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Mediciones La fsica es la ciencia ms fundamental de las que estudian a la naturaleza, est relacionada con los principios bsicos del universo. Es la base sobre la cual las otras ciencias - astronoma, geologa, qumica estn sustentadas. Las cinco reas de la fsica ms importantes son: Mecnica clsica, que estudia el movimiento de los objetos que se mueven a velocidades que son pequeas en comparacin con la velocidad de la luz. Relatividad, que estudia objetos movindose a cualquier velocidad, aun aquellos cuya velocidad sea cercana a la de la luz. Termodinmica, que trata con el calor, la temperatura, y el comportamiento estadstico de grandes nmeros de partculas. Electromagnetismo, que estudia los fenmenos elctricos, magnticos y los campos electromagnticos. Mecnica cuntica, que estudia el comportamiento de las partculas a nivel microscpico y macroscpico. Como todas las ciencias, la fsica se basa en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas. El objetivo principal de la fsica es utilizar las leyes fundamentales que gobiernan a los fenmenos naturales para desarrollar teoras que los expliquen y predigan los resultados futuros. Las leyes fundamentales utilizadas para desarrollar teoras se expresan en el lenguaje de las matemticas, la herramienta que proporciona un puente entre la teora y los fenmenos experimentales. Estndares de longitud, masa y tiempo. Las leyes de la fsica se expresan en trminos de cantidades bsicas. En mecnica las tres cantidades bsicas son la longitud, la masa y el tiempo. Otras cantidades fsicas como la energa, la fuerza, la velocidad, el volumen, la aceleracin pueden ser expresadas en trminos de esas tres cantidades bsicas. El Sistema Internacional (SI) tiene siete unidades bsicas que se describen en la tabla 1. Otras unidades, derivadas de las bsicas, se muestran en la tabla 2.

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Sistema Internacional

Tabla 1. Unidades Bsicas en el SI Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracin de 9 192 631 770 periodos de la

radiacin correspondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del tomo de cesio 133.

Unidad de longitud El metro (m) es la longitud del trayecto recorrido en el vaco por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de intensidad de corriente elctrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que mantenindose en dos conductores paralelos, rectilneos, de longitud infinita, de seccin circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vaco, produce una fuerza igual a 2 x 10-7 Newton por metro de longitud.

Unidad de temperatura termodinmica

El kelvin (K), unidad de temperatura termodinmica, es la fraccin 1/273.16 de la temperatura termodinmica del punto triple del agua.

Unidad de cantidad de sustancia

El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como tomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser tomos, molculas, iones, electrones u otras partculas o grupos especificados de tales partculas.

Unidad de intensidad luminosa

La candela (cd) es la unidad luminosa, en una direccin dada, de una fuente que emite una radiacin monocromtica de frecuencia 540 x 1012 hertz y cuya intensidad energtica en dicha direccin es 1/683 watt por estereorradin.

Tabla 2. Algunas unidades derivadas en el SI

Cantidad

Nombre

Smbolo

Expresin en trminos de unidades bsicas.

Expresin en trminos de otras unidadesdel SI

ngulo plano Frecuencia Fuerza Presin Energa Potencia Carga elctrica Potencial electrico (fem) Capacitancia Resistencia elctrica Flujo magntico Intensidad de campo magnticoInductancia

RadianesHertz Newton Pascal Joule Watt CoulombVolt Farad Ohm Weber Tesla Henry

Rad Hz N Pa J W C V F Wb T H

M/m s-1 kg.m/s2 kg/m.s2 kg.m2/s2 kg.m2/s3 A.s Kg.m2/A.s3 A2.s4/kg.m2 Kg.m2/A2.s3 Kg.m2/A.s2 Kg/A.s2 Kg.m2/A2.s2

J/m N/m2 N.m J/s W/A C/V V/A V.s Wb/m2 Wb/A

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Adems del SI, aun se utilizan otros sistemas de unidades. Los ms importantes son el cgs, que fue utilizado en Europa principalmente antes del SI, y el British Engineering System (BES), utilizado en USA e Inglaterra a pesar de la aceptacin en el resto del mundo del SI. En el sistema cgs, las unidades para la longitud, la masa y el tiempo son el

centmetro (cm), el gramo (gr) y el segundo (s). En el sistema ingles las unidades son el pie (foot), la libra (slug) y el segundo. Aunque el SI se acepta universalmente, el uso de los otros sistemas requiere conversin de unidades de un sistema a otro.

Tabla 3. Valores aproximados de algunas distancias Longitud (m)

Un ao luz Radio medio de la orbita alrededor del sol Distancia media de la tierra a la luna Distancia del ecuador al polo norte Radio medio de la tierra Altura tpica de los satlites que orbitan la tierraLongitud de un campo de football Tamao de una partcula de polvo Tamao de una clula Dimetro del tomo de hidrgeno Dimetro de un ncleo atmico Dimetro de un protn

9.46x1015 1.5x1011 3.8x108

1x107 6.4x106

2x105 9.1x101

1x10-4 1x10-5

1x10-10 1x10-14 1x10-15

Tabla 4. Masa de algunos cuerposMasa aproximada (kg)

Universo Galaxia va lctea Sol Tierra Luna Caballo Humano Sapo Mosquito Bacteria tomo de hidrgeno Electrn

1x10527x10412x10306x10247x10221x1037x1011x10-11x10-5

1x10-151.67x10-279.11x10-31

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Tabla 5. Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo Intervalo (s)

