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Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Material de apoyo de Fundaciones Parte II Teoría de Elasticidad para la Teoría de Elasticidad para la Estimación de Asentamientos y Esfuerzos Prof. Silvio Rojas Septiembre, 2006

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Fundaciones

Material de apoyo de FundacionesParte II

Teoría de Elasticidad para la Teoría de Elasticidad para la Estimación de Asentamientos y

Esfuerzos

Prof. Silvio Rojas

Septiembre, 2006

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INTRODUCCIÓN. -

Este teme trata de la aplicación de la teoría de elasticidad en ladeterminación de esfuerzos y deformaciones, que producen diferentes tiposde carga en la masa de suelo. Al inicio se mencionan algunos modelos quepueden representar la resistencia del suelo a través de la variación delmódulo con la profundidad. Luego se evalúa los asentamientos y esfuerzos,generados por distintas cargas, usando las respectivas ecuaciones de lateoría de elasticidad, donde se apreciará la deformación el suelo

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teoría de elasticidad, donde se apreciará la deformación el sueloverticalmente y la magnitud de los esfuerzos a distancias y profundidades,medidas a partir del punto de aplicación de las cargas. El trabajo contieneuna serie de gráficos que ayudan a determinar los esfuerzos y asentamientospara un medio representado por el semi-espacio de Boussinesq (módulo deelasticidad constante con la profundidad) y para una capa de suelosobreyaciendo una base rígida (también con módulo en la subcapasconstante). En el trabajo se expone brevemente algunos métodos para laestimación de asentamientos en el semiespacio elástico heterogéneo(módulo variable con la profundidad), tanto para carga circular como paracarga rectangular. También se presenta la definición de asentamientosdiferenciales, distorsión y deflexión, así como sus valores tolerables paradistintos tipos de estructuras. Se comenta los asentamientos medidos enfundaciones reales de tanques, construidos sobre arenas y arcillas. Porultimo se anexan algunos problemas.

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ÍNDICE Pág.

DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO 1

ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERÉS PARA EL INGENIERO 2

ASENTAMIENTOS BASADOS EN LA TEORÍA DE PLASTICIDAD 4

ELASTICIDAD EN LE SENTIDO RESTRINGIDO 6

MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMÁTICAMENTE POR HOLL (1940) 8

ESTIMACIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES APLICANDO LA TEORÍA DE ELASTICIDAD PARADISTINTOS CASOS DE CARGA

9

CARGA PUNTUAL 9

CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITA 15

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJA INFINITA 18

CARGA CON DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJA INFINITA 22

CARGA UNIFORME MAS CARGA TRIANGULAR 24

DOS CARGAS TRIANGULARES ASIMÉTRICAS 29

DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRÁFICOS 30

CARGA TRIANGULAR Y RECTANGULAR DE LONGITUD INFINITA 30

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UN ÁREA CIRCULAR 31

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UN ÁREA RECTANGULAR 49

ASENTAMIENTO ELÁSTICO DEBIDO DE UN ÁREA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA 56

ASENTAMIENTOS INMEDIATOS DE FUNDACIONES SOBRE ARCILLA SATURADA 59

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MÉTODOS GENERALES PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS 61

CAPA ELÁSTICA HOMOGÉNEA SOBRE BASE RÍGIDA 73

CARGAAISLADA PUNTUAL 73

CARGA LINEAL SOBRE BASE RÍGIDA 74

CARGA EN FAJA SOBRE BASE RÍGIDA INTERFAZ LISA (EGOROV, 1939) 75

INTERFAZ RUGOSA PARA CADA EN FAJA INFINITA SOBRE BASE RÍGIDA 76

CARGA CIRCULAR – CAPA ELÁSTICA HOMOGÉNEA SOBRE BASE RÍGIDA 79

CARGA RECTANGULAR – CAPA COMPRESIBLE SOBRE BASE RÍGIDA 82

SUPERFICIE DE CARGA GENERAL CON BASE RÍGIDA 90

SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO 91

SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA EN FAJA 91

SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA CIRCULAR 93

SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA RECTANGULAR 94

TEORÍA DE DOS CAPAS 102

DEFINICIONES DE ASENTAMIENTO Y ASENTAMIENTOS ADMISIBLES 104

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DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO.

La fig. 1 muestra la posible distribución de esfuerzos que se producen en lamasa de suelo, debido a la aplicación de una carga en la superficie.

Fig. 1.- Distribución de esfuerzos producidos por diferentes tipos de carga.

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Esa distribución de esfuerzos depende de:

�Tipo de suelo.�Su estructura.�De la homogeneidad o heterogeneidad del suelo.�Su espesor.�De la forma y dimensiones de la carga.�De las propiedades – esfuerzo – deformación.�De las propiedades – esfuerzo – deformación.

Las propiedades esfuerzo – deformación generalmente no siguen una ley, sino quesu comportamiento esfuerzo – deformación es similar al mostrado en la fig.2.,donde se aprecia que el resultado obtenido depende del tipo de suelo y del gradode compactación y consolidación.

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Fig.2.- Comportamiento de un suelo real.

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Por tanto a través de la teoría de elasticidad, se trata de estimar ladistribución de esfuerzos, a partir de un comportamiento idealizado,como el mostrado en la fig.3.

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Fig. 3.- Diferentes comportamientos considerados para un suelo idealizado. (a) Material

elástico; (b)Material rígido plástico; (c) Material elasto-plástico; (d) Material

elasto-plástico con ablandamiento.Prof. Silvio Rojas

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ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERES PARA EL INGENIERO

Para un talud se estudia (fig. 4a), se estudia:

•Determine τ actuante

•Determinar la resistencia τf

•Estimar el factor de seguridad ττf

FS =•Estimar el factor de seguridad

En el diseño de una fundación (fig.4b), se estudia:

•Los esfuerzos transmitidos por Q a la masa de suelo no deben alcanzarla falla.

•Estos esfuerzos deben caer en el estado de equilibrio elástico.

•Para lograr esto, ya se aplica

•Q aplicada, transmitirá esfuerzos a la masa de suelo y producirádeformaciones correspondientes al rango elástico.

τ

Area

Qqq

admaplicada==

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Fig. 4.- (a) Esfuerzos cortantes en un talud; (b) Distribución de los esfuerzos que transmite

la fundación a la masa de suelo.

En el caso “b” de la fig.4, para la estimación de estos esfuerzos ydeformaciones, se considera que el suelo es homogéneo, isotrópico ylinealmente elástico.

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La teoría de elasticidad para la solución del problema de carga, estádesarrollada tomando en consideración la teoría del semiespacio deBoussinesq para carga puntual (fig.5).

Semiespacios de Boussinessq limitados porun plano horizontal, de profundidad infinita yde extensión horizontal infinita.

Fig.5.- Semi_especio de Boussinessq

de extensión horizontal infinita.

Problemas no presentados por la teoríade elasticidad, pueden ser resueltospor métodos de superposición, comolos mostrados en la fig. 6.

