Capıtulo 1

EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTEHISTORICO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Ver parte I

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Capıtulo 2

INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL

Ver parte I

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Capıtulo 3

EVOLUCION DE CONCEPTOS HACIA LA TEORIA DE LARELATIVIDAD

3.1. Nociones clasicas fundamentales

3.1.1. Nocion de Lugar

Llamamos lugar a un sitio o ambito, mas o menos extenso, que por comodidad puede re-presentarse mediante un punto. Los mapas, por ejemplo representan las ciudades por medio depuntos. Ası, a escala de Europa, Parıs es un lugar, distinto de otro lugar constituido por Es-trasburgo. A escala de una ciudad, como Parıs, la plaza de la Concordia o la plaza de. la Operaconstituyen dos lugares diferentes. A escala de una calle cada casa representa un lugar particu-lar. Ademas, en cada escala los lugares pueden representarse como puntos, como lo ilustran losmapas geograficos y turısticos.

Un atlas escolar, que hace caber Europa en una sola pagina; un mapa de carreteras de Francia;un plano de Parıs... representan mediante puntos lugares de extension cada vez mas pequena:ciudades, pueblos, casas.

En sentido inverso, la Tierra entera o las estrellas se conciben a veces como puntos: en estesentido se habla de la rotacion de la Tierra (del ”punto Tierra”) alrededor del ”punto Sol”; en elfirmamento, galaxias enteras (constituidas sin embargo por centenares de millares de estrellas) sepresentan en una primera impresion, cuando estan lo suficiente lejos, como ”puntos materiales”.

3.1.2. Distancia Euclidiana

Es la medida de la separacion entre dos sitios o lugares en un espacio tridimensional; Corres-ponde a la longitud del segmento de recta trazado entre dichos sitios o puntos.

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Figura 3.1: Instante de tiempoEl choque de un rayo de luz con un espejo se produce en un ”instante” de tiempo

3.1.3. Localizacion o posicion euclidiana

Es la ubicacion de un sitio o lugar con respecto a otro sitio tomado como referencia en elespacio tridimensional. Los sistemas de coordenadas permiten la ubicacion o identificacion depuntos en el espacio.

3.1.4. Instante de tiempo

Momento en que se presenta un suceso o acontecimiento. Ejemplos: la salida o puesta del sol,el comienzo o fin de una tormenta, el nacimiento o defuncion de una persona.

3.1.5. Duracion o intervalo de tiempo

Es el trancurrir entre dos sucesos o acontecimientos. Los instrumentos que registran el tiempose denominan relojes o cronometros. Si por ejemplo, un reloj registra el inicio de una tormenta ala hora 10h:00’ a.m., y luego registra tambien su terminacion a la hora 10h:45’ a.m., entonces eltiempo trancurrido o duracion fue de 45 minutos segun dicho reloj. Los relojes comunes simulanel avance aparente del sol alrededor de la tierra. Si el desarrollo de un suceso es mas lento quela marcha regular del reloj, este podra registrarlo; pero si dicho proceso supera la sensibilidaddel reloj por ser demasiado rapido, el reloj resultara obsoleto para la medicion del tiempo.

Los primeros dispositivos cronometricos utilizados en la Antiguedad fueron las clepsidras(relojes de agua) y los relojes de arena, aparatos en los que cierta cantidad de agua o de arenafina medıa, al pasar de un recipiente a otro, la duracion de un proceso. Para medir las duracionescon una precision mayor, los sabios de la Edad Media y luego los del Renacimiento inventarondispositivos mecanicos utilizados todavıa hoy en los relojes y cronometros. La cuerda de resorteespiral data del siglo xv; la regulacion mediante pendulo fue introducida a comienzos del sigloXVII; la regulacion mediante rueda oscilante y resorte espiral de nuestros relojes de pulsera fueinventada hacia fines del siglo XVII.

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Si dos relojes en funcionamiento marcan continuamente la misma hora, se dice que estansincronizados.

3.1.6. Sistema de Referencia

Es un sistema de coordenadas y un cronometro empleados para para determinar las posicionesespacio-temporales de puntos y cuerpos. El sistema de coordenadas es arbitrario, pero incluyeun punto llamado origen, con respecto al cual se miden distancias, y unos ejes con respecto alos cuales se miden direcciones (angulos); estas mediciones especifican la posiciones. Con ayudadel cronometro, las posiciones pueden ordenarse en el tiempo, con lo cual se construye la nocionde movimiento. puede entonces introducirse la idead de observador como el sujeto que usaun sistema de referencia especıfico. este sujeto esta comprometido con medidas sistematicas deposicion y tiempo por lo que debe conocer su sistema de referencia; tal aspecto lo diferencia delsimple espectador del universo.

3.1.7. Nocion de movimiento

Se entiende por movimiento, el cambio de posicion de un cuerpo con respecto a un sistemade referencia. El movimiento siempre es relativo; ası, si dos cuerpos se mueven simultaneamentecon la misma rapidez y en la misma direccion y sentido, cada uno estara en reposo con respectoal otro.

3.1.8. Movimiento en circuito

Es un tipo de movimiento que lleva un movil a su punto de partida. Este es el caso, porejemplo, de una senal luminosa que efectua una marcha de ”ida y vuelta” mediante reflexionsobre un espejo. El movimiento circular es un caso particular de movimiento en circuito.

3.1.9. Velocidad

Se define como la medicion del movimiento de un cuerpo con relacion al tiempo. En tal medi-cion se tienen en cuenta la direccion y el sentido del movimiento.