Edad del universo Edad de la tierra Edad promedio de un estudiante Un ao Un da Tiempo entre dos latidos del corazn Periodo de una onda de sonido audible Periodo de una onda de radio tpica Periodo de una vibracin de un tomo en un slidoPeriodo de una onda de luz visible Duracin de una colisin atmica Tiempo para que la luz atraviese un protn

5 x 1017 1.3 x 1017 6.3 x 108 3.2 x 107 8.6 x 104

8 x 10-1 1 x 10-3 1 x 10-6

1 x 10-13 1 x 10-15 1 x 10-22

3.3 x 10-24 Los bloques constitutivos de la materia Un modelo sencillo del tomo consiste en verlo como un sistema solar en miniatura cuyo ncleo cargado positivamente ocupa la posicin del Sol y los electrones, cargados negativamente, orbitan como los planetas. Este modelo del tomo nos permite entender algunas propiedades de los tomos ms simples, como el del hidrgeno, pero fracasa al explicar muchos detalles de la estructura atmica.

Tabla 6. Densidad de diversas sustanciasSustancia Densidad (kg/m3)Oro Uranio Plomo Cobre Hierro Aluminio Magnesio Agua Aire

19.3 x 10318.7 x 10311.3 x 1038.93 x 1037.86 x 1032.70 x 1031.75 x 1031.00 x 103

0.0012 x 103

Despus del descubrimiento del ncleo, a principios del siglo XX, surgi la pregunta: Tiene estructura el ncleo? Es decir, el ncleo es una sola partcula o una coleccin de partculas? Los moradores del ncleo son dos entidades bsicas: el protn y el neutrn. El protn porta una carga positiva, y un elemento especfico se identifica por el nmero de protones en su ncleo. Por ejemplo, el ncleo de un tomo de hidrgeno contiene un protn, El tomo de helio contiene dos protones y El ncleo de un tomo de uranio contiene 92 protones.

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La existencia de los neutrones fue verificada concluyentemente en 1932. Un neutrn no tiene carga y su masa es aproximadamente igual a la de un protn. Una de las tareas fundamentales del neutrn es actuar como "pegamento" para mantener unido al ncleo. Si los neutrones no estuvieran presentes en el ncleo, la fuerza repulsiva entre las protones cargadas positivamente causara la desintegracin del ncleo. Un tomo no ionizado, adems de los protones y neutrones, fuera de su ncleo tiene un nmero de electrones en la misma cantidad que el nmero de protones de su ncleo. Densidad y masa atmica Una propiedad de cualquier sustancia es su densidad, , definida como la masa por unidad de volumen,

m = V

(1.1)

La masa de 12C se define exactamente igual a 12 unidades de masa atmica (u) donde 1 u = 1.6605402 x 10-27 kg. En estas unidades el protn y el neutrn tienen masas de aproximadamente 1 u. La masa del protn = 1.0073 u, La masa del neutrn = 1.0087 u. Un mol de una sustancia es aquella cantidad de dicha sustancia que contiene el nmero de Abogadro (NA) de molculas. NA = 6.02 x 1023 molculas/mol. Por ejemplo, un mol de aluminio tiene una masa de 27 g, y un mol de plomo tiene una masa de 207 g. Sin embargo, un mol de aluminio contiene el mismo nmero de tomos que un mol de plomo, puesto que hay 6.02 x 1023 tomos en un mol de cualquier elemento. La masa por tomo para cualquier elemento est dada por,

mtomo = (masa atmica del elemento)/NA Por ejemplo, la masa de un tomo de aluminio es,

tomogxmoltomosx

molgmAl /105.4/1002.6/27 23

23

==

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Ntese que 1 u es igual a NA-1 g. Anlisis dimensional La palabra dimensin tiene un significado especial en fsica. Suele significar la naturaleza fsica de una cantidad. Ya sea que se mida una distancia en pies o en metros, se trata de una distancia. Se dice que su dimensin es la longitud. A menudo se emplean corchetes [ ] para indicar las dimensiones de una cantidad fsica. Por ejemplo, el smbolo utilizado para la velocidad es v y las dimensiones de velocidad se escriben [v] = L/T. El anlisis dimensional aprovecha el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas. Es decir, las cantidades pueden sumarse o restarse solo si tienen las mismas dimensiones. Asimismo, los trminos en ambos lados de una ecuacin deben tener las mismas dimensiones. Para ilustrar este procedimiento, supngase que se desea obtener una frmula para la distancia x recorrida por un carro en un tiempo t si el carro parte del reposo y se mueve con aceleracin constante a. La expresin correcta es x =0.5at2. Se utilizar el anlisis dimensional para comprobar la validez de esta expresin. La cantidad x en el lado izquierdo tiene la dimensin de longitud. Para que la ecuacin sea dimensionalmente correcta, la cantidad en el lado derecho tambin debe tener esa misma dimensin. Se puede efectuar una comprobacin dimensional al sustituir las dimensiones de la aceleracin, L/T2 y el tiempo, T, en la ecuacin. Es decir, la forma dimensional de la ecuacin x = 0.5at2 es

L = (L/T2)T2 = L En el lado derecho de la ecuacin las unidades de tiempo se cancelan, y queda la unidad de longitud. Un procedimiento ms general es escribir una expresin de la forma

x ~ an tm donde n y m son exponentes que deben determinarse, y el smbolo ~ indica una proporcionalidad. Esta relacin es correcta solo si las dimensiones de ambos lados son iguales. Puesto que la dimensin del lado izquierdo es longitud, la dimensin del lado derecho tambin debe serlo. Es decir,

[antm] = L = LT0

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En vista de que la dimensiones de la aceleracin son L/T2 y la dimensin de tiempo es T, se tiene

(L/T2)nTm = L o bien

LnTm-2n = L Como los exponentes de L y T deben ser los mismos en ambos lados, se ve que n = 1 y m = 2. En consecuencia, se concluye que

x ~ at2. Este resultado difiere en un factor de 2 de la expresin correcta, la cual es x ~ 0.5at2. Debido a que el factor 0.5 es adimensional, no hay forma de determinarlo va anlisis dimensional. Mediciones Qu es una Medicin? Una medicin es el resultado de una operacin humana de observacin mediante la cual se compara una magnitud con un patrn de referencia.

