cap 6 el método estadístico 2016(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES

SECCIÓN DE POSGRADO

MAESTRIA EN TRIBUTACIÓN

INVESTIGACIÓN TRIBUTARIA I

Dr. CARLOS A. CHOQUEHUANCA S.

Capítulo 6: El Método Estadístico

Lima – 2016 – Perú

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO CAPÍTULO 6 SECCIÓN DE POST GRADO FCC

ÍNDICE

Pág.

6.1 Definición de Estadística

6.2 Objeto de la Estadística 03

6.3 Método de la Estadística 03

6.3.1 Variables 03

6.3.2 Los Parámetros 05

6.3.3 Relaciones Funcionales o Funciones 05

6.3.4 Representaciones 06

6.3.5 Población y Muestra 08

6.3.6 Método de la Estadística 09

6.4 Clasificación de la Estadística 11

6.5 Problemas propuestos 13

6.6 Fuentes Bibliográficas 15

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA 2 DR. CARLOS A. CHOQUEHUANCA S.


6.1 Definición de Estadística

No hay unidad en cuanto al origen etimológico de la palabra:

- Status (latín), que significa situación, posición, estado.

- Statera (griego), que quiere decir balanza, ya que la estadística mide o pesa hechos

- Staat (alemán), que se refiere a Estado como expresión de unidad política superior.

La palabra en sí la introduce, por primera vez, Godofredo Achewald (1719-1772) al considerarla

como asignatura universitaria encargada de la descripción de las cosas del estado.

Podemos decir que la estadística es la ciencia que se encarga de estudiar los métodos y técnicas

necesarios para reunir y sistematizar datos con el fin de analizarlos y obtener algunas conclusiones

de ellos, en condiciones de evaluar su certidumbre.

6.2 Objeto de la Estadística

Todos los sucesos que ocurren en la realidad son estudiados por la estadística con el fin de obtener

suficiente información sobre ellos y sacar, si es posible, algunas conclusiones sobre su estructura, su

organización y sus relaciones y poder usarlos para la toma de decisiones. Es decir, el estudio de los

sucesos nos permite construir indicadores con el fin de tener una mejor idea de su distribución. Una

idea aproximada, no necesariamente exacta ni exenta de errores, y poder así, en ausencia de un

mejor conocimiento, tener una herramienta de toma de decisiones, con ciertas probabilidades de

éxito (o fracaso).

Por ejemplo:

El Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) recoge, semanalmente, datos sobre los

precios de los bienes y servicios que se venden en los mercados de Lima Metropolitana. La

Directora de la Escuela de Negocios Internacionales de la UCV reúne datos sobre la cantidad de

alumnos matriculados, aprobados, desaprobados y retirados semestralmente durante los últimos 5

años. El Jefe del Dpto. de Investigación de la Cía. Nacional de Cerveza recopila datos sobre el

volumen trimestral de ventas de la Cerveza “Pilsen Callao”. ¿De dónde surge la necesidad de

recoger esos datos? ¿Cómo se hace para reunir esos datos? ¿Cómo se organizan y presentan esos

datos? ¿Qué índices, indicadores o estadísticas podemos construir con esos datos? ¿Con qué grado

de confiabilidad? ¿Con qué fin se reúnen esos datos? La estadística se encarga, precisamente, de

responder esas y otras interrogantes.

6.3 Método de la Estadística

6.3.1 Variables

A. Definición

Variable es una característica, propiedad, aspecto o, en general, atributo de un objeto de

estudio en la cual estamos estudiando. Es de la mayor trascendencia que dicho atributo

tenga un campo de variación definido y que sea, en lo posible, cuantificable.

B. Notación

Las variables se representan con las letras mayúsculas del alfabeto castellano y, cuando es

necesario, se utilizan subíndices.



Por ejemplo:

D = Demanda, O = Oferta, Y = Ingreso, I = Inversión, A = Ahorro, T = Impuestos, etc.

Cuando el número de variables es grande, el alfabeto se queda corto y entonces represen-

tamos a las variables con una misma letra a la que vamos asignando subíndices que son

los que las diferencian. Si elegimos la letra X, podríamos expresar, alternativamente, las

variables del ejemplo de la siguiente manera: X1 = Demanda, X2 = Oferta, X3 = Ingreso,

X4 = Inversión, X5 = Ahorro, X6 = Impuestos, etc.

