207 6FUNCIONES DE EXCITACINY RESPUESTAS 6FUNCIONES DE EXCITACINY RESPUESTAS.................207 6.1INTRODUCCIN. ...............................................................208 6.2CARACTERSTICAS GENERALES DE LOS VOLTAJES Y LAS CORRIENTES COMO FUNCIN DEL TIEMPO. ..............209 6.2.1FUNCIN NO DEFINIDA EN UN INTERVALO:......209 6.2.2FUNCIN NO DEFINIDA EN UN PUNTO: ...............210 6.2.3PUNTOS DE RUPTURA EN LA DERIVADA:...........212 6.3REPRESENTACIONES SIMPLIFICADAS........................215 6.4FUNCIONES SINGULARES. .............................................215 6.4.1FUNCIN IMPULSO UNITARIO................................215 6.4.2FUNCIN PASO ESCALN UNITARIO ...............217 6.4.3FUNCIN RAMPA UNITARIA...................................218 6.5FUNCIONES SINGULARES DESPLAZADAS. ................221 6.6EMPLEO DE LAS FUNCIONES SINGULARES...............223 6.6.1CAMBIOS EN LOS CIRCUITOS. ................................223 6.6.2REPRESENTACIN DE ALGUNAS FUNCIONES PERIDICAS MEDIANTE FUNCIONES SINGULARES.......226 6.6.2.1FUNCIN DE ONDA CUADRADA.....................227 6.6.2.2FUNCIN DIENTE DE SIERRA...........................227 6.6.3REPRESENTACIN DE FUNCIONES ARBITRARIAS O PORCIONES DE ELLAS .......................................................230 6.6.3.1REPRESENTACIONES MEDIANTE FUNCIONES PASO231 6.6.3.2REPRESENTACIN DE UNA FUNCIN ARBITRARIA, O UNA PORCIN DE ELLA, MEDIANTE UN TREN DE FUNCIONES IMPULSO.......................................232 6.6.3.3REPRESENTACIN DE LA FUNCIN EXPONENCIAL......................................................................234 6.6.3.4REPRESENTACIN DE LA FUNCIN SENO Y LA FUNCIN COSENO.........................................................235 6.6.4PROPIEDADES DE LA FUNCION IMPULSO. ..........236 208 6.1INTRODUCCIN. Enloscaptulosprecedentestratamosdeestudiarlos circuitosenlaformamsgeneralposible,enfoque peligrossimoporquepuededejarnosporlasnubes,sinque nuestra mente encuentre asideros intuitivos. Losproblemasyejemplostratarondesubsanaresepeligroysus consecuencias,porloqueesperamosqueestnyaresueltos concienzudamente.Sinembargo,esposiblequesehaya cado en cuenta que esos ejemplos y problemas se plantearon convoltajesycorrientesmuysencillosensuformadeonda (comportamientoeneltiempo);incluso,lamayoradelas fuentesdevoltajeydecorrienteseranconstantes, invariableseneltiempo.Adems,muchosdeloscircuitos tratadoseransloresistivos.Muchsimoslibrosdecircuitos explcitamenteusansolamentelasfuentesconstantesylos circuitosresistivosparatratarlasrelacionesylosteoremas generalesquehemosvenidoestudiando;peronosotrosnolo hicimosas,porqueconsideramosqueesteenfoquelimita la capacidaddeabstraccindelestudiante.Optamosporun camino intermedio: la presentacin abstracta y su ilustracin con ejemplos sencillos y fciles de entender. Perollegelmomentodeconsiderarconmsdetallelos verdaderosvoltajesylasverdaderascorrientesquese presentanenloscircuitos.Comoestasfuncionesdetiempo sondeunavariedadinfinita,eslgicoquesehayaencarado elproblemaderesolverlasencombinacionesdefunciones sencillasysimples.ElanlisisdeFourierylaconvolucin sonloslogrosexitososdeeseintento.Nonosextraemos, pues,dequeempecemosaestudiarlasfuncionesdeltiempo mselementalesposibles;conellasformaremos,mstarde, cualquier funcin fsicamente realizable. 