cap10

Rotación de un Cuerpo Rígido

Capítulo 10

Contenido

• Velocidad angular y aceleración angular• Cinemática rotacional• Relaciones angulares y lineales• Energía rotacional• Cálculo de los momentos de inercia• Teorema de los ejes paralelos• Ejemplos de momento de inercia• Torque• Torque y aceleración angular• Trabajo, potencia y energía

Velocidad Angular y Aceleración Angular

Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo que pasa por O.

El punto P se mueve a lo largo de una circunfrerencia de radio r. El arco s que describe está dado por:

s rsr

θ

θ

=

=

Donde θ está medido en radianes.

longitud de arcolongitud de arco

radioradio

3601rad 57,32

° = °π

=

y

xo

Pr

)θ s

La velocidad angular promedio se define como:

2 1

2 1

ΔΔ

θ θ θ= =t t t

−−

ω

– La unidad de medida de la velocidad angular es el:

– radián/segundo = rad/s

– La velocidad angular será:

• positiva si θ aumenta (antihorario)

• negativa si θ disminuye (horario)

La velocidad angular instantánea se define como: Δ 0

ΔΔt

θ dθω =limt dt→

=

La aceleración angular promedio se define como:

2 1

2 1

ΔΔ

ω ω ω= =t t t

−−

α

La aceleración angular instantánea se define como:

Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular.

2

2Δ 0

ΔΔt

ω dω d θα = = =limt dt dt→

Ejemplo:

1. Una rueda de bicicleta gira a 240 rev/min. ¿Cuál es la velocidad angular en rad/s?

rev 1 min 2 rad rad rad240 8 25,1 min 60 s 1 rev s s

πω = = π× × =

2. Si la rueda frena uniformemente hasta el reposo en 5 s, ¿cuál es la aceleración angular?

2

0 25 rad s rad 5 5 s s

f i

f i

ω ωα = = =

t t

−− − ⋅−

−

1

ti tfωi ωf

Cinemática Rotacional

0 ω ω αt= +

Las ecuaciones de la cinemática lineal, con aceleración constante, se cumplen para el movimiento rotacional, sustituyendo x por θ, v por ω y a por α.

( )2 20 0ω ω 2α θ θ−= +

De esta forma se tiene, si α = cte.:

20 0

1θ θ ω t αt2

= + +

Ejemplo:● La rueda de la bicicleta gira

inicalmente con una velocidad angular de 25 rad/s. ¿Cuántas revoluciones efectuará hasta frenar completamente 5 segundos después?

20

1Δθ ω t αt2

= +

Recuerde que para un movimiento lineal teníamos: 20

1Δ2

x = v t + at

Aquí podemos usar la relación análoga:

1 revΔθ 62,5 rad 10 rev2 rad

×= =π

( ) ( )22

rad 1 radΔθ 25 5 s 5 5 s 62,5 rads 2 s

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

i i= + =

ti tfωi ωf

Relaciones angulares y lineales

La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera:

( )

d rθds dθv = = rdt dt dt

= →

Similarmente para la aceleración:

( )

d rωdv dωa = = rdt dt dt

= →

v = ω r

a = α r

La aceleración lineal en un punto es: t ra a a= +

La velocidad es siempre tangente a la trayectoria

v

Pr

θ x

y

O

vP

rθ x

y

O

ata

ra

Energía Cinética Rotacional

Un objeto rígido gira alrededor del eje z con velocidad angular ω.

212i i iK m v=

Pero queremos determinar la energía cinética total de rotación del cuerpo.

x

y

O

vi

imr i)θ

La energía cinética para la i-ésima partícula de masa mi está dada por:

Para lo cual hacemos lo siguiente:


( )2 21 2

= ∑R i iK m r ω

x

y

O

im)θ

r i

vi

= ∑R iK K

21 2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑R i iK m v

( )2 21 2

= ∑R i iK m r ω

La cantidad entre paréntesis de la ecuación anterior recibe el nombre de: Momento de Inercia, I:

2i iI m r= ∑

• I depende de la elección del eje.

• I depende de la distribución de masa del C.R.

• I es una MF Escalar.

Momento de Inercia

• Las dimensiones de I son: L2M1T0, por lo que en el SI sus unidades de medidas son kgm2

Con la definición dada de momento de inercia, la energía cinética de rotación se define como:

21 2

=RK Iω

( )2 21 2

= ∑R i iK m r ω


La expresión de la energía cinética de rotación que habíamos obtenido era:

Cálculo de los Momentos de Inercia

En estricto rigor, la definición dada anteriormente para calcular el momento de inercia I, corresponde al cálculo para una distribución discreta de partículas.

ir Δ im

x

y

o

Ahora, veremos que para una distribución continua de partículas, como lo es un sólido rígido, debemos considerar el caso límite.

Cálculo de los Momentos de Inercia

ir Δ im

x

y

o

De la definición dada se tiene: 2Δi iI = r m∑En el límite cuando: Δ 0m →

2

Δ 0Δ i i

mI = r mlim

→⇒∑

Como: dm ρdV= ⇒ 2I = r ρdV∫

I r dm= ∫ 2

Ejemplo: Momento de Inercia de un Anillo Uniforme, respecto de su eje de simetría.

