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Sist. de Comunicaciones Analógicas Año 2004 Unidad 1 Conceptos Introductorios 1

Capítulo 1:

Conceptos Introductorios

1.1 Las Comunicaciones

Desde los tiempos mas remotos, el hombre ha ideado numerosos métodos para podercomunicar a sus semejantes sus pensamientos y necesidades. A medida que lacivilización se esparció sobre áreas geográficas mas extendidas, surgió la necesidad dedesarrollar medios para la comunicación a larga distancia. Sin embargo, recién con elcomienzo de la revolución industrial, se tornó mas urgente el requerimiento de métodosde comunicación a grandes distancias, mas rápidos y precisos. La primera solucióneficaz apareció con el empleo de sistemas de comunicación que utilizaban señaleseléctricas para conducir información de un lugar a otro sobre un par de conductoresmetálicos. El campo de las comunicaciones eléctricas recibió un tremendo impulsodurante y después de la segunda guerra mundial. Desarrollos significativos en esta eraincluyen al radar y los sistemas de microondas, circuitos transistorizados ominiaturizados en pastillas de circuitos integrados, los satélites de comunicaciones, elláser, y la fibra óptica. Hoy en día los sistemas de comunicaciones abarcan todo elplaneta y nos enlazan con aparatos espaciales a enormes distancias de la Tierra,transportando la voz humana, texto imágenes y una variedad de información. Durantelos años de postguerra, se produjo también un gran crecimiento de las industrias decomputación y automatización. Este desarrollo hizo a su vez necesario proveer demedios que permitan la comunicación entre la computadora, u otras máquinas y elhombre. Asimismo, era preciso poder también comunicar a las máquinas entre sí. En lamayoría de los casos, la información a intercambiar entre los hombres y las máquinas, oentre las mismas máquinas es digital o numérica, en contraste con la informaciónpreponderantemente analógica que se intercambia en las comunicaciones entrepersonas. Independientemente de la naturaleza de la información transmitida y delmétodo de transmisión utilizado, un sistema de comunicaciones se puede describir porun mismo modelo para todos los casos tal como veremos en la siguiente sección.

1.1.2 Modelo de Un Sistema de Comunicación.

La fig. 1.1 muestra los bloques funcionales básicos de un sistema de comunicación. Elobjetivo de este sistema es el de transmitir la información desde un punto en el espacioy el tiempo, que se denomina “fuente”, hacia otro punto, el usuario receptor de dichainformación. En general, el mensaje producido por la fuente no es de naturalezaeléctrica. Por lo tanto, se requiere de un transductor de entrada que convierta el mensajeen una cantidad eléctrica., variable en el tiempo, denominada señal mensaje. En el


extremo de destino, un transductor de salida convertirá la señal eléctrica en el mensajeapropiado. La fuente de información y el punto de destino normalmente se encuentranseparados por el espacio. El canal provee la conexión eléctrica necesaria entre ambospuntos de muchas formas. Así, por ejemplo, puede tratarse de un radioenlace demicroondas en el espacio libre, de un par de cables, o de un a fibra óptica.Independientemente de ello, el canal degrada la señal transmitida como resultado de ladistorsión debida a la respuesta imperfecta de este y como consecuencia de la presenciade señales eléctricas no deseadas tales como el ruido y la interferencia.

Dado que el ruido y la distorsión de la señal constituyen dos problemas básicos en lacomunicación eléctrica, tanto el transmisor como el receptor deben ser cuidadosamentediseñados con el objeto de evitar la distorsión de la señal eléctrica y minimizar losefectos del ruido en el receptor y obtener así una fiel reproducción del mensaje emitidopor la fuente. Si bien en algunos casos resulta posible acoplar la salida del transductorde entrada directamente a la entrada del canal, generalmente es necesario procesar ymodificar la señal de entrada para lograr una transmisión eficiente sobre el canal. Eltransmisor realiza esta función a través de operaciones tales como amplificación,filtrado y modulación. La operación mas importante es la de modulación, la cual utilizauna onda portadora.

Sistema de Comunicación

Señal Entrada

Fuente de Transmisor información y transductor de entrada Canal de Comm Eléctrica

Transductor de salida Señal de Salida

Receptor

Figura 1.1

Modulación es el proceso por el cual se realiza la variación sistemática de algún atributode una onda portadora, tal como su amplitud, su fase o su frecuencia, en función de unaonda o señal mensaje o moduladora. Existe una gran cantidad de técnicas demodulación, sin embargo, es posible identificar dos tipos básicos: La modulación deonda portadora continua (generalmente una onda senoidal), y la modulación de pulsos,


en donde la portadora esta constituida por un tren de pulso (generalmente una onda depulsos rectangulares). En ambos casos un parámetro de la onda portadora es modificadosistemáticamente en proporción a la señal mensaje.

Por otra parte, el atributo de la onda portadora puede ser modificado en una formacontinua (modulación analógica) o en forma discreta (modulación digital). Lamodulación digital es un proceso discreto que se adapta mejor a los mensajes de tipodiscretos, como los que se obtienen de la salida de computadoras, fax, etc. Sin embargo,con la ayuda de los procesos de muestreo y de cuantificación, las señales mensajeanalógicas provenientes de mensajes de voz humana o cámaras de televisión, porejemplo, las que son de variación continua, pueden ser transformadas en señalesmensaje discretas y transmitirse a continuación usando técnicas de modulación digital.

La modulación se utiliza en los sistemas de comunicación para adaptar lascaracterísticas de la señal a las características del canal, para reducir los efectos delruido y las interferencias, para poder transmitir simultáneamente varias señales por unmismo canal y para superar algunas limitaciones en los equipos electrónicos utilizadosen los sistemas de comunicación. La principal función del receptor es la de extraer laseñal mensaje de entrada a partir de la versión degradada de la señal transmitida, que seobtiene de la salida del canal. El receptor realiza esta tarea a través del proceso dedemodulación, es decir, la operación inversa a la de modulación en el transmisor.Debido a la presencia de ruido en el receptor, y de otras degradaciones de la señaltransmitida por el canal, el receptor no puede recuperar en forma perfecta a la señalmensaje. Mas adelante, veremos métodos que permiten aproximar la recuperación ideal.Además de la demodulación, el receptor normalmente provee de amplificación yfiltrado.

Para finalizar, basándonos en el tipo de esquema de modulación utilizado, y en lanaturaleza de la salida de la fuente de información, podemos clasificar a los sistemas decomunicación en tres categorías: 1.- Sistemas de comunicación analógicos: diseñados para transmitir informaciónanalógica, utilizando métodos de comunicación analógica.2.- Sistemas de comunicación digital: diseñados para transmitir información digital,utilizando métodos de comunicación digital.3.- Sistemas híbridos: que utilizan esquemas de modulación digital para transmitirvalores muestreados y cuantificados de señales mensaje analógicas.

Otras formas de categorizar los sistemas de comunicación incluyen la clasificaciónbasada en la frecuencia de la onda portadora y en la naturaleza del canal decomunicación.

1.1.3. Historia de las comunicaciones electrónicas

La teoría sobre las comunicaciones electrónicas comenzó a mediados del siglo XIX conel físico inglés, James Clerk Maxwell. Las investigaciones matemáticas de Maxwellindicaron que la electricidad y la luz viajan en forma de ondas electromagnéticas, y por


lo tanto, están relacionadas una con otra. Maxwell predijo que era posible propagar lasondas electromagnéticas por el espacio libre utilizando descargas eléctricas. Sinembargo, la propagación de ondas fue lograda hasta 1888 cuando Heirich Hertz, uncientífico alemán, pudo radiar energía electromagnética desde una máquina que llamabaoscilador. Hertz desarrollo el primer transmisor de radio y usando estos aparatos, pudogenerar radio frecuencias entre 31 MHz y 1.25 GHz. Hertz también desarrolló laprimera antena rudimentaria, la cual aún se usa de manera modificada. En 1892, E.Branly de Francia, desarrolló el primer receptor de radio y exactamente un año despuésun experimentado ruso, A. S. Popoff, grabó ondas de radio emanadas de relámpagos

El primer sistema de comunicaciones electrónicas fue desarrollado en 1837 por SamuelMorse. Morse, usando la inducción electromagnética, pudo transmitir información enforma de puntos, guiones y espacios por medio de un cable metálico. Llamó a suinvento el telégrafo. En 1876, un canadiense educador y terapeuta del lenguaje llamadoAlexander Graham Bell y su asistente, Thomas A Watson (un inventor también muyconocido) transmitieron exitosamente una conversación humana a través de un sistematelefónico funcional usando cables metálicos como medio de transmisión.

En 1894, Guillermo Marconi, un joven científico italiano, logró las primerascomunicaciones electrónicas inalámbricas cuando transmitió señales de radio a trescuartos de milla por la atmósfera de la tierra atravesando la propiedad de su padre. Por1896, Marconi estaba transmitiendo señales de radio hasta dos millas desde los barcos atierra, y en 1899 envío el primer mensaje inalámbrico por el canal de la Mancha deFrancia a Dover, Inglaterra. En 1902, las primeras señales transatlánticas fueronenviadas de Poldu, Inglaterra, a Newfoundland, EE.UU. Lee DeForrest invento el tubode vacío de triodo en 1908, el cual permitió la primera amplificación práctica de lasseñales electrónicas. La emisión regular de la radio comenzó en 1920, cuando lasestaciones de radio AM (amplitud modulada )WWJ en Detroit, Michigan y KDKA enPittsburgh Pennsylvania, EE. UU. comenzado las emisiones comerciales. En 1933, elmayor Edwin Howard Armstrong invento la frecuencia modulada (FM) y la emisióncomercial de la señales FM comenzó en 1936. En 1948, el transistor fue inventado enlos laboratorios de teléfonos Bell por William Shockley, Walter Brattain y JohnBarbeen. El transistor llevó al desarrollo de refinamiento del circuito integrado en ladécada de 1960. En esta decadá se invento el “laser” y se puso en órbita el primersatélite de comunicaciones el “Telstar”.