Fig.6.- Esfuerzos de la carga trapezoidal estimada por dos cargas triangulares.Prof. Silvio Rojas

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Condiciones sonnecesarias paraaplicar la teoríade elasticidad:

Los esfuerzos transmitidos al suelo debenpermanecer en el rango elástico, de maneraque no produzca deformaciones plásticas enla masa de suelo.

Se debe establecer un módulo elástico, representativo de la masa de suelo, por consiguiente la característica del suelo y su

Disposiciones delos estratos quese puedenencontrar parauna formaciónsedimentaria.

consiguiente la característica del suelo y su disposición lo deben permitir.

aplicación de la teoría de elasticidad puede hacerse con cierta confiabilidad

Aplicación teoría daráresultados que se alejan unpoco de los reales.

Estratificación con buzamiento Prof. Silvio Rojas

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Aplicación dela teoría deelasticidad:

En arcillas homogéneas saturadas, se utiliza concierta seguridad comprobada en campo ylaboratorio, para la estimación de esfuerzos ydesplazamientos.

Se aplica con ciertas reservas para la estimación de esfuerzos en arenas

En suelos arcillosos se utiliza para predecirasentamientos inmediatos.

En suelos granulares no es aplicable para predecir asentamientos.

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•Desarrollada teóricamente

•Poco sistematizada en

Entonces se estudiará :Más desarrollada basada en la teoría de elasticidadLa teoría de elasticidad isotrópica

Teoría de elasticidadanisotrópica (anisotropía •Poco sistematizada en

ábacos para aplicaciónpráctica.

ASENTAMIENTOS BASADOS EN LA TEORIA DE ELASTICIDAD

Las cargas aplicadas sobre el terreno producen deformaciones. La teoríade elasticidad, proporciona las siguientes relaciones, para determinar ladeformación vertical y el asentamiento vertical a través de la integral delas deformaciones.

anisotrópica (anisotropíatransversal).

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[ ]yxzz E

σνσνσε ∆⋅−∆−∆= 1 (1)

donde:

εz: Deformación vertical.

∆σz: Incremento de esfuerzo en la dirección “z” producido por la cargacolocada al suelo.

∆σx: Incremento de esfuerzo en la dirección “x”producido por la cargacolocada al suelo.

∆σy: Incremento de esfuerzo en la dirección “y” producido por la cargacolocada al suelo.

ν: Coeficiente de Poisson.

E: Módulo de elasticidad del suelo.

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( )[ ]∫ ⋅∆+∆−∆= z

yxzdz

ES

0

1 σσνσ (2)

donde:

S: Asentamiento vertical.

dz: Diferencial de la profundidad “z”.

En la práctica son de interés las deformaciones verticales, es decir losasentamientos que se producen en la superficie del suelo, cuando la cargase aplica sobre el área de la cimentación. Sin embargo, la fig. 8, indica doscasos donde es de interés para el ingeniero deformaciones diferentes alas que ocurren en dirección vertical. Por ejemplo los corrimientosparalelos a la superficie del terreno son también peligrosas para lasestructuras soportadas, o incluso llegan a ser determinantes. Esto ocurre,por ejemplo, cuando los movimientos del terreno se deben a excavacioneslaterales o profundas. También es determinante conocer lasdeformaciones tangenciales y radiales alrededor del túnel.

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Fig. 8.- (a) Edificaciones afectadas por la deformación que producen las grietas de tensión.

(b) Deformación radiales y tangenciales que sufre la roca por la abertura del túnel.

Sin embargo, aquí se tratarán los asentamientos en el sentido vertical,producidos por fundaciones tales como las indicadas en la figura 9.

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Fig. 9.- (a) Losa de fundación rígida de concreto donde se apoyan varias columnas

(b) Zapata aislada rígida de concreto; (c) Relleno de material donde se apoya un tanque.

Una fundación flexible puede considerarse, cuando:

• Almacenamiento de carburantes

• Pilas de minerales

• Almacenamientos a granel Prof. Silvio Rojas

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Respecto a los parámetros de elasticidad “E” y “ν”, no son constantes enla masa de suelo, especialmente en depósitos de arena (ver fig. 10), poresta razón las expresiones obtenidas a partir de la teoría de elasticidadno se deben aplicar para determinar los asentamientos en arenas, paraello se existen una serie de métodos empíricos, que se estudiaran másadelante.

Fig. 10.- (a) Fundaciónapoyada en un estrato dearena; (b) Diagramaesfuerzo deformaciónpara una arena.

En un estratode arcilla estosparámetrostienen pocavariación.

por tanto la teoría de elasticidad puede ser aplicada.para predecir los asentamientos inmediatosllamados también asentamientos elásticos

Asentamiento inmediatos que se producen en losdepósitos de arcilla saturada en condiciones nodrenadas.

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100% distorsión

0% cambio de volumen

Fig. 11.- Asentamiento instantáneo debajo de la fundación.

Si la arcilla está saturada, se habla de un módulo no drenado Eu y elcoeficiente en esta caso tendrá un valor de 0.5 (ν = 0.5) y por tanto elasentamiento instantáneo ocurrirá sin cambio de volumen y con un cienpor ciento de distorsión. El módulo cortante en este caso lo expresa lateoría de elasticidad, como:

( )ν+⋅=

12

EuGu (3)

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εεεε ++=COPIAR LAMINA

donde:

Gu: Módulo cortante no drenado.

Eu: Módulo de elasticidad no drenado.

ν: Coeficente de Poisson para el caso no drenado.

zyxavolumétricεεεε ++=

[ ] [ ] [ ]yxzzxyzyxavolumétric EEE

σνσνσσνσνσσνσνσε ⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−⋅= 111

Si νννν =0.5, resulta:

[ ] 01 =−−−++⋅=

zyxxyzavolumétric Eσσσσσσε

( ) ( ) '12

''

12 νν +⋅=

+⋅= E

GEu

Gu

( ) ( ) ( ) ( )2

3'1 tienese

'1

'

2

3

'12

'

12<+

+⋅=⇒

+⋅=

+⋅ν

νννE

EuEEu

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ELASTICIDAD EN EL SENTIDO RESTRINGIDO

Se entiende así:

•Cumple la ley de Hooke, es decir la relación esfuerzo deformación seexpresa por:

εσ=E E⋅= εσε E⋅= εσ

donde:

E: Módulo de elasticidad

ε: Deformación que sufre el suelo

σ: Esfuerzo que produce la deformación

•EL módulo de elasticidad (E) es el mismo en tracción que en compresión

•La materia que constituye el semiespacio de Boussinesq tiene la resistenciasuficiente para seguir respondiendo elásticamente bajo las tensiones que seproduzcan en todos y cada uno de los puntos del semiespacio.

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La fig. 12, muestra el semiespacio y la ley de Hooke.

Fig. 12.- (a) Semi_espacio deBoussinesq; (b) Ley deHooke.

En el siguiente caso, el semiespacio de Boussinesq debe reemplazarsepor un modelo isotrópico no homogéneo, tal como se indica acontinuación.

MODELO DE CAPA ELASTICA SOBRE BASE RIGIDA

Este modelo considera:

•Capa elástica es homogénea en todos sus puntos

•Base rígida es homogénea en todos sus puntos Prof. Silvio Rojas

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Fig. 13.- Capa elástica con móduloconstante sobre base rígida.

Sin embargo el suelo no homogéneo en todos sus puntos, ya que por logeneral el terreno es más compacto y menos deformable a medida queincrementa la profundidad.

Algunas variaciones más representativas del módulo, se ind icanen la fig. 14.

Función monótoma

Fig. 14.- Modelos derepresentación de lavariación del módulo. (a)Función monótomacreciente; (b) Función linealcon módulo inicial Eo; (c)Función lineal sin móduloinicial.

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Para semiespacio heterogéneo, la ley más sencilla que se puedeproponer para el módulo (fig. 14b), es:

E = E0 + m.z (5)

donde:

E: Módulo de elasticidad

m: Pendiente de la variación del módulo

z: Profundidad

La pendiente puede ser expresada, usando los parámetros indicados enla fig. 14b, como:

β0

Em=

m

E0=β (6)

Sustituyendo la ec.6 en la ec.5, se tiene:

zE

EmEE ⋅⋅+=

0

0

0 (7)

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⋅+= z

E

mEE

0

01 (8)

+=βz

EE 10

(9)

•Si m = 0 E = E0, entonces se obtiene el semiespacio de Boussinesq

•Si m ≠ 0 y E0 = 0, el módulo de Young vale cero en superficie, locual corresponde a la fig.14c.

•E0 = 0 (Constituye una limitación teórica muy seria, ya que esfísicamente inconcebible un material con esa propiedad), sin embargo,existen suelos muy especiales como arenas sueltas en superficie cuyadensidad aumenta con la profundidad y donde este modelo pudieraservir.

También existe el semiespacio de Winkler, representado a través de:Prof. Silvio Rojas

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k

σδ = (10)

donde:

δ: asentamientos de los puntos

σ: presión que causa el asentamiento

k: coeficiente de balasto o de reacción vertical

semiespacio de Winkler,

k: coeficiente de balasto o de reacción vertical

La ec. 10, indica que el asentamiento es proporcional a la presión (σ) quelo causa a través del coeficiente de balasto. Las unidades de estecoeficiente, son las correspondientes a un peso especifico, es decir(kg/m3 ó grs/cm3 ó ton/m3). Se puede decir que la zapata está flotandoen un fluido de densidad k ó que la zapata se hundió en el semiespacio deWinkler.

Si “δ” se expresa como:Prof. Silvio Rojas

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z⋅= εδ (11)

La ec. 10, se escribe:

zk

⋅=

εσ (12)

Sustituyendo la ec. 4, en la ec. 12, se tiene ahora que el módulo debalasto es función del módulo de young.

z

Ek =

Se aprecia que esta expresión de “k”, es la pendiente “m”de la recta de lafig. 14c, para un medio heterogéneo sin módulo inicial. Por tanto sedemuestra que el semiespacio de Winkler coincide con el modelo deheterogeneidad lineal con E0 = 0 en superficie.

El modelo físico de Winkler, está representado en la fig.15.

Equivalente al modelo lineal sin módulo en superficie

E = E0 + m.z

Eo=0

m = E / z

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Fig. 15.- Modelo de Winkler.

MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMATICAMENTEPOR HOLL (1940)POR HOLL (1940)

Frohlich, representa el modelo indica en la fig. 14a, de acuerdo a:

λzEEoz⋅=

)(

para λ < 1 (14)

donde:

E(z): Variación del módulo con la profundidad.

Eo: Módulo de elasticidad en superficie.

λ: Parámetro que define la variación del módulo

λ= 0 Boussinesq

λ= 1 Winkler

λ < 1 el módulo no incrementa indefinidamente

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Consideraciones:

•Como λ < 1 el gradiente del módulo de elasticidad disminuye enprofundidad, lo que se asemeja más a la realidad en comparación con lavariación lineal (función monótoma).

•Si λ = 0, coincide con el semiespacio de Boussinesq.

•Si λ = 1, coincide con el módelo de Winkler.•Si λ = 1, coincide con el módelo de Winkler.

De lo anterior, se aprecia que las heterogeneidades posibles del terreno sonde gran dificultad para evaluarlas en el laboratorio o campo, e influyen en laestimación de las tensiones y asentamientos que sufre la masa de suelo.

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ESTIMACIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES APLICANDO LA TEORÍ A DE ELASTICIDAD PARADISTINTOS CASOS DE CARGA

CARGA PUNTUALLa fig. 16, muestra este caso, ilustrando un punto donde se desea conocer los esfuerzos.

QQ

Fig. 16.-(a) Carga puntual aplicada en superficie y ubicación del punto de interés en la masa de suelo(b) Punto en la masa de suelo representado a través de un elemento tridimensional, donde seindican los esfuerzos que actúan en el mismo.

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Las siguientes ecuaciones permiten calcular los esfuerzos vertical, radial, tangencialy cortante en el elemento de suelo considerado.

5

3

23

_πρ

σ QzV =∆

33_

zQV

+⋅

⋅⋅=∆π

σ

(15)

(16)2/522 )(2

_zr

V+

⋅⋅

=∆π

σ

+++−−

+=∆

2/122222/522

2

)(

21

)(

3

2_

zrzzr

v

zr

zrQr

πσ

+++−

+−−=∆

2/122222/322 )(

1

)()21(

2:_

zrzzrzr

zv

Q

πθσ

+=∆

2/522

2

)(23

:_zr

rzQrz

πτ

(17)

(18)

(19)

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Donde:∆σ_v: Esfuerzo vertical sobre las caras horizontales del elemento. Tambiénseusará la simbología "σz".Q: Carga puntual aplicada en la superficie del sueloρ: Radio para ubicar el elemento desde el punto de aplicación de la carga.r: Distanda horizontal desde de la línea vertical al punto donde se ubica elelementoelementoz: Profundidad a la cual se encuentra el elementoυ: Coefieciente de Poisson∆σ_r: Esfuerzo horizontal en la dirección de "r" sobre caras verticales delelemento. También se usará la simbología "σr"∆σ_θ: Esfuerzo horizontal en la dirección de "θ " sobre caras verticales delelemento. También se usará la simbología "σθ "

∆τrz: Esfuerzo tangencial sobre caras verticales y horizontales del elemento.También se usará la simbología "τrz“

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Page 34: CapIII_001-048

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2

122 )__(_ rzVh τσσ ∆+∆=

( ) ( )[ ]2

1

22223

522

2

)(

1

2

3_

+⋅

+⋅

= zrzzr

Qh

πσ

(20)

(21)

Esfuerzo resultante en un plano horizontal (σ_h):

)(2 + zrπ

( ) ( ) ( )[ ] 2

1

2226

22222

11

2

3_

+⋅+

⋅+

⋅= zrzzrzr

Qh

πσ

( ) ( ) ( )2

1

22

22

4

222

1

2

3:_

+⋅+

⋅+

⋅= rzzr

z

zr

Qh

πσ

(22)

(23)

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Definición del ángulo “ψ”:

2

2cos

cos

=

=

ψ

ρψ

z

z

(25)

( )222

2

2

3_

zr

zQh

+⋅⋅=

πσ (24)

2cos

ψ z

(26)

Por tanto se puede escribir:

2

2 1cos

2

3:_

ρψ

πσ ⋅⋅= Q

h

( )222

2

2

3:_

zr

zQh

+⋅=

πσ

(27)

(28)

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Variando el ángulo que define el pto. de aplicación

Veamos los esfuerzos en los planos horizontales:σh=4ton/m2 (se buscara la isobara de este valor de esfuerzo) cuandoQ=1ton.De la ec. 27 se puede escribir:

ψπ

ρ 22 cos83

: ⋅= Q(29)

180180,

18010,

1800

πππψ =

Los resultados se indican en la fig. 17 y 18.

(30)

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Fig. 17- Representación de la isobara de esfuerzo de 4 ton/m2, función de la ubicación del punto.

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Fig. 18.- Isobara producida con esfuerzo horizontal de 4 ton/m2, resultante en planos horizontales, poruna carga puntual de 1 ton.

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Distribución de esfuerzosproducidos en unplano vertical(ver fig. 19):Datos:Q =1 ton. ν = ½ r = 2 m. (distancia que define la ubicación del plano vertical)z = 0, 0.1, ... 5 (variación de la profundidad)Aplicando la ec. 3, resulta:

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Fig.19.-Distribuciónde los esfuerzos en unplano vertical ubicadoa 2m del punto deaplicación de Q = 1ton.

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Buscando la profundidad donde ocurre el máximo esfuerzo.

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Esfuerzos verticalen unplano horizontalubicado a 2 m (ver fig. 20).Datos:Q = 1 ton.z = 2 mr = -5, -4 .... 4 (variación del radio)

Q está aplicadaen superficie

Fig. 20.- Distribucióndel esfuerzo vertical enun plano horizontalubicadoa 2 m deprofundidad.

z= 2 m

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Isobaras de esfuerzos vertical(ver fig. 21):σz = 4 ton/m2 y σz = 8 ton/m2. Q =1 tonA partir de la ec.1, se escribe:

Variando el ánguloψ en el siguiente rango:

180360,

18010,

1800:

πππψ =

Resulta:

Fig. 21.- Isóbaras de esfuerzo vertical 4 y 8 ton/m2.

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La expresión para calcular el asentamiento producido por una carga puntual, vienedada por:

En un plano horizontal

Donde:S(r):Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una línea horizontalE: Módulo de elasticidad del sueloν: Coeficiente de PoissonDatos, para el asentamiento superficial (ver fig. 22):Q = 1 tonν = 0.5 E = 1000 ton/m2 z = 0 (superficie) ψ = 90º (representa unalínea horizontal)r = 0.1, 0.2, ..... 10 (variación de r)

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Fig. 22.- Asentamiento superficial a diferentes distancias del pto de aplicaciónde Q.

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Datos, para elasentamiento a distintas profundidades(fig. 23):

z = 0.1, 0.2,....10 m

E = 1000 ton/m2 ν = 0.5 ψ = 0º (representa línea vertical)

r =0 (línea vertical coincide con línea de acción de Q)

En un plano vertical

Donde:

S(r): Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una línea vertical.

E: Módulo de elasticidad del suelo.

ν: Coeficiente de Poisson.

En un plano vertical

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Fig. 23.- Asentamiento en la línea de acciónde Q a diferentes profundidades.

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CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITALa fig. 24, muestra una carga lineal de longitud, infinita, la cual producedeterminados esfuerzos en un elemento de suelo, representado por un cubo. Ademásse indica la dirección del esfuerzo principal actuando en el cubo.Las siguientes ecuaciones, permiten calcular los esfuerzos:

222

3

)(.

.2:

zx

zQz

+=

πσ (33)222 )(

.:zx

z+

σ

.)(

..2:

222

2

+=

zx

zxQx

πσ

2.

..2:

ρπνσ zQ

y =

.)(

..2:

222

2

+=

zx

zxQxz

πτ

2._ρπ

τ zQmàx=

(34)

(33)

(35)

(36)

(37)

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Fig. 24.- Esfuerzos en unelemento de suelo producidospor una carga lineal.

Nota: La simbología se corresponde con las utilizadas para una carga puntual.Se considera que los esfuerzos principales coinciden con las siguientes direcciones:

rσσ =1 σψσ =2 yσσ =3

2...2

:1ρπ

σ zQ=

0:2 =σ

(38)

(39)Prof. Silvio Rojas

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Veamos las isóbaras para los esfuerzos:σz = 4 ton/m2 σ1= 4 ton/m2 cuando Q = 1 ton/mA partir de las ecuaciones 33 y 38, se escribe:

)(cos...2

: 3 ψπσ

ρz

Q=

)cos(..1

.2:1 ψ

πσρ Q=

(40)

(41)222

3

)(.

.2:

zx

zQz

+=

πσ 2.

..2:1

ρπσ zQ=

.1πσDonde:ρ: Radio para el ploteo de la isobara deσz = 4 ton/m2ρ l: Radio para el ploteo de la isobara deσ1 = 4 ton/m2Con la ayuda de la fig. 24, se puede expresar que las coordenadas (x,z) para elploteo, vienen dadas por:

)sin().(:)( ψψρψ =x )cos().(:)( ψψρψ =z

)sin().(1:)(1 ψψρψ =x )cos().(1:)(1 ψψρψ =z

(42)

(43)

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donde:x,z: Coordenadas para la isobaraσz = 4 ton/m2xl,zl: Coordenadas para la isóbaraσ1= 4 ton/m2Haciendo variar el ánguloψ, en el siguiente rango se obtiene la fig. 25.

18090,

180.89,

180.90:

πππψ −−=

Fig.25.- Isóbaras de los esfuerzos σz = 4 ton/m2 σ1= 4 ton/m2 producidos por una caraga Q = 1 ton/m

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El asentamiento de la superficie, respecto a un punto inmóvil situado a unaprofundidad "d" bajo la carga linealtal como se muestra en la fig. 26, se determinaa través de:El desplazamiento horizontal, viene dado por la siguiente expresión:

QSx

).21).(1.(:

νν −+=(44)

E

QSx

.2).21).(1.(

:νν −+=

El asentamiento vertical, se estima a través de:

−=x

d

E

QSz ln.

1.

.2:

2νπ

(44)

(45)Asentamiento en superficie

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Fig. 26.- Ubicación de un pto en la masa de suelo donde se deseadeterminar el asentamiento producido por una carga lineal infinita.

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Consideremos los siguientes datos para la estimación del asentamiento vertical (verfig. 27):Q = 1 ton/m v = 0.5 E =1000 ton/m2 d= 2 m.

