cap_7_la conservacion de la energia-ejercicios resueltos-resnick halliday
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- 179-
LA C ON9ERVA C ION
PR OBL E MAS CAP I T"LO l . 1. Demuestre que para l a misma velocidad i nic i", l 't. 10:1
velocidad v de u n proyecti l será 1" r- i sm" en todos l os
puntos a la mjs ma elevación , cual qui era que sea el ~ n
gulo de proyecci6n.
Soluci6n:
Por el principio de la conser vaci6 n de la e r1t:rgia me
cánica en ~os dimensiones tenemos:
y
1 2 1 , mgho = ~v ,- mv • , mv • 0, 0y v P
y -'1- -_ 1 2 1 2 ' . .
• • mSh • , mv , mv , , y , [n este caso h
° • O. l ue go : , ,
1 , 2 1 mC v 2 v 2) C" ~ m(v • v • , • • mgh 0, o , y y
pero: 2 • 2 • v 2 ,
• 2 2 v v y v v • v o, 0y o , y
Reemplazando estos valores en la ecuación (2) o~ten~
mos :
1 2 1 mv2 1 mvo = 2 + rngh
De donde o btenemos;
2 , v = 'lo - 2g h
{expresi6n que es independiente del ángulo de incl i
nac ión d e l proyeCtil}.
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- 180-
• 2 . La D.JCrda de la figur a 1, e s de l¡ pi e s de largo . cuan ~
do se s ue l t a la bol a s i g ue la trayec t ori a de l a r co
punteado . ¿Qué ve l oc i dad tendrá a l pasar por el pu n
t o má s baj o de s u oscilac ión ?
So l uci6 n:
Po r el pr i ncipi o de la co n s ervac i ón de la energ i a me
cánica [ t e ndre mos :
v - O
- f . - q>--.L..T -
h I
_L . , ,
, , '2 mV
2 ~ mgh
2 . .. (})
Tomando lo, ejes coordenados x-y como
la figura. obt e nemos:
h, " L, VI ~ O Y h, ~ O
Reemplazando valore s en <l) tendremos:
v = / 2 x 32 x l¡; 16 pies/seg. , Re s puest a : ! v 2 = 1 6 pie s/ se g .[
.. mues tra en
3 . El clavo de la r ig . 8-10 es tá localizado a una d i s -
ta nc i a d a bajo del pun t o de apoyo . Demostrar q ue d
debe se r po r lo menos de e . 51 pa r a que l a bola pue -
da. dar una vuel ta comple ta en un c irculo co n ce n t r o
e n el clavo .
soluc i6n:
Apl jcand o e l Teor ema de la conse r va c i6n de la pne r -
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-181-
g!~ entre los ~u n tos
(1) Y (2) indicados
en l~ figura adjun
ta.
donde: E = energía m~
c .inica t otal.
(1) .... -
• ref.
Reemplazando por su equivalencia:
1 2 'r mV1
Por condici6n del problema:
l J •
(2) d
, · '1· . . . . :,~ /
, .' , -
'al
o O (bola par te de l reposo)
h1 = 2d.l¡ del gráfico.
112
= O
v 2 " O
V 2 debe tener dicho valor; por lo menos; para que de
una vuelta pero en nuestro caso no~ dicen que debe
dar una vue lta, entonces el valor Dinimo de v 2 ~ erá
un poco mayor al valor que calcularell".os.
[ntonces reemplazando los valores en (a):
O • mg{2d-l) o O • O
mg ( 2d-l) o O
2d-l o O
d 1
o ., con este valor de "d" la bola se quedará quieto en
(2) (figuro>, entonces para que ~e una vuelta.
d )o 1/2
(! )o 0.51
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-181-
Id ' 0 . 61 1 m1n imo . •
S. a) Una barra r ígida liger a de longitud L t i ene una
masa m fija e n su extremo , formando un pénd ulo si~ -
pie, el cua l se invie l'te y despu~s se suelta. ¿Cuál
e s su velocidad v en el punto m!s bajo y c uál es la
tensi6n T en el soporte en ese instante? b) El mi s mo péndulo se pon e de spués en posici6n hor izontal y se
sue lta libremente. ¿Para Qué 'ngulo con la vertical ,
la te nsi6n en el soporte será de igual magnit ud que
el peso?
~: m: masa fija en el extremo del péndulo.
L : longitud de la barra .
Solución:
a) Por el principio de la conservación de la ener·g'í.a
mecánica tenemos:
m
T
h .2l 1 , ,
\ Fig. 1
-- - ¡. __ .. - r L 9,
hZ
L ------ X
-, .,
H g. 2 ¡ ¡
mgh 1 1 ,
rr.gh 2 (l) )' 11\\' 1 • ,
~ mV 2 • , . ' -Pepo en es t e ca so:
v ¡ , O, h ¡ , n; h, , O
,ll' ~" ¡ " ecua c i ón (11 s ~ ! 'educc "
> X
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-18 3-
La t ensi6n en 1" c u er d a en e l p u nto i nferior s'!t'á:
T - mg = mac ." ( 2 )
T = mg + mac
= mg f ~mg = 5mg.
el Aplicando el principio dE' la con servaci6n d e l a tJ
nergia tenemo~:
I , = 2 mV2 + mg h2 ... (1)
En este c a~o :
v 1 = 0 , h l : O i h2 : - Lcos9
~ mv~ = mg Lcos6
hgLcOS6
En el instante en que e l pé r.dulo ha ce
con la vertical , la ~ fue r za s que obr a
~asa del réncu lo son:
un Sng ll l o & so br e 1 a
T - mgcosO = ma c (2 ); donde:
: 2gcos6
T : mgcos6 • 2::-.g; co s 6 : 3mgcos':'
i:1 ángo.llo p ;ira el c·ua} i : ::-.g :c;e :"d:
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Respuesta:
- 184-
a } v2 = 2~; T = 5mg .
b) e :. 7 0.5°
6. Un péndulo s imple de longi~ud 1 , que llev~ suspend¡~
da una masa m, tiene una veloci'dad observada "'0 CU I!l !!.
~o la cuerda forma el Sngulo 80
con la vertxcal (O <
eo < w/2 1, c omo s e ve en la tigura 8-11. En funci6n ' de ~ y de las cant idades que se han dado, detenninar
(a) l a e nergía mecinic a ~o~al del si6~ema, (b) la v~
locidad v1
de la péndola cuando es~á en su posici6n
más baja ; ( c l el mínimo valor v 2 que podría ~ener Vo para que la cuerda llegue a alcanzar una posici6n h~
rizon~al durante el movimiento , (dl la velocidad v 3 tal q ue si V
o > v
3 el péndulo no oscilaría s ino que
~~guir í a moviéndose en un c írculo vertical.