Aunque los conceptos generales de las comunicaciones electrónicas no han cambiadomucho desde sus comienzos, los métodos por los cuales estos conceptos se hanimplantado han sufrido cambios dramáticos y sorprendentes recientemente, no hayrealmente límites sobre las expectativas para los sistema de comunicaciones electrónicasdel futuro.

1.2.Analisis Espectral

En sistemas de comunicación eléctrica, la señales consideradas son cantidades variablesen el tiempo tales como las tensiones y las corrientes. Por otra parte, los elementos


funcionales de los sistemas de comunicación constituyen redes eléctricas. Tanto lasseñales como las redes eléctricas pueden ser descritas en el dominio del tiempo, dondela variable independiente es el tiempo o en el dominio de la frecuencia donde la variableindependiente es la frecuencia. El análisis espectral es aquella rama de la matemáticaque permite la descripción de señales y sistemas en el dominio de la frecuencia y elestudio de la correspondencia entre la descripción en el dominio frecuencia y ladescripción en el dominio temporal.

Resulta aquí conveniente aclarar que la presentación del tema de análisis espectral enesta sección debe entenderse como un repaso de aspectos principales que serán deutilidad para el desarrollo posterior de otros temas. Un tratamiento completo seencuentra fuera del alcance del presente trabajo, y se supone que el lector ya poseecierta familiaridad con análisis espectral.

Sistemas y señales: un sistema es un conjunto de elementos (o bloques funcionales),conectados entre sí con el fin de alcanzar un determinado objetivo que en el caso de lossistemas de comunicación es el de transferir información. Por otra parte, definimos auna señal como una función ordinaria del tiempo. Las señales que observamosfísicamente (mediante voltímetros, osciloscopios, etc.) tienen valores reales. Sinembargo, dado que ciertos cálculos y modelos matemáticos se simplifican al usarnotación compleja, a menudo utilizaremos notación compleja para tratar señales devalor real.

1.2.1 Clasificación de señales

1.2.1.1 Señales Aleatorias y Determinísticas.

Las señales pueden clasificarse como determinísticas, lo que significa que hay certezacon respecto a su valor en cualquier instante tiempo, o como aleatoria, significando quehay un grado de incertidumbre antes de que ocurra la señal. La señales o formas de ondadeterminísticas son modeladas por expresiones matemáticas explícitas, tales como

ttx 10cos5)( = . Para una forma de onda aleatoria, no es posible describir tal tipo deexpresión explícita. Sin embargo, cuando examinamos a la señal durante un período detiempo suficientemente largo, puede exhibir ciertas regularidades que describen entérminos de promedios estadísticos y probabilidades. Tal modelo, en la forma dedescripción probabilística de un proceso aleatorio y es de particular interés paracaracterizar a las señales y el ruido de los sistemas de comunicación.

1.2.2. Señales periódicas y no periódicas.


Una señal )(tx es llamada periódica en el tiempo, si existe una constante 00 >T en el

que

∞<<∞−+= tparaTtxtx );()( 0 (1.1)

Donde t denota al tiempo. El valor más pequeño de la constante 0T , que satisface la

condición es llamado período de )(tx . El período, 0T , define la duración de un ciclo

completo de x(t). Una señal para el cual no existe un valor de 0T que satisfaga a la

ecuación (1.1) es llamada señal no periódica.

1.2.3 Señales Discretas y Analógicas

Una señal analógica, )(tx , es una función continua del tiempo; esto es, )(tx estádefinida unívocamente para todo t. Una señal analógica eléctrica se obtiene a partir deuna forma de onda física (por ejemplo, la voz humana) que es convertida a una señaleléctrica por medio de un transductor. Por comparación, una señal discreta, )(kTx , esuna que existe sólo en tiempos discretos y está caracterizada por una secuencia denúmeros definidos para cada instante de tiempo, kT , donde k es un entero y T es unintervalo de tiempo fijo.

1.2.4. Señales Potencia y Señales Energía.

Una señal eléctrica puede representarse como un voltaje, )(tv , o una corriente, )(ti , conuna potencia instantánea )(tp sobre un resistor R definida por :

R

tvtp

)()(

2

= (1.2)

O:

Rtitp )()( 2= (1.3)

En los sistemas de comunicación, la potencia generalmente esta normalizadasuponiendo un resistor R de 1 Ohm, aunque R puede tener otro valor en un circuitoreal. Si se necesita el valor real de la potencia, la misma puede obtenerse por"desnormalización" del valor normalizado. Para el caso normalizado, las ecuaciones(1.2) y (1.3) tienen la misma forma. Por ello, amén de que la señal sea de tensión o decorriente, la convención de normalización nos permite expresar la potencia instantáneacomo:


)()( 2 txtp = (1.4)

Donde )(tx es una señal de corriente o de tensión. La energía disipada durante el

intervalo de tiempo ( )2/,2/ TT− por una señal real con potencia instantánea expresadapor la ecuación (1.4) puede entonces se descrita como

∫−=2/

2/

2 )(T

T

Tx dttxE (1.5)

y la potencia promedio disipada por la señal durante un intervalo de tiempo es

∫−=2/

2/

2 )(1 T

T

Tx dttx

TP (1.6)

El desempeño de un sistema de comunicación depende de la energía de la señaldetectada; señales con energía más alta son detectadas en forma más confiable (conmenos errores) que señales con energías bajas, es decir, la energía realiza el trabajo.Por otro lado, la potencia es la tasa a la cual le energía se eroga. Esta es importante pordiferentes razones. La potencia determina la tensión que debe ser aplicada por eltransmisor y las intensidades de los campos electromagnéticos que deben generar lossistemas de radio (por ejemplo, los campos en las guías de onda que conectan altransmisor con la antena y los campos alrededor de los elementos irradiantes de unaantena).

En el análisis de los sistemas de comunicación, usualmente es deseable tratar con laenergía de la forma de onda. Clasificaremos a )(tx como una señal energía sí, y sólo sí,

la misma tiene energía finita y distinta de 0 )0( ∞<< xE para todo tiempo, donde

∫∫∞

∞−−∞→== dttxdttxlimE

T

TTx )()( 22/

2/

2 (1.7)

En el mundo real siempre la señales transmitidas tienen energía finita. Sin embargo,para describir las señales periódicas, las cuales por definición [Ecuación (1.1)] es queexisten para todo tiempo y así tienen energía infinita y a fin de tratar con señalesaleatorias que tienen energía infinita, es conveniente definir una clase de señalesllamadas señales potencia. Una señal se define como señal potencia si, y sólo si, lamisma tiene potencia finita y distinta de 0 )0( ∞<< xP para todo tiempo, donde

∫−∞→=

2/

2/

2 )(1 T

TTx dttx

TlimP (1.8)

Las clasificaciones de señal como energía y potencia son mutuamente excluyentes. Unaseñal energía tiene energía finita, pero promedio de potencia 0, mientras que una señalpotencia tiene un promedio de potencia finito, pero energía infinita. Una forma de ondaen un sistema puede ser descrita ya sea por sus valores de potencia o de energía. Comoregla general, una señal periódica y una señal aleatoria son clasificadas como señales


potencia, mientras que la señales que nacen como determinísticas y no periódicas se lesclasifica como señales energía.

Como se mencionó previamente, la potencia y la energía de una señal son parámetrosimportantes en la especificación de un sistema de comunicaciones. La clasificación deuna señal como energía o potencia es un modelo conveniente para facilitar eltratamiento matemático de varias señales y de ruidos.

1.2.5. La función de impulso unitario.

Una función útil en la Teoría de la Comunicación es la función impulso unitario o deltade Dirac, δ(t). La función impulso es una abstracción, el impulso es de amplitudinfinitamente grande, con un ancho 0, y peso unitario (el área bajo el pulso),concentrada en el punto donde su argumento es 0. El impulso unitario está caracterizadopor las siguientes relaciones:

1)( =∫∞

∞−dttδ (1.9)

00)( ≠= tparat Kδ (1.10)

)(tδ no tiene límites para 0=t (1.11)

)()()( 00 txdttttx =−∫∞

∞−δ (1.12)

La función de impulso unitario, )(tδ , no es una función en el sentido usual. Cuando las

operaciones involucran a δ(t), la convención es interpretar a δ(t) como un pulso de áreaunitaria de amplitud finita y duración distinta de cero, después de esto, al límite se loconsidera como la duración del pulso que se aproxima a 0. δ(t-to) puede versegráficamente con un pico localizado en 0tt = con una altura igual al su área o integral.

Así, )(tAδ con A constante, representa una función impulso cuya área, o peso, es igual

a A , la cual es cero en cualquier lugar excepto en 0tt = .

La ecuación (1.12) es conocida como la propiedad de desplazamiento o muestreo deuna función de impulso unitario; la multiplicación por el impulso unitario realiza unamuestra de la función x(t) evaluada en 0tt = .

1.3 Densidad espectral

La densidad espectral de una señal caracteriza la distribución de energía o de potenciade la señal en el dominio de la frecuencia. Este concepto es particularmente importante


cuando consideramos el filtrado en los sistemas de comunicación. Necesitamos sercapaces de evaluar la salida del filtro tanto de señal como de ruido. La densidadespectral de energía (ESD) o la densidad espectral de potencia (PSD) serán usadas en laevaluación.

