1

Capítulo 7

VIGAS ALTAS

Son generalmente de gran luz y capacidad de carga tal que exceden las posibilidades de perfiles laminados o normales; por esta razón se les conoce también como VIGAS MAESTRAS o PRINCIPALES.

Para el diseño de este tipo de vigas es necesario considerar las siguientes posibilidades de falla:

a) Por aplastamiento local del alma

b) Por pandeo local del alma o de las alas

c) Por pandeo general del alma

d) Por interacción de flexión y corte.

a) Aplastamiento local del alma

P = Carga producida por una grúa montacarga

f = fatigas locales de compresión, críticas en la raíz del filete de soldadura

N= longitud de apoyo

K

t

e

P

N R

45°

45° 45°

P

Nf

N+2K

f

N+K

2

Restricción: N > K

Si las fatigas locales de compresión "f" son muy considerables, se puede producir el aplastamiento del alma del perfil.

Consideraciones para el diseño

I. Fatigas de trabajo Fatigas admisible

Apoyo: ( ) tKNRfap *+

= fap FF ⋅= 75,0

Tramo: ( ) tKNPfap *2+

= fap FF ⋅= 75,0

Donde: apf = fatiga de trabajo por aplastamiento del alma

II Si apap Ff > , existen dos posibilidades a saber:

a) Aumentar el espesor del alma. Esta solución es de alto costo.

b) Colocar un atiesador de carga. Esta solución es más adecuada.

CARACTERISTICAS DE LOS ATIESADORES DE CARGA

1. Deben colocarse en pares en ambos lados del alma y centrados bajo las cargas.

2. El extremo adyacente debe ser cepillado y estar en contacto con el ala para permitir la transferencia de los esfuerzos por aplastamiento.

3. Debe hacerse un recorte a 45°, generalmente de 2 cm, para no interferir con los filetes de soldadura.

4. Deben extenderse lo más posible del borde de las alas, hasta una distancia de unos 0,5 cms.

5. Pueden fallar por aplastamiento en el extremo cargado o por pandeo general de flexión.

3

Consideraciones para el diseño del atiesador de carga

Aplastamiento:

a) Tensión de trabajo:

aa A

Pf =

Donde: aA = Area de aplastamiento

aa eaA ⋅= 2

b) Tensión admisible

fa FF ⋅= 9,0

Pandeo general de flexión

a) Tensión de trabajo:

APfc =

donde: 21 AAA +=

1A = área del atiesador

( ) as eeaA ⋅+⋅= 21

se = espesor de soldadura (aprox. 2 cm)

2A = Area colaborante del alma:

22 12 tA ⋅= para atiesador extremo

22 24 tA ⋅= para atiesador intermedio

0,5 cm

e

t

2 cm

ℓ

H

a a se

ae

x

x

4

b) Tensión admisible a la compresión ( cF )

cF según fórmulas para solicitación de compresión, donde:

x

xx r

l⋅= 75,0λ

Ejemplo:

Diseñar los atiesadores de carga para una viga de acero, como la mostrada en la figura.

Datos:

- Apoyo extremo

- Usar acero A 37 - 24 ES

- N = 25 cms (longitud de apoyo)

Solución

1. Verificación de P.L. del ala

⇒=<==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3,162,251,4

35,12

fFeb no existe pandeo local en el ala

2. Verificación al aplastamiento local del alma

a) Fatiga de trabajo:

3 cm 2 cm

25 cm

R=50 ton

PL 25x3 cm

PL 150x0,8 cm

PL 25x3 cm

5

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅+=

⋅+= 208,2

8.052550

cmton

tKNRfap

Ya que:

( )( )

( )( )cmt

cmKcmNtonR

8,0532

2550

==+=

==

b) Fatiga admisible

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅= 28,14,275,075,0cmtonFF fap

Luego:

apap Ff > ⇒ existe aplastamiento local del alma

⇒ colocar atiesadores de carga.

Diseño del atiesador de carga

a) Aplastamiento:

faaa

a FFea

RARf ⋅=≤

⋅== 9,0

2 (*)

Donde :

=aA área del atiesador de carga

a = ancho, en contacto con el ala, del atiesador de carga

ae = espesor del atiesador de carga Pero el ancho del atiesador de carga está limitado por el ancho del ala de

acuerdo a la siguiente expresión:

( ) 5,02

−−−

≤ soldetBa

Donde:

6

=solde 2 cm (espesor de la soldadura) En nuestro caso: 6,95,02

28,025

=−−−

≤a cm

Sea: ( )cma 5,9=

Entonces de (*) ⇒ ( )cmFa

Ref

a 22,14,29,05,92

509,02

=⋅⋅⋅

=⋅

≥

Sea: ( )cmea 3,1=

Entonces:

7,243,15,922 =⋅⋅=⋅= aa eaA ( )2cm ∴

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== 22 16,29,002,2

7,2450

cmtonF

cmton

ARf f

aa O.K.

b) Pandeo local:

( )⇒=<=

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 13,162,2515,9

3,14,025,92

fa

sold

Fe

tea

eb Qs =1

c) Pandeo general de flexión:

Tensión de trabajo ( )cf :

ARfc =

Donde:

21 AAA +=

=+= asold eeaA *2*)(1 (9,5 + 2) · 2 · 1,3

A1 = 29,9 cm2

a a solde

ae

x

x

t

7

22 1212 tttA =⋅= (atiesador extremo)

( ) ( )222 68,78,012 cmA =⋅=

∴ ( )258,3768,79,29 cmA =+=

Luego : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== 233,1

58,3750

cmton

ARfc

Tensión admisible ( )cF

xx r

l⋅= 75,0λ

Donde:

( )cmeeH soldala 146)23(2156)(2 =+⋅−=+−=l

AI

r xx =

( ) ( )433

460.112

)8,0225,92(3,11222 cmteaeI solda

x =+⋅+⋅⋅

=++⋅

=

Luego:

4,13126,1723,6

14675,075,023,658,37

1460 2=<=⋅=⋅=⇒==

fxxx QF

Er

r πλ l

⇒ columna corta

∴ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

38,12111

cmtonF

CFSF f

e

xc

λ

donde : 717,181

83

35

3

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

e

x

e

x

CCFS

λλ

→ ( ) ( )22 33,138,1 cmtonfcmtonF cc =>= ⇒ O.K.

