo IICapitulo IIMovimiento PlanoMovimiento PlanoMovimiento PlanoMovimiento Plano

II.1 Aspectos generales del movimiento plano.II.1 Aspectos generales del movimiento plano.II.1 Aspectos generales del movimiento plano.II.1 Aspectos generales del movimiento plano.II.2 Teoría de la curvatura.II.2 Teoría de la curvatura.II.2 Teoría de la curvatura.II.2 Teoría de la curvatura.

1. Teorema de Hartman.2. Euler-Savary.3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia

de Bresse.4. Construcciones gráficas.5. Teorema de Bobillier y construcción de

Aronhold.6. Generalización de la fórmula de Euler-Savary.7. Aplicaciones de la fórmula de Euler-Savary.

II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado.II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado.II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado.II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado.

Page 2: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

2

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

3

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capitulo II: Tema 2Capitulo II: Tema 2Capitulo II: Tema 2Capitulo II: Tema 2Teoría de curvaturaTeoría de curvaturaTeoría de curvaturaTeoría de curvatura

1. Teorema de Hartman.1. Aspectos previos del Teorema de Hartman.2. Enunciado y demostración del Teorema de Hartman.

2. Euler-Savary.1. Fórmula de Euler-Savary.2. Criterio de signos.

3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia de Bresse. 1. Circunferencia de las inflexiones.2. Circunferencia de Bresse y polo de aceleraciones.

4. Construcciones gráficas.1. Construcción gráfica 1.2. Construcción gráfica 2.

5. Teorema de Bobillier y construcción de Aronhold.1. Teorema de Bobillier.2. Teorema de Aronhold.

6. Generalización de la fórmula de Euler-Savary.1. Introducción. Perfiles conjugados.2. Euler-Savary generalizado.3. Fórmula de E-S generalizado.

7. Aplicaciones de la fórmula de Euler-Savary.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

4

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2

1. Teorema de Hartman.1. Aspectos previos del Teorema de Hartman.2. Enunciado y demostración del Teorema de Hartman.

Page 3: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

3

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

5

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

En este apartado vamos a estudiar el teorema de Hartman que nos permitirá obtener la relación entre un punto del plano móvil, el polo de dicho plano móvil y el centro de curvatura de la trayectoria recorrida por el punto.

Pero antes introducimos en el teorema de Hartman existen algunas cuestiones preliminares que nos ayudarán a entender dicho teorema.

En esta introducción al teorema de Hartman vamos a considerar 3 planos en el movimiento:

• El plano fijo (0).• El plano móvil (1) que contiene el punto A el cual recorre la trayectoria m sobre

el plano fijo (0).• El plano móvil (2) compuesto por la normal (n) y la tangente (t) a la trayectoria y

que tiene un punto de coincidencia con el plano (1) que es el punto A.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

6

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

El plano fijo (0) El plano móvil (1) El plano móvil (2)

A

(1)

t

n

n

t

(2)

Page 4: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

4

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

7

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Movimiento del plano 1 sobre el plano 0Movimiento del plano 1 sobre el plano 0Movimiento del plano 1 sobre el plano 0Movimiento del plano 1 sobre el plano 0

Condición:Condición:Condición:Condición: que el punto A del plano 1 recorra la trayectoria m del plano 0.

A continuación se muestran dos casos y se comparan.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

8

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

mA

(1)

VA

P10

(0)

mA

(1)

VA

P10

ω1ω = 0

Page 5: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

5

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

9

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

A

(1)

VA

P10

(0)

m

A

(1)

VA

P10

ω1 ω = 0

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

10

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

A

(1)

VA

P10

(0)

m

A

(1)

VA

P10

ω1 ω = 0

Page 6: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

6

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

11

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

A

(1)

VA

P10

(0)

m

A

(1)

VA

P10

ω1 ω = 0

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

12

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

A

(1)

VA

P10

(0)

m

A

(1)

VA

P10

ω1ω = 0

Page 7: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

7

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

13

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

A

(1)

VAP10

(0)

m

A

(1)

VAP10

ω1

ω = 0

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

14

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

mA

(1)

VAP10

(0)

mA

(1)

VAP10

ω1

ω = 0

Page 8: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

8

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

15

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Movimiento del plano 1 sobre el plano 0:Movimiento del plano 1 sobre el plano 0:Movimiento del plano 1 sobre el plano 0:Movimiento del plano 1 sobre el plano 0:

1. La condición de que un solo punto, el A, recorra la trayectoria m no condiciona completamente el movimiento del plano 1 sobre el cero, ya que pueden darse infinitos desplazamientos entre posiciones cumpliendo con esta condición.