Soluci6n:
" O
m v
o
al La ene rgía mecáni ca total se
rá :
E:. _,1 mv 2 + mgh ... (1 ) o O
del gráfico:
:. lU _ cose 1 ... (1) o
~eer.lplazando (2) en (1):
r. = i mv¿ +mgll1-co::Bo)
Cál cu lo de VI ~n su posición más baja:
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- 185-•
h] :: O
hO :: l ( l -coseo l calc ula do a nter iormente,
r eempl az ando v" l ore s :.
v :: .lv 2 .. 2.1 11 1 o
c) Siguiendo pasos si1l'li'l aN':9 a l a s pa r t e s ( a ) y (b)
se obt iene :
'" IgIO + 1cose
o
(O,
7 , Un objeto está fijo a un resorte vertical y se ba-ja lentamente a su posici6n de equi libri o, El resor
te queda estirado una cant idad d , si el objeto se
tija al mismo resorte vertical, pero se le deja caer
en vez de que baje lentamente. ¿Qué tanto estirará
al resorte?
S9h:c i6n :
[n el pr imer caso la fuerza que est i r ará al resorte
e~ igual a l peso de l objeto s u spendido , o sea:
F :: n:g ( 1 ) ; pero : :: kx :: k d ( ley de Iloc ke) ,
luego: k :: rIlg/d I
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-l B6~
En el segundo caso la pérd i da de la energ14 PQten -
cial del objeto e s igual a l a e ner gía potenc ia l asi
mi lada por el r esor t e , l uego t e ndr e mo s:
j , IIIg'" = r loe • . . (2 )
pero: k = IIlg/d
Reemplazando el va lor de k eS ( 2 ] obtenemos:
x = 2d
Respuesta: Ix:; 1d I 8. Un bloque de 2.0 kg . se deja caer desde una altura
de O.~O •. sobre un resorte cuya constante de fuerza
vale le = 1~60 nt/m. Encontrar la mixima dcformaci6n que su f rirá e l resorte al comprimi r se (no se tome en
cuenta el rozam i ento).
Soluci6n:
(1) 0
í (O)
•
Tenie ndo e n c ue nta que la ener
gía potenc i al de un resor te es:
podemos pl a near la siguiente ~
c uaci6n :
El = Eo
1 , .,. mV
1
, 2 + mgh1 = ,. mvo
II1gt'l " 1 "" 2 I o
, o "
/2111g h1 ...,-
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-181 ··
re emp l a zando valores: • ; / 2 x ~C' 8,-x,-:O~. 24 , 0 . 09 1:1 .
:: 0.09 m.
9. En una monta1l" ruso!! , s i n r ozamien t o , un ca r r·i t o de me.
sa 2!!...comi enza. en el. punto A con un" ve locidad \"0 ' :::c
mo se muest r a en la rig. 8~ 1 2 . Supó ng ase que e l carri
t o se pueda conside r ar COIhO una par tícula sin dimen -
siones y que siempre quede en conta cto con la ví a . al
¿Cuál será la velocidad del carrito en los ~untos B / C7 (bl ¿Qué desacel eraci6n constan te se requiere ~ar3
que el carrito se det~ng a en el punto E
se aplica" en el punto 01 (cl Su~ase
¿Cuánto tardará el c" rrito en llega r al
A
e
h I D
si lo s f r t' n?S
que vo = O.
punt o 8?
, l' - -+- -+-- .-.,¡
Soluci6n:
al Cálculo de la velocidad en H:
1 2 ? mv(-¡ .. mghA =
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- 188-
reempl azando dic hos valor e s en ( l ) :
~ mv¿ + mgh ,. t mv,; + mgh
Si ,npli f icando:
- C&l culo de l a velocidad e n c: Vc
, , , 1 mVA • mgh " 1 mv~ • mg ( h,
1
Simplificando y reemplazando valores :
1 , • h 1 ,
1 ,. g í " 'i' v
o 'C
ve " Iv' • gh o
b ) Primero c al culemos la veloc idad en D:
~ mv~ + mgh : ! rnv¿
Simplifi cando;
" Iv' o + 2gh .. ,(2 }
Por cond i c i 6n de l problema VE = O (detenid~ )
I\pl i ca/ldo la siguiente f6rmula:
v;=v; ! 203e
para n'Je s tro ca so:
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10.
- 189- • 2 2 2 •• Y, • Y. ,
reemplazando va l o re s ( punt o s D y El
2 vE • v 2
o . 2.l
V. • , 2 2.L VD •
• • 2
vD (31 'fL
(2 1 en (J ):
l· ,
v • 2gh o • 2L
el Nunca llegara • B .
Un pequeño bloque d. masa m resbala e n un. vía s i n
fricci6n en forma de rizo; al Si parte del reposo en
P. ¿Cuál es la fuerza resul tAnte que obre sobre él
en Q1 b) ¿A qué altura sobre la parte inferior de l
riso debería soltarse el bloque pa ra que la fuerza
que ejerce contra la vía en la parte superior del
rizo sea igual a su peso?
P v1"O
r v =, r ,--
1 -,
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-190-
Soluci6n: •
AplicAndO el pr incipio de la conser vaci6n de 1.1 e_
nerg ía tenerlOs:
L.u ego :
L~ acelel"aci6n centr1peta es;
ac ~ V~/R ~ 8gR/R =- 8!
La ~celeraci6n tangencial es:
at
'" mgh. ~ g
La acelerac i6n resultante ser á:
a =- la? • a 2 =- Q =- g/65 e t
La fuer~a resultante en este punto s erá:
f =- ma ,. mg/65
b ) Las fuer ~as que act úan e n el bloque en este caso
son :
T • mg ~ ma c ." ( l i
Pero T =- mg ( da t o )
2 _ v
2 - 2gR
Por el pr i nc i pi o de la conservaci6n de l a ener -g!a tenemos :
En este ca so:
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- l!H-
Lu ego: mgh1 = j/2 m(2gR}; de donde hj = Rt
La altura desd e la cual debe rá tit'",rse e l b1 0 -
que s er.§. : (ver figura. 2).
Respuesta : l al r = mglBS ; bl h = JR
11. La partícula ele masa m ele la Fig. 8- 11t se mueve en
un círculo vertical de radio R de ntro de una vra.