C. Clasificación

Cada variable tiene una clasificación apropiada o que mejor se adapta a los fines de la in-

vestigación. Las clasificaciones que proponemos aquí son indispensables al momento de

establecer los requisitos lógicos de un modelo. En todo caso, son las de mayor generali-

dad y uso y aquí sólo tienen un carácter enunciativo.

a. Según su relación de causa-efecto

- Variables causa o explicativas o independientes

- Variables efecto o explicadas o dependientes

b. Según su relación con el modelo

- Endógenas

- Exógenas

c. Según su referencia en el tiempo

- Corrientes

- Retardadas

d. Predeterminadas

- Endógenas retardadas

- Exógenas

e. Según sus posibilidades de enumeración

-Discretas (Que a su vez pueden ser Finitas o Infinitas)

-Continuas

f. Según su precisión

-Matemáticas, determinísticas o exactas

-Estocásticas, probabilísticas o aleatorias

g. Según su naturaleza

-Cuantitativas

-Cualitativas

6.3.2 Los parámetros

A. Definición

Los parámetros son los elementos de ponderación del modelo, es decir, miden la

importancia relativa del cambio de las variables explicativas sobre la variable explicada.

B. Notación



Los parámetros se representan con las letras minúsculas del alfabeto castellano o con las

letras del alfabeto griego. Si es necesario se utiliza subíndices.

Por ejemplo:

En la ecuación: Y = a + bX los parámetros son a y b.

Y en esta otra: Y = + X los parámetros son alfa y beta.

Cuando el número de parámetros es muy grande usamos subíndices, como lo podemos

ver en la siguiente ecuación:

Y = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + anXn

C. Clasificación de los parámetros

Vamos a clasificar los parámetros, de manera sencilla, en parámetros de posición y

parámetros de comportamiento.

Un parámetro de posición es un parámetro que representa el efecto combinado

promedio de todas las variables explicativas que afectan sistemáticamente a la variable

explicada, pero que no están presentes o no están explícitamente consideradas en el

modelo.

Un parámetro de comportamiento es un parámetro que nos indica la magnitud y el

sentido del cambio que se opera en la variable explicada cuando varía una variable

explicativa.

6.3.3 Relaciones funcionales o funciones

A. Definición

Son relaciones particulares que se establecen entre las variables. Particulares en el

sentido de que a cada valor de las variables explicativas, le corresponde uno y sólo un

valor a la variable explicada.

B. Notación

Las relaciones funcionales se expresan, en general, a través de ecuaciones (lo que no

implica que todas las ecuaciones sean funciones). Complementariamente pueden

expresarse a través de igualdades o identidades.

Por ejemplo:

Y = a + bX

C. Clasificación

De acuerdo a su forma funcional, la función más sencilla, más fácil de estimar y de

explicar tiene forma lineal. Además, la teoría estadística básica se ha desarrollado

fundamentalmente para ecuaciones lineales. Sin embargo, no siempre es posible

expresar las relaciones entre las variables en forma lineal. En algunos casos, una

función logarítmica o exponencial describe mejor la curvatura de la relación entre

variables. Además, estas funciones son fácilmente transformables en una conveniente

forma lineal.

Las formas funcionales más frecuentes en los modelos uniecuacionales son las siguientes:



a. Forma Lineal : Y = a + bX

b. Forma Cuadrática : Y = a + bX +cX2

c. Forma Hiperbólica : Y = a + b/X

d. Forma Semilogarítmica : Log Y = a + bX

Y = Log a + b Log X

e. Forma Doblelogarítmica : Log Y = Log a + b Log X

Según el rol que cumplen dentro del modelo las relaciones funcionales pueden ser:

a. Relaciones Funcionales de Definición o Contables

b. Relaciones Funcionales Legales o Institucionales

c. Relaciones Funcionales Técnicas

d. Relaciones Funcionales de Comportamiento

e. Relaciones Funcionales de Equilibrio Móvil

6.3.4 Representaciones

Una función matemática se representa por medio de Líneas (Gráfico o Diagrama de Líneas),

de Barras (Gráfico o Diagrama de Barras), de Círculos (Gráfico o Diagrama Circular) o de

Figuras (Gráfico de Figuras o Pictógrafas o Pictogramas).

Si tenemos, por ejemplo, los datos del cuadro 6.1 que corresponden a la población electoral

del Perú 2000-2015.