2. Por tanto, la posición del polo P10 no está definida. Sin embargo, sí conocemos la dirección en la que se encuentra este polo, ya que debe estar situado en la normal a la trayectoria. La condición de que el punto A recorra la trayectoria define la dirección de la normal.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

16

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Movimiento del plano 2 sobre el plano 0Movimiento del plano 2 sobre el plano 0Movimiento del plano 2 sobre el plano 0Movimiento del plano 2 sobre el plano 0

Condiciones:Condiciones:Condiciones:Condiciones:1. El punto de corte entre tangente y normal debe coincidir con el

movimiento del punto A.2. La recta t debe ser siempre tangente a la trayectoria y la recta

n debe ser normal a la misma.

Page 9: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

9

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

17

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

18

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

mt

n

n

t

(2)

Page 10: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

10

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

19

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

20

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

Page 11: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

11

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

21

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

22

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

nt

(2)

Page 12: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

12

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

23

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Movimiento del plano 2 sobre el plano 0:Movimiento del plano 2 sobre el plano 0:Movimiento del plano 2 sobre el plano 0:Movimiento del plano 2 sobre el plano 0:• En este caso, la condición de normal y tangente a la trayectoria

restringe completamente el movimiento y, por tanto, la posición del plano 2 con respecto al plano 0 es conocida en cualquier instante.

• Al estar completamente restringido el movimiento la posición del polo P20 también lo está.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

24

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

t

n

n

t

(2)

t

n

n

t

(2)

P20 = cdc

ds

Page 13: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

13

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

25

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)t

n

n

t

(2)

t

n

n

t

(2)

t

n

n

t

(2)

t

n

n

t

(2)

t

n

nt

(2)

Evoluta de la trayectoria

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

26

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

P201

Page 14: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

14

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

27

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

mt

n

n

t

(2)

P202

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

28

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

P203

Page 15: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

15

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

29

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

P204

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

30

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

P205

Page 16: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

16

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

31

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

nt

(2)

P206

Ruleta

Base

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

32

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Conclusiones sobre el movimiento del plano 2 sobre el Conclusiones sobre el movimiento del plano 2 sobre el Conclusiones sobre el movimiento del plano 2 sobre el Conclusiones sobre el movimiento del plano 2 sobre el plano 0:plano 0:plano 0:plano 0:

• El movimiento está perfectamente definido.• El polo P20 puede determinarse como intersección de dos

rectas normales separadas por un ds.• El polo P20 es a la vez el centro de curvatura de la trayectoria

para esa posición.• La base del movimiento del plano 2 sobre el plano 0 coincide

con la evoluta de la trayectoria.

Page 17: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

17

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

33

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Movimiento de los tres planos.Movimiento de los tres planos.Movimiento de los tres planos.Movimiento de los tres planos.• Ahora hacemos coincidir el movimiento de los tres planos:

el plano fijo (1), el móvil (1) y el móvil (2). • Durante el movimiento se mantendrán las condiciones

anteriormente citadas y además el punto de corte de las rectas n y t coincidirá con el punto A.

La última de estas condiciones implica que el polo del movimiento del plano 1 con respecto al (2) coincide con el punto A, ya que tiene que tener las misma velocidad en el plano (1) y (2).

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

34

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

A

(1)

P201

P101

P211

Page 18: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

18

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

35

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

mt

n

n

t

(2)

A

(1)

P202

P102

P212

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

36

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

A

(1)

P203

P103

P213

Page 19: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

19

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

37

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

A

(1)

P204

P104

P214

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

38

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

n

t

(2)

A

(1)

P205

P105

P215

Page 20: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

20

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

39

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

(0)

m

t

n

nt

(2)

A

(1)

P206

P216

P106

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

40

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de Aspectos previos del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Conclusiones generales:Conclusiones generales:Conclusiones generales:Conclusiones generales:• Como puede observarse, los tres polos: P10, P12 y P20 están

permanentemente alineados (lo que está de acuerdo con el teorema de Aronhold).

• Con los datos del problema, de los tres polos se conoce la posición exacta de dos de ellos (P21, P20) y la dirección en la que se encuentra el tercero (P10).

• Además, el centro de curvatura de la trayectoria que recorre un punto A es el polo del plano asociado a la normal y tangente a la trayectoria en la que se mueve dicho punto.