No hay ro zamiento. Cuando m se encuentra en su POS! ci6n m~ s baja, lleva una velocidad v . {al ¿CuSl es
o el m!nimo vlllol' vm de va para que m de una vuelta com pleta en el c~rculo sin despegars e de l a vía?
(bl Sup6ngase que Vo e s de O.77S vm' La partícula
se moverá por la vía hasta un ci~rt:o plinto p. "! n el
cual se despegarS de la v!a y seg uir~ moviéndose s~
gún la trayec t oria marcada en forma aprox i mada por
la linea in terrumpiaa . Encontrar la posici6n .'IUSU -lar e del punto P .
Sol uci6n:
h '
"
'"
Aplj~ando el teor ema de
l a co nse rvac i6n de l a !
ner g ia entre l os punt os <ll y ( 11.
[ 1 = ); 2
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- 192- • 21 ,
• ~ghJ. ! mv, • ' , 'f mV 2 • mgh ? . . . Del g rSfico ;
h, • 'R h, • O
v , • O ( ve r pro blema II
Reempla zando va lore s e n l a )
1 mg{? R) :; '2
, mv
o
:; v = ¡¡¡-gR m
Vm > /4 g R
v :; ;r;RgR m1nimo
( al
,
b) Apl i c ando l os mismos cri ter ios de l a par te ( a ) :
r~\ , , " ,
l . ,
, _ v • o .• ' ..cm.
E E O • p Q
1 mv' • mghp • 1 , • mgh Q ,.
p , mV
Q
hp , R • R sen6 , R U "sen6) ... ( bl
hQ , O
v , vQ , 0.77<:. v ( dato)
o m
v , v p m
Reempl a za ndo en (bl
O 1 <en ,
'i
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-193-
• - 1 e :: sen Un)
12. Una parti c ula sin dimensiones , de masa m, comenzando
en repeso , va r esbalando por la superficie de una c~.
fera s61ida sin rozamiento , de radio r. como se mue~
tra en l a rig. 8~lS. Mídanse los ángulos a partir de
l a vert ical y la energía potenc ial a partir del pun
to má s alto. Encontrar (a} el cambio de energía potencialoo la masa con respecto al ángulo ; (b) La ener
gía cinética en func i6n del ángulo; (c) l as acelera
cione s tangencial y radial en funci6n d~l ángulo ;
(d) el ángulo para el cua l l a mA sa se despega de la
esfera . (e ) Si hay rozamiento entre la masa y la es
fera. ¿la masa se despega con un án& ulo mayor o con
un ángulo menor que en el inciso (d)1
Soluci6n:
a) Por conservaci6n de la
bl Ep = EQ
1 , 2 rnvp + Vp = k + UQ
v = O P
r = mgrU - cosa ) ... ( 3)
energia:
AU : UP - UQ . .. (1)
Ep " O
EQ : mgh :: mg(r-rcosS):
= mgr(1-cos&)
Reempla~ando en (1):
AU = - mgr(1-cos8)
k = ene rgía c inética
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el k "' t , mv
-194-
• .• ( 4 l
I gualando 3 Y I¡
de ( ~);
mgr { l~eo &e ) ~ } mv 2
V2 * 2gr ( 1- eo s 61 ..• ( 51
a •
II ", 1.&E"p - cose l I 2g0 -cos8 1 r
es t o ~s l a ace le r aci6n rad i al ;
a r = a = 2 g<1~cos e )
•
C&lculo de la ace le r a c ión tang e ncia l ~:
Del gr.if i c o :
, g
13. Un r e s or te i deal s in masa S se puede comprimir 1. U
m. mediante u na f ue rza de 100 nt. Ese mismo reso r te
se c o loca en l a parte i nferior d e un pl a no inc l i~a~
do qu e f o rma un áng u l o e a 30 ° con r e specto a la
horizontal <v é a se la r ig . 8~l 6 } . Una masa M
kg . s e s ue l ta a part i r de l reposo e n la pa r te su pe .
rior del pla no inc l i nado y queda e n reposo mome nt S.
neamente despu~ s de comp r imir el r e s ort e 2.0 m. ( a l
¿Qu~ ~ i stanc ia resba 16 l a ma l a a n t es de quedar en
reposo? (b l ¿Cu &l e s l a velocidad de l a masa cuando
es t~ a pun t o d e ha ce r con t a c t o con e l resort e?
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Sol uci6n : •
Sa e mo~ q ue pa r a u n r esort e s e c ump l e :
r :: 10:
, [ ' 0 0 l on N ~ ~ -,- ~
x m , M ~ 1 0 kg.
• ~ ' O'
al Ini c ialmente comprime x ~ 'm (elAtO)
,o.plicando l. conservdc i 6n d, la e nergS: a de bajdcla U.,.:Zl .
/ T ", , ", d
" 1 ,
mghj
, , t 1 kx 2
d' 1 ;nv 1 • ~ 1 mv,
1 1
U)
", ~ " ~ d,en' } (2)
., 1 ~ v, ~ O
.. )«,)(2:: 100(10) 20 hj = 1 rng n1010.Sl:: 9."U" .•. (3)
Reempl a.~ando tJ) en (2);
el. 20 :: ~ 9.B.sen3Qo 4 .0a m.
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b )
-196-
h, • (d ~21se n JOo
h, • ('+ . OS .. ' l s e n 30o
" • 2 . 08 5€< 0 30 · . . . . ( 4 ).
T Por cons ervación d. 14 e nergí a. :
rA • r. , , mgh,a. ;- mVA • •
j
1 , • mgl'lS • 'i mv •
v, • O
hA • O
reemplazando estos valores en la ecuaci6n ante
J:'10r:
" h g O.OS>Sen3 00
"l¡.~1 m~
14. Ua r.ue rpo que se mueve en el eje de l55 x est§. sorne
t ido a una fuerza que lo repele del o rigen , dada
por f " kx. a) Encue ntre la funci6n de energía
po tencial U( x) para el movimiento y escriba l a condl
c ión de conservación de energía. b ) Lscr iba el movi
miento del sistema y de muestre que es la c lase de
movimiento que podrí a esperarse cerca de un punto de equilibr i o i nestable.
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- 197-
u • y
o x x - X . , ,
'P\OO F • kx , <Ix • • X , ric;. 1
Fiq. 2 Soluc i 6 n :
al Sa bemos que: U(x ) - U(xo ) :; rx~r (X)dX . .. (l )
do nde Xo
: O y F(x) : kx
bl De la gráfica observ~os que e n x :; O, la ener
gía potencial es máxima y l a pe ndi ente de la
curva es cero , luego r :; - dU/dx : O.