8

PANDEO LOCAL DEL ALMA

Para evitar el pandeo local del alma, se colocan atiesadores de rigidez.

1 → Atiesador de carga

2 → Atiesador de rigidez

Casos:

I → Alas libres de rotar

II → Ala superior restringida de girar

1. Cálculo de la tensión admisible ( cF )

Si consideramos un paño entre atiesadores de rigidez y/o atiesadores de rigidez y de carga, nos encontramos con que debemos estudiar la estabilidad de una placa de longitud "a" y altura "h"

Hipótesis fundamentales:

• El material es perfectamente elástico y homogéneo

A A

B

B

h

Corte A-A

a

1

2

2

Caso I Caso II

P q

9

• La placa es originalmente plana

• Las cargas de compresión están aplicadas en el plano de la superficie media.

Ecuación de equilibrio:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∇ 2

22

2

2

4

4

22

4

4

44 212

ywN

yxwN

xwN

Dyw

yxw

xww yxyx (1)

Donde:

=w Deformación en la dirección del eje z

=xyyx NNN ,, Cargas por unidad de longitud

( )2

3

112 μ−⋅

=tED

Luego, en nuestro caso, tenemos:

tN

NN

yyy

xy

x

⋅−=

==

σ

00

∴ De la ecuación (1) obtenemos:

x

y

z

a

h

t

yyσ

yyσ yyσ

yyσ

10

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

⋅⋅−=∇ 2

24 1

ywt

Dw yyσ

→ 012

24 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

⋅⋅+∇ywt

Dw yyσ

o bién: 0*12 2

2

4

4

22

4

4

4=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

ywt

Dyw

yxw

xw

yyσ (2)

que es una ecuación diferencial homogénea con solución del tipo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅=h

ynsenXw π con ( )xfX =

Luego: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

∂∂

hynsen

hnX

yw ππ 2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅=∂∂

hynsen

dxXd

xw π

4

4

4

4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂−=

∂∂∂

hynsen

hn

xXd

yxw ππ 2

2

2

22

4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

hynsen

hnX

yw ππ 4

4

4

Reemplazando estas expresiones en la ecuación (1), tenemos:

0*12242

2

2

4

4=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

hynsen

hntX

Dhynsen

hnX

hynsen

hn

xXd

hynsen

dxXd

yyππσπππππ

012242

2

2

4

4=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

hntX

DhnX

hn

xXd

dxXd

hynsen yy

πσπππ

11

0121 242

2

2

4

4=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

hnt

Dhn

hn

xXd

dxXd

XhynsenX yy

πσπππ

La solución trivial de esta ecuación es : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

hynsenX π =0 → 0=w

Luego la solución de la inestabilidad de la placa será:

0121 242

2

2

4

4=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂−

hnt

Dhn

hn

xXd

dxXd

X yyπσππ

Que se puede escribir como:

011212

42

2

2

4

4=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂−

hn

tDh

nh

nxXd

dxXd

Xyy

π

σππ (3)

Sea 21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅=

hn

tD

k yyy

π

σ →

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=

hnDk

t yyyπσ

Pero: ( )2

3

112 μ−⋅

=tED → ( )

2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅

⋅=h

ntEkyyyπ

μσ

La primera falla por pandeo se produce para 1=n . Luego:

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅

⋅==h

tEkF yoyyyπ

μσ → ( )

2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅=

htEkF yoy μ

π

Donde yk se obtiene de la solución de la ecuación (3) y depende de las condiciones de borde de la placa:

Similarmente se puede demostrar que para el eje x, la inestabilidad de la placa esta dada por la expresión:

12

→ ( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅=

atEkF xox μ

π

Sin embargo, el pandeo de las fibras en un sentido, está restringido por las fibras perpendiculares, luego; podemos expresar la tensión crítica como:

oxoyo FFF +=

O sea:

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

22

2

2

112 atk

htkEF xyo μ

π → ( )2

22

2 1112

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=ht

ha

kkEF xyo μπ

Donde:

yk = 2 para alas libres de rotar

yk = 5,5 para alas restringidas

xk = 4 para apoyos continuos

Tensión admisible ( cF ):

FSF

F oc = → FS = Factor de seguridad

En este caso 6,2=FS (según Nch 427)

Entonces:

2

21730 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=ht

ha

kkF xyc (3)

13

Recordemos que 3,0≈=l

t

εε

μ para el acero estructural

=tε deformación unitaria transversal

=lε deformación unitaria longitudinal

Luego:

2

2142730 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+=ht

ha

Fc Para alas libres de girar

2

2145,5730 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+=ht

ha

Fc Para alas restringidas al giro

2. CALCULO DE LA TENSION DE TRABAJO ( cf )

2.1. Con cargas en el tramo

h

45° 45° 45° 45°

h

a a a

q 1P 2P

ha <⇓

ha >⇓

14

a) Para una carga puntual

Si ha < → at

Pfc ⋅=

Si ha > → ht

Pfc ⋅=

b) Para una carga uniformemente distribuida:

tqfc =

2.2. SIN CARGAS EN EL TRAMO

dxΔ

=ε → deformación unitaria longitudinal

Además, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

22 φdsenCPeq

Pero φφφφ dCdCPddsen eq ⋅=⋅=⇒≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

22

22

Además, en el límite de proporcionalidad → af AFC = ( aA = Area del ala)

φd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2φd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2φd

φd

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2φd

dx

Δ

C CeqP

15

Luego: φdAFP afeq = (1)

Donde ( ) ( ) φεφ dh

dxhh

dtg ≈⋅

=Δ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ=

22

2

reemplazando en (1), tenemos:

: ( )h

dxAFP afeq⋅

⋅=ε2

Luego: th

AFdxt

Pf af

eqc ⋅

=⋅

=ε2 (2)

Pero, según la ley de Hoocke: Ef

=ε (3)

Donde: rf FFf +=

rF = Tensión residual por variación de longitudes entre el ala y el alma, después de soldadas.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 216,1

cmtonFr según la AISC

Luego 16,1+= fFf

Reemplazando en (3) → E

Ff 16,1+=ε

Por lo tanto la expresión (2) queda como: thE

F

AFf

f

afc ⋅

+⋅

=

16,12

O sea : ( )

EthF

AFf fafc ⋅⋅

+=

16,12

Para que no se produzca pandeo, esta fatiga cf tiene que ser menor que la resistencia al pandeo de una fibra vertical de ancho "dx" y altura "h" con K = 1.

O sea: ( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−≤

htEfc μ

π

16

Luego: ( )

( )2

2

2

112

16,12 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−≤

⋅⋅

+=

htE

EthF

AFf fafc μ

π

Sea thAo ⋅= entonces:

( )( )

2

2

2

112

16,12 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−≤

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛htE

EF

AA

F f

o

af μ

π (4)

La relación 2=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

o

a

AA es el valor máximo que empíricamente produce la

mayor seguridad de trabajo.

Entonces, la expresión (4) queda:

( )( )

2

2

2

112

16,14⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−≤

+

htE

EFF ff

μπ

→ ( ) ( )16,141

112 2

22

+⋅

−≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ff FFE

th

μπ

→ ( )16,112,998+

⋅≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ff FFth

Podemos decir que :

( )16,11000

+≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ff FFth

Esta es la relación que debe existir entre h y t para que no exista pandeo local en el tramo no cargado.

Si hay atiesadores a una distancia a ≤ 1,5 h la resistencia del alma al pandeo aumenta por la contribución de las fibras horizontales. En este caso la norma Ch 427 reemplaza la expresión anterior por la siguiente:

fFt

h 538≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

17

En resumen, para impedir el pandeo local del alma en paños descargados, deben respetarse las siguientes relaciones:

Para : 5,1≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ha → ( )16,1

1000+

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ff FFth

Para : 5,1<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ha →

fFth 538

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Pandeo General del Alma

El pandeo general del alma, se puede producir por flexión o por cizalle.

a) Pandeo general por flexión

M M

18

b) Pandeo general por cizalle

Supone que el alma trabaja en forma similar a una estructura reticulada con diagonales cruzadas.

V

1

2

3

4

1

2

3

4

T

C

T

V

Las experiencias prácticas y teóricas indican que la posibilidad de falla por pandeo de las fibras debido a la acción del corte controla el diseño en relación a la posible falla por pandeo por flexión.

METODO DEL PANDEO ELASTICO

Se analiza el pandeo de las fibras diagonales comprimidas.

I) Cálculo de la fatiga admisible

Sabemos que:

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅=

htEKFo μ

π → KhtFo ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≈

2

1900 (1)

Donde:

Si: 1≤ha → 2

34,54

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ha

K → ( ) 14

34,5≤

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Kha → 34,9≥K

19

Si: 1>ha → 2

434,5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ha

K → ( ) 134,5

4>

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Kha → 34,9<K

Restricciones: 3≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ha (3)

Fatiga crítica de pandeo por corte ( ovF )

Aplicando la fórmula de Jourasky para determinar la tensión cortante crítica, tenemos :

x

xoov Ib

SVF

⋅⋅

= →ht

VF o

ov ⋅= en nuestro caso (4)

Luego, la falla por pandeo general (elástico) se produce cuando ovF es igual o mayor que oF .

O sea: ovo FF ≥

Luego, si : oov FF < → la falla se produce por corte y no por pandeo elástico .

Sin embargo, la fórmula (1) es válida únicamente hasta el límite de proporcionalidad, que se produce aproximadamente a 0,8 veces la tensión de fluencia por corte ( fvF )

O sea la ecuación KhtFF oov ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≈=

2

1900 , es válida solo si: fvo FF ⋅≤ 8,0

Donde: 3f

fvF

F = (5)

ht

y

vf

20

Etg =α → ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 22100

cmtonE

Gtg v =α → ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2800

cmtonG

fF = tensión de fluencia

fvF = tensión de fluencia por corte

Si: fvo FF ⋅> 8,0 , entonces la fatiga crítica de pandeo por corte se puede calcular por la fórmula empírica:

fvoov FFF ⋅= 8,0 (Fórmula empírica)

En resumen:

Si: fVOV FF 8,0≤ → oov FF = (6)

fVOV FF 8,0> → fvoov FFF ⋅= 8,0

Las normas AISC introducen el parámetro:

fV

oVV F

FC = (7)

fvF

fF

f

ε α

vα

fvF⋅8,0

21

Entonces, la fatiga admisible por corte ( vF ), será:

FSF

F OVV = (8)

Donde: 35

=FS (Factor de seguridad)

Luego, reemplazando (5) y (7) en (8), tenemos:

35

3 fV

fVVV

FC

FSFC

F ⋅⋅=⋅

=

Luego:

V89,2C

FF f

V ⋅=

Además de (6) y (7) se deduce que:

Si: Cv ≤ 0,8 → ( ) ffV

OV F

KhtE

FF

C 3112

2

2

2⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−==

μπ

Luego:

Kht

FC

fV ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

23300

Si: Cv > 0.8 → fV

ofVV F

FFC

⋅=

8,0

∴ fV

oV F

FC

⋅=

8,0

Pero:

( ) Kht

htEKFo ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅=

22

2

21900

112 μπ

22

Luego: ff

V FK

thF

Kht

C ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅

=3,51

3

19008,02

f

V FK

th

C ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=3,51

Resumen:

V89,2C

FF f

V ⋅=

Donde:

Si: 8,0≤vC → Kht

FC

fV ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

23300

(∗) Esta fórmula es válida cuando Fov se produce en el rango elástico.

Si: 8,0>vC → f

V FK

th

C ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=3,51

1≤ha → 2

34,54

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ha

K

1>ha → 2

434,5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ha

K

23

METODO DEL CAMPO DE TENSIONES

Se analiza la falla por tracción de las fibras diagonales traccionadas.

I) Cálculo de la fatiga admisible

En este método se supone que una vez producido el pandeo, la fatiga Fov permanece constante, y que en las fibras en tensión diagonal se produce una segunda componente de resistencia que se suma a la anterior.