Figura 1. Medicin con una regla.

Requerimientos para los patrones de medida que sean reproducibles, que sean invariantes. Las fuentes de Incertidumbre dependen de: la naturaleza de la magnitud que se mide, el instrumento de medicin, el observador, las condiciones externas.

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Errores accidentales o aleatorios son aquellos que aparecen cuando mediciones repetidas de la misma variable dan valores diferentes, con igual probabilidad de estar por arriba o por debajo del valor real. Cuando la dispersin de las medidas es pequea se dice que la medida es precisa. Errores sistemticos son aquellos que aparecen como una desviacin constante de todas las medidas ya sea siempre hacia arriba o siempre hacia abajo del valor real y son producidos, por ejemplo, por la falta de calibracin del instrumento de medicin. La medida ideal es aquella que tiene un 100% de exactitud y un 100% de precisin.

Incertidumbre en medidas no-reproducibles Cuando se hacen repeticiones de una medida y estas resultan diferentes, con valores Nxxxx ,,,, 321 , surgen las preguntas: Cul es el valor que se reporta? Qu incertidumbre se asigna al valor reportado? Medidas de tendencia central El promedio

( ) i1 2 3 N xx + x + x + ... + xx = =

N N

(1.2)

La mediana Cuando se tiene un numero impar de mediciones, N + 1

2

mediana = x (1.3)

Cuando se tiene un numero par de mediciones,

N N +12 2

x + xmediana =

2 (1.4)

La moda es aquella medicin que se repite con ms frecuencia.

Medidas de dispersin Los indicadores ms utilizados para representar la dispersin de un conjunto de datos son la desviacin media y la desviacin estndar.

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La desviacin media

ix - x =

N

(1.5)

La desviacin estndar

( )2ix - x = N - 1

(1.6)

Regla para expresar una medida Toda medida ya sea reproducible o no, debe de ir seguida por la unidad de la variable que se mide y se expresa de la forma x x [unidades] (1.7) donde x representa el valor central de la medicin y se calcula mediante la ecuacin (1.2). x representa la incertidumbre y se calcula mediante la ecuacin (1.6). De manera que se entienda que la medicin est comprendida dentro del intervalo [ x - x , x + x ]. Ejemplo: volumen = 48.0 0.5 ml significa que que la medicin del volumen esta comprendida en el intervalo [47.5, 48.5] ml.

Representacin absoluta y relativa de la incertidumbre Tomando en cuenta que x representa la incertidumbre absoluta y x representa el valor central de la medicin, entonces

xx

(1.8)

representa la incertidumbre relativa al valor central y

x 100%x

(1.9)

representa la incertidumbre relativa porcentual. Ejemplo:

Longitud = 216.0 0.5 mm

Longitud = 216.0 mm 0.2 %.

Mediciones directas e indirectas A las cantidades que se obtienen utilizando un instrumento de medida se les denomina mediciones directas, y a las mediciones que se calculan a partir de

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mediciones directas se les denomina mediciones indirectas. En las mediciones indirectas, la incertidumbre se propaga.

Propagacin de la incertidumbre En la suma y la diferencia w = q + r

Ejemplo, (62.03 0.01) + (1.7 0.1) = 63.7 0.11.

En el producto y en el cociente q rw = w + q r

Ejemplos:

( ) ( ) 0.001 0.11.317 0.001 2.7 0.1 3.5559 3.5559 3.6 0.11.317 2.7

= + =

46.5 0.1 0.1 0.135.76923077 35.76923077 35.8 2.81.3 0.1 46.5 1.3

= + = Cifras significativas Cuando se mide la magnitud de una variable, su valor se puede conocer solo hasta los lmites de la incertidumbre experimental. El valor de la incertidumbre depende de varios factores, como la calidad del aparato, la habilidad del experimentador y el nmero de mediciones efectuadas. Supngase que en un experimento en el laboratorio se nos pide medir el rea de una placa rectangular con una regla mtrica como instrumento de medicin. Supngase tambin que la precisin hasta la cual se puede hacer una medicin particular de la placa es 0.1 cm. Si la longitud de la placa es 16.3 cm, se puede afirmar que su longitud se encuentra entre 16.2 cm y 16.4 cm. En este caso se dice que el valor medido tiene tres cifras significativas. De igual manera, si se encuentra que su ancho mide 4.5 cm el valor real se encuentra entre 4.4 cm y 4.6 cm. Este valor medido solo tiene dos cifras significativas. Ntese que las cifras significativas incluyen el primer dgito estimado. As, se podran escribir los valores medidos como 16.3 0.1 cm y 4.5 0.1 cm. Supngase ahora que se calcula el rea de la placa mediante la multiplicacin de los dos valores medidos. Si se afirmara que el rea es (16.3 cm) x (4.5 cm) = 73.35 cm2 la respuesta no tendra justificacin debido a que contiene cuatro cifras significativas, un nmero de cifras significativas mayor que en cualesquiera de las longitudes medidas. Una buena regla prctica para usarse como gua en la determinacin del nmero de cifras significativas es la siguiente:

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Cuando se multiplican varias cantidades, el nmero de cifras significativas en el resultado, es el mismo que el nmero de cifras significativas en la menos precisa de las cantidades multiplicadas, donde "menos precisa" significa "tener el nmero menor de cifras significativas". La misma regla se aplica a la divisin. Al aplicar esta regla al ejemplo de multiplicacin anterior, se ve que la respuesta para el rea solo puede tener dos cifras significativas pues la longitud de 4.5 cm tiene nicamente dos cifras significativas. Por consiguiente, todo lo que se puede afirmar es que el rea es de 73 cm2, reconociendo que el valor puede variar entre 71 cm2 (= 16.2 cm x 4.4 cm) y 75 cm2 (= 16.4 cm x 4.6 cm). Los ceros no siempre representan cifras significativas. Los utilizados para colocar el punto decimal en nmeros como 0.03 y 0.0075 no representan cifras significativas. En este caso hay una y dos cifras significativas, respectivamente. Cuando la posicin de los ceros viene despus de otros dgitos hay la posibilidad de una interpretacin incorrecta. Por ejemplo, supngase que la masa de un objeto es de 1500 g. Este valor es ambiguo debido a que no se sabe si los dos ltimos ceros se utilizan para localizar el punto decimal o si ellos representan cifras significativas en la medicin. Con el fin de eliminar esta ambigedad, es comn utilizar la notacin cientfica para indicar el nmero de cifras significativas. En este caso, se podra expresar la masa como 1.5 x 103 si hubiera dos cifras significativas, 1.50 x 103 si hubiera tres cifras significativas y 1.500 x 103 si hubiera cuatro. Del mismo modo, 0.00015 debe expresarse en notacin cientfica como 1.5 x 10-4 si tuviera dos cifras significativas o como 1.50 x 10-4 si tuviera tres. Los tres ceros entre el punto decimal y el dgito 1 en el numero 0.00015 no se cuentan como cifras significativas porque solo estn presentes para ubicar el punto decimal. En general, una cifra significativa es un dgito conocido confiablemente. En la adicin y la sustraccin, el nmero de lugares decimales debe considerarse cuando se determina cuntas cifras significativas se van a indicar. Cuando se suman o restan nmeros, el nmero de decimales en el resultado debe ser igual al nmero ms pequeo de decimales en cualquier trmino de la suma. Por ejemplo, al sumar 123 + 5.35, la respuesta seria 128 y no 128.35. En la suma 1.0001 + 0.0003 = 1.0004, el resultado tiene cinco cifras significativas, aun cuando uno de los trminos en la suma, 0.0003, solo tiene una cifra significativa. De igual modo, en la sustraccin 1.002 - 0.998 = 0.004, el resultado tiene solo una cifra significativa aunque un trmino tiene cuatro cifras significativas y el otro tiene tres. La mayor parte de los ejemplos numricos y los problemas propuestos producirn respuestas con dos o tres cifras significativas.

Redondeo de cifras significativas Para eliminar las cifras no significativas se lleva a cabo un proceso de redondeo de acuerdo a la siguiente regla:

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Si la ltima cifra es menor que cinco, se suprime Si la ltima cifra es mayor o igual que cinco, se suprime la ltima y la anterior

se incrementa en uno. Ejemplos: 7.83 se redondea a 7.8; 3.14159 se redondea a 3.1416 y 0.35 se redondea a 0.4.

Relacin entre cifras significativas e incertidumbre La incertidumbre fraccional est directamente relacionada con las cifras significativas. Considrese, por ejemplo, los nmeros 10 y 9900 con dos cifras significativas. El 10 con dos cifras significativas significa

10 0.5 = 10 5% El nmero 9900 con dos cifras significativas significa

9900 50 = 9900 0.5 % Lo anterior muestra que, cuando se tiene dos cifras significativas, la incertidumbre fraccional sta comprendida entre el 5% y el 0.5%. La siguiente tabla muestra la relacin entre el nmero de cifras significativas y la incertidumbre fraccional correspondiente.

Tabla 7. Correspondencia entre cifras significativas e incertidumbre fraccionalNmero de cifrasSignificativas

Incertidumbre fraccionalCorrespondiente

1 5% - 50% 2 0.5% - 5% 3 0.05% - 0.5% 4 0.005% - 0.05%

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Formulario

Densidad Una propiedad de cualquier sustancia es su densidad, definida como la masa por unidad de volumen,

m = V

Masa atmica La masa por tomo para cualquier elemento est dada por,

mtomo = (masa atmica del elemento)/NA donde NA = 6.02 x 1023 molculas/mol es el numero de Abogadro. La masa de 12C se define exactamente igual a 12 unidades de masa atmica (u) donde 1 u = 1.6605402 x 10-27 kg. Un mol de una sustancia es aquella cantidad de dicha sustancia que contiene el nmero de Abogadro (NA) de molculas.

El promedio Si se tienen N mediciones

( ) i1 2 3 N xx + x + x + ... + xx = = N N

La mediana Cuando se tiene un nmero impar de mediciones,

N + 12

mediana = x

Cuando se tiene un nmero par de mediciones,

N N +12 2

x + xmediana =

2

La moda es aquella medicin que se repite con ms frecuencia.

