TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

CAPÍTULO 5

INCIDENCIA NORMAL DE ONDAS PLANAS UNIFORMES EN FRONTERAS PLANAS.

 

5.1 Incidencia Normal de O.P.U. a través de medios con pérdidas (≠≠).

Ahora se van a considerar las ondas planas uniformes (OPU) que inciden en una frontera entre dos medios. En la figura 1 se muestra una frontera plana entre dos medios con diferentes propiedades materiales    para el medio 1 y  para el medio 2.

Figura 5.1 Ilustración de la frontera y los campos incidente, i, Reflejado, r, Transmitido, t.

 Una onda plana uniforme (que se desplaza al frente) viaja a la derecha en el medio 1, e incide en la interfase normal a la frontera. este campo incidente se escribe en forma fasorial como:

   Ecuación 5.1a

    Ecuación 5.1b

    Ecuación 5.2a

   Ecuación 5.2b

 

 

Donde                                                                                                                       

   Ecuación 5.3

y

    Ecuación 5.4a

 Ecuación 5.4b

La frontera origina una onda reflejada, la cual se representa como

    Ecuación 5.5a

   Ecuación 5.5b

     Ecuación 5.6a

    Ecuación 5.6b

 

Esto concuerda con la solución general de la ecuación de onda para este material. Una parte de la onda incidente se va a transmitir en el segundo medio, la cual representamos como

    Ecuación 5.7a

 Ecuación 5.7b

   Ecuación 5.8a

    Ecuación 5.8b

Donde

   Ecuación 5.9a

 Ecuación 5.9b

y

      Ecuación 5.10a

   Ecuación 5.10b

 

Si suponemos que el medio 2 tiene una extensión infinita, entonces no va a existir la componente que se desplaza hacia atrás, de la onda transmitida, y así, no van a haber reflexiones en el punto más lejano del medio. No obstante, las soluciones en 5.1, 5.2 ,5.5 ,5.6, 5.7 y 5.8 satisfacen las ecuaciones de Maxwell en sus respectivos medios. Si

podemos encontrar las incógnitas en estas ecuaciones, , tal que se satisfagan las condiciones de frontera en la frontera Z=0, entonces habremos encontrado una solución válida.

En la frontera Z=0, las condiciones de frontera requieren que las componentes

tangenciales del campo magnético total sean continuas. Puesto que están definidos en la dirección X,

, para Z=0    Ecuación 5.11a

y de manera similar para , los cuales están definidos en la dirección y,

, para Z=0    Ecuación 5.11b

Substituyendo las formas de los campos en 5.11 obtenemos:

    Ecuación 5.12a

y

      Ecuación 5.12b

Se puede demostrar que

  Ecuación 5.13

Las cantidades son los coeficientes de reflexión y de transmisión (de la frontera)

respectivamente. Es muy sencillo demostrar que . La magnitud de si puede

exceder la unidad. Nótese que van a ser reales sólo si ambas regiones son sin

pérdidas, es decir, ; de otra manera, serán, en general, complejos, en forma polar se escriben como

    Ecuación 5.14a

    Ecuación 5.14b

Ahora suponemos que la forma de la onda incidente es

     Ecuación 5.15

donde la magnitud de esta onda incidente se denota por . De esta manera, las formas fasoriales de los campos vectoriales se vuelven, en términos de Em, la magnitud del campo incidente, utilizando 5.12a y 5.12b:

   Ecuación 5.16a

     Ecuación 5.16b

    Ecuación 5.16c

    Ecuación 5.16d

   Ecuación 5.16e

   Ecuación 5.16f

Multiplicando 5.16 por  ejty tomando la parte real del resultado, obtenemos las formas en el dominio del tiempo:

   Ecuación 5.17a

    Ecuación 5.17b

    Ecuación 5.17c

    Ecuación 5.17d

   Ecuación 5.1e

    Ecuación 5.17f

 

El vector de densidad de potencia (recuerde las ecuaciones 3.35) de la onda transmitida es

  Ecuación 5.18a

    Ecuación 5.18b

    Ecuación 5.18c

 

Donde:

      Ecuación 5.19

y

     Ecuación 5.20

 Nótese que éste es un cálculo simple en el medio 2 porque sólo hay una onda en este medio. En el medio 1 hay dos ondas, una que se propaga hacia adelante y una que se propaga hacia atrás. En este medio el vector de Poynting contiene un producto cruz combinado.

De igual manera, pueden obtenerse ecuaciones para calcular la densidad de potencia promedio reflejada y la incidente, aunque esta última no debería tener variaciones, es idéntica a la vista en el capítulo 3, ecuación 3.37. Entonces la densidad de potencia promedio reflejada es:

 

    Ecuación 5.21

Y la densidad de potencia promedio incidente es:

    Ecuación 5.22

 

 

 

 

 

5.2 Incidencia Normal de O.P.U. a través de medios sin pérdidas (==).

Si ambos medios son sin pérdidas, es decir, ==, los resultados anteriores se vuelven simples. Los coeficientes de transmisión, reflexión y la impedancia intrínseca se vuelven números reales:

  Ecuación 5.23a

  Ecuación 5.23b

  Ecuación 5.23c

  Ecuación 5.23d

 

Si los dos medios son sin pérdidas, entonces 2=0, asi que:

 Ecuación 5.23e

 Ecuación 5.23f

Donde    Ecuación 5.23g

   Ecuación 5.23h

 