• La evoluta de la trayectoria es la base del movimiento del plano (2) con respecto al plano (0).

Page 21: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

21

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

41

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Enunciado del teorema de Enunciado del teorema de Enunciado del teorema de Enunciado del teorema de HartmanHartmanHartmanHartman::::El extremo del vector velocidad de un punto, el centro de curvatura de la trayectoria y la componente paralela a la velocidad del punto del vector velocidad de cambio de polo, están alineados.

Para demostrar este teorema veremos dos demostraciones: A y B. La primera de ellas, la A, es una demostración más intuitiva y la segunda, la B, más matemática.

A

cdc

Pu

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

42

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

Demostración A

P

A

B

C

VA VCVB

Page 22: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

22

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

43

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

P

A

B

C

VCperp

VB VBrel

VBBarraVA

perp

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

44

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

A

cdc

Pu

Page 23: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

23

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

45

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

A

C

P utp tp

np

np

Ψ

ω

O0

O1

VA

ρ

(0)

(1)Ap

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

46

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

A

C

P utp tp

np

np

Ψ

ω

r0

r1

O0

O1

VA

ρ

(0)

(1)Ap

Page 24: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

24

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

47

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Enunciado y demostración del Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de HartmanHartmanHartmanHartman

A

C

P utp tp

np

np

Ψ

ω

r0

r1

O0

O1

VA

ρ

(0)

(1)

Ψ

Ap

A

P

VA

u’

C

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

48

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2

2. Euler-Savary.1. Fórmula de Euler-Savary.2. Criterio de signos.

Page 25: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

25

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

49

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Fórmula de Fórmula de Fórmula de Fórmula de EulerEulerEulerEuler----SavarySavarySavarySavary (E(E(E(E----S)S)S)S)

P utp tp

np

np

ω

r0

r1

O0

O1

(0)

(1)

VO1

cteur

1

r

1

1o

==+ω

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

50

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Fórmula de Fórmula de Fórmula de Fórmula de EulerEulerEulerEuler----SavarySavarySavarySavary (E(E(E(E----S)S)S)S)A

C

P utp tp

np

np

ω

r0

r1

O0

O1

VA

(0)

(1)

ϕu’

VO1

cteur

1

r

1sen

CP

1

PA

1

1o

==+=

+

ωφ

Page 26: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

26

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

51

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Criterio de signosCriterio de signosCriterio de signosCriterio de signos

1o r

1

r

1sen

CP

1

PA

1+=

+ φ

O0

O1r1

r0

tptp

np

np

P

A

C

ϕ

O0

O1r1

r0

tptp

np

np

P

AC

ϕ

1o r

1

r

1sen

CP

1

PA

1+=

+

−φ

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

52

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Criterio de signosCriterio de signosCriterio de signosCriterio de signos

1o r

1

r

1sen

CP

1

PA

1+

−=

+ φ

O1r1

r0

tptp

np

np

P

A

C

ϕ

O0

O1r1

r0

tptp

np

np

P

A

C

ϕ

O0

1o r

1

r

1sen

CP

1

PA

1+

−=

+

−φ

Page 27: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

27

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

53

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Criterio de signosCriterio de signosCriterio de signosCriterio de signos

1o r

1

r

1sen

CP

1

PA

1

−+=

+ φ

O0

O1

r1

r0

tptp

np

np

P

A

C

ϕ

O0

O1

r1

r0

tptp

np

np

P

AC

ϕ

1o r

1

r

1sen

CP

1

PA

1

−+=

+

−φ

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

54

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2

3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia de Bresse. 1. Circunferencia de las inflexiones.2. Circunferencia de Bresse y polo de aceleraciones.

Page 28: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

28

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

55

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Circunferencia de las inflexiones Circunferencia de las inflexiones Circunferencia de las inflexiones Circunferencia de las inflexiones ((((circunfcircunfcircunfcircunf. de . de . de . de HireHireHireHire))))

P

ϕ

A

I

u

ωr δ

P

ϕ

A

u

ω

C

φδ senr =

CAWAPA2 ⋅=

Definición:Definición:Definición:Definición: los puntos del plano móvil (1) que no tienen aceleración normal por estar en un punto de inflexión de la trayectoria (curvatura ∞).

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

56

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Circunferencia de Circunferencia de Circunferencia de Circunferencia de BresseBresseBresseBresse. Polo de . Polo de . Polo de . Polo de aceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleraciones

P

Q

u

ψ

Ap

r

A

b

ψcosbr −=

Definición:Definición:Definición:Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que tienen aceleración tangencial nula.

