capitulo 01-1 sistemas numericos

Universidad de Magallanes Facultad de IngenieraDepartamento de Ingeniera Elctrica

Capitulo 1: SISTEMAS NUMRICOS

Introduccin

El sistema decimal es universalmente empleado para representar cantidades en el mundo real. Los sistemas electrnicos digitales tienen que recoger la informacin y convertirla en dgitos binarios para procesarla internamente. As mismo, cuando la informacin es procesada, es necesario convertir esta informacin, por lo general a decimal antes de llevarla al mundo exterior. En realidad, no se manejan solamente estos dos sistemas, en la prctica se hace necesario utilizar cdigos que facilitan el manejo de otras caractersticas. En este captulo, se describir el cdigo decimal, el cdigo binario , el hexadecimal, el octal, las operaciones entre estos sistemas, las distintas conversiones entre los diferentes sistemas y algunas representaciones de nmeros binarios.

Sistemas Binario y Hexadecimal

El sistema binario es el ms utilizado en los circuitos electrnicos digitales. Existen otros dos sistemas, en las aplicaciones digitales; El hexadecimal y el octal. Su ventaja radica en la facilidad que ofrecen para representar de forma reducida los nmeros binarios.

Sistema Decimal

El sistema decimal es un sistema en base 10. En una cantidad decimal cada dgito tiene un peso asociado a una potencia de 10 segn la posicin que ocupe. Los pesos para los nmeros enteros son potencias positivas de diez, aumentado de derecha a izquierda, comenzando por 100=1.

Peso:....106105104103102101100

Los pesos para los nmeros fraccionarios son potencias negativas de diez, aumentando de izquierda a derecha, comenzando por 10-1.

Peso:....106 105 104 103 102 101 100, 10-1 10-2 10-3 10-4

La expresin general para descomponer el valor de una magnitud expresada en cualquier sistema numrico para obtener su valor decimal:

=

1p

ni

ii rd

donde,

di = Dgito en la posicin i.r = Base del sistema utilizado.n = N. de dgitos fraccionarios.p = N. de dgitos enteros.

La base r del sistema numrico es el nmero total de dgitos permitidos para el sistema.

Ejemplo

235.63 = 2x102 + 3x101 + 5 x 100 + 6x10-1 + 3x10-2

Sistemas Digitales: Sistemas de Numeracin 1


Sistema BinarioEl sistema binario es un sistema en base dos. Es el sistema utilizado por los computadores digitales y tiene slo dos valores lgicos posibles - "0 y 1" - para sus coeficientes, los cuales se pueden representar fsicamente de distintas maneras, como:

Tensiones alto y bajo. Interruptor cerrado o abierto. Sentido de magnetizacin de un ncleo magntico. Corriente elctrica alta o baja.

Los dgitos 0 y 1 se llaman bits.

En un nmero entero binario el bit a la derecha es el bit menos significativo (LSB, Least Significant Bit) y tiene un peso de 20=1. El bit del extremo izquierdo el bit ms significativo (MSB, Most Significant Bit) y tiene un peso dependiente del tamao del numero binario. Los pesos crecen de derecha a izquierda en potencias de 2. En nmeros fraccionarios el bit a la izquierda de la coma es el MSB y su peso es de 2-1= 0,5. Los pesos decrecen de izquierda a derecha en potencias negativas de 2.

Peso:2 n-1 .... 24 23 22 21 20, 2-1 2-2 2-3 ...... 2-n .

En el que n es el nmero de bits a partir de la coma binaria. La tabla 1.1.1. muestra la equivalencia de los nmeros decimales del 0 al 15 a su correspondiente binario.

Nmero Decimal Nmero Binario0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1

Tabla 1.1.1. Sistema decimal y binario

Ejemplo

101101,11 = 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 1x2-2

En decimal se tiene: 32 + 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25= 45,7510.

La Figura 1.1.1 muestra el equivalente entre los nmeros decimales del 0 al 9 y el nmero binario correspondiente.

Decimal Binario Decimal Binario0 0 5 1011 1 6 1102 01 7 1113 11 8 10004 100 9 1001

Figura 1.1.1. Sistema decimal y binario



Sistema HexadecimalEl sistema hexadecimal es un sistema en base 16 y consta de 16 dgitos diferentes que son: del 0 al 9 y luego de la letra A a la F, es decir 10 dgitos numricos y seis caracteres alfabticos.