1.3.1 Densidad Espectral de Energía

La energía total de una señal energía de valor real x(t), definida sobre el intervalo),( ∞−∞ , es descrita por una ecuación (1.7). Usando el Teorema de Parseval, podemos

relacionar la energía de la señal expresada en el dominio del tiempo con la energía de lamisma expresada en el dominio de la frecuencia, como sigue:

∫∫∞

∞−

∞

∞−== dffXdttxEx

22 )()( (1.13)

donde X(f) es la transformada de Fourier de una señal no periódica x(t) (ver el apéndiceA para una revisión de las técnicas de Fourier). Sea )( fxΨ que denota la magnitud al

cuadrado del espectro, definido como 2

)()( fXfx =Ψ (1.14)

La cantidad )( fxΨ es la densidad espectral de energía de la forma de onda (ESD) de la

señal )(tx . Por ello, a partir de la ecuación (1.13), podemos expresar el total de energíade la señal )(tx integrando la densidad espectral respecto de la frecuencia, como sigue:

∫∞

∞−Ψ= dffE xx )( (1.15)

esta ecuación establece que la energía de una señal es igual al area bajo la curva de)( fxΨ en función de la frecuencia. La densidad de espectral de energía describe la

energía de la señal por unidad de ancho de banda, medida en joules/hertz. Hay unacontribución equilibrada entre ambos ejes de la frecuencia, tanto positivo comonegativo, ya que para una señal real, )(tx , )( fX es una función par de la frecuencia.

Por ello, la densidad espectral de energía es simétrica en la frecuencia respecto delorigen, y de este modo, el total de energía de la señal )(tx puede expresarse como:

∫∞Ψ=

0)(2 dffE xx (1.16)

1.3.2. Densidad Espectral de Potencia

La potencia promedio, xP , de una señal )(tx de valor real, se define en la ecuación (1.8).

Si )(tx es una señal periódica con período 0T , ésta se clasifica como señal potencia. La

expresión de la potencia promedio de una señal periódica toma la forma de la ecuación(1.6), donde el tiempo promedio se toma sobre el período de señal 0T , como sigue:


∫−=2/

2/

2

0

0

0

)(1 T

Tx dttxT

P (1.17 a)

El teorema de Parseval para una señal periódica de valor real toma la forma:

22/

2/

2

0

0

0

)(1 ∑∫

∞

−∞=−

==n

n

T

Tx cdttxT

P (1.17 b)

Donde nc son los coeficientes complejos de Fourier de la señal periódica (ver

apéndice A).

Para aplicar la ecuación (1.17 b), sólo necesitamos conocer la magnitud de loscoeficientes, nc . La densidad espectral de potencia (PSD), )( fGx , de una señal

periódica, )(tx , es real, par y no-negativa en el eje de la frecuencia que da unadistribución de potencia de )(tx , en el dominio de la frecuencia, definido como:

)()( 0

2

nffcfGn

nx −= ∑∞

−∞=

δ (1.18)

La ecuación (1.18) define a la densidad espectral de potencia de una señal periódica,)(tx , como una sucesión de funciones delta ponderadas. Por ello, la densidad espectral

de potencia de una señal periódica es una función discreta de la frecuencia. Usando ladensidad espectral de potencia definida en la ecuación (1.18), podemos escribir lapotencia normalizada promedio de una señal de valor real, como sigue:

∫∫∞∞

∞−==

0)(2)( dffGdffGP xxx (1.19)

La ecuación (1.18) describe a la PSD de una señal periódica (potencia). Si )(tx es unaseñal no periódica, la misma no puede expresarse por las series de Fourier, y si es unaseñal no periódica potencia (teniendo energía infinita) puede no tener una transformadade Fourier. Sin embargo, aún podemos expresar la densidad espectral de potencia detales señales en el límite. Si formamos una versión truncada, )(txT , de una señal

potencia no periódica, )(tx , observando sólo en el intervalo ( )2/,2/ TT− , entonces

)(txT tiene un energía finita, y tiene una transformación de Fourier apropiada, )( fX T .Se puede demostrar que la densidad espectral de potencia de una señal no periódica

)(tx , puede ser definida en el límite como:

2)(

1)( fX

TlimfG TT

x ∞→= (1.20)

Ejemplo 1.1 potencia promedio normalizada.


(a) Encuentre la potencia normalizada promedio de una forma de onda ,tfAtx 02cos)( π= usando promediación temporal.

(b) Repetir la parte (a) usando la suma de los coeficientes espectrales.

Solución.

(a) Usando la ecuación (1.17 a), tenemos que

( )

( )22

4cos12

2cos1

2

00

2

2/

2/ 00

2

2/

2/ 022

0

AT

T

A

dttfT

A

tdtfAT

P

To

To

To

Tox

==

+=

=

∫

∫

−

−

π

π

(b) Usando las ecuaciones (1.18) y (1.19) tenemos que

)()( 0

2

nffcfGn

nx −= ∑∞

−∞=

δ

211

Acc == −

0=nc para ,...3,2,0 ±±=n

( ) ( )0

2

0

2

22)( ff

Aff

AfGx +

+−

= δδ

2)(

2AdffGP xx == ∫

∞

∞−

1.4. Autocorrelación.

1.4.1 Autocorrelación de una señal energía.

La autocorrelación es una medida de comparación; autocorrelación se refiere a cuansimilar es una señal a una versión retardada de sí misma. La función de autocorrelación,

)(τxR , de una señal energía de valor real, )(tx , está definida por :


∫∞

∞−+= dttxtxRx )()()( ττ (1.21)

La función de autocorrelación, )(τxR , provee una medida de cuánto se asemeja una

señal a una copia de sí misma, desplazada τ unidades de tiempo. La variable τ juega elrol de un parámetro de exploración o búsqueda. )(τxR no es una función del tiempo;

solo es una función de la diferencia del tiempo, τ , entre la forma de onda y su copiadesplazada.

La función autocorrelación de una señal energía de valor real tiene las siguientespropiedades:

1. )()( ττ −= xx RR Es simétrica alrededor de 0

2. )0()( xx RR ≤τ para todo τ El valor máximo ocurre en el origen.

3. )()( fR xx Ψ↔τ La autocorrelación y la densidad espectral de

energía forman un para transformado de Fourier,designado por las flechas hacia ambos lados.

4. ∫∞

∞−= dttxRx )()0( 2 El valor en el origen es igual a la energía de la

señal.

Si los ítems 1 hasta 3 son satisfechos, )(τxR satisface la propiedad de una función de

autocorrelación. La propiedad 4 puede derivar de la propiedad 3 y así no necesitaincluirse como un test básico.

1.4.2 Autocorrelación de una Señal Periódica (Potencia).

La función de autocorrelación de una señal potencia de valor real )(tx está definidacomo

∫−∞→+=

2/

2/)()(

1)(

T

TTx dttxtx

TlimR ττ ∞<<∞− τpara (1.22)

Cuando la señal potencia, )(tx , es periódica con período 0T , la promediación temporal

en la ecuación (1.22) puede tomarse solamente sobre un solo período, 0T y la función

de autocorrelación puede expresarse como sigue:

∫− +=2/

2/0

0

0

)()(1

)(T

Tx dttxtxT

R ττ ∞<<∞− τpara (1.23)


La función autocorrelación de una señal periódica de valor real tiene las siguientespropiedades similares a las señales energía:

1. )()( ττ −= xx RR Simetría respecto de cero.

2. )0()( xx RR ≤τ para todo τ El valor máximo ocurre en el origen.

3. )()( fGR xx ↔τ La autocorrelación y la densidad espectral de

potencia forman un para transformado de Fourier,designado por las flechas hacia ambos lados.

4. ∫−=2/

2/

2

0

0

0

)(1

)0(T

Tx dttxT

R El valor en el origen es igual a la potencia

promedio de la señal.

1.5 Señales Aleatorias.

El principal objetivo de un sistema de comunicación es el de transferir informaciónsobre un canal. Todas las señales mensaje son aleatorias; esto es, el receptor no conoce,a priori, cuál de las posibles formas de onda ha sido transmitida. Además, el ruidodebido a señales aleatorias eléctricas acompaña a la señal mensaje. Por este motivo,necesitamos formar descripciones eficientes de las señales aleatorias.

1.5.1. Variables Aleatorias

Sea una variable aleatoria, )(AX , la misma representa una relación funcional entre unelemento aleatorio, A , y un número real. Por conveniencia en la notación,designaremos a la variable aleatoria por X , y sea la dependencia funcional sobre Aimplícita. La variable aleatoria puede ser discreta o continua. La función distribución,

)(xFX , de una variable aleatoria, X , está dada por

)()( xXPxFX ≤= (1.24)

Donde )( xXP ≤ es la probabilidad de que el valor tomado por la variable aleatoria, X ,

sea menor o igual al valor del número real, x . La función distribución, )(xFX , tiene lassiguientes propiedades:

1. 1)(0 ≤≤ xFX

2. )()( 21 xFxF XX ≤ si 21 xx <

3. 0)( =−∞XF


4. 1)( =+∞XF

Otra relación funcional útil de la variable aleatoria, X , es la función densidad deprobabilidad (fdp o pdf), denotada por )(xp X , donde

dx

xdFxp X

X

)()( = (1.25)

Como en el caso de la función distribución, la pdf es una función de un número real, x .Se llega al nombre "función densidad" por el hecho de que la probabilidad de un evento

21 xXx ≤≤ es igual a:

( ) ( ) ( )1221 xXPxXPxXxP ≤−≤=≤≤

∫=

−=

2

1

)(

)()( 12

x

x X

XX

dxxp

xFxF

la función densidad de probabilidad tiene las siguientes propiedades

1. 0)( ≥xp X

2. ∫∞

∞−−∞−+∞= )()()( XXX FFdxxp = 1

Así, la función densidad de probabilidad es siempre una función no negativa con unárea total igual a uno. A lo largo de este apunte designaremos como )(xp X a la funcióndensidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. Para facilidad en lanotación, usualmente omitimos a X , y escribiremos simplemente, )(xp . Usaremos la

designación )( ixXP = para la probabilidad de una variable aleatoria , X , donde X

toma sólo valores discretos.