φ

φ

φ

s

ovFf

ovF

h

a

Si " f " es la fatiga de tracción de las fibras y el campo de tensiones tiene un ancho " s ", la tracción total "T " vale:

tsfT ⋅⋅=

Donde: φφ senahs ⋅−⋅= cos

Sea “V ” la componente vertical de la fuerza representativa del campo de tensiones ""T . Entonces:

φsenTV ⋅=

Luego: ( )φφφ 2cos senasenhtfV ⋅−⋅⋅⋅⋅=

Las experiencias han demostrado que las fibras toman la orientación φ que produce el valor máximo de “V ”.

24

Luego, “V ” es máximo para φ tal que: 0=φd

dV

O sea:

( )[ ] 0cos2cos 22 =⋅⋅−−⋅⋅⋅= φφφφφ

senasenhtfddV

∴ 022cos =⋅−⋅ φφ senah

∴ ahtg =φ2

Pero: ah

tgtgtg =

−=

φφφ 21

22

∴ ( ) 021 2 =−− φφ tgtgah

0122 =−+ φφ tghatg

∴ 2

122

12

11422 22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+±

−

=⋅

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±

−

=ha

ha

ha

ha

tgφ

∴ ha

hatg −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2

1φ

Además: ov

ov AVF =

Donde: tsAov ⋅=φcos

y φsenTV ⋅=

25

Luego: φφ cos⋅⋅⋅

== sents

TAVFov

ov

O sea: φφφφ coscos ⋅⋅=⋅⋅⋅

= senfsents

TFov

φφφ 2cos

cos⋅⋅=

senfFov

φφ 2cos⋅⋅= tgfFov

Además: φ

φ 22

11costg+

= → φ

φ21 tg

tgfFov +⋅=

Reemplazando valores, se tiene:

22

2

11

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=

ha

ha

ha

ha

fFov

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=222

2

1211

1

ha

ha

ha

ha

ha

ha

fFov

22

2

1222

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=

ha

ha

ha

ha

ha

fFov

26

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=22

2

112

1

ha

ha

ha

ha

ha

fFov

222

2

12112

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=

ha

f

ha

ha

ha

ha

ha

fFov

2

12 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

=

ha

fFov

Pero la placa (alma de la viga) está sometida a la acción simultánea de las tensiones de tracción f y tensión crítica de pandeo por corte ovF . Luego es válido aplicar la siguiente expresión:

1=+fv

ov

f FF

Ff

O sea: 1=+ vf

CFf

( ) fv FCf −= 1

Luego: ( )

2

12

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=

ha

FCF fv

ov

Considerando un factor de seguridad 67,1=FS , entonces:

27

( ) ( )

22

134,3

1

1267,1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−==

ha

FC

ha

FCFSF

F fvfvovv

Esta tensión es adicional a la tensión admisible obtenida por el "método elástico". (Contribución de las fibras comprimidas).

Luego:

( )

2

134,3

189,2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−+⋅=

ha

FCC

FF fv

vf

v

O sea:

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅=

2

115,1

189,2

ha

CCF

F vv

fv

El primer término representa la contribución de la viga a la resistencia total, y el segundo la del campo de tensión diagonal.

Si: 1>=fv

ovv F

FC → fvov FF >

Esto significa que el alma es suficientemente robusta para soportar la fuerza cortante que ocasiona su plastificación completa, sin fallar prematuramente por pandeo. En este caso no llega a formarse el campo de tensión diagonal y desaparece el segundo término del paréntesis:

O sea

Si: 1>vC → fvf

v FCF

F ⋅≤⋅= 4,089,2

28

Y: 1≤vC → ( )f

vv

fv F

ha

CCF

F ⋅≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅= 4,0

115,1

189,2 2

PAÑO EXTREMO:

En el plano del atiesador las fatigas de tracción son equilibradas por las del paño vecino. En el extremo donde no hay paño vecino estos esfuerzos podrían ser resistidas por la flexión del último atiesador. La Norma AISC no sigue este criterio, sino que exige que el paño extremo sea proyectado por el método del pandeo elástico, sin que se forme campo de tensiones.

ATIESADORES DE RIGIDEZ

Si: vv Ff < y si: ∞→ha no se produce pandeo, ni se

necesitan en teoría atiesadores de rigidez.

Sin embargo, con el objeto de evitar daños y curvaturas iniciales durante la construcción, la Norma AISC introduce las siguientes condiciones empíricas:

260≤th Para no colocar atiesadores

2

260

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≤

thh

a razón de aspecto máxima

Y: 3≤ha razón de aspecto máxima

29

Además, los atiesadores de rigidez deben tener suficiente resistencia y rigidez para impedir el pandeo del alma.

El momento de inercia mínimo de los atiesadores respecto al plano del alma debe ser:

4

50⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥

hI x Donde:

x

x

b

atiesador de rigidez

alma de la viga

oe

t

a) Para atiesadores de rigidez doble →

( ) 3

367,0

122

betbe

I oo

x ⋅≈+⋅

=

b) Para atiesadores de rigidez simple →

3

3

33,03

2 be

tbeI o

o

x ⋅≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=

30

En resumen, se tiene:

a) No usar atiesadores si: fV Ff ⋅≤ 4,0

y: 260≤th

Si hay que usar atiesadores, entonces:

b) Razón de aspecto máxima: 3≤ha

y :

2

260

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≤

thh

a

c) Momento de inercia mínimo del atiesador:

4

50⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥

hI x

31

CALCULO DE LA CARGA DE COMPRESION

SOBRE EL ATIESADOR

N N

T

φ

Ν Ν

atP

a

φsenatfT ⋅⋅⋅=

Luego: 0=Σ yF → 0=−⋅ atPsenT φ

∴ φ2senatfPat ⋅⋅⋅=

Además sabemos que:

ha

hatg −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2

1φ

Y que: 1cos22 =+ φφsen /: φ2sen

φφ 22

111sentg

=+

∴ φ

φφ 2

22

1 tgtgsen+

=

32

O sea: ⋅⋅⋅= atfPat φφ2

2

1 tgtg+

∴

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅⋅=222

22

1211

1

ha

ha

ha

ha

ha

ha

atfPat

22

22

1222

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅⋅=

ha

ha

ha

ha

ha

atfPat

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅⋅=22

22

112

1

ha

ha

ha

ha

ha

atfPat

2

2

22

22

12

1

112

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅⋅=

ha

ha

ha

atf

ha

ha

ha

ha

ha

atfPat

hh

ha

ha

atf

ha

ha

ha

atfPat ⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−⋅⋅⋅

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅⋅

=22

2

1

12

1

1

2

33

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅⋅

=2

2

12

ha

ha

hahtfPat

Pero: 1=+fv

ov

f FF

Ff

O sea: 1=+ vf

CFf → ( ) fv FCf −= 1

Luego:

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅⋅−

=2

2

12

1

ha

ha

haAF

CP of

vat

Donde htAo ⋅= = Area del alma

La norma AISC, adopta un factor de seguridad FS = 1 para el atiesador. Por lo tanto: fat FF =

además: f

atatfat

at

atat F

PAFF

AP

f ≥⇒=≤=

O sea:

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅−

≥2

2

12

1

ha

ha

haA

CA o

vat

Esta última expresión es válida para atiesadores dobles en que la compresión sobre el área de los atiesadores es centrada. Si los atiesadores son simples se produce flexión compuesta y para tomar en cuenta este

34

efecto, la norma amplifica la expresión de Aat por un coeficiente D que vale:

D = 1 → Atiesadores dobles

D = 1,8 → Atiesador L

D = 2,4 → Atiesador plancha simple (en un solo lado del alma)

Luego:

( )D

ha

ha

haA

CA o

vat ⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅−

≥2

2

12

1

35

Problema:

Determinar la separación entre atiesadores y obtener el área mínima de éstos, para la viga armada de la figura. El acero es A 42 - 27 ES y la fuerza cortante en el tablero, correspondiente a condiciones de colapso, es de 180 ton.

Solución:

a) Verificación de la relación ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

th

( ) 8,30916,1

1000=

+⋅≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ff FFth

Luego:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

th = 300 < 309,8 → O.K.

b) Tensión de trabajo en el alma ( )vf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅== 22 08,14,06,0

1300180

cmtonF

cmton

AVf f

ov → OK

c) Cálculo de la distancia “a ” entre atiesadores.

a

( )ton180 ( )cmt 1= ( )cm300

36

75,0

1300260260

22

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≤

thh

a → ( )cmha 22530075,075,0 =⋅=⋅≤

Y: 3≤ha → ( )cma 9003003 =⋅≤

Luego: ( )cma 225≤

Sea a = 225 cms

d) Cálculo de la tensión admisible.

175,0300225

<==ha → 5,13

)75,0(34,5434,54 22 =+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ha

K

Luego: 5,13=K

Como la viga es esbelta, suponemos que la tensión crítica de pandeo por corte es inferior al 80% de la tensión de fluencia por corte. O sea, suponemos en principio que:

8,0≤vC

Luego: ( )

8,0183,07,25,13

30033003300

22 <=⋅=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=f

v FK

th

C → OK

0,1<vC → El pandeo se inicia en el rango elástico. Por ser un paño interior, se puede usar la fórmula que aprovecha el Campo de Tensiones.

O sea: ( )f

vv

fv F

ha

CC

FF ⋅≤

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅= 4,0

115,1

189,2 2

37

( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅

−+⋅= 22

702,0531,0171,075,0115,1

183,01183,089,27,2

cmtonFv

Luego, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 22 08,17.24,04,0702,0

cmtonF

cmtonF fv

Y : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 22 6,0

300180702,0

cmton

AVf

cmtonF

ovv → OK

Esto significa que sólo el 24,4% de la resistencia total del alma proviene, en este caso particular, del trabajo ordinario como viga y el 75,6% restante al campo de tensión diagonal.

Conclusión: Considerar la resistencia posterior al pandeo elástico, es muy importante para la economía del diseño.

e) Cálculo del área mínima necesaria para la resistencia de los atiesadores de rigidez.

( )

D

ha

ha

haA

CA o

vat ⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅−

≥2

2

12

1

Si colocamos atiesadores simples, entonces D = 2.4

Luego:

( ) ( )( )

( )22

22,884,2

75,01

75,075,03002183,01 cmAat =⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−⋅⋅

−≥

∴ ( )22,88 cmAat ≥

38

INTERACCION ENTRE FLEXION Y CORTE (CIZALLE)

En este caso la sección más solicitada del alma se encuentra en la unión del alma con el ala.

La tensión principal de compresión ( 1f ) será entonces:

(*) 22

1 22 vmm f

fff +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Las diferentes experiencias realizadas, le han permitido a las Normas AISC establecer las siguientes reglas:

1. La falla por flexión se produce al valor máximo admisible si la fatiga de cizalle es menor que vF6,0

O sea: fmm FFf 6,0== si: vv Ff 6,0<

Pero: fv FF 4,0= → fv Ff 24,0<

Reemplazando estos valores en la fórmula (*), tenemos:

( )22

1 24,02

6,02

6,0f

ff FFF

f +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≤

a

V

VM M

mf vf

39

∴ fFf 684,01 ≤

2. Del valor de 1f obtenido y usando la fórmula (*), se puede obtener el valor de la fatiga de flexión mínima admisible para que el diseño se efectúe considerando el valor máximo admisible por cizalle.

En este caso los datos son: fv Ff 4,0=

fFf 684,01 ≤

Reemplazando en la ecuación (*), se tiene:

( )22

1 4,022

684,0 fmm

f Fff

fF +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=≥

( )222

4,022

684,0 fmm

f FffF +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

( ) ( )222

2 4,0222

684,02684,0 fmmm

ff Ffff

FF +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅−

mf fF ⋅≥⋅ 684,0308,0 → fm Ff ⋅≤ 45,0

Si hacemos fm FF 6.0= , entonces : mm

m FF

f ⋅=⋅≤ 75,06,0

45,0

Esto es: mm Ff ⋅≤ 75,0

O sea, la falla por cizalle se produce al valor máximo admisible si la fatiga de trabajo por flexión es menor que 0.75 veces la fatiga admisible por flexión.

Estas dos reglas permiten confeccionar el siguiente gráfico:

40

1.0

0,6

A B

C

D

0,75 1,0

v

v

Ff

m

m

Ff

Para el sector BC de la recta es válida la expresión que se deduce a continuación:

21 CFf

CFf

m

m

v

v +⋅=

Donde: C1 y C2 son constantes que se determinan con las coordenadas de los puntos B y C de la recta. Esto es:

Para: 75,01 =⇒=m

m

v

v

Ff

Ff

Y para: 16,0 =⇒=m

m

v

v

Ff

Ff

O sea: 21 75,01 CC +⋅=

Y: 21 16,0 CC +⋅=

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que:

6,11 −=C y 2,22 =C Luego:

41

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒+⋅−=

v

v

m

m

m

m

v

v

Ff

Ff

Ff

Ff

2,26,1

12,26.1

Pero: fm FF ⋅= 6,0

Luego:

ffv

vm FF

Ff

f ⋅≤⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−= 6,0375.0825,0

Esta ecuación es válida para el tramo BC de la recta, en que:

Si: 1>vC → fvf

v FCF

F ⋅≤⋅= 4,089,2

1≤vC → ( )

fv

vf

v F

ha

CC

FF ⋅≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅= 4,0

115,1

189,2 2

42

RESUMEN:

Si Verificar que

1. 6,0<v

v

Ff

→ mm Ff < (Predomina la flexión)

2. 75,0<m

m

Ff

→ vv Ff < (Predomina el corte)

6,0>v

v

Ff

3. → ffv

vm FF

Ff

f 6,0325.0825.0 <⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

75,0>m

m

Ff

(Predomina la acción conjunta de flexión y corte)

4. Si: 6,0<v

v

Ff

y 75,0<m

m

Ff

es conveniente reducir las dimensiones

de la placa.

43

REDUCION DE LA FATIGA ADMISIBLE DE COMPRESION

En vigas muy altas no se cumple la ley de Hooke y las fatigas de flexión en lugar de seguir una ley lineal ANB (ver figura), varían en la forma indicada por la línea llena A°NB

A consecuencia de este fenómeno la fatiga máxima de compresión es mayor que la dada en la fórmula de Navier.

Para tomar en cuenta lo anterior la Norma AISC reduce la fatiga admisible de acuerdo con las siguientes fórmulas semiempíricas:

Si: fFt

h 200≥

Entonces: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅

′⋅−=′

f

omm Ft

hAA

FF 2000005,00,1

Donde:

mF ′ = Fatiga admisible reducida, de flexión

mF = Fatiga admisible de flexión

oA = Area del alma

A′ = Area del ala comprimida

a

V

VM M mf

A

N

B

A°

44

RESUMEN VIGAS ALTAS

1. Pandeo local del alma: Para evitar el P.L. se debe verificar que:

Si : Verificar que:

5,1>ha ( )16,1

1000+⋅

≤ff FFt

h

5,1≤ha

fFth 538

≤

2. Pandeo general del alma:

Cv ≤ 1 ( )

fv

vf

v F

ha

CC

FF ⋅≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅= 4,0

115,1

189,2 2

Cv > 1 fvf

v FCF

F ⋅≤⋅= 4,089,2

(Se usa también en atiesador extremo)

Cv ≤ 0.8 f

v FK

th

C ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 23300

Cv > 0.8 f

v FK

th

C ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2,51

1≤ha 2

34,54

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ha

K

1>ha 2

434,5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ha

K

45

3. Atiesadores:

( )D

ha

ha

haA

CA o

vat ⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅−

≥2

2

12

1

Donde: D = 1 para atiesadores dobles

D = 1.8 para atiesadores L

D = 2.4 para atiesadores simples

Además:

a) Razón de aspecto máxima:

2

260

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≤

thh

a O bién: 3≤ha

b) Momento de inercia:

4

50⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥

hI x

Si Verificar que

1. vv Ff ⋅< 6,0 → mm Ff < (Predomina la flexión)

2. mm Ff ⋅< 75,0 → vv Ff < (Predomina el corte)

3. vv Ff ⋅> 6,0 y mm Ff ⋅> 75,0 , entonces

→ ffv

vm FF

Fff 6,0325.0825.0 <⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

(Predomina la acción conjunta de flexión y corte)

46

4. vv Ff ⋅< 6,0 y mm Ff ⋅< 75,0 , entonces: es conveniente reducir las dimensiones de la placa

5. Si: fFt

h 200≥

Entonces:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅

′⋅−=′

f

omm Ft

hAA

FF 2000005,00,1

47

PROBLEMA:

Diseñar la siguiente viga, usando acero A 37 - 24 ES.

Restricciones: Altura máx.= 1,8 mts.

( )( )mltonpp

mltonsc6,0

0,8=

= → ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=+=

mltonppscq 6,86,00,8

( )ton5,104 ( )ton5,104

( )m5 ( )m5 ( )tonP 40= ( )tonP 40=

( )m15

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mltonsc 8

( )ton5,61 ( )ton5,21

V

415 442 415

( )mtonM −

48

1. Diseño del alma:

( ) 34216,1

1000=

+⋅≤

ff FFth

∴ Si ( )cmh 180= → ( )cmht 53,0342180

342==≥

Sea: ( )cmt 8,0= (Depende de los espesores de placas disponibles en el comercio y de la resistencia al corte)

Entonces:

( )21441808,0 cmhtAo =⋅=⋅=

1.1 Tensión de trabajo al corte:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== 22 96,04,24,04,0726,0

1445,104

cmtonF

cmton

AVf f

ov

1.2 Tensión admisible al corte:

a) Atiesadores intermedios:

Si no colocamos atiesadores ∞→⇒ha

Luego: 34,5434,51 2 =→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=→> K

ha

Kha

Si: 8,0≤vC → 8,0145,04,2

34,5

8,0180

3300330022 <=⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=f

v FK

th

C → OK

Luego, se produce el campo de tensiones, por lo tanto podemos usar la fórmula.

49

( )v

vv

fv f

ha

CC

FF ≥

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅=

2

115,1

189,2

( ) 726,0

115,1

145,01145,089,24,2

2≥

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅

ha

726,0

1

6174,012,02

≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+

ha

→ 606,0

1

6174,02

≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ha

0188,1606,06174,01

2

=≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ha → 03798,0

2

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ha

Luego: ( )cmha 3503798,018003798,0 =⋅=⋅≤

: ( )cma 35≤

→ Los atiesadotes de rigidez intermedios se encuentran muy cercanos entre sí →El espesor del alma es muy delgado →Probar con un espesor del alma mayor.

Sea: ( )cmt 0,1=

Entonces:

( )21801800,1 cmhtAo =⋅=⋅=

1.1 Tensión de trabajo al corte:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== 22 96,04,24,04,0581,0

1805,104

cmtonF

cmton

AVf f

ov

50

1.2 Tensión admisible al corte:

a) Atiesadores intermedios:

Si no colocamos atiesadores ∞→⇒ha

Luego: 34,5434,51 2 =→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=→> K

ha

Kha

Si: 8,0≤vC → 8,0227,04,2

34,5

0,1180

3300330022 <=⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=f

v FK

th

C → OK

Luego, se produce el campo de tensiones, por lo tanto podemos usar la fórmula.

( )v

vv

fv f

ha

CC

FF ≥

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅=

2

115,1

189,2

( ) 581,0

115,1

227,01227,089,24,2

2≥

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅

ha

581,0

1

5582,01885,02

≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+

ha

→ 3925,0

1

5582,02

≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ha

422,13925,05582,01

2

=≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ha → 022,1

2

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ha

Luego: ( )cmha 182022,1180022,1 =⋅=⋅≤

: ( )cma 182≤

51

Sea : =n número de atiesadores

Entonces: 24,9118215001 =+=+≥

aLn atiesadores

Para 10=n atiesadores → a = 166,7 cms < 182 cms.

Luego: 227,1034,541926,0180

7,1662 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⇒<==

ha

Kha

Si: 8,0≤vC → 8,0434,04,2

227,10

0,1180

3300330022 <=⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=f

v FK

th

C → OK

Luego, se produce el campo de tensiones, por lo tanto podemos usar la fórmula.

( )v

vv

fv f

ha

CC

FF ≥

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅=

2

115,1

189,2

( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅

−+⋅=

2926,0115,1

434,01434,089,24,2

vF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+= 22 581,066,03,036,0

cmtonf

cmtonF vv → OK

2. Diseño de las alas (Resisten los esfuerzos de flexión)

( )cmtonmx −= 200.44

Debe cumplirse que:

fx

xm F

Iym

f 6,0≤⋅

=

Donde:

52

( )cmHy 902

1802

===

( ) aaax AAHAI ⋅=⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅= 200.16902

22 2

2

Luego: 4,26,0200.16

90200.44⋅≤

⋅⋅

=a

m Af

( )25,1704,26,0200.16

90200.44 cmAa =⋅⋅

⋅≥

Para evitar el P.L. del ala comprimida se debe cumplir con la siguiente relación:

3,164,22,252,25

==≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

fala Feb

Pero, alaala ebA ⋅= 2 → ( )

3,1622

2 ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅

⋅

ala

ala

eeb →

( )3,16

2 2 ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅ ala

ala

eA

→ ( )cmAe alaala 29,2

6,325,170

3,162==

⋅≥

Sea: ( )cmeala 3= y ( )cmbB 602 =⋅= → ( )2180 cmAala =

PL 60 x 3 cms

PL 174 x 1 cm

PL 60 x 3 cms

53

Verificación de la resistencia al corte

Si: ( )cmt 0,1= y ( )cmh 174=

Entonces: ( )21741740,1 cmhtAo =⋅=⋅=

1.1 Tensión de trabajo al corte:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== 22 96,04,24,04,06,0

1745,104

cmtonF

cmton

AVf f

ov

1.2 Tensión admisible al corte:

a) Atiesadores intermedios:

Si no colocamos atiesadores ∞→⇒ha

Luego: 34,5434,51 2 =→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=→> K

ha

Kha

Si: 8,0≤vC → 8,0243,04,2

34,5

0,1174

3300330022 <=⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=f

v FK

th

C → OK

Luego, se produce el campo de tensiones, por lo tanto podemos usar la fórmula.

( )v

vv

fv f

ha

CC

FF ≥

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅=

2

115,1

189,2

( ) 6,0

115,1

243,01243,089,24,2

2≥

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅

ha

54

6,0

1

5467,0202,02

≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+

ha

→ 398,0

1

5467,02

≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ha

374,1398,0

5467,012

=≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ha → 887.0

2

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ha

Luego: ( )cmha 164887,0174887,0 =⋅=⋅≤

: ( )cma 164≤

Entonces: 15,101164

15001 =+=+≥aLn atiesadores

Para 11=n atiesadores → ( ) ( )cmcma 164150 <=

Luego: 186,1134,541862,0174150

2 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⇒<==

ha

Kha

Si: 8,0≤vC → 8,0508,04,2

186,11

0,1174

3300330022 <=⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=f

v FK

th

C → OK

Luego, se produce el campo de tensiones, por lo tanto podemos usar la fórmula.

( )v

vv

fv f

ha

CC

FF ≥

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+⋅=

2

115,1

189,2

( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅

−+⋅=

2862,0115,1

508,01508,089,24,2

vF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+= 22 581,0691,0269,0422,0

cmtonf

cmtonF vv → OK

55

2.1 Tensión de trabajo a la flexión:

x

xmx I

ymf

⋅=

donde: ( )433

882.258.31217459

1218060 cmI x =

⋅−

⋅=

Luego: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅= 222,1

882.258.390200.44

cmtonfmx

2.2 Tensión admisible a la flexión:

a) Resistencia al volcamiento:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

6o

ala

aa A

A

Ir

donde: ( )2180 cmAala =

( )2174 cmAo = (Area del alma)

aI = Momento de inercia del ala comprimida respecto a un eje vertical que pasa por el baricentro de la sección transversal.

O sea: ( )43

000.5412603 cmIa =

⋅=

( )cmA

A

Ir

oala

aa 07,16

6174180

000.54

6

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

∴ ( )cmra 07,16=

Luego: 8,544,2

1720072003,9307,16

1500=

⋅=

⋅>==

′=′

faa F

CrLλ

56

C = 1 Para el diagrama de momentos del problema propuesto.

