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Gas ideal de fermiones

CAPÍTULO 11: GAS IDEAL DE FERMIONES

1. Gas ideal de fermiones

2. Degeneración fuerte

3. Capacidad calorífica de un gas de fermiones degenerado

4. Aplicación: gas electrónico en metales

D.A. McQuarrie, Statistical Mechanics, Ed. Harper & Row, 1976, New York.

R. Balescu, Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics, Krieger Publishing Company, 1991,Florida.

R.K. Pathria, Statistical Mechanics 2nd ed, Butterworth-Heinemann, 1996, Oxford.

D.J. Amit, Y. Verbin, Statistical Physics. An Introductory Course, World Scientific, 1995, Singapur

Gas ideal de fermiones 11.1 Gas ideal de fermiones

Aplicación de la Física Estadística a un sistema formado con N partículas (N >>1)

SISTEMA IDEAL: conjuntode partículas mutuamenteindependientes

Es necesario resolver la ecuaciónde Schrödinger del sistema ( , )jE N V

En general, esta tarea es INABORDABLE

( )

1

NN

jj

H H

( )

1

NN

jj

E

Hj involucra un conjunto reducido de gradosde libertad que no interactúan con el resto

Sin embargo, existen un gran número de sistemas de gran interés físico cuyohamiltoniano se puede separar en términos independientes:

11.1. Gas ideal de fermiones


La dinámica de cada partícula no se ve afectada por la presencia de otras partículas

Problema de N cuerpos N problemas separados de 1 cuerpo

( )

1

NN

jj

H H

Hamiltoniano aditivo

Además, si las partículas son idénticas e indistinguibles deespín semientero

Estas condiciones de simetría deben ser tenidas en cuenta alhacer Física Estadística con partículas indistinguibles.

1 2TOTAL NAntisim FERMIONES

(1) (2) ( )... NE (1) (2) ( )... N

11.1 Gas ideal de fermiones


Afortunadamente, el cálculo se puede realizar en el marco de la colectividadmacrocanónica (CAPÍTULO 10).

, ,T V N

Estadística deFERMI-DIRAC(FERMIONES)

( )1

1kkne

Número medio de ocupaciónde cada estado cuántico deenergía k

Potencial químico

( )

( )

( , ) ln 1

11

k

k

k

kk k

kTp T eV

N ne

1/ kT



LÍMITE TERMODINÁMICO

,/

V NN V cte

3(...) (...)p

V dph

pk

momentoespín

3/ 2 3/ 2

2 ( )0

2 2( , ) (2 )3 1

mp T g dh e

3/ 2 1/ 2

2 ( )0

2( , ) 21

N mT g dV h e

CAPÍULO 10

2

2k ppm

(...) (...) (...)k p p

g

SISTEMA IDEAL DE PARTÍCULAS NORELATIVISTAS SIN GRADOS DELIBERTAD INTERNOS



Si 0 el sistema está no degenerado: podemos aplicar la Mec. Est. deBoltzmann.

Si << 1, el sistema está débilmente degenerado (CAPÍTULO 10)

Parámetro de degeneración:

/ kTe e

¿ Qué ocurre en el límite de degeneración fuerte, ?


Gas ideal de fermiones 11.2 Degeneración fuerte

Temperatura baja o densidad departículas elevada. 1e

Configuración para T= 0KFERMIONES

F

2

2F

Fpm

ENERGÍA DE FERMI:

Si bajamos la temperaturamanteniendo la densidadconstante

1. Los fermiones tienden a distribuirseen los niveles de menor energía.

2. El Principio de Exclusión de Pauliimpide la acumulación de losfermiones en el nivel fundamental

11.2. Degeneración fuerte


???

3/ 2 3/ 2

2 ( )0

2 2( , ) (2 )3 1

mp T g dh e

3/ 2 1/ 2

2 ( )0

2( , ) 21

N mT g dV h e

11.2 Degeneración fuerte

( )Fn

F

1

n

F


Energía de Fermi 2 / 32 22 / 36

2F g m

2 / 32 25 / 31 6

5p

g m

3 32 5 F

U pV

Ecuación de estadopara T = 0K

Energía internapara T = 0K

Temperatura deFermi

FFT

k



¿Qué ocurre cuando la temperatura no es exactamente T = 0K?

¿Cuál es el valor de CV y de S cerca de T = 0K?


Gas ideal de fermiones 11.3 Capacidad calorífica de un gas de fermiones degenerado

Hemos visto qué ocurre cuando T=0K, sin embargo, todavía notenemos la dependencia de la propiedades termodinámicas con latemperatura

( , , )U TU V N

( )T

VVT

UC

( , , )S TS V N

¿Se cumple el 3er Principio de la Termodinámica?