El resultado se muestra en la fig. 27

Fig. 27.- Asentamiento producido por una carga lineal.Prof. Silvio Rojas

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CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJAINFINITA

La fig. 28 muestra la geometría y los parámetros necesarios para calcular losesfuerzos en un punto de la masa de suelo,producidos por una carga en franja.

Expresiones derivadas para la fig. a:

)).2cos(.sin.(:_ βαααπ

σ ++=∆ qv

)).2cos(.sin.(:_ βαααπ

σ +−=∆ qx

).2sin()sin(.:_ βααπ

τ +⋅=∆ qxz

(46)

(47)

(48)

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Fig. 28.- (a) y (b) Ubicación del punto en análisis a través de ángulosy longitudes,para la estimación de los esfuerzos.

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)).2cos()..2sin(.2.(: ψεεπ

σ += qz

)).2cos()..2sin(.2.(: ψεεπ

σ −= qh

(49)

(50)

Expresiones derivadas para la fig. b

)).2cos()..2.(sin(: ψεπ

τ qzh =

)).2sin(.2.(:1 εεπ

σ += q

)).2sin(.2.(:3 εεπ

σ −= q

(51)

(52)

(53)

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Fundaciones

Donde:

∆σ_v ó σz : Esfuerzo vertical sobre las caras horizontales del elemento.

∆σ_x ó σh : Esfuerzo horizontal sobre las caras horizontales del elemento.

∆τ_rz ó τzh : Esfuerzo tangencial sobre caras verticales y horizontales delelemento.

q: Esfuerzo que transmite la franja al suelo.

σ1, σ3: Esfuerzos principales que se producen en el elemento analizado.

α, β, ε, α1, α2, ψ: Angulos que definen la ubicación del punto.

L1, L2: Longitudes necesarias para determinar los ángulos.

z: Profundidad del pto.

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Fundaciones

1: σσ =z q=:1σ

Algunas consideraciones:Para 2.ε = 180º, resulta:

0:=zhτ q=:3σ

De la fig.28b, resultan las siguientes relaciones:

ρψ z=:cos

2:)1cos(

L

xa +=α

2:)1sin(

L

z=α

)21(180:.2 ααε +−=

(54)

(55)

(56)

(57)

Expresando los ángulos en función de la distancia (x, z)

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Page 60: CapIII_001-048

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Fundaciones

ax

z

−=:)3tan(α

[ ]2

122)(:1 zaxL +−=

)1sin(:

).2sin( αε =

(58)

(59)

(60)

Expresando los ángulos en función de la distancia (x,z)

1)1sin(

:.2

).2sin(La

αε =

=2

.1.2

:)2sin(L

z

L

(60)

(61)

[ ]2

122)(:2 zaxL ++=

(62)

[ ][ ]

+++−

=2

122

122

)(.

)(

.2:).2sin(

axz

z

zax

aε (63)

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Page 61: CapIII_001-048

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Fundaciones

.)(

:cos2

122 zx

z

+=ψ

[ ][ ] [ ]

+++−=

2

1222

122 )(

.)(

.2sin:.2

axz

z

zax

aaε .

)(cos:

2

122 zx

zar

+=ψ

Sustituyendo las expresionesde los ángulos en las ecuaciones 49, 50, 51, 52 y

(64)

(65)

Expresando los ángulos en función de la distancia (x,z)

Sustituyendo las expresionesde los ángulos en las ecuaciones 49, 50, 51, 52 y 53, resulta:

( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

+⋅

++

+−

+

++

+−=

21

2221

222

122

2

1222

122

)(cos2cos.

)(.

2

....)(

.2

sin

:)(

zx

zar

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aar

qxz

πσ

(66)

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Page 62: CapIII_001-048

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Fundaciones

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]

++

+−

+

++

+−=

2

122

2

1222

1222

122 )(

.2

)(.

2sin:)(1

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aar

qx

πσ (67)

( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

+⋅

++

+−

−+

++

+−=

21

2221

222

122

2

1222

122

)(cos2cos.

)(.

2)1(

....)(

.2

sin

:)(

zx

zar

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aar

qxx

πσ

(68)

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Page 63: CapIII_001-048

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Fundaciones

( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

++

+−

−+

++

+−=

2

122

2

122

2

1222

122

)(.

2)1(

....)(

.2

sin

:)(3

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aa

qx

πσ (69)

( )[ ] [ ]

+

++

+−=

2

1222

1222

122

)(cos2sin.

)(.

2:)(

zx

xa

axz

z

zax

aqxzh

πτ

(70)

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Page 64: CapIII_001-048

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Fundaciones

Consideremos los siguientes datos:

q = 10 ton/m2 a = 2 m (semi- ancho de la franja)

z = 5 m (Esfuerzos en elementos de suelos ubicados a una profundidad de 5 m)

x = -10, -9....10 (longitud del plano horizontal)

Los resultados se muestran en la fig. 29.

Fig. 29.- Esfuerzos

Z = 5 m

Fig. 29.- Esfuerzosproducidos por unafranja cargada conq = 5 ton/m2 a unaprofundidad de 5 m.

Tarea:

Determine los esf. σ1, σ3 σ1, σ3 σ1, σ3 σ1, σ3 principales a partir de σσσσz, σσσσx, ττττxz. Compare con los gráficos

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Fundaciones

Determinación de la abscisa para la cual ocurre el cortante máximo

TOL=10-5

x:=2

( )[ ] [ ]

+⋅

++

+−=

2

1222

1222

122

)(cos2sin.

)(.

2:)(

zx

xa

axz

z

zax

aqxzh

πτ

( )[ ] [ ] + ++ +− )()( zxaxzzax

)(:)( xzhdx

dxf τ=

x:=root(f(x),x)x=3.109

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Page 66: CapIII_001-048

Determinación de la abscisa para la cual ocurre el esfuerzo sigma "x" máximo

TOL=10-5

x:=3

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Fundaciones

( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

+⋅

++

+−

−+

++

+−=

2

1222

122

2

122

2

1222

122

)(cos2cos.

)(.

2)1(

....)(

.2

sin

:)(

zx

za

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aa

qxx

πσ

)(:)( xzhdx

dxf σ=

x:=root(f(x),x)x=5.008

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Page 67: CapIII_001-048

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Fundaciones

CARGA CON DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJAINFINITA

La fig. 30.- muestra la ubicación de un punto en la masa de suelo donde sedesea determinar los esfuerzos producidos por una carga triangular.

Fig. 30.- Elementos de ubicación de unpunto sometidoa carga triangular.

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Fundaciones

Los esfuerzos en el pnnto se estiman a través de:

−=∆ )2sin(21

..: βαπ

σB

xqv

(71)

+

−=∆ )2sin(2

1

2

1...:

2

2

βαπ

σR

R

B

z

B

xqx

−+=∆ αβπ

τ ..2

)2cos(1..2

:B

zqxz

De la fig. se determina:

(72)

(73)

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Page 69: CapIII_001-048

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Fundaciones

(74)

(75)

Angulos y radios en función de (x,z)

(76)

(77)

Sustituyendo las ecuaciones 74, 75 y 76 en las ecuaciones 71, 72 y73, resulta:

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Fundaciones

(78)

(79)

Considerando los siguientes datos:

b= 2 m q = 10 ton/m2 z = 5 m B = 2.b

x = 0,1.... 10

El resultado lo muestra la fig. 31.

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Fundaciones

La carga está aplicada es en superficie

Compresión

Fig. 31.- Esfuerzos producidos en un elemento de suelo por una carga triangular.

Tensión

Compresión

Tensión

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Fundaciones

El asentamiento superficial que produce la carga triangular se estima através de la siguiente expresión:

Esta ec. se escribe como:

(80)

(81)

donde:

δ: Asentamiento superficial variando con la distancia “x”.

E: Módulo del suelo.

ν: Coeficiente de Poisson.

Consideremos los siguientes datos:

q = 10 ton/m2 b= 2m

x = 0,1.. 10 ν = 0.5 E = 1000 ton/m2 z = 0

El resultado se muestra en la fig. 32.

(81)

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Page 73: CapIII_001-048

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Fundaciones

Fig. 32.- Asentamiento producido por una carga trian gular.

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CARGA UNIFORME MÁS CARGA TRIANGULAR

La fig. 33, muestra el caso de carga uniforme más carga triangular, asícomo todos los elementos necesarios para la ubicación de un punto de lamasa de suelo, donde se quiere estimar los esfuerzos que produce estesistema de carga.

Los esfuerzos vertical, horizontal y cortante, en un punto de la masa desuelo, se estimarán a través de las siguientes expresiones:

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Fundaciones

(82)suelo, se estimarán a través de las siguientes expresiones:(82)

(82)

(83)

(84)

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Page 75: CapIII_001-048

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Fundaciones

Fig. 33.- Geometría requerida para la ubicación de un elemen to

de suelo bajo el sistema de carga uniforme y triangular.

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Fundaciones

Donde:

q: Esfuerzos que transmite la carga en superficie en la masa de suelo

ro, r1, r2: Radios de las líneas para ubicar el elemento de la masa desuelo.

a, b: Ancho de distribución de las cargas.

z: Profundidad a la cual se ubica el elemento.

x: Abscisa que ubica al punto en la masa de suelo.

α1, α2, α3, α4, α y β: Angulos que definen la geometría

De la fig. se escriben las siguientes relaciones:

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Fundaciones

(85)

(86)

(87)Angulos y distancias

Si x < a:

(87)

(88)

(89)

Angulos y distanciasescritas en función de (x,z)

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Page 78: CapIII_001-048

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Fundaciones

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

Angulos y distanciasescritas en función de (x,z)

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Page 79: CapIII_001-048

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Fundaciones

(97)

Las ecuaciones 82, 83 y 84, se escribirán ahora de la siguiente manera:

Para x ≤ a:Para x ≤ a:

(98)

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Page 80: CapIII_001-048

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Fundaciones

(99)

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Page 81: CapIII_001-048

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Fundaciones

(100)

Para x ≥≥≥≥ a: (carga uniforme)

(101)

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Fundaciones

(102)

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Page 83: CapIII_001-048

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Fundaciones

(103)

Consideremos los siguientes datos para la estimación de los esfuerzos:

Los resultados se muestran en la fig. 34.

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Fig. 34.- Variación de los esfuerzos a una profundidad de 5 m producidos por una cargauniforme y triangular

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Fundaciones

DOS CARGAS TRIANGULARES AXIMETRICAS

La fig. 35, muestra la geometría de una carga triangular asimétrica.

Fig. 35.- Carga triangular asimétrica.

⋅⋅+

⋅⋅−⋅−++⋅⋅=1

2ln

2

2

3ln

2

r

r

a

z

r

r

b

z

b

xba

a

xqx

βαπ

σ

⋅−++⋅⋅= βαπ

σb

xba

a

xqz

⋅−⋅⋅= βαπ

τb

z

a

zqxz

(104)

(105)

(106)

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Page 86: CapIII_001-048

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Fundaciones

DOS CARGAS TRIANGULARES SIMETRICAS

La fig. 36 muestra la geometría de una carga triangular asimétrica.

Fig. 36.- Carga triangularsimétrica.simétrica.

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Fundaciones

Los esfuerzos en punto de la masa de suelo, que produce la carga triangular puedeestimarse por:

( ) ( )

−⋅++⋅=∆ 2121 ααααπ

σb

xPv

( ) ( )

⋅⋅⋅−−⋅++⋅=∆2

21ln

22121

Ro

RR

b

z

b

xPh

ααααπ

σ

(107)

(108)

Robbπ

( )[ ]21 ααπ

τ −⋅⋅⋅=∆b

zPxz

(109)

De la fig. 36, se determina:

( ) ( ) R2 R1 222222 zbxzbxzxRo +−=++=+= (110)

( ) ( )RoR

bRoR

RoR

bRoR

⋅⋅−+=

⋅⋅−+=

22

22cos

12

11cos

222222

αα (111)

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DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRÁFICOS

Carga triangular y rectangular de longitud infinita

La fig. 37 y 38, presenta estos casos.

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Fundaciones

Tarea:

Compare los resultados de la fig. 37, con los obten idos con la ayuda de las ec. 107, 108, 109, 110, 111.

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Fundaciones

Fig. 37.- Esfuerzosprincipales bajo unacarga triangular delongitud infinita.

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Fundaciones

Fig. 38.-Esfuerzosprincipales bajouna cargarectangular delongitudinfinita.longitudinfinita.

Tarea:

Compare losresultados con losobtenidos por las ec.49, 50, 51, 52 y 53.

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Page 91: CapIII_001-048

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Fundaciones

Carga uniformemente distribuida sobre unárea circular

Esta situación se puede presentar teóricamente cuando la carga sobre el terrenoes producida, no por un elemento estructural sino por una capa pura como unacopio de mineral, etc.

Para una carga puntual el esfuerzo está dado por:

3 3zQ ⋅⋅=σ (112)

( )

2

3

2

522 zr

zQz

+⋅

⋅⋅=π

σ

dQ dAq ⋅=

( )2

522

3

z 23

d zr

zdQ

+⋅

⋅⋅=

πσ

La fig.39 muestra una carga circular uniformemente distribuida, a partir dela cual sededucen algunas expresiones:

En este caso:

(112)

(113)

(114)

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Fundaciones

Fig. 39.- (a) Area circular bajo unacarga uniformementedistribuida.(b) Sección indicandoun punto en eje central delárea

dAqdQ ⋅=

drdrdA ⋅⋅= θ

drdrqdQ ⋅⋅⋅= θ

(115)

(116)

(117)

( )drdrq

zr

zd

Z⋅⋅⋅⋅

+⋅

⋅= θ

πσ

2

522

3

23 (118)

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Page 93: CapIII_001-048

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Fundaciones

( )drd

zr

rzqd

Z⋅⋅

+

⋅⋅⋅⋅= θπ

σ2

522

3

23 (119)

( )

23 2

0 0 2

522

3

∫ ∫ ⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅=

π

θπ

σb

Zdrd

zr

rz

qd (120)

( ) 1 3

22

3

Z

+−⋅=

zb

zqσ (121)

( )2

322

Z

+ zb

(121)

eje elen solamente Z

Izq ⋅=σ (122)

Otra expresión equivalente a la anterior es la siguiente. Con la ayuda de la fig.39b,se escribe:

Iz: Factor de influencia

( )

1

11 1

2

322

322

3

+

−⋅=

+−⋅=

zb

qzb

zq

Zσ (123)En el EJE

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( ) Izqq ⋅=−⋅=Z

3

Z cos1 σασ EJE Vea la fig. 39 (124)

( )1121

++ νν

(125)( ) cos1

2

cos

2

21 3

⋅+−++⋅== ανανσσ θ qr

EJe

Eje

( )

1

1

12

1

2

21

2

122

32

+

+−

+⋅

++⋅==

zb

zb

qr

ννσσ θ (126)

0=θτr (127)

Egorov (1958)

σz para cualquier punto del semiespacio, se expresa:

( ) ( ) ( ) ( )

Π⋅+−+⋅

−++−⋅

++⋅−⋅= pk

t

tE

tn

tn

tn

nAq

okz,

11

11

122

22

22πσ

(128)

EJe

Eje

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donde:

E(k), Πo(k,p): Integrales elípticas completas de segunda y tercera especia, demódulos k y parámetros p.

t, n, k y p, se expresan a través de:

a

rt = (129)

a

zn =

( )22

2

1

4k

tn

t

++⋅=

( )21

t4-p

t+⋅=

(130)

(131)

(132)

Además:

A =1, si t <1

A=1/2 si t =1

A =0 si t> 1 Prof. Silvio Rojas

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donde:

a: Radio de carga circular

q: Esfuerzo aplicado por carga circular

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Las figuras 40, 41, 42 y 43, presentan este caso que permite obtener el esfuerzovertical y los esfuerzos principales, en cualquier punto.

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Fig. 40.- EsfuerzosFig. 40.- Esfuerzosverticales producidospor una cargauniformemente sobreuna superficiecircular.

Chequeo:

∆∆∆∆qs = 10 ton/m2

∆σ∆σ∆σ∆σv=? Para z/a =1 y x/R=0

Línea que representa centro del círculo

Línea que representa el borde del círculo

Zona fuera del círculo

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Para obtener el esfuerzo principal menorBorde

Chequeo:

∆∆∆∆qs = 10 ton/m2

∆σ∆σ∆σ∆σ1=? ∆σ∆σ∆σ∆σ3=?

Para z/a =1 y x/R=0

Compare con ∆σ∆σ∆σ∆σv.

Dibuje círculo de Morh

Para obtener el esfuerzo principal mayor

Eje

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Fig. 41.- Esfuerzos principales bajo una cargauniformemente repartida sobre una superficiecircular.

Lambey Whitman:Lambey Whitman:

En la superficie situada bajo elárea cargada, la variación delesfuerzo horizontal esaproximadamente igual a lavariación del esfuerzo vertical,como en una prueba decompresión isótropica. En estecaso la deformación horizontal esde compresión y los puntossituados en la superficie debenmoverse hacia el eje de carga.´

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Fig. 42.- Valores de 100∆σ1/P y100 ∆σ3/P para superficie circularflexible.

Esfuerzos en el eje

z

x

εεν = y

εε

ν =z

Tarea:

Para determinada carga ∆∆∆∆qs y determinada relación z/a, determine:

∆σ∆σ∆σ∆σ1=? ∆σ∆σ∆σ∆σ3=? ∆σ∆σ∆σ∆σz=? ∆σ∆σ∆σ∆σx =?, ∆τ∆τ∆τ∆τxz =?

Use fig. 40 y 41

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Fig. 43.- Factor de influencia para el incremento de esfuerzo vertical total bajo un área circular.

z/REje

Borde

Fuera del área cargada

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Asentamiento elástico debajo de unárea circular uniformemente distribuida. Para laestimación del mismo se partirá de la fig. 44 para la ubicación de un punto fuera delárea cargada.

P

Fig. 44.- Elementos definir el radio de un punto.

PP

Cuando a = 0Prof. Silvio Rojas

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( )2

12222222 cos2 cos2 θρθρ ⋅⋅⋅−++=⋅⋅⋅−++= razarrazar (133)

La fig. 45, define la ubicación de un punto bajo una carga puntual.

Fig. 45.- Elementos de ayuda en el caso de cargapuntual.

( ) ( )[ ] cos122

1 2ψνρπ

ν +−⋅⋅⋅⋅

+⋅=E

QS (134)( )[ ] cos12

2ψν

ρπ+−⋅

⋅⋅⋅=

ES

( ) ( )

+−⋅⋅⋅⋅

+⋅=2

2

122

1S

ρν

ρπν z

E

Q

(134)

(135)

Para la carga circular se plantea:θddrrqdQ ⋅⋅⋅= (136)

(137)( ) ( ) θνρρπ

ν π

ddrrz

E

qzrS

b

⋅⋅⋅

−⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅= ∫ ∫

0

2

02

2

121

21

),(

En cualquier ptoProf. Silvio Rojas

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Solución de la integral anterior, resulta en función de integrales elípticas de primera ysegunda clase Egorov (1958), Harr (1966)

Solución más simple es la propuesta por Ahlvin Y Ulery (1962):

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Fundaciones

( ) ( ) ( )

⋅−+⋅⋅⋅+⋅= HAb

zb

E

qzrS νν

11

, (138)

A,H: Funciones tabuladas

El asentamiento de bajo del centro (a=0), se presenta como:

( )( )

( )( )

θνπ

ν π

ddrrzrzr

z

E

qzS

b

⋅⋅⋅

+

−⋅++

⋅⋅⋅+⋅= ∫ ∫

0

2

0 2

1222

322

2 12

2

1),0( Carga circular en Eje (139)

Harr (1966), obtuvo la expresión de asentamiento en la línea vertical delcentro:

( ) ( ) ( )

+⋅−⋅+⋅−+⋅−⋅⋅⋅=

2

2

2

11211

12),0(

nn

nnn

E

qbzS

ν Eje (140)

donde n=z/b a=0 en el centro

Si n=0 (z=0) asentamiento en superficie

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( ) ( )E

qbS

2120,0

ν−⋅⋅⋅= (141)

Terzaghi (1943) determinó:

S(b,0): Asentamiento en el borde

( ) ( )0,02

0, SbS ⋅=π

(142)

Sm: AsentamientopromedioSm: Asentamientopromedio

( )0,085.0 SSm ⋅= (143)

La fig. 46, muestra la ubicación de un punto“P”, en el cual se desea determinar losesfuerzos y asentamiento, de acuerdo a Ahlvin y Ulery (1962).

Fig. 46.- (a) Elementos de ubicación de unpunto “P”; (b) Definición de los puntos enlas capas de un suelo estratificado.

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Los autores definen la deformación vertical y el esfuerzo vertical, através de :

( ) ( )[ ]BAE

qz

+⋅⋅−⋅+⋅= ννε 211

( )BAqz

+⋅=σ

(144.a)

(144.b)

εz: Deformación vertical bajo unárea circular uniformemente cargada a cualquierprofundidad y distancia“r”.

σz: Esfuerzoverticala la profundidad“z” y distancia“r”.σz: Esfuerzoverticala la profundidad“z” y distancia“r”.

A, B: Funciones tabuladas (Tabla 1,2 y 3).

Además para el caso de suelo estratificado, sugieren que el asentamiento puede serestimado como:

∑=

⋅∆=n

izii

zSe1

ε (145)

εzi: Deformación vertical en el centro de cada capa

∆Zi: Espesor de la capa“i”

Asentamiento a cualquier profundidad (z) y a cualquier distancia“r”: Prof. Silvio Rojas

Page 107: CapIII_001-048

( ) ( ) ( )

−+⋅⋅⋅+⋅= HAb

Z

E

bqzrS νν

11

,

(146)

S(r,z): Asentamiento

A,H: Funciones tabuladas (Tabla 1, 2 y 3)Tabla 1.- FunciónA (Según R.G.Ahlvin y H. R.Ulery, 1962)Eje

Borde

( )BAqz

+⋅=σ

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Fundaciones

Cont. Tabla 1.

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Tabla 2.- Función B (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)

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Fundaciones

Cont. Tabla2.

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Tabla 3.- Función H (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)

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Cont. Tabla 3.

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En la fig. 47, se presenta la distribución de presiones verticales calculadas por Fostery Ahlvin (1954).

Se observa que en los puntos a un mismo nivel bajo el circulo cargado, la tensión esprácticamente constante, excepto en la circunferencia límite de la carga y conprofundidades z/a < 2. El borde del círculo cargado es una línea singular en la cual lapresión es teóricamente la mitad de la carga sobre el círculo.

En la fig. 48, de foster y Ahlvin (1954) se presentan los asentamientos en todo elsemiespacio para el caso en queν = 0.5. La relación entre el asentamiento en elcentro y en el borde esπ/2.

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Fundaciones

Fig. 47.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical extensible.Distribucióntensiones verticales según Foster y Ahlvin (1954). Prof. Silvio Rojas

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Fundaciones

Valores para determinar asentamiento

Eje

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Fig. 48.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical extensible.Distribución de asentamientos para ν= 0.5, según Foster y Ahlvin (1954).

Borde

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Fundaciones

( ) ( )[ ])()(

2

)1(112

)0,(kkz

EtktE

qarS ++−⋅−⋅⋅= ν

Schleicher (1926), en la superficie del terreno, presento:

(147)

k(k), E(k), integrales elípticas de primera y segunda especie

2

2

1

4

t

tK

+= (148)

r

a

rt = (149)

Bajo el centro del círculo el asiento

( )E

qaS

z

212 ν−⋅⋅= (150)

Ejemplo:

x = 0 z = 0 ( ) ( )212

0,0 ν−=E

bqS para υυυυ = 0,5 75,0

2)0,0( ⋅=

E

bqS 50,1

.

. =qb

ES

El mismo valor de la gráfica.

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En la fig. 49 de Barber (1963), se presenta la distribución de presiones en labase del circulo para un coeficiente de Poisson ν = 0.5. Se aprecia que σz=0 en el centro, y a medida que se retira del centro este esfuerzo incrementahasta cierta distancia (borde).

Suelo cargado horizontalmenteFig. 49.- Carga circularrepartida uniformemente.Carga horizontal extensible.Distribución de tensionessegún Barber(1963).según Barber(1963).

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En la fig. 50, se presenta la distribución en la vertical delcentrodeσz y σr, para unmedio conν = 0.5 y ν= 0, producidos por una carga vertical circular uniforme. Seobserva que el coeficiente deν no influye en la tensión vertical, cuando la carga esextensible. La influencia deν es notable para la tensión radial.

La condición Inextensible:

Es una condición tal que, en la superficie del círculo no puedenproducirseEs una condición tal que, en la superficie del círculo no puedenproducirsemovimientos horizontales.

Paracarga inextensible o rugosa. Carga circular uniforme.

Distribución de tensiones en la vertical del centro del círculo, viene dada por lasfórmulas. Schiffman (1968)

( ) ( )

⋅⋅−

+−= azK

a

z

zap

z/,0

/1

11 2

0

2/3

2 ησ (151)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−⋅+−

++

+⋅+−+== azK

a

zazK

za

z

za

zP

r/,0

2/,0'1

12

2

21 2

002/322

3

2/1220νηννσσ (152)

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Fundaciones

( )

+−

= −2

1

0 /1/

tan/2)/,0('az

az

z

aazK π

(153) ( )( )[ ]22

2

0

/1

/8/,0

azazK

+= π

(154)

Fig. 50.- Cargacircular repartida

ν no influye en la tensión vertical para carga extensibleinfluencia de ν es notable para la tensión radial

circular repartidauniformemente.Carga vertical.Distribución detensiones segúnSchiffman (1968).(a) Tensionesverticales. (b)Tensiones radiales.

Z/a

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La fig. 51, presenta lavariación de la tensión tangencial sobre la superficie delcírculo, para el caso decarga inextensible. Se aprecia la gran influencia delcoeficiente de Poisson. En el borde del círculo (r/a = 1) la tensión tangencial esinfinita. También la fig. muestra los asentamientos que se presentan en superficie,producidos por una carga circular repartida, paraν = 0.5 y ν = 0; en este caso sepuede apreciar la gran influencia del coeficiente de Poisson.

Enz = 0Enz = 0

( )( ) 221

21

ra

rPrz −−

⋅⋅−=πνντ Si (r/a < 1) (155)

ττττrz = 0 Si (r/a) > 1 (156)

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Dsitribución de tensiones tangenciales

No hay corte en superficie

Fig. 51.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical inextensible. Distribuci ón detensiones tangenciales y asentamientos sobre la superficie del círculo, para νννν = 0.5 yνννν = 0, segúnSchiffman (1968).

tangenciales en la superficie .

Cortante en borde tiende a infinito

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En lo anterior se aprecia, que existen dos casos de carga:

Lisaó extensible:

Corresponde al caso en que lasuperficie del suelo, puede extenderse librementesin que la carga o el elemento transmisor de la carga al terreno presente ningunacoacción al movimiento deéste. El esfuerzo tangencialsobre la superficie delterrenosería siemprenulo, y esto sería por lo tanto, la condición de contornoterrenosería siemprenulo, y esto sería por lo tanto, la condición de contornoimpuesta para resolver el problema.

Rugosa o inextensible:

Se presenta cuando las condiciones de carga son tales queel suelo no puedeextenderse. Sería el caso por ejemplo deuna cimentación rugosaque coaccionasetotalmente el movimiento de la superficie del terreno en contacto con lacimentación. Para resolver el problema elástico se impondría entonces, comocondición de contorno, que bajo la carga losdesplazamientos horizontales fuerannulos.

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