Una particula en reposo en ese punto permanece
rá en reposo.
• - r
Sin embargo si la partícula se mueve de este pu~
to , aunque sea una distancia muy peque~a, la
fuerza r :; - dV/dx , t~nder~ a alejarle más de la
posici6n de equilibrio (f :; O). rs decir que ese
punto de equilibrio es inestable.
15. Si ld fuerza ent re una partícula de masa m1 y '.ma
de masa rn 2 está dada por:
rn1rn 2 r:; k -r x
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- 198-
siendo k una con3'tante positiva y la diet"ancia x es
la que existe entre la. partlcula.; encontra r: al La funci6n de energ1a potencial y bl El 'trabajo ne~
ces ario para la separación de las masas de x = xl
a x = xl + d.
Soluci6n;
al La función de energla pot encial será;
U = u(x) - U(xo ) " - W " -r x f<'x) •• , (1)
o en este caso r • (kml rn 2)/x 2
, U(x
o) r 2 lonl la2P/xJX U (x) - , - (km
1rn
2dx)/x ,
Xo Xo U(-x) " U(x
o) • km1m2
bl El trabajo será:
w = J f(x)dx
Respuesta:
[l/x - l/xJ
)::mll:12 d
xl ( Xl +a l
r--c--------, a) U{x)=U(xo ) + Km1rn 2( 1 / x- 1/xo )
b l W = ( km1rn2dl / "1 ( Xl + d)
16. La fuerza de a'tracci6n entre e l núcleo pos i t ivamen
te cargado y el electr 6n negat ivament e ca r gado en el ~tomo de hidr6geno , está dada por r " _ k e 2/r 2 ;
siendo ~ la carga d.el electr6;!, k y.!: la separaci6n entre el electron
una constante . y e:l núcleo. Su
p6ngase que el núcleo está fijo , el electrón que i nicialmente Se está moviendo en un círculo de radio
R1 alrededor del núcJ.eo salta de repente a una 6rbi ta
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-199-
circular de radio má s pe queno R2 , a} Cal c fi le s e el
c~~io de energía ciné t ica del e l ec tr6n, usando la
segunda ley de Newton. b} Aplicando la relaci6n en
tre la fuerza y la t!nergía potencial , calcGlese la
disminuci6n de energla potencial del ~tomo. c} Cal-
cule qué tanto disminuye la
durante este proceso, (Esta
forma de radi4ci6n).
energía total de l átomo
energia es emitida en
SoluciÓn:
a) El cambio de energía
cinética será:
6k = 1/2mv~-1/2mv~
... (1)
Apli~ando la segunda
ley de Newton tene -mos:
La e cuaci6r. (2) se convier t e en:
1/2 rR = 1/2 mv 2
pero: r = ke 2/R2
Luego; 1/2 mv 2 = _ 1/2 ke 2 /R
,
Para R R1 ; 1/2 2 lIH ke 2/R1 ) , mv! ,
R , , . "2' 112 :nv~ , 112 ( ke 2/ R2 )
,
Reer.:.pla::ar, do es t os valor es e n (1) t endr emos!
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- 200-
• b) La disrninuc i6n de la ener gía pot encial es:
6U =
lIU = -
= _j ~( _ke2dR )f R2 ",
= - ke 2 (1/R2 - 1 /R1
)
c ) La disminuci6n de la energla total del átomo se
rá igual a l a disminuc i 6n de e ne r gla cinética ,
es deci r i gua l 4:
1 /2 Cke 2 ) (1 /R2
- 1/ R1
)
puesto que es la única energ1 4 que se manifiesta
en forma ext e nsa .
17. La e nergía potencial correspondiente a un c i e rto cam
po de fuerza b i dimensional es t á dada por U{x , y) = 1 12k ( x 2 +y 2 ). (a) Oh tene r Fx y F
y Y rle~c~ihj~ ~, ve~
tor de fuerza en c ada punto en funci6n de sus coor
denad a s carte s ianas x e y. (b) Obtener Fr y Fa y
de~cribir el vector de fuerza en cada punto en fun
ci6n de las coord enad a s polares r y 9 del pu nto.(c)
¿Pue de uste d pensar en a lgún modelo físico de tal
fuerza?
Soluci6n: 1 2 2 = .,. k{x + y }
al Sabemos: r (rl o i .U j ." k .u
'x - ay ,,-
donde: Fx o .U
'" F o
.U y ay
r o .u , E
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-?O l -
tU Lx ) ~ ;0:
rx kx
fj = 1-1<.( 7y) ~ io:y
F ~ ky Y
bi Cf'mo re ,~puntCll s i ~mpre raoia lf:lentc:
[(1') = k!'"
f(€,) = O
dond e : r = Xl .jo yj
i6 . fl l lamado potencial de Yukawa
r O -1'11' - U e o r o
•
oa una descripci6n suficientemente exacta de la in
t.erélcción entl"'e nuc l eones (esto es I neutr o nes y pr'2.
t ones. los cons tituyentes de l núc l e o) . La constan t e
ro "ale aprOl:i mad amen te J.5 y. 10-15
:n y l a cons t a n
te Uo es apr oxi mad amen te de !JO Me'.". ( al Encontr a r
l a expr esi6n cor l"'e spo ndi e n t e pa r a }-'I f uerza de a
t ra~c i ón . ( b ) Pa ra poner de manifie~to el co r t o a1-
CdJ\ce de es ta f ue l'z B, cal c u l a r 1;). l·e l ación de 101
f ue r z a par a r
r 'Je r :;:: a p=a r
Jio l ución:
él ) r =
~
~
2r
r o
,. D
o ' 4ro y 101'0 <..01, I"' l!s pecto a la
= 5U Hev .
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19 .