0lim 0T

S

Gas ideal de fermiones degenerado: FT T

11.3. Capacidad calorífica de un gas de fermionesfuertemente degenerado


Vamos a estudiar las integrales…

3/ 23/ 2

2 ( )0

2 2 1( , ) (2 )3 1

mp T g dh e

3/ 21/ 2

2 ( )0

2 1( , ) 21

N mT g dV h e

…en el límite T → 0 ( → )

11.3 Capacidad calorífica de un gas de fermiones degenerado


1

n

F

1

1 n

F

0T K

0

F

T KT T



[1 ]n n

F

kT

1

0

F

T KT T

n 1 n



23 / 2 23 / 2

28 2 1 ...3 8

m kTh

Potencial químico

221 ...

12FF

kT

A bajas temperaturas el potencialquímico varía lentamente con latemperatura.

Densidad3/ 2

1/ 22

2( ) 2 mf gh

2 ( )g electrones

22

0( ) ( ) '( ) ...

6I f d kT f



Energía interna 32

U pV3/ 2

3/ 22

2( ) (2 ) mf gVh

2 22 23 5 3 51 ... 1 ...

5 12 5 12F FF F

kT kTU V N

2

2VFV

U TC NkT T

Capacidad calorífica a volumen constante

22

0( ) ( ) '( ) ...

6I f d kT f



Entropía. 1 ( ) ;S U A A N pVT

2

2 F

TS NkT

Esta expresión verifica el 3ER PRINCIPIODE LA TERMODINÁMICA:

0lim 0T

S



1. GAS DE ELECTRONES EN METALES. Los electrones de valencia los átomos metálicosestán poco ligados al átomo y se puede considerar que se mueven libremente por el sólido.

Li 48400

Na 33000

TF (K) Incluso a temperatuta ambiente se puedeconsiderar que el gas de electrones estáfuertemente degenerado.

3VC T T

Vibraciones de la redelectronesTeoría de Sommerfeld (1928): tras corregir el efecto del potencial periódico de los iones de lared, esta teoría representa el fundamento de la teoría moderna de los metales.

2. EQUILIBRIO DE LAS ESTRELLAS ENANAS BLANCAS.. Debido a las elevadastemperaturas, los núcleos de Helio están totalmente ionizados y el gas de electrones esrelativista y fuertemente degenerado.

73

10

10 K/ 10 1

10 KF

F

TT T

T

Exclusión de Pauli Gravedad

CAPÍTULO 12

CAPÍTULO 15

Aplicaciones



METALSÓLIDO FORMADO POR IONES

+

ELECTRONES DE VALENCIA (CASI LIBRES)

VIBRACIONES DE LOS IONES DE LA REDse modelan como un GAS DE FONONES (Cap. 14)

LOS ELECTRONES DE VALENCIA se van a comportar como un GASIDEAL DE FERMIONES FUERTEMENTE DEGENERADO

RESPONSABLES DE LOS ALTOS VALORES DE CONDUCTIVIDAD

11.4. Aplicación: gas electrónico en metales

11.4 Aplicación: gas electrónico en metales


El empleo de la Mecánica Estadística de Fermi-Diracresolvió un gran número de inconsistencias en laconducción de electrones en metales.

REVISIÓN HISTÓRICA

En el año 1897, Thomson descubre el electrón.

Durante 1900-1905, Drude y Lorentz desarrollan la primera teoríaclásica para sólidos metálicos. Considera el metal como un gas clásicode electrones que “baña” la red de iones.

Se pudo explicar la elevada conductividad térmica y eléctrica enmetales: los electrones deslocalizados y libres son los responsables.

Esta teoría presenta varias inconsistencias.



Inconsistencias de la teoría clásica de Drude-Lorentz.

1. Experimentalmente, el calor específico en metales es debido casi por completo alos fonones de la red (los electrones contribuyen muy poco).

Clásicamente, por el Ppo. de Equiparticíón se espera que cada electrón librecontribuya con (3/2)k, lo cual no es cierto a temperatura ambiente.

2. La conductividades térmica, K, y eléctrica, , no coinciden con los resultadosexperimentales. Sin embargo, es capaz de reproducir la ley empírica deWiedemann-Franz (1853)

Pese a este acuerdo, el valor teórico de la constante es 1.11·10-8 J2/K2C2, y elexperimental para la mayoría de los metales 2.3·10-8 J2/K2C2.

cteKT

3. La predicción del recorrido libre medio de los electrones no es buena, nitampoco su dependencia con la temperatura.

4. No se cumple la Ley de Curie para la susceptibilidad magnética en metales noferromagnéticos ~ C/T . Por el contrario, experimentalmente es constante.