Page 29: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

29

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

57

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2

4. Construcciones gráficas.1. Construcción gráfica 1.2. Construcción gráfica 2.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

58

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1A

P

Enunciado:Enunciado:Enunciado:Enunciado:

Dada la circunferencia de las inflexiones y conocido el polo, calcular el cdc de la trayectoria del punto A:

Page 30: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

30

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

59

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1A

PB

Paso 1:Paso 1:Paso 1:Paso 1:

Se trazan por A y B dos rectas arbitrarias que se cortan en el punto B.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

60

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1A

P

W

B

Paso 2:Paso 2:Paso 2:Paso 2:

Se obtiene el punto W como intersección de la recta AP con la circunferencia de las inflexiones, y se une dicho punto con el punto B.

Page 31: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

31

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

61

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1A

P

W

B

D

Paso 3:Paso 3:Paso 3:Paso 3:

Se traza una recta paralela a WB por el punto P, obteniendo el punto D en el punto de corte con la recta AB.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

62

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1A

P

W

B

D

C

Paso 4:Paso 4:Paso 4:Paso 4:

Finalmente se traza por el punto D una recta paralela a la recta PB, y donde corta a la recta AP se obtiene el punto C, cdcde la trayectoria de A.

Page 32: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

32

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

63

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1Construcción gráfica 1A

P

W

B

D

C

BA

DA

WA

PA=

BA

DA

PA

CA=

PA

CA

WA

PA=

CAWAPA2 ⋅=

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

64

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OA

OB

Enunciado:Enunciado:Enunciado:Enunciado:

Hallar tres puntos de la circunferencia de las inflexiones, conocidos dos puntos (A y B) y sus respectivos centros de curvaturas (OA y OB).

Page 33: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

33

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

65

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OAOB

P

Paso 1:Paso 1:Paso 1:Paso 1:

El polo P es el primer punto de la circunferencia de las inflexiones, ya que puede obtenerse directamente en la intersección de las dos rectas que unen los puntos con sus centros de curvatura.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

66

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OAOB

P

Q

Paso 2:Paso 2:Paso 2:Paso 2:

Se obtiene el punto Q como intersección de las rectas AB y OAOB.

Page 34: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

34

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

67

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OAOB

Q

P Eje de colineación (ECAB)

Paso 3:Paso 3:Paso 3:Paso 3:

Se obtiene el Eje de Colineación uniendo el punto Q con el polo P.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

68

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OAOB

Q

WAWB

P Eje de colineación (ECAB)

Paso 4:Paso 4:Paso 4:Paso 4:

Se traza por P una recta paralela a OAOB hasta que corte a la recta AB en el punto H. A continuación se traza otra recta por este punto paralela al eje de colineación. Los puntos de corte con AOA y BOB son puntos de la circunferencia de las inflexiones.

H

Page 35: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

35

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

69

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OAOB

Q

WAWB

P Eje de colineación (ECAB)

Conocidos tres puntos de la circunferencia de las inflexiones se puede obtener dicha circunferencia.

H

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

70

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OAOB

WAWB

P

A

P

W

Page 36: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

36

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

71

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OAOB

WAWB

P

A

P

W

B H

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

72

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2Construcción gráfica 2

A

B

OAOB

Q

WAWB

PEje de colineación (ECAB)

A

P

W

B

D

C

H

Page 37: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

37

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

73

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2

5. Teorema de Bobillier y construcción de Aronhold.1. Teorema de Bobillier.2. Teorema de Aronhold.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

74

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de BobillierBobillierBobillierBobillier

“La bisectriz del ángulo que forman las normales a la trayectoria de dos puntos coincide con la bisectriz del ángulo que forman la dirección de la velocidad de cambio de polo (o tangente polar) y el eje de colineación”.

Page 38: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

38

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

75

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de BobillierBobillierBobillierBobillier

B

OBOA

A

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

76

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de BobillierBobillierBobillierBobillier

B

OBOA

A

P

Q

EC AB

Page 39: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

39

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

77

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de BobillierBobillierBobillierBobillier

B

WA

WB

OBOA

A

P

Q

EC AB

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

78

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de BobillierBobillierBobillierBobillier

B

WA

WB

OBOA

A

P

Q

tp

EC AB

Page 40: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

40

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

79

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de BobillierBobillierBobillierBobillier

B

WA

WB

OBOA

A

P

Q

tp

β

β

β

EC AB

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

80

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de BobillierBobillierBobillierBobillier

==

=

=

Page 41: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

41

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

81

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de BobillierBobillierBobillierBobillier

B

WA

WB

OBOA

A

P

Q

Bise

ctriz

tp

β

β

β

EC AB

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

82

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción de Construcción de Construcción de Construcción de AronholdAronholdAronholdAronhold

B

OB

OA

A

P

CEnunciado:Enunciado:Enunciado:Enunciado: Dados dos puntos, A y B, y sus respectivos centros de curvatura, OA y OB, se desea hallar el centro de curvatura de un tercer punto C del mismo plano móvil.

Paso 1:Paso 1:Paso 1:Paso 1: determinamos el polo P.

Page 42: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

42

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

83

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción de Construcción de Construcción de Construcción de AronholdAronholdAronholdAronhold

B

OB

OA

A tp

P

C

QAB

ββ

ECAB

Paso 2:Paso 2:Paso 2:Paso 2: determinamos el eje de colineación con los puntos A y B, y a continuación obtenemos la tangente polar empleando el teorema de Bobillier.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

84

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción de Construcción de Construcción de Construcción de AronholdAronholdAronholdAronhold

B

OB

OA

A tp

P

C

QAB

ββ

α α

ECAB

ECAC

Paso 3:Paso 3:Paso 3:Paso 3: Aplicando de nuevo el teorema de Bobillier se determina el eje de colineación AC.

Page 43: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

43

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

85

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción de Construcción de Construcción de Construcción de AronholdAronholdAronholdAronhold

B

OB

OA

A tp

P

C

QAB

ββ

α α

QAC

ECAB

ECAC

OC

Paso 4:Paso 4:Paso 4:Paso 4: Uniendo el punto QAC con el centro de curvatura de la trayectoria de A de obtiene el centro de curvatura de la trayectoria de C como punto de corte de esta recta con la recta PC.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

86

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2Capítulo II: Tema 2

6. Generalización de la fórmula de Euler-Savary.1. Introducción. Perfiles conjugados.2. Euler-Savary generalizado.3. Fórmula de E-S generalizado.

Page 44: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

44

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

87

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Introducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugados

A

C

u

Base (0) = Fija

Ruleta (1)

ω

tptp

P0

PPP1

Hasta ahora hemos considerado que la base es una curva fija (nuestro sistema de referencia). Esto implica que en el polo P existan 3 puntos:

• P0: punto del plano fijo (Base) y por tanto de velocidad nula.

• P1: punto del plano móvil (ruleta) y velocidad nula por condición de polo.

• P: punto matemático que representa las sucesivas posiciones del polo sobre el plano fijo. Sus velocidad u, se denomina velocidad de cambio de polo.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

88

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Introducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugadosAhora consideramos un plano fijo (0) y otro móvil (1) en el que tenemos en todo instante una tangente en común t. Pero a diferencia del caso anterior en el contacto existe rodadura y deslizamiento.

Envolvente:Envolvente:Envolvente:Envolvente: se dice que una curva en un plano fijo es la envolvente de otra curva en el plano móvil (denominada perfilperfilperfilperfil) si en todo instante tienen una tangente en común.

A ambas curvas (perfil y envolvente) se las denomina perfiles conjugadosperfiles conjugadosperfiles conjugadosperfiles conjugados.

tt

tt

n

n

n

n

Envolvente (0)

Perfil (0)Perfil (0)

Posición 1 Posición 2

Page 45: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

45

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

89

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Introducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugadosIntroducción. Perfiles conjugados

En el punto H de nuevo existen tres puntos:

• H0: Perteneciente a la envolvente (plano fijo) y de velocidad nula.

• H1: Perteneciente al perfil (1) y de velocidad la velocidad de deslizamiento del perfil sobre la envolvente (VHdes).

• H: Punto matemático de contacto. Su velocidad es distinta de cero.

El polo del movimiento relativo de una curva y su envolvente está situado sobre la normal a la tangente en el punto de contacto (H), ya que la velocidad de H1 debe estar en la dirección de la tangente (de lo contrario el perfil penetra o se aleja de la envolvente).

t

t

n

n

Envolvente (0)

Perfil (0)

Posición 1

P10

H VHdes

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

90

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

EulerEulerEulerEuler----SavarySavarySavarySavary GeneralizadoGeneralizadoGeneralizadoGeneralizado

De forma similar a como se realizó en el teorema de Hartman vamos a considerar 3 planos en el movimiento:

• El plano (0): es el plano fijo y en el se encuentran situados tanto la envolvente como la base.

