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CAPITULO II BASES DEL METODO DE RIGIDEZ

Conoceréis la verdad y la verdad os hará libres Luc 8:32

INTRODUCCION

• El método que plantearemos en este capitulo es el de la d d l d l ll d drigidez o de los desplazamientos. Se llama de rigidez porque

las ecuaciones finales a solucionar tienen como incógnitas los desplazamientos en función de las rigideces de los elementos.E t ét d tili l i i i d i ió l l• En este método se utiliza el principio de superposición, el cual se cumple para sistemas lineales, elásticos y que experimenten desplazamientos pequeños.


DETERMINACION DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ

• La rigidez de un elemento estructural se entiendeLa rigidez de un elemento estructural se entiendecomúnmente como la magnitud de la fuerzanecesaria para producir un desplazamiento unitario.Para ser mas específicos la palabra desplazamientoen la definición anterior deberá especificarse end t ll i d t l li l ldetalle mencionando su naturaleza lineal o angular.como cada elemento tiene dos extremos , la palabradesplazamiento se interpreta como desplazamientodesplazamiento se interpreta como desplazamientogeneralizado en los extremos del elemento.


• MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO• La matriz de rigidez de un elemento depende de los grados de libertad

involucrados en la barra a analizar existen diversos tipos de barras en función a los esfuerzos que trasmiten , por ejemplo puede haber barras que solo soportan axial o corte o flexión , torsión , etc. o combinando l d f l l b d dalgunos de estos efectos, por ejemplo las barras de una armadura absorben esfuerzos axiales y de corte , en cambio una barra de viga o de columna , absorbe flexión corte y axial , en el caso de un muro de corte es importante el esfuerzo cortante .

• Debido a que una estructura esta formado por diversos elementos estructurales es posible encontrar la matriz de rigidez de cada uno de sus elementos y luego proceder a ensamblarla para toda la estructura .


RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES

BARRA DE CELOSÍA ESTRUCTURAS PLANAS (CERCHAS)BARRA DE CELOSÍA, ESTRUCTURAS PLANAS (CERCHAS)

Aplicando la ley de Hooke, el alargamiento producido por un esfuerzo normales L= (L·N)/(A·E); si por el contrario obtenemos el esfuerzo a partir de ladeformación N= ((A·E)/L)· L= K· Ldeformación, N= ((A E)/L) L K L

Sea una barra elemental de longitud L y nudos extremos 1 y 2

L1 2

L

Si en el nudo 1 se aplica un movimiento unitario, como respuesta apareceráuna fuerza en el nudo 1 y otra de reacción en el nudo 2.

u1=1 u2=0LEAK

11 LEAK 21

Si el movimiento se aplica ahora en el nudo 2 aparecerá una fuerza en elSi el movimiento se aplica ahora en el nudo 2, aparecerá una fuerza en elnudo 2 y la reacción en el 1.

LEAK

12 LEAK

22

u1=0 u2=1L L


Si aplicamos los dos movimientos de forma sucesiva y sumamos los términos de cadafuerza en los extremos de la barra:fuerza en los extremos de la barra

2121111 uKuKF

2221212 uKuKF 2221212 uKuKF

esa misma ecuación se puede escribir en forma matricial como sigue

2

1

2

1

··

··

uu

EAEALEA

LEA

FF

LL


BARRA DE PÓRTICO, ESTRUCTURA PLANA (BARRA INEXTENSIBLE).(N id t ió ió )(No se considera tracción – compresión)

Imaginemos una barra del tipo indicado; al despreciarse la tracción –compresión (y con ello deformaciones axiales, alargamientos – acortamientos) losmovimientos posibles de los nudos serán el perpendicular a la barra y el giro, cuatrop p p y gmovimientos en total por barra.

12

34

L

Si aplicamos sucesivamente movimientos unitarios en los nudos 1 y 2,obtendremos las fuerzas y momentos en el propio nudo y en el opuesto.


• Empecemos pués aplicando un movimiento vertical unitario en el nudo 1 p p p(manteniendo el resto de desplazamientos nulos). Como consecuencia de él aparecerán dos fuerzas verticales y dos momentos proporcionales al desplazamiento y a la rigidez.

M2 V3

V1= v1·k11; M2= v1·k21

V k M kv1

V1M4

V3= v1·k31; M4= v1·k41

Conoceréis la verdad y la verdad os hará libres Luc8:32


EI6EI12221311 L

EI6kLEI12k

241331 LEI6k

LEI12k

LL


• En el siguiente estado se somete a la barra a un giro unitario en el nudo 1 (2= 1, v1= 0, 4= 0, v3= 0). Como consecuencia de él aparecerán dos fuerzas verticales y dos momentos proporcionales al desplazamiento y a fuerzas verticales y dos momentos proporcionales al desplazamiento y a la rigidez.

M2

V3

EI2kEI6kLEI4k

LEI6k 22212

V1= 2 ·k12; M2= 2 ·k22

V = · k ; M = ·k2= 1

V1

M4 Lk

Lk 42232 V3= 2 · k32; M4= 2 ·k42

Como 2 es un movimiento unitario, se deduce que V1= k12,M2= k22, V3= k32, M4= k42


Seguimos con el proceso, aplicando los movimientosrestantes (primero v3= 1 y después 4= 1).