Años Total Hombres Mujeres2000 14,825,081 7,413,053 7,412,0282001 15,143,148 7,571,989 7,571,1592002 15,454,163 7,727,183 7,726,9802003 15,760,723 7,880,056 7,880,6672004 16,065,430 8,032,012 8,033,4182005 16,370,868 8,184,471 8,186,3972006 16,674,751 8,336,310 8,338,4412007 16,975,336 8,486,585 8,488,7512008 17,276,074 8,636,972 8,639,1022009 17,580,444 8,789,174 8,791,2702010 17,891,867 8,944,857 8,947,0102011 18,212,661 9,105,157 9,107,5042012 18,540,506 9,268,942 9,271,5642013 18,871,976 9,434,539 9,437,4372014 19,203,621 9,600,246 9,603,3752015 19,532,002 9,764,382 9,767,620

Fuente: INEI (2009)

Cuadro 6.1 Población electoral de 18 a 70 años del Perú 2000-2015

Podemos usar a un gráfico de línea para representarlos, tal como se ilustra en el gráfico 6.1.



14,000,000

15,000,000

16,000,000

17,000,000

18,000,000

19,000,000

20,000,000

1995 2000 2005 2010 2015 2020

Población

Años

Gráfico 6.1 Población electoral de 18 a 70 años del Perú 2000-2015

O a un gráfico de barras como se ilustra en el gráfico 6.2.

14,000,000

15,000,000

16,000,000

17,000,000

18,000,000

19,000,000

20,000,000

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Población

Años

Gráfico 6.2 Población electoral de 18 a 70 años del Perú 2000-2015

Si tenemos, los datos del cuadro 6.2 sobre el PBI del Perú por sectores del año 2014.

Sectores PBIAgropecuario 24,814Pesca 1,762Minería 54,605Manufactura 66,005Electricidad y agua 8,193Construcción 31,869Comercio 52,193Servicios 1/ 227,403PBI 466,8441/ Incluye derechos de importación e impuestos a los productos

Fuente: http://w w w .bcrp.gob.pe/estadisticas/cuadros-anuales-historicos.html

Cuadro 6.2 PBI del Perú por sectores productivos 2014(Millones de nuevos soles de 2007)

Podemos usar a un gráfico circular para representarlo, tal como se ilustra en el gráfico 6.3.



Gráfico 6.3 PBI del Perú por sectores productivos 2014

6.3.5 Población y muestra

Población es el conjunto de datos de todas y cada de las unidades estadísticas del objeto de

estudio, respecto de una variable.

Por ejemplo:

Supongamos que nuestro objeto de estudio sean los estudiantes matriculados en el Ciclo

2015-II de la Sección de Posgrado de la FCC de la UNAC. Y que estamos interesados en

estudiar su estatura. Entonces, la variable (vamos a llamarla X), será la estatura, la unidad

estadística será el estudiante y la población estará constituida por la medida de la estatura de

todos los estudiantes de dicha Sección, matriculados en el Ciclo 2015-II. Dichas medidas

son los datos. La unidad estadística es la fuente de donde vamos a obtener los datos y está

constituida por cada uno de los elementos que integran el objeto de estudio.

Las medidas estadísticas obtenidas a partir de dichos datos (es decir, a partir de la población)

toman el nombre de parámetros.

Por ejemplo:

Si tengo la población de una variable, podría obtener su media aritmética. Esa media

aritmética es un parámetro porque ha sido obtenida con la población.

Muestra es el conjunto de datos de una parte de las unidades estadísticas del objeto de

estudio, respecto de una variable. En ese sentido, es un subconjunto de la población.

Por ejemplo:

Si en lugar de tomar la medida de la estatura de todos los estudiantes matriculados sólo le

tomo al 10 % de ellos, voy a obtener una muestra.

Las medidas estadísticas obtenidas a partir de una muestra se llaman estadísticas,

estadígrafos o estimaciones.

Por ejemplo:

Si he tomado la estatura de ese 10 % de estudiantes y obtengo la media de la estatura del



grupo, esa media sería una estadística.