1.5.1.1. Promedios Estadísticos o de Conjunto.

El valor medio, xm , o valor esperado de una variable aleatoria, X , definido por

{ } ∫∞

∞−== dxxxpXEmX )( (1.26)


donde { }•E es llamado operador de valor esperado. El momento enésimo de unadistribución de probabilidad de una variable aleatoria, X , está definido por:

{ } ∫∞

∞−= dxxpxXE X

nn )( (1.27)

Para el propósito de análisis de los sistemas de comunicación, los momentos másimportantes de X son el primero y segundo momento. Así , 1=n en la ecuación (1.27)da Xm como se dijo previamente, mientras que 2=n da el valor cuadrático medio deX , como:

{ } ∫∞

∞−= dxxpxXE X )(22 (1.28)

También podemos definir a los momentos centrales, los cuales son los momentos de ladiferencia entre X y Xm . El segundo momento central, llamado varianza de X , estádefinido como:

{ } ∫∞

∞−−=−= dxxpmxmXEX XXX )()()()var( 22 (1.29)

A la varianza de X se la denota también como 2Xσ , y su raíz cuadrada, Xσ , es llamada

desviación estándar de X . La varianza es una medida de cuán “aleatoria” es la variablealeatoria X . Especificando a la varianza de la variable aleatoria, estaremos acotando ala función densidad de probabilidad. La varianza y el valor cuadrático medio estánrelacionados por:

{ }{ } { }{ } 22

22

222

2

2

X

XX

XXX

mXE

mXEmXE

mXmXE

−=

+−=

+−=σ

Así, la varianza es igual a la diferencia entre el valor cuadrático medio y el cuadrado dela media.

1.5.2. Procesos aleatorios

Un proceso aleatorio, ),( tAX , puede ser visto como una función de dos variables, unevento A , y un tiempo. La figura 1.2 ilustra un proceso aleatorio. En la figura seobservan N funciones muestra de tiempo, { })(tX j . Cada una de las funciones muestra

puede ser por ejemplo, la salida de un generador de ruido. Para un evento específico,

jA , tenemos una función simple de tiempo, )(),( tXtAX jj = (por ejemplo, una función

muestra). A la totalidad de las funciones muestra se la llama un conjunto. Para un


tiempo específico, kt , ),( ktAX es una variable aleatoria )( ktX , cuyo valor depende

del evento. Finalmente, para un evento específico, jAA = y un tiempo específico ktt = ,

),( kj tAX es simplemente un número.

)(1 tX

)(2 tX

)(tX j

)(tX N

tk

Figura 1.2: Proceso aleatorio de ruido

Por conveniencia en la notación, designaremos al proceso aleatorio crelación funcional sobre A será implícita.

1.5.2.1. Promedios estadísticos de un proceso aleatorio.

Ya que el valor de un proceso aleatorio en cualquier instante futuro eidentidad de un evento A es desconocida), un proceso aleatorio distribución son continuas puede ser descrito estadísticamente con unade probabilidad (pdf). En general, la forma de la pdf de un procediferente en diferentes tiempos. En muchas situaciones no es poimplícitamente la función de probabilidad de un proceso aleatorio. Sdescripción parcial consistente en la media y la autocorrelación,adecuadas para las necesidades del análisis de los sistemas de comunica la media de un proceso aleatorio, )(tX , como:

FuncionesMuestra

N° realx

omo: )(tX , y la

s desconocido (lacuyas funciones

función densidadso aleatorio serásible determinarin embargo, una

usualmente sonación. Definimos

Tiempo


{ } )()()( kXXk tmdxxpxtXEk

== ∫∞

∞− (1.30)

Donde )( ktX es la variable aleatoria obtenida observando el proceso aleatorio en el

instante del tiempo kt , y la pdf de )( ktX , la densidad sobre el conjunto de eventos en el

tiempo kt , se designa como: )(xpkX .

Definimos a la función de autocorrelación de un proceso aleatorio, )(tX , que sea una

función de dos variables, 1t y 2t , como:

{ })()(),( 2121 tXtXEttRX = (1.31)

Donde )( 1tX y )( 2tX son variables aleatorias obtenidas observando a )(tX en los

instantes de tiempo 1t y 2t , respectivamente. La función de autocorrelación es unamedida del grado en que están relacionadas dos muestras temporales de una mismaseñal.

1.5.2.2. Estacionaridad

Un proceso aleatorio )(tX se dice estacionario en el sentido estricto (SSS: stationary inthe stric sense) si ninguno de sus promedios estadísticos es afectado por undesplazamiento en el tiempo desde el origen. Un proceso aleatorio se dice estacionarioen el sentido amplio (WSS: wide sense stationary) si dos de sus promedios estadísticos,su media y autocorrelación, no varían en un desplazamiento en el tiempo desde elorigen. Así, el proceso es WSS si:

{ } == XmtXE )( constante (1.32)

Y

)(),( 2121 ttRttR XX −= (1.33)

Que un proceso sea estacionario en sentido estricto implica que es estacionario sentidoamplio, pero la inversa no se cumple. Muchos de los resultados útiles en materia decomunicaciones se basan en señales de información aleatorias y de ruidos que sonestacionarios en sentido amplio. Desde un punto de vista práctico, no es necesario queun proceso aleatorio sea estacionario en todo tiempo, sólo en el intervalo de observaciónde interés.

Para procesos estacionarios, la función de autocorrelación en la ecuación (1.33) nodepende del tiempo pero sí de la diferencia de tiempo 1t , 2t . Esto es, todos los pares de

valores que )(tX en puntos separados por 21 tt −=τ tienen el mismo valor de


correlación. Así, para los sistemas estacionarios, podemos de notar ),( 21 ttRx

simplemente como )(τxR .

1.5.2.3 Autocorrelación de un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio.

Así como la varianza provee una medida de cuán aleatoria es una variable aleatoria, lasfunción de autocorrelación provee una medida similar para los procesos aleatorios. Paraun proceso aleatorio en sentido amplio, la función de autocorrelación es sólo unafunción de la diferencia de tiempo 21 tt −=τ , esto es,

{ })()()( ττ += tXtXERX para ∞<<∞− τ (1.34)

Para los procesos WSS de medida cero, )(τxR indica la extensión sobre la cual los

valores aleatorios del proceso separado por τ segundos están estadísticamentecorrelacionados. En otras palabras, )(τxR da una idea de la respuesta frecuencial que

está asociada con el proceso aleatorio. Si )(τxR cambia lentamente con el incremento

de τ desde cero hacía algún valor, esto indica que, en promedio, los valores muestra de)(tX tomados a 1tt = y τ+= 1tt son prácticamente el mismo. Así, podríamos esperar

que la representación del dominio de la frecuencia de )(tX contenga una

preponderancia de bajas frecuencias. Por otro lado, si )(τxR decrece rápidamente a

medida que se incrementa τ, podríamos esperar que )(tX cambiara rápidamente con eltiempo y por ello, el contenido en las altas frecuencias sea preponderante.

Las propiedades de la función de autocorrelación de un proceso estacionario sentidoamplio de valor real son:

1. )()( ττ −= xx RR Es simétrica en τ alrededor de 0

2. )0()( xx RR ≤τ ; para todo τ El valor máximo ocurre en el origen.

3. )()( fGR xx ↔τ La autocorrelación y la densidad espectral de

potencia forman un par transformado de Fourier,designado por las flechas hacia ambos lados.

4. { })()0( 2 tXERx = El valor en el origen es igual a la potencia

promedio de la señal.

1.5.3. Promediación Temporal y Ergodicidad.


Para calcular Xm y )(τxR mediante promedios de conjunto, tendríamos que promediar

a lo largo de todas las funciones muestra del proceso y necesitar tener un completoconocimiento de las funciones densidad de probabilidad conjunta de primero y segundoorden. Tal conocimiento no siempre está disponible.

Cuando un proceso aleatorio pertenece a una clase especial, conocida como procesoergódico, sus promedios temporales igualan sus promedios de conjunto, y laspropiedades estadísticas del proceso pueden ser determinadas mediante la promediacióntemporal sobre una sola función muestra del proceso. Para que un proceso aleatorio seaergódico, el mismo debe ser estacionario en sentido estricto. Sin embargo, para lossistemas de comunicación, donde se cumple las condiciones de estacionario en sentidoamplio, sólo estamos interesados en la media y la autocorrelación.

Podemos decir que un proceso aleatorio es ergódico en la media si

∫−∞→=

2/

2/)(

1 T

TTX dttX

Tlimm (1.35)

y es ergódico en la función de autocorrelación si

∫−∞→+=

2/

2/)()(

1)(

T

TTX dttXtX

TlimR ττ (1.36)

Comprobar la ergodicidad de un proceso aleatorio normalmente es muy complejo. En lapráctica, se realiza un juicio intuitivo sobre si es razonable intercambiar los promediosde conjunto y los promedios temporales. Una suposición razonable en el análisis demuchas señales de comunicación, en ausencia de efectos transitorios, es que las formasde onda eléctricas son ergódicas en la media y en la función de autocorrelación. Ya quelos promedios temporales son iguales a los promedios de conjunto para los procesosergódicos, los parámetros fundamentales en Ingeniería Electrónica, tales como el valorde corriente continua, el valor rms, y la potencia promedio pueden relacionarse con losmomentos de un proceso aleatorio ergódico. A continuación se muestra un resumen deestas relaciones.

1. La cantidad { })(tXEmX = es igual al valor de corriente continua de la señal.

2. La cantidad 2Xm es igual a la potencia normalizada de la componente de corriente

continua.