El sistema hexadecimal se usa como forma simplificada de representacin de nmeros binarios y debido a que 16 es una potencia de 2(24=16), resulta muy sencilla la conversin de los nmeros del sistema binario al hexadecimal y viceversa.

La tabla 1.1.2. muestra los nmeros decimales de 0 al 15 con su equivalencia en binario y hexadecimal.

Decimal Binario Hexadecimal0 0000 01 0001 12 0010 23 0011 34 0100 45 0101 56 0110 67 0111 78 1000 89 1001 910 1010 A11 1011 B12 1100 C13 1101 D14 1110 E15 1111 F

Tabla 1.1.2. Sistema decimal, binario y hexadecimal

Para convertir un nmero hexadecimal en un nmero binario se reemplaza cada smbolo hexadecimal por un grupo de cuatro bits.

Ejemplo

El nmero 4F5B16 en binario equivale a

Sistema OctalEl sistema octal es un sistema en base 8 y est formado por 8 dgitos. En un nmero octal, los pesos crecen de derecha a izquierda en potencias de 8.

Peso: 84 83 82 81 80

La tabla 1.1.3. muestra los nmeros decimales de 0 al 17 con su equivalencia a binario y octal.



Decimal Sistema binario Octal0 0000 01 0001 12 0010 23 0011 34 0100 45 0101 56 0110 67 0111 78 1000 109 1001 11

10 1010 1211 1011 1312 1100 1413 1101 1514 1110 1615 1111 1716 10000 2017 10001 21

Tabla 1.1.3. Sistema decimal, binario y octal

Observe que en octal los dgitos 8 y 9 no se usan.

La conversin de un nmero octal en decimal se obtiene multiplicando cada dgito por su peso y sumando los productos.

Ejemplo

17258= 1x83 + 7x82 + 2x81 + 5x80 = 512+448+16+5= 98110

Cdigo decimal binario (BCD)

El cdigo decimal binario (BCD Binary Code Decimal) es utilizado para expresar los diferentes dgitos decimales con un cdigo binario. Por consiguiente, el cdigo BCD tiene diez grupos de cdigo y resulta prctico para convertir entre decimal y BCD.

El cdigo 8421

El cdigo 8421 pertenece al grupo de cdigos BCD. El nombre 8421 indica los diferentes pesos de los cuatro bits binarios (23, 22, 21, 20).

La tabla 1.1.4. muestra los nmeros decimales de 0 al 9 con su equivalencia en BCD.



Decimal Dgito en BCD0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001

Tabla 1.1.4. Sistema decimal y BCD

Con un nmero de 4 bits se pueden representar 24 combinaciones posibles, pero al emplear el cdigo 8421 se incluyen solamente 10 grupos de cdigo binario, en consecuencia las combinaciones 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 no se utilizan.

Ejemplo

Convertir a BCD el nmero decimal 6498.

Reemplazando por los valores de la tabla 1.1.4. se obtiene,

649810 =(0110 0100 1001 1000)8421

Conversiones de un Sistema a Otro

Las conversiones entre nmeros de bases diferentes se efectan por medio de operaciones aritmticas simples. Dentro de las conversiones ms utilizadas se encuentran:

Conversin de Decimal a Binario

Para la conversin de decimal a binario se emplean dos mtodos. El primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de potencias de 2.

Por divisiones sucesivas

Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. El ltimo residuo obtenido es el bit ms significativo (MSB) y el primero es el bit menos significativo (LSB).

Ejemplo

Convertir el nmero 15310 a binario.



Figura 1.2.1.Ejemplo de conversin de decimal a binario

El resultado en binario de 15310 es 100110012Por sumas de potencias de 2

Este mtodo consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya suma equivalga al nmero decimal.

Ejemplo


15310 = 27 + 24 + 23 + 20 = 128 + 16 +8 +1

15310= 100110012Como se observa, si se cuenta con alguna familiaridad con las potencias de 2 este ltimo mtodo es ms rpido.

Conversin de Fracciones Decimales a Binario

Para la conversin de fracciones decimales a binario se emplean el siguiente mtodo.

Por suma de potencias de 2

Emplea la misma metodologa de la suma de potencias de 2 pero se trabaja con potencias negativas.

Ejemplo

Convertir el nmero 0,87510 a binario.

0,87510 = (2-1) + (2-2) + (2-3) = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,1112

Por multiplicaciones sucesivas

La conversin de nmeros decimales fraccionarios a binario se realiza con multiplicaciones sucesivas por 2. El nmero decimal se multiplica por 2, de ste se extrae su parte entera, el cual va a ser el MSB y su parte fraccional se emplea para la siguiente multiplicacin y seguimos sucesivamente hasta que la parte fraccional se vuelva cero o maneje un error moderado. El ltimo residuo o parte entera va a constituir el LSB.