Si inicialmente el movil estaba en la posicion A y al cabo de un tiempo t, el movil se hayaen la posicion B, con respecto a un observador dado, dicho observador registrara el cambio odiferencia de posicion entre A y B en terminos de la longitud y direccion del segmento de rectad, que corre de A a B (ver figura 3.4). En consecuencia, establecera la velocidad media1delmovil al recorrer dicho segmento de recta ası: v = d/t.

1El termino ”media”significa que no se tienen en cuenta los detalles del movimiento entre los puntos A y B sino que los resumetodos como si el movil se desplazara a lo largo del segmento de recta con una rapidez constante.

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Figura 3.2: Puntos y sistemas de referenciaTanto las posiciones como los movimientos son referenciados a ”algo”, por ejemplo, un punto (cruce cerocontiguo a la UNAL.)

Figura 3.3: Los movimientos vibratorios y cıclicos son movimientos en circuito

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Figura 3.4: Diferencia entre trayectoria y desplazamiento

La velocidad relativa Dados dos observadores, A y B, cuyas velocidades medidas por untercer observador son VA y VB respectivamente, ese tercer observador concluira que A y B semueven con una velocidad relativa, el uno respecto al otro, dada por:

VBA = VA − VB

o bien por:VAB = VB − VA

de modo que las velocidades relativas VBA y VAB tienen el mismo modulo pero sentidos opuestos2.

El calculo de velocidades relativas en mecanica clasica es totalmente aditivo y encaja conla intuicion comun sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el metodo de lavelocidad relativa.

Ejemplo 1. Cuando viajamos por mar, nuestra situacion respecto de las diferentes partesdel navıo resulta tan importante como nuestra situacion con relacion al muelle, sobre todo enla despedida de los que quedan en la costa.

Para la figura 3.5 tomemos:VA = Vp/M : velocidad del pasajero con relacion al muelle.VB = VN/M : velocidad del navıo con respecto al muelleVAB = Vp/N : velocidad del pasajero respecto al navıo

Entonces,Vp/N = Vp/M − VN/M

2El tercer observador supone implıcitamente que el movimiento relativo de los observadores A y B que el registra puede repre-sentarse a lo largo de segmentos de recta. Por ejemplo, la rapidez relativa esta relacionada con el cambio de longitud del segmentode recta que une a los observadores A y B, y su direccion con el cambio de pendiente, todo medido en el sistema de referencia deltercer observador. esta ”suposicion implıcita” fue formalizada desde Galileo y duro hasta Einstein. por ese motivo se denomina como”clasica”.

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Figura 3.5: Velocidad relativa

Figura 3.6: Velocidad relativa galileana

Las definiciones y propiedades anteriores para dos observadores en movimiento relativo seaplica tambien para el caso de dos partıculas clasicas A y B, cuyas velocidades medidas por unobservador dado sean VA y VB , respectivamente.

Ejemplo 2. Dados dos moviles A y B (figura 3.6) que viajan en la misma direccıon convelocidades uniformes de 40 y 30 Km/h con relacion al suelo, la velocidad relativa de los dosmoviles con respecto a un observador en la vıa sera la diferencia de las dos velocidades ası:

VA/B = VA/s − VB/s ⇒ VA/B = 40− 30 = 10Km/h

En fısica relativista el concepto de velocidad relativa experimenta cierta modificacion comose vera luego.

3.1.10. Movimiento uniforme

Es un tipo de movimiento registrado por un observador dado, en el cual la velocidad per-manece constante, es decir, se recorren espacios iguales en tiempos iguales. Si el movimiento

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Figura 3.7: Registro de tiempos

Figura 3.8: Tabulacion de datos

uniforme se da en una sola direccion (no hay cambios de pendiente en el desplazamiento) se diceque tambien es rectilıneo.

En la figura 3.7 se presenta un individuo que se encuentra observando el movimiento de dosautomoviles y como resultado de sus observaciones ha obtenido los datos que se resumen en latabla adjunta.

Graficando los datos de la tabla anterior, obtenemos dos graficas diferentes, aun cuando enlos movimientos hay dos factores comunes a saber: el mismo tiempo total de movimiento (5segundos) y el mismo desplazamiento total recorrido, o sea 25 metros.

El examen analıtico de las dos graficas en una sola (figura 3.9), nos permite sospechar quese trata de dos movimientos un poco diferentes. En el caso de la lınea recta se trata de unmovimiento uniforme puesto que la relacion s/t permanece constante e igual a 5 m/seg, mien-tras que en la lınea curva la relacion s/t toma diferentes valores y por lo tanto, se trata de unmovimiento variado.

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Figura 3.9: Tipos de movimientosLa grafica de un movimiento uniforme es una recta mientras que para un movimiento variado no lo es

3.1.11. Eventos simultaneos y Eventos copuntuales

Dos o mas eventos son simultaneos cuando se presentan en el mismo instante de tiempo;ası mismo, dos o mas eventos son copuntuales si ocurren en el mismo lugar o sitio. Los eventossimultaneos pueden ser o no ser copuntuales, y de igual forma, los eventos copuntuales no sonnecesariamente simultaneos. A continuacion se analizan casos especiales de eventos simultaneos.

Simultaneidad Local

propiedad que poseen varios acontecimientos que, a cierta escala, se producen en un mismolugar o sitio y en el mismo instante de tiempo; Se dice tambien que tales eventos representanun acontecimiento multiple. Ejemplo: a escala de un radar, dos senales captadas por el mismoreceptor en un intervalo de tiempo menor al ”poder de resolucion” del instrumento, representapara el operador dos acontecimiento localmente simultaneos.