6.3.6 Método de la estadística

El método estadístico tiene, generalmente, los siguientes pasos o etapas, en sus

investigaciones:

1º Definición o Formulación del Problema

2º Diseño del Experimento

3º Recolección o Compilación de Datos

4º Organización, Presentación y Descripción de los Resultados

5º Decisión o Inferencia Final

Vamos a ir conociendo cada etapa de la investigación a través de un ejemplo. Supongamos

que se ha hecho un estudio de los hogares de los postulantes a la UNAC, basado en la

información contenida en las fichas socioeconómicas que llenan al inscribirse, entre los años

2006-2015. Dicho estudio ha determinado que los postulantes del quinquenio 2006-2010

provenían de hogares con ingresos familiares menores que los postulantes del quinquenio

2011-2015. A partir de dicha constatación se quiere inferir que los ingresantes del

quinquenio 2006-2010 provenían de hogares con ingresos familiares menores que los

ingresantes del quinquenio 2011-2015 en la misma medida que los postulantes. En

principio, estamos hablando de dos objetos de estudio distintos: hogares de los postulantes y

hogares de los ingresantes y, por lo tanto, no se puede extrapolar ese tipo de conclusiones.

En todo caso, la conclusión sobre el ingreso familiar de los hogares de los postulantes,

sugiere la hipótesis de que los ingresos familiares de los hogares de los ingresantes del

quinquenio 2006-2010 es menor que los del quinquenio 2011-2015. Pero es sólo una

hipótesis, que en todo caso, habría que probarla.

1º Definición o formulación del problema

En esta etapa se trata de conocer con precisión lo que va a ser investigado, es decir:

El objeto de estudio

La unidad estadística de la cual se obtendrá la información

La variable

La población que se va a estudiar

El problema a resolver

El objetivo de la investigación

En nuestro ejemplo, el objeto de estudio será entonces los hogares de los ingresantes en

el periodo de estudio.

La variable será los ingresos familiares de los hogares de los ingresantes.

La población estará constituida por las respuestas que se obtendrá de dichos hogares so-

bre su ingreso familiar.

La unidad estadística será el hogar del que proviene cada uno de los ingresantes. Consi-

deraremos a los hogares de todos los ingresantes, con excepción de los que ingresaron



por la modalidad de Segunda Profesión, que normalmente son personas mayores que ya

tienen un hogar propio y un statu quo. Dicha población, para efectos del problema, la

subdividiremos en dos subpoblaciones: la subpoblación 1 que incluye los ingresos fa-

miliares de los hogares de los ingresantes del quinquenio 2006-2010 y la subpoblación

2 que incluye los ingresos familiares de los hogares de los ingresantes en del quinque-

nio 2011-2015. El valor de la variable se obtendrá sumando el ingreso mensual de los

miembros de cada hogar. Si hay más de un ingresante por hogar se considerará como si

fuera distinto el hogar y se anotará su ingreso correspondiente.

El problema a resolver es el siguiente: ¿Los ingresantes de la UNAC del quinquenio

2006-2010 provienen de hogares con ingresos familiares menores que los ingresantes de

la UNAC del quinquenio 2011-2015?

El objetivo de la investigación es determinar si los ingresantes de la UNAC del quinque-

nio 2006-2010 provienen de hogares con ingresos familiares menores que los ingresan-

tes de la UNAC de la década del 2000.

Finalmente, la hipótesis sería, por ejemplo que los ingresantes de la UNAC del quinque-

nio 2006-2010 provienen de hogares con ingresos familiares menores que los ingresan-

tes de la UNAC del quinquenio 2011-2015.

2º Diseño del experimento

En esta parte se trata de determinar si la investigación requiere el estudio de la variable

en todos los hogares o sólo en una parte de ellos. En el primer caso, tendremos un Cen-

so o Enumeración Completa; en el segundo caso tendremos un Muestreo.

Si se trata de un censo no hay ningún problema y sólo restaría decidir de donde (cuáles

son las fuentes) y cómo (a través de qué instrumentos) vamos a recolectar los datos re-

levantes.

Si, en cambio, se trata de un muestreo, como ocurre en la mayoría de los estudios esta-

dísticos, entonces, además de decidir de donde (cuáles son las fuentes) y cómo (a través

de qué instrumentos) vamos a recolectar los datos relevantes, se tendrá que hacer el di-

seño de muestras o diseño experimental.

En el caso del muestreo hay que determinar lo siguiente:

a. El tipo de muestreo que sea el más adecuado para la investigación.

b. El tamaño de la muestra que garantice la solución del problema de la manera más

eficiente. No debemos tomar una muestra tan grande que aumente sustantivamente

los costos y el tiempo necesario para la recopilación y sistematización de la

información ni tan pequeña que no nos permita resolver el problema en términos

estadísticamente aceptables. Aquí cabe el dicho popular ni tanto que queme al

Santo ni tan lejos que no lo alumbre.