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La desviacin media

ix - x = N

La desviacin estndar

( )2ix - x = N - 1

Regla para expresar una medida Toda medida se expresa de la forma

x x [unidades] donde x representa el valor central de la medicin y x representa su incertidumbre.

Incertidumbre relativa xx

x representa la incertidumbre absoluta y x representa el valor central de la medicin,

Incertidumbre relativa porcentual x 100%x

Mediciones directas e indirectas A las cantidades que se obtienen utilizando un instrumento de medida se les denomina mediciones directas, y a las mediciones que se calculan a partir de mediciones directas se les denomina mediciones indirectas. En las mediciones indirectas, la incertidumbre se propaga.

Propagacin de la incertidumbre En la suma y la diferencia w = q + r

En el producto y en el cociente q rw = w + q r

Cifras significativas

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Cuando se multiplican varias cantidades, el nmero de cifras significativas en el resultado, es el mismo que el nmero de cifras significativas en la menos precisa de las cantidades multiplicadas, donde "menos precisa" significa "tener el nmero menor de cifras significativas". La misma regla se aplica a la divisin.

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PROBLEMAS

1. Calcule la densidad de un cubo slido que mide 5.00 cm de lado y cuya masa es de 350 g. Solucin:

-6

m 0.350 = = v 12510

= 2,800 kg/m3 = 2.8 g/cm3

2. La masa de Saturno es de 5.64 x 1026 kg y su radio es 6.00 x 107 m. (a) Calcule su densidad. (b) Si el planeta se colocara en un ocano suficientemente grande, flotara? Explique. Solucin: (a) La densidad de Saturno:

26

7 3

m 5.6410 = = 4v (3.1416)(610 )3= 0.0062x105 kg/m3 = 0.62 x 103 kg/m3

(b) La densidad del agua = 1.00 x 103 kg/m3. Saturno si flotara en el agua porque la densidad de saturno es menor que la densidad del agua. 3. Cuntos gramos de cobre se requieren para construir un cascarn esfrico hueco con un radio interior de 5.70 cm y un radio exterior de 5.75 cm? La densidad del cobre es 8.93 g/cm3. Solucin:

Vol. cascarn = VC = 4 3 3(r - r )1 23

= (4/3) x (3.1416)(5.753 5.73) = 20.6 cm3.

Peso del cascarn = (densidad) x (VC) = (8.93g/cm3) x (20.6 cm3) = 183.9 g. 4. El radio de Jpiter es, en promedio, 10.95 veces el radio promedio de la Tierra y una masa 317.4 veces la de nuestro planeta. Calcule la proporcin de la densidad de masa de Jpiter y la densidad de masa de la Tierra. Solucin:

TJ T

T

m = 0.241 = 0.241v

5. Calcule la masa de un tomo de (a) helio, (b) hierro y (c) plomo. En sus respuestas utilice unidades de masa atmica y gramos. Las masas atmicas para los tomos indicados son 4, 56 y 207, respectivamente.

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Solucin: (a) mtomo = (masa atmica)/NA = 4/(6.02 x 1023) = 0.6 x 10-23 g/tomo (b) mtomo = (masa atmica)/NA = 56/(6.02 x 1023) = 9.3 x 10-23 g/tomo (c) mtomo = (masa atmica)/NA = 207/(6.02 x 1023) = 33.4 x 10-23 g/tomo 6. Un pequeo cubo de hierro se observa en el microscopio. La arista del cubo mide 5.00 x l0-6 cm. Encuentre (a) la masa del cubo, y (b) el nmero de tomos de hierro en el cubo. La masa atmica del hierro es 56 u y su densidad es 7.86 g/ cm3. Solucin: (a) Masa = V = (7.86 g/cm3) x (5 x 10-6 cm)3 = 982.5 x 10-6 g = 9.8 x 10-4 g. (b) La masa de un tomo de hierro es: mtomo = (masa atmica del elemento)/NA = 56/(6.02 x 1023) = 9.3 x 10-23 g/tomo Numero de tomos = Masa/ mtomo = (9.8 x 10-4)/(9.3 x 10-23) = 1.05 x 1019 tomos.

7. Una viga estructural construida con acero, cuya densidad es 7.56 x 103 kg/m3, tiene una seccin transversal y dimensiones como se muestran en la figura. (a) cul es la masa de una seccin de 1.5 m de largo? (b) cuntos tomos hay en esta seccin?

Anlisis dimensional 8. Muestre que la expresin x = vt + at2/2 es dimensionalmente correcta, en la cual x es una coordenada y tiene unidades de longitud, v es la velocidad, a es la aceleracin y t es el tiempo. Solucin: La ecuacin en funcin de las unidades es: [m] = [(m/s)s] + [(m/s2)s2] = [m] + [m] 9. El desplazamiento de una partcula, cuando se mueve bajo aceleracin uniforme, se describe como una funcin del tiempo transcurrido y de la aceleracin. Suponga que este desplazamiento se escribe, donde k es una