3. El segundo momento de )(tX , { })(2 tXE , es igual a la potencia promedio totalnormalizada.

4. La cantidad { })(2 tXE es igual al valor raiz cuadrática media (rms) del voltaje o la

corriente de la señal.


5. La varianza, 2Xσ , es igual a la potencia promedio normalizada de la componente de

corriente alterna de la señal.

6. Si el proceso tiene media 0 (es decir 02 == XX mm ), entonces { }22 XEX =σ , y lavarianza es igual al valor cuadrático medio, o la varianza representa la potencia totalsobre una carga normalizada.

7. La desviación estándar, Xσ , es el valor rms de la componente de corriente alterna dela señal.

8. Si 0=Xm , entonces Xσ es el valor rms de la señal.

1.5.4. Densidad Espectral de Potencia de un Proceso Aleatorio.

Un proceso aleatorio, )(tX , generalmente puede ser clasificado como una señal

potencia teniendo una densidad espectral de potencia (PSD), )( fGx , de la forma

mostrada el ecuación (1.20). )( fGx es particularmente útil en los sistema de

comunicación, ya que la misma describe la distribución de la potencia de la señal en eldominio de la frecuencia. La densidad espectral de potencia nos permite evaluar lapotencia de la señal que pasa a través de una red, siendo conocidas sus característicasfrecuenciales. Resumimos las principales características de la las funciones PSD comosigue.:

1. 0)( ≥fGX Es siempre de valor real

2. )()( fGfG XX −= Para )(tx de valor real

3. )()( τXX RfG ↔ La densidad espectral de potencia y la autocorrelaciónforman un par transformado de Fourier.

4. ∫∞

∞−= dffGP XX )( Las relaciones entre el promedio de potencia normalizada

y la densidad espectral de potencia normalizada PSD.

La figura 1.3a ilustra una función de onda muestra de un proceso aleatorio WSS, X(t).La forma de onda es una secuencia de pulsos aleatorios binarios con una amplitudunitaria positiva y negativa (bipolar). Los pulsos positivos y negativos ocurren con igualprobabilidad. La duración de cada dígito binario es que T segundos y el valor promediode corriente continua de la secuencia aleatoria es 0. La figura 1.3 b muestra la mismasecuencia desplazada 1τ segundos en el tiempo; esta secuencia se denota como

)( 1τ−tX . Supongamos que )(tX sea ergódico en la función de autocorrelación, tal quepodamos usar los promedio temporales en lugar de los promedios de conjunto paraencontrar )(τxR . El valor de )( 1τxR se obtiene tomando el producto de dos secuencias


)(tX y )( 1τ−tX y encontrando el valor promedio usando la ecuación (1.36). Laecuación (1.36) es correcta para los procesos ergódicos sólo en el límite cuando ∞→T .Sin embargo, la integración sobre un número entero de períodos puede proveernos unaestimación de )(τxR . Se debe notar que )( 1τxR puede obtenerse mediante un

desplazamiento positivo o negativo de )(tX . La figura 1.3c ilustra el cálculo, usandouna secuencia muestra simple (figura 1.3a) y su réplica desplazada (figura 1.3b). Lasáreas ralladas bajo la curva del producto )()( 1τ−tXtX contribuyen con los valorespositivos del producto y las líneas marcadas con puntos, contribuyen a los valoresnegativos. Las secuencias pueden ser aún desplazadas por ,..., 32 ττ , ... , cada una para

dar un punto en la función de autocorrelación completa )(τxR , como se muestra en la

figura 1.3d. Cada secuencia aleatoria del flujo de bits tiene una gráfica deautocorrelación de la forma general mostrada en la figura 1.3 d. El pico en el gráfico seencuentra en )0(xR , (la mejor adaptación ocurre cuando τ es igual cero, ya que

)0()( xx RR ≤τ para todo τ) y la misma declina a medida que se incrementa τ. La figura

1.3d muestra los puntos correspondientes a )0(xR y )( 1τxR .

La expresión analítica para la función de autocorrelación )(τxR mostrada en la figura

1.3d, es:

≥

≤−

=

Tpara

TparaT

Rx

τ

ττ

τ0

1

)( (1.37)

La función de autocorrelación nos permite expresar la densidad espectral de potencia deuna señal aleatoria en forma directa. Ya que la PSD y la función de autocorrelaciónconforman un par transformado de Fourier, la PSD, )( fGX , de una secuencia aleatoria

binaria puede encontrarse usando la tabla A.1. como la transformación de )(τxR en la

ecuación (1.37). )( fGX se muestra debajo, y su forma general se ilustra en la figura1.3e.

TfsincTTf

TfTfGX

2

2sen

)( =

=

ππ

(1.38)

Donde

y

ysinysinc

ππ

= (1.39)

Note que el área bajo la curva de la densidad espectral de potencia representa a lapotencia promedio de la señal. Una medida conveniente del ancho de banda es el ancho


del lóbulo espectral principal. La figura 1.3 e ilustra que el ancho de banda de una señales inversamente proporcional a la duración del símbolo o el ancho del pulso. La figura1.3f~j repite los pasos vistos en las figuras 1.3a~e, excepto que la duración del bit esmás corta. La forma de )(τxR , para los bits mas cortos, que se observa en la figura 1.3i

es más angosta, que las formas para )(τxR de duración más larga, mostrado en la figura

1.3d. En la figura 1.3i, 0)( 1 =τxR ; en otras palabras, un desplazamiento de 1τ en el

caso del ejemplo de duración más corta es suficiente para producir una adaptación 0, ouna completa descorrelación entre las secuencias desplazadas. Ya que la duración delpulso, T , es más corta en la figura 1.3f, y la tasa de bit es más alta que en la figura 1.3a,la ocupación de ancho de banda en la figura 1.3 j es mayor que el ancho de bandaocupado en las figuras 1.3e para una tasa de bit más baja.


Figura 1.3: Autocorrelación y Densidad Espectral de Potencia


Figura 1.3 Continuación


1.5.5. El Proceso Aleatorio Ruido en los sistemas de comunicación.

El término ruido se refiere a una señal eléctrica no deseada que esta siempre presente ensistemas eléctricos. La presencia de ruidos superpuestos con una señal tiende aobscurecer o enmascarar a la señal; esto limita la capacidad receptor para tomardecisiones correctas, por lo tanto, limita la taza a la que se puede transmitir información.El ruido proviene de una gran variedad de fuentes de origen humano o natural. Losruidos de origen humano incluyen fuentes tales como el ruido de las bujías de ignición,los transitorios de conmutación y otras señales electromagnéticas. El ruido naturalincluye a los componentes eléctricos del circuito, los disturbios atmosféricos y lasfuentes galácticas

Un buen diseño de ingeniería puede eliminar mucho del ruido indeseable mediante elfiltrado, blindado, elección de una modulación en particular y la selección de un lugarapropiado para el receptor. Por ejemplo, las medidas en radio astronomía de altasensibilidad se localizan normalmente en desiertos remotos lejos de las fuentes de ruidohumanas. Sin embargo, hay una fuente de ruido natural, llamada ruido térmico o ruidoJohnson que no puede ser eliminada. El ruido térmico es causado por el movimientotérmico de los electrones en todos los componentes disipadores (resistores), cables porejemplo. Los mismos electrones que son responsables de la corriente eléctrica tambiénson los responsables del ruido térmico.

Podemos describir al ruido térmico como un proceso aleatorio Gaussiano de medidacero. Un proceso de Gaussiano, n(t), es una función aleatoria cuyo valor, en cualquiertiempo, t, está caracterizado estadísticamente por la función densidad de probabilidadGaussiana, p(n):

−=

2

2

1exp

2

1)(

σπσn

np (1.40)

Donde σ2 es la varianza de n. La función densidad gaussiana normalizada oestandarizada de medida cero es obtenida suponiendo que σ = 1. Esta pdf normalizadase muestra en el diagrama de la figura 1.7.

Normalmente representaremos a una señal aleatoria como la suma de ruido gaussianovariable aleatorio con una componente de señal de corriente continua:

naz +=

Donde z es una señal aleatoria, para la componente de corriente continua, y n el ruidogaussiano variable aleatoria. La pdf p(z) es entonces expresada como

−

−=2

2

1exp

2

1)(

σπσaz

zp (1.41)


Donde, como anteriormente, σ2 es la varianza de n. La distribución Gaussianausualmente usada como un modelo de sistema de ruido debido a un teorema, llamadoteorema del límite central, el cual establece que bajo condiciones muy generales ladensidad de probabilidad de la suma de j variables aleatorias estadísticamenteindependientes, se aproxima a una distribución Gaussiana, cuando j → ∞, sin importarcuales sean las distribuciones individuales de las funciones de la suma. Por ello, aunquelos ruidos individuales puedan tener otras distribuciones que no sean Gaussianas, elagregado de muchas señales tenderá a tener una distribución gaussiana.

−=

2

2

1exp

2

1)(

σπσn

np

Figura 1.7: Función densidad de Probabilidad Gaussiana Normalizada (σ = 1)

1.5.5.1 Ruido Blanco

La principal característica del ruido térmico es que su densidad espectral de potencia esla misma para todas las frecuencias de interés en la mayoría de los sistemas decomunicaciones; en otras palabras, las fuentes de ruido térmico emiten un monto igualde potencia por unidad de ancho de banda, para todas las frecuencias desde la corrientecontinua hasta alrededor de 1012 Hz. Por este motivo, un modelo simple para el ruidotérmico supone que la densidad espectral potencia )( fGn es plana para todas las

frecuencias, como se muestra en la figura 1.8a, y se denota como sigue:

2)( 0N

fGn = watt/hertz (1.42)

Donde el factor 2 se incluye para indicar que )( fGn es la densidad espectral potencia

doble lado. Cuando la potencia de ruido es tal que la densidad espectral es uniforme,nos referimos a ella como ruido blanco. El adjetivo “blanco” se usa el sentido que la


luz contiene iguales montos para todas las frecuencias, dentro del ancho de bandavisible del espectro de radiación electromagnética.