Como se ve, la simultaneidad local representa una especie de encajonamiento de la nocionde copuntualidad: a la idea de coincidencia ”geografica” anade la de coincidencia ”historica”. Aescala de la historia universal y de la geografıa mundial, todo lo que sucedio en la Bastilla el 14de julio de 1789 representa un solo acontecimiento multiple denominado ”La toma de la Bastilla”.

Simultaneidad a Distancia

Se dice que varios acontecimientos son simultaneos a distancia si se producen en un mismoinstante de tiempo con respecto a un ”acontecimiento de referencia”, pero en lugares o sitiosdiferentes. Veamos: dos viajeros que parten con simultaneidad local de la ciudad de Medellın(evento M), podrıan llegar con simultaneamente a distancia a las ciudades de Guarne y Bogota,empleando relojes sincronizados aunque recurran a distintos medios de transporte.

El evento (M) constituye ademas un acontecimiento multiple.

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Figura 3.10: Tipos de simultaneidadLa simultaneidad puede ser local (la partida de dos viajeros al mismo tiempo desde Medellın) o a distancia (lallegada de los dos viajeros a Guarne y Bogota al mismo tiempo)

Supongamos que el viaje Medellın-Guarne en campero dura exactamente 30 minutos. Su-pongamos tambien, para simplificar, que el viaje Medellın-Bogota en avion dura igualmente 30minutos. El avion desempena aquı el papel de un segundo vehıculo que se desplaza a mayorvelocidad que el primero.

Designemos con una (G) el acontecimiento ”llegada del campero a Guarne”, y con una (B)la llegada del avion a Bogota. Podremos entonces representar esquematicamente el conjunto denuestras suposiciones como lo muestra la figura anterior.

La posibilidad de medir las duraciones de los viajes ”abiertos” (Medellın-Guarne y Medellın-Bogota) nos permite introducir un nuevo concepto fısico de capital importancia: el de la simul-taneidad a distancia.

Efectivamente, se dice que dos acontecimientos (G) y (B) son simultaneos en dos lugaresdistintos de la Tierra, si se producen, como sucede en nuestro caso con las llegadas a Guarne yBogota, con el mismo retraso (30 minutos en el caso que nos ocupa) respecto de un acontecimien-to determinado, denominado ”acontecimiento de referencia”. En este caso el acontecimiento dereferencia lo constituye evidentemente el acontecimiento multiple (M), salida localmente si-multanea del campero y del avion.

Puede ademas generalizarse la definicion de simultaneidad a distancia a mas de dos lugares

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diferentes. En particular, resulta posible asociar a los acontecimientos simultaneos (B) y (G)un acontecimiento (M’) que se produce en Medellın 30 minutos despues de la marcha desde(M) de nuestros viajeros. Los tres acontecimientos (O), (B) y (M’) se denominaran tambiensimultaneos (a distancia).

Como puede observarse, la definicion de simultaneidad por la igualdad de los retrasos (oadelantos) respecto de un acontecimiento de referencia puede tambien aplicarse a los aconteci-mientos que se producen en el mismo ”punto”. Es completamente general y no resulta necesarioal utilizarla distinguir entre simultaneidad local y simultaneidad a distancia. Por lo tanto, sepuede hablar de simultaneidad (sin mas especificacion) en el sentido de la nueva definiciongeneral.

Evidentemente, la igualdad de retrasos (o de adelantos) que sirve para definir la simultanei-dad puede determinarse en principio por cualquier procedimiento. Podra finalmente observarseque para determinar la duracion de mi viaje a Orleans y del viaje de Juan a Barcelona por elmetodo del ”transporte del cronometro” no es necesario que nuestros respectivos relojes ”estensincronizados” a la salida de Parıs. Es suficiente que tengan (y sobre todo que conserven) igual”funcionamiento”. Aquı interviene solamente el aspecto ”cronometrico” del tiempo y la medidade las duraciones es independiente de la hora (cronologica) de la salida.

3.2. Nociones preliminares hacia la relatividad

3.2.1. Sistema de Referencia Inercial

Desde la Fısica clasica o newtoniana es todo sistema o laboratorio en reposo o con movimien-to rectilıneo uniforme respecto de un objeto material sobre el cual no actua fuerza alguna,cualquiera sea su posicion en el espacio. La dificultad de esta definicion esta en la imposibili-dad fısica de disponer de un cuerpo libre de interacciones, por lo cual debe considerarse que laexistencia de sistemas de referencia inerciales es una abstraccion que no puede ser demostradaexperimentalmente. Tambien puede decirse que es un sistema que cumple el principio de inerciacon respecto a un punto de referencia, y en consecuencia no viola las leyes de Newton.

En la figura 3.11 se muestran dos vehıculos moviendose a velocidades constantes y diferentes,respecto a un observador inercial inmovil (con relacion a la carretera). Cada vehıculo constituyeun sistema de referencia inercial.

3.2.2. Principio de la Inercia de Galileo

Este principio afirma que un cuerpo sobre el cual no actua ninguna fuerza permanece en esta-do de reposo o de movimiento rectilıneo uniforme. Tambien es conocido como ley de la inercia yconstituye la primera de las leyes de Newton de la mecanica clasica. Fue propuesto por Galileo,quien con numerosas experiencias comprobo la falsedad de la teorıa de Aristoteles, segun la cual

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Figura 3.11: Sistemas inercialesTanto en el vehıculo 1 como en el vehıculo 2 se cumplen las leyes de Newton (forman sistemas inerciales).

un cuerpo solo podıa moverse bajo la accion de una fuerza.