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constante adimensional. Muestre mediante anlisis dimensional que esta expresin se satisface si m = I y n = 2. Este anlisis puede brindar el valor de k? Solucin: La ecuacin s = kamtn puede expresarse en funcin de las unidades, sin incluir ninguna unidad para k, pues es adimensional: [m] = [][m/s2]m[s]n = (mm/s2m)sn = mmsn-2m. Para que esta expresin tenga unidades de longitud, se debe de tener que m = 1 y n = 2. 10. El cuadrado de la velocidad de un objeto sometido a una aceleracin uniforme es una funcin de la aceleracin a y del desplazamiento s, segn la expresin v2 = kamsn, donde k es una constante adimensional. Mediante anlisis dimensional muestre que esta expresin se satisface slo si m = n = 1. Solucin: La ecuacin v2 = kamsn puede expresarse en funcin de las unidades, sin incluir ninguna unidad para k, pues es adimensional: [m/s]2 = [][m/s2]m[m]n = (mm/s2m)mn = mm + n/s2m. Para que esta expresin tenga unidades de [m/s]2, se debe de tener que m = 1 y n = 1. 11. Cul de las ecuaciones siguientes es dimensionalmente correcta? (a) v = v0 + ax (b) y = (2 m) cos (kx), donde k = 2m-1 Solucin: (a) Expresamos la ecuacin v = v0 + ax en funcin de sus unidades como sigue: [m/s] = [m/s] + [m/s2][m] = [m/s] + [m/s]2. Los dos ltimos trminos no tienen las mismas unidades, por lo que la ecuacin es dimensionalmente incorrecta. (b) Expresamos la ecuacin y = (2 m) cos (kx) en funcin de sus unidades como sigue: [m] = [m]cos([(2/m)(m)]) = [m] cos[2]. Dimensionalmente es correcta, ya que el argumento del coseno es un nmero adimensional, como debe de ser. 12. El periodo T de un pndulo simple se mide en unidades de tiempo y es

lT = 2g

donde l es la longitud del pndulo y g es la aceleracin en cada libre en unidades de longitud dividida entre el cuadrado del tiempo. Demuestre que esta ecuacin es dimensionalmente correcta.

19

Solucin:

Expresamos la ecuacin lT = 2g

en funcin de sus unidades como sigue:

[s] = ([m]/[m/s2])1/2 = [ms2/m]1/2 = [s2]1/2 = [s]. En efecto, la ecuacin es dimensionalmente correcta. 13. El volumen de un objeto como una funcin del tiempo se calcula por medio de la formula V = -At3 + B/t, donde t es el tiempo medido en segundos y V est en metros cbicos. Determine las dimensiones de las constantes A y B. Solucin: Expresamos la ecuacin V = -At3 + B/t en funcin de sus unidades como sigue: [m3] = -A[s]3 + B/[s]. Las dimensiones del termino -A[s]3 deben de ser [m3], por lo que las unidades de A son [m3/s3]. Por otro lado, las unidades del termino B/[s] deben de ser tambin [m3], por lo que las unidades de B son [m3s] 14. La ley de Newton de la gravitacin universal es

1 22m mF = G

r

En la cual F es la fuerza de la gravedad, M y m son las masas y r es la distancia entre las masas. La fuerza tiene las unidades kgm/s2 en el SI. Cules son las unidades de la constante G en el SI? Solucin: Despejando G se obtiene

2

1 2

FrG = m m

= [kgm/s2][m2][kg-1][kg-1] = [kg-1][m3s-2] = [kg-1m3s-2]

15. Considerando que 1 pulg = 2.54 cm y 1 cm = 10-2 m, convierta el volumen 8.50 pulg3 en m3. Solucin: 8.5 pulg3 = 8.5 (0.0254 m)3 = 1.39 x 10-4 m3 16. Un lote de construccin rectangular mide 100.0 pies por 150.0 pies. Determine el rea de este lote en m2.

20

rea = (100)(150) pies2 = 15,000 pies2 = 15,000 (0.09290304) m2 = 1,393.5 m2

17. Un saln de clases mide 40.0 m x 20.0 m x 3.0 m. La densidad del aire es 1.29 kg/m3. Cules son (a) el volumen del cuarto en pies cbicos, y (b) el peso en libras del aire en el cuarto? Solucin: (a) El volumen = 40 x 20 x 3 = 2400 m3 = 2400 m3 x (3.28 pies/m)3 = 84588.6 pies3 (b) El peso del aire = 2400 m3 x 1.29 kg/m3 = 3096 kg = 3096 kg x (2.2 libras/kg) = 6819.4 libras. 18. Una pieza slida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10 m3. De acuerdo con estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI (kg/m3). Solucin:

33

m 0.02394kg = = = 0.0114kg/mv 2.10m

19. Una unidad astronmica (UA) se define como la distancia promedio entre la Tierra y el Sol. (a) Cuntas UAs hay en un ao luz? (b) Determine la distancia de la Tierra a la galaxia de Andrmeda en UAs. Solucin: (a) 1 UA = 1.5 x 1011 m, 1 m = UA/1.5 x 1011 = 0.666 x 10-11 UA 1 ao luz = 9.46 x 1015 m = 9.46 x 1015 m x (0.666 x 10-11 UA/m) = 6.3 x 104 UA. (b) Distancia de la tierra a la galaxia M 31en Andrmeda = 2 x 1022 m = 2 x 1022 m x (0.666 x 10-11 UA/m) = 1.3 x 1011 UA. 20. La masa del Sol es aproximadamente 1.99 x 1050 kg, y la masa del tomo de hidrogeno, del cual est compuesto principalmente el Sol, es 1.67 x 10-27 kg. Cuntos tomos hay en el Sol? Nmero de tomos = (masa del sol)/(masa del tomo hidrgeno) = (1.99 x 1050)/(1.67 x 10-27) = 1.2 x 1077 tomos de hidrgeno. 21. (a) Encuentre un factor de conversin para convertir mi/hr a km/h. (b) Hasta hace poco, la ley federal en Estados Unidos ordenaba que las velocidades en las autopistas seran de 55 mi/h. Con el factor de conversin del inciso (a) encuentre esta velocidad en km/h. (c) La velocidad mxima en una autopista se ha

21

incrementado hasta 65 mi/h en algunos lugares. Cul es el incremento respecto del lmite de 55 mi/h en km/h?, Solucin: (a) mi/hr = 1.609 km/hr (b) 55 mi/hr = 55(1.609 km)/hr = 88.5 km/hr (c) incremento = 65/55 = 1.2 22. (a) cuntos segundos hay en un ao? (b) Si un micro meteorito (una esfera con un dimetro de 1.00 x I0-6 m) golpea cada metro cuadrado de la Luna cada segundo, cuntos aos se necesitaran para cubrir la superficie de la Luna con una capa de 1.00 m? (Sugerencia: Considere una caja cbica sobre la Luna de 1.00 m de lado, y encuentre cuanto llevara llenarla.) Solucin: (a) 1 ao = (365da)(24hr/da)(60min/hr)(60 s/min) =31,536,000 segundos (b) Superficie de la luna = 24R = 4 x (3.1416) x (1.74 x 106 m)2 = 38 x 1012 m2. Caja cbica de 1 metro sobre la luna = 38 x 1012 m3.

Volumen de meteorito = 3 -6 34 4r = (3.1416)(0.510 ) =3 3

0.5 x 10-18 m3

1m3 = 18105.01

meteoritos = 5.01018 meteoritos = 2 x 1019 meteoritos.

Numero de esferas para cubrir la luna con 1 metro de partculas = (38 x 1012 m3) x (2 x 1019 esferas/m3) = 76 x 1031 meteoritos. Tiempo requerido = 76 x 1031 meteoritos x (1s/meteorito) = 76 x 1031s = 76 x 1031 s x (1 ao/3.2 x 107 s) = 23.75 x 1024 aos 23. Un galn de pintura (volumen = 3.78 x 10-3 m3) cubre un rea de 25.0 m2. Cul es el espesor de la pintura en la pared? Solucin: Espesor = volumen/rea = 3.78 x 10-3/25 = 0.15 x 10-3 m = 0.15 mm. 24. Suponiendo que 70 por ciento de la superficie de la Tierra esta cubierta con agua a una profundidad promedio de 1 milla, calcule la masa del agua sobre la Tierra en kilogramos. Solucin: Masa = V

3 3 = 110 kg/m

22

Volumen de agua, 2TV = (0.7)(4R )(1609m) El radio de la tierra, RT = 6.4 x 106 m

6 2 3V = (0.7)(4)(3.1416)(6.410 ) (1609)m = 579,727.49 x 1012 m3 = 5.8 x 1017m3 Masa del agua = 5.8 x 1020 kg. 25. El dimetro de nuestra galaxia en forma de disco, la Va Lctea, es aproximadamente de 1.0 x 105 aos luz. La distancia a Andrmeda, la galaxia ms cercana a nuestra galaxia es aproximadamente de 2.0 millones de aos luz. Si la Va Lctea se representara con un plato de 25 cm de dimetro, cul sera la distancia al siguiente plato? Solucin: 1 ao = (365)(24)(60)(60 s) =31,536,000 segundos 1 ao luz = 9.46 x 1015 m Dimetro de la Va Lctea = (1.0 x 105)(9.46 x 1015 m) = 9.46 x 1020 m Distancia a Andrmeda = (2 x 106)(9.46 x 1015 m) = 18.92 x 1021 m 1.9 x 1022 m Distancia al siguiente plato =

22

20

1.910 25cm9.4610

= 500 cm.

26. El radio medio de la Tierra es 6.37 x 106 m y el de la Luna es de 1.74 x 108 cm. Con estos datos calcule (a) la .proporcin entre el rea superficial de la Tierra y la de la Luna y (b) la proporcin de volmenes de la Tierra y de la Luna. Recuerde

que el rea de la superficie de una esfera es 24r y su volumen es 34 r3

.

Solucin: (a) (rea tierra)/(rea luna) = (6.37 x 106/1.74 x 106)2 = 13.4 (b) (Vol tierra)/(vol luna) = (6.37 x 106/1.74 x 106)3 = 49.06 27. A partir de que la densidad promedio de la Tierra es 5.5 g/cm3 y de que su radio medio es 6.37 x 106 m, calcule la masa de la Tierra. Solucin: Volumen = 34 r

3= (4/3)(3.1416)6.37 x 106)3 m3 = 1082.7 x 1018 m3 = 1.1 x 1021 m3.

M = (densidad)(vol) = (5.5g/cm3)(1.1 x 1021 m3) = (5500 kg/m3) x (1.1 x 1021 m3) = 6050 x 1021 kg. 28. Suponga que una pelcula de aceite se compone de una sola capa de molculas y que cada molcula ocupa un cubo de 1.0 nm por lado. Determine el rea de una pelcula de aceite formada por 1.0 m3 de aceite. Solucin:

23

rea = vol/superficie = (1.0 x 109 nm)3/(1.0 nm) = 1027(nm)2 = 109 m2 29. Un metro cbico (1.00 m3) de aluminio tiene una masa de 2.70 X 103 kg, y 1.00 m3 de hierro tiene una masa de 7.86 X 103 kg. Encuentre el radio de una esfera de aluminio que se equilibre con una esfera de hierro de 2.00 cm de radio en una balanza de brazos iguales. Solucin: Los pesos deben de ser iguales, implica que

V = VAl Al He He

El volumen del aluminio

HeV = VAl HeAl

El radio de la esfera de aluminio es

Her = r3Al HeAl

= (7.86/2.7)1/3

x ( 2.0 cm) = 2.86 cm

30. La densidad del aluminio se representa por Al y Fe representa la del hierro. Encuentre el radio de una esfera slida de aluminio que se equilibra con una esfera slida de hierro de radio rFe en una balanza de brazos iguales. Solucin: Los pesos deben de ser iguales, implica que

V = VAl Al He He El volumen del aluminio

HeV = VAl HeAl

El radio de la esfera de aluminio es

Her = r3Al HeAl

Clculos de orden de magnitud

24

31. Considere 60 latidos del corazn humano por minuto y calcule el nmero de latidos durante una vida promedio de 70 aos. Latidos en una vida promedio = (70)(365)(24)(60)(60) = 2,207,520,000 Latidos. 32. La distancia de la Tierra a la Luna se midi utilizando un radar. Si el viaje redondo de la Tierra a la Luna le toma al haz del radar 2.56 s, cul es la distancia de la Tierra a la Luna? (La velocidad de las ondas de radar es 3.00 x 108 m/s.) Solucin Distancia = (0.5) x (3 x 108)(2.56) m = 3.84 x 108 m = 3.84 x 105 km. 33. Una fuente de agua se localiza en el centro de un estanque, como el de la figura. Un estudiante camina alrededor y calcula que la circunferencia del estanque es de 150 m. Despus, el estudiante encuentra que el ngulo de elevacin de la parte superior de la fuente es de 55. Qu tan alta es la

fuente? Solucin: Altura de la fuente = (150/(2x3.1416))tan(55o) = 34.1 m. 34. Suponga que usted ve cada lanzamiento de todos los juegos (162) de una temporada de bisbol de Ligas Mayores de su equipo favorito. Aproximadamente cuantos lanzamientos vera usted? Solucin: Cada pitcher lanza alrededor de 125 lanzamientos. Nmero total de lanzamientos = (162)(250) = 40,500 lanzamientos.

25

35. Determine el nmero de cifras significativas en los siguientes nmeros: a) 23 cm, b) 3.589 s, c) 4.67 X 103 m/s, d) 0.0032 m. Solucin:

a) 2 b) 4 c) 3 d) 4

36. Si el radio de un crculo es 10.5 0.2 m, calcule (a) el rea, y (b) la circunferencia del crculo, y d la incertidumbre de cada valor. Solucin:

(a) El rea del crculo es 2A = r . La incertidumbre del rea A r= 2A r

2A = r A = 346.36 13.2 = 346.3 13.2 m2

(b) Permetro = P = 2r . La incertidumbre del permetro P = 2r . Por lo tanto, el permetro con incertidumbre resulta ser = 2(3.1416)(10.6 0.2) = 66.6 1.26 = 66.6 1.3 m. 37. Si el largo y el ancho de una placa rectangular miden (15.30 0.05) cm y (12.80 0.05) cm, respectivamente, encuentre el rea de la placa y la incertidumbre aproximada en el rea calculada. 38. Si el radio de una esfera slida es (6.50 0.20) cm, y su masa es 1.85 0.02 kg, determine la densidad de la esfera en kg/m3 y la incertidumbre en la densidad. Solucin: La densidad m =

v. La incertidumbre de la densidad m v= +

m v. Donde

34v = r3

, v r = 3v r

. Los clculos son los siguientes:

El volumen 3 -6 34v = (3.1416)(6.5) 10 m3

= 1,150.3 x 10-6 m3. La incertidumbre del

volumen v 0.2 = 3 = 0.09v 6.5

. La incertidumbre de la masa m 0.02= = 0.011m 1.85

.

La densidad 3 3-61.85 = = 1.610 kg/m

1150.310. La incertidumbre de la densidad

26

3 3 3m v = ( + ) = 1.610 (0.011 + 0.09) = 0.1610 kg/mm v

Por lo tanto la densidad = (1.6 0.2) x 103 kg/m3. 39. cuntas cifras significativas hay en (a) 78.9 0.2, (b) 3.788 x 109, (c) 2.46 x 10-6 y (d) 0.0053? Solucin:

a) 3 b) 4 c) 3 d) 4

40. Un granjero mide la distancia en torno a un campo rectangular. La longitud de los lados largos es 38.44 m, y la longitud de los lados cortos, 19.5 m. cul es la longitud total alrededor del campo? Solucin: Longitud total = 2(38.44 + 19.5) = 115.9 m. 41. Se quiere construir un andador alrededor de una alberca que mide (10.0 0.1) m de ancho por (17.0 0.1) m de largo. Si las medidas del andador son (1.00 0.01) m de ancho por (9.0 0.1) cm de espesor, qu volumen de concreto se necesita y cul es la incertidumbre aproximada de este volumen? 42. Un centmetro cbico (1.0 cm3) de agua tiene una masa de 1.0x 10-3 kg. a) Determine la masa de 1.0 m3 de agua. b) Si las sustancias biolgicas son 98% agua, estime la masa de una clula que tiene un dimetro de 1.0 x10-6 m, un rin humano y una mosca. Suponga que el rin es una esfera con un radio de 4.0 cm y que una mosca es mas o menos un cilindro de 4.0 mm de largo y 2.0 mm de dimetro.