EI6EI12

v3

V1

M2 V3

M4

243333

223313

LEI6k

LEI12k

LEI6k

LEI12k

V1= v3·k13; M2= v3·k23

V3= v3·k33; M4= v3·k43

M2

V3

M4= 1 EI4kEI6kLEI2k

LEI6k 24214

V1= 4 ·k14; M2= 4 ·k24

V = · k ; M = ·kM44 1

Lk

Lk 44234 V3= 4 k34; M4= 4 k44

V1


Una vez obtenidos los diferentes términos de rigidez en cada uno de losestados, se pueden representar los mismos de forma matricial tal como sigue.

EIEIEIEILEI

LEI

LEI

LEI

2646

612612

22

2323

EIEIEIEILEI

LEI

LEI

LEI

LLLLK

4626

6126122323

22

LLLL 22


• En esta matriz se pueden agrupar los términos por nudos quedando de formaesquemática de la siguiente manera:esquemática de la siguiente manera:

1211 KK

24232221

14131211

kkkkkkkk

K

2221 KK

44434241

34333231

kkkkkkkk

K


BARRA DE PÓRTICO PLANO EXTENSIBLESupongamos una barra similar a la del caso anterior en la que ahora no seSupongamos una barra similar a la del caso anterior en la que ahora no se

desprecien las deformaciones axiales. Las cargas verticales y momentos las obtendríamosde forma idéntica a las del apartado anterior, y los términos correspondientes a lasdeformaciones axiales seguirían el procedimiento a las obtenidas de las barras de celosía,aplicando la ley de Hooke: K= EA/L

EAEA

23

56

3

2

1

22

2323

3

2

1

vu

LEI2

LEI60

LEI4

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

EA00L

EA

MVN

L

1 4

6

5

4

3

23236

5

4

3

vu

EI4EI60EI2EI60LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

EA00L

EA

MVN

22 LL0

LL0


Operando de esta manera obtendríamos la matriz de rigidez de este tipo deíbarra, que relacionaría fuerzas y momentos en los nudos con los movimientos

correspondientes en los mismos.

Esta matriz se puede escribir de forma condensada:

112111 UKKF

2

1

2221

1211

2

1

UU

KKKK

FF


• COORDENADAS LOCALESCOORDENADAS LOCALES• Cuando la barra se analiza considerando sus coordenadas propias sin importar las referidascoordenadas propias sin importar las referidas a toda la estructura es posible obtener una matriz de rigidez tal como se muestra amatriz de rigidez, tal como se muestra a continuación:


1 2 3 4

COORDENADAS LOCALES EN ARMADURAS

0/0/ LEALEA

1 2 3 4

1

2

0/0/0000

LEALEAK

2

3

0000 4

4

3

2


1

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASTRANSFORMACIÓN DE COORDENADASDado que los elementos unidos conformanuna estructura y teniendo en cuenta que lasuna estructura y teniendo en cuenta que lascoordenadas globales no necesariamente soniguales a las coordenadas locales delelemento es necesario realizar unatransformación de coordenadas para lo cuall l i d f ió dplanteamos la matriz de transformación de

coordenadas .


MATRIZ DE TRANSFORMACION DEMATRIZ DE TRANSFORMACION DECOORDENADAS:

Esta matriz sirve para relacionar losEsta matriz sirve para relacionar losdesplazamientos de extremo con losmovimientos generales de toda la estructuraen sus ejes globales.

Su planteamiento asume entonces unaconversión de ejes locales de los elementos aejes globales de estos:


• La matriz de transformación de coordenadas corresponde a la matriz de pcompatibilidad de fuerzas y se expresará con la letra λ. Note que esta matriz es para q pfuerzas y no para desplazamientos.

0cos sen

•

1000cos sen 100


• Esta matriz tiene en general tres componentes que representan 3 transformaciones (horizontal q p (, vertical y giro)

• En el caso de armaduras solo hay 2En el caso de armaduras solo hay 2 transformaciones ( horizontal y vertical) por lo tanto la matriz seria

tanto la matriz seria

cos

cossen

sen


• A partir de esta matriz podemos crear la matriz β que para el caso de una armadura β q pque seria de la siguiente manera:

• 00cos sen

cos000000

coscos

sensen

sen

cos

cos0000

sensen


• Luego finalmente para encontrar la matriz global tendriamos la sgte expresion:g g p

** KlocalKglobal T


• COORDENADAS GLOBALES PARA UNA BARRACOORDENADAS GLOBALES PARA UNA BARRA DE ARMADURA

4

3

4

2

1


El resultado final para una armadura es:El resultado final para una armadura es:

22

22 CSCCSC

En dondeC= cos S= sen

22

22

22

/

SCSSCSCSCCSCSCSSCS

LEAkglobal

Los ángulos deben medirse en sentidoLos ángulos deben medirse en sentidoantihorario y con respecto al eje x positivo


• Ahora obtendremos la matriz de rigidez enAhora obtendremos la matriz de rigidez encoordenadas globales para un pórtico plano ,para lo cual partimos de la matriz enpara lo cual partimos de la matriz encoordenadas locales


EAEA 0000

1 2 3 4 5 6

1

EIEIEIEILEI

LEI

LEI

LEI

LL

260460

61206120

0000

2323

1

2

LEA

LEA

LLLLKlocal

0000

00 223

4

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LL

460260

61206120

22

23235

6 LLLL 22

45

1

2 6


3

0000cos sen

0001000000cos

sen

0cos0000cos000

sensen

100000


• Luego finalmente para encontrar la matriz global tendriamos la sgte expresion:g g p

** KlocalKglobal T


COORDENADAS GLOBALES EN PORTICOS

4

5

2 62 6

1

3


3

• La matriz de rigidez en coordenadas l b l d óglobales de pórticos es:

1 2 3 4 5 6

1

2

33

4

5


6

• EJERCICIOS EN CLASE


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