capiii

SimulaciSimulacióón Numn Numéérica de rica de YacimientosYacimientos

CAPCAPÍÍTULO III: TTULO III: Téécnicas Numcnicas Numééricasricas

Elkin Rodolfo SantafElkin Rodolfo Santaféé RangelRangelIngeniero de PetrIngeniero de Petróóleosleos

BucaramangaBucaramanga –– Colombia Colombia ©© 20082008

©© Elkin SantafElkin Santaféé ●● 2008 2008 ●● SimulaciSimulacióónn NumNumééricarica de Yacimientosde Yacimientos CAP. III: CAP. III: TTéécnicascnicas NumNumééricasricas

La aproximaciLa aproximacióón por diferencias finitasn por diferencias finitas

• Es ampliamente usada.

• Busca aproximar el concepto de derivada.

• Es una aproximación discreta.

• Para ser aplicada requiere generalmente de un sistema de enmallado ortogonal.

• Aproxima la solución sobre un dominio físico del tamaño de la celda que contiene al nodo de interés.


Serie de TaylorSerie de Taylor

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nin

iiiii Rh

nxfhxfhxfhxfxfxf ++++++=+ !

...!3!2

3'''

2''

'1

( )( )( )

11

! 1+

+

+= n

n

n hn

fR ξ


Tipos de Diferencia FinitaTipos de Diferencia Finita

( ) ( ) ( )iii xfh

xfxf '1 ≈− −( ) ( ) ( )iii xf

hxfxf '1 ≈

−+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nin

iiiii Rh

nxfhxfhxfhxfxfxf ++++++=+ !

...!3!2

3'''

2''

'1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nin

iiiii Rh

nxfhxfhxfhxfxfxf +++−+−=− !

...!3!2

3'''

2''

'1

SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE

SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS

D.F. Progresiva D.F. Regresiva



SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE

SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS

D.F. Central

+

( ) ( ) ( ) ( ) ...!3

22 3'''

'11 +++= −+ hxfhxfxfxf i

iii

( ) ( ) ( ) ( ) ...!3 2

2'''

11' −−−

= −+ hxfh

xfxfxf iiii



DEFINICIÓN GEOMÉTRICA


Orden de TruncamientoOrden de Truncamiento

( ) ( ) ( )iii xfh

xfxf '1 ≈− −

( ) ( ) ( )iii xfh

xfxf '1 ≈−+ ( ) ( ) ( ) ( )iii xfhO

hxfxf '1 =+

−+

( ) ( ) ( ) ( )iii xfhOh

xfxf '1 =+− −

( ) ( ) ( )h

xfxfxf iii 2

11' −+ −≈ ( ) ( ) ( ) ( )211'

2hO

hxfxfxf ii

i +−

= −+


EDPEDP´́ss

2 0U∇ =

2 UUt

∂∇ =

∂2

22

1 UUC t∂

∇ =∂

ELÍPTICA

PARABÓLICA

HIPERBÓLICA (Onda)

2 (x)U f∇ =• Laplace• Poisson


Esquemas de aproximaciEsquemas de aproximacióón en 1Dn en 1D

dim

ensi

ón te

mpo

ral

dimensión espacial

1−ix 1+ixixxΔ

tΔ

it

1+itEXPLÍCITA – Molécula Computacional 1D



dim

ensi

ón te

mpo

ral

dimensión espacial

1−ix 1+ixix

xΔ

tΔ

it

1+it

IMPLÍCITA – Molécula Computacional 1D


CASO TIPO: Modelo difusivo en 1DCASO TIPO: Modelo difusivo en 1D

21 1

2 2

2i i iP P PPx x

+ −− +∂≈

∂ Δ

1n nP P Pt t

+∂ −≈

∂ Δ

Aproximando numéricamente:

Varían los índices asociados al espacio.

Varían los índices asociados al tiempo.