Ejemplo

Convertir el nmero 0,87510 a binario.



Nmero N N X 2 Parte entera Peso0,875 1,75 1 MSB0,75 1,5 1 0,5 1,00 1 LSB

Tabla 1.2.1. Ejemplo de Conversin de Decimal a Binario.

El resultado en binario de 0,87510 es 0,1112.

Conversin de Decimal a Hexadecimal

En la conversin de una magnitud decimal a hexadecimal se realizan divisiones sucesivas por 16 hasta obtener un cociente de cero. Los residuos forman el nmero hexadecimal equivalente, siendo el ltimo residuo el dgito ms significativo y el primero el menos significativo.

Ejemplo

Convertir el nmero 186910 a hexadecimal.

Figura 1.2.2. Ejemplo de Conversin de decimal a hexadecimal

El resultado en hexadecimal de 186910 es 74D16.

Conversin de Decimal a Octal

En la conversin de una magnitud decimal a octal se realizan divisiones sucesivas por 8 hasta obtener la parte entera del cociente igual a cero. Los residuos forman el nmero octal equivalente, siendo el ltimo residuo el dgito ms significativo y el primero el menos significativo.

Ejemplo

Convertir el nmero 46510 a octal.

Nmero N N 8 Parte decimal Parte decimal x 8 Peso465 58,125 0,125 1 LSB58 7,25 0,25 2 0,5 0,875 0,875 7 MSB

Tabla 1.2.2. Ejemplo de Conversin de Decimal a Hexadecimal.

El resultado en octal de 46510 es 721.



Conversin de Binario a Decimal

Un nmero binario se convierte a decimal formando la suma de las potencias de base 2 de los coeficientes cuyo valor sea 1 (ver leccin 1).

Ejemplo

Convertir el nmero 11002 a decimal.

11002 = 1x23 + 1x22 = 1210

Conversin de Binario a Hexadecimal

El mtodo consiste en conformar grupos de 4 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad del nmero binario. Enseguida se convierte cada grupo de nmero binario de 4 bits a su equivalente hexadecimal.

Ejemplo

Convertir el nmero 10011101010 a hexadecimal.

Conversin de Binario a Octal

El mtodo consiste en hacer grupos de 3 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad del nmero binario. Enseguida se convierte cada grupo de nmero binario de 3 bits a su equivalente octal.

Ejemplo

Convertir el nmero 010101012 a octal.

Conversin de Hexadecimal a Decimal

En el sistema hexadecimal, cada dgito tiene asociado un peso equivalente a una potencia de 16, entonces se multiplica el valor decimal del dgito correspondiente por el respectivo peso y realizar la suma de los productos.

Ejemplo

Convertir el nmero 31F16 a decimal.

31F16 = 3x162 + 1x161 + 15 x 160 = 3x256 + 16 + 15 = 768 + 31 = 79910

Conversin de Hexadecimal a Binario

La conversin de hexadecimal a binario se facilita porque cada dgito hexadecimal se convierte directamente en 4 dgitos binarios equivalentes.

Ejemplo

Convertir el nmero 1F0C16 a binario.



1F0C16 = 11111000011002

Conversin de Octal a Decimal

La conversin de un nmero octal a decimal se obtiene multiplicando cada dgito por su peso y sumando los productos:

Ejemplo

Convertir 47808 a decimal.

4780 = (4 x 83)+(3x82)+(8x81)+(0x80) = 2048+192+64+0= 2304

Conversin de Octal a Binario

La conversin de octal a binario se facilita porque cada dgito octal se convierte directamente en 3 dgitos binarios equivalentes.

Ejemplo


7158 = (111001101)2

Representacin de Nmeros Enteros y de Punto FlotanteLos computadores deben interpretar nmeros positivos y negativos. Los nmeros binarios se caracterizan por su magnitud y su signo. El signo indica si el nmero es positivo o negativo y la magnitud el valor del nmero.

Representacin de Nmeros Binarios Enteros

Existen tres formas de representar los nmeros binarios enteros con signo:

Signo magnitud. Complemento a 1. Complemento a 2.

a. Signo Magnitud

En el sistema Signo magnitud los nmeros positivos y negativos tienen la misma notacin para los bits de magnitud pero se diferencian en el bit del signo. El bit del signo es el bit situado ms a la izquierda en el nmero binario:

En nmeros positivos se emplea el bit "0".