En todo caso, para poblaciones infinitas se puede calcular el tamaño de la

muestra (n) a través de la siguiente fórmula:



Donde: Z es el valor en la abscisa de una variable normal estandarizada

p es la probabilidad de éxito

q es la probabilidad de fracaso

E es el error aceptable

Para poblaciones pequeñas se utiliza el factor de corrección de acuerdo a la

siguiente expresión:

Donde: n0 es el valor corregido de n.

N es el tamaño de la población

Por ejemplo, si tenemos los siguientes datos:

= 0.05

p = 0.5

q = 0.5

E = 0.05

Donde es el nivel de significación.

Entonces, para un nivel de significación del 5 % propuesto, el valor de Z

será 1.96. Aplicando la fórmula, obtendremos el valor de n que será:

Si el valor de N es 1000, podemos aplicar la corrección de n. Aplicando la

fórmula obtendremos el valor de n0 que será:

c. En general, se espera que el diseño de la muestra nos provea la información más

confiable, con el mínimo costo y en el menor tiempo posible, es decir, necesitamos

información confiable, barata y oportuna.

En cualquier caso, un muestreo debe tratar de obtener una muestra representativa, toda

vez que con base en ella se tomarán decisiones o se harán inferencias sobre la población

de la que se ha extraído.

En el caso de nuestro ejemplo, podría optarse por un censo o un muestreo. El Censo

nos daría un conocimiento directo de todos los datos, pero a un mayor costo en tiempo

y dinero que el Muestreo. Si nos decidimos por el muestreo habrá que tener en cuenta



lo indicado (selección del tipo de muestreo, eficiencia de los resultados; instrumentos

idóneos de recopilación y conjugar la eficiencia con los costos y la oportunidad).

3º Recopilación o compilación de datos

En esta etapa se obtiene, de las unidades estadísticas, los datos necesarios para la

investigación. Aunque existen muchos métodos de obtener los datos, podríamos

agruparlos en métodos directos y métodos indirectos.

Los métodos indirectos se refieren a tomar la información levantada por alguna

institución pública o privada, o algún investigador. Esto tiene la ventaja de ahorrar

costos y tiempo, pero tiene la desventaja de que se obtuvo en función de los objetivos

de otra investigación que no son los nuestros. Por tanto, hay que someter a crítica dicha

información para verificar su confiabilidad y ver si se puede adaptar a los objetivos de

nuestra investigación.

Los métodos directos, en cambio, son métodos ad hoc para obtener datos requeridos

para nuestros propios objetivos. Los medios más frecuentemente empleados, cuando se

trata de recoger datos de personas o instituciones, son las entrevistas personales, los

cuestionarios enviados por correo y las entrevistas telefónicas. También se puede

recurrir a métodos de observación directa, principalmente, cuando se trata de

poblaciones no humanas, como registrar el número de vehículos que pasan por un

crucero, para ver si se justifica la construcción de un paso a desnivel o no.

En nuestro ejemplo, los datos ya se encuentran en las fichas socioeconómicas que

llenaron los postulantes, de manera que solo falta que sean procesados.

4º Organización, presentación y descripción de los datos

Una vez obtenidos los datos, se trata de reunirlos de manera que nos den una idea clara

de su contenido y nos permitan usarlos para el propósito de nuestra investigación.

Según el caso, deberemos presentarlos a través de cuadros, gráficos, fórmulas o

números que sinteticen las características del objeto de estudio.

En esta etapa se trata, pues, de organizar, presentar y resumir los datos, es decir,

corresponde a lo que se conoce como estadísticas descriptivas.

En nuestro ejemplo, se trata de organizar los datos de manera que obtengamos dos esta-

dísticas sobre el promedio de ingresos familiares de los hogares de los ingresantes: una

del quinquenio 2006-2010 y otra del quinquenio 2011-2015.

5º Decisión o Inferencia Final

Cuando el estudio se ha hecho a través de un censo, la investigación estadística termina

con las estadísticas descriptivas, las que nos permiten conocer las características de la

población que les dio origen y, entonces, puedan tomarse las decisiones o previsiones

que se crea más adecuadas.

Cuando el estudio se ha hecho a través de un muestreo, hay que dar un paso más para

ver si los estadígrafos obtenidos nos permiten responder a la pregunta formulada o



verificar la hipótesis planteada, es decir, tenemos que hacer pruebas de hipótesis sobre

las estimaciones a ver si pueden probarse o disprobarse las hipótesis.

En nuestro ejemplo, trataremos de probar si los resultados obtenidos en la descripción

de los datos son estadísticamente significativos.

6.4 Clasificación de la estadística

La estadística se clasifica en estadística descriptiva y estadística inferencial.

La estadística descriptiva trata de presentar los datos e forma resumida o sintética. Dicho resumen

puede ser tabular, gráfico o numérico. El análisis se limita en sí mismo a los datos coleccionados y

no se realiza inferencia alguna o generalizaciones acerca de la Población de donde provienen esas

observaciones.

Por ejemplo: Cuando reunimos los datos sobre la producción del país e informamos del valor de los

agregados del producto y la renta nacional o interna. O cuando reunimos los datos de los alumnos

matriculados, aprobados, desaprobados o retirados de la Escuela de Negocios Internacionales de la

UCV e informamos de la proporción de los alumnos aprobados, desaprobados y retirados en relación

con el total de alumnos matriculados.

La estadística inferencial se encarga de los métodos y técnicas necesarias para hacer predicciones

acerca de un todo o tomar decisiones a partir de la información contenida en una muestra. Por

ejemplo, cuando usamos las estadísticas de la producción para proyectar la producción del próximo

año y así estimar los ingresos del estado por impuestos directos e indirectos. O cuando tomamos las

estadísticas de los alumnos de la Escuela de Negocios Internacionales de la UCV para proyectar el

número de alumnos que pueden ser matriculados en un aula de cierta capacidad.

6.5 Problemas Propuestos

1. Clasifique cada una de las variables (cuantitativa, cualitativa, discreta, continua) asociadas a las

características indicadas:

a. Distancia recorrida por cada estudiante para ir de su casa a la universidad

b. Tiempo que requiere un estudiante para responder a un examen de estadística

c. Llamadas que llegan a la computadora de una empresa durante el día

d. Color del cabello de las alumnas de Escuela de Negocios Internacionales de la UNAC

e. Preferencia por cierta marca de bebida gaseosa

f. Estatura de los alumnos que pertenecen al equipo de básquet masculino

2. Se ha hecho un estudio para determinar la preferencia de una marca especial de detergente por

parte de las amas de casa. De las 50 amas de casa entrevistadas, 30 dijeron que preferir esta

marca:

a. ¿Qué constituye la muestra?

b. ¿Qué constituye la población?

c. ¿Cuál es el parámetro y cuál la estadística?

d. Explique el proceso estadístico mediante el cual se llega a las afirmaciones siguientes:

i. La proporción muestral es 0,60



ii. La proporción poblacional está entre 0,50 y 0,70 con una probabilidad determinada

que se encuentre fuera de los límites.

3. Represente gráficamente la siguiente ecuación: Y = X2 - 2X - 8

4. Represente los datos oficiales de la población de Lima a través de:

a. Un gráfico de línea

b. Un gráfico de barras

c. Un pictograma

5. Represente los datos oficiales de la Renta Nacional del Perú, para el año que usted elija, en un

gráfico circular en el que se vean los porcentajes que le corresponde a cada uno de los

perceptores de renta.

6. Explique las etapas del método estadístico a través de un ejemplo.

6.6 Bibliografía

1. CHAO, Lincoln L. (1993) Estadística para las Ciencias Administrativas. Colombia.

McGraw-Hill. Tercera Edición, pp. 1-14.

2. CHOU, Ya-Lun (1981) Análisis Estadístico. México. Editorial Interamericana, pp. 1-15.

3. LEVIN, Richard I. y RUBIN, David S. (2004) Estadística para Administración y Economía.

México. Pearson Educación. Séptima Edición, pp. 1-6.

4. MOYA C., Rufino (1991) Estadística Descriptiva. Lima. Editorial “San Marcos”, pp. 1-17.

5. SPIEGEL, Murray R. (1969) Estadística. México. McGraw-Hill, pp. 1-26.

6. INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA (INEI) (2009) Perú:

Estimaciones y Proyecciones de Población Total, por Años Calendario y Edades Simples,

1950-2050. Boletín Especial Nº 17.


cap 6 el método estadístico 2016(1)

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