La función de autocorrelación del ruido blanco está dada por la transformada inversa deFourier de la densidad espectral de potencia del ruido, (ver tabla A.1) denotada comosigue:

{ } )(2

)()( 01 τδτ NfGR nn == − F (1.43)

Así, la autocorrelación del ruido blanco es una función delta ponderada por el factorNo/2 y ocurriendo en 0=τ , como se ve en la figura 1.8b. Notar que )0(nR es cero para

0≠τ ; esto es, dos muestras cualesquiera de ruido blanco, no importa cuán cercanasestén una de la otra en el tiempo, estas están absolutamente no correlacionadas.

La potencia promedio, nP , del ruido blanco es infinita porque su ancho de banda es

infinito. Esto puede verse combinando las ecuaciones (1.19) y (1.42) para dar:

∫∞

∞−∞== df

NPn 2

0 (1.44)

Figura 1.8: (a) Densidad espectral de Potencia del Ruido Blanco (b) Función de autocorrelacióndel ruido blanco

Aunque el ruido blanco es una abstracción útil, ningún ruido o proceso de ruido puedeser absolutamente blanco, sin embargo, el ruido encontrado en muchos sistema reales sesupone que es aproximadamente blanco. Podemos observar al ruido después de que ésteha pasado a través de un sistema real, el cual tendrá una ancho de banda finito. Así, yaque el ancho de banda de ruido es apreciablemente mayor que el del sistema, el ruidopuede ser considerado blanco y que tiene un ancho de banda infinito.

La función delta en la ecuación (1.43) significa que la señal de ruido, )(tn , estátotalmente no correlacionada de una versión de sí misma desplazada en el tiempo, paracualquier 0>τ . La ecuación (1.43) indica que cualesquiera dos muestras diferentes deruido blanco están no correlacionadas. Ya que el ruido térmico es un proceso Gaussianoy las muestras no están correlacionadas, las muestras de ruido también sonindependientes. Por este motivo, el efecto en el proceso de detección de un canal con


ruido blanco aditivo y Gaussiano (AWGN) es que el efecto del ruido sobre cada símbolotransmitido es independiente. Tal canal es llamado canal sin memoria. El término"aditivo" significa que el ruido simplemente se superpone o se suma a la señal, esto es,que no hay un mecanismo multiplicativo en juego.

Ya que el ruido blanco está presente en todos los sistemas de comunicación y es lafuente preponderante de ruido en sistema para la mayoría de estos, las características deruido térmico, aditivo, blanco, y gaussiano, usualmente son muy usadas en los modelosde los sistemas de comunicación. Ya que el ruido gaussiano de media cero estácompletamente caracterizado por su varianza, este modelo es particularmente simplepara usar en la detección de señales y en el diseño de receptores óptimos. Supondremos,a menos que se establezca lo contrario, que el sistema está siendo afectado por ruidoGaussiano aditivo blanco de media cero, aunque a veces esto sea solamente unasimplificación.

1.6. Transmisión de señales a través de sistemas lineales.

Entrada Red Salida

x(t) h(t) y(t) X(f) H(f) Y(f)

Figura 1.9: Sistema lineal y sus parámetros clave.

Habiendo desarrollado un grupo de modelos de señal y de ruido, vamos a considerarahora la caracterización de sistemas y sus efectos en tales señales y ruidos. Ya que unsistema puede ser caracterizado de igual manera en el dominio del tiempo o en eldominio de la frecuencia, las técnicas serán desarrolladas en ambos dominios paraanalizar la respuesta de los sistemas lineales a una entrada de señal arbitraria. La señal,aplicada la entrada del sistema, como se muestra en la figura 1.9, puede describirse yasea como señal en el dominio del tiempo x(t), o por su transformada de Fourier, X(f). Eluso del análisis en el dominio del tiempo nos permite obtener una salida en el dominiodel tiempo, y(t), y quedará definida por h(t), la característica de respuesta impulsiva dela red. Cuando la entrada es considerada en el dominio de la frecuencia, definimos a unafunción de transferencia de frecuencia, H(f), para el sistema, la cual determina la salidaen el dominio de la frecuencia, Y(f). Se supone que el sistema es lineal, no variante en eltiempo. También se supone que no hay energía almacenada en el sistema en el momentode que se aplica la entrada.

1.6.1. Respuesta Impulso

Redlineal


El sistema o red lineal no variante en el tiempo, ilustrada en la figura 1.9 se caracterizaen el dominio del tiempo por la respuesta impulso, )(th , la cual es la respuesta cuandola entrada es igual a un impulso unitario )(tδ ; esto es,

)()( tyth = cuando )()( ttx δ= (1.45)

La respuesta de la red a una entrada arbitraria x(t) se encuentra mediante la convoluciónde x(t) con h(t), donde * representa a la operación de convolución:

∫∞

∞−−== τττ dthxthtxty )()()(*)()( (1.46)

Se supone que sistema es causal, lo que significa que no puede haber salida previa alinstante tiempo, t=0, cuando se aplica la entrada. Luego, el límite inferior integraciónpuede cambiarse a cero, y podemos expresar la salida y(t) como:

∫∞

−=0

)()()( τττ dthxty (1.47)

Las ecuaciones (1.46) y (1.47) son llamadas integral de superposición o integral deconvolución.

1.6.2. Función de transferencia de frecuencia

La salida de señal en el dominio de la frecuencia, Y(f), se obtiene tomando latransformada de Fourier en ambos lados de la ecuación (1.46). Ya que la convolución enel dominio del tiempo se transforma en multiplicación en el dominio de la frecuencia (yviceversa), la ecuación (1.46) da:

)()()( fHfXfY = (1.48)

o:

)(

)()(

fX

fYfH = ( 1.49)

Teniendo en cuenta que, por supuesto, 0)( ≠fX para todo f. Aquí H(f)=F{h(t)}, latransformada de Fourier de la función de respuesta impulsiva, es llamada función detransferencia de frecuencia o respuesta frecuencial de la red. En general, H(f) escompleja y puede escribirse,

)()()( fjefHfH θ= (1.50)

Donde | H( f)| que es la respuesta de magnitud. La respuesta de fase, )( fθ , está definidacomo:


{ }{ })(Re

)(Im)( 1

fH

fHtanf −=θ (1.51)

Donde el término "Re" y " Im" denotan a "la parte real de" y "la parte imaginaria de",respectivamente.

La función de transferencia en frecuencia de una red lineal no variante en el tiempopuede medirse fácilmente en laboratorio con un generador sinusoidal como entrada a lared y un osciloscopio en la salida. Cuando la forma de onda de entrada x(t) se expresacomo:

tfAtx 02cos)( π=

La salida de la red será:

[ ])(2cos)()( 000 ftffHAty θπ += (1.52)

La frecuencia de entrada, 0f , se escalona en los valores de interés; en cada paso, se

mide la amplitud y la fase de la salida.

1.6.2.1 Procesos Aleatorios y Sistemas Lineales

Si un proceso aleatorio es la entrada de un sistema lineal invariante en el tiempo, lasalida también será un proceso aleatorio. Después, cada función muestra del proceso deentrada nos da una función muestra en el proceso de salida. La densidad espectral depotencia de la entrada, )( fGX , y la densidad espectral de potencia de la salida, )( fGY ,están relacionadas como sigue:

2)()()( fHfGfG XY = (1.53)

La ecuación (1.53) da un método simple de encontrar la densidad espectral de potenciade salida de un sistema lineal no variante en el tiempo cuando la entrada es un procesoaleatorio.

Utilizaremos una propiedad fundamental de los procesos Gaussianos aplicados asistemas lineales, establecido como se enuncia a continuación: se puede demostrar queun proceso Gaussiano, X(t), aplicado a un filtro lineal, no variante en el tiempo, producea la salida del filtro, un proceso aleatorio Y(t) que también es Gaussiano.

1.6.3 Transmisión sin Distorsión


¿Qué se requiere para que una red tenga un comportamiento similar al de una línea detransmisión ideal?. La señal de salida de un sistema de transmisión ideal puede teneralgún retardo comparado con la entrada, y puede tener una amplitud diferente de laentrada (sólo un cambio de escala), estos significa que no existe distorsión; la entradadebe tener la misma forma que la salida. Luego, para una transmisión ideal libredistorsión, podemos describir a la señal de salida, como:

)()( 0ttKxty −= (1.54)

Donde K y t0 son constantes. Tomando la transformada de Fourier de ambos lados (verapéndice A) podemos escribir:

02)()( ftjefKXfY π−= (1.55)

Sustituyendo la expresión y la ecuación (1.55) por Y(f) en la ecuación (1.49), vemos quela función de transferencia requerida del sistema para una transmisión libre distorsiónes:

02)( ftjeKfH π−= (1.56)

Por este motivo, para alcanzar una transmisión ideal libre de distorsión, la respuesta delsistema total debe tener una respuesta de magnitud constante, y la respuesta de fasedebe ser lineal con la frecuencia. No es suficiente que el sistema amplifique o atenúe atodas las componentes frecuenciales por igual. Todas las componentes frecuenciales dela señal deben también arribar con idénticos tiempos de retardo a fin de sumarse enforma correcta. El tiempo de retardo, 0t , está relacionado con el desplazamiento de fase,

θ , y la frecuencia angular , fπω 2= , como sigue,

)/(2

)(0 segradianesf

radianest

πθ

= (1.57a)

Queda claro que desplazamiento de fase debe ser proporcional a la frecuencia a fin deque todas componentes tengan el mismo retardo. Una característica normalmente usadapara medir la distorsión por retardo de una señal es el llamado retardo de envolvente oretardo de grupo, el cual se define como:

df

fdf

)(

2

1)(

θπ

τ −= (1.57b)

Por ello, para transmisión libre de distorsión una forma equivalente de decir que la fasees una función lineal de la frecuencia es decir que el retardo de envolvente τ(f) esconstante. En la práctica, una señal se distorsiona pasando a través de un sistema. Lacorrección de fase, tanto como de amplitud (ecualización) debe ser introducida en algúnlugar del sistema, a fin de corregir esta distorsión. La característica global entrada-salidade todo el sistema es la que determina su desempeño.