Lo cierto es que, una vez que un cuerpo es impulsado por accion de una fuerza, no es nece-sario que la fuerza se continue ejerciendo para que el cuerpo continue en movimiento siempre ycuando los roces con el entorno sean mınimos.

En la figura 3.12, la fuerza de gravedad genera una componente impulsora de la esfera cuandoesta se deja rodar hacia abajo por el plano inclinado. Si este movimiento se continua inercial-mente sin interrupcion con la subida de la esfera por una rampa, la componente de la fuerzade gravedad en esta etapa siempre sera retardatriz, desde el comienzo mismo de la subida; poreso el impulso va disminuyendo, hasta que la esfera para y comienza a devolverse. En esta de-volucion la componente de la fuerza de gravedad no ha cambiado, solo que ahora no retarda elmovimiento de la esfera sino que lo impulsa, como en la etapa del plano inclinado.

El estado de movimiento o de reposo de un cuerpo depende del sistema de referencia elegido.Debido a esto se dice que el ”movimiento mecanico es relativo”. Segun esto, un cuerpo puedeestar en movimiento respecto de un sistema de referencia y al mismo tiempo encontrarse enreposo respecto de otro.

Veamos un ejemplo: Consideremos el caso de un observador A en una vagoneta en movimientoa una velocidad constante V con respecto a la Tierra, y un observador B que se encuentra en re-poso con respecto a la tierra. Asociemos a cada observador un sistema de referencia inercial.

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Figura 3.12: InerciaLa inercia permite que los cuerpos en movimiento tiendan a conservar la energıa cinetica

Figura 3.13: La sensacion de movimiento es relativa

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Figura 3.14: Un sistema S’ acelerado respecto a otro sistema S

El observador A, al dejar caer una piedra, vera que esta describe un movimiento verticalde caıda libre.

El observador B vera que inicialmente la piedra posee una velocidad inicial V de direccionhorizontal y, debido a esto, esta describira durante su caıda un movimiento parabolico decaıda libre.

¿ Como se mueve en realidad el cuerpo rectilınea o curvilıneamente?. ¿ Cual de los dos ob-servadores tiene la razon?. Puede parecer contradictorio pero ambas afirmaciones son correctas,cada una respecto de su sistema de referencia. No se puede prevalecer un sistema de referenciainercial respecto de otro. Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes.

En conclusion, todas las caracterısticas del movimiento (trayectoria, desplazamiento, veloci-dad, etc.) dependen del sistema de referencia elegido. En general, debemos elegir un sistema dereferencia tal que el movimiento parezca lo mas simple posible.3

3.2.3. Sistemas de referencia no inerciales

En un sistema en rotacion, o moviendose con aceleracion respecto a un sistema inercial dalugar a un sistema de referencia no inercial, y en el no se cumplen las leyes de Newton. Enun sistema no-inercial para justificar el movimiento ademas de las fuerzas reales necesitamosintroducir fuerzas ficticias que dependen del tipo de no-inercialidad del sistema. Ejemplo: seaS un sistema inercial, y S’ un sistema rectilıneamente acelerado. Supongamos que S observa oregistra una partıcula en reposo P; S’ la ”vera” acelerada y por lo tanto no se cumplira la leyfısica que establece que ”las aceleraciones son debidas a la accion de fuerzas” (violacion a lasegunda ley de Newton).

3El sistema de referencia experimental por lo general no es el mas simple

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3.2.4. El Principio de Relatividad de Galileo

Establece que las leyes de la mecanica permanecen invariables en todos los laboratorios osistemas que se encuentran en movimiento de traslacion rectilıneo y uniforme respecto a uneventual espacio absoluto, pero no resulta posible determinar la velocidad ”absoluta” de talmovimiento mediante las experiencias de la mecanica.

Es un principio de relatividad en la medida en que estos movimientos solo permiten conocerlas velocidades relativas de los sistemas inerciales, de unos con respecto a los otros.

3.2.5. El Principio de la Relatividad Especial

Este principio afirma que las leyes de la fısica deben ser las mismas en todos los sistemasinerciales, incluyendo los situados en campos gravitacionales, los cuales no son incorporados enel principio de relatividad de Galileo. Otro aspecto a considerar es que el principio de relatividadde Galileo es valido para la mecanica pero no ası para la electrodinamica, cosa que sı cumple elPrincipio de la Relatividad Especial por ser aplicable a todos los fenomenos fısicos.

Historicamente se presento la siguiente disyuntiva: o bien las leyes de Maxwell tenıan una for-ma general diferente, invariante bajo las transformaciones de Galileo, o bien, la forma establecidaera valida y lo que habıa que revisar era la manera en que los observadores debıan relacionar susobservaciones. Dado el acervo historico y experimental acumulado, Einstein opto por la segun-da, al igual que Lorentz, quien ya habıa encontrado las transformaciones que llevan su nombre.Hubo investigadores que siguieron el primer camino pero sin exito, como sabemos hoy en dıa.

Todos los observadores inerciales son igualmente dignos o equivalentes, no hay ningunopreferido, todos registran las mismas leyes de la fısica: las ecuaciones que las expresan tienen lamisma forma para todos estos observadores.