Esto genera una doble notación: P Índice de tiempo

Índice de espacio



CASO TIPO: Modelo difusivo en 1DCASO TIPO: Modelo difusivo en 1D

Los índices dependerán del esquema:

11 1

2

2n n n n ni i i i iP P P P P

x t

++ −⎛ ⎞− + −

=⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

1 1 1 11 1

2

2n n n n ni i i i iP P P P P

x t

+ + + ++ −⎛ ⎞− + −

=⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠Explícito Implícito simple

( ) 11 12 2n n n n n

i i i i it P P P P Px

++ −

Δ− + = −

Δ( )1 1 1 1

1 12 2n n n n ni i i i i

t P P P P Px

+ + + ++ −

Δ− + = −

Δ

( ) 11 12n n n n n

i i i i iP P P P Pλ ++ −− + = − ( )1 1 1 1

1 12n n n n ni i i i iP P P P Pλ + + + ++ −− + = −



CASO TIPO: EcuaciCASO TIPO: Ecuacióón de conduccin de conduccióón de calor en 1Dn de calor en 1D

Los índices dependerán del esquema:

Explícito Implícito simple

( ) 11 12n n n n n

i i i i iP P P P Pλ ++ −− + = − ( )1 1 1 1

1 12n n n n ni i i i iP P P P Pλ + + + ++ −− + = −

? ?1niP + 1 1 1

1 1, ,n n ni i iP P P+ + ++ −

1 incógnita1 ecuación

3 incógnitas1 ecuación

( )11 12n n n n n

i i i i iP P P P Pλ++ −= + − + ( )1 1 1

1 11 2n n n ni i i iP P P Pλ λ λ+ + ++ −− + + − =

Solución directa ! Sistema de ecuaciones !



CASO TIPO: Modelo Difusivo en 1DCASO TIPO: Modelo Difusivo en 1D

Aproximación de CRANK - NICHOLSON: esquema implícito alternativo, con exactitud de segundo orden para el espacio y el tiempo.

Implícito simple Crank - Nicholson

it

1+it1−ix 1+ixix 1−ix 1+ixix

21+it

Punto intermedio

Comparación entre las moléculas computacionales asociadas a cada esquema



CASO TIPO: EcuaciCASO TIPO: Ecuacióón de conduccin de conduccióón de calor en 1Dn de calor en 1D

Implícito simple Crank - Nicholson

1 1 121 1

2 2

2n n ni i iP P PP

x x

+ + ++ −− +∂

≈∂ Δ

1n nP P Pt t

+∂ −≈

∂ Δ

► Toda la aproximación espacial se hace en n+1

► Diferencia finita progresiva con aproximación de primer orden.

1 12 2

2 1 1 11 1

2

212 2

n n ni i i

n n ni i i

P P PP x

x P P Px

+ −

+ + ++ −

⎛ ⎞− ++⎜ ⎟∂ Δ⎜ ⎟≈

∂ ⎜ ⎟− +⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

► Se toma por referencia el punto intermedio y se promedia la variación espacial en n+1 y en n.

1n nP P Pt t

+∂ −≈

∂ Δ

► Se construye con una D.F. Central alrededor del punto intermedio.



Sistemas de ordenamiento en 1DSistemas de ordenamiento en 1D1 2 3 4 5 6 7 8

► Forma general de la matriz.Esta refleja las relaciones existentes entre las celdas que componen la malla.La matriz resultante para este caso es una tridiagonal.


MMéétodos de Solucitodos de Solucióónn

MMéétodo de Thomastodo de Thomas

MMéétodo de Ciclo reduccitodo de Ciclo reduccióónn


Problema de FronteraProblema de Frontera

Punto Punto CentradoCentrado

Punto Punto DistribuidoDistribuido

Condiciones de primera claseCondiciones de primera clase


Se conoce también con el nombre de condiciones tipo Dirichlet.


( ) ( )1,U izq t f t=

( ) ( )2,U der t f t=

( )1 0,1,...n nizqu f t n= =

Condiciones de primera claseCondiciones de primera clase



X1izqu f=

1izqu f=

Tiene implicaciones a nivel de la forma como se expresa la condición de frontera.