Las formas fasoriales de los campos se vuelven

   Ecuación 5.24a

   Ecuación 5.24b

   Ecuación 5.24c

   Ecuación 5.24d

   Ecuación 5.24e

    Ecuación 5.24f

 

Multiplicando 5.24 por e jt y tomando la parte real del resultado se obtienen las formas en el dominio del tiempo, las cuales son

    Ecuación 5.25a

    Ecuación 5.25b

   Ecuación 5.25c

    Ecuación 5.25d

    Ecuación 5.25e

    Ecuación 5.25f

En el medio 1 la suma de los dos campos, incidente y reflejado, va a ser llamada campo total en el medio uno y va formar lo que se conoce como "onda estacionaria"(Standing Wave), la forma fasorial de los campos totales es:

    Ecuación 5.26a

     Ecuación 5.26b

    Ecuación 5.26c

   Ecuación 5.27a

   Ecuación 5.27b

La magnitud del campo eléctrico total en la región 1 varía con Z de acuerdo al término entre corchetes en la ecuación 5.26c:

#9; #9; #9;   Ecuación 5.28

Donde:

     Ecuación 5.29

Para positivo el máximo va a ocurrir en Z=0 y en:

  , para n = 0,1,2,...     Ecuación 5.30

 Ecuación 5.31

El mínimo va a ocurrir en

, para m=1,3,5,...      Ecuación 5.32

  Ecuación 5.33

La ecuación 5.28 resulta en una "onda estacionaria".

La razón del valor máximo al valor mínimo se conoce como la Razón de Onda Estacionaria  (Standing Wave Ratio), y se denota por la letra S:

    Ecuación 5.34

En términos de S:

   Ecuación 5.35

 

 

En la figura 5.2 se aprecia la gráfica de los campos eléctrico y magnético totales, ecuaciones 5.28, 5.31 y 5.33.

Figura 5.2 Gráfica de la magnitud de los campos totales en el medio 1(Eléctrico y Magnético).

 

 

La densidad de potencia promedio es, para este caso ==

    Ecuación 5.36a

 Ecuación 5.36b

   Ecuación 5.37a

   Ecuación 5.37b

Se puede demostrar que:

   Ecuación 5.38

y

    Ecuación 5.39

y

    Ecuación 5.40

Ejemplo Sugerido: Una O.P.U. que viaja en el espacio libre incide de manera normal sobre la superficie de un medio sin pérdidas (permeabilidad =2: 9o , permitivividad = 4o y 2 = 0). Si la frecuencia de operación es f = 200 Mhz y el campo magnético incidente es i = cos ( t - 1 y ) az , encuentre expresiones completas en el dominio del tiempo para el campo eléctrico incidente y el campo magnético reflejado, también encuentre el coeficiente de transmisión.

 

 

 

 

 

5.3 Incidencia Normal de O.P.U.sobre conductores perfectos (=

Supongamos que el medio 2 es un conductor perfecto =. Puesto que los campos en un conductor perfecto son cero, entonces no habrá onda transmitida y las condiciones de frontera en Z=0 son:

 en Z = 0 Ecuación 5.41

ó

    Ecuación 5.42

puesto que:

     Ecuación 5.43

entonces:

   Ecuación 5.44

 

Nótese que este resultado se pudo haber obtenido más directamente haciendo 2=en 5.12a (ya que 2 =, entonces 2=) el coeficiente de reflexión se vuelve:

    Ecuación 5.45

y el coeficiente de transmisión en 5.12b se vuelve:

    Ecuación 5.46

De esta manera, los campos totales en el medio 1 se vuelven:

   Ecuación 5.47a

   Ecuación 5.47b

   Ecuación 5.48a

    Ecuación 5.48b

 

Si ahora suponemos que el medio 1 es sin pérdidas, 1 =, los campos totales en el medio 1 se vuelven:

    Ecuación 5.49a

   Ecuación 5.49b

     Ecuación 5.49c

     Ecuación 5.50a

    Ecuación 5.50b

    Ecuación 5.50c

Para obtener las ecuaciones 5.49c y 5.50c se utilizaron las siguientes igualdades

    Ecuaciones 5.51a y b

 

Las expresiones en el dominio del tiempo para 5.49c y 5.50c son:

   Ecuación 5.51a

    Ecuación 5.51b

 Ecuación 5.52

Otra vez, los campos totales representan "ondas estacionarias". Las magnitudes de los fasores se obtienen de 5.51b y 5.52 y son:

 

    Ecuación 5.53a

     Ecuación 5.53b

   Ecuación 5.54

Estas magnitudes se pueden graficar. Nótese que los mínimos son cero. En la figura 5.3 se muestra la gráfica de la magnitud de los campos totales:

 

Figura 632 Gráfica de la magnitud de los campos totales en el medio 1, el medio 2 es un conductor perfecto.

 

 

En la superficie del conductor perfecto (Z=0), el campo magnético tangencial es:

   Ecuación 5.55

En la frontera existe una corriente lineal y está dada por:

 A/m   Ecuación 5.56

Ejemplo Sugerido: Una O.P.U que viaja en el espacio libre incide de manera normal sobre una superficie de un conductor perfecto. Si el campo eléctrico total es cero a una distancia de 10cms. de la superficie del conductor perfecto, determine la frecuencia más baja posible de la onda incidente.