209 6.2CARACTERSTICAS GENERALES DE LOS VOLTAJES Y LAS CORRIENTES COMO FUNCIN DEL TIEMPO. Yadijimosqueintentaremosrepresentarcualquierfuncin fsicamenterealizable.Esostrminosnosquierendecirque lasfuncionesconquetrabajaremostratandedescribir procesosquesedanrealmenteenlanaturaleza.Las caractersticasdeestasfuncionesdebensercontinuas.A vecessesostienequeenmecnicacunticasedansaltos bruscos, como los de un electrn al emitir un fotn y cambiar deorbital,peroengeneralestosasertosseapoyanen argumentacionesfilosficastandbilesquenosonpara tenerlasseriamenteencuenta.Tendremos,entonces,como postuladofundamentalquenuestrasfunciones,comotodos los procesos de la naturaleza, son continuas. Pero resulta que las derivadas de estas funciones tambin pueden representar procesos de la naturaleza, y lo mismo, las derivadas de estas derivadas,... admitiremos por lo tanto, para que se cumpla el postulado,quetodaslasderivadasserncontinuas.Veamos comonosingeniamosparahacercumplirelpostulado antedichocuandosepresentencircunstanciasque aparentemente lo violan. 6.2.1FUNCIN NO DEFINIDA EN UN INTERVALO: Enmatemticashayfuncionesquenoexistenenalgn intervalodado(Figura6.2.1).Ennuestrocasonopodemos decirquelafuncinnoexiste,puesesoseinterpretara comosielvoltajelacorrientenoexistieranenese intervalo,osea,queseranceroeneseintervalo.Debemos decir,mejor,quelafuncinesindeterminada,oseaque existe(lneapunteadaenlafigura6.2.1),peronotenemos medios matemticos ni fsicos para determinar los valores de esa funcin en ese intervalo. 210 Figura 6.2.1 Funcin no definida en un intervalo. 6.2.2FUNCIN NO DEFINIDA EN UN PUNTO: Este caso resulta inadmisible en circuitos cuando el lmite de lafuncinenelentornodeesemismopuntonotiendeal mismo valor (Figura 6.2.2.1.a). Figura 6.2.2.1 Funcin no definida en un punto. Encircuitossimplementedesaparecelaindeterminacin cuando el lmite tiende al mismo valor. En cambio, cuando el lmitedelafuncinenelentornodelpuntotiendeavalores diferentes(Figura6.2.2.1.b),resolvemoslaindeterminacin colocando una rampa que una los lmites de la funcin en ese punto (Figura 6.2.2.2). 211 Figura 6.2.2.2 Funcin no definida en un punto. Esarampasesuponequegiracomounabarramaterial, alrededordelpuntodeindeterminacin,demodoquesus extremosseacerquenalosvaloreslmitesdelafuncin,las flechitas en el dibujo intentan representar esa tendencia. Enloscuatrodibujosdelafigura6.2.2.3,ilustramoslas posibilidades que se dan. Figura 6.2.2.3 Funcin no definida en un punto. Oseaqueconsideraremosqueenelpuntoderupturala funcin debe tener un valor: 212 DERECHA LA PORIZQUIERDA LA PORDERECHA LA PORIZQUIERDA LA PORt td figura t f t f Limitet tc figura h t f t f Limitet tb figura h t f t f Limitet ta figura t f t f Limite00000000) . 3 . 2 . 2 . 6 ( ) ( ) () . 3 . 2 . 2 . 6 ( ) ( ) () . 3 . 2 . 2 . 6 ( ) ( ) () . 3 . 2 . 2 . 6 ( ) ( ) (= =+ == Paraevitarlosengorrosostrminosporlaizquierdapor la derecha, utilizaremos las equivalencias: Limite Limt t t tLimite Limt t t tPOR LA IZQUIERDAPOR LA DERECHA= = +0 00 0 En estos ltimos casos supondremos la rampa como oscilando enelpuntodondelafuncinestdefinida(enesepunto colocamos un circulito y no una flecha). 6.2.3PUNTOS DE RUPTURA EN LA DERIVADA: Ver figura 6.2.3.1. 213 Figura 6.2.3.1 Puntos de ruptura en una derivada. Enelcasosmostradoenlafigura6.2.3.1,lafuncines continuaperosuderivadano.Comodebemoshacerla derivadacontinuavamosasuponerqueelcambioenla pendientedelafuncinessuaveypaulatino,ynobruscoe instantneo. Figura 6.2.3.2 Puntos de ruptura en una derivada Nosimaginaremos,entonces,unaampliacindelaregin quecontieneelpuntodediscontinuidadenladerivada,y asumiremosqueelcambiodependienteocurresuavemente. Asqueendefinitiva,podemoscolocarunarampa,comola 214 definida inmediatamente arriba, en la funcin de la derivada (Figura 6.2.3.2). Es de anotar que los puntos inicial y final de una rampa son, ellos mismos, punto de ruptura para la derivada; puntos que debemostratarexactamentecomolosdemspuntosdeesa naturaleza.Siderivamosotravez,paraobtenerlasegunda