-202- •
de r i vando:
~ -r/r r -r/r J r • o - v • o , Vol! o o r
r - r /r [;0 ~J r • --" r vo ' o
b) Rcempl ~ ... ~ndo v a l .ores en l. e ll pr esi6n a nt:e r i ol' h~ lIada. o bt endremos para :
r • l r • o r • 1.4 , 1 0- 1
r • 4r o • r • 1. B , 1 0 - 3
r • lOr • o r • 6.6 x 10- 6
\lna part 1c uh o ( e l nC.cleo de un átomo d. he lio) en u n n("ü eo grand" , e s tá li g .. da p Dr un potencial co-mo e l Que .e muestra en la rig. a) Constrúyase una runc i6n de x Que tenga esta f orma genera l , con un valor m.ínimo Uo para x = O Y un valor máximo para x
= Xl Y x = - Xl' b) Dete~ir.ar la fuer~a entre l a
partleula a y el núcleo en funci6n de x. c) Descr iba
l os mo vim i entos posibles. u(x)
, _~'
e
d) Di c ha curva se o btiene multiplicando las ecuacio n~s:
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-203-
, , -., e •
en donde A y e se determinaran, d e tal manera que cur.tplan lds (':ondiciones impue s tas,
La ecuaci6n s era: , Cle-ax
b ) ,. , dUJdx , , e -.,
, (_2 Ax J
(l - 2axe • 2Ax a)
el Entre - "~y • " l . partícu l a oscila
para x > x l y x < Xl cae de la c r esta,
En Uo el equi l ibrio es estable ( X :: O)
En Ul( - xl l y U1(x1 ) e l equilibrio es inestable,
21, Se encuentra que un cierto resorte e special no s~ gue la ley de Hooke , La fuerza, (en nemons) que e
j erce c uando el resorte sufre una deformación x (en
metros) resulta tener una magnitud de 52,8x + 38.Qx 2
en sentido opuesto a la deformación. (a) Calcular
el trabajo total que se requiere para estirar e l re
sorte desde .x = O. se hasta x :: 1.00 1lI. (b) Es t ando
fijo uno de los extremos del resorte , se sujeta en
el otro extre~o , cuando el r esor te ha sufrido una
~eformaci6n x = 1,00 m" una partícula de masa 2.17
kg. si en estas condic i ones se suelta la part ícul a
a partir del ~unto de r eposo, calcular s u velocidad
en el instante en que el re sorte ha regresado a la
configuraci6n en la cua l la deformaci6n es x :: 0 . 50
m. (c) La fue r za que ejerce el r esorte, ¿es conse r
vativa o no conse r vativa ? Explicar por qué .
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- 204-
$')lu.::::i6n: r:< ~1. 8x .. 32.4 x2
t} tI tl"al .ajo está ..... .'l.do por:
W :< f Y(x )ox '" r: rOl< , o
w r' (<'1.8'X+37.4X2
}(.X "
0.5
W ( h2 . 8 . 32. 11, "2 -,-'
. , " 31 Joul es .
52.8 -,
•
1,) Sigu iendo e l Dl aimo pl'Oc edilnient o que e l problema
1 3 o b t e nemos:
11 " 5 .33 mI:'!.
e ) Es conservativo , porque e l trabaj o que r eali za dUr'~nte u n c ic l o comp l l!! t o (dI! ida y v u e lta) e l!:
ce~.
l' Mue s t r e que cuando ha y fr ioc i 6n en un si ~t em4, q ue
s i no fue r a por e llC'. s e r1 a cc:ns.:'tvativo . l a rapide z
(',m que se d i si. pa la e ne r g Sa me c An i c a es i g u a l a l a
fu .. r za de I' r icoi 6n mul ti plicada por l a velocidad en
"'!:f' i ns t ant e , o expre sado mate.:nat i camente :
d / dt ( k .. U) " - fv
:a1uc i 6n:
~ahemos que l a fri cci6n es u na f u e r z a d i s ipadora
tr.o conse r va t iva) , tTl e ste c a s o ;
pe r o: Wf no cons e rvo = -t ~e
t¡,( K · ti) :: - f c. c
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··2 0 ;
Div id i endo e ntre lit.
tr. ( k t Ul { f Ae } .10(\(\'" I ~ constan t¡: ~ -----.t • dt
6(k • U ) •• 1 uego; ~ .t dt
En el lÍmite cuando " t 1 e n .1 .. , cero , tendrer.los:
c!( k + U¡ dt
dc l' (ft : - fv
d di' {k+ \ll-··fv
23. Un cuerpo :::le masa m (omie:lza a moverse a partir de
reposo, bajando un plano jnclinado de longitud L
que forma un Sngulo e con la horizontal. al T6rr.c::;.
como coeficiente de fri cci6n ~ y encuentre la velo·
cidad del cue rpo en el punto más baj o del plano . b
¿Qué distancia ..d.. re correr! resbalando horizon t alme!
te en una superfic ie igual, despué s de llegar a
punto más bajo del plano inclinado? Resuelva el p~
blema utilizando los métodos de la ene t'gia y resue: valo también usando directamente las leves de ¡le,", .
ton .
Da t os;
Uk
= coeficient e de
f r l cc i6n c iné
t l ca .
L ~ l ong i t ud de l
pl a r.o i ncl inado
" ángu lo del p 1<1.-
no incl i nado . ü¡ v ~ O ( '/~locida d i.nicial) o
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-206 -
Soluci6n: •
a) Aplicando el principio de la conse r vcci6n de la
energía, cuando obr~n fuerzas no conservativas
(fricción) tendremos:
w, • fL • O<1- Ko 1 • (U, Vo )
, , , , + mgh 1 mgho • f m., 2 m. -o
pero:
• • O. h, • O. h • Lsen8 ; , • uk rngcos8 -o e
u)c:mgcosSL , ,
mgLsenO • ~ m., de donde:
b) En el plano horizontal tendremos:
pero: . , • O. h, • h, • O; f • I.l)cmg
- fd • , -;
, m., " . (3)
Reemplazando los valores de f y de v1
obtenemos:
Método dé las leyes de t!eW1:on :
a) I fx = ma , • O
rngsen S
-mgcosS .. N : O • . • (2)
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- 2 0 J-
f k = Uk
N -.--- --- - -- - - - (3 )
de las ecui!l ci ones O) , (2) 'j (3) obtenemos:
al = g(sen a - uk
c os a l ~a velocidad vI se ~á :
2 ,
•
vI = V o + 2al~ ----- --- - ( I¡ ) , pero v = O de donde: o
v 1 ~ = 12g!.( sen a - Uk
e-osa b) En el plano hor i ~ontal tenemos:
, f o •• f o .a, ,,¡ , , , f O " Y o 'g o O (1 )
f, o ", " ----( 3 )
De la s ecuaciones ( 1 ) , (2) , (3) obtenemos: " ", La di s tan cia d reco~rida p o r el cu erpo s e rá:
pe ro v 2
Luego: , Respu e s ta:
, " O
•
, ,
0 __ ' _
", al
o
"
. - ( ,, )
2gL(sen , - "k 00' " !.( sen8-u kcos9)
2uk
g " k
o 11g L(sen O uk
cos O)
b) d = L( sen a - uk
cos 8 1 /uk
14. Una partícula d e sli~a por una via que t i e n e s u s e x t remo s
levantados y una par t e c ent ra l p l a n a , co mo se mue st r a e n
la fi g . 8-1<) . La pa r t e plana t ie ne un a l o n g i t u d 1 ~ ) . ú
m. Las porc i o nes curvas de la v i a no tj ene n roz a mi en t o .
P3ra la pa r t e pldlld el coeficien t e de ro~ ami ento ci ~~t i co
" k () . :?o . La particul a se su e lt a e n un pu n t o A 1U.,
se e~cuentr~ a una altura h = 1.0 m sob r e l a p a ~ t e pl a n a
rep oso?
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-208 -
-lA-
J _ _ _ ';!!'_ :<a..-._~,.--_~ B d r---
L --- ---<o/
Aplj~~~"do la e~ua~i6" de la ~o"~ ervación de la energia en
tr. los puntos A-B.
2
, ."
EA ~ EB
mghA , ,
: "2 IIIv B • IIIghD
S ¡mplifjcanJo y reemplazan d o
datos
o ,
, , ] mv ~ ~ e / k mgd
rtc~p l~ zJ nd o e l v alo r de vB
7 2 &11 = ell<t~ d
,. o. :! s.
La partlcula hac e Un recorr i do de i d a y v ue l ta qu~ d andos~
P~. el medio Je la polI t e plJna.
:,',,) uro le~<H·te hori.:.on
r 1 i ,.. __ I.J \ . U 1:10
__ vo .. z v-O
'nd· ,;¡ l,rmrTTTT! fT7TTrrrnrrrr Fi Q. 1
, ,
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- 209-
• íent~ ' ¡lIétic o ~ rlt re el bl :lG'"" "! l ., ~""P"l ti,' ~ ~')rj;:ollt ,il
.e ~ d~ O )~. LCuSI erd Id velor J~d ocl bl ')-J~· en el ins
t~~tE ~ul cn~~ue?
1, o,
, " ",-, 1
, " " .U r
----- ~ l)
", " O ; , ) O " U ,
e
' r r k" 1 , , ,
k , , , 0 ' o '' • ; , o
I' e l'o : f, " 'k" , uklng • " O , " O o
1 h , 1 ;
LuegQ : ., ro . " , O
" j'2 ( Uk OS " d. donde: • o rn
, . , ) " J ' (o,
• 1 . '2rn is eg
v o ~ 1 . '2 mIse..,
..... el c "t:le d e u n elev.:aoof' de P ~.J C 1,: ,jl"]" ji,; . ~-::"'''!E.
vienta cuando el elevador se
pT' irocr piso , d" IIl d n" ,'i! que
su fondo estaba a una a l tu
f'd d " 3.66 m s o bre un re-
sort" amortí ¡ ua dcr cuya
constante de r e:;o l t e e s
1', é 000 at/m . lb sis-
,1, l , 1 . ,.~.
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mo~¡mie"tc del ~Jcv d dor se opon~ ~~~ fu~rza ~e ro~am¡e~tc
co nSl antd de ~ " ~O nt. (a) [ncon t -J r la velocidad del ele-
~dd"r en e l momento en que va a :'I'(. J.r c alara el resol'te.
lb) tn eontrar la 4istancia que ~c Jd for mará el rc ~o rte.
(e) ¡:alcular la distancia que "rabot ar á" el elevador ha
~ja arriba en el poz o . (d) Apli~ando el p r incipio de l a
co n .e r vaci6 n de la energla, cneolltra r la distancia total
que se mover~ e l elev a dor antes d~ quedar' en repos o .
Solud6n :
al Aplicando el te o r ema de la energia:
o,d
1 Z mv,¡
fd 1 ,
1 m(mg - f.ld=
¡'eemplazando ~alores: o •
, d
, "
w g
'2 " 9 .8 17 000
(17 , 800 - 'I'. SO) " :'1.66
b) r klt
r )t : k • 17800 - '''.50
1'<6000
27. Un cuerpo de 17.8 nr es empujad o ha c i a a rr ib a sobr e un p l!
no sin rozamiento. inclinado 30° y de 3.05 m d e l o n gitu d
mediante una fuerza horizontal r . (al Si la v el ocidad qu e
t e nia en el extremo inferior del plano era de 0.61 m/seg y
en el e"tremo superior alc a nzó 3.05 ~/,eg. ¿q u ~ can tid a d
de trabajo hizo la fuerza f? (b) Supóng a se que el plano
tiene cierto rozamiento y que
r! esta misma fuerza?
el plano?
'" : !jO lb e -. 30"
~k : 0.15. ¿Qué trabajo ha·
dónde subirá el cue r po sob r e
L • 10 pies ~ 0.15
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Soluci6n :
Las en~rg i 3$ ir.i c ial y
f i nal s .. r~n'
¡; ~ 1 /2 r,¡ v2
o ,
¡ 2 IIIv 1 t
1 I ¡ ¡
", f III ¡;Ls <! n
- 21t -
el irI C I· ~ m .,nt o d, en~rgi~
e ::; Igua 1 .1 trabajo re .. l izado Jl" r
, 1 ;. m¡t.sen 9 , < , - < •• ,
1 o ¡ 1
1 " )( 10) 2 , < ¡ 31 , "' • '" • O . ,
160 pie I lb
b) Cu~ndo h.y fri cci6n t endre"'os:
, , mgh 1 ) , 1 ,
lagh) ,- •• • - m. , 1 , o
,
do nde: eL .. " trabajo h~c h o p o .
h : O o
, , '. , \
,
_. 1 " ,,: . , ,
re •• , o
1 , "' ) ( :. ) - I 3:
< re - te
u • fue r z a .
Re e ~pla z an d o valo r es en (2 ) t e nem o s :
V : FL : 260 t 0 . 1 5 = ~o x cos 30 ° x
: 260 t 51 . 96 t 311.9 pie - lb
La eneri la ciné tica en el p ~ n to mA s alto es :
( .. ) w 2 26 0 pi e l b
(b) v a 311.9& pie-lb
- • • (1 )
,»
28. rn un .. _esa sin roloa_ iento se coloca una c adena de ta l tur
lila que la qui n t a parte de su longitud e $ t ~ co l&a n d o po r el
bo rd e de la mesa . Si la cadena tiene una longitud 1 y n n ..
m ~ 9a 111, ¿qu~ c ant idad de tr .. bajo habra q Ut h a cer parl su -
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-212~
~.
l un~i t ud d e l a c a a ~ na
H' m.Js .l d e 1 .. c,~ de n a.