En nmeros negativos se emplea el bit "1".

El nmero no debe estar complementado.

Ejemplo

El nmero decimal 21 se expresa en binario de 6 bits 010101, donde el primer bit "0" denota el bit de una magnitud positiva. El nmero decimal 21 se expresa en binario 110101, donde el primer bit "1" denota el bit de una magnitud negativa.

b. Complemento a 1

El complemento a 1 en binario se obtiene cambiando los unos por ceros y los ceros por unos. La representacin de nmeros positivos en complemento a 1 sigue las mismas reglas del



sistema signo-magnitud y la representacin de los nmeros negativos en complemento 1 es el complemento a 1 del nmero positivo.

Ejemplo

El nmero decimal 21 se expresa en complemento a 1 a 6 bits como 010101, donde el primer bit "0" denota el bit de una magnitud positiva.

El complemento 1 a 6 bits del decimal 21, se obtiene por medio del complemento a 1 del nmero positivo 010101 el cual es 101010.

Ejemplo

Una forma de obtener el complemento 1 de un nmero binario es utilizar un circuito digital compuesto por inversores (compuertas NOT). En la figura siguiente las entradas se encuentran ubicadas en la parte superior y las salidas negadas en la parte inferior.

Circuito de inversores que ejemplifica el complemento a 1 de una expresin.

c. Complemento a 2

Los computadores utilizan la representacin binaria en complemento a 2 para representar nmeros negativos. La representacin de nmeros positivos en complemento a 2 sigue las mismas reglas del sistema signo-magnitud y la representacin de los nmeros negativos en complemento a 2 se obtiene de la siguiente forma:

Se representa el nmero decimal dado en magnitud positiva.

El nmero de magnitud positiva se representa en forma binaria positiva.

Se obtiene el complemento 1 del nmero binario obtenido en el paso anterior mediante el cambio de los unos por ceros y viceversa.

Al complemento 1 se le suma uno y el resultado es la representacin en el complemento 2.

Ejemplo

Representar el nmero 510 en binario, utilizando el complemento a 2 con 4 bits.

Se escribe el nmero +510 en binario de 4 bits

0101

Se obtiene el complemento a 1 de 0101

1010

Al complemento de nmero anterior se le suma 1. El resultado es 1011.

Se obtiene el nmero 1011 en complemento a 2.



Ejemplo

Obtener el complemento a 2 del nmero positivo de 8 bits 000001012 (+510).

El equivalente en complemento a 1 es 11111010. El complemento a 2 del nmero es 11111011. Comprobando los pesos en decimal se puede demostrar la obtencin del negativo del nmero inicial utilizando el mtodo del complemento a 2:

111110112 = (-128 + 64 + 32 +16 + 8 + 0 + 2 + 1)10 = - 510En la representacin en complemento 2 el primer bit del lado ms significativo puede interpretarse como el signo, siendo cero para nmeros positivos y 1 para nmeros negativos. Se puede comprobar que si a una cantidad negativa expresada en complemento 2 se le saca su complemento 2, se obtiene la magnitud positiva correspondiente.

Operaciones Aritmticas en Binario

Los circuitos de control bsicos y los computadores efectan operaciones aritmticas. Estas operaciones se realizan en sistema binario y las leyes que las rigen, son paralelas a las usadas en el sistema decimal. A continuacin se describe cada una de las metodologas para realizar tales operaciones.Suma Binaria

La suma de dos cantidades binarias empieza con la suma de los dos dgitos menos significativos de los sumandos y un acarreo inicial de cero uno (Acarreo Cin). Esta operacin puede producir un bit de acarreo (Acarreo Cout) para la suma de la siguiente posicin significativa. En la tabla 1.4.1. las entradas A, B y Cin denotan al primer sumando, el segundo sumando y el acarreo de entrada. Las salidas S y Cout representan a la suma y el acarreo de salida.

Sumando A Sumando B Acarreo Cin Acarreo Cout Suma S0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

Tabla 1.4.1. Suma binaria

Ejemplo

Efectuar la suma de 010110 y 101010.

1 1 1 1 1 Acarreo Comprobacin en decimal:

0 1 0 1 1 0 22

+ 1 0 1 0 1 0 + 42



1 0 0 0 0 0 0 64 ( 26)

La suma de 2 magnitudes binarias en representacin de complemento a 2, da como resultado la suma binaria en complemento a 2.