derivada,obtenemosunafuncincomolamostradaenla figura 6.2.3.3. Figura 6.2.3.3 Puntos de ruptura en una derivada La funcin resultante es trapezoidal, y el rea entre el eje t y la funcin es: 2 2h hrea+= reaque, en el lmite cuando y tienden a cero, dah. Oseaqueescogemoslafiguracuidadosamenteparalograr que el rea sea igual a la discontinuidad, al valor del salto delafuncinderivada.Hacemosestoparacumplirconel requisitodelaintegral.Enefecto,siderivamosla funcin: f tdf tdt = ( )( ) obtenemos la funcinf td f tdt = ( )( )22; integrandof(t)debemosobtenerlafuncinf(t) ;yal integrarloquecalculemoseselreabajolafuncin.Esa rea debe igualar a la discontinuidad h. 215 6.3 REPRESENTACIONES SIMPLIFICADAS. Esobvioquelarepresentacindelasfuncionesincluyendo las rampas resulta muy laboriosa, de modo que suprimiremos larepresentacindelasrampasusualmente,dejandoslo una lnea vertical con la flechitas o los puntos, de acuerdo a si la funcin est definida por la derecha (t +), por la izquierda (t -), o no est definida en el punto de ruptura (Figura 6.3.1) Figura 6.3.1 Representaciones simplificadas. 6.4FUNCIONES SINGULARES. Conlasideasyreglasestablecidasenlosnumerales anteriores, podemos empezar a definir una serie de funciones muysencillas(poresosellamansingulares),quenos servirnposteriormentepararepresentartodaslasotras funciones fsicamente realizables. Veamos esas funciones: 6.4.1FUNCIN IMPULSO UNITARIO Susmboloesuo(t),ouimpulso(t),yaceptaremostambinla formaabreviadaui(t),ysugrficaexactasemuestraenla figura6.4.1.1,conlacondicindehacertanpequeocomo seaposibletanpequeocomolorequieraelsistemafsico estudiado. 216 Figura 6.4.1.1 Funcin impulso unitario. Tratemosdemostrarlaevolucindeestafuncincuando decrece en la figura 6.4.1.2. La funcin aumenta enaltura y disminuye en base. Figura 6.4.1.2 Evolucin de la funcin impulso unitario. Lo ms importante es caer en cuenta que el rea se mantiene constante: Area = = 11 Alfinalseaceptaquelafuncinsepuederepresentarpor unasolaflechaquesealeyelvalordelreaconstante entre parntesis, como se aprecia en la figura 6.4.1.3. 217 Figura 6.4.13Funcin impulso unitario. 6.4.2 FUNCIN PASO ESCALN UNITARIO Esta funcin es la integral oficial de la funcin impulso. Comoenmatemticasesusualircontandoenorden creciente las derivadas: Las integrales se cuentan en orden inverso: uo (t),u-1 (t),u-2 (t)... De modo que el nombre smbolo escogido para designar esta funcines u-1 (t), donde el -1 indica precisamente el integral delafuncinimpulso.Peroaceptaremosladenominacin upaso(t),osuformaabreviadaup(t).Sihacemos cuidadosamentelaintegraldelafuncinimpulsocon todassusrampasincluidas,encontraremosunafuncin como la ilustrada en la figura 6.4.2.1. Figura 6.4.2.1 Funcin paso o escaln unitario. 218 Seobservaquelasrampas,alintegrarlas,producenun cambiosuaveentrelaspartesrectasdelanuevafuncin. Cuando hacemos que tienda a cero, obtenemos una grfica aproximada,dondeelpasodeceroaunoesunarampa,ver figura6.4.2.2.Laszonascerradasdelagrfica6.4.2.1 aparecen ahora como puntos donde el cambio de pendiente es brusco; pero esto es slo aparente, como vimos anteriormente. Figura 6.4.2.2 Funcin paso o escaln unitario. Porltimo,cuandohacemosquetiendaacero,lafuncin pasoseconvierteenlamostradaenlafigura6.4.2.3.La definicin analtica para esta aproximacin ser: Figura 6.4.2.3 Funcin paso o escaln unitario. 0+ = =+}u t dt tt201 ( ) Figura 6.4.3.1 Funcin rampa unitaria. Laintegraldelafuncinentre0-y0+,daraelreabajoel tringulo:11 , que se hace cero cuando tiende a cero, por lo que no se incluye en la funcin total. En la figura 6.4.3.2 se muestra la grfica de la funcin rampa unitaria. Su definicin analtica sera: