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Capítulo 8 ECUACIONES DIFERENCIALES Cálculo de desplazamientos Dr. Fernando Flores 8.1. INTRODUCCI ÓN En este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas. En general se recurre al denominado método de equilibrio o método de los desplazamientos, que consiste en expresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos. Inicialmente se estudia el comportamiento frente a cargas axiales, luego se estudia el problema de ﬂexión y ﬁnalmente el de torsión. Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con sus correspondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros de un elemento de viga aislado. Se muestran algunos ejemplos simples de como realizar dicha integración. En una segunda parte se estudia la ecuación diferencial (en derivadas parciales), que gobierna el alabeo de una sección cuando la pieza está sometida a torsión uniforme y sin restricció n al alabeo. En este caso la integración de las ecuaciones no es en general posible en forma exacta. Se muestran resultados obtenidos con técnicas numéricas para algunos ejemplos de geometrías sencillas. 8.2 . VI GAS SOMETID AS A ESFUERZOS AXI ALES 8.2.1. Ecuación diferencial Recordemos la hipótesis de Bernoullí: “ durante la deformación de una pieza recta sometida a esfuerzo axil las secciones transversales permanecen planas y paralelas a si misma ”, lo cual conduce a que todos los puntos de la sección sometida a un esfuerzo axial en su baricéntro mecánico se deforman una misma magnitud ε x . Esta deformación ε x puede escribirse en función de los desplazamiento axiales u como ε x = du dx (8.1) Una expresión diferencial que relaciona una medida de deformación ( ε x ) con componentes de desplazamiento (u) se denomina una relación (o ecuación) cinemática . La expresi ón de la deformación 1

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