• El plano (1): es el plano móvil al que pertenecen la ruleta, el perfil y el punto A.• El plano (2): que es el segundo plano móvil compuesto por la normal (n) y la

tangente (t) al perfil y la envolvente en el punto de contacto entre ambas curvas.

A continuación se seguirán los pasos siguientes:• Localización de los 3 polos del movimiento relativo.• Velocidades de cambio de polo en los tres casos.• Bases y ruletas en los movimientos relativos.

Page 46: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

46

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

91

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

A

u10

Base (0) = Fija

Ruleta (1)ω

tptp

t (2)

t (2)

VA

Envolvente (0)

Perfil (1)

n (2)

n (2)

P10

ϕP10: como se ha explicado anteriormente este polo debe estar situado sobre la recta normal en el punto de contacto entre perfil y evolvente. Suponemos su localización así como las curvas Base y Ruleta.

La velocidad de cambio de polo u10debe estar sobre la tangente polar.

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

92

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

P20: Como se ha demostrado (teorema de Hartman) un plano móvil formado por tangente y normal a una trayectoria tiene su polo en el centro de curvatura de la trayectoria. En este caso la trayectoria es la superficie de la curva evolvente.

Además, la base del movimiento 20 será la evoluta de la envolvente y por tanto la velocidad de cambio de polo u20 tendrá la dirección de la recta normal.

A

Base (0) = Fija

Ruleta (1)ω

tptp

t (2)

t (2)

VA

Envolvente (0)

Perfil (1)

n (2)

n (2)

P20

P10

Evoluta de la envolvente (2)

ϕ

u20

u10

Page 47: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

47

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

93

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

P21: Si invertimos el movimiento y la curva fija es el perfil y la móvil la envolvente, siendo el perfil la trayectoria descrita por el punto de corte entre normal y tangente. Por la misma razón que en el caso anterior el polo P21 debe estar situado en el cdc del perfil.

Además, igual que antes, la base del movimiento relativo 21 será la evoluta del perfil y la velocidad de cambio de polo u21será tangente a esta curva.

Sin embargo, esta velocidad será relativa, es decir u21

rel, ya que es la velocidad que observa el observador situado sobre el perfil.

Para obtener la velocidad de cambio de polo total es necesario componerla con la velocidad del punto VA.

A = P21

Base (0) = Fija

Ruleta (1)ω

tptp

t (2)

t (2)

VA

Envolvente (0)

Perfil (1)

n (2)

n (2)

P20

P10

Evoluta del perfil (1)

Evoluta de la envolvente (2)

ϕ

u10

u21rel

u21

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

94

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

A = P21

u

Base (0) = Fija

Ruleta (1)ω

tptp

t (2)

t (2)

VA

Envolvente (0)

Perfil (1)

n (2)

n (2)

P20

P10

Evoluta del perfil (1)

Evoluta de la envolvente (2)

ϕ

u21

u21rel

Como puede observarse, P20, P21 y P10son tres puntos que se mueven permanentemente alineados.

Por tanto, como se demostró anteriormente, se debe cumplir que los extremos de la componentes de la velocidad perpendiculares a la recta que une los tres puntos deben estar alineadas.

Conclusión:Conclusión:Conclusión:Conclusión:

Si los tres puntos están permanentemente alineados se puede aplicar el teorema de Hartman y la fórmula de Euler-Savary. En este caso se denomina a la fórmula: Euler-Savary generalizado:

ctesenAP

1

PP

1

101020

=

+ φ

Page 48: Capitulo IIpersonales.unican.es/sancibrr/Asignaturas/CyDdM/CapII2.pdf · 1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura Capitulo

48

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

95

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Fórmula de EFórmula de EFórmula de EFórmula de E----S GeneralizadoS GeneralizadoS GeneralizadoS GeneralizadoE-S Estándar

A

C

P u

ctesenCP

1

PA

1=

+ φ

E-S Generalizado

A1

Base

Ruleta

tptp

t

t

Envolvente

Perfil

n

n

A0

P

ϕ

ctesenPA

1

PA

1

10

=

+ φ

A0: cdc de la envolvente.

A1: cdc del perfil.

P: Polo entre el plano del perfil y la envolvente.