Si colocamos arriostramientos laterales en el centro → ( )cmL 750=′

Luego: 8,544,2

1720072007,4607,16

750=

⋅=

⋅<==

′=′

faa F

CrLλ

∴ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅== 244,14,26,06,0

cmtonFF fa

b) Resistencia torsional: (no es necesario calcularla pues mxF es el mayor valor entre aF y tF . Sin embargo el cálculo lo haremos sólo con fines didácticos)

( ) ( )cmh

Ar

t

alat 017,1

3180180

=−

==

∴ 5834,2

1140014005,737017,1

750=

⋅=

⋅>==

′=

ftt F

CrLλ

Luego : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅=

⋅= 2146,1

5,7371845845

cmtonCF

tt λ

Luego: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 22 22,144,1

cmtonf

cmtonF mxmx

c) Reducción de la tensión admisible:

La Norma Nch 427, establece que:

Si : fFt

h 200≥

Entonces: ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅

′⋅−=′

f

omxmx Ft

hAA

FF 2000005,00,1

En nuestro caso: 1,1294,2

2002001741

174==≥==

fFth

57

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅⋅−⋅=′

2409,11,1291741801740005,00,144,1

cmtonFmx

∴ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=>=′

222,1409,1cmtonfF mxmx → OK.

3. Verificación de la interacción de FLEXIÓN y CORTE.

Si Verificar que

1. 6,0<v

v

Ff → mm Ff < (Predomina la flexión)

2. 75,0<m

m

Ff → vv Ff < (Predomina el corte)

6,0>v

v

Ff

3. → ffv

vm FF

Ff

f 6,0325.0825.0 <⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

75,0>m

m

Ff (Predomina la acción conjunta de flexión y corte)

En nuestro caso, el punto más crítico de interacción es:

( )cmtonmx −= 500.41

( )tonV 5,61=

Luego: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅= 2146,1

882.258.390500.41

cmtonfmx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

2353,0

1745,61

cmton

AVf

ov

Entonces: 6,0510,0691,0353,0

<==v

v

Ff

58

Verifiquemos el predominio de la flexión:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 22 409,1146,1

cmtonF

cmtonf mxmx → OK

4. Diseño de los atiesadores:

a) Atiesadores de rigidez:

( )D

ha

ha

haA

CA o

vat ⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅−

≥2

2

12

1

Usaremos atiesadores dobles → D = 1

Luego:

( ) ( )( )

( )22

28,121

862,01

862,0862,01742508,01 cmAat =⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−⋅⋅

−≥

( )28,12 cmAat ≥

Pero, para evitar el P.L. →

( )cmFA

e fatat 627,0

4,504,28,12

4,50=

⋅=

⋅≥

=ate espesor del atiesador de rigidez

Sea ( )mmeat 8= , entonces : ( )28,122 cmbeA atatat ≥⋅=

Luego: ( )cmbat 88,02

8,12=

⋅≥

59

Sea: ( )cmbat 10=

Pero, la Norma impone la siguiente restricción para los atiesadores de rigidez:

4

50⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥

hI xo

En nuestro caso: ( )44

7,14650

174 cmI xo =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0,8 cm

21 cm1 cm

xo

xo

Entonces :

( ) ( )443

7,1464,61712

218,0 cmcmI xo >=⋅

= → OK

b) Atiesadores de carga:

b.1 En los apoyos:

I. APLASTAMIENTO DEL ALMA:

I.1 Tensión admisibles:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅= 28,14,275,075,0

cmtonFF fa

60

I.2 Tensión de trabajo:

( ) ( ) aa F

cmton

tKNRf >⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅+=

⋅+= 232,2

15405,104

( )cmN 40= ( Longitud de apoyo)

( )cmK 523 =+= espesor del ala + espesor de la soldadura (≈ 2 cm)

( )tonR 5,104=

→ Se debe colocar atiesadores de carga, que coincidan con el atiesador de rigidez.

II. DISEÑO DE ATIESADOR DE CARGA:

II.1 Aplastamiento:

II.1.1 Tensión admisible: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅== 216,24,29,09,0

cmtonFF fa

II.1.2 Tensión de trabajo: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=≤= 2

116,2

2 cmtonF

beRf a

oa

1 cm

xo

xo

60 cm

1e

0,5 cm

ob2 cm

Donde: ( )cmbo 275,025,030 =−−−≤

sea: ( )cmbo 25=

61

Luego:

( )cmFb

Reao

97,016,2252

5,10421 =

⋅⋅=≥

II.2 Pandeo local:

Sea: ( ) ∃→=>=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒= 3,162,2527

12251

11

fFebcme Pandeo local

Para evitar el pandeo local podemos reducir el ancho del atiesador de carga.

Sea : ( )cmb 22220 =+=

Luego: ( )cme 23,12227

1 =≥ → Sea ( )cme 5,11 =

Entonces: →=<==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3,162,257,14

5,122

1 fFeb No existe Pandeo local

Luego, probaremos con PL 22 x 1,5 cms a cada lado como atiesadores de carga.

II.3 Pandeo general:

Sea : ( )cm174=l

Luego: xo

xo rl

⋅= 75,0λ

Donde: A

Ir xo

xo =

62

1 cm

xo

xo

bo2 cm

1,5 cm

45 cm

12 . t = 12 .1 = 12 cm

∴ ( )43

390.1112

455,1 cmI xo =⋅

=

( )27811225,122 cmA =⋅+⋅⋅=

∴ ( )cmA

Ir xoxo 08,12

78390.11

===

Luego:

4,13128,1008,12

17475,075,02

==<=⋅=⋅=f

exo

xo QFEC

rπλ l

→ Columna corta

3

81

83

35

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

e

xo

e

xo

CCFS

λλ

7,14,1318,10

81

4,1318,10

83

35 3

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=FS

63

∴ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

4,12111

cmtonQF

CFSF f

e

xoc

λ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== 2c2 1,4F34,1

785,104

cmton

cmton

ARfc → OK

Luego, colocaremos atiesadores de carga en los apoyos y en la ubicación de las cargas puntuales, con las siguientes características:

2 PL 22 x 1,5 cms.

5. Verificación del peso propio: (pp)

( ) 1,12 ⋅⋅⋅+= − acerolinealmetroao LAApp γ

Considera 10% de aporte en el peso de los atiesadotes.

Luego:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=

mton

mkgpp 458,04581,18,710

10013602174

∴ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

mton

mtonpp 6,0458,0 → ΟΚ