Como todos los observadores inerciales estan en un plano de igualdad, ninguno es especial yse eliminan las nociones de espacio y tiempo absolutos. Cada observador tiene derecho a medirdistancias y tiempos, y los resultados de sus mediciones son distancias y tiempos confiables.Aquı se establece una diferencia radical con la fısica preeinsteiniana. En dicha fısica, la variablet se refiere al tiempo absoluto, ese flujo imperturbable dentro del cual, supuestamente, las cosasdel mundo se inscribıan.

Como se puede observar de la grafica correspondiente a la figura 3.15, el evento E es el mismobajo diferentes sistemas de referencia inerciales, sea bajo el sistema tx o el sistema t’x’.

Las transformaciones de un sistema a otro es tema de lo que denominamos transforma-ciones de Lorentz, las cuales se veran luego en el capıtulo septimo.

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teorıa de la relatividad especial, son un con-

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Figura 3.15: Suceso E ejecutado en diferentes sistemas inerciales

junto de relaciones que dan cuenta de como se relacionan las medidas de una magnitud fısicaobtenidas por dos observadores diferentes. Estas relaciones establecieron la base matematica dela teorıa de la relatividad especial de Einstein, ya que precisan del tipo de geometrıa espacio-tiempo.

3.2.6. Principio de equivalencia de Einstein

En un sistema de referencia en caıda libre los efectos de la gravedad se hacen ”transparentes”,es decir, no son notorios y la fısica que allı se mida es coherente con la Relatividad especial.Afirma que puntualmente es indistinguible un sistema campo gravitatorio de un sistema de re-ferencia no inercial acelerado.

Ası, fijado un determinado acontecimiento instantaneo de naturaleza puntual p (un eventoo suceso) en el seno de un campo gravitatorio puede ser descrito por un observador aceleradosituado en ese punto, como moviendose libremente. Es decir, existe cierto observador aceleradoque no tiene forma de distinguir si las partıculas se mueven o no dentro de un campo gravitatorio.

Por ejemplo: si caemos tras una piedra desde un acantilado, la veremos descender con veloci-dad constante, exactamente igual que si no existiera el campo gravitatorio que nos hace caer.Lo mismo les ocurre a los astronautas en torno a su nave, donde les parece que todo flota comosi no cayera hacia la Tierra siguiendo su orbita.

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Figura 3.16: Sistema de referencia en un campo gravitatorioUn sistema de referencia de caıda libre en un campo gravitacional es equivalente a un sistema de referencia noinercial puesto que g se reemplaza por a

Figura 3.17: Sistema en caıda libreEn un sistema en caıda libre la gravedad se hace transparente, como si no existiera, y tambien se cumplirıan enel las leyes de Newton. Serıa inercial segun Einstein.

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Figura 3.18: Caracter universal de las leyes fısicasLas leyes de la Fısica son Universales y no pueden estar condicionadas por los Sistemas de Referencia ...

3.2.7. Principio de Covariancia o Principio General de la Relatividad de Einstein

Establece que las leyes de la fısica deben tomar la misma forma en todos los marcos de refe-rencia. Esto es una extension del principio de relatividad especial. Las leyes de la fısica debenser independientes del sistema de referencia de su observador, y por tanto, en toda ecuacion queaspire a ser una ley, ambos miembros deberan transformarse del mismo modo frente a cambiosde coordenadas.

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Capıtulo 4

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIA DE LARELATIVIDAD ESPECIAL

4.1. Fundamentos experimentales de la Teorıa de la Relatividad Es-pecial

Experimento de Michelson-Morley: simultaneidad en los regresos de los rayos luminososoriginados en el Interfeometro de Michelson. Esta experiencia sugiere que la velocidad dela luz es la misma en todas las direcciones y que ademas, es independiente del movimientode la Tierra. Dicho comportamiento de la luz se denominara propiedad M, en honor a surealizador.

Observaciones de la llegada simultanea a un receptor, de los rayos luminosos que parten tam-bien simultaneamente desde varios emisores en movimiento relativo. Este comportamientode la luz recibe el nombre de propiedad de Unicidad (U). Ya para la epoca se tenıaconocimiento que si en el instante en que se emitiera una senal s’ desde un punto de unmovil, se emitiera otra senal so desde un punto fijo o tomado como referencia, de tal mane-ra que los dos puntos practicamente coincidieran, ambas senales (como si fueran una sola)llegaban simultaneamente a un receptor n’ del movil; ver figura 4.1. Lo mismo sucederıacon las senales luminosas i’ e io en la figura 4.2. Allı se observa que las senales luminosas i’e io parten simultaneamente de o’ la primera y o la segunda; el segmento o’b’ representael cuerpo fısico o geometrico en movimiento relativo con respecto a o. Cuando la senal iollegue a b, en ese momento i’ llegara a b’.

Teniendo en cuenta todas estas experiencias que contradecıan a las interpretaciones clasicas,fue entonces cuando Albert Einstein desarrollo en 1905 una concepcion completamente ”re-volucionaria”, la cual concilio la propiedad M con la propiedad U, demostrando tener granfecundidad.

La propiedad Einstein o propiedad (E) establece que:

Toda senal electromagnetica (luminosa o radioelectrica), emitida y captada en cierto labo-ratorio ”inercial” (L’) por aparatos fijados a este laboratorio, y que se propaga en el vacıo,

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Figura 4.1: Principio de UnicidadSi los rayos luminosos so y s’ parten simultaneamente , el primero desde el punto o de la vıa y el segundo desdeel punto o’ del movil, en el instante en que o’ pasa por o, entonces cuando el rayo s’ alcance el punto n’ en unlugar w de la vıa , el rayo so tambien lo hara, a pesar del movimiento relativo entre movil y vıa. Los puntosemisores o y o’ estan lo suficientemente proximos como para considerar que so y s’ parten con simultaneidadlocal.