Resta Binaria

En la resta binaria, los bits del minuendo de las columnas se modifican cuando ocurre un prstamo. En la tabla 1.4.2. las entradas A, B y Bin denotan el minuendo, el sustraendo y el bit prestado. Las salidas D y P representan a la diferencia y el prstamo. La tabla muestra los resultados de una resta binaria de dos bits,

Minuendo A Sustraendo B Prstamo Bin Prstamo P Diferencia D0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1

Tabla 1.4.2. Resta binaria

Para A=0, B=0 y Bin=1, hay que tomar prestado un 1 de la siguiente columna ms significativa, lo cual hace P=1 y agregar "en decimal" 2 a A. La resta 2-0-1=1, da como resultado en binario D=1. Los prstamos se propagan hacia la izquierda de columna en columna.

Ejemplo

Restar 10012 de 100112.

Rengln 2, Tabla 1.4.1. 0 - 1 = 0 con un prstamo de la columna izquierda. 10 - 1 = 1

Rengln 1, Tabla 1.4.1. 0 - 0 = 0 sin prstamo.

Rengln 3, Tabla 1.4.1. 1 - 0 = 0 sin prstamo.

Rengln 4, Tabla 1.4.1. 1 - 1= 0 sin prstamo.

1 Prstamo1 0 0 1 1

- 0 1 0 0 10 1 0 1 0

Rebasamiento

El rebasamiento se presenta cuando la suma de la columna ms significativa genera un acarreo. El rebasamiento slo se puede producir cuando ambos nmeros son positivos o negativos.

Ejemplo




1 Acarreo

8 6 5

+ 4 1 2

1 2 0 7

Rebasamiento

Ejemplo


1 1 Acarreo

1 1 0

+ 1 1 0

1 1 0 0

Rebasamiento

Resta binaria en Complemento a 2

En la seccin anterior se vio que el signo de un nmero positivo negativo se cambia calculando su complemento a 2. La resta de dos nmeros con signo se calcula sumando el complemento a 2 del sustraendo al minuendo y descartando cualquier bit de acarreo final.

El siguiente procedimiento es necesario para calcular la resta de dos nmeros:

Obtener el complemento a 2 del sustraendo.

Efectuar la suma del minuendo y el sustraendo en complemento a 2.

S la suma presenta rebosamiento indica que la repuesta es positiva. Ignore el rebasamiento.

Si no hay rebosamiento, entonces la repuesta es negativa. Para obtener a magnitud del nmero binario, obtenga el complemento a dos de la suma.

Ejemplo

Sustraer (1010111 - 1001000)21. El complemento a 2 de 1001000 es 0111000.2. Sumamos el primer sumando y el complemento a 2 obtenido.

1 1 1 Acarreo Comprobacin en decimal:

1 0 1 0 1 1 1 87

+ 0 1 1 1 0 0 0 - 72

1 0 0 0 1 1 1 1 15



Rebasamiento (Se ignora )

3. La respuesta es 00011112.

Multiplicacin Binaria

La multiplicacin de dos cantidades binarias es necesario considerar lo siguiente:

Multiplicando A Multiplicador B Multilplicacin (A*B)0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tabla 1.4.3. Multiplicacin binaria

La multiplicacin binaria cumple las mismas reglas de la multiplicacin decimal. En el prximo ejemplo se ilustrar la multiplicacin binaria.

Ejemplo

Multiplicar las cantidades 1011 y 1101.

Figura 1.4.4. Multiplicacin binaria

Multiplicacin con signo

Se representan los operandos en complemento 2 y el resultado tambin se obtiene en complemento 2. El ltimo multiplicando desplazado se niega.


Sistema BinarioSistema Hexadecimal

El cdigo 8421 Conversiones de un Sistema a OtroConversin de Decimal a BinarioPor divisiones sucesivasPor sumas de potencias de 2

Conversin de Fracciones Decimales a BinarioPor suma de potencias de 2

Por multiplicaciones sucesivasConversin de Decimal a HexadecimalConversin de Decimal a OctalConversin de Binario a DecimalConversin de Binario a HexadecimalConversin de Binario a OctalConversin de Hexadecimal a DecimalConversin de Hexadecimal a BinarioConversin de Octal a DecimalConversin de Octal a BinarioRepresentacin de Nmeros Enteros y de Punto FlotanteRepresentacin de Nmeros Binarios Enteros

Operaciones Aritmticas en BinarioSuma BinariaResta BinariaMultiplicacin BinariaMultiplicacin con signo

capitulo 01-1 sistemas numericos

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