H.~ ,,"'ll:o:; el (! :i d
•. ,",U"" el e1 ""1'
1¡~" " d~ 1..., pa r·t e j ,
i3 ~ ,'" n~ '¡ ', e c u e l &a.
~, . .• p li ca ! u ~ a fuer ~ ... .
r ( r.-. &x)/1. ~--- ---- ( 1 )
JU:1:!,· "' g/ L e s ,, 1 PC ¡;';:' ;:' 0 1' " " id a ": de l or.!; i tOl~ .
'-.¡ t , ·"h d jo :>e l'¿; :
L/ S ,r n f, xd>.
o ' [ , ] LI S mO x
L 2 \)
•
,
r~ F~ c 4 1~ •• m e ~l~ i c a v a d e un p i so a ~ t rO 4UO es tá a 7 . 62
el , 1': i 1; ., . !. d es c a l el' il ti e ne 1 2.7 In <.1 .. l a r g o y s e mu e v e e n
. ! le cc i 6 n de 5U l o ngi t ud co n un a v e l oc idad de 0 . 6 1 m/ se r.
'Q u ~ pctel'c i d d ebe t ~ I .~r ~ u mo t o r p ar a t r a n s po rt ar un
,~ , , ~ ~ d~ 1 00 ~~ r son a s ~Ol' minu t o, cd da un a C C~ ~n 3 ma s a me
1 ¡ .) d I' 71 . '~ ~,,,., ( tI u,¡ h omb r e de 7 1 2 "t c~m i na por l ~ e &ca
J pl' j ~ l ~ ~ uh e e n 10 ~eg . ¿Qué c anti d ad d ~ t raba jo h a c e so
,,¡ 1loto r ? (c) S i ~ ¡ ¡, omb r~ a la mi¡ a d de l a es c a l e
. • ' n' 8 , 'eSilld v c am ¡ u,ll"<1 hac iJ aL iI ) o d f.i n d e co nseI'V<1I' S~
, 1 I"ic;mo ni">! l " n el <! :;paci() , ¿ h a !' í ~ el mo t Ol' t l'il bajo s o b re
,~., ¡q 'l ~ pote nc.ic le a pli c a r i ~ j.a rj ~ G tc f i n ?
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-211-
(1I) (01110 ti! ··C!""~ ¡¡Iitd de la
esc lll~r it CL ~~Ils t ante,
t- ién 1 <.; e:l:
,
se rá:
~
Ir.gh
, , , ,
:'!Ju , OvO ~ ,.
pie-lh b , ~.,G.6r,b
'"
,
~cu&ci6n en la ~u41. ~ h e:; la '1eloc': !.¡d :, n i" "'" '/
., P >;;).1 " eloeid ... ¿ :: e l a c :;c ... !e.·"
De dicha e c uaci ón cb t~nemos: '1h ~ : p i e siseg
El espacio que I·e c orre él ?Or ~ u s p r op ¡ o~ medi o~ en les 1 0
seg es "h t .• 2 x 10 : 10 pie s = e/2.
El trabajo que r eal iza serA:
W = mgh/J - 2 , 000 pie/lib.
(e) 110, porque el hOMbre p" r m"nec" en .. 1 "islII ") pU h tC' (e.." I
sidere la definición de trabajo).
La pote ncia ~u e r"lJ i~a ~ implemente s ir'" pnra contr a r r eS-
tar el trabajo q ~ f" I ·e a li z~ e l hombre
r.sta potencia se r d:
d ':l b¡, j ,u ' .
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JO.
Flp t a'
- 214-
l a' P : 666 6 . 66 p ie - I b / se g
(b ) W " 2 . 000 p i e- l b
(el Ho . 1 : 320 p ie - l b /s e g .
(d 1 It o
•
, Oe mos trar que me t ien e dime n s iones d e en ergla.
So l uc i ón : , De.~s tr ar emos q u e ae t ie ne dim en s i ones de energla
(1)
dond e: m " aa sa e n kg.
e v e locida d d e l a l u ~ e n mIs
re'llllpla z a nd o .n (t ) :
Ade .. .ss:
(. ) . n
Jo ule:
, E k g • ---, ----- ---- - (2)
• , He v ton • o , g .,. (2 ) ,
" ,
• E o -,.-, a /s S
E: " N.a " J o ule
Uni d a d de e ne r g la.
-- - ----- (a)
) 1. Un elec t rÓn (lI a s a e n r e poso 'Ll " 10-31
kg l s e !ll u e v e co n
u na ve locidad de 0 . 99 c. (a) ¿Cuál e s su e n e r g í a to t a l ?
lb ) E: ncont r ar la relación d e l a e ne r gl a c i nét i c a n e wt o ni a
n a co n ' res pec t o a l a e nerg la c i n é t i c a r e l at i vis t a en es te
ca s o .
So lu c ión :
v '" 0.99 c
• o '" 9.1 x 10-
3 1 kg .
Por el pr inc i p io de la c o nse rv ac i ó n de \.., e ne r g 'í a tene mo s :
r( a e2
+ El '" co n s ta n te o o (1 )
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-lI S-
donde: ,
t moc e~ l~ e " erela tot~}
[ [ e s la en .. rgla total de todas
En e s te caso:
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1 , lII o C2
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Reemplazand o
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0 .99'2)2 , 1]
• 0.8 1 9 , 10 -13 ". 9 8 , 1 e - 1 3 • 5. 79 • 10 · 13
L. energla n e wtoni3n a es :
K 1/2 ,
1/2 '.1 10- 31 (O . 9 'l c ) ' • •• • , ,
• ". OS" • 10 - 1 " joules
r . hci6n q", ex .l ste ent r e 1! 113 s se rd :
11 .05" x 1 0-111
5.79 x 1 0- 13 o.ce
Rpt a: ( a ) [t : 5.79 x 10- ' " joul e s
(b) KIt: o. " e ,
joul O! s
32. Cal c ula r cuAl e s la Veloc idad d e un ele c tró n q ~e tiene una
energla ciné t ica de (a) lOO 00 0 ev.
Solu c jón:_
(b) 1 000 000 e v .
Po r la ecu3éión de la energii c inéti c a t enemos?
'1 2 r ., -"2 K: 6mc moc U - (v /el")
Despe ja ndo la velocidad y o bt ~n ~m os :
• • (t •
, , . , ) o
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- 2 16-
(~) P~r~ K : 100 00 0 ev -11;
1.6 ~ 10 jv ~l e ~
. I -1 " 2 cV(I.&xIO ) I
-31 B 'l -l~ 2 x 9. 1)110 ( 3)1 10) 1.6)1 1 0 ., _ 31 B '1
J.l)1 1 0 (3)1 1 0 )
'J: 0.5'. c
(o) procediendo igualment~ para el ~aso en el que la ener
gid cs'
ot.lencmos;
1 ,000.000 ev
v : 0 . 93 c
-" : 1.6 )1 10 joule s
Rpta: (a) v: 0.511 c
(b) v: 0.93 e
3. (d) La mdsa de un cu erpo en reposo es de 0.010 kg. ¿Cu~l
~s s u mas a cua nd o se mueve con un3 v e locidad de 3.0 x 107
m/seg con relaci~n al o bservado r ? ¿C ual e s , si la velocj 8 dad es de ~.7 )1 1 0 m/seg? (b) Compa rar las energl as cin!
ticas cl~sica y relativista para estos casos. (e) ¿C61:1 o
ser ían la s cosas si el observador , o el aparato de medi
c16n , e stuvieran mo ntados s obre e l cuerpo?
Oa t os: mo
: 0.01 kg , v I:
, 3 )1 10
" 2 2 .7 x 1 0 m/seg.
So lucion: (a) La s ma s a s se rin .
J, mo
- (
"
J •
( b) L., en e r gías c in é ti e .. s c Ui sicos , 1 1 0 7 ) :.>
'lo - 1 /2 m • - (O . GI ) {;¡ • o 1 2
2 1 ( 0 . 0 1)( 2 . 7 108 ) 2 t;~c - • • • 2 o , 2
2 .7 )1 1 0
0 . 0 1 kg
: 0.23 k g
s e r.'i n :
" . s • 1 017
joul e s
3.6 9~ • 1 0 J I¡ jou l es
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~ .. )-Jj _ _
- 217 -
~ r.: ("' [1 o
1
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" ln j d - -./e « 1, to~ lérminos des¡>u.'; >l, j a ~ i;:'
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1 ,
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( 0 . 01){3 K 10 7 )2
" ;¡ e .'i\ .! nlv' ,
jo ule ::;.
'" ! o joule !>
C omp~randD l as energias c l~sic ' y relat i vist3 ten e mo s :
1 • 3.695 JI 10
1"
14 11 .7 l< 10
= O. 3
(e) En es t e caso seg ú n l a f i s i ca cl ~ s i cd l a en e r gl a cin é ti
c a ser Ia nula, pu e s t o Que vp
~ O , pe r ~ según l a fts iea
relativista la energl . cinEtica s e r.i:
K = lime ,
3". De acuerdo con el B r i t~ n i ca Ye arbook lo s Es t ado s Un i d o s
consumieron 563 x 1012
vatt-h de energ l a elé c t r ica e n 1956
¿Cuan t o s kilog r amOs de mat e r i a l tendr I an q u e dest r uirs e
por co~pleto para prod ucir e sa energla?
Soluci6n: Como el proceso es reversible pued~ oc u rri r
una materia l i~aci6n de l a masa a p arti r d e l a
energla o viceve r sa.
, =""2 ,
----- (1)
P J 5631110 ·watt-hxl.6xlO jQulesjwa t t - h =
(3 1( 1 0 6 ) 2
Rpta: !lIm = 22.S~ ~S.
22.52 kg.
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-218-
]~. S~ lrel que el ~ol obtiene su energIa po~ un pro~eso d~ f!
s i ór, .. " el cu .. ':' cuatro átolJlos de hid r ógen o se tl·;¡nsfor .. a"
el. "'/1 a to,",,, de helio con e .. isi ó n de energI a en -divel"sas
Si un At o.o de hidrógeno t iene u n a
~~Sd en repol~ de 1. 008 1 unidades de masa a t6~lca (viase
. J [j o 7J Y un !t~IJI O de h.lio posee una ~asa en rep oso de
~ .0039 vni rlad es de mas a atómica , calcular la en e rgta d es
Frend id~ en c a da pr oces o d. fusión.
~: ~H ~ 1.0081 , "He ~ ~.00J9
Sol uc1 6n: La lIIaSd to tal da los" AtolDos de H será
.. x 1. 008 1 • " .032"
be .a s ~ q ue se ha trans f ol"mad o en energl a será:
11\ - .. ni!! - "'He ~ ".032" - ".00393 0.028$ u de ma sa ató-
n. i c a.
-21 .. • O. O] iI ~ u de 111 a t ó .. i c a x "¡-O-' ;;6!6-;'i;""O;-"..;k~If;-,
1 u. de 11\ at611llce.
La energla desprendida en cada p r oceso de fus ión.
, . - 2 7 8 '1
[ ~ (0. 0 28$ x 1.66 x 10 )(3 x 10 )
." ~ 26. $ Jot .. v .
36. !XI diodo al vacío a:nsist.e de m Anodo c1l!R1rioo que encierra tri cato -16-
en c1l!nd:rioo. U"l electrón, Oln r.na. ene%91a potend.al de 4.8 x 10
joJ.les ccrr rel;w::i(:r¡ al ánodo, aale de la ~fid.e del c!tQ:b cx:n una
velocidad inicial cero . ~ase que el electr6n no d10CiI ClOrltra ni.n
gula rroléc:u.la del aire y que la fuerza 9ravitacicnal es insiqnificante
(a) ¿()Jé crercfla cinética tendrS el eler:t.t"6n cuanio da¡ue a:nua el ! - 31 -
no:Io? lb) 'l'alIardo c::aro 9. 1 x 10 kq la nasa del electr6n. cnc:mua:r
su veloc1~ final. (e) ¿Se justifica usar las rellloCiones c:U.sicas de
energía cinética y de mas". en lu:¡ar de las relativistas?
-16 (a) La energid cin it ica s era " .8 x 1 0 j oul e s puls la e-
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-2 19-
nerg l a ¡lote r. ;:i" l ~" r e l a t iva al ' !lo d o 'i .. l llega? d e s t e
s e tra nS f Ol'I' d en . ,, ~r gla ci nética.
b ) La velo e id~d fj' ,al
e ) S i, por4.U ~ la v elocid " d n o se 3 prox ima a l a d e la lu ~
7 / • v /e ~ &.b x 1 0 . 3 x 10 ; O. '} }
y : O.?:i e
p~, t a : . ) , , .. , 10 - 16 joul es
b) " • 6.6 , 1 07
II /s eg
" 51 . " " • O. 1 2
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