Figura 4.2: Principio de UnicidadEl movil L’ se mueve con relacion a sistema L a una velocidad uniforme v en la direccion x

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posee con relacion a este laboratorio una velocidad que: 1) es independiente de la direcciony del sentido de la senal; 2) es independiente de la velocidad relativa del laboratorio (L’)con respecto a otro laboratorio cualquiera (L)(e independiente, por lo tanto, de la velocidadabsoluta que eventualmente pudiera animar al laboratorio L’).

El valor universal de la velocidad de las senales luminosas sera constante.

Ası mismo, Einstein reserva a las ”senales luminosas”, el papel de ”agente horario” funda-mental. Dicho de otra forma, toma como ”duracion estandar”, como ”patron de duracion”, lade un ”viaje” de la luz sobre una distancia invariable elegida arbitrariamente. La constancia dela velocidad de la luz ha sido verificada experimentalmente de variadas formas constituyendoactualmente un principio de la naturaleza..

Al afirmar que la luz posee la propiedad E, Einstein amplıa el campo de validez del principiode Galileo a los fenomenos ”opticos”, con lo que generaliza el principio de relatividad especial alconjunto de todos los fenomenos fısicos. Recordemos que el principio de relatividad de Galileoes valido para la mecanica pero no ası para la electrodinamica, cosa que sı cumple el Principiode la Relatividad Especial por ser aplicable a todos los fenomenos fısicos, incluyendo las ondaselectromagneticas.

4.2. Las separaciones espacial y temporal son relativas

La teorıa de la relatividad de Einstein no se pronuncia acerca de la naturaleza de la luz, perole atribuye ciertas propiedades que sugiere la experiencia: la propiedad E y la propiedad U.Supone ademas el abandono de la idea clasica acerca del caracter absoluto de los intervalos detiempo, idea que aparece como un prejuicio o preconcepcion.

En efecto, basados en la figura (4.2), el intervalo de tiempo requerido por io para viajar desdeo hasta b esta dado por

∆t = ob/c

bajo el sistema de referencia L, mientras que el intervalo de tiempo requerido por i’ para irdesde o’ hasta b’ bajo el sistema de referencia L’, es igual a

∆t’ = o’b’/c

Como o’b’ < ob entonces ∆t’ 6= ∆t. Por lo tanto, estos rayos deben emplear tiempos diferentespara partir y llegar simultaneamente desde el emisor hasta el receptor, debido a que las sepa-raciones entre emisor y receptor se vuelven relativas al sistema de referencia desde el cual sehagan las mediciones.

En las transformaciones de Lorentz las separaciones en tiempo y espacio son relativas, esdecir, ∆t 6= ∆t′, y ∆x 6= ∆x′ como se puede apreciar a partir de las formulas incrementales massimples:

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∆t′ = γ(∆t− v

c2∆x) (4.1)

∆x′ = γ(∆x− v∆t) (4.2)

En las transformaciones de Galileo, sin embargo, solo las separaciones de espacio son relati-vas. En efecto, ∆x′ = ∆x− vt; luego ∆x′ 6= ∆x.

4.3. La separacion espaciotemporal es absoluta

A pesar de que las separaciones espacial y temporal son relativas, una funcion que involu-cra conjuntamente a las dos resulta absoluta. Dicha funcion recibe el nombre de intervaloespaciotemporal y se representa por ∆s2 = ∆s′2, donde por definicion,

∆s2 = c2∆t2 −∆x2 (4.3)

∆s′2 = c2∆t′2 −∆x′2, (4.4)

de tal manera quec2∆t2 −∆x2 = c2∆t′2 −∆x′2 (4.5)

como se demuestra a continuacion.

Amplificando la ecuacion (4.1) por c y elevando luego ambos miembros al cuadrado resulta:

c2∆t′2 = c2γ2(∆t− v

c2∆x)2 = γ2c2∆t2 − 2γ2∆tv∆x+ γ2v

2

c2∆x2

Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuacion (4.2) se obtiene:

∆x′2 = γ2(∆x− v∆t)2 = γ2∆x2 − 2γ2∆xv∆t+ γ2v2∆t2

Restando los dos resultados anteriores vemos que:

c2∆t′2 −∆x′2 = (γ2c2∆t2 − 2γ2∆tv∆x+ γ2v2

c2∆x2)− (γ2∆x2 − 2γ2∆xv∆t+ γ2v2∆t2)

Simplificando:

c2∆t′2 −∆x′2 = γ2c2∆t2 − γ2v2∆t2 − γ2∆x2 + γ2v2

c2∆x2 = γ2c2∆t2 − γ2v2∆t2 − γ2∆x2(1− v2

c2)

Como 1− v2

c2= 1/γ2, entonces

c2∆t′2 −∆x′2 = γ2c2∆t2 − γ2v2∆t2 − γ2∆x2 1

γ2= γ2c2∆t2 − γ2v2∆t2 −∆x2

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Factorizando:

c2∆t′2 −∆x′2 = γ2∆t2(c2 − v2)−∆x2 =1

1− v2

c2

∆t2(c2 − v2)−∆x2

Al simplificar se llega a:c2∆t′2 −∆x′2 = c2∆t2 −∆x2,

que era lo que se querıa demostrar segun la ecuacion (4.5).