El avance más importante tuvo lugar en 1928, cuando Sommerfeld consigueexplicar la conducción térmica, eléctrica y dar valores satisfactorios para lacapacidad calorífica aplicando la estadística de Fermi-Dirac para el gas deelectrones.

Para tener en cuenta que los electrones no son del todo libres, sino queinteractúan con la red de iones, Sommerfeld reemplazó la masa del electrón poruna “masa efectiva”, diferente de un metal a otro:

+ ++

++++

- - - --

-

--

--

--

electrones libres

+ + iones

gas de electrones' 0.98m mSodio:



¿CÓMO PUEDEN LOS ELECTRONES DE VALENCIA SERLIBRES SI INTERACTÚAN ENTRE SÍ CON FUERZASCOULOMBIANAS?

La respuesta a esta pregunta se dio 30 años después de lateoría de Sommerfeld.

Los electrones al moverse por la red cristalinageneran a su alrededor una nube de polarización queapantalla las fuerzas Coulombianas.



3/ 23/ 2

2 0

8 2( , )3

mp T n dh

3/ 2

1/ 22 0

2( , ) 4N mT n dV h

( )1

1n

e = potencial químico

= 1/kT

32

U pV ESTADÍSTICA DE FERMI-DIRACGas de fermiones no relativista ( = p2/2m)

Número de ocupación medio de un estado de energía .

Tratando el gas de electrones mediante la colectividad macrocanónica…

, ,T V



¿Es posible considerar que los electrones libres de un METAL atemperatura ambiente están FUERTEMENTE DEGENERADOS?

28 33 2.53·10 elec/me an nN

V a

31' 0.98 8.927·10 kgm m

Ejemplo: el sodio

Red cúbica de lado, a = 4.29 Å.

número de electrones libres por átomo de sodio, ne = 1

Número de átomos por celda, na = 2

2 / 3 22 / 3 19

Na3( ) 2.03·10 J

8 2 'Fhm

NaNa

( )( ) 36400 Kk

FFT

A temperatura ambiente estamos muy pordebajo de la energía de Fermi: el gas deelectrones está muy degenerado.

/ 0.01 1FT T

Esta conclusión se aplica a todos losmetales, para los que TF104-105 K.El gas de electrones en metales esFUERTEMENTE NO-CLÁSICO.



¿Es posible considerar que los electrones libres de un METAL atemperatura ambiente están FUERTEMENTE DEGENERADOS?

A temperatura ambiente:

0.01F

TT SÍ



CAPACIDAD CALORÍFICA

,

2

,

32

2

V elec

V elecF

C Nk

TC NkT

A temperatura ambiente, T/TF 0.01, por lo que lacontribución de los electrones libres es muypequeña.

Las vibraciones de la red (fonones) son las quedominan, ya que D 100- 400 K es bastante más baja.

A temperaturas muy bajas (cerca del ceroabsoluto), la contribución electrónica y lade los fonones se hacen comparables.

3VC T T

2 4

312,

2 5F D

Nk NkT

Cu (entre 0 y 4K)



CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

13

K vT

2 213 '

F

F

k TKm v

dJ E ev

CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA

2

'F

F

em v

Los electrones libres de un metal son los MÁXIMOS RESPONSABLESde los elevados valores de conductividades TÉRMICA y ELÉCTRICA



228 2 2 22.44·10 J /K C

3K kcteT e

La teoría de Sommerfeld es capaz de reproducir elresultado experimental y mejorar la predicción dada por elmodelo clásico:

CONDUCTIVIDAD TÉRMICA Y ELÉCTRICA

28 2 2 23 1.11·10 J /K C

2clas

K kT e

Li Be Na Mg Al K Cu Ag Sb Au273K

2.22 2.36 2.12 2.14 2.14 2.23 2.20 2.31 2.57 2.32-8 2 2 2/ (10 J /K C )K T



Los electrones libres de un metal son los MÁXIMOS RESPONSABLESde los elevados valores de las conductividades TÉRMICA y ELÉCTRICA.

La única forma de explicar las propiedades de los metales esempleando la estadística de Fermi-Dirac.

Tras corregir el modelo de Sommerfeld considerando que loselectrones sienten en realidad un potencial periódico creado por losiones de la red, se obtiene el fundamento de la teoría moderna delos metales.



Aunque el modelo de Sommerfeld ajusta bien el valor de la constante,no es capaz de dar valores precisos de la conductividad eléctrica, .

El modelo no incluye la interacción de los electrones con la redcristalina (Bloch, 1928).

El modelo se Sommerfeld fue mejorado en 1930 por Kronig-Penney,quienes introdujeron la teoría de bandas.

Considera que el gas de electrones está confinado en unpotencial períodico creado por los iones.

Explica las grandes diferencias de conductividad entreconductores, semiconductores y aislantes.

MEJORAS AL MODELO DE SOMMERFELD


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