1 01 2

u uf +=

10

Condiciones de segunda claseCondiciones de segunda clase


Se conoce también con el nombre de condiciones tipo Neumann.


( )1U f tx

∂=

∂

X

1u fx∂

=∂ 1

u fx∂

=∂

1 2

1 2

Condiciones de segunda claseCondiciones de segunda clase



( ) ( )2 11

n nn

u uf t

x−

≈Δ

10

1 01

n nn u uf

x−

=Δ

-1

1 01

n nn u uf

x−

=Δ

0

Condiciones de tercera claseCondiciones de tercera clase


Se obtiene por una combinación de las dos condiciones anteriores.


( )1Ua bU f tx

∂+ =

∂II

I

0

1u 2uIIU




Considere que el reservorio I se encuentra conectado en X=0 con otro yacimiento de presión promedio conocida. Se requiere incluir la influencia del segundo yacimiento a través de la condición límite en X=0. El flujo desde el yacimiento II al I viene dado por:

( ) ( ) 1II I IIq t b U t u→ = −⎡ ⎤⎣ ⎦

donde b es una constante de proporcionalidad similar al índice de productividad.




De otro dentro del yacimiento I, la tasa de flujo debe satisfacer la Ley Darcy:

( )II IUq t ax→

∂=

∂

Estas dos ecuaciones combinadas da la ecuación de condición límite combinada dada a continuación:

( )IIUa bU bU tx

∂+ =

∂




Para una malla de punto distribuido se tendrá la siguiente aproximación:

212

n nII n n

II

a u Ubu bU

x

⎡ ⎤−⎣ ⎦ + =Δ


Esquemas de AproximaciEsquemas de Aproximacióón en 2Dn en 2D

2 2

2 2 0P Px y

∂ ∂+ =

∂ ∂EcuaciEcuacióón de n de LaplaceLaplace

( )2 2

2 2 ,P P f x yx y

∂ ∂+ =

∂ ∂EcuaciEcuacióón de n de PoissonPoisson

Fuentes o pérdidas de calor.

Ecuaciones Elípticas



21 1

2 2

2i i iP P PPx x

+ −− +∂≈

∂ Δ

21 1

2 2

2j j jP P PPy y

+ −− +∂≈

∂ Δ

1, , 1, , 1 , , 12 2

2 20i j i j i j i j i j i jP P P P P P

x y+ − + −− + − +

+ =Δ Δ

CASO TIPO: EcuaciCASO TIPO: Ecuacióón de n de LaplaceLaplace

( )[ ]2xO Δ ( )[ ]2yO Δ



2 2

2 2

P P Px y t

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

Ecuaciones Parabólicas

Esquema ExplEsquema Explíícitocito

Esquema ImplEsquema Implíícitocito

( ) ( )( )2 218

t x yΔ ≤ Δ + Δ

Dejan de ser tridiagonales y se pueden convertir en matrices dispersas.


Sistemas de ordenamientoSistemas de ordenamiento

► En 2D, la forma de la geometría se determina con el sentido del ordenamiento. Si se escoge un ordenamiento normal, el resultado será una matriz con 5 diagonales y un somero grado de dispersión.


MMéétodos de solucitodos de solucióónn

MMéétodo de todo de JacobiJacobi

MMéétodo PSORtodo PSOR

MMéétodo de Gauss todo de Gauss -- SeidelSeidel

MMéétodo SORtodo SOR

MMéétodo LSORtodo LSOR

MMéétodo LSORCtodo LSORC

Esquema IDAEsquema IDA


Concepto de Concepto de StencilStencil

El concepto de Stencil permite expresar los modelos de forma generalizada.

iC

i

iEiW

i, j

,i jW

,i jE

,i jS

,i jN , ,i j kN

, ,i j kS, ,i j kE, ,i j kW

, ,i j kTC

, ,i j kBC



iC iEiW

i i+1i-1

( )1 1 11 11 2n n n n

i i i iP P P Pλ λ λ+ + +− +− + + − =

1 1 11 1

n n ni i i i i i iW P C P E P F+ + +

− ++ + =

► Modelo de Stencil para un sistema unidimensional.