Clases de intervalos

Cuando ∆s2 es positiva, cero o negativa, el intervalo es temporaloide, luminoide o espacialoide,respectivamente.

Intervalos temporaloides

Si ∆s2 > 0, de la ecuacion (4.3) se deduce que

c|∆t| > |∆x| ⇒ c >|∆x||∆t|

Si tomamos v = |∆x||∆t| y lo reemplazamos en la ecuacion (4.2) resulta ∆x′ = 0; dicho resultado

indica que no hay desplazamiento con respecto al eje x′, es decir, a la velocidad indicada conrespecto a x, los eventos que sucedan en O’ son copuntuales.

Intervalos espacialoides

Si ∆s2 < 0, de la ecuacion (4.3) se deduce que

|∆x| > c|∆t| ⇒ 1 >c|∆t||∆x|

⇒ c >c2|∆t||∆x|

Si tomamos v = c2|∆t||∆x| y lo reemplazamos en la ecuacion (4.1), despues de las operaciones

indicadas resulta ∆t′ = 0; dicho resultado confirma que a la velocidad indicada no hay variaciondel tiempo en el eje t′, por consiguiente los eventos que sucedan en O’ son simultaneos.

Intervalos Luminoides

Si ∆s2 = 0, se llega a la conclusion que c|∆t| = |∆x| ⇒ c = |∆x||∆t| . Al reemplazar este valor

en las ecuaciones (4.1) o (4.2) no se llega a ningun valor notable; logicamente v no puede tomarel valor de c (ningun cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz). Por lo tanto, loseventos que sucedan en O’ bajo esta condicion no son ni copuntuales ni simultaneos; se tratade rayos de luz, cuya velocidad es la misma para ambos observadores.

24

Figura 4.3: Eventos copuntuales y no copuntualesLos sucesos de partida y llegada de un rayo de luz emitidos al interior de L’, que se mueve uniformementerespecto a L, son copuntuales. Los mismos eventos vistos desde L no son copuntuales

4.4. Tiempo propio

Es el menor de los tiempos de duracion de un evento registrados por varios observadoresdesde diferentes sistemas de referencia. Por lo tanto, corresponde al tiempo obtenido por unobservador en reposo situado en un laboratorio que presenta movimiento inercial con respectoa otro(s). Se representa por ∆τ .

La figura 4.3 muestra un laboratorio L’ en movimiento uniforme donde un rayo de luz eslanzado contra un espejo y se refleja hacia el punto de origen (movimiento en circuito). Comolos eventos partida y llegada son copuntuales, el reloj sera el mismo en reposo con respecto aL’, es decir, ∆x′ = 0. Reemplazando este valor en la ecuacion (4.2) y despejando v, resulta queen estas condiciones la velocidad de L’ respecto de L (parte externa pintada de rosado) es

v =∆x

∆t⇒ ∆x = v∆t

Pero lo que nos interesa es hallar ∆t′ (tiempo total de ida y regreso del rayo); entonces reem-plazamos el valor anterior en la ecuacion (4.1) y al simplificar obtenemos:

∆t′ = ∆τ = ∆t

√1− v2

c2(4.6)

La ecuacion (4.5) se puede reescribir ası: c2(∆τ)2 = c2(∆t)2 − (∆x)2 ya que ∆x′ = 0. Ahora,como (∆x)2 > 0, entonces necesariamente (∆τ)2 < (∆t)2 o ∆τ < ∆t (lo que coincide con la

definicion dada). El termino√

1− v2

c2recibe el nombre de constante de dilatacion relativista

del tiempo propio.

4.5. Longitud propia

Es la mayor de las longitudes obtenidas en la medicion de una distancia por varios obser-vadores desde diferentes sistemas de referencia, y en consecuencia, corresponde a la longitud

25

Figura 4.4: Relatividad de las distancias

tomada por un observador con posicion ”fija” en un laboratorio el cual se halla en movimientorelativo con respecto a otro(s).

En la figura 4.4, un observador en reposo relativo en L constata que un rayo luminoso queparte de m se refleja en el espejo situado en la posicion fija n para regresar luego al punto de ori-gen. Entre los laboratorios L y L’ hay movimiento relativo y por lo tanto, desde L’ las posicionesm’ y n’ vistas por un observador O’ no seran las mismas que las vistas por un observador O en L.

Llamemos Lp = ∆x a la longitud desde m hasta n. Lp recibe el nombre de longitud propia.Bajo estas condiciones la ecuacion (4.5) queda:

c2(∆t′)2 − (∆x′)2 = c2(∆t)2 − (Lp)2 (4.7)

Reemplacemos ∆t por su equivalente de Lorentz, γ(∆t′ + vc2

∆x′), y hagamos ∆x′ = Li

(longitud impropia); en este caso ∆t′ = 0 puesto que tanto m como n deben ser registradosdesde L’ en el mismo tiempo, es decir simultaneamente a distancia. La ecuacion resultante sera:

−L2i = c2γ2(

v.Li

c2)2 − L2

p

O sea que:

L2p = L2

i +γ2

c2(v.Li)

2 (4.8)

Esta formula sirve en general, cualquiera que sea el angulo formado por Li y la velocidadde separacion v. Si son perpendiculares, se cumple v.Li = vLicos90o = 0 y, en consecuencia,

26

Li = Lp: las longitudes perpendiculares a v no sufren ningun cambio. Pero, si L y v son paralelos,la ecuacion (4.8) da:

L2p = L2

i +γ2

c2(vLicos90o)2 = L2

i +γ2

c2v2L2

i = L2i (1 +

γ2v2

c2) = L2

i (1 +

1

1− v2

c2

v2

c2)

Al simplificar el parentesis y extraer raız cuadrada se llega a

Lp =Li√

1− v2

c2

(4.9)

El termino√

1− v2

c2se denomina constante de contraccion relativista de la longitud

propia.

