cap6 -introducción a la convencción

8/17/2019 CAP6 -Introducción a La Convencción

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1

> Introducción a la convección.

FENOMENOS DETRANSPORTE II


2/18

2

T T hq S "

A

hdAT T Ad

A

qq

S S

S S S "

A

A

hdA

S

S

S h

T T Ahq S S _

Para la placa plana h varia con x

L

L hdxh 01

C C h N A Asm A "

A

dAh

mS

A S m

S h

_

C C Ah N A AsS m A _

L

m Lm dxhh0

1

En términos de masa:

Para la placa plana h varia con x

C C M hn A As Am A "

A Asm A hn"

A AsS m

A Ahn _

Calor Masa


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3

vidiendo por DxDyDz y si el limite tiende a cero se tiene, después por notacióvectorial:

CAPA LIMITE HIDRODINAMICAEcuación de Continuidad

0

y

v

x

v y x

Para flujo bidimensional y estado estacionario

0

y

v

x

v y x

Para flujo bidimensional, estado estacionario eincompresible:


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4

CAPA LIMITE HIDRODINAMICAEcuación de Movimiento

vv A

pvvAvm p

Por convección:

xvv xvv yvv yvv y y x x y x y x x x x x x x

DDDD DD

Por conducción: esfuerzo cortante en x a través de

una superficie perpendicular y

x x y y y y yx y yx x x xx x xx

DDDDDD

yx

Fuerzas externas:

y P P x x x D DFuerzas de campo

y x X DD

El balance total en x sería:

y x X y P P

x x y y

xvv xvv yvv yvvvt

y x

x x x

y y yx y yx x x xx x xx

y y x x y x y x x x x x x x x

DDD

DDDD

DDDD

DD

D

DD

DD

Dividiendo en xy, se tiene:

X x

P P

y

x x

x

y

vvvv y

x

vvvvv

t

x x x

y y yx y yx x x xx x xx

y y x x y x y x x x x x x x x

D

D

DD

D

D

D

D

D

DD

DD


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5

Con xy tendiendo a 0 se tiene:

X x

P

y x y

vv

x

vvv

t

yx xx x y x x x

En EE se tiene :

X x

P

y xvv

yvv

x

yx xx x y x x

Resolviendo la derivada de la izquierda y aplicando Ec. continuidad:

y

vv

x

vvv

yv

xvvv

yvv

x

x y

x x y x x x y x x

X

x

P

y x y

vv

x

vv

yx xx x y

x x

Asi para x:

Ec. continuidad

Y

y

P

x y y

vv

x

vv

xy yy y

y

y

x

Análogamente para y:

Para fluidos newtonianos:

y

v

x

v

x

v y x x xx

3

22

y

v

x

v

y

v y x y xx

3

22

x

v

y

v y x yx xy


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6

X x

P

x

v

y

v

y

y

v

x

v

x

v

x y

vv

x

vv

y x

y x x x y

x x

3

22

Reemplazando:

Y

y

P

x

v

y

v

x

y

v

x

v

y

v

y y

vv

x

vv

y x

y x y y

y

y

x

3

22

CAPA LIMITE TERMICAEcuación de Energía


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7

222

2

1

2

1

2

1v

V

E Vvmv E K K Energía cinética:

U V

U U V U mU ˆˆˆ Energía interna:

D

D

x xvU v

xvU v y x x

22

21ˆ

21ˆ En dirección X:

En dirección Y:

D

D

y y

vU v

y

vU v x y y22

2

1ˆ

2

1ˆ

x x x x x

qq y DDEnergía cinética:

y y y y y qq x

DDEnergía interna:

El trabajo de fuerzas externas:

Presión en x: x x x x x Pv Pv y DD

y y y y y Pv Pv x

DDPresión en y:

F viscosas en x: x x y yx x xx x y yx x xx vvvv y DD

F viscosas en y: y y y yy x yx y y yy x yx

vvvv xD

D

Otras fuerzas: y x Yv Xv y x DD


8/18

8

Reemplazando en el balance de energía :

y xqYv Xv y x

vvvv x

vvvv y

Pv Pv x Pv Pv y

qq xqq y

vU t

y x

y x

y y y yy x yx y y yy x yx

x x y yx x xx x y yx x xx

y y y y y x x x x x

y y y y y x x x x x

y yvU yv

yvU yv x

x x

vU xv

x

vU xv y

DDDD

D

D

DD

DD

DD

D

D

DD

DD

DD

D

D

2

2

1ˆ2

2

1ˆ

2

2

1ˆ2

2

1ˆ2

2

1ˆ

Dividiendo por los deltas y con def. derivada se llega a la ecuación de

energía mecánica y térmica:

yv yy xv yx y

yv yx xv xx x

q yYv x Xv y

y Pv

x

x Pv

y

yq

x

xq

vU yv y

vU xv x

vU t

2

2

1ˆ2

2

1ˆ2

2

1ˆ

toma la Ecuación de movimiento se multiplica por la velocidad en cada coordenadaresta de la ecuación de energía mecánica y térmica luego de considerab

anipulación, para estado estable se obtiene la Ecuación de Energía Térmica:

q y

yv

x xv

P y

yq

x xq

y

U v

x

U v y x

ˆˆ


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9

El término representa:

2

3

222

2

2

y

yv

x xv

y

yv

x xv

x

yv

y xv

De las reglas de Maxwell se tiene que: dTv

C V d P V T

P T U d ˆˆ

ˆ

ˆ

plicando Fourier , Maxwell y re-arreglando la ecuación de energía térmica

e llega a:

q y

yv

x xv

V T

P T

y

T k

y x

T k

x y

T v

x

T v

vC y x

ˆ

ˆ

Para un fluido incompresible EE, Cv=Cp y de la

Ecuación de continuidad:

0

y

v

x

v y x

Entonces se tiene:

q y

T k

y x

T k

x y

T v

x

T v

pC y x

ˆ


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10

CAPA LIMITE DE CONCENTRACIÓN

El flujo másico de A estaría dado por: v A

mvAm A

A A A

Por convección en x: x x x A x x A

vv yD

D

Por convección en y: y y y A y y A vv x DD

Por difusión en x: x x x

y x A x A nn DD

,,

Por difusión en y: y y

y A

y

y A nn x DD ,,

Al reemplazar en el balance de masa:

y xn

nn xnn

vv xvv y y x

A

y y y A

y y A x A x A

y y y A y y A x x x A x x A A

x x x

y

t

DD

D

DDDD

D

DD

DD

,,,,

Dividiendo en y aplicando concepto derivada en EE: y xDD

A

n y

y An

x

x An

y

yv

A

x

xv

A

,,


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11

La difusión de masa A por la ley de Fick se describe como:

x Dn A

B A x A

,,

Entonces:

An y

A D B A y x

A D B A x y

yv

A

x

xv

A

,,

Si la densidad de masa total se supone constante y se aplica la

ecuación global de continuidad:

A y x nvv y A

D B A y x

A

D B A x y

A

x

A

,,

o en su forma molar:

A y x N y A

C

D B A y x A

C

D B A x y A

C

x A

C

vv

,,


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12

APROXIMACIONES Y CONDICIONESESPECIALES

La forma más usual de usar las ecuaciones de conservación, es

aquella en la que el fluido es incompresible

, propiedades constantes

,

fuerza externa despreciable

, sin reacción química

y sin generación de

energía .

Otras simplificaciones que se pueden hacer son las llamadas

implific ciones de c p límite

. Como los espesores de la capa límite

normalmente son muy pequeños se asumen las siguientes

desigualdades:

y x vv

x

yv

y

yv

x

xv

y

xv

,,

x

T

y

T

x

C

y

C A A

Capa límite de velocidad o hidrodinámica

Capa límite térmica

Capa límite de concentración

2

21

y

v

x

P

y

vv

x

vv x x y

x x

0

y

v

x

v y x 0

y

P

2

2

2

y

xv

pC

v

y

T

y

T v

x

T v

y

y x

2

2

, y

C Dvv A B A A y A x y

C

x

C


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13

SIMILITUD DE CAPAS LIMITE:ecuaciones de transferencia por

convección normalizadas

L

x x *

L

y y *

V

vv x x *

V

vv

y

y *

s

s

T T

T T T

*

s A A

s A A

AC C

C C C

,,

,*

2

*

V

P P

0*

*

*

*

y

v

x

v y xContinuidad adimensional completa el modelo


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14

VL L Re

Números adimensionales:

k

C p

Pr

AB DSc

Pr

Sc

D Le

AB

Ojo:

asvis

inerciaVL

LV

LV

F

F L

S

I

cosRe

2

2

n Le

c

t n

t

Pr nSc

c

FORMA FUNCIONAL DE LAS SOLUCIONES:


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15

Otros números adimensionales:

Número deNusselt:

Número deSherwood:

0**

*

y f y

T

k

hL Nu

0**

*

y

A

AB

m

y

C

D

LhSh

Coeficientes de convección:

0**

*

0**

*

y

f

y s

f

y

T

L

k

y

T

T T

T T

L

k h

0*

*

*

0**

*

,,

,,

y

A AB

y

A

AS A

S A A ABm

y

C

L

D

y

C

C C

C C

L

D

h

ANALOGIA DE CALOR Y MASA :

nn Sc

Sh x f x f

Nu L L Re,Re,

Pr

*

7

*

4

n

n LeC

Le D

k

h

h p

ABm

1

Generalmente n = 1/3


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16

ANALOGIA DE REYNOLDS:

Para y0** x P 1Pr Sc 631 f f f

742 f f f (Ver tabla 6.1 y tabla 6.3)

Sh NuC L f 2

Re m f St St C

2

Esta es la

ANALOGIA DE REYNOLDS

Pr Re

Nu

VC

hSt

P

Para mayor aplicabilidad se tiene la modificación de Chilton-Colburn:

Donde el número de Stanton y Stanton de masa se define como:

Sc

Sh

V

hSt mm

Re

H

f jSt C 32Pr

2

Donde jH y jm son los factores de Colburn

60Pr 6.0

mm

f jScSt

C 32

2 30006.0 Sc


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