• Imagine que el anillo está dividido en un sinnúmero de pequeños segmentos: m1, m2, …

2 2CM i i CMI Σm r I MR= → =

– Estos segmentos están equidistantes del eje

– ri = R = cte.

Teorema de los ejes paralelos

El teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa es:

2CMI = I MD+

CM

D

Ejemplos de momento de inercia

Aro o cascaróncilíndrico 2

CMI = MRCilindro sólido o disco Cilindro hueco

Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro.

Cascarón esféricoEsfera sólida

Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por un extremo.

Placa rectangular

2CM

12

I MR= ( )2 2C M 1 2

12

I M R + R=

( )2 2CM

112

I M a + b=

2C M

112

I M L=

213

I M L= 2C M

25

I M R= 2CM

23

I MR=

Torque• Considere la fuerza requerida

para abrir una puerta. • ¿Es más fácil de abrir la

puerta empujando/tirando lejos de la bisagra o cerca de la bisagra?

cerca de la bisagra

lejos de la bisagra

Mientras Mientras mmáás lejoss lejos de de la bisagra, la bisagra, mayormayor es es el el efecto rotacionalefecto rotacional !!!!

Concepto FConcepto Fíísico: sico: TorqueTorque

TorqueCuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje, el cuerpo tiende a rotar en torno a ese eje.

τ = rFsin = Fdφ

dF

Bisagra

F

F paralelo

F perp

d

r

φ

El módulo del torque de una fuerza se define como:F

Torque (o momento de torsión) mide el efecto rotación de una fuerza sobre un cuerpo.

τ

Brazo de una Fuerza:

Es la distancia perpendicular, d, entre el eje de rotación y la línea de acción de la fuerza

Una Mirada Alternativa al Torque

• La fuerza, también, puede ser descompuesta en sus componentes x -e- y

• La componente x, F cos Φ, produce un torque 0 Nm

• La componente y, F sen Φ, produce un torque no-cero

Una Mirada Alternativa al Torque

• El módulo de éste torque es:

senτ = F r φ

F es el módulo de la fuerza que produce el torque.

r es el módulo del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al eje de rotación.

φ es el ángulo formado por el vector fuerza y el vector posición, definidos arriba.

Concepto Vectorial de Torque.

rF

r Fτ = ×

z

τ

P.

Concepto Vectorial de Torque.

r Fτ = ×

rF

z

τ

θP

Módulo: τ = r F senθ

Dirección: Plano (r , F)τ ⊥

Y se puede obtener por la “Regla de la Mano Derecha”.

.

Y depende en forma directamente proporcional: del módulo de la fuerza, del módulo del vector posición del punto de aplicación de la fuerza y del seno del ángulo formado por ambos vectores.

Observaciones respecto del vector Torque:

La fuerza es aplicada en el punto P, punto del cuerpo que posee vector posición , respecto del origen del eje de rotación.

rF

De la definición dada se deduce que el torque : τ

Es una magnitud física vectorial.

Tiene dimensiones de: L2M1T-2, por lo que en el SI sus unidades de medidas son kgm2/s2 = Nm

La dirección del vector torque es perpendicular al plano formado por el vector posición del punto de aplicación de la fuerza y la fuerza misma.

La dirección del vector torque, en la figura, es hacia la parte positiva del eje z; la rotación es en el sentido antihorario.

Observaciones respecto del vector Torque:

Si la fuerza tuviese la dirección opuesta, el vector torque apuntaría hacia la parte negativa del eje z, rotación en sentido horario.

Y una de las formas de obtener esta dirección es mediante la “Regla de la Mano derecha”

1F

2F

d1

d2

o

, = ∑τneto ext ii

τ

El torque neto, por definición, es:

La fuerza tiende a hacer girar el cuerpo en sentido anti-horario y en sentido horario, luego:

1F

2F

Torque neto o resultante.

1 2 →netoτ = τ + τ

Para el caso de la figura:

1 1 2 2 + −netoτ = F d F d

Ejemplo 1: Balancín

Dados:

pesos: P1 = 500 NP2 = 800 N

brazos: d1 = 4 md2 = 2 m

Encuentre:

Σ τ = ?

1. Dibuje las fuerzas aplicadas sobre el balancín.

1 2 = +∑τ τ τ

2. Considere la rotación horaria como positiva (???)Por definición:

Rotación será anti-horaria

d1 d2

N

B1F B2F

400− ⋅∑τ = N m

500 4 800 2−∑τ = ( N)( m) + (+)( N)( m)

2000 1600− ⋅ ⋅∑τ = N m + N m

Si el torque neto sobre un cuerpo es igual a cero, entoncesel cuerpo está en reposo de rotación o rota con velocidad angular constante.

Segunda Condición de Equlibrio.

Esta ley es la que se conoce como la Segunda Condición de Equilibrio. Es la ley que asegura el equilibrio de rotación de un cuerpo rígido.