La ecuacion (4.7) queda reescrita ası:

L2p = (∆x′)2 − c2(∆t′)2 + c2(∆t)2

No olvidemos que ∆t′ = 0, (∆t)2 > 0 y ∆x′ = Li, lo que implica necesariamente que Lp > Li;esto coincide con la definicion dada.

4.6. Velocidad Relativa

A partir de las transformaciones de Lorentz, expresemos las ecuaciones (4.1) y (4.2) en formasdiferenciales ası:

dt′ = γ(dt− v

c2dx) = γ(1− v

c2

dx

dt)dt⇒ dt′ = γ(1− vvx

c2)dt⇒ 1

dt′=

γ−1

1− vvxc2

1

dt

donde vx = dx/dt (velocidad de L para un tercer observador)

dx′ = γ(dx− vdt) = γ(dx

dt− v)dt⇒ dx′ = γ(vx − v)dt

Multipliquemos ahora, los resultados obtenidos para 1dt′

y dx′ ası:

1

dt′× dx′ = γ−1

1− vvxc2

1

dt× γ(vx − v)dt⇒ dx′

dt′=

vx − v1− vvx

c2

⇒

v′x =vx − v1− vvx

c2

(4.10)

Despejando el valor de v obtenemos como resultado la velocidad relativa entre los laboratoriosL y L’:

v = vxx′ =vx − v′x1− vxv′x

c2

(4.11)

27

4.7. Velocidades transversas vy y vz

Segun las transformaciones de Lorentz, t = γ(t′+ vc2x′); al diferenciarla resulta dt = γdt′+ v

c2dx′

puesto que v y c son constantes. Factorizando, dt = γ(1 + vc2dx′/dt′)dt′ ⇒

dt = γ(1 +v

c2v′x)dt′ (4.12)

Pero tambien por Lorentz, para movimiento relativo a lo largo del eje x,

y = y′ ⇒ dy = dy′ ⇒ dy

dt= dy′

1

dt⇒ vy = dy′

1

dt

Involucrando la ecuacion (4.12) resulta:

vy = dy′γ−1

1 + vc2v′x

1

dt′⇒ vy =

γ−1

1 + vc2v′x

dy′

dt′

Por ultimo, como γ−1 =√

1− v2

c2y ademas, v′y = dy′/dt′ obtenemos:

vy =

√1− v2

c2

1 + vv′xc2

v′y (4.13)

La transformacion inversa resulta reemplazando v por −v e intercambiando la velocidades pri-mada y no primada ası:

v′y =

√1− v2

c2

1− vvxc2

vy (4.14)

En forma similar,

v′z =

√1− v2

c2

1− vvxc2

vz

vz =

√1− v2

c2

1 + vvxc2

v′z

.

28

Capıtulo 5

DIDACTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Ver parte IV

29

Capıtulo 6

DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONESDE LORENTZ

Ver parte V

CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS: Ver parte V

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS: Ver parte V

30

Indice de figuras

3.1. Instante de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Puntos y sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3. Los movimientos vibratorios y cıclicos son movimientos en circuito . . . . . . . . 63.4. Diferencia entre trayectoria y desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5. Velocidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6. Velocidad relativa galileana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.7. Registro de tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.8. Tabulacion de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.9. Tipos de movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.10. Tipos de simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.11. Sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.12. Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.13. La sensacion de movimiento es relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.14. Un sistema S’ acelerado respecto a otro sistema S . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.15. Suceso E ejecutado en diferentes sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . 173.16. Sistema de referencia en un campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.17. Sistema en caıda libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.18. Caracter universal de las leyes fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1. Principio de Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2. Principio de Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3. Eventos copuntuales y no copuntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4. Relatividad de las distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

31

Indice general

1. EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTE HISTORI-CO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 1

2. INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL 2

3. EVOLUCION DE CONCEPTOS HACIA LA TEORIA DE LARELATIVIDAD 33.1. Nociones clasicas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1.1. Nocion de Lugar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.2. Distancia Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.3. Localizacion o posicion euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.4. Instante de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.5. Duracion o intervalo de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.6. Sistema de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.7. Nocion de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.8. Movimiento en circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.9. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.10. Movimiento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.11. Eventos simultaneos y Eventos copuntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2. Nociones preliminares hacia la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1. Sistema de Referencia Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2. Principio de la Inercia de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.3. Sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.4. El Principio de Relatividad de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.5. El Principio de la Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.6. Principio de equivalencia de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.7. Principio de Covariancia o Principio General de la Relatividad de Einstein 19

4. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIA DE LARELATIVIDAD ESPECIAL 204.1. Fundamentos experimentales de la Teorıa de la Relatividad Especial . . . . . . . 204.2. Las separaciones espacial y temporal son relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

32

4.3. La separacion espaciotemporal es absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4. Tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5. Longitud propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6. Velocidad Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7. Velocidades transversas vy y vz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. DIDACTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 29

6. DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONESDE LORENTZ 30

CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS 30

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 30

33