► Distribución de Stencils para un sistema unidimensional.



i, j

,i jW

,i jE

,i jS

,i jN

1, 1, , , 1 , 14 0i j i j i j i j i jP P P P P+ − + −+ − + + =

, 1, , 1, , ,

, , 1 , , 1 ,

i j i j i j i j i j i j

i j i j i j i j i j

E P W P C P

N P S P F+ −

+ −

+ + +

+ =

► Modelo de Stencil para un sistema bidimensional.



• En la frontera se debe ajustar de acuerdo a la ecuación que rija el fenómeno allí.

• Algunos stencils pueden anularse y otros tomar valores que carecen de sentido físico.

• Dependiendo de las características del sistema se pueden dar condiciones de simetría.


CondiciCondicióón del Sisteman del SistemaError de TruncamientoError de Truncamiento

► Definición para un esquema explícito


CondiciCondicióón del Sisteman del SistemaError de TruncamientoError de Truncamiento

Hacen que el error tienda a cero cuando ellos tienden a cero.

Se puede afirmar que el esquema es consistente.


CondiciCondicióón del Sisteman del SistemaEstabilidadEstabilidad



Existen dos criterios muy utilizados para desarrollar el análisis de estabilidad de un sistema:

• Criterio de Karplus: no tiene en cuenta el efecto de las condiciones de borde en el límite.

• Análisis Armónico: se basa en series de Fourier.



Criterio de Karplus:

La ecuación en diferencias finitas es reordenada de tal manera que adquiera la siguiente forma:

Cambio en subíndices

Cambio en superíndices

Término de referencia




• Si todos los coeficientes son negativos el esquema es estable.

• Si solo algunos de los coeficientes son negativos, entonces la suma de os mismos debe ser menor o igual que 0.




Corroborar para un esquema implícito



Análisis Armónico:

Se debe aplicar la definición general al esquema numérico:

La ecuación toma una forma dependiendo del esquema.




► Formulación para un esquema implícito




► Formulación para un esquema explícito.




Se toma el n-ésimotérmino.

Se debe analizar el cambio del error en el tiempo.




Factor de amplificación.

Condición de estabilidad.


MMéétodos de solucitodos de solucióónn

MMéétodo de todo de JacobiJacobi

MMéétodo PSORtodo PSOR

MMéétodo de Gauss todo de Gauss -- SeidelSeidel

MMéétodo SORtodo SOR

MMéétodo LSORtodo LSOR

MMéétodo LSORCtodo LSORC

Esquema IDAEsquema IDA


PP--SORSOR

*( 1) 1 1, , . 1, . , 1 , , 1 , 1,

,

1k k k k ki j i j i j i j i j i j i j i j i j i j

i j

P F W P S P N P E PC

+ + +− − + +⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦

( )( 1) *( 1), , ,1k k k

i j i j i jP w P wP+ += − +


LL--SORSOR

Estos valores se determinan simultáneamente


LL--SORSOR

( )

1, . 1,

( 1) 1, , . , 1 , , 1

,

, 1,

11

ki j i j i j

k k k ki j i j i j i j i j i j

i j ki j i j

F W P

P w P w S P N PC

E P

+−

+ +− +

+

⎛ ⎞⎡ ⎤−⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟= − + − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟−⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