Su expresión matemática es:

Si: n 0τ =

rad 0 s

ó c te.

⎧ ⎫ω =⎪ ⎪⎪ ⎪

→ ⎨ ⎬⎪ ⎪ω =⎪ ⎪⎩ ⎭

Torque y Aceleración Angular

El torque neto que actúa sobre la partícula es directamente proporcional a su aceleración angular.

rF

tFm

r

a) Una partícula de masa m gira alrededor de una circunferencia de radio r, el torque neto alrededor del centro de la circunferencia, por definición, es:

( ) ( ) ( )2 = α αneto tτ ma r = m r r = mr

n e t oτ I= α

=neto tτ F r

Y aplicando la Seguna Ley de Newton:

El torque total es la integral de esta diferencial:

( )2 2

ˆ

= =

=

∫ ∫α α

α

neto

neto

τ r dm r dm

τ I k

O

x

y

dmr i

tdF

( ) =t tdF dm a

b) Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración tangencial at . Entonces, por Segunda Ley de Newton:

Como: at = r α , la expresión para el torque dτ , por definición, queda:

( ) 2 = = = αt tdτ rdF r a dm r dm

n e t oτ I= α

Ejemplo:

Considere una ruedavolante (polea cilíndrica) de masa M = 5,0 kg y un radio R = 0,20 m, con un bloque de peso P = 9,8 N colgando de una cuerda arrollada alrededor de la ruedavolante.

Encuentre la magnitud de la aceleración del bloque.

m

M

Ejemplo:

Dados:

M = 5,0 kgR = 0,20 mP = 9,8 N

Encuentre:

a = ?

1. Dibuje todas las fuerzas aplicadas

zτ T R I αI αT R

Σ − ⋅ − ⋅

⋅

= =

=

Fuerzas: Torques:

F mg T my = a

se necesita T !

Σ = −

N

Mg

mg

TT '

a 2

PP mg mg

9,8 Nm m 1,0 kg9,8 ms −

= → =

= → =

Por definición de peso se tiene:

Aplicando la S.L.N. para la traslación y la ley de la rotación, se tiene:

y

0

Ejemplo:

La aceleración tangencial al borde de la ruedavolante es:

2 tt

1 1 1T MR T M2 R R 2

aa⎛ ⎞⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

tt αR α

Ra

a = → =

Reemplazando, las expresiones de I y α en la ecuación de T, se tiene:

2 21I M R 0 ,102

→ ⋅= I = kg m

Momento de inercia de un cilindro respecto de su CM:

Ejemplo:

1mg T m mg M m2

a a a− = → − =

Reemplazando la última expresión de T en la ecuación de fuerzas, con at = a, se tiene:

2m g M 2m

a = →+

2

m 2, 8 s

a∴ =

2 mg M 2 m (M 2m) 2 mga a a− = → + =

2

2 1, 0 kg m 9, 8 5, 0 kg 2 1, 0 kg s

a ⋅= ×

+ ⋅

Trabajo y Potencia.

( ) cos(90° )= = −i φdW F ds F rdθ

La rapidez a la cual se hace trabajo o potencia es:

= = →dW τ dθPdt dt

( ) sin = →φdW F r dθ

El trabajo hecho por una fuerza al girar un cuerpo rígido es:F

O

ds

F

φ

dθ r P

=dW τ dθ

= iP τ ω

Trabajo y Energía Cinética.

Es fácil mostrar que el trabajo del torque neto es:

( ) n nW d I dτ τ θ α θ= =∫ ∫

2 2f i

1 1( ) 2 2nW I Iτ ω ω= −

Es decir, el trabajo del torque neto, sobre un cuerpo rígido, es igual al cambio de energía cinética de rotación, del mismo.

f

i( ) n

dW I dt I dd tωτ ω ω ω= =∫ ∫

( )W K n Rτ = Δ

Comparación de las ecuaciones del movimiento de rotación y de traslaciónMovimiento Rotacional alrededor de un eje fijo Movimiento lineal

Velocidad angular : dd tθω = Velocidad lineal: d xv

d t=

Aceleración angular: dd tωα = Aceleración lineal: d va

d t=

Torque resultante: Iτ αΣ = Fuerza resultante: F M aΣ =

Leyes cinemática: co n sta n teα =

0 + tω ω α=

20 0

12

t + tθ θ ω α− =

( )2 20 02+ω ω α θ θ= −

Leyes cinemática: co n sta n tea =

0v v + a t=

20 0

12

x x v t + a t− =

( )2 20 02v v + a x x= −

Trabajo: W dτ θ= ∫ Trabajo: xW F d x= ∫

Energía rotacional: 212

K I ω= Energía traslacional: 212

K m v=

Potencia: P τ ω= Potencia: P F v=

Momento angular: L I ω= Momentum lineal: p m v=

Torque resultante: d Ld t

τ = Fuerza resultante: d pFd t

=

v

r

ω

m

Velocidad Angular y Velocidad Lineal son vectores:

v rω= ×

v

ω

α

Las aceleraciones son vectores.

TaRa

T ra = ×α R va = ×ω

r

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