1.6.3.1. Filtro ideal

Una red ideal como la que describe la ecuación (1.56) no puede ser construida en larealidad. El problema es que en la ecuación (1.56) está implícito una ancho de bandainfinito, mientras que el ancho de banda del sistema está definido por el intervalo defrecuencias positivas sobre el cual la magnitud H(f) permanece dentro de un valorespecificado. En la sección 1.7 se enumeran varios métodos para encontrar el ancho debanda. Como una aproximación a una red con ancho de banda infinito ideal, escojamosuna versión truncada de la red, que deja pasar sin distorsión, a todas las componentesfrecuenciales entre lf y uf dónde lf es la frecuencia de corte inferior y uf es la

frecuencia de corte superior, como lo muestra la fig. 1.10. Cada una de estas redes esllamada filtro ideal. Fuera del rango ul fff << , el cual es llamado banda de paso, el

filtro ideal tiene una magnitud 0 como respuesta. El ancho de banda efectivo de paso seespecifica por el ancho de banda del filtro )( luf ffW −= en Hz.

Cuando 0≠lf y ∞≠uf , el filtro se llama filtro pasa banda (BPF), como se muestra en

la figura 1.10a. Cuando 0=lf y uf tiene un valor finito, se llama filtro pasa bajos

(LPF), como se muestra en la figura 1.10 b. Cuando lf tiene un valor distinto de 0

y ∞→uf , el filtro es llamado pasa altos (HPF), como se muestra en la figura 1.10c.

Siguiendo a la ecuación (1.56), para la función de transferencia de el filtro pasa bajoideal con ancho de banda de uf fW = Hz, mostrado en la figura 1.10b, podemos escribir

la función de transferencia como sigue (haciendo 1=K ):

)()()( fjefHfH θ−= (1.58)

donde

≥

<=

u

u

ffpara

ffparafH

0

1)( (1.59)

y

02)( ftjfj ee πθ −− = (1.60)

la respuesta impulsiva h(t) de un filtro pasa bajo ideal, ilustrada en la figura 1.11, es

{ } ∫∞

∞−

− == dfefHfHFth ftj π21 )()()( (1.61)

dfee ftjf

f

tfju

u

ππ 22 0∫−−=


dfeu

u

f

f

ttfj∫−−−= )(2 0π

)(2

)(2sen2

0

0

ttf

ttff

u

uu −

−=

ππ

)(22 0ttfsincf uu −= (1.62)

donde sinc x, está definido en la ecuación (1.39). La respuesta impulso mostrada en lafigura 1.11 es no causal, que significa que tiene una salida distinta de cero, previo a laaparición de la entrada en el tiempo t=0. Por ello, debe quedar claro que la descripcióndel filtro ideal en la ecuación (1.58) no es realizable.

Ejemplo 1.2. Efecto de un filtrado ideal sobre el ruido blanco

El ruido blanco con densidad espectral potencia 2/)( 0NfGn = , como se muestra en la

figura 1.8a, se toma como entrada de un filtro pasa bajo ideal mostrado en la figura1.10b. Encontrar la densidad espectral de potencia, )( fGY , y la función de

autocorrelación, RY(τ), de la señal de salida.


Figura 1.10: Función de transferencia del filtro ideal. (a) Filtro ideal pasa banda. (b) Filtro idealpasa bajos. (c) Filtro ideal pasa altos.

Figura 1.11: Respuesta al impulso de un filtro ideal pasa bajos.


Solución:

2)()()( fHfGfG nY =

<

=parteotraen

ffparaN

02

0

La autocorrelación es la transformada inversa de Fourier de la densidad espectral depotencia y está dado por (ver apéndice A)

ττπτπ

τ

uu

u

uuY

fsincfN

f

ffNR

2

2

2sen)(

0

0

=

=

Comparando este resultado con la ecuación (1.62), vemos que )(τYR tiene la mismaforma que la respuesta de un impulso al pasar por un filtro pasa bajo ideal mostrado enla figura 1.11. En este ejemplo, el filtro pasa bajo ideal transforma la función deautocorrelación del ruido blanco (definida por la función delta) en una función sinc.Después del filtrado, deja de haber ruido blanco. El ruido de salida no tendrá unacorrelación cero con copias desplazadas de sí mismo, sólo para desplazamientos

ufn 2/=τ , donde n es un entero distinto de 0.

1.6.3.2. Filtros realizables

El ejemplo más simple de un filtro pasa bajo realizable se hace con un resistor (R) y uncapacitor (C), como se muestra en la figura 1.12a; El mismo es llamado filtro RC, y sufunción de transferencia puede expresarse como

)(

2)2(1

1

21

1)( fje

fRCfRCjfH θ

ππ−

+=

+= (1.63)

Donde fRCtanf πθ 2)( 1−= . La característica de magnitud, )( fH , y de fase )( fθ se

grafica en la figura 1.12b y c. el ancho de banda del filtro pasa bajo esta definido en elpunto de la potencia mitad, este punto es la frecuencia para la cual la potencia de señalde salida ha caído a la mitad de su valor pico, o la frecuencia a la cual la magnitud del

voltaje de salida a caído 2/1 de su valor pico.


Figura 1.13: Filtro RC y su función de transferencia. (a) Filtro RC. (b) Característica demagnitud del filtro RC. (c) Característica de fase del filtro RC.

El punto de potencia mitad se expresa generalmente en (dB) como el punto de -3dB, porpunto en que la potencia de pico ha caído bajo 3dB de su valor máximo donde los dB sedefinen como una relación potencias entre P1 y P2 siendo por definición:

12

1

22

210

1

210

/

/log10log 10

RV

RV

P

PdBdenúmero == (1.64a)

donde V1 y V2 son los voltajes y R1 y R2 las resistencias. Para los sistemascomunicación, la potencia normalizada es la que se usa para el análisis; en este caso ,R1 y R2 son iguales a 1 Ohm tal que

21

22

101

210 log10log 10

V

V

P

PdBdenúmero == (1.64b)

La respuesta de amplitud )( fH puede expresarse en dB mediante

)(log20log20)( 10

1

210 fH

V

VfH

dB== (1.64c)

donde V1 y V2 son las tensiones de entrada y salida, respectivamente, y donde lasresistencias de entrada y salida se suponen iguales.


De la ecuación (1.63) es fácil verificar que el punto de potencia mitad del filtro pasabajo RC corresponde a RC/1=ω radianes por segundo o bien )2/(1 RCf π= Hz. Así,

el ancho de banda Wf en Hz es 1/(2πRC ). El factor de forma del filtro es una medida decuan bien, un filtro realizable se aproxima al filtro ideal. Normalmente, se define comola relación entre los anchos de banda en los puntos de respuesta de amplitud a -60 dB y-6 dB. Un filtro pasa bajo puede construirse con un factor de forma tan bajo como elvalor 2. Por comparación, el factor de forma de un filtro pasa bajo RC es de casi 600.

Hay algunas aproximaciones útiles a la característica del filtro pasa bajo. Una de éstas,el filtro de Butterworth, se aproxima al filtro pasa bajo ideal con la siguiente función:

1)/(1

1)(

2≥

+= n

fffH

nu

(1.65)

donde fu es la frecuencia de corte superior de -3 dB . la función de magnitud , )( fH , se

muestra para algunos valores de n en la figura 1.13. Notar que a medida que n crece, lacaracterística de magnitud se aproxima a la de un filtro ideal. Los filtros Butterworthson populares ya que es la mejor aproximación al filtro ideal, en el sentido demáximizar la parte plana de la banda de paso.

Ejemplo 1.3. Efecto de un filtro RC sobre el ruido blanco

El ruido blanco con una densidad espectral, 2/)( 0NfGn = , que se muestra en la figura

1.8a es la entrada a un filtro RC que se muestra en la figura 1.12 a. Encontrar ladensidad espectral de potencia, )( fGY , y la función de autocorrelación, )(τYR de laseñal de salida.

Figura 1.13: Respuesta de magnitud del filtro de Butterworth.

Solución:


2)()()( fHfGfG nY =

20

)2(1

1

2 fRC

N

π+=

{ })()( 1 fGFR YY−=τ

Usando la tabla A.1, la transformada inversa de Fourier de )( fGY es

−=

RCRC

NRY

ττ exp

4)( 0

Como podía predecirse, ya no tenemos ruido blanco a la salida. El filtro RC transformala función de autocorrelación de la entrada del ruido blanco (definida por la funcióndelta) en una función exponencial. Para un filtro de banda angosta (es decir, un productoRC grande), el ruido de salida exhibirá una correlación más alta entre muestrasdistanciadas un tiempo fijo entre ellas que las que saldrían de un filtro de banda másancha.

1.6.4 Señales, Circuitos y Espectros

La señales han sido descritas en término de su espectro. Similarmente las redes ocircuitos han sido descritos en término de su característica espectral o función detransferencia frecuencial. ¿Cómo se afecta el ancho de banda de una señal comoresultado de su paso través de un circuito filtro? La figura 1.14 ilustra dos casos deinterés. En la figura 1.14 a (caso 1), la señal de entrada tiene un espectro de bandaangosta, y la función de transferencia del filtro es una función de banda ancha. De laecuación (1.48) vemos que el espectro de la señal de salida simplemente es el productode estos dos espectros. En la figura 1.14 a podemos verificar que la multiplicación delas dos funciones espectrales resultarán en un espectro con un ancho de bandaaproximadamente igual al menor de los dos anchos de banda (cuando uno de las dosfunciones espectrales se hace cero, la multiplicación también da 0). Por este motivo,para el caso 1, el espectro de la señal de salida está limitado por el espectro de la señalentrante. En forma similar, vemos para el caso 2, en la figura 1.14 b, donde la señal deentrada tiene un ancho de banda ancho pero el filtro tiene una función de transferenciade banda angosta, el ancho de banda de la señal de salida está limitado por el ancho debanda del filtro; la señal de salida será una versión filtrada (distorsionada) de la señal deentrada.

El efecto de un filtro sobre una forma de onda puede también verse en el dominio deltiempo. La salida resultante, y(t), de la convolución de un pulso de entrada ideal, x(t),(teniendo una amplitud Vm y un ancho de pulso T), la respuesta al pulso de un filtro pasabajos RC puede ser escrita como:


Figura 1.14 Característica espectral de la señal de entrada y la contribución del circuito a lascaracterísticas de la señal de salida. (a) Caso 1: El ancho de banda de salida está limitado porel ancho de banda de la señal de entrada. (b) Caso 2: El ancho de banda de salida estálimitado por el ancho de banda del filtro

>

≤≤−=

−−

−

TtparaeV

TtparaeVty

RCTtm

RCtm

/)(

/

´

0)1()( (1.66)

Donde

)1(´ / RCTmm eVV −−= (1.67)

Definamos el ancho de banda del pulso, Wp, y el ancho de banda del filtro RC, Wf,como

TWp /1= (1.68)

Y

RCW f π2

1= (1.69)

El pulso de entrada ideal, x(t), y su espectro de magnitud )( fH se muestran en la figura

1.15. El filtro RC y su característica de magnitud , H(f) se muestran en las figuras 1.12 a


y b., respectivamente. Se ilustran tres casos de interés de acuerdo a las ecuaciones (1.66)a (1.69). El ejemplo 1 ilustra el caso donde Wp<<Wf. Notar que la respuesta de salida,y(t), es una aproximación razonablemente buena del pulso de entrada, x(t), mostrado enlíneas de trazos. Esto representa un ejemplo de buena fidelidad. En el ejemplo 2, dondeWp ≅ Wf, aún podemos reconocer que se ha transmitido un pulso desde la salida a partirde la misma, y(t). Finalmente el ejemplo 3 ilustra el caso dónde Wp>>Wf. Aquí lapresencia de un pulso apenas es perceptible en función de la salida, y(t). ¿Cuál podríaser el caso del ejemplo 1, en donde el ancho de banda del filtro es grande y se tienebuena fidelidad? La respuesta es fácil de ver: una aplicación donde el tiempo de llegadadel pulso sea interpretado como una distancia, por ejemplo, necesita un pulso con untiempo de subida extremadamente corto. ¿Qué ejemplo caracteriza a una aplicación decomunicaciones digitales binaria? El ejemplo 2. En el caso de una comunicación digitalbinaria, sólo estamos interesados en determinar si el pulso recibido tiene uno de dosestados, es decir no se necesita mantener una alta fidelidad. El ejemplo 3 no se aplica aningún criterio práctico de diseño.

Figura:1.15: (a) Pulso Ideal. (b) Espectro de magnitud del pulso ideal.


Figura 1.16: Tres ejemplos de filtrado de un pulso ideal: (a) Ejemplo1: Salida de buenafidelidad. (b) Ejemplo 2: Buen reconocimiento del pulso. (c) Ejemplo 3: Pobre reconocimientode la salida.

1.7. El ancho de banda.

Muchos teoremas importantes de la teoría de las Comunicaciones y la Información estánbasadas en la suposición de canales estrictamente limitados en banda, lo cual significaque no hay potencia de señal fuera del intervalo de banda definido. De esta manera, nostopamos con el dilema de que estrictamente hablando, las señales limitadas en banda noexisten ya que las mismas implican señales de duración infinita; es decir, señales conancho de banda ilimitado, teniendo energía a frecuencias arbitrariamente altas, lo cualno suena razonable. No debe sorprender que no exista una sola definición para el anchode banda.

Cualquier criterio de ancho de banda tiene en común el hecho de intentar especificaruna medida para el ancho, W, de una densidad espectral potencia de valor real nonegativa, definida para todas las frecuencias ∞<f . La figura 1.18 ilustra algunas de

las definiciones más comunes para el ancho de banda; en general, los criterios no sonintercambiables. La densidad espectral de potencia de simple lado, Gx(f), de un pulso,xC(t), toma la forma analítica

( )( )

2sen

)(

−−

=Tff

TffTfG

c

cx π

π (1.70)

donde fc es la forma de onda de la portadora y T es la duración del pulso. Esta densidadespectral de potencia, cuya apariencia general, se muestra en la figura 1.18, tambiéncaracteriza a una secuencia de pulso aleatoria, suponiendo que el tiempo depromediación es largo comparado con la duración del pulso. El gráfico consiste de un


lóbulo principal y lóbulos laterales simétricos hacia ambos lados. La forma general de lagráfica es válida para muchos sistemas digitales de modulación; algunos formatos, sinembargo, no tienen lóbulos bien definidos. Los criterios de anchos de banda mostradosen la figura 1.18 son los siguientes:

(a) Ancho de banda de potencia mitad. Es el intervalo frecuencias para el cual Gx(f) caea la mitad de la potencia, o sea 3 dB por debajo del valor pico.

(b) Ancho de banda equivalente de ruido. El ancho equivalente de ruido fue concebidooriginalmente para permitir un cálculo rápido de la potencia de ruido de salida de unamplificador, con una entrada de ruido de banda ancha; el concepto puede aplicarsesimilarmente al ancho de banda de la señal. El ancho de banda equivalente de ruido WN

(o BN ) de una señal está definida por la relación )(/ cxxN fGPW = , donde Px es la

potencia total de la señal sobre todas las frecuencias y )( cx fG es el valor de )( fGx en el

centro de la banda (suponiendo que es el valor máximo).

Figura 1.18: Ancho de banda de una señal. (a) Potencia Mitad. (b) Equivalente de ruido. (c)Null-to-Null. (d) 99% de potencia. (e) PSD limitada (define la atenuación fuera de la banda en35 y 50 dB).

(c) Ancho de banda entre ceros (en Inglés: Null-to-null). Es la medida más popular parael ancho de banda en las comunicaciones digitales, esto es, el ancho del lóbuloprincipal, donde está concentrada la mayor cantidad de potencia de la señal. Estecriterio carece de generalidad, ya que algunos formatos de modulación digital no poseenlóbulos bien definidos.


(d) Ancho de banda de potencia fraccionaria. Este criterio de ancho de banda ha sidoadoptado por la comisión federal de comunicaciones de Estados Unidos ( FCC FederalCommunication Commission) y establece que el ancho de banda ocupado es la bandaque deja exactamente el 0.5% de la potencia de la señal por encima del límite superiorde la banda y exactamente 0.5% de la potencia de señal por debajo del límite inferior dela banda. Así, el 99% de la potencia de la señal está dentro de la banda ocupada.

(e) Densidad espectral de potencia limitada. Un método popular para especificar elancho de banda es establecer que, donde quiera que sea, por afuera de la bandaespecificada, )( fGx debe caer al menos un cierto valor establecido por debajo del valor

en el centro de la banda. Normalmente los niveles de atenuación pueden ser 35 o 50 dB.

(f) Ancho de banda absoluto. Es el intervalo de frecuencias para el cual el espectro valecero por fuera del mismo. Esto es una abstracción útil. Sin embargo, todas las formas deonda realizables, tienen un ancho de banda absoluto infinito.

Ejemplo 1.4 Señales limitadas en banda estrictamente.

El concepto de una señal que está limitada estrictamente en banda de frecuencia no esrealizable en la práctica. Probar esto demostrando que las señales estrictamenteilimitadas deben tener una duración infinita en el tiempo.

Solución

Sea x(t) una señal, con una transformada de Fourier X(f), que es estrictamente limitadaa la banda de frecuencias centrada en ± fc y con un ancho de 2W. Podemos expresar aX(f) en términos de la función de transferencia de un filtro ideal, H(f), y ilustrado en lafigura 1.19 a, como sigue:

)()´()( fHfXfX = (1.71)

Donde, X´(f) es la transformada de Fourier de una señal x´(t), no necesariamentelimitada en banda, donde

++

−=

W

ffrect

W

ffrectfH cc

22)(

en donde

>

<<−=

Wfpara

WfWpara

W

frect

0

1

2


Podemos expresar a X(f) en términos de X´(f) como

+≤≤−

=parteotraen

WffWfparafXfX ccc

0

)()()´()(

La multiplicación en el dominio de la frecuencia, como se ve en la ecuación (1.71) setransforma en la convolución en el dominio del tiempo como sigue:

)(*)´()( thtxtx = (1.72)

Donde h(t), es la transformada inversa de H(f), puede ser escrita como

tfWtsincWth cπ2cos)2(2)( =

Y se ilustra en la figura 1.19 b. Podemos ver que h(t) tiene duración infinita. Por lotanto, se concluye que x(t) obtenida en la ecuación (1.72) mediante la convolución dex´(t) con h(t) es también de duración infinita y por ello no realizable.

Figura 1.19: Función de transferencia y respuesta al impulso de un sistema estrictamentelimitado en banda. (a) Filtro pasa banda ideal. (b) Respuesta al impulso pasa banda ideal

capítulo 1: conceptos introductoriosdea.unsj.edu.ar/sca/scacap1intro2004.pdf · incluyen al radar...

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