( ) , , ,( 1) 1 1, , 1, , 1

, , ,

, ,, 1 1,

, ,

1 i j i j i jk k k ki j i j i j i j

i j i j i j

i j i jk ki j i j

i j i j

F W SP w P w w P w P

C C C

N Ew P w P

C C

+ + +− −

+ +

= − + − −

− −


LL--SORSOR

( ), , ,1 ( 1)1, , 1, ,

, , ,

, ,1, 1 , 1

, ,

1i j i j i jk k k ki j i j i j i j

i j i j i j

i j i jk ki j i j

i j i j

W E Fw P P w P w P w

C C C

S Nw P w P

C C

+ +− +

+− +

+ + = − +

− −

Se hace necesario ajustar este superíndice a la iteración correspondiente


LL--SORSOR

( ), , ,1 ( 1) 11, , 1, ,

, , ,

, ,1, 1 , 1

, ,

1i j i j i jk k k ki j i j i j i j

i j i j i j

i j i jk ki j i j

i j i j

W E Fw P P w P w P w

C C C

S Nw P w P

C C

+ + +− +

+− +

+ + = − +

− −

Se aplica el siguiente criterio de convergencia:

Esto genera como resultado un sistema tridiagonal por fila recorrida…


LL--SORC o WATTS SORSORC o WATTS SOR

Lo que se busca con este método es repartir el error residual producto de la aproximación



. 1, . , 1 , , , , 1 , 1, , ,k k k k k k

i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i jW P S P C P N P E P F r− − + ++ + + + − =



( ) ( ) ( )( ) ( )

* * *. 1, 1 . , 1 , ,

* *, , 1 , 1, 1 , 0

k k ki j i j i i j i j i i j i j i

k ki j i j i i j i j i i j

W P P S P P C P P

N P P E P P F

− − −

+ + +

− + − + −

+ − + − − =

. 1, . , 1 , , , , 11 1 1 1

, 1, , ,1 1 1

J J J Jk k k k

i j i j i j i j i j i j i j i jj j j j

J J Jk k

i j i j i j i jj j j

W P S P C P N P

E P F r

− − += = = =

+= = =

+ + +

+ − =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Si se escribe la ecuación inicial para cada uno de los bloques de la columna i y luego se suman todas las ecuaciones se obtiene:



* *. 1, . 1 . , 1 .

1 1 1 1

* *, , , , , 1 ,

1 1 1 1

*, 1, , 1 ,

1 1 1

0

J J J Jk k

i j i j i j i i j i j i j ij j j j

J J J Jk k

i j i j i j i i j i j i j ij j j j

J J Jk

i j i j i j i i jj j j

W P W P S P S P

C P C P N P N P

E P E P F

− − −= = = =

+= = = =

+ += = =

+ + +

+ + + +

+ + − =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑



* * * *. 1 . , ,

1 1 1 1

*, 1 ,

1 1

J J J J

i j i i j i i j i i j ij j j j

J Jk

i j i i jj j

W P S P C P N P

E P r

−= = = =

+= =

+ + +

+ = −

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑



* *. 1 . , ,

1 1 1 1

*, 1 ,

1 1

J J J J

i j i i j i j i j ij j j j

J Jk

i j i i jj j

W P S C N P

E P r

−= = = =

+= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑



• Se aplica el método LSOR.• Se calcula Pi * resolviendo el sistema tridiagonal.• Se obtienen los valores corregidos.• Se evalúa el criterio de convergencia.


BibliografBibliografííaa

[1] SIERRA, Luis E. y SANTAFE, Elkin R. Simulación Numérica de Yacimientos. Curso Pregrado II Semestre 2006. Universidad Industrial de Santander. Bucaramanga-Colombia.

[2] SEPÚLVEDA, Jairo A. Simulación Numérica de Yacimientos. Apuntes de Curso Pregrado. Universidad Surcolombiana. Marzo de 2002. Colombia.

[3] OSORIO, Gildardo. Notas de simulación numérica de yacimientos. Universidad Nacional (Sede Medellín).

[4] AZIZ, Khalid y SETTARI, Antonín. Petroleum reservoir simulation. Elsevier Appliedd Science Publishers. Londres y New York, 1979.

[5] H.B. Crichlow. Modern reservoir engineering – a simulation APPROACH. Prentice Hall, 1977.

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